OYUNLAR KURAMI Giriş Günlük hayatta karşılaşılan bazı sorunlarda değişkenlerin tümü kontrolümüz altında olmayıp iki ya da daha fazla tarafça da kontrol edilebilir. Yani değikenlerden bir kısmı bizim, diğer kısmı da başkalarının kontrolu altında olabilir. u tür sorunlara örnek olarak salon oyunları, politik kampanyalar, reklam ve pazarlama kampanyaları, savaşlar verilebilir. u tür sorunlarda herhangi bir tarafın alacağı sonuç yalnız kendisinin vereceği karara değil, karşısındakilerin vereceği karara da bağlıdır. u durumda problemin çözümü için yeni bir kural aranmalıdır. u kural kazancı max. yapmak, eğer kazanma şansı yoksa kaybı min. yapmaktır. u tür sorunları inceleyen ve yukarıdaki kuralı gözönünde bulundurarak çözüm yöntemleri geliştiren yöneylem araştırması dalına oyunlar kuramı denir. Oyunlar kuramı 1940 yılında matematikçi Neumann ve ekonomist Morgenstern tarafından geliştirilmiştir. İşletme ve ekonomi kaynaklarında oyun, zamanla ortaya çıkacak olan belli ödemeleri önceden kestirmek için karar vermek zorunda olan tarafların yani oyuncuların yarar çatışmalarını veya rekabetlerini yansıtır. Kuram, matematik yönüyle tarafların seçeneklerini formüle etmeyi amaçlar. Oyunlar kuramının etkin uygulama alanı olarak savaş ve askeri problemler gösterilibilir. İşletme problemlerinden örnekler ise rekabete dayanan problemlerdir. Teklif verme politikasının saptanması, reklam planları, satınalma politikasının belirlenmesi, sermaye planlaması, yeni mamuller arasından seçim yapma, talebin belirsiz olması halinde üretim programlaması v.s. gibi. Oyunlar Kuramındaki Tanımlar azı şahısların, kurumların, devletlerin, devlet yapılarının ya da orduların bir olayda yararlarının karşılaşması halinde aralarında bir oyun oynanmaktadır denir. Tarafların oynamayı kabul ettikleri ya da oynamak zorunda kaldıkları taktirde oyun başlar. Oyuna katılan tarafların herbirine oyuncu denir. ir oyunda oyuncu sayısı iki ve oyun sonunda oyunculardan birinin kaybı diğerinin kazancına eşitse bu tür oyunlara sıfır toplamlı iki kişilik oyunlar denir. Oyuncuların uygulayabilecekleri mümkün oyun yollarına strateji( veya seçenek ) denir. Stratejiler oyuna katılanlar tarafından tanımlanan bilgilere dayanırlar ve belli bir programa veya politikaya
uyarlar. İki kişilik sıfır toplamlı bir oyunda her oyuncu tek bir strateji seçmek zorundaysa salt strateji, tarafların benimseyeceği strateji sayısı birden fazlaysa karma strateji sözkonusudur. İki kişilik sıfır toplamlı bir oyunda her iki oyuncunun kendisi için en uygun stratejileri uygulayacağı varsayımıyla oyun birçok kez tekrarlanırsa kaybeden tarafın kazanan tarafa ödeyeceği miktarın oyun başına düşen kısmına oyunun değeri denir. Oyunun başlangıcında oyuncular çeşitli stratejilerin uygulanması halinde kazanılacak veya kaybedilecek miktar üzerinde anlaşırlar. İşte iki tarafın tüm mümkün stratejileri için belirlenen bu miktarları toplu halde gösteren çizelgeye kazanç matrisi ya da oyun matrisi veya ödemeler matrisi denir. İki kişilik sıfır toplamlı oyunlarda ( tersi belirtilmedikçe ) genellikle soldaki oyuncunun kazanç matrisi olarak yazılır. Kazanç matrisinde pozitif değerler soldaki oyuncunun kazancı, negatif değerlerse kaybını gösterir. Oyunlar Kuramındaki Varsayımlar Oyuna katılanların sayısı sonludur. Her