V. ÖLÜM KI S MLR PR ZM K YÜZY PR ZMLR Uzyd düzlemsel bi çokgen ve çokgen düzlemine plel olmyn bi do usun plel olk çokgenin çevesi üzeinde eket eden do usunun olufltudu u yüzeye, pizmtik yüzey; do usun d pizmtik yüzeyin n do usu deni. do usu ll m. Çokgen kç kenl ise pizmtik yüzeyin o kd yn yüzü vd. d fl k iki yn yüzün kesitine yn y t; pizmtik yüzeyin bi düzlemle kesitine ise bu pizmtik yüzeyin bi kesiti deni. e kesit düzlemi yn y tl dik olus kesite pizmtik yüzeyin dik kesiti deni. eoem : i pizmtik yüzeyin plel iki kesiti eflti. spt : Yuk dki flekilde, ve ''''' plel kesitleini düflünelim. ['], [']... yn y tl yn do usun plel oldu undn, bibileine pleldi. Kesit çokgenlein kenl d ikifle ikifle pleldi. Plel do ul s nd kln plel do u pçl efl oldu undn, iki çokgenin kenl eflti. fl kenl s ndki ç l d kenl yn yönde plel oldu undn, ikifle ikifle efl olup bu iki çokgen bibiine eflti. Sonuç : i pizmtik yüzeyin dik kesitlei bibiine eflti. PR ZM n m : i pizmtik yüzey plel iki düzlemle kesilise, bu düzlemle s nd kln kpl cisme, pizm deni. u düzlem pçl n d pizmn n tbnl deni. Pizmn n tbn köfleleinden geçen ve n do usun plel oln do u pçl n, pizmn n yn y tl ; tbn kenl n tbn y tl ; d fl k iki yn y t s nd kln düzlem pçl n d pizmn n yn yüzlei deni. fiekildeki dötgeni lt tbn, '''' dötgeni üst tbn; ['], ['],... yn y tl; [], [], [''], [''],... tbn y tl ; '', '',... dötgenlei ise yn yüzledi. Pizmn n iki tbn s ndki uzkl, pizmn n yüksekli i deni. Pizml tbnl n olufltun çokgenlee ve yn y tl n n tbn düzlemi ile konuml n göe dlnd l : bn üçgense, üçgen pizm; dötgense, dötgen pizm; beflgense, beflgen pizm; n gense, n gen pizm deni. K PR ZM n m : Yn y tl tbn düzlemine dik oln pizmy dik pizm deni. ik pizmn n yn y tl efl uzunluktd ve pizmn n yüksekli ine eflitti. Yn yüzle ise, dikdötgendi. 09
ÜZGÜN PR ZM n m : bnl düzgün çokgen oln dik pizml düzgün pizm deni. üzgün pizmn n yn yüzlei bie dikdötgen olup bibiine eflti. PRLLYÜZ n m : bnl plelken oln pizmy plelyüz deni. PRLLYÜZÜN ÖZLL KLR. Plelyüzün kfl l kl yüzlei biibiine efl ve bie plelkend.. Plelyüzde bi köfle ile bu köfleden geçmeyen yüzlein otk noktl n bilefltien do u pçl n cisim köflegeni deni.. Plelyüzün cisim köflegenlei bibileini ot noktd kese. 4. Yn y tl tbn dik oln plelyüze dik plelyüz deni. ik plelyüzün tbnl bie plelken olup, yn yüzlei dikdötgendi. Plelyüz üzgün eflgen Pizm ik plelyüz KÖRGNLR PR ZMSI n m : bnl dikdötgen oln dik pizmy dikdötgenle pizms deni. u pizmn n bütün yüzeylei dikdötgendi. ikdötgenle pizms nd bi köflede kesiflen üç y t, bu dikdötgenle pizms n n boyutl deni. ikdötgenle pizms özel bi plelyüz oldu undn, plelyüzün bütün özellikleini tfl. u özelliklee ek olk, dikdötgenle pizms n n cisim köflegenlei bibiine eflit uzunluktd. eoem : y t uzunlukl, b, c oln bi dikdögenle pizms n n cisim köflegeninin uzunlu u, + b + c di. spt : fiekilde; [] tbn köflegeni, ['] cisim köflegenidi. dik üçgeninde, = + b ve ' dik üçgeninde, ' = + ' oldu undn, c b c b c ' = + b + c di. 0
Önek : i dikdötgenle pizms n n fkl üç yüzünün köflegenleinin uzunlukl n n kelei toplm n n, cisim köflegeninin uzunlu unun kesinin iki kt n eflit oldu unu gösteelim. Çözüm : fiekildeki dikdötgenle pizms nd, köflesinden geçen [], ['], ['] yüz köflegenlei ile ['] cisim köflegeni göülmektedi. =, = b, ' = c l nd nd, = + b, ' = + c, ' = b + c eflitliklei tf tf topln s; + ' + ' = ( + b + c ) olu. ' = + b + c oldu undn, + ' + ' = ' di. b c KÜP n m : ütün y tl n n uzunlu u bibiine eflit oln dikdötgenle pizms n küp deni. Küpün, bütün y tl n n uzunlukl bibiine eflitti. Küpün bi y t n n uzunlu u biim ise; e yüzünün köflegen uzunlu u ñ biim, cisim köflegeninin uzunlu u ise ñ biimdi. Küpün bi cisim köflegeni geçti i köfledeki y tll eflit ç l yp. fiekilde m('é) = m('é') = m('é) di. G Önek : fiekilde bi y t n n uzunlu u 8 cm oln küpte, K = K ise K üçgeninin ln n bull m. F K Çözüm üçgen olu. : ve noktl n bilefltielim. eflken = = = 8ñ cm, G [L] [] ise, L = 4ñ6 cm, K = K veildi inden, K = 6ñ cm di. [L], K üçgeninin de yüksekli i oldu undn, ( K) = K. L = 6.4 6 = 4 cm bulunu. K L F
