SAKARYA ÜNİVERSİTESİ BİLİŞİM TEKNOLOJİLERİ İÇİN İŞLETME İSTATİSTİĞİ Hafta 6 Yrd. Doç. Dr. Halil İbrahim CEBECİ Bu ders içeriğinin basım, yayım ve satış hakları Sakarya Üniversitesi ne aittir. "Uzaktan Öğretim" tekniğine uygun olarak hazırlanan bu ders içeriğinin bütün hakları saklıdır. İlgili kuruluştan izin almadan ders içeriğinin tümü ya da bölümleri mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik kayıt veya başka şekillerde çoğaltılamaz, basılamaz ve dağıtılamaz. Her hakkı saklıdır 2013 Sakarya Üniversitesi 0
BÖLÜM 4 OLASILIK KAVRAMI BÖLÜMÜN AMACI Bu bölümün amacı kesikli ve sürekli olasılık dağılımları ile ilgili temel bilgileri öğrenmek, hangi dağılımların hangi amaçla kullanıldılkarını kavramak, bu dağılım sorularının EXCEL yardımıyla çözülmesini anlayabilmektedir. 4.2. Olasılık Dağılımları İstatistik testlerde kullanılmak üzere toplanan her türlü veri temelde bir dağılım türüne uygmaktadır. Bu dağılımlar verinin türüne göre değişiklik göstermesine karşın, en çok bilinen dağılımlar aşağıda sunulmuştur. Keslikli Olasılık Dağılımları Sürekli Olasılık Dağılımları Binom Dağılım Düzgün Dağılım Poison Dağılımı Üstel Dağılım Hipergeometrik Dağılım Normal Dağılım 4.2.1. Rassal Değişken Dağılım türlerinin anlayabilmek adına öncelikle rassal değişken (şans değişkeni Random Variable) kavramını anlamalıyız. Herhangi bir bağımsız (rastgele veya rassal) olayın olası sonuçlarının nümerik değerlerine Rassal Değişken denir. Rassal değişkenler tamamen rastgele farklı değerler alırlar. İki türlü rassal değişken vardır. 1
Sadece sayılabilir değerler alan değişkenlere Kesikli Rassal Değişken denir. Bir gündeki şikayet sayısı, hane halkını sahip oldukları telefon sayısı, telefon açılmadan önce çalma sayısı gibi değişkenler kesikli rassal değişkenlere örnek olarak gösterilebilir. Bazı durumlarda kesikli rassal değişkenler sadece iki değerde alabilir. Örneğin bir parti mal içerisindeki parçaların kusurlu olması (fire) veya olmaması, bir anketi cevaplayan deneklerin cinsiyeti sadece iki değerli kesikli rassal değişkenlerdir. Sürekli rassal değişken ise sayılamayan değerler alan değişken türüdür. Bir parçanın kalınlığı, bir işi tamamlamak için geçen süre, solüsyonun ısısı, ağırlık gibi değerler sadece kesikli değerler almadıkları için sürekli rassal değişkene örnek olarak gösterilebilirler. Yapılacak ölçüm yöntemi veya aletinin hassasiyetine bağlı olarak her hangi ondalıklı bir değer alınabilir. Bazı durumlarda ölçümler kesikli gibi görünsede ölçüm aleti veya yöntemi değiştirildiğine hassasiyete bağlı olarak değişkenler farklı değerler alabiliyorsa bu durumda bu değişkenler sürekli adledilmelidir. Örneğin kolunuzdaki saat ile bir işin ne kadar sürede yapılabileceğini not aldığımızı düşünelim. Sadece saniye sayarak ölçüm yaparsak değerler 27, 33, 47 gibi tamsayılı çıkar. Bu durumda bu değişkene kesikli demek uygun olmaz. Eğer elimizde 3 haneli hassas bir kronometre olasydı belkide ölçümler 27,003 33,297 47,021 gibi çıkabilirdi. Bu durumda bu değişkenlerin sayılamaz olduğu, yani sürekli olduğu sonucuna ulaşırız. DİKKAT Sürekli değişkenler ölçüm hassasiyetine bağlı olarak farklı değerler alabilirler. 4.2.2. Kesikli Olasılık Dağılımları Elimizde iki adet para olduğunu düşünelim. Bu paraları havaya attığımızda deneyin olası dört sonucu olduğunu fark ederiz. (Yazı Tura, Tura Tura, Yazı Yazı ve Tura Yazı) Burada tura gelme olasılığının hesaplamak istiyorsak, rassal değişkenini para atıldığında tura gelme durumu şeklinde belirlemeliyiz. Aşağıdaki tabloda olası büyün sonuçlar, olasılıkları ve çizilen olasılık dağılımı aşağıdaki gibi olur. 2
