ESKİŞEHİR OSMNGZİ ÜNİVERSİESİ Müheislik Mirlık Fkültesi İşt Müheisliği Bölüü E-Post: oguhettopcu@gilco We: http://fogueutr/topcu Bilgisr Destekli Nüerik liz Ders otlrı het OPÇU Mtris Deterit et et C s B s DEERMİN VE MRİSLERLE DÖR İŞLEM
DEERMİNN VE MRİSLERLE DÖR İŞLEM DEERMİNN VE MRİSLERLE DÖR İŞLEM Kre trisi eteritı Mtris çok sı sıı rıır ir tlour kei sısl eğeri oktur Fkt her kre trise it eterit eile; pozitif egtif ve sıfır olile ir sı vrır Deteritıı iliğiiz tris hkkı öeli zı orulr pilir krr vereiliriz Deterit keliesi; elirlee tıl vurgul egee krr vere lıır Bzı ürkçe kklr trisi eteritıı trisi elirtei olrk tercüe etekteirler İki ilieeli oğrusl ekle sisteii klsik ceir ve tris otsou şeklie zılığıı ilioruz Örek: 9 9 9 9 () ekle sisteii çözee ekle sisteii sğl ve ilieelerii hespl çlışlı Bu c öelik çok sı öte vrır Ort öğretie u kullığıız eğişke ok ete öteii kulllı i irici ekleii ile ikici ekleii ile çrpr ve her iki eklei toplrsk ilieei ok olur i hespliliriz: - i irici ekleii - ile ikici ekleii ile çrpr ve her iki eklei toplrsk ilieei ok olur i hespliliriz: Eşit - - Bu ğıtılrı kullrk ukrıki sısl öreği ilieelerii hespllı: 9 9 9 9 9 9 ve eğişkelerii hesı kullıl ukrıki ğıtılr iceleirse p ı sı - vrır Bu sit sı sece ktsılr trisii terilerie oluşktır Sısl örek içi u sı -9 tür ilieeli ir ekle sisteii çözüüe e ezer uru vrır: ilieelerii hesı p i ı sit ir sı öle olrk gelekteir İşte u sı ktsılr trisii eteritı eilekteir Deterit ile ilieeli ekle sisteii sistetik çözüüü ilk kez Crer veriştir Crer kurlı olrk iliir Yukrı e verile outlu trisii eteritı - igol elelrı çrpııı frkıır Mtris tetiğie trisi eteritı et Deterit gösterii () şeklie gösterilir Deterit kvrı tetikte tris kvrı çok h öce MÖ - civrı Çi e ekle sistei çözüüe kullılıştır Jpo Shisuke Kov Seki i 8 ılı çlışlrı ve l Leiiz i L Hospitl e 9 ılı zığı ir ektupt rstlktır Deteritı ekle sistei çözüüe sistetik olrk ilk kez İsviçreli Crer ılı kullı Deterit keliesii isi sı Frsız Cuch ir(8) het OPÇU Bilgisr Destekli Nüerik liz Eskişehir Osgzi Üiversitesi http://fogueutr/topcu/
DEERMİNN VE MRİSLERLE DÖR İŞLEM Deterit çok öeli ir sıır çükü it oluğu ktsılr trisi ve ekle sistei hkkı oru pileize olk sğlr Yukrıki ğıtılr lşılığı gii ktsılr trisi ol ir ekle sisteii ilieelerii hesplilesi içi et ollıır Det uruu sıfır ölü pılcğı içi ekle sisteii çözüü oktur Büük outlu trisleri eteritıı hesı eki kr sit eğilir Mtris üüükçe ört işle sısı hızl rtr Küçük outlu trisleri eteritı SRRUS kurlı CHIO etou ve LPLCE çılıı ile ve elle hesplilir Büük trisleri eteritı GUSS CHOLESKY gii etotlr ile ve ilgisr hesplır SRRUS kurlı : Sece outlu trisler içi geçerliir Deteritı hesplck trisi ilk iki kolou eterit işretii sğ trfı zılır ve igoller şekile görülüğü gii kesik ve sürekli çizgiler ile