PR ZMNIN LNI eoem : i dik pizmn n ynl ln, tbn çevesi ile yüksekli inin çp m n eflitti. b b c b c b c Üçgen dik pizm Üçgen dik pizmn n ç m n spt : Yuk dki flekillede, üçgen dik pizm ve ç n m göülmektedi. Yn yüzdeki dikdötgenlein yüksekli i pizmn n yüksekli ine eflitti. un göe dik pizmn n ynl ln, bu dikdötgenlein lnl n n toplm n eflitti. Ynl ln = Y =. + b. + c. =.( + b + c) =.(tbn çevesi) =.Ç oldu u göülü. Sonuç : engi bi pizmn n toplm ln, ynl ln ile tbn ln n n iki kt n n toplm n eflitti. üm ln ise = Y +. di. c Sonuç : y tl n n uzunlukl, b, c biim oln dikdötgenle pizms n n tüm ln, =.(.b +.c + b.c) biim kedi. b Sonuç : i y t biim oln küpün tüm ln, = 6. biim kedi. Önek : bn ymuk oln bi dik pizmn n tbn y tl ; = 8 cm, = 5 cm, = 4 cm, = 7 cm di. ik pizmn n yüksekli i tbn y tl n n uzunlukl n n itmetik ots ise, ynl ln n bull m. Çözüm : Ynl ln istenen pizmn n yüksekli i, = 8+ 5 + 4 + 7 = 6 cm ve tbn çevesi, Ç = 4 cm di. 4 Y =.Ç oldu undn, Y = 6.4 = 44 cm bulunu. 7 4 8 5
Önek : Ynl ln 0 cm ve tbn n n bi ken 5 cm oln eflken üçgen dik pizmn n yüksekli ini bull m. Çözüm : Yüksekli i istenen dik pizmn n tbn, eflken üçgen oldu undn; tbn çevesi, Ç = 5 cm di. Y =.Ç oldu undn, 0 =.5 = 8 cm bulunu. 5 5 5 K PR ZMNIN M i cismin uzyd doldudu u bofllu, o cismin cmi deni. i y t n n uzunlu u biim oln küpe, bi biimküp deni ve b ile gösteili. ud biim, cm olk seçilise, b = cm ; m olk seçilise, b = m olu. oyutl mete biimi ile veilen bi cismin cmi, bu cismin içine yelefltiilebilen m lük küplein sy s n eflti. eoem : y t uzunlukl, b, c biim oln bi dikdötgenle pizms n n cmi, V =.b.c b tü. spt : fiekildeki dikdötgenle pizms n n tbn kenl n n uzunlukl biim ve b biim oldu undn; tbn b leden.b tne yelefltiili. Pizmn n yüksekli i c biim oldu undn, içinin b lele dolduulms için tbndki b lein c kt kd kullnmk geeki. c c b b âlde, pizmn n cmi, V =.b.c b bulunu. Sonuç : i pizmn n cmi; tbn ln ile yüksekli inin çp m n eflitti. Önek : Yüksekli i 0 cm, tbn y t n n uzunlu u 6 cm oln eflken üçgen dik pizmn n toplm ln n ve cmini bull m. Çözüm : i ken oln eflken üçgenin ln, oldu undn; pizmn n tbn ln, = 9ñ cm di. 0 4 Ynl ln ise Y =.Ç = 0.8 = 80 cm di. âlde, toplm ln; = + Y oldu undn, = (8ñ + 80) cm di. Pizmn n cmi ise V =. = 9ñ.0 = 90ñ cm bulunu. 6
Önek bull m. Çözüm : isim köflegeninin uzunlu u 5ñ cm oln bi küpün toplm ln n ve cmini : i y t n n uzunlu u, biim oln küpün cisim köflegeninin uzunlu u ñ biim oldu undn; ñ = 5ñ = 5 cm di. Küpün toplm ln, = 6. = 6.5 = 50 cm di. Küpün cmi, V = = 5 = 5 cm bulunu. VL R (KVL Y) LKS bn lnl ile yüksekliklei eflit oln iki cismin, tbnl n plel ve tbndn yn uzkl ktki düzlemsel kesitleinin lnl d eflitse, bu iki cismin cmi bibiine eflitti. Kvliye ilkesinin do ulu u flöyle ç klnbili: flit sy d k d, flekilde gibi üst üste koyl m ve bi yöne do u düz ve kvisli flekilde e elim. K tl n sy l de iflmedi inden; olufln cisimlein göünüfllei fkl, nck cimlei eflitti. u cisimlein tbndn eflit yüksekliteki kesitlei de eflit lnl d. e eflit lnl üçgen, beflgen vey die fleklindeki eflit sy d k t kesilip üst üste konulus olufln fkl göünüflteki üç cismin cimlei de eflit olu. âlde, tbn lnl ve tbndn eflit uzkl ktki kesitlein lnl eflit oln e ik vey dik pizml n yüksekliklei eflit ise cimlei de eflit olu. ik pizmn n cmi, V =. oldu undn; yn cimli e ik pizmn n cmi de V =. olu.. bn eflken üçgen oln dik pizmn n yn y t 6 cm ve tbn ln 6ñ cm di. u pizmn n ln n ve cmini esply n z.. cmi 480 cm oln bi dikdötgenle pizms n n boyutl ;, 4, 5 sy l ile do u ont l d. un göe dikdötgenle pizms n n tüm ln n esply n z.. i düzgün lt gen pizmn n yüksekli i, tbn y t n n uzunlu unun 4 kt d. u pizmn n cmi 84ñ cm ise tüm ln n bulunuz. LIfiIRMLR 4
