www.mustfygci.com, 005 Cebir Notlrı Mustf YAĞCI, ygcimustf@yhoo.com İkinci Dereceden Denklemler n n + n- n- + + + + 0 biçiminde yzıln ifdelere n doğl syı ve lr reel syı olduğu sürece polinom dendiğini söylemiştik. n n + n- n- + + + + 0 0 biçiminde yzıln denklemlere de polinom denklemler denir. Bu konuyu işlerken tüm derdimiz, böyle denklemleri sğlyn leri bulmk olck, ki bu lere denklemin kökleri denir. Kökleri bulmnın metotlrı d, denklemlerin dlrı d n değiştikçe değişir. n 0 ise denkleme n-inci dereceden denklem denir. n-inci dereceden denklemlerin n tne kökü vrdır. Bu knıtlnbilir elbet. Merk etmeyin, derecesi kç olurs olsun, tüm polinom denklemlerin sırrını çözeceğiz. Bunu bzen denklemi çözerek ypcğız, bzen çözemeyeceğimizi göstererek I. Birinci Dereceden Denklemler. Birinci dereceden denklemleri bugün rtık ilkokul çocuklrı bile çözebiliyor. + b 0 ise b. nın sıfır olmdığını bildiğimizden y bölmekte bir sıkıntı yşmycğız. Fzl dety girmememizin elbet bir sebebi vr. Hl birinci dereceden denklemleri çözerken problem yşyn vey dh d öte, ne olduğunu bile bilmeyen bir kimse iseniz elinizdeki bu syflrı derhl bırkıp, gidip bu konuy çlışmnızı şiddetle önermekteyiz. Aksi tkdirde bu notlrı d nlymyck, üstüne üstlük belki de bize çmur tcksınız II. İkinci Dereceden Denklemler. 0 iken + b + c 0 biçimindeki denklemlere ikinci dereceden denklemler denir. Bu notlrın bşrol oyuncusu bu denklemler olck. İkinci dereceden denklemleri çözmeyi, yni bu denklemleri sğlyn leri bulmyı MÖ 400 yıllrınd Bbilliler üç şğı beş yukrı biliyordu. Şimdi biz de öğreneceğiz. Tbii ki üç şğı beş yukrı değil, dört dört-lük! Önce nltcklrımızı dh iyi nlmnız mcıyl, yni genel formülümüzü bulmdn önce, syısl verilerle, o formülü bulurken kullncğımız metotl, birkç örnek çözelim: Soru. 8 0 denkleminin çözüm kümesini Çözüm: Bu ilk örneğimiz olduğundn birkç değişik çözüm göstereceğiz. Sonrki sorulrd içlerinden en beğendiğinizi vey en kıs süreni seçerek onu kullnbilirsiniz. Birinci yol. Bu yolu çrpnlr yırm dersinde detylı işlemiştik. Verilen ikinci dereceden denklemi çrpnlrın yırcğız. 0 8 ( 4) ( + ) olduğundn denklemi sğlyn değeri 4 vey dir. İkinci yol. Bu yolu d ikinci dereceden fonksiyonlrın terslerini bulurken öğrenmiştik. İkinci dereceden denklemlerin tmkreye getirilmelerinden bhsediyorum. Htırlyın, bşktsyısı iken, sbit terimi, li teriminin ktsyısının yrısının kresi oln ikinci dereceden denklemler bir kre idi. Böyle olmyn denklemleri bu hle getireceğiz. 0 8 + 9 ( ) 9 ( ) ( )( + ) ( 4)( + ) olduğundn denklemi sğlyn değeri 4 vey dir. ( ) 9 0 eşitliğinden bşk yol d spılbilir: ( ) 9 olduğundn ± denebilir, ki denmelidir, bu yol dh kısdır. Üçüncü yol. Bştn uyrırız, her denklem bu yol her zmn bu kdr koly izin vermez. Eğer sğlyn bir değerini kfdn bulbilirseniz, mesel 4 olsun, o hlde bu denklemin ( 4) diye bir çrpnı vrdır. Denklemi ( 4) e bölersek, diğer çrpnı bulbiliriz. Bu çrpnı d 0 eşitlersek diğer kökü bulbiliriz.