irleştirilir Her sürekli çizgi üstüeki elelr irirleri ile çrpılıp toplır Her kesik çizgi üzerie ol elelr irirleri ile çrpılır öceki topl çıkrılır et - - - et () - - - - - - - et - Örek: et ( ) ( ) ( ) ( ) CHIO etou: outlu trisi eterit forülü et () ile verilir Dikktli iceleirse outlu - et lt eterit içerir ve üzeli ir pısı vrır Örekler: et ( ( ) ( )) et B ( ) 8 - - - 8 et B ( 8 8) - (-) - - - 8 - - - - - 8 Pierre Frééric SRRUS (98-8) Frsız F CHIO (?-?) trfı 8 ılı ılı het OPÇU Bilgisr Destekli Nüerik liz Eskişehir Osgzi Üiversitesi http://fogueutr/topcu/
DEERMİNN VE MRİSLERLE DÖR İŞLEM uruu CHIO oğru ugulz stır ile ir şk stır olck şekile eğiştirilir Her stır eğişikliği eteritı işretii eğiştiriğie souç (-) p ile çrpıllıır Bur p stır eğiştire sısıır LPLCE çılıı: Bu ötee göre eteritı çılıı ir stır ve ir kolo göre pılilir i stır göre çılı: j kolo göre çılı: et ( ) ij (i sit) et ( ) ij j i j ij i i j ij (j sit) () Burki ij terii ij eleıı uluuğu stır ve kolou siliesi ile oluş (-)(- ) outlu lt trisi eteritıır Kklr ij teriie ij i iörü (-) ij ij teriie ij i işretli iörü kofktörü eilekteir stır göre çılı öreği: et ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) kolo göre çılı öreği: et ( ) - ( ) - ( ) - - (-- ) ( ) ( ) Öreklere görüleileceği gii çok sıfırlı stır ve kolo göre çılı işleleri zltır Üstü çizili terileri z gerek oktu! SRRUS CHIO ve LPLCE öteleri küçük trisleri eteritlrıı el hesı kullılilir sece trihsel eğeri vrır Progrl hiç ugu eğilirler Bilgisr eterit hesı içi GUSS ve ezeri ltertif öteler kullılır Deterit özellikleri Mtrisi i stırı ile i kolou eğiştirilirse eteritı eğeri eğişez olısıl etet geçerliir Mtrisi iki stırıı ve iki kolouu erleri eğiştirilirse eterit işret eğiştirir: Hesp sırsı öreği e göre CHIO etou ise stır ile şk ir stır er eğiştirilir Hespl eterit - ile çrpılır Mtrisi ir stırıı ve kolouu tü elelrı sıfır ise eterit sıfırır Digol ve üçge trisleri eteritı igol elelrı çrpıı eşittir Örekler: 9 I C 8 D E 8 98 9 Det 9 et I et C (-)- et D 8 et E 9 Gözle: Digol ve üçge trisleri igol elelrı iri sıfır ise eterit sıfırır Digol elelrı kre lt tris ol ölüüş igol trisi eteritı lt trisleri eteritlrıı çrpıı eşittir Pierre Sio Lplce(9-8) Frsız: e ılı het OPÇU Bilgisr Destekli Nüerik liz Eskişehir Osgzi Üiversitesi http://fogueutr/topcu/
DEERMİNN VE MRİSLERLE DÖR İŞLEM het OPÇU Bilgisr Destekli Nüerik liz Eskişehir Osgzi Üiversitesi http://fogueutr/topcu/ Örek: Mtrisi i stırı j stırı eşitse ve i Kolou j Kolou eşitse eterit sıfırır Mtrisi i stırı j stırı sit ir c ktı ise trisi stırlrı oğrusl(lieer) ğılıır eir Stır ve kololrı oğrusl ğılı trisi eteritı sıfırır Dolısıl; eteritı sıfır ol trisi stır ve kololrı oğrusl ğılıır 8 Mtrisi ir stırıı ve kolouu sit ir c sısı ile çrpılrk şk