SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II AĞ MODELLERİ DERS NOTLARI

SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II AĞ MODELLERİ DERS NOTLARI

Konular Ağ / Şebeke/Network Modelleri En Kısa Yol Problemi Dijkstra Algoritması Floyd Algoritması Maksimum Akış Modeli Minimum Maliyetli Network (Ağ) Akış problemleri Minimum Kapsayan Ağaç Network Simpleksi

NETWORK (AĞ) MODELLERİ Ağ / Şebeke Modelleri Ağ olarak modellenip çözülebilecek çeşitli problemlere rastlamak mümkündür: Bina, gemi, uçak, araç vs yapımı, En kısa yol, hat, kablo, boru döşeme, vs Yollardan, borulardan, kablolardan maksimum akış Bunlar doğrusal programlama ile de çözülebilir ancak ağ modelleri ile çözmek daha etkilidir

Şebeke, bağlantılar ile birbirine bağlanmış düğümlerden oluşur Bir şebekeyi (N, A) notasyonu ile ifade ettiğimizde N, düğümler kümesini, A ise bağlantılar kümesini gösterir N = {,,,, } A = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}

Bir bağlantının bir yöne akışı pozitif, diğer yöne akışı sıfır ise o bağlantı yönlendirilmiş veya yönelimlidir Yönlendirilmiş bir şebekenin tüm bağlantıları yönlendirilmiştir Yol, her bir daldaki akışın yönüne bakılmaksızın iki düğümü birleştiren ayrı dalların sırasıdır Yol bir düğümü kendisine bağlıyorsa bir döngü veya çevrim oluşur Örneğin yukarıdaki şekilde (, ), (, ), (, ) dalları bir döngü oluşturur Yönlendirilmiş döngüde (veya bir devrede) tüm dallar aynı yöne yöneltilmiştir Bağlı şebeke, her iki ayrı düğümün en az bir yolla bağlanmasıdır Ağaç, bağlı şebekenin tüm düğümlerinin sadece bir altkümesini ilgilendiren bir şebekedir Kapsayan ağaç ise şebekenin tüm düğümlerini hiçbir döngüye izin vermeden birbirine bağlar Burada kapsayan ağaç şebekenin tüm düğümlerini bağlayan ağaçtır

Ağaç Kapsayan ağaç

Örnek : Aşağıdaki şebeke için (a) bir yol, (b) bir döngü, (c) bir yönlendirilmiş döngü veya devre, (d) bir ağaç ve (e) bir kapsayan ağaç belirleyin (a) Yol: --- (b) Döngü: ---- (c) Yönlendirilmiş Döngü: ---- (d) Ağaç: (e) Kapsayan Ağaç:

Örnek : Aşağıdaki şebeke için (a) bir yol, (b) bir döngü, (c) bir yönlendirilmiş döngü veya devre, (d) bir ağaç ve (e) bir kapsayan ağaç belirleyin (a) Yol: -- (b) Döngü: --- (c) Yönlendirilmiş Döngü: Yok (d) Ağaç: (e) Kapsayan Ağaç:

Örnek : Aşağıda tanımlanmış olan şebekeyi çizin N = {,,,,, 6} A = {(,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,6), (,), (,6)} 6

EN KISA YOL PROBLEMİ

EN KISA YOL PROBLEMİ Bu bölümde networkdeki her bir bağlantının bir uzunluğu olduğunu kabul ediyoruz Belirli bir düğümden başlayarak (diyelim ki düğüm olsun) diğer herhangi bir düğüme olan en kısa yolu arayan problemler en kısa yol problemleridir ÖRNEK-: Powerco fabrikalardan şehirlere elektrik üretip dağıtan bir firmadır Elektrik fabrika (düğüm ) den şehir e (düğüm 6) dağıtılacaktır Bazı Ara istasyonlardan geçilmesi gerekmektedir (Düğüm -) Aşağıdaki şekil her bir düğüm arasındaki uzaklığı göstermektedir Uzaklık arttıkça elektrik transfer maliyetinin artacağı düşünülebilir Bu problem en kısa yol problemidir Fabrika 6 Şehir Şekil : Powerco örneği için Ağ Ara İstasyonlar

EN KISA YOL PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ Dijkstra Algoritması Floyd Algoritması DIJKSTRA ALGORİTMASI: Bütün bağlantıların nonnegatif olduğu networkde Dijkstra algoritması bir düğümden (diyelim ki düğüm ) diğer bütün düğümlere en kısa yolu bulmada kullanılır ADIM : Başlangıçta çıkış düğümü (düğüm ) 0 olarak kalıcı şekilde etiketlenir Düğüm e tek bağlantı ile bağlı bütün düğümler bağlantı uzunluğu ile geçici etiketlenir Diğer bütün düğümler geçici olarak değeri ile etiketlenir ADIM : Şimdi geçici olarak etiketlenmiş düğümlerden etiketi en küçük düğüm (düğüm i) seçilir ve kalıcı olarak etiketlenir Şimdi düğüm i ye tek bağlantı ile bağlı düğümler (düğüm j) bulunur ve aşağıdaki işlem uygulanır geçici etiketleri yenilenir düğüm j nin aktif geçici etiketi Min düğüm i nin kalıcı etiketi + bağlantı A(i,j) nin uzunluğu ADIM : Şimdi geçici etiketlenmiş düğümlerden etiketi en küçük olan düğümü seçeriz (düğüm i ) ve kalıcı olarak etiketleriz Adım yi bütün düğümler etiketlenene kadar tekrarlarız Böylece çıkış düğümünden bütün düğümlere kadar en kısa yolu bulmuş oluruz En kısa yolu varış düğümünden geriye doğru okuruz

Fabrika 6 Şehir Şekil : Powerco örneği için Ağ Ara İstasyonlar ÇÖZÜM-: Düğümler -> ( 6) Etiketler (0* ) (Adım ) Etiketler (0* * ) (Adım ) Düğüm e tek bağlantıyla bağlı düğümleri buluruz (Düğüm ) Düğüm in geçici etiketi = Min {, + } = 6 Şimdi yeni etiketler aşağıdaki gibi olur Etiketler (0* * 6 ) (Adım ) Şimdi en küçük label (Düğüm = ) bulunur ve kalıcı etiketlenir (Adım ) Etiketler (0* * * 6 ) (Adım ) Adım tekrar edilir Bu adımda bulunan en küçük etiketli düğüm (Düğüm ) e tek bağlantıyla bağlı düğümlerin geçici etiketleri yinelenir Düğüm ün geçici etiketi = Min {, +} = 7 Düğüm in geçici etiketi = Min { 6, +} = 6 Bu yeni etiketleri yazarız (Adım ) Etiketler (0* * * 7 6 ) (Adım )