Yukarıdaki anlatılanları da dikkate alarak bir kesikli olasılık dağılımının aşağıdaki özellikleri taşıması beklenir. Bir rassal değişkenin () olası bütün sonuçları ve olasılıkları () gösterilmeldir. Bütün olaylar birbirinden ayrıktır. Bir rassal değişkenin olası bütün sonuçlarının olasılıkları toplamı birdir. (Bütün olayların olması olasılıklarının toplamı %100 dür) Herhangi bir olayın olma olasılığı 0 ile 1 arasında bir değer alır. Peki bir deneyin yapıldığı anda olasılıklara bağlı olarak beklenen sonucu ne olur. Örneğin para deneyinde iki parayı havaya attığımızda kaç tanesinin tura olması beklenir. Olasılık biliminde bir deneyin Beklenen Değeri olarak adlandırılan bur değerin, kesikli olasılık dağılımlarında ortalamaya eşit olduğu varsayılır. Beklenen değer aşağıdaki formülle hesaplanır. ÖRNEK Havaya iki adet para atılıyor. Bu iki paradan birinin tura olmasının beklenen değerini belirleyiniz. ÇÖZÜM Tura gelme olasılıklarını önceki örnekte belirlemiştik. Bu durumları, olasılıkları ile çarpıp toplarsak sonucu bulmuş oluruz. Bu durumda iki para havaya atıldığında 1.0 tanesinin tura gelmesini bekleriz. 3
Binom Dağılımı Olası iki sonucu olan deneylerin sonuçlarının binom dağılımına uydukları varsayılır. Örneğin bir basketbol maçı sonucunda galibiyet ve mağlubiyet sonucu oluşuyorsa, bu maçın sonucunun beklenen değeri binom dağılımı yardımıyla bulunabilir. Binom dağılımın karakteristik özellikleri aşağıdaki gibidir. Her bir deneyin iki olası sonucu vardır (Başarılı Başarısız) sabit sayısı kadar deneme gerçekleştirilir Deneydeki her bir deneme diğer denemelerden bağımsızdır başarı olasılığı denemeden denemeye değişmez, her zaman sabittir Eğer başarı olasılığı ise, başarısız olma olasılığı 1 ile gösterilir Binom dağılıma örnek olarak aşağıdaki durumlar sayılabilir. Bir imalat tarafında üretilen ürünlerin muayene sonuçlarına sorunlu veya kabul edilebilir olmaları, Bir firmanın müşterileri ile kontrat yaparken başarılı ve başarısız olmaları Bir pazarlama firması tarafından yapılan anket sonucunda piyasaya sürülen yeni ürünlerin alınabilir olup olmaması (anket cevapları alırım veya almam) Bir mezun tarafından yapılan iş başvurusunun başarılı olup olmaması Binom rassal değişkeni n tane denemedeki başarı sayısını vermektedir. Bu değerler 0,1,2,,n olabilir, bu yüzden binom rassal değişkeni kesiklidir. Binom olasılıkları aşağıdaki formülle hesaplanabilir. ÖRNEK Salih Pektembel istatistik dersini ilk defa alan bir öğrencidir. Kendisi başarılı bir öğrenci değildir. Salih şansına güvenerek sınavı geçmeyi ummaktadır. Sınav 5 şıklı 10 farklı sorudan oluşmaktadır. a. Salih in hiçbir şıkkı tutturamaması ihtimali nedir? b. Sadece iki soruyu doğru yanıtlama ihtimali nedir? c. Salih in bu sınavdan kalma ihtimali nedir? (Sınavı geçmek için sorularının yarısını doğru olmalıdır) 4