oyuncu kendisi ve diğer oyuncu için mümkün stratejilerin neler olduğunu ve bu stratejilerin uygulanması sonucunda kazanç veya kaybının ne olacağını bilir. Ancak karşısındakinin hangi stratejiyi uygulayacağını bilemez. Tüm olası davranışlar ölçülebilir niteliktedir. Oyunların kuralları vardır. Oyuncuların bu kurallara uyacağı varsayılır. u kurallar taraflarca bilinir ve aynı şekilde yorumlanır. Oyuncuların uygulayabileceği strateji sayısı sonludur. Oyuncuların akıllı kişiler olduğunu varsayıyoruz. Yani oyuncular kendileri için en uygun stratejileri seçecek niteliktedir. Oyun Matrisinin Oluşturulması İki kişilik sıfır toplamlı oyunları temsil edecek model, bir matris olarak oluşturulur. Oyunculardan birisi matrisin sol tarafına, diğeri de üst tarafına yazılır. Oyuncuların tüm mümkün stratejileri matrisin satır ve sütunları olarak gösterilir. Matrisin elemanları, kesişen stratejilerin değerlendirilmesi sonucunda belirlenen değerlere göre sol tarafdaki oyuncunun kazancı ya da kaybı olarak doldurulur. Örnek : A ve isimli iki oyuncu aralarında bir oyun oynuyorlar. A nın 3 tane P, Q, R ile gösterilen stratejisi, nin ise S ve T ile gösterilen stratejileri bulunsun. Çeşitli stratejiler için yapılacak ödemeler şöyledir :
Seçilen Stratejiler A oyuncusu oyuncusu A ve nin Ödemeleri P S A 20 TL verir P T A 20 TL Q S A 10 TL Q T A 30 TL R S A 10 TL R T A 20 TL Yukarıdaki duruma göre ödemeler matrisi şu şekilde oluşturulur: S T P -20 20 A Q -10 30 R 10 20 ir oyunun çözülmüş olması için oyunun değeri bulunmalı, sol taraftaki oyuncunun oyun başına ortalama kazancının en az oyunun değerine eşit olmasını sağlayacak strateji belirlenmeli, üstteki oyuncunun ortalama kaybının oyun değerinden fazla olmamasını sağlayacak stratejinin olması sağlanmalıdır. Örnek : Ali ile Mehmet bir oyun oynamaktadırlar. Ali, avcunun içinde 1 ya da 2 tane 1 TL saklıyor. Mehmet, Ali nin avcundaki para sayısının tek ya da çift olduğunu bilirse paraları alıyor, bilemezse Ali ye avcundaki paranın tutarını ödüyor. u koşulları yansıtan oyun matrisini yazınız. ( aşağıdaki oyun matrislerinden ilki Mehmet e göre ikincisi ise Ali ye göre oluşturulmuştur. ) Ali Mehmet 1 2 Tek Çift Tek 1-2 1-1 1 Mehmet Ali Çift -1 2 2 2-2
Örnek : Ali ve Mehmet birbirlerinden saklı olarak ( 1 5 ) arasında bir sayı tutup bir kağıda yazıyorlar. Tutulan sayıların hesapları yapılıyor. Toplam çitfse Mehmet, tekse Ali kazanıyor. Kaybeden taraf, kazanan tarafa sayının toplamı kadar para ödüyor. Oyun matrisini yazınız. Ali 1 2 3 4 5 1 2-3 4-5 6 2-3 4-5 6-7 Mehmet 3 4-5 6-7 8 4-5 6-7 8-9 5 6-7 8-9 10 Örnek : irbirine çok yakın mesafede kurulmuş iki şehir var. ölgede toplam nüfusun % 70 i birinci( büyük ) şehirde, geri kalan % 30 u ikinci( küçük ) şehirde yaşamaktadır. irbirine rakip iki firma bu bölgede market açmak istiyor. Firmalardan biri büyük, diğeri küçüktür. Yapılan kestirimler iki firmanın aynı şehirde veya şehire aynı uzaklıkta market açması halinde büyük firmanın o şehirdeki alışverişin % 60 ını büyük firmanın şehire daha yakın olması halinde ise % 80 ini alacak, küçük firmanın şehire daha yakın olması halinde ise büyük firmanın alışverişin % 40 ını alacağını göstermektedir. u durumu yansıtan oyun matrisini kurunuz. KÜÇÜK FİRMA Market büyük Market küçük Şehirde Şehirde X 60 68 ÜYÜK FİRMA Y 52 60 X: Market üyük Şehirde Y: Market Küçük Şehirde Her iki firma büyük şehirdeyse Her iki firma küçük şehirdeyse 100 60 100 60 100 60 100 60 70 x = 42 30 x=18 30 x =18 70 x = 42 üyük firma 42 + 18 = 60 üyük firma 42 + 18 = 60