Soru. 8 0 denkleminin çözüm kümesini Çözüm: Biz ikinci yolun spğındn çözümlere devm edeceğiz. 0 8 + 4 9 4 4 ( 4 ) 4 4 ( ) dir. 4 ± 4 ± 4 olduğundn. Soru. 0 denkleminin çözüm kümesini Çözüm: Yine denklemi tmkreye çevireceğiz m tmkre olm şrtlrınd bşktsyının olmsı vrdı, bu sebeple eşitliğin her iki ynını ye bölelim. 0 6 / 0 6 + 9 9/ 0 ( ) 9/ 9 / ± 9 / Artık genel formülü bulbilecek kıvm gelmiş olmmız lzım. Bşlıyoruz. İyi tkip edin! Önce, yine tmkre ypmk mcıyl denklemi prntezine lıyoruz ki, bşktsyı olsun. 0 + b + c ( + b c + ) ( b b b c + + + ) 4 4 b c b (( + ) + ( )) 4 b b 4c (( + ) ) 4 olduğundn ve 0 olduğunu bildiğimizden b b 4c ( + ) 0 4 çıkr. Bundn d b b 4c ( + ) 4 çıkr. Umudunu kesme, devm! Her iki trfın krekökünü llım: b b 4c b 4c + ± ± 4 olur. i ylnız bırkırsk mutlu son erişeceğiz: b b 4c b ± b 4c ± çıkr. Nihyet!. Biri rtılı diğeri eksili olmk üzere iki çözüm bulduk. Bundn böyle birinin dı, diğerinin olsun. ile rsındki i- lişkileri dh sonr göreceğiz. Şimdi yukrd çözümlerini yptığımız sorulrı d bir de formülümüzle çözelim: Soru. 8 0 denkleminin çözüm kümesini Çözüm: Denklemimizde, b ve c 8 olduğundn;, b ± ( ) ± b 4c ( ). 4..( 8) ± 6 ± 6 + 6 olur. O hlde, 4 ve bulunur. 6 Soru. 8 0 denkleminin çözüm kümesini Çözüm: Denklemimizde, b ve c 8 olduğundn;, b ± ( ) ± ± 4 b 4c ( ). 4..( 8) bu- + 4 olur. O hlde, ve lunur. 4 Soru. 0 denkleminin çözüm kümesini Çözüm: Denklemimizde, b ve c olduğundn;
, b ± ( ) ± ± 5 4 b 4c ( ) 4..( ). ± 8 ± 4 8 olur. O hlde, + 8 ve 8 bulunur. Köklerin formülünde beliren köklü ifdenin i- çindeki b 4c değeri ikinci dereceden denklemlerde çok büyük önem rz eder. Bu ifdeye denklemin diskriminntı denir, sembolü ile gösterilir ve kısc delt diye okunur. b b + ve olduğunu htırltlım. ifdesi krekökün içinde bulunduğundn, denklemin köklerinin reel syı olmsı için negtif olmmlıdır. Peki, sıfır olurs n olur, bir düşünün bklım. Düşünmeye ne b gerek vr, olur. Yni denklemin iki kökü birbirine eşit olur, bu durumd iki tne değil, tek kökü vr deriz. Ki tek kökü oln ikinci dereceden denklemler de bildiğiniz üzere tmkre olurlr. Geldik nın negtif olm durumun. Krekökün içi negtif olurs, o syının reel olmdığını, olmycğını biliyoruz. O hlde < 0 durumund, denklemin reel kökü yoktur deriz. Dikkt edin, kökü yoktur demiyoruz, reel kökü yoktur diyoruz. Zir bir ikinci dereceden denklemin her zmn iki tne kökü vrdır m bzen burd olduğu gibi kökler reel değil de krmşık syı olurlr. Uyrı. + b + c 0 denkleminde ile c ters işretliyse, kesinlikle frklı iki reel kök vr-dır. Çünkü frklı iki reel kök olbilmesi için b 4c > 0 olmsı yeter. Verilene göre 4c > 0 ve b nin her değeri için b 0 olduğundn b 4c > 0 eşitsizliği knıtlnmış olur. Fkt burdn ile c ynı işretliyse, denklemin iki frklı reel kökü olmz nlşılmmlıdır. Biz sdece ile c ters işretlilerse kesin böyledir diyoruz. Soru. + 4 + 5 0 denkleminin kümesini de çözüm Çözüm: Eğer ile c ters işretli olsydı, frklı iki reel kökün vrlığını bilerek, hemen, b, c değerlerinin eşitlerini köklerin formülünde yerlerine yzr ve çözüm kümesini bulurduk. Burd ile c ynı işretli olduğundn önce nın işretini tyin etmekte fyd vr. b 4c 4 4 5 4 < 0 olduğundn hiç işlem ypmy gerek yok, kökleri reel değildir. Dolyısıyl de çözüm kümesi boştur. Aklınız Acb nın işretini incelemeden bunu bulmz mıyız? diye bir soru geldiyse cevplylım: Bulbiliriz! + 4 + ifdesinde syısı, ifdeyi tmkre ypn değerinden büyükse kökler reel değildir, eşitse zten tmkredir, küçükse de kesinlikle iki frklı reel kök vrdır! Bunun knıtını siz ypmy çlışınız. Çok koly olduğunu söyleyelim de Kim uğrşck şimdi? demeyin Soru. + + (8 m) 0 denkleminin iki frk-lı reel kökü olduğu biliniyors, m nin bulunmsı gereken rlığı Çözüm: + + ifdesini tmkre ypn syısı dir. (8 m) değeri den küçük olurs denklemin iki frklı reel kökü olur. 8 m < ise m > 7 olmlıdır. İkinci dereceden denklemler hiç ummdık yerde krşımız çıkmlrıyl meşhurdur. Abrtmylım m geometrinin bile ilerlemesinde çokç ktkılrı olmuştur. Geometri problemleri çözerken çoğu zmn krşınız çıktığını htırlıyor olmlısınız. Htırlmıyorsnız, y çok z geometri sorusu çözmüşsünüzdür y d hfıznızd bir problem vrdır! Birzdn bunlr d syf syımız elverdiğince örnekler vereceğiz. Köklü ifdelerin oluşturduğu denklemlerin çözümlerinde de ikinci dereceden denklemlere sıkç rstlnır. Krekökten kurtulmk isteyen biri eşitliğin her iki trfının kresini ldığını çoğu zmn krşısınd böyle bir denklem bulur. Pydsınd birinci dereceden denklem içeren kesirli ifdelerin pydlrını eşitlediğinizde de rstlşmışsınızdır. Ne bileyim, ikinci dereceden bir denklemi çözmesini bilmeyen biri Pisgor, Öklid, Tles gibi teoremlerden ne kdr fydlnbilir? Benim size önerim, üniversite giriş imtihnınd bir tne bile ikinci dereceden denklem sorusunun çıkmycğı grnti edilse bile, çok iyi bilinmesi ve çlışılmsı gereken bir konudur. Gelinim, sn söylüyorum!