ÇÖZÜM Soruyu çözmek için öncelikle, ve parametrelerini belirlemeliyiz. Toplam 10 soru olduğundan 10 alınmalıdır. Herhangi bir soruyu tamamen rastgele olarak doğru yapma ihtimali doğru şıkkı şansa tuturma ihtimaline eşittir ve 0,2 olarak belirlenir. Rastgele seçilen şıkkın doğru olmaması ihtimali ise 1 0,80 şeklinde bulunur. a. b. c. 0 1 2 3 4 0,967 Fakat pratikte bu değerleri hesaplamak yerine her istatistik kitabının sonunda öğrencilere sunulan binom tabloları tercih edilir. Örneğin önceki sorudaki değerleri tablo yardımıyla belirlemeye çalışalım. ÇÖZÜM a. 0 olasılığını direkt olarak tablodan aşağıdaki gibi okuruz. Birden fazla binom tablosu olduğundan 10 olan seçilmelidir. 10,0,20 ve 0 için tablo değeri 0 0,107 olur. b. 2 olasılığını direkt olarak tablodan aşağıdaki gibi okuruz. 10,0,20 ve 2 için tablo değeri 0 0,107 olur. 5
c. Sınıfta kalma olasılığı için tablodan 0,1,2,3,4 olasılıkları bulunup toplanmalıdır. 0 1 2 3 4 0,107 0,268 0,302 0,201 0,088 0,967 Binom dağılımın beklenen değeri örnek sayısı ile başarı olasılığının çarpımı şeklinde bulunur. Excel yardımıyla binom olasılıklarını hesaplamak oldukça kolaydır. EXCEL Excelde binom dağılıma uyan rassal değişkenin olasılıkları BİNOM.DAĞ fonksiyonu yardımıyla hesaplanabilir. BİNOM.DAĞ fonksiyonu yapısı aşağıdaki gibidir. BINOM.DAĞ(başarı_sayısı,deneme,olasılık_b,kümülatif) Başarı_sayısı: Denemelerdeki başarı sayısıdır. Başka bir deyişle değeridir. Deneme: Bağımsız deneme sayısı () değeridir. Olasılık_b: Her denemedeki başarı olasılığı () değeridir. Kümülatif: Kümülatif toplam gerekli ise DOĞRU, değilse YANLIŞ ifadesi yazılmaldır. Önceki örnekte yer alan 3 şıkkı tekrar hesaplayalım. a. Salih in hiçbir şıkkı tutturamaması ihtimali nedir? Fonksiyon ekranında, ve parametrelerinin nasıl girildiğine dikkat ediniz. 6
b. Sadece iki soruyu doğru yanıtlama ihtimali nedir? c. Salih in bu sınavdan kalma ihtimali nedir? (Sınavı geçmek için sorularının yarısını doğru olmalıdır) Son şıkta kümülatif kısmında diğer iki şıkkın aksine DOĞRU ifadesinin girildiğine dikkat ediniz. Bu şekilde girildiğinde kümülatif hesaplanacak yanı 4 olasılığı değilde 4 olasılığı hesaplanacaktır. KENDİNİ SINA Herhangi bir binom deneye başarı olasılıkları ile başarısızlık olasılıkları değiştirilerek çözülebilir mi? 7
Poisson Dağılımı Simeon Poisson a atfen isimlendirilen dağılım, bir örnek uzayın belli bir bölgesi veya zamanındaki (aralığındaki) olayların sayısının incelendiği kesikli bir olasılık dağılımıdır. Son bir saat içerisinde bir tamir atölyesine gelen araç sayısı (aralık 1 saat) Bir kumaş rulosundaki kusur sayısı. (bölge kumaş rulosu) Otoyolun Adapazarı kavşağında son bir ayda meydana gelen kaza sayısı (Aralık 1 Ay, Bölge Adapazarı kavşağı) Bir poisson deneyinin karekteristik özellikleri aşağıdaki gibi sıralanabilir. Bir aralıkta meydana gelen olay sayısı, diğer aralıklarda meydana gelen olay sayılarından bağımsızdır. Yani saat 12:00 ile 13:00 arasındaki gelen araç sayısı 14:00 ile 15:00 arasından bağımsızdır. Eşit aralıklarda olayın olasılıkları eşittir. Her bir saatlik dilimde bir olayın meydana gelmesi olasılıkları diğer bir saatlik dilimlerle eşittir. Başarı olasılığı aralığın boyutu ile orantılıdır. Bir saatte bir kaza olması olasılığı %10 ise yarım saatte bir kaza olması olasılığı %5 olmalıdır. Birden fazla olayın meydana gelme olasılığı küçük aralıklarda sıfıra yaklaşır. 