ir stır ve kolo ekleesie stır ve kololrı oğrusl irleştirilesi eir Stır ve kololrı oğrusl irleştirile trisi eteritı eğiştirez 9 Sietrik ve pozitif tılı trisi eteritı sıfır fklıır Kesi igol ğırlıklı trisi eteritı sıfır frklıır (k:ölü sf ) Örek: Kofktör trisi ve joit tris kre trisii her ij eleı it işretli iörüüã (-) ij ij o eleı oluğu stır ve kolo zılsı ile oluş trise kofktör trisi; kofktör trisii trspozu joit(ek) tris eir Örek: Düzeli tris - üzesiz tris tıı Deteritı sıfır ol trise üzesiz sıfır frklı ol trise üzeli tris eir Bşk isiler e verilir Düzesiz tris: tekil tris sigüler tris Düzeli tris: tekil ol regüler sigüler ol tris Özetle: Det ise tekil ol ve üzeli ve regüler tris eir Det ise tekil ve üzesiz ve sigüler tris eir - > - 8 > - - oluğu B kesi igol ğırlıklıır et B-8 ır > 8 B ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ - - - - K Kofktör trisi 8 8 8 8 8 8 K j () et et et et et et et et [ ] 9 ) ( 9 9 et et 9
DEERMİNN VE MRİSLERLE DÖR İŞLEM Doğrusl ğılılık ve rk tıı Bir trisii kololrıı te kolo vektörü ile göstereli: [ ] Örek : E z iri sıfır frklı ol uu ışı te kefi ol c c c sit sılrı ile kolo vektörleri çrpılıp toplığı ir sıfır vektör ele eilirse trisi kololrı oğrusl ğılıır eir: c c c () Bu ğıtı sece ve sece c c c içi sğlıors kololr oğrusl ğısızır Yukrı verile trisii irici kolou ikici kolou ve so kolou - ile çrpılıp toplırs - sıfır vektör uluur O hle trisi kololrı oğrusl ğılıır Buu öeli zı lı vrır: Vektörlere iri iğerlerie ğılı olrk hesplilir Yukrıki ifee - - Kololrı oğrusl ğılı ol trisi eteritı sıfırır ifesi slı c c c c Doğrusl ekle sistei ile ı lır Bu ekle sistei c içi sğlır ck c ve et uruu sğlır O hle et c olk zoruır Mtrisi tü kololrı oğrusl ğılı olilir ve tüü ğısız olilir zılrı ğısız zılrı iğerlerie ğılı olilir vektörü r tesi ğısız ise r ir ve r e trisi rkı eir -r trisi oğrusl ğılı kolo sısıır ve rk rtığı eir Doğrusl ğılılık rk ve rk rtığı tıı trisi kolo vektörleri içi ukrı verili ı tılr trisi stır vektörleri içi e geçerliir O hle outlu ir trisi he stır he e kolo rkı vrır ck stır rkı ve kolo rkı iririe eşittir Rk ve e küçük olı eşit ve h küçüktür Verile ilgiler ışığı r rkıı şöle e tıliliriz: trisii rr outlu öle ir lt trisi vrır ki u lt trisi eteritı sıfır frklıır Ugul krşılşıl ekle sistelerie ktsılr trisi geele kre tris ir Dekle sisteii çözüü ck ve ck r ise üküür Buu lı he stır he het OPÇU Bilgisr Destekli Nüerik liz Eskişehir Osgzi Üiversitesi http://fogueutr/topcu/