Fabrika 6 Şehir Şekil : Powerco örneği için Ağ Ara İstasyonlar ÇÖZÜM-: Şimdi en küçük etiket (Düğüm = 6 ) bulunur ve kalıcı etiketlenir (Adım ) Etiketler (0* * * 7 6* ) (Adım ) Adım tekrar edilir Bu adımda bulunan en küçük etiketli düğüm (Düğüm ) e tek bağlantıyla bağlı düğümlerin geçici etiketleri yinelenir Düğüm 6 nın geçici etiketi = Min {, 6+} = 8 (Adım ) Etiketler (0* * * 7 6* 8) (Adım )

Fabrika 6 Şehir Şekil : Powerco örneği için Ağ Ara İstasyonlar ÇÖZÜM-: Şimdi en küçük label (Düğüm = 7 ) bulunur ve kalıcı etiketlenir (Adım ) Etiketler (0* * * 7* 6* 8) (Adım ) Adım tekrar edilir Bu adımda bulunan en küçük etiketli düğüm (Düğüm ) e tek bağlantıyla bağlı düğümlerin geçici etiketleri yinelenir Düğüm 6 nın geçici etiketi = Min {8, 7+} = 8 (Adım ) Etiketler (0* * * 7* 6* 8) (Adım ) Şimdi en küçük label (Düğüm 6= 8 ) bulunur ve kalıcı etiketlenir (Adım ) Etiketler (0* * * 7* 6* 8*) (Adım ) Bütün düğümler etiketlendiğinden algoritma bitmiştir Şimdi geriye doğru çözümü okuruz -- En kısa yol = 6 olur --

FLOYD ALGORİTMASI Floyd algoritması Dijkstra algoritmasından daha geneldir Çünkü şebekedeki herhangi iki düğüm arasındaki en kısa yolu belirler Algoritma, n düğümlü şebekeyi n satırlı ve n sütunlu kare matris olarak gösterir Matrisin (i, j) elemanı, i düğümden j düğüme olan d ij uzaklığını verir i doğrudan j ye bağlı ise d ij sonlu, bağlı değilse sonsuzdur

Floyd algoritması Eğer d ij + d jk d ik ise, i den başlayıp j den geçerek k ya ulaşmak daha kısadır Bu durumda i den k ya doğrudan yolu, i j k dolaylı yolu ile değiştirmek optimumu verir Bu üçlü işlem değişimi, aşağıdaki adımlar kullanılarak şebekeye sistematik olarak uygulanır j d ij d jk i d ik k

Floyd algoritması 0 Adım: D 0 = Başlangıç uzaklık matrisi S 0 = Düğüm sırası matrisi j n d d j d n d d j d n D 0 = i d i d i d ij d in n d n d n d nj j n j n j n S 0 = i j n n j

Floyd algoritması k Genel Adım: k satırı ve k sütunu anahtar (pivot) satır ve anahtar (pivot) sütun olarak tanımla Tüm i ve j ler için D k- deki her bir d ij elemanına üçlü işlemi uygula Eğer burada d ik + d kj d ij, (i k, j k ve i j) sağlanıyorsa aşağıdaki değişiklikleri yap (a) D k- de d ij yi d ik + d kj ile değiştirerek D k yı oluştur (b) S k- de S ij yi k ile değiştirerek S k yı oluştur k = k + olarak belirle ve k adımı tekrar et

Floyd algoritması k Genel Adım: Eğer anahtar satır ve sütundaki karelerle gösterilen elemanların toplamı, daireyle gösterilen ilgili arakesit elemanından küçükse, arakesit uzaklığı yerine anahtar uzaklıkların toplamını yazmak optimumdur Sütun j Anahtar sütun k Sütun q Satır i d ij d ik d iq Anahtar satır k d kj d kq Satır p d pj d pk d pq

Floyd algoritması k Genel Adım: n adım sonra i ve j düğümleri arasındaki en kısa yolu D n ve S n matrislerinden aşağıdaki kuralları kullanarak belirleriz: D n deki d ij, i ve j düğümleri arasındaki en kısa yolu verir S n deki i k j yolunu veren k = S ij ara düğümünü belirle Eğer S ik = k ve S kj = j ise dur; yolun tüm ara düğümleri bulunmuştur Aksi halde i ve k düğümleri ve k ve j düğümleri arasındaki prosedürü tekrar et

Floyd algoritması Örnek: Aşağıdaki şebeke için her iki düğüm arasındaki en kısa yolları bulun Uzaklıklar km cinsinden bağlantıların üzerinde belirtilmiştir (, ) bağlantısı düğümden düğüme trafiğin olmadığı tek yönlü bir bağlantıdır Diğer düğümlerde iki yönde de trafik akışına izin verilmektedir 0 6

Floyd algoritması Örnek: 0 Yineleme 0 6 D 0 0 0 6 6 S 0

Floyd algoritması Örnek: Yineleme 0 6 D 0 0 6 6 S

Floyd algoritması Örnek: Yineleme 0 6 D 0 8 0 6 8 6 S

Floyd algoritması Örnek: Yineleme 0 6 D 0 8 8 0 6 8 6 S

Floyd algoritması Örnek: Yineleme 0 6 D 0 8 9 0 6 0 8 6 9 0 S Herhangi bir iyileşme yoktur İşlemler bitmiştir

Floyd algoritması Örnek: Yineleme 0 6 D 0 8 9 0 6 0 8 6 9 0 S Örneğin düğümünden düğümüne en kısa uzaklık d = dir Yol: S = ; S = ; S = O halde: den e yol

MAKSİMUM AKIŞ PROBLEMLERİ

MAKSİMUM AKIŞ PROBLEMİ: Gerçek hayatta pek çok durum bağlantıların kapasitelerinin olduğu ve çıkış düğümünden varış düğümüne maksimum miktarda ürünün taşınabileceği ağ problemleri olarak modellenebilir Maksimum akış problemleri lineer programlamayla çözülebildiği gibi başka algoritmalarla da çözülebilir