4. Kenl cm, 6 cm ve cm oln bi dikdötgenle pizms n n cmine eflit cimde oln küpün ln kç cm di? 5. ikdötgenle pizms fleklinde bi su deposunun tbn y tl 6 m ve 8 m di. u deponun içinde bi mikt su vd. eponun içine bi y t 5 m oln içi dolu oln küp fleklinde bi cisim konuldu und suyun yüksekli i,5 m oldu un göe suyun ilk yüksekli i nedi? 6. i dikdötgenle pizms n n y tl n n uzunlukl ;,, 4 sy l ile tes ont l d. u pizmn n cisim köflegeninin uzunlu u ò6 cm ise cmini ve tüm ln n esply n z. 7. i dikdötgenle pizms n n fkl üç yüzünün köflegenleinin uzunlukl ò4, 4ñ5 ve ò89 biim ise cisim köflegeninin uzunlu unu ve tüm ln n bulunuz. P RM n m : i çokgensel bölgenin içinde bulunudu u düzlemin d fl nd sbit bi nokts ile çokgensel bölgenin kenl üzeindeki noktldn geçen do ul n olufltudu u yüzeye pimidl yüzey; olufln üçgensel bölgelele çokgensel bölgenin s n ld cisme de pimit deni. K F K fiekilledeki noktl n pimitlein tepe nokts ;, F, çokgensel bölgeleine pimitlein tbnl ; [], []... do u pçl n pimidin yn y tl ;,... üçgensel bölgeleine de pimitlein yn yüzlei deni. epe nokts n n tbn düzlemine oln uzkl n, pimidin yüksekli i ( = ); bi yn yüzdeki üçgenin kendi tbn y t n it yüksekli ine, o yn yüze it yn yüz yüksekli i deni. Pimitle, tbnl ndki çokgenlein tüleine göe dlnd l : Üçgen pimit, dötgen pimit, beflgen pimit... gibi. y c tepe noktl ve tbnl ndki çokgenlee göe pimitle (,), (,F) fleklinde de ifde edilebili. ÜZGÜN P RM n m pimit deni. : bn düzgün çokgen ve yükseklik y tbn mekezinde oln pimide, düzgün ÜZGÜN P RM N ÖZLL KLR. üzgün pimitte, yn yüzlei bibiine efl ikizken üçgenledi.. üzgün pimitte, yn y tl n uzunlukl eflitti.. üzgün pimitte, yn yüz yüksekliklei eflitti. üzgün pimitte bi yn yüz yüksekli ine düzgün pimidin potemi deni. 5
ÜZGÜN ÖRYÜZLÜ n m : öt yüzü bibiine efl ve eflken üçgen oln pimide, düzgün dötyüzlü deni. üzgün dötyüzlünün lt y t d eflit uzunlukt olup pimidin yükseklik y tbndki eflken üçgenin l k mekezidi. P RM N LNI eoem : Pimidin ln, tbn ln ile ynl ln n n toplm n eflitti. bn ln, ynl ln Y oln pimidin tüm ln, = + Y di. nck engi bi pimitte; tbn, düzgün olmyn bi çokgen, yn yüzle bibiinden fkl bie üçgen oldu undn, ln n esplnms u flt c d. üzgün pimitte ise tbn düzgün çokgen, yn yüzle ise bibiine efl ikizken üçgenle oldu undn, ln esplms için bi fomül bulunbili. ÜZGÜN P RM N LNI eoem : i düzgün pimidin ynl ln, tbn çevesi ile yn yüz yüksekli inin çp m n n y s n eflitti. spt : fiekilde düzgün beflgen pimit ve bunun düzleme ç n m çizilmiflti. u pimitte yn yüzledeki ikizken üçgenle efl oldu undn, Y = 5.. =. (5) =..(tbn çevesi) e tbndki çokgen n kenl bi düzgün çokgen ise pimidin ynl ln, olu. Y = n.. =. (tbn çevesi).(yn yüz yüksekligi) (n.) = olu. Önek : bn n n bi ken 0 cm, yüksekli i cm oln düzgün ke pimidin ynl ln n ve toplm ln n bull m. Çözüm : fiekildeki düzgün ke pimitte, ['] [] çizildi inde ' dik üçgeninde; ' = + ' ' = 44 + 5 = 69 cm ' = cm bulunu. (tbn çevesi).(yn yüz yüksekligi) Y = Y = 40. = 60 cm oldu undn, ve = 0 = 00 cm di. Pimidin toplm ln ; = Y + = 60 + 00 = 60 cm bulunu. 0 5 6
P RM N M vliei (Kvliye) ilkesi pimitlein cimlei için de geçelidi. un göe tbnl n n lnl ve yüksekliklei eflit oln iki cismin tbnl n plel ve tbndn yn uzkl ktki kesitleinin lnl eflit olus bu iki cismin cimlei eflit olu. u ilkeye dynk tülei fkl d ols, tbn lnl ve yüksekliklei eflit oln pimitlein cimlei eflitti. eoem : i pimidin cmi, tbn n n ln ile yüksekli inin çp m n n üçte biine eflitti. spt : Pimidin tbn üçgen olsun. fiekilde, tbn üçgeni, tepe nokts oln pimit ile tbn üçgeni ve yn y t [] oln pizm yn tbn ve eflit yüksekliktedi. [] n çizelim. (, ) ve (, ) pimitleinin tbn lnl ve yüksekliklei eflit oldu undn cimlei de eflitti. Üçgen pizmdn (, ) pimidini ç k sk geiye plelken tbnl (, ) pimidi kl. u pimit ise (, ) ve (, ) pimitleine y l. u iki üçgen pimidin cimlei de eflti. (, ) ve (, ) pimitlei yn oldu undn üçgen pizm, veilen pimidin cmine efl üç tne pimide y lbilmektedi. Pizmn n cmi, tbn ln ile yüksekli inin çp m n eflit oldu undn pimidin cmi; V =.. bulunu. spt : Pimidin tbn engi bi çokgen olsun. (, ) çokgen pimidin köflesinden geçen ve tbn düzleminde bulunn, [] ve [] köflegenlei ile nokts n n belitti i düzlemle, bu pimidi üçgen pimitlee y. u üçgen pimitlein cimleinin toplm, çokgen pimidin cmini vei. âlde bütün pimitlein cimlei; V =.. di. Önek : bn n n bi ken 6 cm ve yn yüksekli i 5 cm oln ke dik pimidin cmi kç cm tü? P Çözüm : 4 5 V =.. V =.6.4 V = 6.4 = 48 cm bulunu. 6 cm 7
