Önce biz sorduk kpss 2 0 1 8 120 Soruda 85 SORU Güncellenmiş Yeni Baskı Genel Yetenek Genel Kültür Lise ve Ön Lisans MATEMATİK SAYISAL MANTIK GEOMETRİ Konu Anlatımı Pratik Bilgiler Sınavlara En Yakın Özgün Sorular ve Açıklamaları Çıkmış Sorular ve Açıklamaları
Editörler: Kenan Osmanoğlu / Kerem Köker KPSS LİSE VE ÖN LİSANS MATEMATİK - SAYISAL MANTIK - GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ISBN 978-605-318-992-3 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ye aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz. Bu kitapta yer alan geçmiş yıllarda ÖSYM'nin yapmış olduğu sınavlardaki ÇIKMIŞ SORULAR'ın her hakkı ÖSYM'ye aittir. Hangi amaçla olursa olsun, tamamının veya bir kısmının kopya edilmesi, fotoğraflarının çekilmesi, herhangi bir yolla çoğaltılması ya da kullanılması, yayımlanması ÖSYM'nin yazılı izni olmadan yapılamaz. Pegem Akademi Yayıncılık telif ücreti ödeyerek bu izni almıştır. 8. Baskı: 2017, Ankara Yayın-Proje: Özge Işıkcı Dizgi-Grafik Tasarım: Kezban Yanık Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı Baskı: Vadi Grup Ciltevi A.Ş. İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 2284 Sokak No:105 Yenimahalle/ANKARA (0312 394 55 91) Yayıncı Sertifika No: 14749 Matbaa Sertifika No: 26687 İletişim Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA Yayınevi: 0312 430 67 50-430 67 51 Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60 Dağıtım: 0312 434 54 24-434 54 08 Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38 Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60 İnternet: www.pegem.net E-ileti: pegem@pegem.net
SUNU Değerli Adaylar; Bu kitap Kamu Personeli Seçme Sınavı (KPSS) Lise ve Önlisans Genel Yetenek Testinde önemli bir yer tutan "Matematik, "Sayısal Mantık" ve "Geometri" kapsamındaki 30 soruyu etkili bir şekilde çözebilmeniz amacıyla hazırlanmıştır. Kitap, sorulmuş ve sorulması olası soruların titizlikle incelenmesiyle meydana getirilmiştir. Kitapta; bölümlerin sınav formatına uygun ve soru çözümünü kolaylaştıracak bir şekilde ele alınmasına ve bilgilerin açık ve anlaşılır bir dille ifade edilmesine özen gösterilmiştir. Her ünitenin sonunda, - çıkmış sorulara ve - cevaplı testlere yer verilmiştir. Bu kitabın hazırlanmasında yardım, destek ve katkılarını esirgemeyen tüm meslektaşlarımıza, PEGEM AKADEMİ yayınevi ve dershanesi çalışanlarına ve öğrencilerine teşekkürü bir borç biliriz. Bu kitap, uzun bir birikimin ve yoğun bir emeğin ürünüdür. Kitapla ilgili görüş ve önerileriniz bu ürünün niteliğini daha da arttıracaktır. Değerli görüş ve önerilerinizi lütfen bizimle pegem@pegem.net aracılığıyla paylaşınız. Kitabın çalışmalarınızda yararlı olması dileğiyle, KPSS de ve meslek hayatınızda başarılar. Editörler: Kenan Osmanoğlu Kerem Köker