Soru. + eşitliğini sğlyn reel syısı kçtır? Çözüm: Eşitliği biçiminde düzenleyelim. Her iki trfın kresini lrk krekökten kurtulmdn önce bir kenr / olmsı gerektiğini de not edelim. 4 + 9 0 4 + 7 Köklerin formülünde değerleri yerine yzrsk ve 7/4 bulunur. / olmsı gerektiğinden eşitliği sğlyn tek değeri 7/4 tür. Soru. ( + ) ( + ) 4 0 denklemini sğlyn lerin toplmı kçtır? Çözüm: İstersek, prntezleri çrk, krşımız çıkck oln ikinci dereceden denklemi çözeriz. Am öyle çok soru çözdük. Bşk bir teknik görelim. + t olsun. Denklemimiz t t 4 0 hlini lır. t t 4 (t 4) (t + ) 0 olduğundn t 4 vey t olur. Şimdi geri dönüşüm yplım: + 4 vey + olur. O hlde in lbileceği değerler ve olduğundn toplmı olur. + 4 Soru. + 0 eşitliğini sğlyn değeri kçtır? 9 Çözüm: 9 ( )( + ) olduğundn toplnn ikinci ifdenin pydsını ( + ) ile genişletelim: + 4( + ) 5 + 4 + 0 9 9 9 olduğundn 4/5 olur. Eğer vey bulsydık, bu değerler, bize verilen eşitliği tnımsız ypcğındn cevbımız boşküme olcktı. Yni kesirli ifdelerde, bulduğumuz değerin pydyı sıfır ypıp ypmdığını incelemeyi unutmmlıyız. Benzer incelemeleri köklü ifdelerde de ypın! Soru. ABC üçgeninde DE // BC veriliyor. AD +, DB, AE ve EC + olduğun göre kçtır? Çözüm: Tles Teoremi nden AD / DB AE / EC olduğunu biliyoruz. Kurlım orntımızı. + olduğundn + + + olur. Düzenlenirse 0 çıkr. Denklem 4 ± çözülürse olur. Fkt uzunluklr negtif olmycğındn > / olmlı, yni, denklemin pozitif oln kökü olmlıdır. O hlde +. Soru. Yndki ABC üçgeninde DE // AB ve AD // EF veriliyor. BD FC 4 ise DF kçtır? Çözüm: Yine Tles Teoremi ni kullncğız. CF / FD CE / EA CD / DB olduğundn 4 + 4 olmlıdır. + 4 6 denklemi düzenlenirse + 4 6 0 hlini lır. Burd dik- 4 kt etmemiz gereken nokt in pozitif olm şrtıdır. O hlde iki kökten pozitif olnı lcğız. Ben ldım: + 5. Soru. ABC üçgeninde AD iç çıortydır. Uzunluklr şekilde verildiği gibi ise AB kenrının boyu kçtır? Çözüm: İççıorty Teoremi nden AC / CD AB / BD olduğunu biliyoruz. + Orntımızı kurrsk çıkr ki bunu + + dh önceki sorulrd çözmüş ve bulmuştuk. Bu şrtlr ltınd AB + olur. Soru. ABCD dikdörtgeninin kenr uzunluklrı şekilde verildiği gibidir. Bu dikdörtgenin lnı en çok kç olbilir? Çözüm: Dikdörtgenin lnı eni ile boyunun çrpımı olduğundn Aln(ABCD) ( + 4)( ) + 4 ( + ) + 9 olur. Burdn d için lnın en çok 9 olbileceğini nlrız.