üyük firma I., küçük firma II. şehirde olsun 100 80 100 40 70 x = 56 30 x =12 üyük firma 56 + 12 = 68 Küçük firma I., büyük firma II. şehirde olsun 100 80 100 40 70 x = 24 70 x = 28 üyük firma 24 + 28 = 52 Örnek : Kırmızı tarafın elinde 3 ulaştırma ve 1 avcı uçağı, mavi tarafın elindeyse 1 tek avcı uçağı var. Kırmızı taraf ulaştırma uçaklarıyla iki adamın ikmalini ikili ve tekli ulaştırma kolları ile yapmakta, avcı uçağı da bu kollardan birine eşlik etmektedir. Mavi tarafsa tek avcı uçağı ile ancak kollardan birine hücum ederek bu harekatı önlemeye çalışmaktadır. Mavi avcı uçağı korunmuş kollara rastlarsa emir gereği hiçbir şey yapmadan dönmekte, korunmamış kola rastlarsa koldaki tüm ulaştırma uçaklarını düşürmektedir. Oyunu yansıtan oyun matrisini kurunuz. MAVİ KIRMIZI Tekli Kolu İkili Kolu Korur Korur Tekli kola hücum 0 1 İkili kola hücum 2 0 Örnek : Oyun matrisi aşağıda verilen oyunu çözünüz. S T P -2-4 A Q -1 3 R 1 2 A oyuncusu hiçbir zaman P stratejisini seçmez. oyuncusu da A oyuncusunun akıllı birisi olduğunu düşünerek S stratejisini seçer. u durumda
oyuncusu stratejisini seçerse 2 TL ve 1 TL alabilir, 1 TL verebilir. u durumda A oyuncusu R stratejisini, oyuncusu ise S stratejisini seçer. öylece A nın kazancı 1 TL, nin kazancı -1 TL olur. Minimax ve Maximin İlkeleri ir önceki problemde A oyuncusu P stratejisi için min. kazanç - 4 TL Q -1 TL R 1 TL dir. Yorum : A oyuncusu minimum değerler içinden en büyüğünü seçer. O halde A oyuncusunun elde edeceği minimum kazançların en büyüğü 1 TL dir. Maximin = 1 oyuncusu ; S stratejisi için max. kayıp 1 TL T 3 TL dir. Yorum : oyuncusu maximum değerler içinden en küçüğünü seçer. Kaybedeceği kazancın en küçüğünü seçmek ister. Minimax = 1 u iki değer iki kişilik sıfır toplamlı oyunlarda birbirine eşittir. NOT : ir oyunda A nın kazançlarının ( satırlarının ) minimumlarının maximumu nin kayıplarının ( sütunlarının ) maximumlarının minimumuna eşitse oyunda tepe noktası ya da eyer noktası vardır denilir. u ortak değerler oyunun değeridir. ir oyunun eyer noktasının olması her iki oyuncunun tam stratejiyi kullanmak zorunda olması demektir. Örnek : I II III IV V I 9 3 1 8 0 Yandaki A oyuncusuna göre bir ödemeler A II 6 5 4 6 7 matrisi verilmiştir.her bir oyuncu için III 2 4 3 3 8 en iyi seçeneği, A ve ye göre oyun IV 5 6 2 2 1 değerlerini bulunuz
Satırların I II III IV V Min. Elemanı I 9 3 1 8 0 0 A II 6 5 4 6 7 4 III 2 4 3 3 8 2 IV 5 6 2 2 1 1 Sütunların Max. elemanı 9 6 4 8 8 A ya göre verilen ödemeler matrisinde her bir satırın en küçük elemanı matrisin sol tarafına ve ye göre ise ödemeler matrisi kayıp değerleri göstermesi nedeni ile herbir sütunun en büyük elemanı matrisin alt tarafına yazılır. u düşünce A yönünden maximin yani kötümserlik kriteri ve yönünden kayıp söz konusu olduğu için minimax( = maliyet tipli karar matrisinde kötümserlik kriteri ) olarak ifade edilir. A için oyun değeri 4 ve için de oyun değerinin 4 olarak bulunması nedeni ile her iki oyuncunun oyundan beklediği değerler ( birinin kazancı diğerinin kaybı olarak düşünüldüğü için ) birbirini karşılamaktadır ve oyunun tepe noktası vardır. A oyuncusu II. stratejiyi, oyuncusu da III. stratejiyi uygular. Maximin = Minimax = 4 = tepe değeri A oyuncusu II. strateji, oyuncusu da III. strateji haricinde hangi stratejiyi seçerse ( uygularsa ) seçsin nin kaybı 4 ün üstünde, A nın kazancı 4 ün altında olacaktır. Örnek : Satırların I II III Min. Elemanları I 1 2 1 1 A II 0-4 -1-4 III 1 3-2 -2 Sütunların Max. Elemanları 1 3 1