DEERMİNN VE MRİSLERLE DÖR İŞLEM e kolo vektörlerii oğrusl ğısız olsı gerektiğiir Çükü ksi hle ktsılr trisii eteritı sıfırır i üzesiz ir tristir Dh ir e ols < (z ekle çok iliee) ve > (çok ekle z iliee) ol ekle sisteleri ile e krşılşılır < uruu orl olrk stırlr oğrusl ğısız kololr ğılıır: r - > uruu orl olrk kololr oğrusl ğısız stırlr ğılıır: r - ir Bir trisi kolo ve stırlrıı oğrusl ğılı olup olığıı ğılıs hgilerii oluğu ı r rkıı elirleesi öeliir ck ur verile ilgiler oğrusl ğılılığı ve rkı elirleesie çok sit tris pılrı hriç etersiz klır Örekler: B C Mtrislerie içi r tür çükü u trisi kololrıı ve stırlrı c c c ile çrprsız ulursuuz şk hiçir c i içi u çrpı olz o hle et ır B trisie r ir çükü u trisi kololrıı ve stırlrıı c c c ile çrprsız ve c c c çrprsız ulursuuz o hle et B ır C trisii rkıı elirleesi ise iğerleri kr kol görüüor olısıl et C hkkı hee ir oru pk ükü eğilir Dh sor ve ölülere ele lıck ol ekle sistelerii çözü ötelerie rkı geel olrk sıl elirleeceği tekrr ele çıklcktır Mtrislerle ört işle ritetikte ve sılrıı toplsı çıkrılsı çrpılsı ve ölüesi soucu üçücü ir c sısı hesplır Mtris otsou ezer ört işleler pılrk ve trislerie c trisi hesplır şğıki tlo ritetik ört işle ve tris otsouki krşılıklrı özetleiştir Dört işle: ritetik krşılığı Mtris krşılığı opl c c çıkr c- c- Çrp c c c/ Yok! Böle c: Yok! c(/) Yok! c - c - Biliiği gii - sısı sısıı tersiir Bezer şekile - trisi trisii tersiir Dikkt eilirse trislere öle işlei sece trisi tersi ile tılktır opl ve çıkr: İki trisi toplilesi ve çıkrılilesi içi outlrıı ı olsı gerekir ve B trislerii toplsı ve çıkrılsı soucu oluş ı outlu C trisii C ± B (8) Eşit outlu het OPÇU Bilgisr Destekli Nüerik liz Eskişehir Osgzi Üiversitesi http://fogueutr/topcu/
DEERMİNN VE MRİSLERLE DÖR İŞLEM het OPÇU Bilgisr Destekli Nüerik liz Eskişehir Osgzi Üiversitesi http://fogueutr/topcu/ 8 8 elelrı ve B i krşılıklı elelrıı toplsı ve çıkrılsı ile uluur: c ij ij ± ij Örek: opl ve çıkr özellikleri ± B ±B ± (B ± C) ( ± B) ± C ( ± B) ± B Çrp İki trisi çrpılilesi içi kurllr vrır: ve B trislerii çrprk ir C trisii hesplilek içi ı kolo sısı B i stır sısı eşit ollıır(uguluk koşulu): C s B s Çrpıl trisleri eşit outlrı tılır kl outlr C i outuur: C i stır sısı ı stır sısı C i kolo sısı B i kolo sısı eşittir C i i stır ve j kolouki c ij eleı ı i stırıki elelrı B i j Kolouki elelr ile krşılıklı çrpılıp toplsı ile uluur: El hesplrı çrpıı lşılır kılk ve kollştırk içi FLK şesı kullılır: Örek: Sigur FLK (??) l 9 civrı geliştiri C B 8 9 9 8 C Eşit ollı k kj ik j i j i j i ij c C B c C B i FLK şesı B (9) () D B D C B çrpıı içi ı sğı ve üste B trisi çizilir ı sğı ı stırlrı kr stır B i ltı B ı kololrı kr kolo çizilir Oluş tris C i outlrıır ı ir stırıki sılr B i ir kolouki sılrl krşılıklı çrpılıp toplır u topl o stır ve o kolou C e irleştiği hücree zılır FLK şesı ve c eleıı hesı sol örek olrk gösteriliştir: c B C