10 dakikalık aralıka 70 kaza olması olasılığı neredeyse sıfırdır. Poisson Rassal Değişkeni bir poisson deneyinin belli bir aralığında veya bir kısmında başarılı olay sayısına karşılık gelir. Poisson Rassal Değişkeni olasılık değerleri aşağıdaki formülle hesaplanır. ( t) e P( x) x! x t = ilgilenilen aralık veya bölge boyutu = t aralığındaki başarılı deney sayısı = bir aralıktaki başarılı deneylerin beklenen değeri = logaritmik taban (2.71828...) 8
Poisson deneyi beklenen değeri ifadesi ile hesaplanır. Poisson olasılıkları istatistik tablolardan da okunabilir. Okuma işlemi için ve değerlerini bilmek yeterlidir. ÖRNEK Bir kitapta yer alan baskı hatalarının, kitaptan kitaba farklılık göstermesine rağmen poisson dağılımına uyduğu yapılan araştırmalar sonucunda keşfedilmiştir. Baskı hataları 100 sayfada ortalama 1,5 kere görüldüğüne göre rastgele seçilen 100 sayfalık bir kitap kısmında hiç baskı hatası olmama ihtimali nedir? Eğer kitabın 400 sayfalık bir bölümü incelenirse hiç hata olmaması olasılığı ne olur? Yorumlayınız. ÇÖZÜM Ortalama 1,5 verildiğine göre formül içerisinde yer alan ifadesi yerine direct olarak ortalama değeri girilerek sonuç bulunabilir. Yorumlarsak; 100 sayfalık bir kitap bölümünde hiç hata çıkmamamsı olasılığı %22,31 kadardır. Aynı olasılığı tablodan aşağıdaki gibi okuyabiliriz. Eğer 400 sayfalık bir bölüm incelenirse o zaman ortalama değeri 1,5 46 olarak alınmaldır. Bu şekilde formül tekrar yazılırsa; Görüldüğü üzere 400 sayfalık bir kitapta hiç hata olmaması olasılığı neredeyse sıfırdır. Bu değer tablodan da aşağıdaki gibi okunabilir. 9
Poisson olasılıklarını Excel yardımıyla hesaplamak da oldukça kolaydır. Yukarıdaki örnekte verilen iki farklı olasılığın Excel yardımıyla nasıl hesaplandığını da inceleyelim. EXCEL Excelde Poisson dağılımına uyan rassal değişkenlerin olasılıkları POISSON.DAĞ fonksiyonu yardımıyla hesaplanabilir. POISSON.DAĞ fonksiyonu yapısı aşağıdaki gibidir. POISSON.DAĞ(x,ortalama,kümülatif) X: Olay sayısı () değerine eşittir. Ortalama: Poisson dağılımın beklenen değeri ( değeri girilmelidir. Kümülatif: Eğer kümülatif olasılık fonksiyonu değeri isteniyorsa DOĞRU ifadesi girilmelidir. Aksi halde YANLIŞ ifadesi girilerek tek bir değerin olasılığı hesaplanabilir. Önceki örnekteki iki durumu Excel yardımıyla hesaplamaya çalışalım. 100 sayfalık bir örnekte hiç hata olmaması durumu aşağıdaki gibidir. Sadece P(x=0) olasılığı arandığı için kümülatif satırı YANLIŞ olarak yazılmıştır. Eğer 400 sayfalık örnekte hiç hata olmaması durumunu arıyorsak aşağıdaki gibi bir formül hazırlamalıyız. 10
İki şık arasındaki tek değişikliğin aslında girilen ortalama değeri olduğuna dikkat ediniz. ÖZET İstatistik bilimi açısında verinin hangi dağılıma uyduğunun belirlenmesi, daha sonra bu veri ile ilgili çıkarımlar yaparken elimizdeki en değerli bilgi olmaktadır. Örneğin bir verinin binom dağılıma uyduğunu ortaya çıkarırsak, bu durumda binom dağılımı olasılık fonksiyonları ile çıkarımda bulunabiliriz. Bir rassal değişken sayılabilir olup olmamasına bağlı olarak kesikli ve sürekli olarak adlandırılırlar. Kesikli rassal değişkenler binom, poisson ve hipergeometrik dağılımlardan birine çoğunlukla uyarlar. Sürekli