LIfiIRMLR. i düzgün ke pimidin tbn n n bi ken cm ve bütün ln 84 cm ise yn yüz ln n ve cmini bulunuz.. i düzgün ke pimidin yn yüzlei bie eflken üçgendi. i y t n n uzunlu u 8 cm ise pimidin tüm ln n ve cmini bulunuz.. i düzgün lt gen pimidin tbn n n çevesi 48 cm ve pimidin yüksekli i 6 cm di. Pimidin tüm ln n ve cmini esply n z. 4. bn dikdötgen oln bi dik pimidin tbn y tl = 8 cm ve b = 0 cm di. u pimidin yüksekli i = cm ise tüm ln n ve cmini esply n z. 5. i düzgün ke pimidin tbn n n bi ken 0 cm di. i yn yüzü, tbn düzlemi ile ölçüsü 60 oln ç ypt n göe pimidin ynl ln n ve cmini esply n z. 6. fiekildeki kübün bi y t 6 cm di. y tl LK = cm, L = 4 cm, M = cm oln dikdötgenle pizms fleklindeki bi cisim kesilip ç k ld nd kln cismin ln kç cm di? 7. i ke dik pimidin bi yn yüzü, tbn düzlemi ile 60 lik ç ypmktd. Pimidin cmi 88ñ cm oldu un göe tbn n n bi ken kç cm di? 8. i düzgün ke dik pimidin ynl ln 60 cm ve bütün ln 96 cm di. un göe pimidin cmi kç cm tü? L K M N F S L N R d n m : Uzyd düzlemsel bi e i ile bu e i düzlemine plel olmyn bi d do usu ll m. i üzeindeki e noktdn d do usun plel olk çizilen do ul n olufltudu u yüzeye silindiik yüzey deni. dynk e isi n do u ud e i, silindiik yüzeyin dynk e isi, plel do ul ise, silindiik yüzeyin n do usudu. n m : ynk e isi kpl bi e i oln silindiik bi yüzeyin n do ul n kesen ve bibiine plel oln iki düzlemle silindiik yüzey s nd kln cisme silindi deni. üzlemlele kesitlee silindiin tbnl ; tbn düzlemlei s ndki uzkl silindiin yüksekli i deni. n do ul tbnl n dik oln silindilee dik silindi; tbn die oln dik silindilee ise dik diesel silindi deni. ik diesel silindi. 8
ik diesel silindilee dönel silindile de deni. i dikdötgenin bi ken etf nd, 60 döndüülmesiyle olufln cisim, dönel silindidi. engi bi e i pçs n n bi eksen etf nd döndüülmesiyle de dönel cisimle oluflu. önel cisimlein, eksene dik düzlemle ile tüm kesitlei bie çembedi. S L N R N LNI eoem : i dik diesel silindiin ynl ln, tbn çevesi ile yüksekli inin çp m n eflitti. spt : ik diesel silindiin düzleme ç n m çizildi inde, yn yüzü dikdötgen olup; bi ken uzunlu unun dienin çevesine, di e ken uzunlu unun ise silindiin yüksekli ine eflit oldu u göülü. âlde ynl yüz ln ; Y = (tbn çevesi). (yükseklik) Y = π. olu. ynl yüz Ç = π Sonuç : i dik diesel silindiin tüm ln, ynl ln ile tbn lnl n n toplm n eflitti. Yni toplm ln, = π.. + π. = π..( + ) olu. Önek : ç çp cm, d fl çp 4 cm ve yüksekli i 0 cm oln dik diesel silindi fleklindeki bi bounun dolgu k sm n n ln n bull m. cm 0 cm Çözüm : fiekilde d fl y çp cm, iç y çp cm oldu undn toplm ln; cm = π(4 ) + π.0( + ) = 6π + 0π ve = 6π cm bulunu. ik diesel silindi. S L N R N M eoem : i diesel silindiin cmi, tbn ln ile yüksekli inin çp m n eflitti. G : lt tbn ln, : yükseklik spt : iesel silindii, tbnl n n y tl sy s sonsuz yklfln bi pizm olk düflünelim. Pizm cmi, V = G. oldu undn; tbn y çp ve yüksekli i oln bi diesel silindiin cmi de V = π.. olu. 9
Önek : fl çp 0 cm, iç çp 6 cm ve yüksekli i 0 cm oln dik diesel silindi biçimindeki bi bounun dolgu k sm n n cmini esplyl m. Çözüm : fiekildeki bounun dolgu k sm n n cmi, silindilein cimlei fk n eflit oldu undn; V = π.. π.. 5 cm cm 0 cm V = π.( ) olu. V = π.0(5 9) = 0π cm bulunu. Önek : Ynl ln 60π cm ve yüksekli i 0 cm oln dik diesel silindiin cmini ve tüm ln n bull m. Çözüm : Y = π. = 60π ve = 0 cm oldu undn, 0π. = 60π = cm di. oplm ln, = π.. + π. = π..0 + π.9 = 78π cm cim, V = π.. = π.9.0 = 90π cm bulunu. Önek : Ken uzunlukl ve b oln bi dikdötgen, kenl etf nd y y 60 döndüülüyo. lufln silindilein lnl n n ve cimleinin on n n, ken uzunlukl on n eflit oldu unu gösteelim. Çözüm döndüelim. : Ken uzunlukl ve b oln dikdötgeni, flekildeki gibi kenl etf nd b b I II I. duumd olufln silindiin toplm ln, = π.( + b) b ve cmi, V = π..b b tü. II. duumd olufln silindiin toplm ln, = π.b(+b) b ve cmi, V = π.b. b tü. âlde, bi dikdötgenin kenl etf nd döndüülmesiyle olufln silindilein lnl n n ve cimleinin on, tbn y çpl n n uzunlukl n n on n eflitti. Yni, = V V = b di. 0