ÖRNEK : Sunco petrol boru-hattı sisteminde çıkış noktasından varış noktasına en fazla petrol taşımayı düşünmektedir Yol üzerinde petrol,, istasyonlarının bazılarından yada tamamından geçmek zorundadır Sunco petrolün boru-hattı networkü şekil 6 da gösterilmiştir Her bir bağlantıdan saatte kaç milyon varil petrol pompalanabileceği tablo te gösterilmiştir Bu problemi LP yöntemiyle modelleyip çözersek: Şekil 6: Sunco Petrol için network ve olur bir akış (0) (0) () () () Çı Va (0) a 0 ()

BAĞLANTI KAPASİTE (Çı,) (Çı,) (,) (,) (,Va) (,Va) Tablo : Sunco petrol için bağlantı kapasiteleri

ÇÖZÜM : LP ÇÖZÜMÜ Xij = Saatte bağlantı (i,j) den geçen milyon varil akış miktarı Her bir bağlantıdan geçen akış miktarı kapasiteden küçük-eşit olmalıdır Xçı, <=, Xçı,<=, X <=, X<=, X,Va<= ve X,Va<= olmalıdır Düğüm i ye gelen akış = Düğüm i den çıkan akış (Akış dengesi) X0 = Xçı, + Xçı, (Düğüm Çı akış dengesi kısıtı) Xçı,= X + X (Düğüm akış dengesi kısıtı) Xçı, + X = X,va (Düğüm akış dengesi kısıtı ) x = x,va (Düğüm akış dengesi kısıtı ) X,va + X,va = X0 (Düğüm Va akış dengesi kısıtı ) Şimdi bu kısıtları birleştirir amaç fonksiyonu ve işaret sınırlamalarını eklersek LP modeline ulaşmış oluruz

ÇÖZÜM : LP modeli Maks z = X0 Amaç fonksiyonu (Maksimum akış) st Xçı, <= Xçı,<= X <= Bağlantı Kapasite Kısıtları X<= X,Va<= X,Va<= X0 = Xçı, + Xçı, (Düğüm Çı akış dengesi kısıtı) Xçı,= X + X (Düğüm akış dengesi kısıtı) Xçı, + X = X,va (Düğüm akış dengesi kısıtı ) Akış dengesi kısıtları x = x,va (Düğüm akış dengesi kısıtı ) X,va + X,va = X0 (Düğüm Va akış dengesi kısıtı ) Xij >= 0 İşaret sınırları LP modeli Lingoda çözüldüğünde z=, Xçı,=, x=, x=, xçı,=, x,va=, x,va=, x0= Böylece maksimum akış milyon varil/saat olur Akış ise milyon varil çı---va milyon varil çı---va milyon vari çı--va yollarıyla olur Maksimum akış problemlerinin LP formulasyonu Minimum Maliyet Network Akış Problemlerinin (MMNAP) özel bir halidir MMNAP ulaştırma simpleksinin genellemesi olan network simpleksi ile çözülebilir

FORD-FULKERSON YÖNTEMİYLE MAKSİMUM AKIŞ PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ: Adım : Olur bir akış bul (Her bir bağlantının akışını başlangıçta 0 kabul ederek başlayabiliriz) Adım : Etiketleme prosedürünü kullanarak varış düğümünü etiketlemeye çalış Eğer varış düğümü etiketlenemiyorsa akış optimudur Eğer etiketlenebiliyorsa adım e git Adım : Tarif edildiği şekilde olur akışı ayarla ve çıkış düğümünden varış düğümüne akışı artır Adım ye dön Şekil -: Sunco Petrol için network (0) (0) (0) (0) (0) Çı Va (0) a 0 (0)

FORD-FULKERSON YÖNTEMİYLE MAKSİMUM AKIŞ PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ: Adım : Olur bir akış bul (Her bir bağlantının akışını başlangıçta 0 kabul ederek başlayabiliriz) Şekil -: Sunco Petrol için network Başlangıç çözüm (0) (0) (0) (0) (0) Çı Va (0) Adım : Yukarıdaki network başlangıç networkü olarak alınırsa; İlk iterasyon aşağıdaki gibi olur: Varış düğümünü etiketlemeye çalışırız Bunun için önce çıkış düğümünden başlarız Çıkış düğümünü etiketleriz sonra A(çı,) bağlantısını ve düğüm i etiketleriz Sonra A(,) bağlantısını ve düğüm yi etiketleriz Sonra A(,va) bağlantısını ve va düğümünü etiketleriz Böylece va düğümü etiketlenmiş olur ve eski akış optimum değildir Etiketlenmiş Bağlantılar zinciri şu şekildedir : C = (çı,)-(,)-(,va) Bu zincirdeki bütün bağlantılar ileri bağlantılardır Adım e geçebiliriz a 0 ()

Adım : Etiketlenmiş Bağlantılar zinciri şu şekildedir : C = (çı,)-(,)-(,va) Bu zincirdeki bütün bağlantılar ileri bağlantılardır Adım e geçebiliriz Bütün bağlantılar ileri yönlü olduğu için bağlantıları izin verilen kadar artırabiliriz C zincirinde İzin verilen artış min (,,) = böylece C Zincirindeki akışı ileri yönlü birim artırırız ve aşağıdaki hale erişiriz Şekil -: Sunco Petrol için network (0) (0) Çı () () () Va (0) Tekrar Adım ye geçeriz Yeni zincir buluruz (Bağlantı ve düğümleri etiketleyerek varış düğümüne erişir ve bu düğümüde etiketleriz) C= (çı,)-(,)-(,)-(,va) zinciri elde edilebilir Adım e geçeriz Bu zincire bakıldığında (çı,)-(,)-(,va) bağlantıları birim artırılabilirken (,) bağlantısında ters yönde hareket eder ve birim azaltabiliriz C üzerinde minimum artış = min (,(ters yönde),,)= birim akış artar a 0 ()