DEERMİNN VE MRİSLERLE DÖR İŞLEM 9 Yukrı verile kurllr üç ve h çok trisi çrpıı içi e ugulır örek: D t B s C st Eşit ollı Eşit ollı Uguluk koşulu: ı kolo sısıb i stır sısı ollı B ı kolo sısıc i stır sısı ollı D i outu ı stır sısı C i kolo sısıır B C B C D B C i FLK şesı 9 9 8 8 D B Not: Bur öce B hesplış ulu ei tris C ile sğ çrpılrk D uluuştur Öce B C hesplrk ulu ei tris sol ile çrpılrk ı D uluiliri ck u uruu h çok işle gerektireceği çıktır Mtris çrpııı özellikleri B C ( B ) C (B C ) (B C ) B C ( B C M N) N M C B k ef k k k k k k k k k k Mtrisi k ef toplsı trisi elelrıı k t sı siti ile çrpııır Geelleştire: Mtrisi ir sit(gerçek ve t sı) ile çrpk içi tü elelrı o sit ile çrpılır k k ef B B Örekler: B 8 8 B B k ifesi kre trisii keisile k ef çrpıı lıır( k pozitif tsı): I Çrpı trisleri eri eğiştirileez ritetikte ır fkt trislere çok özel urulr hriç trisi çrpıki eri kesilikle eğiştirileez Değiştirilirse uguluk koşulu sğlilir sğls ile souç frklı olur C 8 D E F Görülüğü gii B B ır Souç trisleri he outlrı he e elelrı frklıır! C D DC Görülüğü gii outlr ı ols ile C D D C ır! het OPÇU Bilgisr Destekli Nüerik liz Eskişehir Osgzi Üiversitesi http://fogueutr/topcu/ 9
DEERMİNN VE MRİSLERLE DÖR İŞLEM het OPÇU Bilgisr Destekli Nüerik liz Eskişehir Osgzi Üiversitesi http://fogueutr/topcu/ ı outlu iki köşege trisi çrpı erleri eğiştirileilir 8 Biri tris ile çrpı 9 İki üçge trisi çrpıı İki vektörü çrpıı Geelleştire: [ ] [ ] içi? F F B B B B I I [ ] [ ] 8 EC CE İki lt üçgei çrpıı ir lt üçgeir İki üst üçgei çrpıı ir üst üçgeir Bir lt ve ir üst üçgei çrpıı olu ir tristir Bir üst ve ir lt üçgei çrpıı olu ir tristir Kolo vektörü ile stır vektörüü çrpıı ir tristir Stır vektörü ile kolo vektörüü çrpıı ir sıır Mtrisler sietrik ols hi C E E C ır! F tılı F tısız! tısız! tısız! tısız! tısız! I I I B B B I tısız! B I B I B tısız!
DEERMİNN VE MRİSLERLE DÖR İŞLEM tısız! tısız! tısız! tısız! Köşege trisi ir tris ile çrpıı Çok z çrpı gerektirir sıfır sılrı ile çrpı pılz İki sietrik trisi çrpıı sietrik eğilir B B Sietrik B Sietrik eğil! Mtrisi izi: kre trisii köşege elelrıı toplı trisi izi eir iz ile gösterilir: iz B B olsı rğe her iki çrpıı izi ıır: B 8 B B 8 9 9 iz B-8 iz B 9- B B olsı rğe şğıki ğıtı geçerliir ( ve B kre tris): et ( B)et (B )et et B B 8 B 9 8 B 9 et ( B)-8-9- et B -8-9- et - et B- - - et ( B) et (B ) et et B- - het OPÇU Bilgisr Destekli Nüerik liz Eskişehir Osgzi Üiversitesi http://fogueutr/topcu/
DEERMİNN VE MRİSLERLE DÖR İŞLEM et ( ± B) et ± et B ir Bir üstteki trislere: - B B et (B)- - - et et B -(-)(-)(-) - -8 Sıfır frklı ve B gii iki trisi çrpıı sıfır tris olilir B trisleri içi B ır B B C (BC) (B-C) (DE) Bu özellik eeile solki ifelere trisi özel urulr ışı kısltılz Özel urulr: et ise ve trisii kololrı oğrusl ğısız ise kıslt pılilir ers tris hesı sorsı u kou öülecektir Fkt e ee B sıfırır? i stırı j stırı ile eğiştiriliş iri tris ir trisi ile sol çrpılırs ı i stırı ile j