UZMANLAR İÇİN MODELLEME Doç.Dr.Aydın ULUCAN
Karar Modellerinin Temel Bileşenleri Karar Değişkenleri: Amaca ulaşmak için kontrol edilen faktörler. Amaç Fonksiyonu: Ulaşılmak istenen hedefin karar değişkenlerinin fonksiyonu olarak matematiksel ifadesi. Kısıtlar: Karar değişkenlerinin alabileceği değerler üzerindeki sınırlama ya da gereksinimler. Kısıtlar da amaç fonksiyonu gibi karar değişkenlerinin içerildiği matematiksel fonksiyonlar olarak ifade edilir. Parametreler: Modeli etkileyen ancak karar vericinin kontrol edemediği faktörler. Varsayımlar: Model oluşturulurken doğru oldukları kabul edilen olgular.
Modellemede hesap tablolarını kullanmak karar vericiye önemli avantajlar sağlamaktadır Modeli oluşturan parametrelerdeki olası değişmelere karşı modelin nasıl davrandığı anında gözlenebilir. Bu da karar vericiye farklı durumlar için senaryo analizleri (what-if analysis) sağlar. Büyük ölçekli modeller, hesap tabloları altında çalışan model çözücülerle hızlı ve etkin şekilde çözülebilmektedir. Belli bir mantık zinciri dahilinde hesap tablosu üzerinde oluşturulan matematiksel modeller, problemin daha iyi anlaşılıp yorumlanması, üst yönetime daha anlaşılabilir şekilde gösterilmesine olanak sağlamaktadır. Oluşturulan modeller, karar vericinin gelecekte karşılaşabileceği potansiyel karar süreçlerinde de modifiye edilerek kullanılabilir. Tüm örgütte problem çözme sürecine standart bir yaklaşım sağlayarak, kişisel önyargıları ortadan kaldırır. Etkili raporlama özellikleriyle, profesyonel raporlar ve intranet sunumları oluşturmak oldukça sıradan bir işlem haline dönüşmüştür.
Doğrusal Programlama Doğrusal Programlama yaklaşımı, doğrusal bir yapıdaki kısıtları ihlal etmeden, doğrusal formdaki amaç fonksiyonunu en iyilemeyi (maksimize yada minimize etmeyi) sağlayan, bu eniyileme sonucunda karar değişkenlerinin aldıkları değerleri bulan bir yaklaşımdır. Her doğrusal programlama modelinin üç temel bileşeni vardır: karar değişkenleri, amaç fonksiyonu ve kısıtlar. Doğrusal programlama, kısıtlı bir optimizasyon yaklaşımı olmasından dolayı, kıt kaynakların ilgilenilen amacı optimize edecek şekilde dağıtılması olarak da tanımlanabilir.
Doğrusal Programlama Maks. 12x1 + 9x2 + 6x3 kısıtlar 8x1 + 4x2 + 5x3 < 6000 1x1 + 5x2 + 4x3 < 6000 x1 + x2 + x3 < 1500 x1 > 300 x1, x2, x3 > 0
Örnek SüperPlast şirketi bilgisayarlar için 3 farklı modelde bilgisayar kasası üretmektedir; Standart, Performa ve Ultra. Her bir kasanın üretimi için iki ayrı makinada işlem gerekmekte ve her bir makina haftada 6000 dakika çalışabilmektedir. Bilgisayar kasalarının üretimi için makinalarda harcanan süre (dakika) aşağıdaki tabloda verilmiştir. Makina Ürün Modelleri Standart Performa Ultra 1 8 4 5 2 1 5 4
Depolama alanı kısıtı nedeniyle haftada 1500 den fazla bilgisayar kasası üretilememektedir. Şirket yaptığı bir anlaşma nedeniyle her hafta en az 300 adet Standart kasa üretmek zorundadır. SüperPlast ürettiği tüm bilgisayar kasalarını satabilmekte herbir kasadan aşağıdaki miktarda kar (milyon TL.) elde etmektedir. Ürün Modelleri Standart Performa Ultra Kar 12 9 6
SüperPlast şu anda Standart dan haftada 750 tane üretmekte, Perfoma ve Ultra dan ise üretmemektedir. Şirket yönetimi şu anki üretim politikalarının iyileştirilme olasılığını araştırmaktadır. SüperPlast haftalık karını maksimize etmek için herbir üründen kaçar adet üretmelidir?
