TRİGONMETRİK FONKSİYONLAR: DİK ÜÇGEN YAKLAŞIMI Diyelim ki yeryüzünden güneşe olan mesafeyi bulmak istiyoruz. Şerit metre kullanmak açıkçası pratik değildir. Bu nedenle bu sorunun üstesinden gelmek için basit ölçümlerden başka bir şeye ihtiyacımız var. Örneğin, güneş, yeryüzü ve ayın oluşturduğu açıyı, yalnızca bir kolla güneşi, diğeriyle ayı işaret ederek aralarındaki açıyı tahmin ederek bulabiliriz. Anahtar fikir, açılar ve mesafeler arasındaki ilişkileri bulmaktır. Mesafeleri açılardan belirlemenin bir yolu olsaydı, güneşe olan mesafeyi orada bulmadan bulabilirdik. Trigonometrik fonksiyonlar bize ihtiyacımız olan araçları sağlar., dik üçgenin bir açısı ise, o zaman trigonometrik oran sin, 'nin karşı tarafının uzunluğu nun hipotenüsün uzunluğuna bölünmesi olarak tanımlanır. Bu oran, güneş, dünya ve ayın oluşturduğu büyük üçgen dahil olmak üzere, herhangi bir benzer dik üçgen içinde aynıdır. (bkz. Bölüm 6.2, Exercise 61.). Trigonometrik fonksiyonlar iki farklı fakat eşdeğer yollarla tanımlanabilir: gerçek sayıların fonksiyonları (Bölüm 5) veya açıların fonksiyonları (Bölüm 6). İki yaklaşım birbirinden bağımsızdır, bu nedenle Bölüm 5 veya Bölüm 6 ilk önce incelenebilir. Farklı uygulamalar için farklı yaklaşımlar gerektiğinden burada her iki yaklaşımı da inceliyoruz 6.1 AÇI HESAPLAMASI Bir açı AOB, ortak bir tepe noktası O olan iki ışın R1 ve R2'den oluşur (bkz. Şekil 1). Genellikle, bir açı; R1 ışınının R2 üzerine dönüşü olarak yorumlanır. Bu durumda, R1 başlangıç taraf olarak adlandırılır ve R2 açının terminal (bağlantı tarafı) tarafı olarak adlandırılır. Eğer dönüş saat yönünün tersine olursa, açı pozitif olarak kabul edilir ve eğer saat yönünde döndürülürse açı negatif kabul edilir.
Açı Hesaplaması Bir açının ölçüsü, R 1 'in R 2 'ye taşınması için gereken tepe noktasındaki dönme miktarıdır. Sezgisel olarak açı ne kadar açılır. Açılar için bir ölçü birimi derecedir. 1 derece açı, başlangıçtaki tarafın tam devirin 1/60'ını döndürerek oluşturulmuştur. Calculus ve diğer matematik dallarında açıları ölçmek için kullanılan doğal yöntem radyan ölçüsüdür. Bir açının açtığı miktar, merkezinin açının tepesindeki yarıçapı 1 olan bir çemberin yay boyunca ölçülür. RADYAN ÖLÇÜMÜNÜN TANIMI: Yarıçapı 1 olan çember; merkezindeki bir açının tepe noktasından çizilirse, bu açı radyan cinsinden ölçümdür ve (kısaltılmış rad) açıyı belirleyen yayın uzunluğu olur. (Bkz. Şekil 2) Yarıçapı 1 olan çemberin çevresi 2'dir ve tam bir dönüm 2 rad ölçüsüne sahiptir, düz açı rad ölçüsüne sahiptir ve dik açı / 2 rad ölçüsüne sahiptir. Birim çemberi boyunca 2 uzunluğunda bir yay tarafından kapsanan bir açı radyan ölçüsü 2'ye sahiptir ( Bkz. Şekil ).