rassal değişkenlerin büyük çoğunluğu normal dağılıma uymakla beraber düzgün dağılıma ve üstel dağılıma uyan durumlarda mevcuttur. Kesikli olasılık dağılımlardan en önemlilerinden, binom dağılımda rassal deneyin iki olası sonucu vardır ve her iki sonucun olasılıkları bilinir ve değişiklik göstermezler. Poisson dağılımında ise belli bir zaman veya bölge aralığında bir olayın başarılı denemelerinin olasılıkları incelenir. Binom dağılımda beklenen değer örnek sayısı ile başarı olasılığının çarpımı ile bulunurken, poisson dağılımında belli zaman aralığındaki ortalama değerine eşittir. SON NOT Bütün olasılık dağılımları örnekler üzerinden hesaplanan modellerdir. Çıkarsama yapmak için kullanışlı olmakla beraber, %100 doğru bir genelleme yapmak uygun olmayabilir. Olasılık dağılımlarının doğru belirlenmesi kritik öneme sahiptir bu yüzden diğer hesaplamalara geçmeden dağılımın doğru belirlendiğini bir kez daha kontrol ediniz. Bir binom deneyinin iki olası sonucu vardır ve bu olası sonuçların olasılıkları zaman içinde değişmez. Aksi halde binom formüllerini uygulayamayız. Poisson deneyinde eşit aralıklardaki başarılı deney sayısı eşittir. Aksi halde olasılıklar hesaplanamaz. 11
ÇALIŞMA SORULARI S1 Balıkçılık seferleri düzenleyen bir firma müşterilerinin çıktıkları seferlerin %60 ında en az 1 adet büyük boy (10 kilo) somon balığı yakaladığını reklamla duyurmaktadır. Balığa meraklı olan siz yılda 4 defa balıkçılık seferine katılmaktasınız? a. En az bir somon balığı yakalanan seferlerin sayısı olan X değişeni için olasılık dağılımını bulunuz? b. Çıktığınız 4 seferden en az ikisinde büyük boy somon balığı yakalama olasılığını belirleyiniz. S2 The Globe and Mail gazetesi 1987 yılında yayınladığı bir makalede Wall Street firmalarının şirket devirlerinin %80 nini halka ilan edilmeden önce speküle ettiğini hatta bu devir alma işlemlerini finanse ettiğini belirtmiştir. Rastgele seçilmiş olan 10 devir alınmış firmayı düşünelim. a. Bu firmaların en az yarısının devir işlemlerinin finanse edilme olasılığı bulunuz. b. En fazla üç firmanın devir işlemlerinin finanse edilmemesi ihtimali bulunuz. c. Devir işlemleri finanse edilen firmalar için beklenen değer ve varyansı bulunuz. S3 Forbes Magazine göre Amerikan halkının %27 si uzay mekikleri ile uçmak istemektedir. Üç Amerikalı rastgele seçilip uzay mekikleri ile uçmak isteyip istemedikleri sorulmuştur. Seçilen insanlardan soruya pozitif cevap verenlerin sayısının olasılık dağılımını bulunuz. S4 Şehir trafik kayıtları incelendiğin saat 2 ile 3 arasında her gün ortalama 3 kaza meydana gelmektedir. a. Rastgele belirlenen bir günde saat 2 ile 3 arasında en az 1 kaza olması olasılığını belirleyiniz. (Poisson dağılımı formülünü kullanınız.) b. a şıkkında yer alan değeri poisson tablosu yardımıyla çözünüz? c. Saat 2 ila 3 arasında en az 3 kaza meydana gelmesi olasılığını belirleyiniz. d. Saat 2 ila 2:30 arasında en az 3 kaza meydana gelmesi olasılığını belirleyiniz. KAYNAKLAR 1. Keller, Gerald; Statistics for Management and Economics, 9e, 2012 2. McClave, J.T, Benson, P.G, Sincich, T.; Statistics for Business and Economics, 11e, 2011 3. Sharpe N.R., De Veaux R.D., Velleman P.F.; Business Statistics 2e, 2012 4. Microsoft Excel 2010 yardım menüleri 12