Hocm, nsıl negtif olbilir ki? demeyin. değil, uzunluk negtif olmz. Yni < < olduğu sürece uzunluklr negtif olmz. Bu soruyu, ilerde, prbol dersinde dh kıs yoldn çöz-meyi öğreneceğiz. Alıştırmlr. Aşğıdki sorulrı ksi iddi edilmedikçe için ve kümesinde çözünüz.. 0 denkleminin çözüm kümesini. 7 + 0 denkleminin çözüm kümesini. + + 56 0 denkleminin çözüm kümesini 4. + ( ) 0 denkleminin çözüm kümesini 5. 5 99 + 0 0 denkleminin çözüm kümesini 6. + 0 denkleminin çözüm kümesini 7. ( b + b) + b 0 denkleminin için çözüm kümesini 8. 4 4 5 0 denkleminin çözüm kümesini 9. 7 0 0 denkleminin çözüm kümesini 0. ( ) 4( ) 0 denkleminin çözüm kümesini. ( + ) + 5( + ) 54 0 denkleminin çözüm kümesini. ( ) 8( ) + 0 denkleminin çözüm kümesini. ( ) ( ) 0 denkleminin çözüm kümesini 4. 4 + 8 + 0 denkleminin çözüm kümesini 5. m 4 6m + 8 0 denkleminin m için çözüm kümesini 6. + 5y + 7y 0 denkleminin ve y için çözüm kümesini 7. 7 0y y 0 denkleminin ve y için çözüm kümesini 8. y 4 + 4y 0 denkleminin ve y için çözüm kümesini 9. 00 0 + 0 5 + 0 denkleminin çözüm kümesini 0. + 0 denkleminin çözüm kümesini. 4 0 denkleminin çözüm kümesini. + + denkleminin çözüm kümesini 5
. denkleminin çözüm kümesini 4. y + 4 ve y 4 denklem sistemini sğlyn ve y kçtır? 5. y ve y denklem sistemini sğlyn ve y değerlerini 6. denkleminin çözüm kümesini bu- + lunuz. 7. 5 4 + + + + kümesini 8. denkleminin çö- + 5 + + + + + züm kümesini 9. denkleminin çözüm kü- + + + + mesini 0. + + + + kümesini. 9 + 9 çözüm kümesini. + denkleminin çözüm denkleminin çözüm denkleminin +0 5 denkleminin çözüm kümesini. 6 6 kümesini 4. + 6 6 kümesini + 6 + 6 denkleminin çözüm denkleminin çözüm 5. 4. + + 7 0 denkleminin çözüm kümesini Kökler Toplmını ve Kökler Çrpımını Kökleri Bulmdn Bulmk. Bn hiç öyle bkmyın, bu mümkün! Htt innmycğınız kdr d bsit. b b + ve olduğunu bildiğimizden bu iki ifdeyi toplrsk kökler toplmını, çrprsk kökler çrpımını, çıkrtırsk d kökler frkını buluruz. Ylnız, ben cnım öyle istedi diye eksili köke, rtılı köke dedim. Anlycğınız bunlr yer değiştirebilirler. Bundn dolyı kökler frkın bulduğumuz formül, diğer türlü düşünüldüğünde işret değiştirmelidir. Bunun için sorulrd y bir kökün diğerinden büyük olduğunu belirtir vey kökler frkının pozitif değerini filn sorr. Siz de bun dikkt edin. İşini grntiye lmk isteyen kökler frkı formülünü mutlk değer içinde düşünebilir. Şimdi söylediklerimizi sırsıyl yplım: b + b + + b b b b + ( b) ( )( ) 4 4c c 4 b b +. Böyle dh nice formül bulmk mümkün. Yukrd iki kökün toplmını, çrpımını ve frkını veren formüller bulduk. Aynı formülleri, köklerin 6
kendisi için değil de çrpmy göre tersleri için, kreleri için, küpleri için ve klınız gelen herhngi durumlr için de bulbilirdik. Bulun! Aynı şğıdki sorud yptığımız gibi ypın. Soru. 4 0 denkleminin kökleri ve olsun. < frzederek kökler toplmını, kökler çrpımını, diskriminntı, kökler frkını, köklerin kreler frkını, köklerin kreleri toplmını, köklerin küpleri frkını, köklerin çrpmy göre tersleri toplmını, köklerin çrpmy göre terslerinin kreleri toplmını ve kökleri yrı yrı hesplyınız. Çözüm: Denklemimizde, b ve c 4 olduğunu not edelim. b ( ) +, c 4 4, b 4c ( ) 4..( 4) 0, 0 5 ( )( + ) 5. 4 5, + ( + ) ( 4), ( ) + ( ) ( 5 ) + ( 4) ( 5 ) 40 5 + 4 5 6 5 + + b / b, c / c + +, 6 4 Kökleri formülleri kullnmdn bulmk içinse + ve 5 eşitliklerini trf trf toplycğız. 5 ve + 5 bulunur. Soru. (m ) + ( 4m) + 5m 6 0 denkleminin kökler çrpımı ise kökler toplmı kçtır? c Çözüm: Kökler çrpımının formülü olduğundn olmlı. 