Adım : Etiketlenmiş Bağlantılar zinciri C= (çı,)-(,)-(,)-(,va) zinciri elde edilebilir Bu zincire bakıldığında (çı,)-(,)-(,va) bağlantıları birim artırılabilirken (,) bağlantısında ters yönde hareket eder ve birim azaltabiliriz C üzerinde minimum artış = min (,(ters yönde),,)= birim akış artar Akış artışı mümkün olduğundan eski akış optimum değildir Yeni akış aşağıdaki şekilde görülmektedir Tekrar Adım ye geçeriz Şekil 6: Sunco Petrol için network Optimum çözüm () () () () () Çı Va () Adım : Tekrar varış düğümünü etiketlemeye ve zincir bulmaya çalışırız Çıkış düğümünden mümkün tek yön (Çı,) olur Buradan ters yönde (,) bağlantısında hareket edebiliriz Buradan (,) yönünde hareket edebiliriz Fakat burdan sonra (,va) üzerinden varış düğümüne geçiş yoktur Varış düğümünü zincirleyemeyiz ve en son akış optimumdur a 0 ()

ÖRNEK: FORD-FULKERSON YÖNTEMİ başka bir örnek (Şekil 7) Şekil 7-a: Ford Fulkerson Metoduna Örnek 7 Çı 8 Va a) Orijinal Network

ÖRNEK: FORD-FULKERSON YÖNTEMİ başka bir örnek (Şekil 7) Şekil 7-b: Ford Fulkerson Metoduna Örnek (0) (0)7 (0) Çı (0)8 Va () (0) () b) Varış düğümünü C= çı--va yoluyla etiketle Hepsi ileri yönlü bağlantı olduğu için min(,) kadar akışı artır

ÖRNEK: FORD-FULKERSON YÖNTEMİ başka bir örnek (Şekil 7) Şekil 7-c: Ford Fulkerson Metoduna Örnek () ()7 (0) Çı (0)8 Va () () () c) Varış düğümünü C= çı----va yoluyla etiketle Hepsi ileri yönlü bağlantı olduğu için min(,7,,) kadar akışı artır

ÖRNEK: FORD-FULKERSON YÖNTEMİ başka bir örnek (Şekil 7) Şekil 7-d: Ford Fulkerson Metoduna Örnek () (0)7 () Çı ()8 Va () () () d) Varış düğümünü C= çı---va yoluyla etiketlebazıları ileri yönlü bağlantı bazıları ters yönlü olduğu için min(8,(ters),) kadar akışı artır

ÖRNEK: FORD-FULKERSON YÖNTEMİ başka bir örnek (Şekil 7) Şekil 7-e: Ford Fulkerson Metoduna Örnek () (0)7 () Çı ()8 Va () () () e) Varış düğümüne ulaşmak artık mümkün olmadığı için bu akış optimumdur Maksimum akış 7 birimdir

MİNİMUM MALİYET NETWORK AKIŞ PROBLEMLERİ (MMNAP)

MİNİMUM MALİYET NETWORK AKIŞ PROBLEMLERİ (MMNAP): Ulaştırma, Atama,Aktarma, En kısa yol, Maksimum Akış ve CPM problemleri MMNAP nin özel halleridir Herhangi bir MMNAP ulaştırma simpleksinin genel hali olan network simpleksi ile çözülebilir MMNAP tanımlamak için aşağıdaki notasyonları kullanırsak: Xij =Düğüm i den Düğüm j ye (i,j) bağlantısı ile olan akış miktarı cij= Biri birim akışı düğüm i den düğüm j ye (i,j) bağlantısı yolu ile gönderme maliyeti bi= düğüm i de net tedarik (çıkış-giriş) Lij = (i,j) bağlantısında akış alt limiti Eğer Alt limit yoksa Lij = 0 olur Uij= (i,j) bağlantısında akış üst limiti Eğer üst limit yoksa Uij = olur Şimdi Minimum maliyetnetwork akış problemini matematiksel olarak aşağıdaki gibi modelleyebiliriz Min bütün bağlantılar c ij x ij (Minimum maliyet amaç fonksiyonu) st j x ij k x ki = b i (Network üzerindeki her bir düğüm için) (8) L ij <= x ij <= U ij (Network üzerindeki her bir bağlantı için) (9) Kısıt 8 akış dengesi kısıtıdır Net çıkış bi değerine eşit olmalıdır Kısıt 9 bağlantı kapasite kısıtıdır Akışların izin verilen minimumla maksimum arasında olması gerekir

ULAŞTIRMA PROBLEMİNİ MMNAP OLARAK MODELLEME Aşağıdaki tablodaki ulaştırma problemini düşünelim TALEP TALEP ARZ ARZ ARZ TALEP 6 Düğüm Düğüm Tablo Ulaştırma Problemi Düğüm Düğüm Şekil 9 Ulaştırma probleminin MMNAP olarak gösterimi Arz Noktası Talep Noktası Arz Noktası Talep Noktası

min z=x + x + x + x X X X X Sağ taraf Kısıt 0 0 = Düğüm 0 0 = Düğüm - 0-0 = -6 Düğüm - 0 - = - Düğüm Bütün değişkenler nonnegatif Tablo : Ulaştırma Probleminin MMNAP olarak gösterimi Ulaştırma ve Aktarma Problemleri eğer dengede değilse, arz talepten fazlaysa veya talep arz dan fazlaysa probleme kukla(yapay) düğüm (arz veya talep) ekleriz Yukarıdaki tabloya baktığımızda; Bağlantıların yönüne göre çıkış, giriş -, bağlantı yoksa 0 değerlerini alır Sağ taraflarda + olanlar tedarik(arz) ve - olanlar ise talebi ifade etmektedir

MAKSİMUM AKIŞ PROBLEMİNİ MMNAP OLARAK MODELLEME Şekil -: Sunco Petrol için network (0) (0) (0) (0) (0) Çı Va (0) a 0 (0) Yukarıdaki şekilde verilen maksimum akış problemini MMNAP olarak modellersek Tablo 6 ya ulaşırız Bağlantıların yönüne göre çıkış, giriş -, bağlantı yoksa 0 değerlerini alır Maksimum akış problemlerinde toplam akışa eşit varış düğümünden çıkış düğümüne yapay bağlantı (a 0 ) çizeriz Bu bağlantının üst limiti olmadığından MMNAP problemi tablosunda bu bağlantı ile ilgili kısıt bulunmaz Yapay bağlantıyı ekledikten sonra bçı=b=b=b=bva=0 olur

min z=-x0 Xçı, Xçı, X X X,va X,va X0 Sağ taraf Kısıt 0 0 0 0 - = 0 Düğüm çı - 0 0 0 0 = 0 Düğüm 0-0 - 0 0 = 0 Düğüm 0 0-0 0 0 = 0 Düğüm 0 0 0 0 - - = 0 Düğüm va 0 0 0 0 0 0 <= Bağlantı (çı,) 0 0 0 0 0 0 <= Bağlantı (çı,) 0 0 0 0 0 0 <= Bağlantı (,) 0 0 0 0 0 0 <= Bağlantı (,) 0 0 0 0 0 0 <= Bağlantı (,va) 0 0 0 0 0 0 <= Bağlantı (,va) Bütün değişkenler nonnegatif Tablo 6: Maksimum Akış Probleminin MMNAP olarak gösterimi