LIfiIRMLR 5. oplm ln π cm oln bi dik silindiin yüksekli i tbn y çp n n kt oldu un göe, bu silindiin cmi kç cm tü?. cmi 50π cm oln bi dik silindiin yüksekli i tbn n n çp n eflit ise bu silindiin toplm ln kç cm di?. oyutl = 4 cm ve b = 8 cm oln bi dikdötgenin ken etf nd 60 döndüülmesiyle olufln silindi S, b ken etf nd 60 döndüülmesiyle olufln silindi S olsun. S ve S silindileinin cimleinin ve lnl n n onl n bulunuz. 4. bn n n y çp 4 cm ve yüksekli i 0 cm oln bi dik silindiin içine, tbn eflken üçgen oln en büyük cimli dik pizm çizilise, bu pizmn n cmi kç cm olu? 5. fl çp 5 cm, iç çp cm ve uzunlu u 5 cm oln dik diesel silindi fleklindeki bi bounun dolgu k sm n n ln n ve cmini bulunuz. 6. i ke dik pizmn n bi tbn y t ve yüksekli i d. Pizmn n içine çizilebilen en büyük cimli silindi ile pizmy içine ln en küçük cimli silindilein lnl n n ve cimleinin onl n bulunuz. 7. mm dolu dik silindi fleklindeki gibi ytyl 60 lik ç ypck flekilde e ildi inde kptki suyun si dökülmüfltü. = 6 cm ise, flekildeki kb n cmi kç cm tü? 60 8. Y çp 5 cm, yüksekli i 4π cm oln dik silindi biçimindeki bi kutunun lt tbn üzeindeki nokts ile üst tbn üzeindeki nokts yn düfley do u üzeindedi. fiekildeki gibi bi nokts ndn eket edip kutunun ynl yüzeyi üzeinde tek bi doln m ypk en k s yoldn ye giden bi k ncn n ld yol kç cm di? 5
KN n m : Uzyd sbit bi nokts ile düzlemsel kpl bi e isi veilsin. nokts ile e isinin e nokts ndn geçen do ul n olufltudu u yüzeye, konik yüzey deni. nokts n, tepe nokts ; e isine tbn e isi ( vey dynk e isi), nokts ndn geçen ve konik yüzeyi olufltun do u pçl n ise konik yüzeyin n do ul deni. tbn e isi n do u tepe nokts yükseklik n do u yükseklik tbn e isi Koni P n m : ynk e isi kpl bi e i oln konik yüzeyin tüm n do ul n kesen bi düzlemle tepe nokts s nd kln cisme, koni deni. üzlemsel kesite, koninin tbn ; tepe nokts n n tbn oln uzkl n koninin yüksekli i deni. Konile tbnl n göe; diesel koni, eliptik koni vey yükseklikleinin tbn düzlemine dik olup olmms n göe; dik koni, e ik koni gibi dl l l. n m : Yükseklik y tbn mekezinde oln koniye, dik koni; tbn die oln dik koniye ise, dik diesel koni deni. ik diesel koni K RSL KN N N ÖZLL KLR. ik diesel konide, n do ul n uzunlukl bibiine eflitti.. ik diesel koninin yüksekli i simeti eksenidi.. ik diesel koninin simeti ekseninden geçen bütün düzlemlele kesitlei bibiine efl ikizken üçgensel bölgeledi.
K RSL KN N N LNI eoem : ik diesel koninin ynl ln, tbn çevesi ile n do usunun uzunlu unun çp m n n y s n eflitti. spt : ik diesel koniyi, tbn ken sy s sonsuz oln bi düzgün pimit olk düflünüsek, pimit için geçeli oln ln fomülü koniye de uyguln. fiekilde, dik diesel koni ve düzleme ç n m göülüyo. Pimidin tbn n n ken sy s sonsuz gidese = olu. bndki çokgen de çembee dönüflü. Pimidin ynl ln, tbn çevesi ile yn yüzünün yüksekli inin çp m n n y s n eflit oldu undn, dik diesel koninin ynl ln ; Y = π.. = π.. olu. Sonuç : ik diesel koninin bütün ln, = π.. + π. = π..( + ) di. Önek : i dik diesel koninin tbn y çp = 6 cm ve n do usunun uzunlu u = 0 cm ise, bu koninin ynl ln n ve toplm ln n bull m. Çözüm oplm ln, : Ynl ln, Y = π.. = π.6.0 = 60π cm = π..( + ) = π.6(6+0) = 96π cm di. KS K KN n m : i koni tbn n plel bi düzlemle kesildi inde, kesit ile tbn düzlemi s nd kln cisme, kesik koni deni. Kesite, üst tbn; iki tbn s ndki uzkl, kesik koninin yüksekli i deni. üst tbn lt tbn ik diesel kesik koni bn die oln kesik koniye, diesel kesik koni deni. bnl n mekezini bilefltien do usu tbn düzlemine dik oln koniye, dik diesel kesik koni deni.