Çözüm Bu örnekte şirket yönetimi Optimal Üretim Planını elde etmek istemektedir. Optimal Üretim Planını elde etmek için yönetimin vermesi gereken karar, hangi üründen kaçar adet üretilmesi gerektiğidir. Bu kararı vermek için ilk olarak, karar değişkenleri şu şekilde tanımlanmalıdır: x1: Standart modelden her hafta üretilecek miktar. x2: Performa modelinden her hafta üretilecek miktar. x3: Ultra modelinden her hafta üretilecek miktar.
Amaç Fonksiyonu İkinci aşamada, Optimal Üretim Planını elde etmek için hangi performans kriterinin baz alınacağı belirlenmeli ve bu kriter doğrultusunda amaç fonksiyonu oluşturulmalıdır. Max. 12x1 + 9x2 + 6x3 Amaç fonksiyonunda yukarıdaki örnekte de olduğu gibi kar maksimize edilebilir. Ancak, maliyet, süre ya da işgücü gibi kavramlar için ise minimizasyon şeklinde amaç fonksiyonları da oluşturulabilir.
Bu ifadenin, değişkenlerin alacağı değere bağlı olan sol tarafı (SolT), kısıt fonksiyonu olarak adlandırılır. < sembolü kısıtı bir eşitsizlik kısıtı yapar. Makina kapasitesini gösteren 6000 sabiti ise sağ taraf (SağT) olarak adlandırılır. Doğrusal programlama modeli kısıtlarında değişkenler eşit(siz)liğin sol tarafında, sabitler ise sağ tarafında gösterilir. Kısıtlar Üçüncü aşamada ise amaca ulaşmada engel teşkil edebilecek kısıtlar, matematiksel eşit(siz)likler olarak ifade edilmelidir. Makina 1 in haftalık kapasitesi bir kısıttır ve matematiksel olarak şu şekilde ifade edilir: 8x1 + 4x2 + 5x3 < 6000
Kısıtlar Makina 2 nin haftalık kapasite kısıtı da şu şekilde ifade edilir: 1x1 + 5x2 + 4x3 < 6000 Depolama alanı sınırlaması nedeniyle haftada en fazla 1500 adet bilgisayar kasası üretilebileceği de bir kısıttır ve şu şekilde gösterilir. x1 + x2 + x3 < 1500
Kısıtlar Her hafta en az 300 adet Standart kasa üretme kısıtı ise > şeklinde bir eşitsizliktir. x1 > 300 Herhangi bir modelden negatif sayıda üretim yapılması fiziksel olarak imkansız olduğu için, bu durum negatif olamama şartı şeklinde ifade edilmelidir. x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0
Standart:750 Performa:0 Ultra:0 Yukarıdaki kısıtları ihlal etmeden üretim planını oluşturabilecek sonsuz sayıda çözüm vardır. Bu çözümler uygun çözüm olarak adlandırılır. 8 750 + 4 0 + 5 0 < 6000 6000 < 6000 1 750 + 5 0 + 4 0 < 6000 750 < 6000 750 + 0 + 0 < 1500 750 < 1500 750 > 300 750 > 300 Şirketin haftalık karı ise; 12 750 + 9 0 + 6 0 = 9000 (milyon TL.) dir.
Standart:500 Performa:500 Ultra:0 Ancak, şu anki üretim planının uygun bir çözüm olması, optimal çözüm olmasını da gerektirmemektedir. 8 500 + 4 500 + 5 0 < 6000 6000 < 6000 1 500 + 5 500 + 4 0 < 6000 3000 < 6000 500 + 500 + 0 < 1500 1000 < 1500 500 > 300 500 > 300 Şirketin haftalık karı; 12 500 + 9 500 + 6 0 = 10.500 (milyontl.) ye yükselecektir.