5m 6 6m 4 eşitli- 5m 6 m ğinden m bulunur. O hlde denklem 8 + 0 6 0 hlini lır ki kökler toplmı d b/ formülünden 5/4 olrk bulunur. Soru. 0 + m 0 denkleminin kökleri ve dir. 0 olduğun göre + m toplmı kçtır? Çözüm: ve ye bğlı iki bilinmeyenli bir denklemimiz vr. Aynı şeylere bğlı ikinci bir denklem dh bulbilirsek, ki bundn koly ne vr, soru çözülmüş syılır. 0 ve + 5 denklemleri ortk çözülürse 0 ve 5 olrk bulunur. Herhngi birini denklemde yerine yzıp (sğlmsı gerekir), m olduğu nlşılır. O hlde + m dir. Soru. 9 + 4 0 denkleminin kökleri ve olduğun göre + toplmı kçtır? Çözüm: + 9 ve 4 eşitliklerini kenrd bekletiyoruz. + T olsun. Eşitliğin her iki ynının kresini llım. ( + ) + T 9 + olur. Burdn T e ulşmk hiç de zor olms gerek. Niye pozitif krekökünü ldık bir düşünün m. Soru. 5 6.5 + + 5 0 denkleminin kökler çrpımı kçtır? Çözüm: İkinci dereceden denklemlerin rsınd bu denklemin işi ne? dediğinizi duymyyım skın!. 5 + 5.5 olduğundn 0 5 6.5 + + 5 5 0.5 + 5 olur. 5 değerine A dersek; A 0A + 5 0 denklemine ulşırız ki, lın size ikinci dereceden bir denklem, çözün çözebildiğiniz kdr!. 0 A 0A + 5 (A 5)(A 5) olduğundn A 5 vey A 5 dir. Tbii bize A yı sorn yok. A bizim hyli khrmnımız. Gerçek oln 5 dir. 5 5 ve 5 5 eşitliklerinden vey bulunur, o hlde bu değerlerinin çrpımı dir. Alıştırmlr. 6. + 5 0 denkleminin kökler çrpımı kçtır? 7. 6 0 denkleminin kökler çrpımı kçtır? 8. + 5 8 0 denkleminin kökler çrpımı kçtır? 7
9. 6 + 0 denkleminin kökler toplmı kçtır? 40. + ( ) + ( ) 6 0 denkleminin kökler toplmı kçtır? 4. 9 0 denkleminin kökler çrpımı kçtır? 4. 7 + 4 6 0 denkleminin kökler toplmı kçtır? 4. + kçtır? 44. + + 5 0 denkleminin kökler toplmı ( ) 5 + 6 0 denkleminin kökler toplmı kçtır? 45. 4. + + 7 0 denkleminin kökler çrpımı kçtır? 46. (m ) + ( 4m) + 5m 6 0 denkleminin kökler çrpımı ise m kçtır? 47. (m + ) (m + ) + 4m 0 denkle-minin kökler toplmı ise m? 48. 8 + m 0 denkleminin kökleri ve dir. 5 olduğun göre m kçtır? 49. 8 + m 0 denkleminin köklerinden biri, diğerinin ktı ise m kçtır? 50. ( ) ( + ) + 0 denkleminin kökleri ve dir. + olduğun göre kçtır? 5. (m + ) + 0 denkleminin kökleri ve dir. + 9 4 ise m kçtır? 5. m 0 ve m + 6 0 denkleminin kökleri ve dir. ise + kçtır? 5. (m ) (m + ) + m + 0 denkleminin köklerinin ve olduğu biliniyor. ( ) ( ) 0 ise m kçtır? 54. + (p ) + q 0 denkleminin kökleri p ve q ise q p? 55. (m + ) (m ) + m 0 denkleminin kökleri ve dir. + ise m kçtır? 56. + ( ) 0 denkleminin kökler toplmı 0 ise, bu denklemi sğlyn değerlerinin toplmı kçtır? 57. m + n m 0 ve + n + m + n 0 denkleminin köklerinin ritmetik ortlmsı 4 olduğun göre m n frkı kçtır? 58. (m + ) (m + 4) + m 0 denkleminin köklerinin ritmetik ortlmsı ise krelerinin toplmı kçtır? 59. (p + ) (p ) + p 0 denkleminin köklerinin geometrik ortlmsı 4 ise köklerin ritmetik ortlmsı kçtır? 8
60. + + denkleminin köklerinin çrpımı kçtır? 6. 5 5 0 denkleminin köklerinin çrpmy göre terslerinin krelerinin toplmı kçtır? 6. q + 4p 0 denkleminin kökleri p ve q ise 6. p + q? + 4 0 denkleminin kökleri ve olduğun göre + kçtır? 64. 4 0 denkleminin kökleri ve olduğun göre > iken 4 4? Ortk kökler. Bzen bir vey dh çok syı, iki vey dh çok denklemi birden sğlr. O durumd birden fzl denklemin kökü olmuş olurlr. Bu yüzden de ortk sıftıyl nılırlr. Htt tüm kökleri ortk oln m birbirlerine görünüşte hiç benzemeyen denklemler de yzmk mümkündür. 