Yukarıdaki matriste 1 den fazla yani 2 tane tepe değeri olduğundan bu durumda alternatif çözüm vardır. A(1,0,0) (1,0,0) oyun değeri ( g ) = 1 A(1,0,0) (0,0,1) oyun değeri ( g ) = 1 Örnek : I II III I -1 1 1 A II 2-2 2 oyununu çözünüz. III 3 3-3 u oyunda tepe noktası yoktur. Dolayısıyla bu yolla çözüme ulaşılamaz. Ancak tepe(eyer) noktası olmayan problemlerde de çözüm bulunabilir. u durumda varılacak sonuç oyuncular için bir karma stratejidir. Alt Edilen Satır Sütun İlkesi ( Üstün Seçenekler İlkesi ) Üstünlük stratejisi, oyunda yeğlenen ve diğer stratejilerden bazılarını devre dışı bırakan stratejiler olarak tanımlanır. ir oyun matrisinde bir sütunun tüm elemanları başka bir sütunun karşılıklı elemanlarından küçük veya eşitse bu tür stratejiye üstünlük stratejisi adı verilerek kendinden büyük değerde elemanlı sütunu oyun matrisinden siler. Silinen sütun ve satırlar oyun matrisinden çıkarılarak oyunun çözümüne daha kolayca yaklaşılır. Problemi çözmek için eyer noktasının olup olmadığına bakılır. Yoksa bu yöntem uygulanır. I II III IV I 2 2 3 4 A II 4 3 2 2 oyununun tepe( eyer ) noktası yoktur. İkinci olarak alt edilen satır veya sütunların varlığına bakılır. oyuncusu açısından I. ve IV. sütunlar alt edilirse geriye
2 3 3 2 matrisi kalır. ir oyunda eyer noktası yoksa alt edilen satır ya da sütunların olup olmadığı araştırılır. Örneğimizde oyuncusu I. stratejisini uygularsa A nın I ya da II. stratejisini uygulamasına göre 2 ya da 4 kaybeder. Eğer oyuncusu II. stratejisini uygularsa 2 ya da 3 kaybeder. O halde nin I. stratejisini uygulaması akıllıca bir hareket olmaz. urada II. sütun I. sütunu alt ediyor denir. Aynı şekilde III. ve IV. sütunlar karşılaştırılırsa III. sütunun IV. sütunu alt ettiği görülür. II. ve III. sütunlara alt eden sütunlar, I. ve IV. sütunlara ise alt edilen sütunlar denir. TANIM : Eğer bir sütunun bütün elemanları başka bir sütunun karşılıklı elemanlarından büyük ya da onlara eşitse bu sütuna alt edilen sütun denir. Eğer bir satırın bütün elemanları başka bir satırın karşılıklı elemanlarından küçük ya da onlara eşitse bu satıra da alt edilen satır denilir. Alt edilen satır veya sütunların çıkartılmasıyla oyunun çözümü kolaylaşır. O halde bir oyunun çözümü için önce eyer noktası aranmalı, ikinci olarak alt edilen satır ve sütunların olup olmadığına bakılmalıdır. Örnek : I II III IV V VI I 4 2 0 2 1 1 yanda verilen ödemeler matrisine II 4 3 1 3 2 2 alt edilen satır sütun ilkesi uygulanırsa A III 4 3 7-5 1 2 geriye nasıl bir ödemeler matrisi kalır. IV 4 3 4-1 2 2 V 4 3 3-2 2 2 Karma Strateji : İki kişili sıfır toplamlı oyunlar için tarafların kesinlikle benimseyeceği alternatif sayısının birden fazla olması halinde karma stratejiler ilkesi uygulanır. Her zaman oyuncular için eyer ( tepe ) noktası eniyi çözümü vermez. u nedenle oyuncular karma stratejiyi izlerler.