K RSL KS K KN N N LNI eoem : ik diesel kesik koninin ynl ln, tbnl n n çeveleinin toplm ile n do usunun uzunlu unun çp m n n y s n eflitti. spt : fiekilde bi dik diesel kesik koni ve düzleme ç n m göülüyo. π π Kesik koninin ynl ln, büyük koninin ynl ln ile küçük koninin ynl ln n n fk n eflitti. un göe, Y = π.. π.. olu....() ~ oldu undn, udn; = = = =. ve =. = vey = olu. Y = π... π... = π. yz l. (nt özelli i) de elei () de yeleine yz l s, ( ) ve Y = π..( + ) oldu u göülü. Sonuç : ik diesel kesik koninin toplm ln, lt ve üst tbnl n n n ln ile ynl ln n n toplm n eflit oldu undn, = π. + π. + π..( + ) di. 4
RSL KN N N M iesel koni, tbn ken sy s sonsuz yklfln bi pimit olk düflünülüse, cmi de pimitlede oldu u gibi tbn ln ile yüksekli inin çp m n n üçte biine eflitti. bn n y çp, yüksekli i oln diesel koninin cmi, V =.π.. di. u fomül, dik vey e ik tüm diesel konile için geçelidi. Önek : bn n n çp 0 cm, n do usunun uzunlu u cm oln dik diesel koninin toplm ln ve cmini bull m. Çözüm : bn çp, = 0 cm ise = 5 cm di. = π..( + ) = π.5.(5 +) = 90π cm olu. cmi bulbilmek için, koninin yüksekli ini bull m. üçgeninde Pisgo teoemine göe, = 69 5 = cm olu. âlde, koninin cmi; 5 V =.π.. =.π.5. = 00π cm bulunu. Önek : fiekildeki ymu und, [] // [] d. = 6 cm, = cm, = cm ve = 5 cm olk veiliyo. 5 Ymu un, [] tbn etf nd 60 döndüülmesiyle olufln cismin cmini ve ln n bull m. Çözüm : fiekildeki ymu un yüksekli ini esplyl m. X 4 X 6 dik üçgeninde, 5 = + x ' dik üçgeninde, 69 = + (4 x) denklemlei otk çözüldü ünde, = cm ve x = 9 cm bulunu. 5 fiimdi ymu un [] etf nd döndüülmesiyle olufln cismi inceleyelim. ikkt edilise, bu cismin iki koni ve bi silindiin bileflimidi. lufln cismin toplm ln, 9 5 = π..5 + π.. + π.. = 80π + 56π + 48π = 84π cm di. oplm cim ise, 5 V =.π.44.9+.π.44.5 + π.44. V = 4π + 40π + 88π = 960π cm bulunu. 5
fiimdi ise, ymu u do u pçs etf nd 60 döndüülü ünde olufln cismin cmini ve toplm ln n bull m. = 5 x = (4 x) = 5 x = 69 96 + 8x x = 5 = 7 + 8x 5 + 7 = 8x x = 9 cm = 8.9 7 = ó44 = cm x 5 5 6 4 x = 4 x = 4 9 = 5 cm 6 V = '' silindiinin cmi dik koninin cmi V = π.9.6.π.9.9 +.π.9.5 V = π.8.6 π.8. π.8. 5 V = 8.π. 6 5 V = 8.π. 94 = 98π cm bulunu. oplm ln = Silindiin Ynl ln + ik Koninin Ynl ln Silindi bn ln oplm ln = = π.. + π.. + π.. π. =.π.9.6 + π.9.5 + π.9..π.9 = 88π + 5π + 7π 6π = 78π cm bulunu. Önek : bn y çp, yüksekli i oln bi dik diesel koni tepe nokts ndn, kd uzkl kt, tbn plel bi düzlemle kesiliyo. Kesit diesinin y çp oldu un göe, elde edilen küçük koni ile büyük koninin cimleinin on n, konilein yüksekliklei cinsinden bull m. Çözüm : ' ~ oldu undn, = di. Küçük koninin cmi, V =.π.. di. üyük koninin cmi, V =.π.. di. un göe, V =.π.. =. V ve = V.π... V bulunu. u b nt, e ik diesel konile için de geçelidi. 6
Önek : fiekildeki iki dik diesel koniden küçü ünün tbn, büyük koninin ynl yüzüne te et ve tepesi büyük koninin tbn mekezindedi. K = KL ve büyük koninin cmi 54 b ise, küçük koninin cmini bull m. K L Çözüm : K = KL ise; 'K =, L = ' =, = olu. üyük koninin cmi; k V =.π.(). = 54 b ise, K π.9. = 54 π.. = 6 b tü. k Küçük koninin cmi; V =.π.(). =.π.4. = 4.π.. = 4.6 V = 8 b bulunu. L RSL KS K KN N N M eoem : bnl n n y çpl ve, yüksekli i oln bi diesel kesik koninin cmi; V =.π..( + +. ) di. G : lt bn ln, G : Üst bn ln spt : Kesik pimidin cminin, ( ) V =.. G+ G + G. G oldu unu biliyouz. un göe, kesik diesel koninin cmi; V =.. π. + π. + π. (.π. ) ve V =.π.. ( + +. ) olk bulunu. 7
Önek : m(ë)=90 oln ymu ud; [] // [], = 0 cm, = cm ve = 6 cm veiliyo. u ymu un, [] ken etf nd 60 döndüülmesiyle olufln cismin cmini ve toplm ln n bull m. Çözüm : fiekilde göüldü ü gibi olufln cisim, bi dik diesel kesik konidi. 6 bn y çpl = 0 cm, = 6 cm ve yükseklik = cm oldu undn, bu kesik koninin cmi; ( ) V =.π.. + +. 0 ( ) = 96π cm tü. V =.π.. 00+ 6 + 60 Kesik koninin ln n esplmk için n do usunun uzunlu u bulunml d. [] [] çizilise, = cm ve = 4 cm olc ndn; dik üçgeninde Pisgo teoeminden, = 5 cm bulunu. un göe, dönel kesik koninin toplm ln ; = π. + π. + π..( + ) = π.00 + π.6 + π.5.(0 + 6) = 6π cm bulunu. y 4 Önek : fiekilde tl bölge, do usu etf nd 60 döndüülüyo. lde edilen cismin cmini bull m. 0 Çözüm : l ln n do usu etf nd 60 döndüülmesiyle olufln cismin cmi, V olsun. öndüme sonund tbn y çpl ve 4 biim oln kesik koni ile tbn y çp = 4 biim ve yüksekli i oln dik koni oluflu. Kesik koninin cmine V, dik koninin cmine V diyelim. X dik üçgeninde Pisgo teoeminden, y = = = 6 biim bulunu. Kesik koninin cmi, V = π. ( + +. ) = π.6 ( + 4 +.4) V = 46π b olu. ik koninin cmi, V =.π.. =.π.4.6 =4 4 8 0 x V = π b olu. lufln cismin cmi, V V = 46π π = 84π biim küp bulunu. 8
