Fiz 1012 Ders 6 MANYETİK ALAN KAYNAKLARI Biot Savart Yasası Hareket Eden Parçacığın Manyetik Alanı Akım Taşıyan İletkenin Manyetik Alanı Ampère Yasası Manyetik Akı Gauss Yasası Yerdeğiştirme Akımı (Ampère - Mawell Yasası) http://kisi.deu.edu.tr/mehmet.tarakci/
Biot Savart Yasası Hans Christian Ørsted (1777-1851) in 1819 da akımtaşıyan bir iletkenin yakınına getirilen pusulanın iğnesini saptığını gözlemlemiştir. Daha sonra, Jean Baptiste Biot (1774-1862) ve Felix Savart (1791-1841) bir elektrik akımının yakınındaki bir mıknatısa uyguladığı kuvvetle ilgili olarak (birbirinden bağımsız bir şekilde ve eş zamanlı) yaptıkları deneylerden yola çıkarak uzayın bir noktasındaki manyetik alanın, bu alanı oluşturan akımla (veya hareket eden yükle) olan ilişkisinin matematiksel ifadesini elde etmişlerdir. Bu yasaya Biot Savart Yasası denir.
Hareket Eden Parçacığın Manyetik Alanı Sabit hızla hareket eden pozitif noktasal yükün çevresinde oluşturduğu manyetik alanı Deneyler manyetik alan B nin q r2, v ve Sin φ ile orantılı olduğunu gösterir. Fakat manyetik alanın yönü r nin doğrultusunda değildir; r ile v nin oluşturduğu düzleme dik doğrultudadır. B = μ o 4π q v sin φ r 2 B = μ o qv r 4π r 2 sabit hızla hareket eden noktasal yükün manyetik alanı μ o = 4π 10 7 T m A boşluğun manyetik geçirgenliği
Örnek 1: Hareket halindeki iki proton arasındaki kuvvet. İki proton şekilde görüldüğü gibi x-eksenine paralel zıt yönlerde aynı v hızı ile hareket etmektedir. Grafikte gösterildiği anda A noktasında bulunan protona etki eden elektrik ve manyetik kuvveti bulup kuvvetleri karşılaştırınız.
Akım Elemanının Manyetik Alanı Hareket eden birden fazla parçacığın yarattığı toplam manyetik alan her bir parçacığın yarattığı alanların vektörel toplamıdır. n birim hacimdeki yük taşıyıcısı sayısı ile dl iletken parçasındaki toplam hareket eden yük dq = q nadl N v d sürüklenme hızı ile hareket eden dq yükünün P noktasında meydana getirdiği manyetik alan şiddeti db = μ o 4π dq v d sin φ r 2 = μ o n q v d Adl sin φ 4π r 2 I = n q v d A db = μ o I dl sin φ 4π r 2 db = μ o Idl r 4π r 2 B = μ oi 4π akım elemanının manyetik alanı a b dl r r 2 L uzunluklu bir telin manyetik alanı
Örnek 2: 2a uzunluğunda üzerinden I akım taşıyan düz bir telin merkezinden x kadar uzaklıkta oluşturduğu manyetik alanı bulunuz.
Örnek 3: Şekild görüldüğü gibi, kararlı bir I akımı taşıyan ve yx düzleminde bulunan R yarıçaplı çembersel bir tel ilmek veriliyor. Bu ilmeğin, ekseni üzerinde merkezinden bir x uzaklıkta bulunan bir P noktasındaki manyetik alanı hesaplayınız. B = μ o Ia 2 2 x 2 + a 2 3 2 x = 0 B = μ oi 2a x a B μ oia 2 μ = I πa 2 B μ o 2π 2x 3 μ x 3
Örnek 4: Şekilde yatay xy-düzlemine dik ve zıt yönlerde I=3,00 A akımı taşıyan iki sonsuz telin arkadan görünüşü veriliyor. a) Manyetik alanın büyüklüğünü ve yönünü P 1, P 2 ve P 3 noktaları için belirleyiniz. b) x-ekseninde herhangi bir x değeri için manyetik alan ifadesini bulunuz.
Örnek 3: Üzerinden akım geçen iki tel arasındaki manyetik kuvvet Şekilde görüldüğü gibi, kararlı I ve I' akımlarını taşıyan ve aralarındaki uzaklık r olan iki uzun, doğrusal ve paralel tel alalım. Tellerden biri üzerine, diğer telin oluşturduğu alandan ötürü etkiyen kuvvet nedir? I akımından r kadar uzakta oluşturduğu manyetik alan B = μ oi 2πr B manyetik alanında üzerinden I' akımı geçen L uzuluğundaki tele etki eden manyetik kuvvet F = I L B F = I LB sin 90 F = μ oii L 2πr
Ampere Yasası Hans Christian Ørsted (1777-1851) in 1819 da akım-taşıyan bir iletkenin yakınına getirilen pusulanın iğnesini saptığını gözlemlemiştir. B dl = B dl cos 0 = B dl Pusulanın yönü B nin yönünü gösterdiğine göre, manyetik alan çizgileri, teli eksen kabul eden çemberler oluşturdukları sonucuna varılır. Simetriden ötürü, B nin büyüklüğü, tele dik olan bir düzlem içinde kalan ve merkezi tel üzerinde olan çembersel bir yol üzerindeki her yerde aynıdır. B = μ oi = μ 2πr oi 2πr 2πr = μ oi B dl = μ o I 2πr Ampère Yasası Bu sonuç, bir teli çevreleyen özel bir çembersel yol durumu için elde edilmiş olmasına rağmen, kararlı (zamanla değişmeyen) bir akımı çevreleyen keyfi biçimli bir kapalı yol içinde geçerlidir.