Standart:600 Performa:400 Ultra:0 Haftalık kar daha da artarak; 12 600 + 9 400 + 6 0 = 10.800 (milyon TL.) ye yükselecektir. Ancak bu üretim planı daha yüksek kar getirmesine karşın uygun bir çözüm değildir. Karşılanamayan kısıt vardır. 8 600 + 4 400 + 5 0 < 6000 6400 < 6000 1 600 + 5 400 + 4 0 < 6000 2600 < 6000 600 + 400 + 0 < 1500 1000 < 1500 600 > 300 600 > 300
Doğrusal Programlama Modeli Maks. 12x1 + 9x2 + 6x3 kısıtlar 8x1 + 4x2 + 5x3 < 6000 1x1 + 5x2 + 4x3 < 6000 x1 + x2 + x3 < 1500 x1 > 300 x1, x2, x3 > 0 Bu model çözülerek elde edilecek x1, x2, x3 karar değişkenlerinin değeri optimal çözüm olarak adlandırılır.
LP Modellerinin Excel de Formülasyonu 1. Öncelikle değişken değerlerine karşılık gelen hücreler ayrılır. Bizim örneğimizdeki değişkenler; x1, x2, x3 için C5, D5, E5 hücreleri ayrılmıştır. Kuracağımız model Solver da çözüldükten sonra bu hücrelerde karar değişkenlerinin optimal değerleri hesaplanacak ve görünecektir. B C D E 2 SÜPERPLAST ÜRETİM PLANI 3 4 5
LP Modellerinin Excel de Formülasyonu 2. Bu aşamanın ardından, karar değişkenlerinin isimleri tanımlanır. B5 hücresine Üretim Miktarı yazılmıştır. C4:E4 aralığına ise modellerin adları olan, Standart, Performa ve Ultra yazılmıştır B C D E 2 SÜPERPLAST ÜRETİM PLANI 3 4 Standart Performa Ultra 5 Üretim Miktarı
LP Modellerinin Excel de Formülasyonu 3. Bu noktada artık amaç fonksiyonunu hazırlayabiliriz. Amaç fonksiyonu olan Maks. 12x1 + 9x2 + 6x3 ün katsayılarını Excel tablosundaki C6:E6 aralığına yazdık. B C D E 2 SÜPERPLAST ÜRETİM PLANI 3 4 Standart Performa Ultra 5 Üretim Miktarı 6 Birim Kar Katkısı 12 9 6
LP Modellerinin Excel de Formülasyonu 4. Amaç fonksiyonunun değerinin hesaplanması için F6 hücresi hazırlanır. Bu hücreye 12x1 + 9x2 + 6x3 ifadesinin girilmesi gereklidir. =SUMPRODUCT($C$5:$E$5;C6:E6) B C D E F G H 2 SÜPERPLAST ÜRETİM PLANI 3 4 Standart Performa Ultra 5 Üretim Miktarı 6 Birim Kar Katkısı 12 9 6 Toplam Kar
LP Modellerinin Excel de Formülasyonu 5. Bu aşamada kısıtları yazmaya başlayabiliriz. Önce kısıtların katsayılarını ve başlıklarını amaç fonksiyonunun katsayılarını yazdığımız gibi yazabiliriz. Bu kısıtlardaki herbir değişkenin katsayısını, o kısıtın sütununa yazıyoruz. B C D E F G H 2 SÜPERPLAST ÜRETİM PLANI 3 4 Standart Performa Ultra 5 Üretim Miktarı 6 Birim Kar Katkısı 12 9 6 Toplam Kar 7 8 Kısıtlar 9 Makine 1 8 4 5 10 Makine 2 1 5 4 11 Depolama 1 1 1 12 13 Standart 1
LP Modellerinin Excel de Formülasyonu Tüm kısıtların matematiksel ifadelerini =SUMPRODUCT kullanarak her kısıtın katsayılarının sağındaki hücreye yazacağız. F9: =SUMPRODUCT($C$5:$E$5;C9:E9) (8x1+4x2+5x3 e karşılık geliyor) F10: =SUMPRODUCT($C$5:$E$5;C10:E10) (1x1+5x2+4x3 e karşılık geliyor) F11: =SUMPRODUCT($C$5:$E$5;C11:E11) (1x1+1x2+1x3 e karşılık geliyor) F13: =SUMPRODUCT($C$5:$E$5;C13:E13) (1x1 e karşılık geliyor)
LP Modellerinin Excel de Formülasyonu 6. Son olarak H6:H13 aralığına kısıtların sağ taraf sabitleri yazılacak. B C D E F G H 2 SÜPERPLAST ÜRETİM PLANI 3 4 Standart Performa Ultra 5 Üretim Miktarı 6 Birim Kar Katkısı 12 9 6 Toplam Kar 7 8 Kısıtlar Kullanım Kapasite 9 Makine 1 8 4 5 < 6000 10 Makine 2 1 5 4 < 6000 11 Depolama 1 1 1 < 1500 12 Üretim Minimum 13 Standart 1 > 300
Standart:750 Performa:0 Ultra:0 B C D E F G H 2 SÜPERPLAST ÜRETİM PLANI 3 4 Standart Performa Ultra 5 Üretim Miktarı 750 0 0 6 Birim Kar Katkısı 12 9 6 9000 Toplam Kar 7 8 Kısıtlar Kullanım Kapasite 9 Makine 1 8 4 5 6000 < 6000 10 Makine 2 1 5 4 750 < 6000 11 Depolama 1 1 1 750 < 1500 12 Üretim Minimum 13 Standart 1 750 > 300
LP Modelinin SOLVER ile Çözümü 1. Öncelikle Excel üzerinde bir önceki kısımda hazırladığımız gibi model hazırlanmalıdır. 2. Ardından Solver çalıştırılır. Solver a Excel in Tools (Araçlar) menüsünün altında erişilir.