Örneğin; I II I -3 7 A ödemeler matrisini ele alalım. urada I ve II II 6 1 tarafların stratejileridir. A ödemeler matrisinin ne tepe noktası, ne de alt edilen satır ve sütunu vardır. A nın I. stratejisini ¼, II. stratejisini de ¾ olasılıkla oynadığını, nin ise I. stratejisini 1/3, II. stratejisini ise 2/3 olasılıkla oynadığını düşünelim. A oyuncusunun beklenen kazancının ne olacağını şöyle hesaplayabiliriz: ( 1 ) İlk olarak oyuncu nin yalnızca I. stratejisini uyguladığı varsayıldığında oyuncu A, oyun süresince ( ¼, ¾ karma stratejisini uygulayarak ) zamanın ¼ ünde -3, zamanın ¾ ünde 6 değerde bir ödeme kazanacaktır. una göre birim zamanda ( oyun başına ) oyuncu A nın beklenen kazancı E(A), -3 ve 6 ödemelerinin ( ¼, ¾ ) strateji karışımına göre ağırlıklı ortalaması olacaktır. E1(A) = ¼ * ( -3 ) + ¾ * ( 6 ) = 15/4 ( 2 ) İkinci olarak oyuncu nin yalnızca II. stratejisini uyguladığı varsayılırsa; bizi ilgilendiren ödemeler, A matrisinin II. sütunu olur. u durumda oyuncu A nın oyun başına beklenen kazancı benzer biçimde şöyle hesaplanır: E2(A) = ¼ * ( 7 ) + ¾ * ( 1 ) = 10/4 ( 3 ) Oyuncu de karma strateji seçerse; bu kez oyuncu A nın kazancı, yukarıda hesaplanan iki beklenen değerin arasında bir değer olarak gerçekleşecektir. nin strateji karışımına göre oyuncu A nın beklenen kazancı; Ek(A) = 1/3 * ¼ * ( -3 ) + ¾ * ( 6 ) + 2/3 * ¼ * ( 7 ) + ¾ * ( 1 ) = 35/12 nin karma strateji uygulaması durumunda A nın beklenen kazancı daha önce hesaplanan iki değer arasında yer alacaktır. E2(A) = 10/4 Ek(A) = 35/12 E1(A) = 15/4
Yukarıdaki sonuçlara göre oyuncu A, karma stratejisini uyguladığında, oyuncu hangi stratejiyi ya da strateji karışımını seçerse seçsin, A nın kazancı 15/4 den çok 10/4 den az olmayacaktır. Öyleyse A oyuncusu 10/4 lük en az kazancını daha da yükseltecek bir strateji saptamalıdır. Örneğin A nın keyfi olarak seçtiği başka bir strateji karışımı için beklenen kazançlar hesaplanabilir. Ancak keyfi olarak strateji karışımını saptamak ve deneme yoluyla bunlardan en iyisini seçmek çok zaman alıcı ve boş yere bir iştir. Dolayısıyla, en iyi strateji karışımını saptamak için geliştirilmiş tekniklerden yararlanılması kaçınılmazdır. u amaçla geliştirilmiş yöntemler şunlardır: - Grafik yöntemi - Cebirsel yöntem - Alt oyunlar yöntemi - Doğrusal programlama yöntemi - Yineleme ( iterasyon ) yöntem, - Matris yöntemi ir oyun probleminin çözümünde uygulanacak en kolay yöntemin seçimi, doğrudan doğruya ödemeler matrisinin boyutlarıyla ilgilidir. ir oyun probleminin çözümü için seçilecek yöntemi belirlemede kullanılacak yaklaşım, şu olmalıdır : 1- Öncelikle, oyunda tepe noktası çözümü olup olmadığı araştırılmalıdır. 2- Tepe noktası çözümü olmayan oyunlarda, zayıf stratejiler elenerek ödemeler matrisinin boyutları indirgenmelidir. m ve n ödemeler matrisinin satır ve sütunlarını oluşturan strateji sayısı olmak üzere yeni matrisin boyutları, a) 2x2 ise cebirsel yöntem b) 2xn ya da mx2 ise grafiksel yöntem c) mxn ise doğrusal programlama yöntemi seçilmelidir. Genel olarak A oyuncusu I. stratejisini x olasılıkla, II. stratejisini ( 1 x ) olasılıkla oynar. ir önceki oyun matrisine göre oyuncusu I. stratejisini uyguladığında oyun değeri ( g1 ); x* ( -3 ) + ( 1-x ) * 6 = 6-9x = g1 olur.