İÇİNDEKİLER Matematik TEMEL KAVRAMLAR Küme...1 Kümenin Elemanı ve Eleman Sayısı...1 Kümelerin Gösterilişi...1 Boş Küme...2 Sayı Kümeleri...2 Tek - Çift Tamsayılar...3 Tam Sayılarda İşlemler...3 İşlem Önceliği...6 Rasyonel Sayılar...6 Rasyonel Sayılarda İşlemler...6 Harfli İfadeler...7 Denklemler...8 Çözüm Kümesi Bulma...8 İkili...10 Sıralama...10 Eşitsizlik... 11 Oran Orantı... 11 Ortak Paranteze Alma...12 Cevaplı Test 1...13 Cevaplı Test 2...15 SAYILAR Rakam...17 Sayı...17 Doğal Sayılar...18 Tam Sayılar...21 Tek ve Çift Tam Sayılar...23 Pozitif ve Negatif Sayılar...25 Ardışık Sayılar...27 Basamak Analizi...32 Çözümleme...38 Asal Sayı...41 Aralarında Asal Sayılar...42 Faktöriyel...43 Cevaplı Test 1...47 Cevaplı Test 2...49 Cevaplı Test 3...51 Cevaplı Test 4...53 Cevaplı Test 5...55 Cevaplı Test 6...57 Çıkmış Sorular...59 BÖLME-BÖLÜNEBİLME KURALLARI Bölme...60 Bölünebilme Kuralları...65 2 ile Bölünebilme...65 3 ile Bölünebilme...65 4 ile Bölünebilme...65 5 ile Bölünebilme...66 7 ile Bölünebilme...67 8 ile Bölünebilme...67 9 ile Bölünebilme...68 10 ile Bölünebilme...69 11 ile Bölünebilme...69 Cevaplı Test - 1...71 Cevaplı Test - 2...73 ASAL ÇARPANLARA AYIRMA EBOB EKOK Asal Çarpanlara Ayırma...75 Bir Tam Sayının Bölenleri...76 Bir Tam Sayının Bölenleri Toplamı...78 En Büyük Ortak Bölen (EBOB)...79 En Küçük Ortak Kat (EKOK)...82 Cevaplı Test - 1...87 Cevaplı Test - 2...89 Cevaplı Test - 3...91 Çıkmış Sorular...93 DENKLEMLER Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler... 94 Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler... 96 Denklem Sistemi...97 a. Yok Etme Metodu...97 b. Yerine Koyma Metodu...98 Özel Denklemler...99 Cevaplı Test - 1...102 Cevaplı Test - 2...104 v
İçindekiler RASYONEL SAYILAR Rasyonel Sayılar...106 Kesir ve Kesir Türleri...106 Kesir...106 Basit Kesir...106 Bileşik Kesir...106 Tam Sayılı Kesir...107 Sabit Kesir...107 Denk Kesir...108 Rasyonel Sayılarda Dört İşlem...109 1. Toplama İşlemi...109 2. Çıkarma İşlemi...109 3. Çarpma İşlemi...109 4. Bölme İşlemi...109 5. Kuvvet Alma... 110 6. İşlem Önceliği... 110 Ondalık Kesirler... 112 Ondalık Sayılarda Dört İşlem... 113 Devirli Ondalık Açılımlar... 115 Devirli Ondalık Sayıyı Rasyonel Sayıya Çevirme... 115 Rasyonel Sayılarda Sıralama... 117 İki Rasyonel Sayı Arasındaki Sayıları Yazma... 119 Cevaplı Test - 1...120 Cevaplı Test - 2...122 Çıkmış Sorular...124 EŞİTSİZLİKLER Basit Eşitsizlikler...125 Özellikleri...125 Reel (Gerçel) Sayı Aralıkları...128 Kapalı Aralık...128 Yarı Açık Aralık...128 Açık Aralık...129 Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler... 129 Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi...130 Cevaplı Test 1...133 Cevaplı Test 2...135 Çıkmış Sorular...137 MUTLAK DEĞER Mutlak Değer...138 Özellikleri...139 Cevaplı Test...145 Çıkmış Sorular...147 ÜSTLÜ SAYILAR Özellikleri...149 Üstlü Sayılarda Dört