LP Modelinin SOLVER ile Çözümü 3. Amaç fonksiyonu, Set Target Cell bölümünde belirtilecektir. 4. Ardından amaç fonksiyonunun tipi Equal To kısmında Max yada Min seçeneklerinden birisi seçilerek belirtilir.
LP Modelinin SOLVER ile Çözümü 5. Amaç fonksiyonunun tanımlanmasının ardından karar değişkenleri Solver a tanıtılmalıdır. Bunun için Solver diyalog penceresinin By Changing Cells bölümüne gidilmesi gerekir.
LP Modelinin SOLVER ile Çözümü 6. Bu aşamada modelin kısıtları Solver a tanıtılacaktır. Yeni bir kısıt girmek için Subject to the Constraints kısmında Add düğmesine basmak gerekmektedir. Add düğmesine bastıktan sonra karşımıza Add Constraint penceresi çıkacaktır.
LP Modelinin SOLVER ile Çözümü
LP Modelinin SOLVER ile Çözümü 7. Solve düğmesine basarak optimal çözümü elde ederiz.
LP Modelinin SOLVER ile Çözümü
Answer Report Microsoft Excel 9.0 Answer Report Target Cell (Max) Cell Name Original Value Final Value $F$6 Kar 0 11700 Adjustable Cells Cell Name Original Value Final Value $C$5 Üretim Miktarı Standart 0 300 $D$5 Üretim Miktarı Performa 0 900 $E$5 Üretim Miktarı Ultra 0 0 Constraints Cell Name Cell Value Formula Status Slack $F$13 Standart Üretim 300$F$13>=$H$13 Binding 0 $F$9 Makine 1 Kullanım 6000$F$9<=$H$9 Binding 0 $F$10 Makine 2 Kullanım 4800$F$10<=$H$10 Not Binding 1200 $F$11 Depolama Kullanım 1200$F$11<=$H$11 Not Binding 300
Yatırım Planlaması Uygulaması EkonoBank yatırım uzmanı, elindeki 1.5 trilyon TL lik fonu aylık getiriyi maksimize edecek şekilde aşağıdaki yatırım enstrümanlarına yatırmak istemektedir. Yatırım Enstrümanı Aylık Getiri Vade Yapısı Risk Vergi Muafiyeti A %4.75 Uzun Yüksek Var B %4 Kısa Düşük Var C %4.5 Uzun Düşük Yok D %4.5 Uzun Yüksek Var E %4.5 Kısa Yüksek Yok
Yatırım Planlaması Uygulaması Uzman elindeki fonun en azından %60 ını kısa vadeli enstrümanlara yatırmak istemekte ve paranın %40 ından fazlasını yüksek riskli enstrümanlara yatırmak istememektedir. Elindeki fonun en azından %40 ı vergi muafiyeti olan enstrümanlara yatırılmalı ve elde edilecek getirinin de en azından %50 si vergiden muaf olmalıdır. Bu problem için aylık getiriyi maksimize edecek doğrusal programlama modelini formülize ediniz. Modeli Excel e uyarlayıp çözünüz. Optimal çözüm ve karar değişkenlerinin aldıkları değerleri bulunuz.