oyuncusunun II. stratejiyi uygulaması durumunda oyun değeri; x * ( 7 ) + ( 1-x ) ( 1 ) = 1 +6x = g2 olur. u durumda A oyuncusu en iyi stratejisini g1 = g2 durumunda uygulamış olacaktır. Sonuçta her iki oyun değerinin birlikte çözülmesiyle x = 1/3 ve 1-x = 2/3 olasılıklarına ulaşılır. Örnek : y 1-y x a b ödemeler matrisini çözünüz. A 1-x c d Ödemeler matrisi ( 2x2 ) boyutlu olduğundan cebirsel yöntemle çözülür. A oyuncusunun stratejilerini hangi olasılıkla oynaması gerektiği şöyle bulunur : ( 1 ) x*a + ( 1- x )*c = a*x +c - c*x = g ( 2 ) x*b + ( 1- x )*d = b*x +d - d*x = g ( 1 ) ve ( 2 ) birlikte çözülürse; x = ( d - c ) / ( a - b + d - c ) 1- x = ( a - b ) / ( a - b + d - c ) ve g = ( a*d b*c ) / ( a - b + d - c ) elde edilir. oyuncusunun stratejilerini hangi olasılıkla oynaması gerektiği şöyle bulunur : ( 3 ) y*a + ( 1- y )*b = y*a +b - b*y = g ( 4 ) y*c + ( 1- y )*d = y*c +d - d*y = g ( 3 ) ve ( 4 ) birlikte çözülürse; y = ( d - b ) / ( a - b + d - c ) 1- y = ( a - c ) / ( a - b + d - c ) ve g = ( a*d b*c ) / ( a - b + d - c ) elde edilir.
İki Kişilik Sıfır Toplamlı Oyunların Genel Çözümü A ve oyuncuları arasında düzenlenen bir oyunda A nın m tane nin n tane stratejisi olsun. 1 2 3..n 1 a11 a12 a13..a1n 2 a21 a22 a23..a2n A 3 a31 a32 a33..a3n.. m am1 am2 am3 amn 1 0. Her dikdörtgen ya da kare matrisli oyunun tek bir g değeri vardır. 2 0. A oyuncusu için öyle bir strateji vardırki bu oyuncu 1, 2,.m. inci stratejilerini sırasıyla x1, x2,.. xm olasılıklarıyla kullanırsa x1 + x2 + xm =1 dir. A oyuncusunun kazancı en az oyunun g değerine eşit olur. u stratejiye A oyuncusunun en iyi stratejisi denir. 3 0. oyuncusu 1, 2,..n. inci stratejilerini y1, y2,.. yn olasılıklarıyla kullanırsa oyuncusu için en iyi strateji, y1 + y2 +,.. yn = 1 olmak üzere nin kaybını en fazla oyunun g değerine eşit kılan stratejidir. Tanım : İki kişilik sıfır toplamlı bir oyunu çözmek A ve nin stratejilerini hangi olasılıklarla oynaması gerektiğini bulmak demektir. Yukarıda genel olarak yazılan matriste A oyuncusu için, x1 + x2 +. xm = 1 x1 a11 + x2 a21 + x3 a31 + +xm am1 g x1 a12 + x2 a22 + x3 a32 + +xm am2 g. x1 a1n + x2 a2n + x3 a3n + +xm amn g
oyuncusu için, y1 + y2 +,.. yn = 1 y1 a11 + y2 a12 + y3 a13 + +yn a1n g y1 a21 + y2 a22 + y3 a23 + +yn a2n g. y1 am1 + y2 am2 + y3 am3 + +yn amn g eşitsizlikleri yazılır. urada ( m + n + 2 ) tane bağıntı, ( m + n + 1 ) tane bilinmeyen vardır. u tür oyunun kesinlikle bir çözümü vardır. Cebirsel Yöntemle Çözüm -3 7 A oyununu cebirsel yöntemle çözünüz. 6 1 x1 + x2 = 1 y1 + y2 = 1-3x1 + 6x2 g 3y1 + 7y2 g 7x1 + x2 g eşitsizlikleri eşitlik olarak şöyle yazılabilir: 6y1 + y2 g -3x1 + 6( 1 - x2 ) = g 7x1 + ( 1 - x1 ) = g eşitlikleri birlikte çözülürse x1 = 1/3, x2 = 2/3, g = 3 elde edilir. 3y1 + 7y2 = g 6y1 + y2 = g eşitlikleri birlikte çözülürse y1 = 2/5, y2 = 3/5 elde edilir. Grafiksel Yöntemle Çözüm Ödemeler matrisi 2xn ya da mx2 boyutlu olduğu zaman başvurulabilecek bir çözüm yöntemidir.