İşlem...151 1. Toplama Çıkarma...151 2. Çarpma...152 3. Bölme...153 Üstlü Sayılarda Denklemler...155 Üstlü Sayılarda Eşitsizlikler ve Sıralama...157 Cevaplı Test - 1...159 Cevaplı Test - 2...161 Çıkmış Sorular...163 KÖKLÜ SAYILAR Köklü Sayılar...165 Köklü Sayıların Özellikleri...165 Köklü Sayılarda Dört İşlem...169 1. Toplama-Çıkarma...169 2. Çarpma...170 Kök Kuvvetli Aynı Olan Köklü İfadelerin Çarpılması...170 3. Bölme...171 Kök Kuvvetleri Farklı Olan Köklü İfadelerin Bölünmesi...171 Kök Dışındaki Bir Sayının Kök İçine Alınması... 173 Eşlenik...174 İç İçe Sonlu Kökler...176 İç İçe Sonsuz Kökler...177 A 2 B Ifadesinin Kök Dışına Çıkarılması...179 Köklü Sayılarda Sıralama...181 Köklü Sayılarda Denklem Çözme...182 Cevaplı Test - 1...183 Cevaplı Test - 2...185 Çıkmış Sorular...187 vi
İçindekiler ÇARPANLARA AYIRMA Çarpanlara Ayırma...189 1. Ortak Parantez Yöntemi...189 2. Gruplandırma Yöntemi...189 3. ax 2 +bx+c İfadesinin Çarpanlara Ayrılması...190 Özdeşlikler...192 1. İki Kare Farkı...192 2. Tam Kare İfadeler...194 III. Dereceden Özdeşlikler...197 Cevaplı Test 1...199 Cevaplı Test 2...201 Çıkmış Sorular...203 Cevaplı Test 1...251 Cevaplı Test 2...253 Cevaplı Test 3...255 Cevaplı Test 4...257 Cevaplı Test 5...259 Cevaplı Test 6...261 Cevaplı Test 7...263 Cevaplı Test 8...265 Çıkmış Sorular...267 ORAN ORANTI Oran...204 Orantı...204 Orantının Özellikleri...204 Orantı Türleri...207 1. Doğru Orantı...207 2. Ters Orantılı Çokluklar...208 3. Bileşik Orantı...210 Ortalamalar... 211 1. Aritmetik Ortalama... 211 2. Geometrik Ortalama...212 Cevaplı Test - 1...214 Cevaplı Test - 2...216 Çıkmış Sorular...218 PROBLEMLER Denklem Kurma Problemleri...219 Yaş Problemleri...227 Yüzde Problemleri...230 Faiz Problemleri...232 Kâr Zarar Problemleri...233 Karışım Problemleri...237 İşçi Problemleri...240 Havuz Problemleri...242 Hareket Problemleri...245 KÜMELER Küme...273 Kümelerin Elemanı ve Eleman Sayısı...273 Kümelerin Gösterimi...273 Küme Çeşitleri...274 Kümelerde İşlem Özellikleri...279 Alt Küme...279 Küme Problemleri...281 Cevaplı Test...283 Çıkmış Sorular...285 FONKSİYON - İŞLEM MODÜLER ARİTMETİK Bağıntı...286 Fonksiyon...286 Test Fonksiyon...290 Bileşke Fonksiyon...292 İşlem...292 İşlem Tabloları...295 İşlemin Özellikleri...295 Modüler Aritmetik...299 Modüler Aritmetiğin Özellikleri...299 Modüler Aritmetikte Denklem Çözümü...304 Cevaplı Test 1...306 Cevaplı Test 2...308 Çıkmış Sorular...310 vii