MMNAP Network simpleks kullanılarak çözülebilir Örneğin 000 düğüm ve 600,000 bağlantı içeren bir MMNAP network simpleksi kullanan bilgisayar programları ile birkaç dakikada çözülebilir Eğer LP kullansaydık süre çok daha uzun olurdu MMNAP çok verimli ve kolay olduğundan eğer mümkünse LP formulasyonu yerine MMNAP formulasyonu kullanılır ve network simpleks kullanan bilgisayar programı yardımıyla çözülür

ÖRNEK 7 : Şekil 0 ta gösterilen networke düğüm den saatte 900 araç girmektedir Bu araçlar düğüm 6 dan çıkacaktır Araçlar tarafından Her bir bağlantının ne kadar sürede alınacağı tablo 7 de verilmiştir Şekil 0 ta bağlantıların üzerindeki rakamlar saat içerisinde verilen bağlantının herhangi bir noktasından kaç araç geçebileceğini göstermektedir Araçların düğüm den Düğüm 6 ya toplam geçiş sürelerini minimize edecek MMNAP formülüze edin 800 600 600 00 00 00 600 00 600 6 Şekil 0: Trafik örneğinin MMNAP olarak gösterimi

Bağlantı ZAMAN (Dakika) (,) 0 (,) 0 (,) 70 (,) 0 (,6) 0 (,) 0 (,6) 60 (,) 60 (,) 0 Tablo 7: Trafik Örneğinde bağlantıların seyahat süresi

min z= 0x + 0x + 70x + 0x + 0x6 + 0x + 60x6 + 60x +0x x x x x x x x x6 x6 Sağ taraf Kısıt 0 0 0 0 0 0 0 = 900 Düğüm - 0 0 0 0 0 0 = 0 Düğüm 0-0 0 0 0 0 = 0 Düğüm 0 0-0 - 0 0 = 0 Düğüm 0 0 0-0 - - 0 = 0 Düğüm 0 0 0 0 0 0 0 - - = -900 Düğüm 6 0 0 0 0 0 0 0 0 <= 800 Bağlantı (,) 0 0 0 0 0 0 0 0 <= 600 Bağlantı (,) 0 0 0 0 0 0 0 0 <= 600 Bağlantı (,) 0 0 0 0 0 0 0 0 <= 00 Bağlantı (,) 0 0 0 0 0 0 0 0 <= 00 Bağlantı (,) 0 0 0 0 0 0 0 0 <= 00 Bağlantı (,) 0 0 0 0 0 0 0 0 <= 600 Bağlantı (,) 0 0 0 0 0 0 0 0 <= 00 Bağlantı (,6) 0 0 0 0 0 0 0 0 <= 600 Bağlantı (,6) Bütün değişkenler nonnegatif Tablo 8: Trafik Probleminin MMNAP olarak gösterimi Xij= düğüm i den düğüm j ye seyahat eden saatteki araç sayısı b=900, b=b=b=b=0, b6=-900 olur ( Bu nedenle düğüm 6 dan düğüm e yapay bağlantı oluşturmayız)

MİNİMUM KAPSAYAN AĞAÇ

MİNİMUM KAPSAYAN AĞAÇ: Bir şebekede A(i,j) i düğümünü j düğümüne bağlayan bağlantı (ok) olsun Örneğin düğümler kampüsteki bilgisayarlar olsun ve bağlantılar düğümleri bağlayan yeraltı kabloları olsun Pek çok uygulamada bütün düğümleri birbirine bağlayan ve toplam uzunlukları en kısa olan bağlantıları (minimum kapsayan ağacı) bulmak isteriz Böyle bir ağaçta döngü bulunmadığı açıktır Aşağıdaki şekilde verilen şebekede döngü ve minimum kapsayan ağaç verilmiştir 7 7 7 Network (,)-(,)-(,) bir döngüdür (,),(,) minimum kapsayan ağaçtır Yukarıdaki network de üç tane kapsayan ağaç vardır (,) ve (,) (,) ve (,) (,) ve (,) ağaçları kapsayan ağaçlardır Bunlardan uzunluk toplamı minimum olan ağaç minimum kapsayan ağaçtır

TANIM : n düğümden oluşan bir network de, kapsayan ağaç n- bağlantıdan oluşur ve bütün düğümleri bağlar ve döngü içermez TANIM : Minimum toplam uzunluktaki kapsayan ağaç, minimum kapsayan ağaçtır MİNİMUM KAPSAYAN AĞAÇ ALGORİTMASI : Minimum kapsayan ağacı bulurken aşağıdaki adımları uygularız Adım : Herhangi bir düğümü (düğüm i) seçerek işe başlarız Network de i düğümüne en yakın düğümü (düğüm j) i düğümüyle birleştiririz C birleştirilmiş düğümleri ifade eden küme ve C birleştirilmemiş düğümleri ifade eden küme olsun Şu halde C={i,j} olur Adım : Şimdi C kümesinden C kümesindeki herhangi bir düğüme en yakın seçilen bir düğüm (düğüm n) C kümesindeki en yakın olduğu düğüm (düğüm m) ile birleştirilir Şimdi bağlantı (m,n) minimum kapsayan ağaca dahil edilir ve düğüm n C kümesinden çıkarılır ve C kümesine dahil edilir C şimdi C={i,j,n} olur ve C = C -{n} olur Adım : Bu süreç minimum kapsayan ağaç bulunana kadar tekrar edilir Eğer en yakın düğüm ve bağlantılarda eşitlik olursa rasgele seçim yaparız