Derece olarak ölçülen tam devir 60 ve radyan cinsinden 2 rad olduğu için, bu iki açı ölçüm yöntemi arasında aşağıdaki basit ilişkiyi elde ederiz. DERECE VE RADYAN ARASINDAKI İLİŞKİ 1. Dereceyi radyana dönüştürmek için ile çarpılır. 2. Radyanı dereceye dönüştürmek için ile çarpılır. Bir radyanın boyutu hakkında fikir edinmek için, 1 rad = 57.296 ve 1 0.01745 rad açısının 1 radyan ölçümü Şekil 4'te gösterilmiştir. ÖRNEK 1: Radyan ve Derece Arasında Dönüştürme (a) 60 i radyan cinsinden ifade ediniz. (b) 6 rad ı derece cinsinden ifade ediniz. ÇÖZÜM: Terminoloji ile ilgili bir not: Ölçüsü 0 olan bir açı anlamına gelmek için sıklıkla "0 açı" gibi bir cümle kullanırız. Sayfa 45
6.2 DİK ÜÇGENLERİN TRİGONOMETRİSİ Trigonometrik Oranlar, Özel Üçgenler, Dik Üçgenlerin Trigonometrilerinin Uygulamaları Bu bölümde, dik üçgenlerin kenarlarının trigonometrik oranlar olarak adlandırılan belirli oranlarını incelenecektir ve çeşitli uygulamaları yapılacaktır. Trigonometrik Oranlar Dar açılarından biri olan dik üçgeni düşünün. Trigonometrik oranlar aşağıdaki gibi tanımlanmıştır (bkz. Şekil 1) Hipotenüs Karşı Komşu ŞEKİL 1 TRİGONOMETRİK ORANLAR karşı sin hipotenüs hipotenüs csc karşı komşu cos hipotenüs hipotenüs sec komşu karşı tan komşu komşu cot karşı Bu oranlar için kullandığımız kısaltmaların tam adları: sinüs, kosinüs, tanjant, kosekant, sekant, kotanjant dır. açısına sahip herhangi bir iki dik üçgen benzer olduğu için, bu oranlar üçgenin boyutuna bakılmaksızın aynıdır; trigonometrik oranlar sadece açısına bağlıdır (bkz Şekil 2).
ŞEKİL 2 ÖRNEK 1: Trigonometrik Oranların Bulunması Şekil 'teki açısının altı trigonometrik oranları bulunuz. ŞEKİL ÇÖZÜM: 2 sin cos 5 tan 2 5 csc 2 sec 2 cot ÖRNEK 2: Trigonometrik Oranların Bulunması cos ise dar açı a sahip dik üçgeni çiziniz ve için geri kalan 5 trigonometrik oranı 4 bulunuz. ÇÖZÜM: 5 2 ŞEKİL 4
cos, komşu kenarın hipotenüse oranı olarak tanımlandığından dolayı, hipotenüsün uzunluğu 4 ve komşu kenarın uzunluğu olan bir dik üçgen çizebiliriz. sin 7 4 cos 4 4 csc sec 4 7 Özel Üçgenler tan cot Bazı dik üçgenler, Pisagor teoreminden kolayca hesaplanabilen oranlara sahiptir. Sıkça kullanıldığından bu kısımda bahsedilecektir. İlk üçgen, kare içerisinde 1 nolu tarafta köşegenden çizilerek elde edilir. (bkz Şekil 5). 7 7 ŞEKİL 5 Pisagor teoremine göre köşegen uzunluğu 2 dir. Ortaya çıkan üçgen 45, 45 ve 90 açılarına sahiptir (ya da 4, 4 ve 2 ). Şekil 6 daki gibi ikinci üçgeni elde etmek için, 2 kenar uzunluğuna sahip ABC eşkenar üçgeninin tabanına dik açıortay DB çizebiliriz. Pisagor teoremine göre DB kenarının uzunluğu dür. ABC üçgeninin DB açıortayı olduğu için 0, 60 ve 90 açılarına sahip üçgeni elde ederiz (ya da 6, ve 2 ). ŞEKİL 6 Şimdi Şekil 5 ve 6'daki özel üçgenleri 0, 45 ve 60 ölçülerindeki açılar için trigonometrik oranları hesaplamak için kullanabiliriz (yada 6, 4 ve ). Tabloda listelenmiştir.
TABLO 1 (Özel açılar için trigonometrik oranlar) Bu özel trigonometrik oranların sık kullanıldığı için bilinmesinde fayda vardır. Tabii ki, elde edildiği üçgenleri hatırlarsak, daha kolayca hatırlanabilirler. Diğer açılar için trigonometrik oranların değerlerini bulmak için bir hesap makinesi kullanılabilir. Trigonometrik oranlarda kullanılan matematiksel yöntemler (sayısal yöntemler) doğrudan bilimsel hesap makinelerinde hesaplanabilir. Örneğin, SIN tuşuna basıldığında, hesap makinesi verilen açının sinüs değerine yakın bir değer hesaplar. Hesap makineleri sinüs, kosinüs ve tanjant değerlerini verir; diğer oranlar aşağıdaki karşılıklı ilişkileri kullanarak bunlardan kolaylıkla hesaplanabilir: 1 csct sin t 1 sect cos t 1 cot t tan t Bu ilişkilerin trigonometrik oranların tanımlamasından hemen sonra gelip gelmediğini kontrol etmelisiniz. Sayfa 445 sin t yazdığımızda, radyan ölçüsü t olan açının sinüsünü ifade etmektedir. Örneğin, sin1, radyan ölçüsü 1 olan açının sinüsü anlamına gelir. Bu sayının yaklaşık değerini bulmak için hesap makinesi kullanırken, hesap makinesi radyan moduna ayarlanır. sin1 0.841471 Ölçüsü 1 olan açının sinüsünü bulmak istersek, hesap makinesi derece moduna ayarlanır. sin1 0.0174524 Dik Üçgenlerin Uygulanması Üçgen altı parçaya sahiptir: üç açı ve üç yüzlü. Bir üçgeni çözmek demek, üçgen hakkında bilinen bilgilerin hepsini belirlemek demektir; bir başka ifadeyle, üç tarafın uzunluklarını ve üç açının ölçülerini belirlemektir. ÖRNEK : Dik Üçgenin Çözümü Şekil 7'de gösterilen üçgen ABC'yi çözün.