İçindekiler PERMÜTASYON KOMBİNASYON OLASILIK Saymanın Temel Kuralları...312 Toplama Kuralı...312 Çarpma Yolu ile Sayma...312 Saymanın Temel İlkesi...312 Permütasyon (Sıralama)...314 Tekrarlı Permütasyon...315 Dairesel Permütasyon...317 Kombinasyon (Gruplama)...318 Olasılık...323 Olasılık Fonksiyonu...324 Eş Olumlu Örnek Uzay...324 Olasılık Hesabı...324 Koşullu Olasılık...328 Bağımsız ve Bağımlı Olasılık...329 Cevaplı Test 1...330 Cevaplı Test 2...332 Çıkmış Sorular...334 TABLO VE GRAFİKLER Tablo ve Yorumlama...336 Grafik ve Yorumlama...340 Çizgi Grafik...340 Sütun Grafiği...342 Daire Grafiği...342 Cevaplı Test 1...345 Cevaplı Test 2...348 Çıkmış Sorular...350 SAYISAL MANTIK Sayısal Mantık Problemleri...352 Sayı Örüntüleri...352 Sayı Dizileri...354 Tablo ve Şekil Soruları...357 Akıl Yürütme ve Mantık Soruları...361 Görsel Yetenek...364 Cevaplı Test-1...367 Cevaplı Test-2...369 Cevaplı Test-3...371 Çıkmış Sorular...373 geometri GEOMETRİK KAVRAMLAR VE DOĞRUDA AÇILAR Geometrik Kavramlar...375 Tanımsız Kavramlar...375 Açılar...375 Açının Ölçüsü...375 Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler...375 Açı Ölçü Birimleri...375 Derecenin Alt Birimleri...376 Açı Çeşitleri...376 Dar Açı...376 Dik Açı...376 Geniş Açı...376 Doğru Açı...376 Tam Açı...376 Komşu Açılar...376 Açıortay...376 Tümler Açılar...377 Bütünler Açılar...377 Ters Açılar...378 Paralel İki Doğrunun Bir Kesen ile Yaptığı Açılar...378 Paralel İki Doğrunun Birden Çok Kesen ile Meydana Getirdiği Açılar...378 Kenarları Paralel Açılar...380 Kenarları Dik Açılar...380 Üçgenler...383 Üçgen Çeşitleri...383 Açılarına Göre Üçgenler...383 viii
İçindekiler Kenarlarına Göre Üçgenler...383 Üçgende Temel ve Yardımcı Elemanlar...384 i. Yükseklik...384 ii. Açıortay...384 iii. Kenarortay...384 Üçgende Açılar ile İlgili Özellikler...385 Dik Üçgen...389 Pisagor Teoremi...389 Öklid Bağıntıları...390 Kenarlarına Göre Özel Dik Üçgenler...391 Açılarına Göre Özel Dik Üçgenler...392 Üçgende Açıortay Teoremleri...395 İç Açıortay Teoremi...396 Dış Açıortay Teoremi...397 Üçgende Kenarortay Teoremleri...399 Ağırlık Merkezi...399 Kenarortay Bağıntıları...401 Özel Üçgenler...403 İkizkenar Üçgen...403 Eşkenar Üçgen...406 Üçgende Alan...410 Üçgende Benzerlik...416 Açı Açı Açı Benzerlik Kuralı...416 Tales Teoremi...418 Temel Orantı Teoremi...418 Çapraz Tales Teoremi...419 Kenar Açı Kenar Benzerlik Kuralı...421 Kenar Kenar Kenar Benzerlik Kuralı...421 Üçgende Açı Kenar Bağıntıları...425 Üçgen Eşitsizliği...425 Cevaplı Test (Geometrik Kavramlar)...431 Cevaplı Test (Üçgende Açılar)...433 Cevaplı Test (Dik Üçgen)...435 Cevaplı Test (Üçgende Açıortay Teoremleri)... 437 Cevaplı Test (Üçgende Kenarortay Teoremleri)... 439 Cevaplı Test (Özel Üçgenler-1)...441 Cevaplı Test (Özel Üçgenler-2)...443 Cevaplı Test (Üçgende Alan-1)...445 Cevaplı Test (Üçgende Alan-2)...447 Cevaplı Test (Üçgende Benzerlik-1)...449 Cevaplı Test (Üçgende Benzerlik-2)...451 Cevaplı Test (Üçgende Benzerlik-3)...453 Cevaplı Test (Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları)... 