A 4 1 2 3 matrisini ele alalım. nin Stratejileri A nın eklenen Kazancı 1 4x1 + 2 ( 1 - x1 ) = 2x1 + 2 g, x1 = 0 g = 2 = 1 = 4 2 x1 + 3 ( 1 - x1 ) = 3-2x1 g, x1 = 0 g = 3 = 1 = 1 4 4 I. doğru 3 3 2 2 bu alan maxmin bölgesidir 1 1 II. doğru x1 = 0 x1 = 1 Kesişim noktası olan doğrular 2x1 + 2 = 3-2x1 eşitlenirse 4x1 = 1 den x1 ¼, x2 = ¾ A( ¼, ¾ ), g = 10/4 elde edilir. A nın Stratejileri nin Kaybı 1 4y1 + ( 1 - y1 ) g 3y1 + 1 g y1 = 0 g = 1 = 1 = 4 2 2y1 + 3( 1 - y1 ) = 3 - y1 g y1 = 0 g = 3 = 1 = 2
4 4 bu alan minmax bölgesidir 3 3 2 2 1 1 y1 = 0 y1 = 1 3x1 + 1 = 3 - y1 ise, 4y1 = 2 ise, y1 = ½, y2 = ½ ( ½, ½ ) Not : 2xn oyunları için bir genelleme, maksimum noktadan geçmeyen doğruların stratejileri hiç bir zaman oynanmamalıdır. Örnek : A 9 3 4 6-2 3 5-1 nin stratejileri A nın eklenen Kazancı 1 9x1-2(1 - x1 ) = 11x1-2, x1 = 0 g = -2 x1 = 1 g = 9 2-3x1 + 3(1 - x1 ) = 3-6x1, = 0 = 3 = 1 = -3 3-4x1 + 5(1 - x1 ) = 5-9x1, = 0 = 5 = 1 = -4 4 6x1 - (1 - x1 ) = 7x1-1, = 0 = -1 = 1 = 6
I. doğru 9 9 8 8 7 7 IV. doğru 6 6 5 5 4 4 3-6x1 = 7x1-1 3 3-13x1 = - 4 2 2 x1 = 4/13, x2 = 9/13 1 1 g = 15/13 0 0-1 -1-2 -2-3 -3-4 -4 II. doğru III. doğru A nın Stratejileri nin Kaybı 1 9y1-3y2-4y3 + 2y4 + g y1 = y3 = 0 2-2y1 + 3y2 + 5y3 + ( -y4 ) g -3y2 + 6y4 = 15/13 3y2 - y4 = 15/13 ise y4 = 6/13, y2 = 7/13 ( 0, 7/13, 0, 6/13 ) elde edilir. Ödev : A 19 6 7 5 7 3 14 6 12 8 18 4 8 7 13 4 ödemeler matrisini çözünüz.
Doğrusal Programlama İle Çözüm Herhangi bir oyunun tepe noktasına yakın ve üstünlük stratejisini uygulayarak oyunun boyutunu ( mx2 ) veya ( 2xn ) boyutuna indirgeyemediğimizde D.P. yöntemi oyunun çözümünde en iyi yöntem olmaktadır. A ve oyuncuları arasında oynanan bir oyunu ele alalım. Oyun matrisi, a11 a12 a13 a1n a21 a22 a23... a2n am1 am2 am3 amn olsun. A oyuncusu kazancını en az oyunun değeri g den az olmamasını garanti ederken oyuncusu da g den fazla olmayan bir ödemeyi sağlamaya çalışacaktır. A oyuncusunun stratejilerini p1,p2,.pm olasılıklarıyla, oyuncusunun da stratejilerini q1,q2, qn olasılıkları veya frekansları ile seçtiğini düşünelim. p1 + p2 + pm = 1 ve q1 + q2 +. qn = 1 dir. una göre Max. x0 = g p1 a11 + p2 a21 + p3 a23 + +pm am1 g p1 a12 + p2 a22 + p3 a32 + +pm am2 g. p1 a1n + p2 a2n + p3 a3n + +pm amn g p1 + p2 +. pm = 1 ve pi 0, i = 1,.m x1 = p1/g, x2 = p2 /g,,xm = pm /g olarak ele alırsak, A oyuncusu için bütün eşitsizlikleri 1 e eşit şekle dönüştürebiliriz.