ÇÖZÜM: Görüldüğü üzere geriye kalan açı 60 dir. a'yı bulmak için, a'yı önceden bildiğimiz uzunluklar ve açılara ilişkilendiren bir denklik ararız. ŞEKİL 7 sin 0 a 12 olduğu bilindiğine göre 1 a 12sin 0 12 6 2 Benzer şekilde, cos0 b 12 olduğu bilindiğine göre b 12cos 0 12 6 2 Şekil 8 dik üçgende hipotenüs r ve dar açı bilgisini biliyorsak; a ve b uzunlukları a rsin b rcos ŞEKİL 8 Trigonometrik oranları kullanarak dik üçgenleri çözebilme özelliği, navigasyon, araştırma, astronomi ve mesafelerin ölçülmesindeki birçok problemin temelinde yer almaktadır. Bu bölümde yapılan uygulamalar daima dik üçgenleri içermektedir, ancak sonraki üç bölümde görebileceğimiz gibi, trigonometri dik üçgen olmayan üçgenlerin çözümünde de faydalıdır.
Bir sonraki örnekleri tartışmak için bazı terminolojiye ihtiyacımız var. Bir gözlemci bir nesneye bakıyorsa, o zaman gözlemcinin gözünden nesneye doğru olan çizgiye görüş hattı denir (Bkz. Şekil 9). Gözlemlenen nesne yatayın üstündeyse, görüş hattıyla yatay arasındaki açıya yükseliş açısı denir. Nesne yataydan aşağıda ise, görüş hattı ile yatay arasındaki açıya, alçalış açısı denir. Bu bölümdeki örnek ve alıştırmalardan birçoğunda, zemin seviyesinde varsayımsal bir gözlemci için yükseltme ve alçalış açısı verilecektir. Görüş hattı, eğimli bir düzlem veya bir yamaca benzer fiziksel bir nesneyi izliyorsa, eğim açısı terimini kullanırız. Görüş Hattı Yükseliş Açısı Yatay Alçalış Açısı Görüş Hattı Yatay ŞEKİL 9 Bir sonraki örnek trigonometrinin ölçüm sorununun önemli bir uygulamasıdır: Uzun bir ağacın yüksekliğini tırmanmak zorunda kalmadan ölçüyoruz! Örnek basit olmasına rağmen sonuç, trigonometrik oranların bu tür problemlere nasıl uygulandığını anlamada temel önem taşır. ÖRNEK 4: Ağacın Yüksekliğinin Bulunması Dev bir çınar ağacı 52 ft uzunluğunda bir gölge oluşturuyor. Güneşin yükseliş açısı 25.7 ise ağacın yüksekliğini bulun. ÇÖZÜM: Ağacın yüksekliği h olsun. Şekil 10'dan şunu görüyoruz: h tan 25.7 Tanjantın tanımından 52 h 52 tan 25.7 52 ile çarp h 52 0.48127 256 Hesap makinesi kullan Sonuç olarak, ağacın yüksekliği yaklaşık 256 ft'dir.
ŞEKİL 10 ÖRNEK 5: Dik Üçgenli bir Problem Bir binanın tabanından 500 fit uzaktaki bir noktadan bir gözlemci, binanın en üstünün yükseliş açısının 24 olduğunu ve binanın üzerindeki bir bayrak direğinin tepesinin yükseliş açısının 27 olduğunu bulmuştur. Binanın yüksekliğini ve bayrak direğinin uzunluğunu bulun. ÇÖZÜM: Şekil 11, durumu göstermektedir. Binanın yüksekliği, Örnek 4'te ağacın yüksekliğini bulduğumuz şekilde bulunur. ŞEKİL 11 h tan 24 Tanjantın tanımından 500 h 500 tan 24 500 ile çarp h 500 0.4452 22 Hesap makinesi kullan Binanın yüksekliği yaklaşık olarak 22 ft dir. Bayrak direğinin uzunluğunu bulmak için önce yerden direğe kadar olan yüksekliği bulalım. k 500 tan 27 h 500 tan 27 h 500 0.5095 255 Bayrak direğinin uzunluğunu bulmak için, h'yi k'den çıkarıyoruz. Sonuç olarak bayrak direğinin uzunluğu yaklaşık olarak 255 22 = 2 ft dir.