455 ÇOKGENLER VE DÖRTGENLER Çokgenler...457 Dışbükey ve İçbükey Çokgenler...457 Düzgün Çokgen...458 Dörtgenler...463 Dörtgenlerde Alan...465 Parelelkenar-Eşkenar Dörtgen...467 Paralelkenar...467 Paralelkenarda Alan...468 Paralelkenarın Alan Özellikleri...469 Paralelkenarda Uzunluk İle İlgili Özellikler...471 Eşkenar Dörtgen...471 Dikdörtgen - Kare...473 Dikdörtgen...473 Kare...475 Yamuk Deltoid...478 Yamuk...478 İkizkenar Yamuk...481 Dik Yamuk...483 Deltoid...483 Cevaplı Test (Çokgenler)...484 Cevaplı Test (Dörtgenler)...486 Cevaplı Test (Paralelkenar-Eşkanar-Dörtgen)... 488 Cevaplı Test (Dikdörtgen-Kare)...490 Cevaplı Test (Yamuk-Deltoid)...492 ix
İçindekiler ÇEMBER VE DAİRE Çemberde Açı...494 Çemberde Yardımcı Elemanlar...494 Çemberde Yay ve Açı Özellikleri...496 Merkez Açı...496 Çevre Açı...496 Teğet Kiriş Açı...497 İç Açı...498 Dış Açı...498 Çemberde Kiriş Yay Özellikleri...499 Kirişler Dörtgeni...500 Çemberde Uzunluk...501 Bir Noktanın Bir Çembere Göre Kuvveti...501 Kuvvet Ekseni...503 İki Çemberin Ortak Teğetleri...505 İki Çemberin Birbirine Göre Durumları...506 Üçgenin Çemberleri...507 Üçgenin İç Teğet Çemberi...507 Üçgenin Dış Teğet Çemberi...507 Teğetler Dörtgeni...508 Dairede Alan...509 1. Dairenin Alanı ve Çevresi...509 2. Daire Diliminin Alanı...509 3. Çember Yayının Uzunluğu...509 4. Daire Kesmesinin Alanı...510 5. Daire Halkasının Alanı... 511 6. Çemberde Benzerlik... 511 Cevaplı Test (Çemberde Açı)...514 Cevaplı Test (Çemberde Uzunluk)...516 Cevaplı Test (Dairede Alan)...518 ANALİTİK GEOMETRİ Noktanın Analitik İncelenmesi...520 Analitik Düzlem...520 İki Nokta Arasındaki Uzaklık...521 Doğrusal Noktalar...522 Doğrusal Olmayan Noktalar...525 Doğrunun Analitik İncelenmesi...528 Doğrunun Eğim Açısı ve Eğimi...528 Doğrunun Grafiğinin Çizimi...530 Doğrunun Denklemleri...530 Özel Doğrular...533 İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları (Paralelliği ve Dikliği)...533 Doğru Demeti...535 Simetriler...538 Noktanın Simetriği...538 Doğrunun Simetriği...541 Eşitsizlikler...544 Cevaplı Test...546 KATI CİSİMLER Prizma...548 Dikdörtgenler Prizması...549 Küp... 551 Silindir... 551 Dönel Silindir... 552 Piramit... 554 Düzgün Piramit... 554 Kesik Piramit... 555 Koni... 556 Küre... 557 Cevaplı Test - 1... 558 Cevaplı Test - 2... 560 Geometri Çıkmış Sorular... 562 x
Temel Kavramlar Bu bölümde yer verdiğimiz başlıkların bir kısmı KPSS de direkt olarak sorulan konulara dair değildir. Buradaki amacımız diğer konuların daha iyi anlaşılabilmesi için bazı temel bilgileri hatırlatmak ve işlem yeteneğinin gelişmesini sağlamaktır. Değindiğimiz konuların bir kısmı ilerleyen bölümlerde daha detaylı bir şekilde işlenecektir. Bu bölüm daha çok sözel bölümlerden mezun olan arkadaşlarımıza yönelik hazırlanmıştır. KÜME Net olarak tanımlanmış canlı veya cansız varlıkların oluşturduğu topluluğa küme denir. Kümeler A, B, C, D, E, gibi büyük harflerle isimlendirilir. Pegem kelimesinin harfleri bir küme oluşturur. Haftanın bazı günleri cümlesi