Uzun bir silindiriksel iletkenin manyetik alanı R yarıçaplı uzun düz bir tel, telin enine kesiti boyunca düzgün bir dağılımı olan sabit bir I akımı taşır. A ve B noktalarındaki manyetik alanın değeri ni bulunuz. B dl = μ o I Ampère Yasası
Bir solenoitin manyetik alanı Solenoitin bobinleri yakın aralıklarla yerleştirildiğinde, her bir dönüşe dairesel ilmek olarak bakılabilir, ve net manyetik alan her bir ilmek için manyetik alanların vektör toplamıdır. Bu solenoit içinde yaklaşık olarak sabit olan bir manyetik alan üretir ve solenoitin dışında sıfıra yakındır. Bobinler birbirine çok yaklaştığında ideal solenoite yaklaşır bunun yanında solenoitin uzunluğu yarıçapından daha büyüktür. Bundan sonra solenoitin dışında sıfır solenoitin içinde sabit olan manyetik alana yaklaşabiliriz. B dl = μ o I Ampère Yasası B = μ o ni
Bir toroidin manyetik alanı Bir toroid gösterildiği gibi bir daire içerisine bükülmüş bir solenoit olarak düşünülebilir. Toroideki dairesel yol boyunca Ampere kanununu uygulayabiliriz. B ds = μ o I Ampère Yasası B NI 0 2 r
Manyetik Akı Manyetik akı da elektrik akısı gibi tanımlanır, yüzeyden geçen manyetik alan çizgi sayısıdır. Buna göre, da alanından geçen manyetik akı d B BdA cosθ A yüzeyinden geçen toplam akı; da B B B d A da yüzey elemanlarından geçen manyetik akıların toplamı olur. A yüzeyi manyetik alana dik ise (cos0=1) akı en büyük değeri alır. Buna göre; B B A A B Manyetik akının SI birim sisteminde weber (Wb) denir. 1Wb 1Tm 2
MANYETİZMADA GAUSS YASASI Seçilen kapalı bir A yüzeyinden geçen toplam elektriksel akı o yüzeyin çevrelediği yükün e o a oranı kadardır. Φ E E da ε q o Benzer şekilde Gauss yasasını manyetik alan içinde ifade edebiliriz. Fakat durum, manyetik alanlar için oldukça farklıdır. N S Manyetik alan çizgileri sürekli olup kapalı ilmekler oluştururlar. Çizilen herhangi bir kapalı yüzey içine giren manyetik alan çizgi sayısı, çıkan manyetik alan çizgi sayısına eşittir. Bu nedenle net manyetik akı sıfırdır. Φ B Bd A 0
YERDEĞİŞTİRME AKIMI (Ampere Yasasının Genel Biçimi) Şekildeki gibi paralel iki levhayı (kondansatörü veya sığayı) dikkate alalım, levhaların uçlarını bir üretece bağladığımızda, levhalar arasındaki potansiyel fark üretecin potansiyeline eşit olana kadar devreden zamanla değişen bir I akımı geçer. Fakat levhalar arasında bir akım geçmez. Bu duruma Ampère yasasını uygulayalım; S 1 S 2 B dl μ o I (Ampère Yasası) I +Q -Q I Ampère yasası P kapalı yolun çevrelediği herhangi bir yüzeyden geçen toplam sürekli akım I ise, bu yol P yolu üzerinden B.ds çizgi integrali m o.i ya eşittir. Şekildeki gibi P yolunun çevrelediği S 1 ve S 2 yüzeylerini dikkate alalım. Eğer P yolunu S 1 yüzeyini çevreliyorsa S 2 yüzeyini çevreliyorsa Bdl μoi B dl 0 S 1 yüzeyinden I akımı geçer. S 2 yüzeyinden iletim akım geçmez.
Akımın süreksizliğinden kaynaklanan ve Amere yasasının açıklayamadığı bir durumla karşı karşıyayız. Maxwell, Ampere yasasının sağına yerdeğiştirme akımı, Id denen aşağıdaki terimi I d ε o dφ dt E Φ E A E d P yolunun çevrelediği yüzeyden geçen elektrik alan akısı ekleyerek bu problemi çözdü. Kondansatör yüklenirken (ya da boşalırken), levhaların arasındaki dğişen elektrik alanı, teldeki iletim akımının devamı olan bir akıma eşdeğer olarak düşünülebilir. dφ E B ds μoi μoεo (Ampère-Maxwell Yasası) dt S 2 S 1 Levhalar arasındaki elektrik alan düzgün ve sabittir. I -Q +Q I E Q/ε o A ΦE(S 2 ) EdA EA Q ε o I d ε o dφ dt E dq dt