LIfiIRMLR. i dik diesel koninin tbn çp 0 cm, n do usunun uzunlu u 6 cm di. u koninin toplm ln n ve cmini bulunuz.. i dik koninin ynl ln, tbn ln n n kt d. u koninin, düzleme ç n m nd olufln die diliminin mekez ç s n n ölçüsü kç deecedi?. m(ë) = m(ë) = 90 oln dik ymu und; = = 0 cm, = 4 cm di. u dik ymu un, [] ken etf nd 60 döndüülmesiyle olufln cismin toplm ln n ve cmini esply n z. 4. m(ë) = 90 oln dik üçgeninin;, b, c kenl etf nd 60 döndüülmesiyle olufln cisimlein cimlei s s ile V, V ve V tü. oldu unu gösteiniz. V = V + V 5. i dik diesel kesik koninin tbnl n n y çpl 4 cm ve 8 cm di. u kesik koninin yüksekli i 5 cm ise, tüm ln n ve cmini esply n z. 6. dik üçgeninde = 6 cm, = 8 cm di. üçgeninin, [] ken etf ndki 60 dödüülmesiyle olufln cismin cmi V, [] ken etf nd 60 döndüülmesiyle olufln cismin cmi V di. un göe, V nedi? V 6 cm 8 cm 7. lt ve üst tbn çevelei 4π cm ve 0π cm oln bi dönel kesik koninin n do usunun tbn düzlemi ile ypt ç 60 di. un göe, kesik koninin ynl ln kç cm di? KÜR n m : Uzyd sbit bi noktdn eflit uzkl kt bulunn noktl n kümesine, küe yüzeyi; küe yüzeyi ile s n lnn cisme de küe deni. Sbit nokty, küenin mekezi; sbit uzkl d küenin y çp uzunlu u deni. Küenin iki nokts n bilefltien [] n, küenin bi kiifli; mekezden geçen e kiifle, küenin çp deni. fiekilde, [] küenin çp d. Y çp uzunlukl eflit oln küelee, efl küele deni. Mekezi ve çp do u pçs oln çembee de küenin büyük çembei deni. 9
KÜRN N LNI V M eoem : Y çp oln bi küenin ln, = 4.π. di. spt : F = çpl bi y m çembe, [F] etf nd 60 döndüülüse, y çpl bi küe yüzeyi oluflu. u y m çembein içine çizilen engi bi y m düzgün çokgen F olsun. u düzgün çokgenin iç te et çembeinin y çp n ile gösteelim. P R Q L F F düzgün y m çokgeninin, F do usu etf nd döndüülmesiyle olufln cismin ln n Y ile gösteelim. u ln [], [], [], [], [F] nin döndüülmesiyle elde edilen lnl n toplm n eflitti. un göe; Y = π. P + π. PR + π. RQ + π. QL + π. LF Y = p. ( P + PR + RQ + QL + LF ) Y = π.. = 4π.. bulunu. üzgün y m çokgenin kenl n n sy s sonsuz sy d t l s, = olc ndn; Y ln d küenin ln n eflit olu. âlde, = π.. = 4π. bulunu. Sonuç : Küenin ln, en büyük diesinin ln n n 4 kt n eflitti. eoem : Y çp oln bi küenin cmi, V = 4.π. dü. spt : y çpl, mekezli bi y m küenin en büyük diesine plel ve küe mekezinden n kd uzkl kt bi kesitini ll m. u kesiti tbn y çp ve yüksekli i = kd oln bi diesel silindi ile bu silindiin üst tbn n tbn, lt tbn mekezini tepe kbul eden diesel koninin kesitlei ile kfl lflt l m. F N = n n n K P Yuk dki flekle göe, ve NF üçgenlei ikizkend. y c, N = NF = = ve = = K = n di. 0
Y m küenin tbn n n n kd uzkl ktki kesiti bi diedi. u dienin ln ; = π. K = π.( n ) di.. fleklin tbn n n n kd uzkl ktki kesiti ise, bi die lks d. u die lks n n ln ; = π. π. = π.( ) = π.( n ) olu. vliei ilkesine göe, tbn lnl ve yüksekliklei eflit oln iki cismin, tbndn yn yükseklikteki kesitleinin lnl eflit ise, cimlei de eflitti. u nedenle, y m küenin cmi, silindiin cmi ile koninin cminin fk n eflit olu. Küenin cmi V, silindiin cmi V, koninin cmi V ise; V = V V, V = π...π.., V = π. V = 4 π. bulunu. Önek : cmi, ln n sy sl olk eflit oln küenin çp n bull m. Çözüm : = 4.π. b udn cmi, ln n sy sl V = 4.π. b olup, 4.π. = 4.π. = b olu. olk eflit oln küenin çp, = 6 b olk bulunu. Önek : Y çp biim ve yüksekli i = biim oln dik diesel silindie, içten te et oln bi küe veiliyo. Küe ile silindiin cimlei ve lnl s ndki b nt y bull m. Çözüm : bn y çp ve yüksekli i = oln silindiin cmi, V s = π.. = π.. = π. ; ln ise, s = π. +.π.. = π. +.π.. s = 6π. di. Y çp oln küenin cmi, V K = 4.π. ve ln, K = 4.π. odu undn; 4 V K =.π. V S.π. =, K S = 4.π. 6.π. = tü. âlde nn b nt, V K V S = K S = tü. Önek : Y çp ve oln iki küenin cimleinin ve lnl n n on n bull m. Çözüm : cimlei, V = 4 oldu undn,.π. ve V = 4.π. lnl ise, = 4.π. ve = 4.π. oldu undn, = V = V di. dü. Sonuç : ki küenin cimleinin on, y çpl n n küplei on n; lnl n n on d y çpl n n kelei on n eflitti.