bir küme oluşturmaz. Çünkü kümeyi oluşturacak günler net olarak söylenmemiştir. KÜMENİN ELEMANI VE ELEMAN SAYISI Kümeyi oluşturan canlı ve cansız varlıklara kümenin elemanları denir. Kümenin elemanı olan nesneler! sembolü ile kümenin elemanı olmayan nesneler ise g sembolü ile gösterilir. Bir kümeyi oluşturan nesne veya varlıkların sayısına kümenin eleman sayısı denir. Bir A kümesinin n tane elemanı varsa s(a) = n şeklinde gösterilir. 1 sayısı A kümesinin elemanı ise 1! A 2 sayısı A kümesinin elemanı değil ise 2 g A şeklinde gösterilir. KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ 1) Liste Yöntemi Kümenin elemanlarının aralarına, konarak { } parantezi içine yazılmasına kümelerin liste biçiminde gösterilişi denir. Liste yönteminde virgülle ayrılan her nesne kümenin bir elemanıdır. ÖRNEK A = {a, b, {c}, {d, e}, f} kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 Çözüm: A kümesinin elemanlarını yazacak olursak a! A, b! A, " c,! A, " de,,! A, f! A olmak üzere A kümesinin eleman sayısı 5 dir. Dolayısıyla s(a) = 5 bulunur. UYARI Bir küme yazılırken eğer yazılan elemanlar arasında aynı olanlar varsa bu elemanlar kümeye bir kez yazılır. ÖRNEK PEGEM kelimesinin harflerinin oluşturduğu kümenin eleman sayısı kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 Çözüm: PEGEM kelimesinin oluşturduğu küme A kümesi olsun. Küme yazılırken ortak olan elemanlar bir kez yazılacağından A = {P, E, G, M} olur. Dolayısıyla sa ( ) = 4 bulunur. ÖRNEK A = " Kerem, kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Çözüm: Liste yönteminde elemanlar virgüllerle ayrılır. Kümeyi inceleyecek olursak virgülle ayrılan eleman olmadığı için kümenin eleman sayısı s(a) = 1 bulunur. 1
Temel Kavramlar 2) Ortak Özellik Yöntemi Kümenin elemanlarının taşıdıkları ortak özellikler belirtilerek { } parantezi içine yazılmasına kümenin ortak özellik yöntemi ile gösterilişi denir. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 gibi tek haneli sembollere rakam denir. Yüzden küçük doğal sayıların kümesi A = {x x < 100 ve x N} şeklinde gösterilir. SAYI Rakamların tek başlarına veya bir çokluk oluşturacak şekilde bir araya gelmesiyle oluşan ifadelere sayı denir. 3) Venn Şeması Kümenin elemanlarının yanlarına konarak kapalı bir şeklin içine yazılmasına kümenin venn şeması ile gösterilişi denir. A = {a, b, c, d} kümesini venn şeması ile gösterilişi şekildeki gibidir. 3 hem rakam hem de bir sayıdır. 16 iki rakamdan oluşan bir sayıdır. 348 üç rakamdan oluşan bir sayıdır. -7415 dört rakamdan oluşan negatif bir sayıdır. a b c d SAYI KÜMELERİ 1) Sayma Sayıları Kümesi " 123,,,..., kümesine sayma sayıları kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir sayma sayısı denir. Sayma sayıları kümesi " N + " sembolü ile gösterilir. BOŞ KÜME Elemanı olmayan içi boş olan kümeye boş küme denir. Boş küme Q veya { } sembolleri ile gösterilir. 