stırı er eğiştirir sğ çrpılırs i Kolou ile j Kolou er eğiştirir stırı ile stırı eğiştiriliş iri trisi sol çrpılığı trisi e ı olu stırlrı er eğiştiriş stırı ile stırı eğiştiriliş iri trisi sğ çrpılığı trisi e ı olu kololrı er eğiştiriş 8 Bölüüş trisleri çrpıı Büük trisleri çrpıı içi trisler ölüek zoru klıilir ve B trisleri çrpılrk C B hesplcks ve B üşe ve t oğrulrl lt trislere ölüür: ı stırki lt tris sısı B i koloki lt tris sısı eşit ollı (uguluk koşulu) ı lt trisleri ile B i lt trisleri uguluk koşuluu sğllı B c c B C c c B Mtrisler c ugu ve çrpı uguluk koşuluu sğlck şekile lt trislere ölüür Bolüüş trisleri lt trisleri çrpılrk souç trisi lt trisleri hesplır c c c c het OPÇU Bilgisr Destekli Nüerik liz Eskişehir Osgzi Üiversitesi http://fogueutr/topcu/
DEERMİNN VE MRİSLERLE DÖR İŞLEM het OPÇU Bilgisr Destekli Nüerik liz Eskişehir Osgzi Üiversitesi http://fogueutr/topcu/ Örek: lt trisleri çrpıı: 9 Digol elelrı lt tris ol iki trisi çrpılsıl ulu ei trisi e igol elelrı lt tris olur Örek: ers tris ers tris kvrı ritetikteki öle işleii krşılığıır ck tris işlelerie hiçir z öle işleie hseilez ritetikte ir gerçek sısıı tersi ile tılır ifesii tris işlelerie krşılığı - I şeklieir Bur - trisi trisii tersi I iri tristir Mtris keie it ters trisi ile çrpılığı iri tris uluur Biliiği gii ir sıı tersii olsı içi o sı sıfır frklı ollıır Bezer şekile ir trisi tersii olsı içi o trisi eteritı sıfır frklı ollıır Bu eele ters tris sece eteritı sıfır frklı (üzeli) kre trisler içi tılıır Veriliş ir trisii tersii hesı içi frklı öteler vrır Bur outlu tris içi sit ir forül ve ve tris içi joit(ek) tris ötei çıklcktır Bu ötei sece teorik öei vrır ilgisr progrlrı içi hiç ugu eğilir(ugul kullıl öteler içi k: Bölü 8) B B C B c c c c () [ ] 8 - - - [ ] [ ] 8 - - - [ ] [ ] [ ] - 8 - - - - c [ ] [ ] [ ] 8 c C - - B B 9 B B
DEERMİNN VE MRİSLERLE DÖR İŞLEM het OPÇU Bilgisr Destekli Nüerik liz Eskişehir Osgzi Üiversitesi http://fogueutr/topcu/ outlu trisi tersi içi forül: et et Örek: joit tris ötei: Bu ötee göre trisii tersi et et j forülü ile hesplır Kofktör ve joit trisi tıı sf 9 verilişti Örek:? SRRUS kurlı göre et (-) (-)-(-) (-)- - - et oluğu trisi tersi vrır K j K ers tris - - I oluğu kotrol eileilir ers trisi özellikleri - - I ( - ) - ( ) - ( - ) (Not: ( - ) ifesi ze sitçe - şeklie e zılır) ise ( - ) - ir ( B C M N) - N - M - C - B - - k (k) (k olk üzere herhgi ir sit sı) et et 8 tris içi forül: et et ollı! () () ı igol elelrıı erii eğiştir li igoli işretlerii eğiştir Det ı hespl Her eleı et öl Kofktörler trisi ) ( ) (