Karar Değişkenleri: Yatırım planlaması probleminde, her biri çeşitli yatırım enstrümanlarına yatırılacak miktara karşılık gelen 5 karar değişkeni tanımlanmalıdır. Bunlar; A = A yatırım enstrümanına yatırılacak miktar B = B yatırım enstrümanına yatırılacak miktar C = C yatırım enstrümanına yatırılacak miktar D = D yatırım enstrümanına yatırılacak miktar E = E yatırım enstrümanına yatırılacak miktar
Amaç Fonksiyonu Problemin amacı çeşitli yatırım enstrümanlarına yatırılacak miktarlarla elde edilecek getiriyi maksimize etmektir. Dolayısıyla, karar değişkenleri ile o karar değişkenine karşılık gelen aylık getiri değerleri çarpılıp, sonra da tüm değerler toplanarak amaç fonksiyonu elde edlir. Aşağıda amaç fonksiyonu görülmektedir. Maks. 0.0475A + 0.04B + 0.045C + 0.045D + 0.045E
Kısıtlar Problemdeki ilk kısıt, toplam yatırılacak fonun 1.5 trilyon TL olmasını sağlayan aşağıdaki kısıttır. A + B + C + D + E = 1500 Yatırım yapılacak fonun en azından %60 ını kısa vadeli enstrümanlara yatırılmasını sağlayan kısıt ta şu şekilde yazılır. B + E 900 Yatırımın %40 ından fazlasının yüksek riskli enstrümanlara yatırılmamasını sağlayan kısıt ise aşağıdaki şekilde oluşturulur. A + D + E 600
Kısıtlar Yatırımın en azından %40 ının vergi muafiyeti olan enstrümanlara yatırılmasını sağlayan kısıt aşağıda görülmektedir. A + B + D 600 Elde edilecek getirinin de en azından %50 sinin vergiden muaf olmasını sağlayan kısıt aşağıda oluşturulmuştur. 0.0475A + 0.04B + 0.045D 0.5* (0.0475A + 0.04B + 0.045C + 0.045D + 0.045E) Son olarak karar değişkenlerinin negatif olamama kısıtları da aşağıda gösterildiği gibi modele eklenmelidir. A, B, C, D, E 0
Matematiksel Model Maks. 0.0475A + 0.04B + 0.045C + 0.045D + 0.045E Kısıtlar A + B + C + D + E = 1500 B + E 900 A + D + E 600 A + B + D 600 0.0475A + 0.04B + 0.045D 0.5* (0.0475A + 0.04B + 0.045C + 0.045D + 0.045E) A, B, C, D, E 0
Excel de Modelleme B C D E F G H I J K 2 EKONOBANK YATIRIM PLANI 3 4 Yatırım Alternatifi Miktar Getiri Vade Risk Vergi Muafiyeti Getiri 5 A 236,62 %4,75 Uzun 0 Yüksek 1 Var 1 %4,75 6 B 536,62 %4,00 Kısa 1 Düşük 0 Var 1 %4,00 7 C 363,38 %4,50 Uzun 0 Düşük 0 Yok 0 %0,00 8 D 0 %4,50 Uzun 0 Yüksek 1 Var 1 %4,50 9 E 363,38 %4,50 Kısa 1 Yüksek 1 Yok 0 %0,00 10 1.500 mtl 65,41 mtl 900 mtl 600 mtl 773 mtl 32,70 mtl 11 1.500 mtl 900 mtl 600 mtl 600 mtl 32,70 mtl Hücre Formül 12 %4,36 %60 %40 %40 %50 C10: =SUM(C5:C9) D10: =SUMPRODUCT($C$5:$C$9;D5:D9) F10: =SUMPRODUCT($C$5:$C$9;F5:F9) H10: =SUMPRODUCT($C$5:$C$9;H5:H9) J10: =SUMPRODUCT($C$5:$C$9;J5:J9) K10: =SUMPRODUCT($C$5:$C$9;K5:K9) F11: =F12*C11 H11: =H12*C11 J11: =J12*C11 K11: =K12*D10 D12: =D10/C10
Solver Parametreleri
Optimal Çözüm B C D E F G H I J K 2 EKONOBANK YATIRIM PLANI 3 4 Yatırım Alternatifi Miktar Getiri Vade Risk Vergi Muafiyeti Getiri 5 A 236,62 %4,75 Uzun 0 Yüksek 1 Var 1 %4,75 6 B 536,62 %4,00 Kısa 1 Düşük 0 Var 1 %4,00 7 C 363,38 %4,50 Uzun 0 Düşük 0 Yok 0 %0,00 8 D 0 %4,50 Uzun 0 Yüksek 1 Var 1 %4,50 9 E 363,38 %4,50 Kısa 1 Yüksek 1 Yok 0 %0,00 10 1.500 mtl 65,41 mtl 900 mtl 600 mtl 773 mtl 32,70 mtl 11 1.500 mtl 900 mtl 600 mtl 600 mtl 32,70 mtl 12 %4,36 %60 %40 %40 %50 Bu çözüme göre EkonoBank A enstrümanına 236.6 milyar TL, B enstrümanına 536.6 milyar TL, C enstrümanına 363.4 milyar TL, D enstrümanına 0 TL ve E enstrümanına 363.4 milyar TL yatırmalıdır. Bu yatırım planı ile 1.5 trilyon TL lik yatırımı ile 65.4 milyar TL (yada %4.36) getiri elde edecektir.