2) Doğal Sayılar Kümesi " 0123,,,,..., kümesine doğal sayılar kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir doğal sayı denir. Doğal sayılar kümesi IN sembolü ile gösterilir. Yılın S harfi ile başlayan ayları cümlesinin oluşturduğu küme boş kümedir. NOT Bir kümenin elemanlarının yerlerinin değişmesi kümeyi değiştirmez. Yani kümenin elemanları farklı şekillerde sıralanabilir. A = {a, b, c} kümesinin elemanlarının yerleri değiştirilirse A kümesi değişmez. A = " a, bc,, = " bac,,, = " cab,,, =... gibi. 3) Tam Sayılar Kümesi "...,-3,-2,- 1, 0123,,,,..., kümesine tam sayılar kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir tam sayı denir. Tam sayılar kümesi Z sembolü ile gösterilir. Tam sayılar kümesi üç kümenin birleşimi olarak ifade edilir. Bu alt kümeleri inceleyecek olursak; a) Negatif Tam Sayılar Kümesi Sayı doğrusu üzerinde sıfırın solunda olan yani sıfırdan küçük sayılara negatif tam sayılar bu sayıların oluşturduğu kümeye negatif tam sayılar kümesi denir. Negatif tam sayılar kümesi " Z - " sembolü ile gösterilir. - Z = "...,-3,-2,-1, dir. 2
Temel Kavramlar NOT Negatif tam sayılar sıfıra yaklaştıkça büyürler. Dolayısıyla en büyük negatif tam sayı 1 dir. b) Pozitif Tam Sayılar Kümesi Sayı doğrusu üzerinde sıfırın sağında olan yani sıfırdan büyük sayılara pozitif tam sayılar bu sayıların oluşturduğu kümeye pozitif tam sayılar kümesi denir. Pozitif tam sayılar kümesi " Z + " sembolü ile gösterilir. + Z = " 1, 23,,..., dir. NOT TEK VE ÇİFT TAM SAYILAR a) Tek tam sayılar İki ile tam bölünemeyen sayılara tek tam sayılar denir. Tek tam sayılar kümesi "...-5,-3,- 1, 135,,,..., şeklinde gösterilir. Tek tam sayıların genel formülü n bir tam sayı olmak üzere 2n 1 dir. b) Çift tam sayılar İki ile tam bölünen sayılara çift tam sayılar denir. Çift tam sayılar kümesi "...-4,-2, 024,,,..., şeklinde gösterilir. Çift tam sayıların genel formülü n bir tam sayı olmak üzere 2n dir. Pozitif tam sayılar sıfıra yaklaştıkça küçülürler. Dolayısıyla en küçük pozitif tam sayı 1 dir. c) Sıfır bir tam sayıdır, fakat işaretsizdir. Yani pozitif ya da negatif tam sayı değildir. 4) Rasyonel Sayılar Kümesi a ve b birer tam sayı ve b! 0 olsun. İki tam sayının bölümü şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir. Rasyonel sayılar kümesi " Q " sembolü ile gösterilir. Q = " b a : a, b Z ve b 0- şeklinde yazılır. 2 17 6, -,, 14, - 1,... birer rasyonel sayıdır. 5 19 13 5) İrrasyonel Sayılar Kümesi Rasyonel olmayan sayılara yani iki tam sayının bölümü şeklinde yazılamayan sayılara irrasyonel sayılar denir. İrrasyonel sayılar kümesi Qʹ sembolü ile gösterilir., 5, 7 5 2, 1 -, g birer irrasyonel sayıdır. 