DEERMİNN VE MRİSLERLE DÖR İŞLEM 9 Köşege trisi tersi: D D ii ollı Köşege elelrı kre lt tris ol köşege trisi tersi lt trisleri tersi lırk ı köşegee zılsıl hesplır: Örek: et ii ollı [ ] lt üçge trisi tersi gee ir lt üçge üst üçge trisi tersi gee ir üst üçgeir Örek: L 8 L 8 8-8 - Nokt sor sece üç he veriliş üçücü he uvrltılıştır U 8 U 8 8 8 - - Bt trisleri tersi te oluur Örek: - 8-9 - 8 9 8-8 9 - - 8 8-8 - - 9 8-9 9 - - 9-8 9-9 - - 8-8 - 9 - - 8 8 8 Kıslt: tris ğıtılrı kıslt işlei elli koşullr sğlıkç pılz! et ise her iki trf - ile sol çrpılır ve - I oluğu htırlırs şğıki ifelere trisi kısltılilir: B - B - B B C - B - C B C (BC) - (BC) - BC (B-C) (DE) - (B-C) - (DE) B-C DE het OPÇU Bilgisr Destekli Nüerik liz Eskişehir Osgzi Üiversitesi http://fogueutr/topcu/
DEERMİNN VE MRİSLERLE DÖR İŞLEM ikörtge trisii kololrı oğrusl ğısız ise i rk ise F trisi outlu üzeli ir tris olur i F ( ) tılıır et F ır Bu eele şğıki ifeler zılilir: B s ( ) B s ( ) B s F trisi et F F - vr Dolısıl u tris kısltılilir Sıfır tris F trisi et F F - vr Dolısıl u tris kısltılilir (B s -C s )(D s E s )( ) (B s -C s )( ) (D s E s ) B s -C s ( ) (D s E s ) et uruu B C ifesie kısltılz: Souç s outlu ir tris olur B 9 C trisleri içi 9 B C ir Bur kısltılrk BC ir eileez ee? Çükü çıkç görülüğü gii B C ir et ır i - oktur ı kısltız sıfır öle ptığıız lı gelir B C ifesie et ols hi kısltılz çükü: - B - C B - C ve B - C - B - C ir B C D ifesie et ols hi kısltılz çükü: - B - C D B - C D ir kre tris ve r s kolo trisleri olsu: r r r r Bur r vektörlerie hiç iri kısltılz! sit ir sıır r s s s Bur e s e e s kısltılilir! sit ir sıır rr r r Bur r vektörlerie hiç iri kısltılz! ir tristir Mtris eşitliğie ukrı çıkl koşullr sğlıkç kefi kıslt pılcğı gii eşitliği solu ve sğı kefi ir tris ile e çrpılz ksi hle eşitlik ozulur Eşitliği her iki trfı sece ve sece çrpılıkt sor gerekirse kısltılile ir tris ile çrpılilir Öreği eteritı sıfır frklı herhgi ir tris ile ve kololrı oğrusl ğısız ir tris ile çrpılilir het OPÇU Bilgisr Destekli Nüerik liz Eskişehir Osgzi Üiversitesi http://fogueutr/topcu/
DEERMİNN VE MRİSLERLE DÖR İŞLEM Ortogol tris ) kre trisi kei trspozu ile sol ve sğ çrpılığı iri tris oluşuors ortogolır eir: I ers tris tıı I ile krşılştırılırs ortogol trisii trspozuu ı z ı tersi oluğu lşılır: Örek : Cosα Siα Siα Cosα Cosα Siα Siα Cosα Cosα Siα Siα Cosα Cosα Siα Siα Cosα ) ikörtge trisi kei trspozu ile sol çrpılığı iri tris oluşuors ortogolır eir: I Örek: Cosα Si α Cosα Siα I Cosα Si α Cosα Cosα Siα Siα Cosα Cos α SiαCosα Siα SiαCosα Si α Cos α SiαCosα I SiαCosα Si α Dikkt: ikörtge ortogol trisii tersi tılı olığı gii ir Mtrisleri litik türev ve itegrli Nüerik lize ire e ols litik türev ve itegrl lk gerekir Özet ilgiler şğı veriliştir litik türev Elelrı ir eğişkeii foksiou ol trisi e göre türevi her eleı türevi lırk uluur: [ ] [ ] Bzı kklr ortogol erie ortoorl olrk lırktır strt ir kvr oktur het OPÇU Bilgisr Destekli Nüerik liz Eskişehir Osgzi Üiversitesi http://fogueutr/topcu/