6 ile 4 0 denklemlerini düşünün. Her ikisinin de tek kökü vrdır, 4. İşte 4, bu iki denklemin ortk köküdür. Soru. + 5 + 0 + 4 7 + 0 denklemlerinin birer kökü ortk ise kçtır? Çözüm: Ortk oln köke m diyelim. O hlde m değeri her iki denklemi birden sğlmlıdır. m + m 5 + 0 m + 4m 7 + 0 eşitliklerinden m yi bulmk mcıyl denklemleri eşitleyelim: m + m 5 + m + 4m 7 + eşitliğinden m 5 4m 7 yni m bulunur. Ortk kökü bulduk. Şimdi bu kökü cnımızın istediği denklemde yerine koyck ve sğlmsını bekleyeceğiz. Bunu ypınc olduğunu görürüz. Soru. + + b 0 denkleminin bir kökü, + c + d 0 denkleminin bir kökü 5 tir. Bu iki denklemin diğer kökleri ortk ise c frkı kçtır? Çözüm: Ortk oln kök yine m olsun. O hlde ilk denklemin kökleri ve m, ikinci denklemin kökleri 5 ve m olur. Diğer yndn kökler toplmının formülü gereği + m ve 5 + m c dir. c ( m) (5 m) 8 bulunur. Bu sorud ve c ile lklı şeyler sorduğundn kökler toplmındn gittik, eğer b ve d ile lklı bir soru gelseydi, kökler çrpımındn gitmek dh mntıklı olurdu. Kökleri bilinen ikinci dereceden denklemlerin yzılmsı. Şu n kdr bize verilen her türlü ikinci dereceden denklemin köklerini bulmyı öğrendik, sdece bunl d klmdık, toplmlrını, frklrını, çrpımlrını bile bulduk. Şimdi de bize denklemin köklerini verip, kökleri bu oln denklem vey denklemleri bulun diyecek. Yine koly nlmnız mcıyl ilk örneğimizi syısl verilerle çözelim: Soru. Kökleri ve 4 oln ikinci dereceden bir denklem yzınız. Çözüm: Kök ne demekti? Denklemi sğlyn değer. Yni ve 4 bu denklemi sğlıyormuş. Polinomlr dersinden htırlrsınız, bir P() polinomu ( ) ile bölünebiliyors P() 0 idi. Yni P() polinomund görülen yere yzılırs, denklem sğlnıyordu. Burd d hem hem de 4 yzılınc sğlnıyor olmlı. O hlde denklemimiz hem ( ) e hem de ( 4) e bölünüyor olmlı, yni bunlrı birer çrpn olrk içermeli. Ylnız bunlrı çrpn olrk içeren sonsuz tne ikinci dereceden denklem vrdır. Mesel ( )( 4), ( )( 4) vey 4( )( 4). Dh d yzbileceğimizi nlmışsınızdır. Dolyısıyl biz bu melde soruln sorulrı bşktsyısı oln nlmınd cevplycğız. Şimdi genel formülü bulbiliriz: Soru. Bşktsyısı olup, kökleri ve oln ikinci dereceden denklemi yzınız. Çözüm: ( ) ve ( ) çrpnlrını içereceğini rtık biliyoruz. Bşktsyısı d olduğundn bu denklem kesinlikle ( )( ) 0 olmlı. Durmylım, prntezleri çlım bklım: + 0 yni ( + ) + 0 olur. + toplmını T, çrpımını d Ç ile gösterirsek, genel formülümüz T + Ç 0 9
hlini lır. Eğer bşktsyısı değil de k olnı bulun deseydi, buluğumuz bu denklemi k ile çrpmmız yeterdi, k( T + Ç) k kt + kç 0 gibi yni. Soru. Kökleri + ve olup, bşktsyısı oln ikinci dereceden denklemi yzınız. Çözüm: k, T + + ve Ç ( + )( ) olduğundn k( T + Ç) ( + ( )) 6 0 olmlıdır. Soru. Bşktsyısı olup, köklerinden biri 5 oln rsyonel ktsyılı ikinci dereceden denklemi yzınız. Çözüm: İkinci dereceden denklemlerin köklerinin formülünü htırlyınız. b b + ve idi. Burdn şöyle bir mntık yürütmekte mhzur görmüyoruz. Eğer köklerinden biri irrsyonel ise diğeri de irrsyoneldir. Çünkü denklemin diskriminntı yni sı tmkre değilmiş ki ilk kök irrsyonel çıktı, e ynı köklü ifde diğer kökün formülünde de vr. O hlde irrsyonel olmsı kçınılmz. Diğer yndn ktsyılrın rsyonel olmsı bize diğer kökün sdece irrsyonel olmkl klmyıp, ilk kökün eşleniği olmsı gerekliliğini de nltır. Eşleniği olmsydı hem kökler çrpımı rsyonel olmzdı hem de belki kökler toplmı. Ki köklerin formüllerine yrı yrı bkrsnız, bunlrın birbirlerinin eşleniği olmsı gerektiğini zten nlrsınız. Bu sebeple bir kök 5 ise diğer kök 5 + olmlıdır. Bu yüzden kökler toplmı 0 ve kökler çrpımı tür. Bunlrı formülümüzde yerine yzrsk; k( T + Ç) ( 0 + ) + 0 69 0 buluruz. Alıştırmlr. 65. Kökleri ve olup, bşktsyısı oln ikinci dereceden denklemi yzınız. 66. Kökleri ve 5 olup, bşktsyısı oln ikinci dereceden denklemi yzınız. 0 67. Kökleri ve 4 olup, bşktsyısı / oln ikinci dereceden denklemi yzınız. 68. Kökleri / ve / olup, bşktsyısı oln ikinci dereceden denklemi yzınız. 