3 2 6) Reel (Gerçel, Gerçek) Sayılar Kümesi Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşim kümesine Reel sayılar kümesi denir. Reel sayılar kümesi R ile gösterilir. R = Q, Q ı şeklinde ifade edilir. UYARI Çift tam sayılar pozitifte olabilir, negatifte olabilir, sıfırda olabilir. Tek tam sayılar pozitifte olabilir, negatifte olabilir. TAM SAYILARDA İŞLEMLER Toplama işlemi a) Aynı işaretli sayıların toplanması İşaretleri aynı olan tam sayılar toplanırken önce sayı değerleri toplanır. Sonra toplama sayıların ortak işareti verilir. 32 + 14 + 29 işleminde Sayılarının hepsi pozitif ( + ) olduğundan sayı değerleri toplanır. Bulunan toplamın işareti + olur. Buradan 32 + 14 + 29 = 75 bulunur. -45-11 - 73 işleminde Sayıların hepsi negatif (-) olduğundan sayı değerleri toplanır. Bulunan toplamın işareti "- " olur. Buradan -45-11 - 73 =- ( 45 + 11 + 73) =-129 bulunur. 3
Temel Kavramlar b) Zıt İşaretli Sayıların Toplanması (Çıkarma İşlemi) İşareti farklı olan tam sayılar toplanırken sayı değeri büyük olandan sayı değeri küçük olan çıkarılır. Bulunan toplama, sayı değeri büyük olan sayının işareti verilir. Çarpma İşlemi Tam sayılarda çarpma işlemi yapılırken önce işaretler çarpılıp çarpımın işareti bulunur. Sonra sayı değerleri çarpılır. UYARI - 65 + 93 işleminde Sayıların biri ( ) diğeri (+) işaretli olduğundan sayı değeri büyük olandan yani 93 den sayı değeri küçük olan yani 65 çıkarılır. Bulunan toplamın sonucu 93 ün işareti yani (+) olur. Buradan - 65 + 93 = 28 bulunur. Aynı işaretli sayıların çarpımı daima pozitiftir. Yani ( + ) $ ( + ) =+ (-) $ (-) =+ Zıt işaretli sayıların çarpımı daima negatiftir. Yani ( - ) $ ( + ) =- ( + ) $ (-) =- 124-175 işleminde Sayılar zıt işaretli ve 175 > 124 olduğundan 175 den 124 çıkarılır. Bulunan toplama, 175 in işareti yani (-) işareti verilir. Buradan 124-175 =- 51 bulunur. (-5) $ (- 23) = 115 (- 12) $ ( 11) =-132 ( 18) $ ( 12) = 216 NOT NOT Toplama işleminde sayıların yerlerini değiştirmek işlemin sonucunu değiştirmez. Yani a- b =- b+ a dır. - 354 + 195 işleminde sayıların yerlerinin değişmesi işlemin sonucunu değiştirmez. Buradan - 354 + 195 = 195-354 =- 159 bulunur. Parantez dışındaki bir işlem parantez içerisine dağıtılırken işaretler çarpılır. Bölme İşlemi Tam sayılarda bölme işlemi yapılırken önce işaretleri bölünüp bölümün işareti bulunur. Sonra sayı değerleri bölünür. UYARI NOT İşlemde birkaç sayı varsa önce işareti aynı olanlar kendi aralarında toplanarak ifade düzenlenir. Aynı işaretli sayıların bölümü daima pozitiftir. Yani ( + ) :( + ) =+ (-) :(-) =+ Zıt işaretli sayıların bölümü daima negatiftir. Yani (-) :( + ) =- ( + ) :(-) =- 36-73 + 86-118 işleminde iki tane pozitif ( + ), iki tane negatif (-) sayı olduğundan önce bu sayılar kendi aralarında toplanarak işlem düzenlenir. Sonra bulunan zıt işaretli sayılar toplanır. 36-73 + 86-118 = 36+ 86-73 - 118 = 122-191 =- 69 bulunur. (- 68) :( 17) =-4 120 : 12 = 10 (- 111) :( 37) =-3 (-180) :(- 15) = 12 4