4/16/013 Ders 9: Kitle Ortalaması ve Varyası içi Tahmi Kitle ve Öreklem Öreklem Dağılımı Nokta Tahmii Tahmi Edicileri Özellikleri Kitle ortalaması içi Aralık Tahmii Kitle Stadart Sapması içi Aralık Tahmii İki Kitlei Ortalamalarıı Farkı içi Aralık Tahmii Ölçüm Çiftleri içi Aralık Tahmii Üzeride çalışıla tüm gruba, ya da elde edilebilecek tüm souçlara kitle deir. Kitlei her bir üyesi içi ölçülebilir ola değişkelere karakteristik deir. Kitleyi taımlaya sayılsal ölçütlere parametre deir. 1
4/16/013 Kitlei belli bir veya birde fazla özelliğii icelemek üzere seçile bireyler topluluğua öreklem deir Öreklemi taımlayıcı istatistiklerie öreklem istatistiği deir. Bir istatistiği dağılımıa öreklem dağılımı deir. Öreklem ortalaması X ile gösterilir. E X = E X 1+X + +X = 1 E X 1 + E X + + E X = μ x Var X = Var 1 X 1 + X + + X = 1 Var X 1 + Var X + + Var X = 1 σ x σ X = 1 σ x X 1, X,... X ; μ ortalamalı ve σ varyaslı bağımsız rastgele değişkeler olsular; yeterice büyükse buları ortalaması ola X, μ ortalamalı ve σ varyaslı ormal dağılım gösterir
4/16/013 Bir parametre içi tek değerde oluşa tahmie okta tahmii deir. Kitle ortalaması içi öreklem ortalaması, kitle varyası içi öreklem stadart sapması yaygı olarak kullaıla tahmi edicilerdir. Tahmi ile parametre arasıdaki farka hata deir. Yasızlık (Sapmasızlık): Tahmi edicii beklee değerii tahmi edile parametre ile ayı olmasıdır E θ = θ Etkilik: Tahmi edicii varyasıı az olmasıdır. İki tahmi edici arasıda varyası daha az ola, fazla olada daha etkidir Tutarlılık: Öreklem boyutu büyüdükçe tahmii hatasıı sıfıra yaklaşmasıdır. Yeterlilik: Öreklemde alıa tüm bilgiyi kullaa tahmi edicilere yeterli deir. Nokta tahmileri, parametrei tahmie e kadar yakı olduğu kousuda bilgi vermez. Kitle parametresii belirli bir olasılıkla kapsaya aralığa Güve Aralığı deir. %95, %99 ve %90 e sık kullaıla güve aralıklarıdır. Yaılgı payı olarak adladırıla, parametrei güve aralığı dışıda kalma olasılığıı verir. 3
4/16/013 Varyas biliiyorsa; öreklem ortalaması X ı, kitle ortalaması μ ortalama ve σ stadart sapmaya sahip ormal dağılıma sahip rastgele değişkedir. σ P μ Z X μ + Z σ 1 1 = 1 Kitle ortalaması μ içi 1 güve aralığı şeklidedir X ± Z 1 σ Bir LPG tesisideki dolum prosesii stadart sapmasıı 0,15kg olduğu bilimektedir. Rastgele seçile 5 tüpü ortalama ağırlıkları 1,05kg olarak ölçülmüştür. Bua göre, tesiste doldurula tüpleri ortalama ağırlığı içi %95 güve aralığı edir? X ± Z 1 0,15 = 1,05 ± 1,96 σ 5 = 1,05 ± 0,0588kg Öreklemi büyük olması güve aralığıı daraltır acak bu ek maliyet getirir. olasılık ile gerçekleşecek maksimum tahmi hatası e verildiyse, buu sağlayacak e küçük öreklem boyutu = şeklide hesaplaır Z 1 σ e 4
4/16/013 Bir gazlı içecek dolum tesiside her bir şişeye koula içecek miktarıı stadart sapmasıı ml olduğu bilimektedir. Şişelere doldurula ortalama içecek miktarıı e fazla 0,5 ml hata ve %99 güve ile hesaplaabilmesi içi e az kaç şişe ölçülmelidir? = Z 1 σ =,58 ml 106,5 e 0,05ml E az 107 şişe ölçülmelidir. χ dağılımı: X i ~N μ, σ ve X i bağımsız olsu i=1 X i μ U = σ rastgele değişkeie χ rastgele değişke deir. t dağılımı: X i ~N μ, σ ve X i bağımsız olsu V = X μ s t dağılımı gösterecektir. Bağımsız gözlem sayısı ile tahmi edilecek parametre sayısı arasıdaki farka serbestlik derecesi deir Kitle varyasıı bilimediği durumda, kitle varyası yerie öreklem varyası kullaılır. Kitle varyası ile öreklem varyası arasıdaki öreklem stadart sapmasıa göre ormalize edilmiş fark t dağılımı gösterecektir. Kitle ortalaması içi 1 güve aralığı: X ± t 1,1 s 5