Örnek 8: Kampüste tane birbirleriyle bağlanacak bilgisayar vardır Aşağıdaki şekilde bu bilgisayarlar arasındaki uzaklıklar verilmiştir Bilgisayarlar yeraltı kabloları ile bağlanacaktır Minimum gerekli kablo uzunluğu ne kadardır Not: Bağlantıların verildiği düğümlerin yeraltı bağlantısı mümkünken bağlantı verilmeyen düğümlerin yeraltı bağlantısı mümkün değil diye kabul edin 6 Şekil : Network

6 MKA (Minimum Kapsayan Ağaç) algoritmasında başlangıç olarak rasgele düğüm i seçtiğimizi kabul edelim Düğüm i em kısa yolla seçilmeyen düğümlerden birine bağlarız Düğüm e en yakın düğüm düğüm dir ve uzaklık birimdir Böylece C={,} C ={,,} olur Şekil -a : İterasyon -

6 C={,} C ={,,} idi Şimdi C deki herhangi bir düğümden C deki herhangi bir düğüme en kısa yolu buluruz C={,} den C ={,,} ye en kısa yol birimdir Ya (,) bağlantısını yada (,) bağlantısını seçeriz Rasgele (,) bağlantısını seçtiğimizde yandaki şekle kavuşuruz Şimdi C={,,} ve C ={,} olur Şekil -b : İterasyon -

6 C={,,} C ={,} idi Şimdi C deki herhangi bir düğümden C deki herhangi bir düğüme en kısa yolu buluruz C={,,} den C ={,} ye en kısa yol birimdir (,) bağlantısını seçtiğimizde yandaki şekle kavuşuruz Şimdi C={,,,} ve C ={} olur Şekil -c : İterasyon -

6 C={,,,} C ={} idi Şimdi C deki herhangi bir düğümden C deki herhangi bir düğüme en kısa yolu buluruz C={,,,} den C ={} ye en kısa yol birimdir (,) bağlantısını seçtiğimizde yandaki şekle kavuşuruz Şimdi C={,,,,} ve C ={} olur Böylece Minimum kapsayan ağaca ulaşmış olduk (,),(,),(,) ve (,) bağlantıları MKA olur Şekil -d : İterasyon -

NETWORK SİMPLEKS METODU

NETWORK SİMPLEKS METODU: Bu bölümde MMNAP lerinde network simpleksin nasıl uygulandığını ve nasıl kolaylık sağladığını göreceğiz Network simpleks ulaştırma simpleksinin genelleşmiş halidir ve network üzerindeki bağlantıların alt ve üst limitleri vardır Temel olmayan değişkenler alt ve üst sınırda olurken temel değişkenler iki limit değer arasındadır Eğer temel bir değişken bağlantıların alt veya üst limitine eşitse o zaman dejenerasyon(yozlaşma) hali vukua gelmiştir Aşağıdaki şekil te network simpleksin kullanılabileceği bir MMNAP nin grafik gösterimi verilmiş ve bu şekil üzerinde gerekli açıklamalar yapılmıştır

Şekil : MMNAP nin grafik gösterimi $ () (-) 0 $ $8 (0) (-7) $7 (-) $0 0 $ MMNAP ni (8) ve (9) daki gibi tarif etmek için gerekli bilgiler şekil te verilmiştir Bağlantılar üzerindeki değerlerden $ olanlar bağlantılardan bir birim akışın maliyetini (c ij ) ifade ederken diğer değerler bağlantılardan olabilecek maksimum akış limitini gösterir Kolaylık olsun diye bağlantılardan minimum akış limiti 0 alınmıştır Düğümlerin yanındaki değerler arz miktarını gösterirken negatif olanlar talebi ifade etmektedir Network simpleksini kullanabilmek için b i = 0 olmalıdır, yani arz talep dengede olmalıdır Eğer dengede değilse kukla(yapay) arz veya talep noktası ekleriz Yukarıdaki networkde; c=, c=, c=7, c=0, c=, c=8 ve c=$ dır Yine aynı networkde b=0, b=, b=-, b=- ve b=-7 dir ve arz talep dengededir Aynı network üzerinde U=, U=0, U=, U=, U=0, U= ve U= dir Kolaylık olsun diye bütün alt limit (Lij = 0) değerleri 0 alınmıştır $

MMNAP inde TEMEL OLURLU ÇÖZÜMÜN BULUNMASI: Olurlu bir çözümüm MMNAP inde temel olurlu bir çözüm olduğuna nasıl karar verebiliriz? Önce networke temel olurlu çözüm olan bir çözümde üç tip değişkenleri tarif ederek başlayalım Temel Değişkenler : Dejenerasyon (Yozlaşma) nın yokluğunda her bir temel değişken Xij Lij< Xij < Uij eşitsizliğini sağlar Dejenerasyon varlığında bir temel değişken (Xij), bağlantı (i,j) nin üst ve alt limitine eşit olabilmektedir Temel Olmayan bazı değişkenler (Xij), bağlantı (i,j) nin üst limitine (Uij) eşittir Temel Olmayan bazı değişkenler (Xij), bağlantı (i,j) nin alt limitine (Lij) eşittir Networkde n tane düğüm vardır ve her bir düğüm için akışların korunumu (akış dengesi) kısıtı vardır Böylece n tane kısıt yazabiliriz Ulaştırma problemlerinde olduğu gibi eğer (n-) akışların korunumu kısıtı sağlanıyorsa otomatik olarak geriye kalan tane akışların dengesi kısıtıda sağlanır Bu da networke temel olurlu bir çözümün (n-) temel değişken içereceği anlamına gelir Bir tane kısıtı düşürdüğümüzde geriye kalan (n-) kısıttan temel olurlu çözüm elede edebiliriz Bu (n-) değişkenin temel olurlu çözüm oluşturacağına nasıl karar verebiliriz? Eğer (n-) değişken ve bu değişkenlere bağlı bağlantılar networke kapsayan ağaç oluşturuyorsa o zaman bu değişkenler temel olurlu çözüm oluşturur Küçük problemler için sıklıkla deneme yanılma yoluyla temel olurlu çözüm bulabiliriz