Uygulama 1 Elindeki 100 milyar TL lik birikimini çeşitli yatırım enstrümanlarına dağıtmak isteyen Mert Bey hesabı olan aracı kurumdaki yatırım danışmanı ile görüşerek aşağıda tabloda risk ve beklenen getiri yapıları görülen yatırım enstrümanların yatırım yapmak üzere belirlemiştir. Yatırım Enstrümanı Risk Derecesi Beklenen Aylık Getiri Sektör Hisse Senedi A 5 % 6.0 İmalat Hisse Senedi B 4 % 5.5 Finans Hisse Senedi C 3 % 5.0 Finans Hisse Senedi D 2 % 4.5 Finans Hisse Senedi E 1 % 4.0 İmalat Hazine Bonosu - % 3.8 - Repo - % 2.5 -
Uygulama 1 Elindeki fonu yukarıdaki enstrümanlara nasıl dağıtacağı ile ilgili stratejiler ise aşağıda listelenmiştir. Tüm para yukarıdaki yatırım enstrümanlarına dağıtılacaktır. Yatırım yapılacak tutarın en azından %15 i gecelik repoda tutulacaktır. Hisse senetlerine yatırılan tutarın ortalama risk derecesi 3 ün altında olacaktır. Hiçbir hisse senedine toplam portföyün %10 undan fazlası yatırılamayacaktır. Hazine bonosuna en azından hisse senetlerine yatırılan miktar kadar yatırım yapılacaktır. Beklenen aylık getirisi %5 in altında olan enstrümanlara toplam portföyün en fazla %80 i yatırılabilecektir. Mert Beyin toplam aylık getirisini maksimize edecek şekilde hangi yatırım enstrümanına ne kadar yatırması gerektiğini bulan doğrusal programlama modelini formüle edip Excel de çözünüz. Tüm portföyün aylık beklenen getirisi ne kadar olacaktır?
Uygulama 2 Güven Bankası 5 farklı kredi vermektedir. Bu kredilerin tipleri ve aylık faiz oranları aşağıda verilmiştir Kredi Tipi Faiz Yüzdesi (aylık) A (ticari) 5.5 B (ev) 3.5 C (oto) 5 D (ev 2) 4.5 E (kısa dönem) 6
Uygulama 2 Bankanın 100 trilyon TL. kredi verebileceği kaynağı vardır. Amacı ise faiz gelirini maksimize etmektir. Ancak verebileceği kredilerle ilgili bazı zorunlulukları vardır: C kredisi, B kredisinin %25 inden fazla olamaz. A kredisi en fazla D kredisi kadar verilebilir. Banka kredilerinin en azından %50'sini B ve D tiplerinden vermelidir. B kredisi, D kredisinin en azından 1.5 katı olmalıdır. E tipi kredi 10 trilyon TL yi aşamaz. Bankanın kredi dağıtım planını bulunuz.