4/16/013 Çevre kirliliği üzerie yapıla bir araştırmada, bir akarsu üzeride rastgele seçile 36 oktada ph ölçümü yapıltır. Ölçümleri ortalaması 5,4; varyası 0,35 olduğua göre akarsuyu ortalama ph değeri içi %99 güve aralığı edir? X ± t 1,1 s 0,35 = 5,4 ±,739 5,4 ± 0,159 36 Normal dağılımli bir kitlede alıa öreklemi varyası χ dağılımı gösterecektir. Normal dağılımlı kitlei varyası içi 1 güve aralığı: şeklidedir 1 s χ ; 1 1 s χ Bir fabrikada üretilmiş kiremitlerde rastgele 1 si seçilerek geişlikleri ölçülmüş, öreklemi varyasıı 1,4mm olduğu hesaplamıştır. Kitle varyası içi %90 güve aralığıı buluuz. 1 s 1 s χ ; 1 χ 11 1,4mm 11 1,4mm = ; 19,675 4,575 = 0,783mm ; 3,366mm 6
4/16/013 Birici kitlede alıa öreği ortalaması X 1, ikici kitlede alıa m öreği ortalaması X olsu. var X 1 X = σ 1 + σ m olacaktır. μ 1 μ içi 1 güve aralığı şeklidedir. X 1 X ± Z 1 σ 1 + σ m Bir fabrikada iki farklı takta etil alkol üretilmektedir. Farklı gülerde 15 er kez her iki taktaki üretimi saflığı ölçülmüş, ve aşağıdaki değerler elde edilmiştir, üretim prosesii stadart sapması %0,8 olduğua göre farklı taklarda üretile etaolü saflıkları arasıdaki fark içi %90 güve aralığıı buluuz. Tak 1 Tak 95,4 94,81 93,60 95,40 95,10 95,1 94,94 93,80 94,63 95,73 95,38 95,49 95,30 93,91 95,8 94,3 94,15 96,60 94,48 93,49 94,17 94,91 95,0 96,04 95,33 96,07 94,95 96,36 95,9 94,71 Tak 1 Tak 95,4 94,81 93,60 95,40 95,10 95,1 94,94 93,80 94,63 95,73 95,38 95,49 95,30 93,91 95,8 94,3 94,15 96,60 94,48 93,49 94,17 94,91 95,0 96,04 95,33 96,07 94,95 96,36 95,9 94,71 X 1 = 94,67 X = 95,31 μ 1 μ içi %90 güve aralığı: 94,67 95,31 ± 1,65 0,8 15 + 0,8 15 0,64 ± 0,48 % 7
4/16/013 Varyasları bilimeye acak ormal dağılımlı ve eşit olduğu kabul edile iki kitle içi ortak varyası: s p = 1 s 1 + m 1 s şeklide hesaplaır +m μ 1 μ içi 1 güve aralığı X 1 X şeklidedir. ± t +m,1 s p 1 + 1 m Hem Elektroik hem de Bilgisayar Mühedisliği bölümleri içi zorulu ola bir dersi sıavıda 5 elektroik bölümü öğrecisii ortalaması 76, stadart sapması 18; 49 bilgisayar mühedisliği öğrecisii ise ortalaması 74, stadart sapması 16 dır. İki bölümü öğrecilerii otlarıı eşit varyaslı ve ormal dağıldığı kabul edilmektedir. Bua göre iki bölümü öğrecilerii otlarıı beklee değerleri arasıdaki fark içi %99 güve aralığı edir? Elektroik Öğreci sayısı 5 49 Ortalama 76 74 Stadart sapma 18 16 s p = 1 s 1 + m 1 s +m 5+49 Fark içi %99 güve aralığı: = 4 18 +48 16 Bilgisayar 78,7 76 74 ± t 7;0,995 16,7 1 5 + 1 49 ± 10,9 8
4/16/013 Baze gözlemler çiftler halide yapılır (ör. ayı kişii tasiyou bir ilacı almada öce ve aldıkta sora ölçüldüyse); kitle ortalamalarıı farkı, farkları ortalamasıda daha alamlıdır. Farklar D i = X 1i X i şeklide hesaplaır. μ D içi 1 güve aralığı: D ± t 1,1 S D Yei geliştirilmiş bir yakıt katkısıı yakıt tüketimie etkisi üzeride yapıla bir araştırmada 15 farklı model otomobil bezer şartlar altıda katkılı ve katkısız yakıt ile sürülmüştür. 100 km deki ortalama yakıt tüketimleri aşağıda verilmiştir. Bua göre katkıı yakıt tüketimie etkisi içi %90 güve aralığıı hesaplayıız. Araçlar 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 Katkılı 8,31 7,33 8,66 6,59 6,68 6,43 6,4 7,8 7,4 7,61 7,09 6,5 8,3 6,58 7,36 Katkısız 9,48 7,7 9,57 7,8 7,8 7,4 6, 7,33 7,73 7,96 7,41 6,56 8,03 6,35 7,58 Araçlar 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 Katkılı 8,31 7,33 8,66 6,59 6,68 6,43 6,4 7,8 7,4 7,61 7,09 6,5 8,3 6,58 7,36 Katkısız 9,48 7,7 9,57 7,8 7,8 7,4 6, 7,33 7,73 7,96 7,41 6,56 8,03 6,35 7,58 Fark 1,17 0,37 0,91 1,3 1,1 0,81-0, 0,05 0,33 0,35 0,3 0,04-0, -0,3 0, D = 0,418 S D = 0,51 μ D içi %90 güve aralığı: 0,418 ± t 14;0,90 0,51 0,418 ± 0,178 15 9