Şekil 6: MMNAP örneği $0 6 $6 $ (0) $ $7 (-0) $6 $ 6 $ Şekil 7: Temel olurlu çözüm örneği (0) (-0) Şekil 6 da bir MMNAP örneği verilmiştir Şekil 7 deki çözümüm temel olurlu çözüm olduğuna nasıl karar veririz? (n- = -=) tane temel değişken vardır Bu temel değişkenler x, x, x, x değişkenleridir İki tane temel olmayan değişken vardır Bunlar x= ve x= değişkenleri olup bu değişkenler ilgili bağlantının üst limitindedirler Diğer temel olmayan değişkenler ilgili bağlantının alt limitindedirler Temel değişkenler kapsayan ağaç oluşturmakta ve döngü içermemektedir Bundan dolayı bu çözüm temel olurlu çözümdür

Z SATIRININ (SIRA 0) HESAPLANMASI : Simplekste aktif çözümün optimum olup olmadığına z satırına (sıra 0) bakarak karar veririz Bu nedenle aktif tablodaki değişkenlerin z satırı değerlerini bulmamız gerekir Z satırında temel değişkenlerin değeri 0 dır ( c ij = 0 dır ) Bu bilgiyi kullanarak temel olmayan değişkenlerin değerini buluruz Temel olurlu çözümün optimum olup olmadığına nasıl karar veririz? Temel olurlu çözümün optimum olması için temel olmayan değişkenlerde değişmenin çözümü geliştirmemesi lazım Temel olmayan değişkenler ya alt limitde yada üst limittedir Eğer temel olmayan değişken alt limitdeyse o zaman temel olmayan değişken artabilir Eğer c ij <= 0 ise temel olmayan değişkeni artırmak amaç fonksiyonunu kötüleştirir, yani z değeri daha da artar O zaman alt limitde bulunan temel olmayan değişken artmamalıdır Eğer temel olmayan değişken üst limitdeyse o zaman temel olmayan değişken azalabilir Eğer c ij >= 0 ise temel olmayan değişkeni azaltmak amaç fonksiyonunu kötüleştirir, yani z değeri daha da artar O zaman üst limitde bulunan temel olmayan değişken azalmamalıdır

n düğümle ilgili n tane akışların korunumu kısıtı var demiştik (n-) kısıt sağlandığında otomatik olarak kalan tane kısıtında sağlandığını belirtmiştik Rasgele tane kısıtı düşürdüğümüzde elimizde (n-) kısıt kalır Örneğin Düğüm ile ilgili kısıtı düşürdüğümüzde elimizde (n-) akışların korunumu kısıtı kalır ve (n-) adet temel değişkenimiz olur Düğüm ile ilgili kısıt düşürüldükten sonra verilen temel olurlu çözüm için c BV B - = (y y yn) olsun Her bir Xij değişkeni düğüm i kısıtında + ve düğüm j kısıtında - değerine sahiptir Z satırı değerlerini çözebilmek için y = 0 olarak tanımlarsak; Xij değişkeninin z satırı değeri c ij = yi-yj c ij olur Her bir temel değişkenin z satırı değeri c ij = 0 olduğundan y=0 ve her bir temel değişken için yi-yj = c ij eşitliklerini (Toplam n tane eşitlik) çözeriz ve y,y,,yn değerlerini (simpleks çarpanlar) buluruz Şimdi temel olmayan değişkenlerde, Simpleks çarpanları (y, y,, yn) ve c ij (temel olmayan değişkenlerin başlangıç networkdeki z satırı değerleri) değerlerini c ij = yi-yj c ij formülünde kullanarak c ij değerlerini (reduced cost = indirgenmiş maliyet) buluruz Eğer Xij = Lij ve c ij <= 0 ise optimallik şartı bu temel olmayan değişkenler için sağlanır Eğer Xij = Uij ve c ij >= 0 ise optimallik şartı bu temel olmayan değişkenler için sağlanır Bu iki durum bütün temel olmayan değişkenler için sağlanırsa çözüm optimumdur

Şekil 6: MMNAP örneği $0 6 $6 $ (0) $ $7 (-0) $6 $ 6 $ Şekil 7: Temel olurlu çözüm örneği (0) (-0) Örneğimize dönecek olursak; y=0, y-y=, y-y=7, y-y= 6, y-y= olur Buradan y=0, y=-, y=-, y=-6 ve y=-9 olur Şimdi temel olmayan değişkenlerin z satırı değerlerini bulacak olursak; c = y-y c = 0-(-)-0 = >=0 olmalıydı (Üst Limit Şartı) c = y-y c = 0-(-6)-6 =0 >= 0 olmalıydı (Üst Limit Şartı) c = y-y c = --(-)-=- <= 0 olmalıydı (Alt Limit Şartı) c = y-y c = - (-6)- = <= 0 olmalıydı (Alt Limit Şartı) (Optimallik şartını bozar) X giren değişken olmalı Şimdi çıkan değişkene karar vermemiz gerekir X teki birim artış z değerini birim azaltacaktır Dolayısıyla daha düşük(iyi) bir değeri bulmak mümkündür

NETWORK SİMPLEKSİNDE PİVOT İŞLEMİ: Önceki slaytlarda Şekil 7 de gösterildiği gibi x değişkeni giren değişken olmalıdır Bağlantı (,) temel değişkenler arasına eklenmelidir Hali hazırda Bağlantı (,) alt limitindedir ve bu bağlantıdan olan akışı θ kadar artıracağımızı düşünürsek, θ değerini nasıl buluruz? Eğer bağlantı (,) le ilgili değişken temel değişken olursa Şekil 8 de gösterildiği gibi bir döngü oluşur Bu döngü üzerinde yeni giren bağlantı (,) yönünde ilerleriz ve aynı yöndeki akımları θ kadar artırır ve ters yöndeki akımları θ kadar azaltırız Bu esnada eski temel değişkenlerden biri üst veya alt limite vurur Böylece çıkan değişkeni ve θ değerini bulmuş oluruz Şekil 6: MMNAP örneği $0 6 $6 $ (0) $ $7 (-0) $6 $ 6 $ Şekil 8: İlk iterasyon - θ (0) (-0) θ + θ Şekil 8 e baktığımızda θ = min {(-0),(6-), ters yönde (-0) } kadar artırılabilir Buradan θ= olur Θ = olunca x giren değişken olmuş ve x (alt limitine vurmuş) çıkan değişken olmuştur Yeni temel olurlu çözüm ve network şekil 9 a dönüşmüştür