Çok Dönemli Nakit Akışı Problemi Bu yapıdaki problemlerde genellikle planlama dönemi sonundaki getiri maksimize edilir. Karar verici yatırım enstrümanlarını karar değişkenleri olarak seçer. Amacına ulaşmak için hangi yatırım enstrümanına ne kadar yatırım yapması gerektiğini belirler. Dönemler içinde nakit akışının korunumu ve yatırım enstrümanlarına yapılabilecek yatırımların alt-üst limiteri modeldeki kısıtları oluşturur.
Çok Dönemli Nakit Akışı Problemi Çevre Koruma Derneğinin bağışlardan topladığı ve doğal hayatı ve çevreyi koruma faaliyetlerinde kullandığı fonlarında 500 milyar TL birikimi vardır ve bu birikimi yatırımlara dağıtmak istemektedir. Dernek yatırım yapabileceği enstrümanları beş adete indirgemiştir. Bu enstrümanların nakit akış planı aşağıdaki tabloda verilmiştir. Nakit Akışları (her yılın başındaki akışlar) Yatırım Enstrümanı 2003 2004 2005 2006 A -1,00 1,00 0,70 B -1,00-1,80 C -1,00 - - 2,10 D -1,00-1,85 E -1,00-1,75
Çok Dönemli Nakit Akışı Problemi Dernek A yatırım enstrümanına eğer 2003 başında 1 TL yatırırsa, 2004 başında 1 TL ve 2005 başında da 0,7 TL alacaktır. Öte yandan, eğer 1 TL sini 2004 başında B ye yatırırsa, 2006 yılı başında 1,80 TL kazanacaktır. Tablodaki - işaretleri nakit akışının olmadığı yatırım dönemlerini göstermektedir. Her yıl başında derneğin elindeki parasını yıllık %25 getiri ile para piyasalarında değerlendirme şansı da bulunmaktadır. Dernek, likiditesini korumak için en azından 50 milyar TL yi sürekli olarak para piyasalarında tutmak istemekte ve risklerden kaçınmak için de herhangi bir yatırım enstrümanına ve para piyasalarına 300 milyar TL den fazla yatırmak istememektedir. Dernek 2006 yılı başındaki toplam parasını maksimize etmek için yatırımlarını nasıl oluşturmalıdır? Bu problem için doğrusal programlama modelini formülize ediniz. Modeli Excel e uyarlayıp, Solver ile çözünüz. Optimal çözüm ve karar değişkenlerinin aldıkları değerleri bulunuz.
Karar Değişkenleri Çok dönemli nakit akışı probleminde, her biri çeşitli yatırım enstrümanlarına yatırılacak miktara karşılık gelen 8 karar değişkeni tanımlanmalıdır. Bunlar; A = A yatırım enstrümanına yatırılan miktar B = B yatırım enstrümanına yatırılan miktar C = C yatırım enstrümanına yatırılan miktar D = D yatırım enstrümanına yatırılan miktar E = E yatırım enstrümanına yatırılan miktar P2003 = 2003 de para piyasasına yatırılan miktar P2004 = 2004 de para piyasasına yatırılan miktar P2005 = 2005 de para piyasasına yatırılan miktar
Amaç Fonksiyonu Problemin amacı çeşitli yatırım enstrümanlarına yatırılacak miktarlarla 2005 yılı sonunda elde edilecek getiriyi maksimize etmektir. Dolayısıyla, 2005 yılında getiri getiren karar değişkenleri ile o karar değişkenine karşılık gelen yıllık getiri değerleri çarpılıp, sonra da tüm değerler toplanarak amaç fonksiyonu elde edlir. Aşağıda amaç fonksiyonu görülmektedir. Maks. 1.80 B + 2.10 C + 1.25 P2005
Kısıtlar Problemdeki ilk kısıt grubu, önümüzdeki 3 yıl boyunca yıllık nakit girdileri ile nakit çıkışlarını birbirine eşitleyerek nakit akışının korunumunu sağlayan kısıtlardır. A + C + D + E + P2003 = 500 A + 1.25 P2003 - B - P2004 = 0 0.7 A + 1.85 D + 1.70 E + 1.25 P2004 - P2005 = 0