Önek : bn y çp 0 cm ve n do usu 6 cm oln bi koni içine tbn n ve yn yüzüne te et olk çizilen bi küe ile koni s nd kln cmi bull m. Çözüm : dik üçgende, = 6 0 = 576 = 4 cm olu. = ~ di.. = 6 = 0.6 4 = 0 cm bulunu. Koni ve küelein cimlei; 0 6 V =.π.0.4 = 800π cm, V = 4.π. 0 = 000 8 π cm tü. 0 0 Koni ile küe s ndki kln cim, V = V V = 800π 000 8 π 64800π 000π V = = 800 8 8 π cm bulunu. LIfiIRMLR. i y t 0 cm oln küpün içindeki mksimum cimli küenin cmini ve ln n bulunuz.. bn y çp 6 cm, yüksekli i 8 cm oln bi dik diesel koni içindeki mksimum cimli küenin cmini ve ln n bulunuz.. cmi, y çp cm oln 8 tne efl küenin cimlei toplm n efl oln küenin y çp kç cm di? 4. i dik silindiin içine, silindiin tbnl n, ynl yüzüne ve bibiine te et oln üç efl küe üst üste konuluyo. Silindiin cmi 6π cm ise, bi küenin cmi kç cm tü? 5. Üç efl küe, ikifle ikifle bibileine ve dik diesel bi silindiin tbn yüzeylei ile ynl yüzüne te et olck biçimde yelefltiiyo. Silindiin tbn y çp (ñ + ) cm ise, bi küenin cmi kç cm tü?
S. fiekilde, boyutl 0 ve 4 cm oln dikdötgen fleklindeki ktondn bi pizm yp lmk isteniyo. e biinin ln 4 cm oln pembe enkli kele kesileek yp ln pizmn n cmi kç cm tü? ) 80 ) 00 ) 0 ) 0 ) 40. bn y çp 8 cm, ynl yüzeyinin ln 96π cm oln bi dönel koninin yüksekli inin bi n do usun on kçt? 6 5 ) ) ) ) ) 4 4. fiekildeki mekezli küe, koninin tbn n ve ynl yüzeyine te etti. m(é)=60 ise, küenin cminin, koninin cmine on nedi? 4 4 ) ) ) ) ) 5 9 5 60 4. Ynl ln 5π cm oln bi dik koninin tbn y çp 9 cm di. u koninin cmi kç cm tü? ) 6π ) 4π ) 0π ) 9π ) 8π 5. ke tbnl '''' dikdötgenle pizms nd ' nokts ve ile, nokts d ile bilefltiilise cmi 00 cm oln (',) pimidi elde ediliyo. '''' pizms n n yüksekli i 5 cm oldu un göe tbn n bi ken kç cm di? ) ò5 ) ò5 ) ò0 ) 4ò0 ) 9ò0 6. i ke dik pizmn n ynl ln, sy c cmine eflitti. u ke dik pizmn n yüksekli i 6 cm ise, cminin tüm ln n sy c on fl dkileden ngisidi? 5 6 7 ) ) ) ) ) 6 7 8 4
7. i silindiin tbn y çp n n uzunlu u %0 on nd t l p, yüksekli i %5 on nd zlt l s, cmi yüzde kç t? ) 4 ) 6 ) 8 ) 0 ) 5 8. fiekildeki dik koni, tbn plel bi düzlemle kesiliyo. Meydn gelen kesik koninin yüksekli i, bfllng çtki dik koninin yüksekli inin kt oldu un göe, bfllng çtki dik koninin cmi, kesik koninin cminin kç kt d? 7 9 64 ) ) ) ) ) 6 4 7 7 8 9. i küpün köfleleinden geçen küe ile tüm yüzleine te et oln küenin cimleinin on kçt? ) ñ ) ñ ) ñ ) ñ ) ñ 0. FG küp, KLMSRN küp, = cm, K = cm di. i ken cm oln içi dolu tt bi kübün köflesinden, bi ken cm oln bi küp kesileek ç kt l yo. Geiye kln küp pçs n n ln n n, küçük küpün ln n on kçt? N M R S L F G ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) 6 K. bn çp n n uzunlu u yüksekli ine eflit oln bi silindiin içine, en büyük cimli bi küe yelefltiiliyo. Küenin cmi 6 cm ise, silindiin cmi kç cm tü? ) 8 ) 4 ) ) 6 ) 48. fiekildeki gibi koni biçiminde bi kpk ile koni biçiminde bi gövdeden olufln kpkl bi cisim yp lckt. Kpk koninin ynl y t cm, ynl ln 4 cm tü. Gövde koninin ynl y t cm oldu un göe, ynl ln kçt? ) 84 ) 50 ) 6 ) 08 ) 96 P - - - 4-5- 6-7- 8-9- 0- - - 4