Şekil 6: MMNAP örneği $0 6 $6 $ (0) $ $7 (-0) $6 $ 6 $ Şekil 9: İlk iterasyon sonucu yeni TOÇ-optimum çözüm (0) (-0) İTERASYON : Şimdi yeni temel olurlu çözümün optimum olup olmadığına bakarız Şekil 9 u kullanarak temel olmayan değişkenlerin z satırı (Sıra 0) değerlerini buluruz Önce temel değişkenleri kullanarak yi (Simpleks çarpanlar) değerleri bulunur y = 0, y-y=, y-y=, y-y=6, y-y= olur Bu eşitlikleri çözersek; y=0, y=-, y=-, y=-, y=-8 olur Şimdi temel olmayan değişkenlerin z satırı değerlerini bulacak olursak; c = y-y c = 0-(-)-0 = >=0 olmalıydı (Üst Limit Şartı) c = y-y c = 0-(-)-6 =9 >= 0 olmalıydı (Üst Limit Şartı) c = y-y c = --(-)-=- <= 0 olmalıydı (Alt Limit Şartı) c = y-y c = - (-8)- 7= - <= 0 olmalıydı (Alt Limit Şartı) Temel olmayan değişkenlerin optimalliği bozmamasından dolayı aktif TOÇ (Temel olurlu çözüm) optimumdur Şekil 9 aynı zamanda optimumdur

ÖRNEK 9: Aşağıda Şekil 0 de verilen MMNAP yi network simpleksini kullanarak çözünüz Şekil 0: Network Simpleks örneği 7 $ 8 $ Şekil : TOÇ örneği (0) 6 $ 6 $ (-0) (0) (-0) 7 $ $6 Önce network simplekse başlamak için TOÇ (Temel olurlu çözüm bulmamız gerekmektedir Şekil de bir temel olurlu çözüm görülmektedir Temel olurlu çözümün kapsayan bir ağaç olması gerekmektedir Şekil kapsayan bir ağaçtır Bağlantı (,) üst limitinde temel olmayan bri değişken olup şekil de gösterilmeyen bağlantılar alt limitinde temel olmayan değişkenlerdir Şimdi simpleks çarpanları ve aktif durumda temel olmayan değişkenlerin z satırı değerlerini bulmamız gerekmektedir Simpleks çarpanlarını bulurken temel değişkenleri kullanırız

Şekil 0: Network Simpleks örneği 7 $ 8 $ (0) 6 $ 6 $ (-0) 7 $ $6 Şekil : TOÇ örneği (0) (-0) Simpleks çarpanlarını bulurken temel değişkenleri kullanırız y=0, y-y=, y-y=, y-y= eşitlikleri çözüldüğünde y=0, y=-, y=-, y=-7 olur Şimdi temel olmyan değişkenlerin z satırı (satır 0) değerlerini bulmamız gerekmektedir c = y-y c = (-)-(-)- =- <=0 olmalıydı (Alt Limit Şartı) c = y-y c = (-)-(-)- =- <= 0 olmalıydı (Alt Limit Şartı) c = y-y c = -(-)-(-7)-6=- >= 0 olmalıydı (Üst Limit Şartı) (optimalliğin olmadığını gösterir) X giren değişken olmalıdır

Şekil 0: Network Simpleks örneği 7 $ 8 $ (0) 6 $ 6 $ (-0) 7 $ $6 Şekil : x giren değişken olur +θ + θ (0) (-0) -θ -θ X giren değişken olmalıdır X, θ değeri kadar azaltılırsa şekil de oluşan döngü oluşur Şimdi θ değerine karar vermemiz gerekmektedir θ = min { ters(-0), ters(-0), (7-), (8-) } = olur Θ pozitif olan yerlerde akış birim artırılır ve θ değerinin negatif olduğu yerlerde akış birim azaltılır Böylece x giren değişken olmuş ve x üst limitine vurmuş ve çıkan değişken olmuştur

Şekil 0: Network Simpleks örneği 7 $ 8 $ (0) 6 $ 6 $ (-0) 7 $ $6 Şekil : x çıkan değişken olmuştur 7 (0) (-0) 7 Simpleks çarpanlarını bulurken temel değişkenleri kullanırız y=0, y-y=, y-y=, y-y=6 eşitlikleri çözüldüğünde y=0, y=-6, y=-, y=-9 olur Şimdi temel olmayan değişkenlerin z satırı (satır 0) değerlerini bulmamız gerekmektedir c = y-y c = (-6)-(-)- =- <=0 olmalıydı (Alt Limit Şartı) c = y-y c = (-)-(-6)- = <= 0 olmalıydı (Alt Limit Şartı) (Optimalliği ihlal eder) c = y-y c = 0-(-6)-= >= 0 olmalıydı (Üst Limit Şartı) X giren değişken olmalıdır

Şekil 0: Network Simpleks örneği 7 $ 8 $ (0) 6 $ 6 $ (-0) 7 $ $6 Şekil : x giren değişken olmuştur 7 (0) θ (-0) 7 + θ - θ X giren değişken olmalıdır X, θ değeri kadar azaltılırsa şekil de oluşan döngü oluşur Şimdi θ değerine karar vermemiz gerekmektedir θ = min { (6-0), (8-7), ters(-0) } = olur Θ pozitif olan yerlerde akış birim artırılır ve θ değerinin negatif olduğu yerlerde akış birim azaltılır Böylece x giren değişken olmuş ve x üst limitine vurmuş ve çıkan değişken olmuştur

Şekil 0: Network Simpleks örneği 7 $ (0) 6 $ 6 $ (-0) 7 $ 8 $ $6 Şekil : x çıkan değişken olmuştur, optimum çözüm 7 (0) (-0) 8 Simpleks çarpanlarını bulurken temel değişkenleri kullanırız y=0, y-y=, y-y=, y-y=6 eşitlikleri çözüldüğünde y=0, y=-, y=-, y=-9 olur Şimdi temel olmayan değişkenlerin z satırı (satır 0) değerlerini bulmamız gerekmektedir c = y-y c = (-)-(-)- =- <=0 olmalıydı (Alt Limit Şartı) c = y-y c = (-)-(-9)- = >= 0 olmalıydı (Üst Limit Şartı) c = y-y c = 0-(-)-= >= 0 olmalıydı (Üst Limit Şartı) Optimallik şartı sağlandığından şekil optimumdur