Max. x0 = g x1 a11 + x2 a21 + +xm am1 1 x1 a12 + x2 a22 + +xm am2 1 ve. x1 a1n + x2 a2n + +xm amn 1 x1 + x2 +. xm = 1/g xi = pi /g 0 i = 1,..m xi = pi /g i = 1,..m olarak belirlediğimizde Max. g = Min 1/g = Min (x1 + x2 + +xm ), problemin son kısıtlayıcısını kullanarak problemi D.P. problemi olarak A oyuncusu için ifade edebiliriz. Oyuncu A nın amacı, beklenen kazancını, bir başka deyişle oyunun çözüm değeri g yi enbüyüklemektir. u amaç, ( 1/g ) nin enküçüklemesiyle aynı anlama gelir. oyuncusu için de D.P. problemi benzer yönde belirlenebilir. Min. Y0 = g q1 a11 + q2 a12 + +qn a1n g q1 a21 + q2 a22 + +qn a2n g. q1 am1 + q2 am2 +.. +qn amn g q1 + q2 +,.. qn = 1 ve qi 0 j = 1,..n yj = qj /g olarak ele alırsak, oyuncusu için D.P. problemi Max. Y0 = 1/g = y1 + y2 +... yn y1 a11 + y2 a12 + +yn a1n 1 y1 a21 + y2 a22 + +yn a2n 1. y1 am1 + y2 am2 +.. +yn amn 1 yj 0 j = 1,..n
u oyuncunun optimal strateji vektörleri de qj = yj *g formülü ile bulunur. Dikkat edilirse oyuncusu için çözülen problemin simpleks çözüm matrisinin aylak ve artık değişkenlerinin altındaki Cj - Zj satırındaki elemanlar A oyuncusunun optimal stratejilerinin değerini yani dual değişken değerlerini vereceğinden problem A oyuncusu için de çözülmüş olur. Örnek : 3 2 3 A 2 3 4 oyununun değerini ve her iki oyuncunun optimal 5 4 2 strateji vektörünü bulunuz. oyuncusu için D.P. problemi Max. Y0 = 1/g = y1 + y2 + y3 3y1 + 2y2 + 3y3 1 2y1 + 3y2 + 4y3 1 5y1 + 4y2 + 2y3 1 y1, y2, y3 0 aşlangıç Simpleks Tablosu Ci Temel Çözüm y1 y2 y3 S1 S2 S3 0 S1 1 3 2 3 1 0 0 0 S2 1 2 3 4 0 1 0 0 S3 1 5 4 2 0 0 1 Zj 0 0 0 0 0 0 0 Cj - Zj.. Son Simpleks Tablosu Ci Temel Çözüm y1 y2 y3 S1 S2 S3 0 S1 1/16 0-19/16 0 1-9/16-3/8 1 y3 3/16 0 7/16 1 0 5/16-1/8 1 y1 1/8 1 5/8 0 0-1/8 1/4 Zj 5/16 1 17/16 1 0 3/16 1/8 Cj - Zj 0-1/16 0 0-3/16-1/8
y1 = 1/8 y3 = 3/16 g = 1/Y0 = 16/5 = 3.2 oyuncusunun gerçek optimal stratejileri q1 = y1 *g = 0.4, q3 = y3 * g = 0.6 olarak bulunur. Yorum : oyuncusu % 40 oranında I. stratejisini ve % 60 oranında III. Stratejisini uygularsa rakibinin yani A oyuncusunun kabul edebileceği bir düzeyde oyun değerni belirlemiş olacaktır. oyuncusu için stratejiler vektörünü saptayan optimal simpleks çözüm matrisinin primal-dual ilişkileri gözönüne alınarak, A oyuncusunun stratejiler vektörü de bulunur. Primal problemin optimal simpleks çözümünde aylak değişkenlerin altındaki Cj - Zj satırındaki elemanlar ters işaretli olarak dual problemin temel değişkenlerinin değerleri olmaktadır. Dual değişken değerler A oyuncusunun optimal stratejileri olacaktır. x1 = 0, x2 = 3/16 ve x3 = 1/8 olurken, x0 = 5/16, g = 1/x0 = 16/5 = 3.2 olmaktadır. A oyuncusunun gerçek optimal stratejilerinin vektörü ise, p2 = 3/16 * 16/5 = 0.6 p3 = 1/8 *16/5 = 0.4 Öte yandan oyun matrisindeki elemanların çoğu negatif değerli ise bu oyun matrisine ( c ) gibi pozitif değerli sayı eklenerek matris elemanları pozitif değerli yapılabilir. u elde edilen matris elemanlarının değerleri bij = aij +c olur ve bu matrise düzenlenmiş matris adı verilir. Düzenlenmiş matristen yararlanarak her iki oyuncunun optimal strateji vektörleri bulunur ki, bu vektörler asıl oyun matrisinin optimal strateji vektörleridir. Oyun değeri ise g * = g c = 1/Y0 - c dir. Örnek : 0 1-2 A -1 0 1 oyunun değerini ve her iki oyuncunun 2-1 0 optimal stratejilerini bulunuz.