DEERMİNN VE MRİSLERLE DÖR İŞLEM 8 Örek: şğıki trisie ve sit gerçek sılr eğişkeir ı e göre ve türevi? Log( ) Si() e Cos() e Si ( ) e Örek: şğıki trisie ve sit sılr ve eğişkeir ı e ve e göre türevi? Si() Si ( ) Si ( ) Log( ) e e Log( ) e c ir sit ve B trislerii terileri i foksiou olk üzere şğıki ğıtılr geçerliir: ( c) c B ( B) B ( B) B ürev vektörü: olsu ilieelerie oluş kolo vektörü [ ] vektörüü opertörü ve ifersiel opertör eir: kısi türev opertörlerii vektörüe türev vektörü ve türev ürev opertörü Vektörü vektöre göre türevi kolo vektörü ve ellrı ilieelerii foksiou ) [ ] kolo vektörü veriliş olsu vektörüü vektörüe göre ol [ ] türevii lk isteeli: ) türevi oktur çükü u iki vektörü tris çrpıı tısızır! het OPÇU Bilgisr Destekli Nüerik liz Eskişehir Osgzi Üiversitesi http://fogueutr/topcu/ 8
DEERMİNN VE MRİSLERLE DÖR İŞLEM het OPÇU Bilgisr Destekli Nüerik liz Eskişehir Osgzi Üiversitesi http://fogueutr/topcu/ 9 9 ) [ ] Örek: e ) Si( i vektörüe göre türevi? ) ) ( e Si tısız! ) [ ] ) ( ) ( ) ( Cos e Si e Si ) [ ] kolo vektörüü ilieelerie göre türevi: ) tısızır! ) [ ] c) Biririi foksiou ol [ ] ve [ ] kolo vektörleri veriliş olsu: ) tısızır! Jcoi Jcoiiri tris Bu trise Jcoi eir ve geellikle J ile gösterilir Difersiel opertör trisi
DEERMİNN VE MRİSLERLE DÖR İŞLEM het OPÇU Bilgisr Destekli Nüerik liz Eskişehir Osgzi Üiversitesi http://fogueutr/topcu/ ) [ ] ) Bezer şekile: tısız! ) Sıkç krşılşılilecek tris türev forülleri şğı veriliştir ve kolo vektörü sit gerçek sılr içere ir tristir ve iririe ğısızır Mtris çrpılrıı tılı oluğu vrsılıştır: I Jcoisıfır tris Çükü i elelrı i elelrı ğısızır I (iri tris) (sıfır tris) I (iri tris) (sıfır tris) i sietrik eğilir! i sietriktir!
DEERMİNN VE MRİSLERLE DÖR İŞLEM Özel ugul: Solu elelr etou ir sistei topl potsieli π ile verilir Bur er eğiştire kolo vektörü ış ük kolo vektörü siste rijitlik trisi π topl potsieliir sit sılr oluşur ve iliir hesplk isteir Sistei ege kouu π iiuur π eğeri π i foksiouur Sistei ege kouu ollıır: π uluur Bu ğıtı sistei ege koşuluur ve oğrusl ir ekle sisteiir Dekle sistei çözülerek iliee er eğiştire vektörü hesplır litik itegrl Bir trisi tek ve çok ktli itegrli her eleı itegrli lırk uluur örekler: [ ] [ ] [ ] Özel ugul: Solu elelr etou iç kuvvetleri işii hesı krşılşıl ir itegrl: w i Bur sietriktir ve sit terili i ir Mtris çrpııı itegrli tipie itegrller ile teorie krşılşılır ı elelrı ve z i foksiou B ise gerçek sılr oluşur B tris çrpıı pıl itegrl lız Öce çrpı pılrk B z D B trisi sor D z itegrli hesplır D trisii elelrı geele çok krşık foksiolr içerir u uru litik itegrso erie üerik itegrso etotlrı kullılır het OPÇU Bilgisr Destekli Nüerik liz Eskişehir Osgzi Üiversitesi http://fogueutr/topcu/