Kısıtlar Problemdeki ikinci grup kısıtlar da, yatırım enstrümanlarına yatırılabilecek miktarların alt-üst sınırlarını sağlayan aşağıdaki kısıtlardır. A 300 P2003 50 P2003 300 B 300 P2004 50 P2004 300 C 300 P2005 50 P2005 300 D 300 E 300 Karar değişkenlerinin negatif olamama kısıtları, A, B, C, D, E, P2003, P2003, P2003 0
Matematiksel Model Maks. 1.80 B + 2.10 C + 1.25 P2005 Kısıtlar A + C + D + E + P2003 = 500 A + 1.25 P2003 - B - P2004 = 0 0.7 A + 1.85 D + 1.70 E + 1.25 P2004 - P2005 = 0 A 300 P2003 50 P2003 300 B 300 P2004 50 P2004 300 C 300 P2005 50 P2005 300 D 300 E 300 A, B, C, D, E, P2003, P2003, P2003 0
Excel de Modelleme Hücre Formül F14: =SUMPRODUCT($C$6:$C$13;F6:F13) G14: =SUMPRODUCT($C$6:$C$13;G6:G13) H14: =SUMPRODUCT($C$6:$C$13;H6:H13) I14: =SUMPRODUCT($C$6:$C$13;I6:I13) B C D E F G H I 2 ÇEVRE KORUMA DERNEĞİ 3 YATIRIM NAKİT AKIŞI PROBLEMİ 4 Yatırım Yatırılan Minimum Maksimum Nakit Akışı 5 Enstrümanı Miktar Yatırım Yatırım 2003 2004 2005 2006 6 A 300 0 300-1,00 1,00 0,70 7 B 300 0 300-1,00-1,80 8 C 144 0 300-1,00 - - 2,10 9 D 6 0 300-1,00-1,85 10 E 0 0 300-1,00-1,75 11 P2003 50 50 300-1,00 1,25 12 P2004 63 50 300-1,00 1,25 13 P2005 300 50 300-1,00 1,25 14 (milyar TL) Toplam -500 0 0 1217 15 Gereken -500 0 0
Solver Parametreleri
Bu çözüme göre Çevre Koruma derneği A enstrümanına 300 milyar TL, B enstrümanına 300 milyar TL, C enstrümanına 144 milyar TL, D enstrümanına 6 milyar TL, 2003 de para piyasalarına 50 milyar Tl, 2004 de para piyasalarına 63 milyar TL ve 2005 de para piyasalarına 300 milyar TL yatırmalıdır. Bu yatırım planı ile 3 yılın sonunda 500 milyar TL lik yatırmının değeri 1.217.000.000.000 TL ye çıkacaktır. Optimal Çözüm B C D E F G H I 2 ÇEVRE KORUMA DERNEĞİ 3 YATIRIM NAKİT AKIŞI PROBLEMİ 4 Yatırım Yatırılan Minimum Maksimum Nakit Akışı 5 Enstrümanı Miktar Yatırım Yatırım 2003 2004 2005 2006 6 A 300 0 300-1,00 1,00 0,70 7 B 300 0 300-1,00-1,80 8 C 144 0 300-1,00 - - 2,10 9 D 6 0 300-1,00-1,85 10 E 0 0 300-1,00-1,75 11 P2003 50 50 300-1,00 1,25 12 P2004 63 50 300-1,00 1,25 13 P2005 300 50 300-1,00 1,25 14 (milyar TL) Toplam -500 0 0 1217 15 Gereken -500 0 0
Uygulama 3 Bankacı Ayşe hanım 5 yıl sonra ünversiteye başlayacak olan kızı Aylin in 4 yıllık üniversite harcamaları için şimdiden tasarruf yapmaya başlamak istemektedir. Ayşe hanım üniversitenin ilk yılı olan bu günden sonraki 6. yılda yıllık harcamasının 12 milyar TL olacağını ve bu miktarın her yıl 2 milyar TL artacağını tahmin etmektedir. Ayşe hanımın önümüzdeki dönemlerde yatırım yapabileceği aşağıdaki yatırım enstrümanları bulunmaktadır. Yatırım Alternatifleri Yatırım Vadeler Dönemleri A Her Yıl 1 yıl %30 B 1,3,5,7 2 yıl %70 C 1,4 3 yıl %105 D 1,3 5 yıl %210 E 1 7 yıl %325 Vade Sonu Getirileri
Uygulama 3 Ayşe Hanım bu günden başlayacağı tasarruf miktarını minimize edecek şekilde yatırımlarını planlamak istemektedir. Doğrusal programlama modelini kurup Excel de çözünüz.