69. Bşktsyısı olup, köklerinden biri 4 oln rsyonel ktsyılı ikinci dereceden denklemi yzınız. Şimdi de iki vey dh çok ikinci dereceden denklemin köklerinin birbirleri rsındki bzı i- lişkileri inceleyeceğiz. Örneğin, önümüzde durn bir ikinci dereceden denklemin köklerini bulmdn, öyle bir denklem yzcğız ki, kökleri, önümüzdeki denklemin köklerinin ikişer ktı, yrısı, bzen de kresi olck. Olmyck bir şey yok. Yeter ki iste! Nsıl ypcğımızı şğıdki sorunun çözümünde detylı olrk nlttım. Soru. Öyle bir ikinci dereceden denklem yzınız ki, kökleri + 0 denkleminin köklerinin ikişer ktı olsun. Çözüm: Yok dh neler! Aslınd uzun m insnın klın önce şöyle bir yol geliyor: Bn vermiş olduğu denklemin köklerini bulsm, bu köklerin herbirini ile çrpsm, dh sonr d bu köklere ship ikinci dereceden denklemi yzsm Brvo, doğru, m çok uzun olur. Htt sırf bu yoldn gittiğine vey kıs yolunu bilmediğine pişmn ol diye verdiği denklemin kökleri rsyonel olmz, ynen bu sorudki gibi. Bzen reel syı bile değildir, bir sonr sorulck sorud olcğı gibi. Onun için siz şğıd yptığımız çözüme kulk kbrtın: + 0 denkleminin köklerine ve b diyelim. Köklerin toplmı ve çrpımı formüllerinden + b ve b olduğunu biliyoruz, not edelim. Kökleri ve b oln ikinci dereceden denklemi rıyoruz. E, biz bunu bulmyı öğrenmiştik. T + Ç ( + b) + ( b) 0 olur. + b ve b değerleri yerlerine yzılırs 6 + 4 0 bulunur. Soru. + 5 0 denkleminin köklerinin krelerini kök kbul eden ikinci dereceden bir denklem yzınız. Çözüm: + 5 0 denkleminin köklerine ve b diyelim. + b ve b 5 olduğunu bili-
yoruz. Birzdn kökleri ve b oln ikinci dereceden denklemi yzcğımızdn + b ve b değerlerini hemen bullım. + b ( + b) b 5 6 ve b 5 olduğundn rnn denklem + 6 + 5 0 denklemidir. Alıştırmlr. 70. + 4 0 denkleminin kökleri ve ise kökleri ( ) ve ( ) oln ikinci dereceden bir denklem 7. 0 denkleminin kökleri ve ise kökleri ve oln ikinci dereceden bir denklem 7. + 7 0 denkleminin kökleri ve ise kökleri ( + ) ve ( + ) oln ikinci dereceden bir denklem 7. + 5 0 denkleminin kökleri ve ise kökleri ve oln ikinci dereceden bir denklem 74. + 0 denkleminin kökleri ve ise kökleri ve oln ikinci dereceden bir denklem 75. 0 denkleminin kökleri ve ise kökleri ( ) ve ( ) oln ikinci dereceden bir denklem 76. + 0 denkleminin kökleri ve ise kökleri ( + ) ve ( + ) oln ikinci dereceden bir denklem 77. 5 0 denkleminin kökleri ve ise kökleri ve oln ikinci dereceden bir denklem 78. + 0 denkleminin kökleri ve ise kökleri ve oln ikinci dereceden bir denklem III. Üçüncü Dereceden Denklemler. İkinci dereceden denklemleri bu kdr iyi çlıştıktn sonr, Yok mu bunun dh büyük dereceden olnlrı? dediğinizi duyr gibiyim. İnsnın işthı kbrıyor. sıfırdn frklı olmk üzere + b + c + d 0 biçimindeki denklemlere üçüncü dereceden denklemler denir. Böyle denklemlerin, ve diye dlndırcğımız üç kökü vrdır. Tbi, bu kökleri bulmk birinci ve ikinci dereceden denklemlerde olduğu kdr koly değil. Am bu köklerin nsıl bulunduğunu merk edenler için yzının ilerleyen kısımlrınd bu metodu çıkl-dım. Sdece üçüncü değil, dördüncü dereceden denklemlerin köklerini bulmy yryn metodu d yzdım. Keşke benim de sizler gibi dh lisede okurken bu metotlrı öğrenebilme şnsım olsydı. Üçüncü dereceden denklemlerin köklerini bulmk çok krışık ols d kökleri rsınd çok bsit ilişkiler vrdır. Bunlrı knıtsız vereceğiz: + + b, + + c, d. Ayrıc, belki sırsı değil m, bir denklem kçıncı dereceden olurs olsun, köklerinin toplmı b dır. Ne demek istediğimizi nlmışsınızdır. n li terimin ktsyısının n li terimin ktsyısın ornının ters işretlisi. Şimdi birz bu formülleri kullncğımız sorulr çözeceğiz. Ylnız bu tip sorulrd sıkç görülen ortlmlrı tekrr htırlmkt fyd vr:
. Aritmetik ortlm.,,,, n reel syılrının ritmetik ortlmsı (ortsı) + + +... + n şeklinde tnımlnır. ve b gibi iki reel syının ritmetik ortsı + b ve, b, c gibi üç reel syının ritmetik + b + c ortsı ise olur.. Geometrik ortlm.,,,, n pozitif reel syılrının geometrik ortlmsı (ortsı) n..... şeklinde tnımlnır. Geometrik ortnın diğer bir dı ise ort orntıdır. ve b gibi iki pozitif reel syının ort orntısı b ve, b, c gibi üç pozitif syının geometrik ortsı ise bc olur.. Hrmonik ortlm. Sıfırdn frklı,,,, n reel syılrının hrmonik ortlmsı (ortsı) n + + +... + n şeklinde tnımlnır. ve b gibi sıfırdn frklı iki reel syının b hrmonik ortsı ve, b, c gibi sıfırdn + b frklı üç reel syının hrmonik ortsı ise bc olur. b + c + bc 4. Aritmetik dizi. Ardışık iki teriminin frklrı sbit oln dizilerdir.,,,, n gibi bir ritmetik dizide herhngi bir terim kendisine eşit uzklıkt bulunn komşulrının ritmetik ortsıdır. Örneğin, +. 5. Geometrik dizi. Ardışık iki teriminin ornı sbit oln dizilerdir.,,,, n gibi bir geometrik dizide herhngi bir terim kendisine eşit uzklıkt bulunn komşulrının geometrik ortsıdır. Örneğin,. n n Soru. m 64 0 denkleminin köklerinin ritmetik ve geometrik ortsının toplmı kçtır? Çözüm: Denklemimizin köklerinin ritmetik ortsı, diğer yndn geometrik + + ortsı 64 4 olduğundn cevbımız 5 olmlıdır. Soru. (m + 4) 4m + 0 denkleminin kökleri, ve olsun. + + 5 olduğun göre m + toplmı kçtır? b m + 4 Çözüm: 5 + + olduğundn m + 4 0, dolyısıyl m bulunur. Bu durumd denklemimiz 0 7 0 hlini d 7 ldığındn olur. O hlde soruln m + toplmı + 7/ / olur. Soru. + m + 5 0 denkleminin kökleri, ve ise + + kçtır? Çözüm: + + b / b olur. d / d 5 5 + + Soru. + w + 5 0 denkleminin köklerinin hrmonik ortsı kçtır? Çözüm: Kökler her zmnki gibi, ve olsun. Hrmonik ortnın formülü gereği ( d / ) d 0 + + c / c bulunur. Soru. + k 0 denkleminin tüm köklerinin işretlerini b Çözüm: + + 0 olduğundn üç kö- kün üçü de pozitif vey üçü de negtif olmz, çünkü toplmlrı sıfır olmzdı. O hlde y ikisi pozitif biri negtif, y d ikisi negtif biri pozitiftir. Hngisi olduğun d kökler çrpımındn krr vereceğiz. d olduğundn iki kökü negtiftir. Eğer tek kökü negtif olsydı kökler çrpımı d negtif çıkrdı. Umrım nlmışsınızdır.
Alıştırmlr 79. 5 (m + 4) m + 0 denkleminin kökleri, ve olsun. + + oldu-ğun göre çrpımı kçtır? 80. 0 denkleminin kökler toplmı kçtır? 8. + + 5 0 denkleminin kökler çrpımı kçtır? 8. 8 + 5 + 0 denkleminin kökler toplmı kçtır? 8. 7 6 + 0 denkleminin kökler çrpımı kçtır? 84. + m 7 + 5 0 denkleminin kökleri, ve tür. ise m kçtır? + + 85. + (m + ) + m 0 denkleminin kökünün ritmetik ortlmsı, üçüncü köke eşit olduğun göre m kçtır? 86. + 6 + (m ) + m + 0 denkleminin kökleri, ritmetik dizi oluşturuyors m kçtır? 87. 5 + 6 0 denkleminin köklerinin kreleri toplmı kçtır? 88. Bşktsyısı olup, kökleri,, oln üçüncü dereceden denklemi yzınız. 89. Bşktsyısı olup, kökleri,, 4 oln üçüncü dereceden denklemi yzınız. 90. Bşktsyısı olup, köklerinden biri diğeri oln rsyonel ktsyılı üçüncü dereceden denklemi yzınız. 9. İki kökü ve 5 olup, bşktsyısı oln rsyonel ktsyılı üçüncü dereceden denklemin köklerinin çrpımı kçtır? 9. Bir kökü 7, bir diğeri oln rsyonel ktsyılı üçüncü dereceden denklemin köklerinin toplmı kçtır? 9. q 5 + 6 0 denkleminin köklerinin hrmonik ortsı kçtır? 94. 6 + + 0 denkleminin köklerinden biri diğer iki kökün toplmı ise kçtır? 95. + b 8 0 denkleminin üç kökü de reel syıdır. Bu köklerden kçının pozitif, kçının negtif olduğunu 96. Bşktsyısı ve kökleri hem ritmetik dizi, hem de geometrik dizi oluşturn üç rdışık syı oln üçüncü dereceden denklemi Bir yol. Bzı üçüncü dereceden denklemlerin köklerini bulmk için ill d bir formül vey ilerde çıklycğımız metodu bilmeye gerek yoktur. Örneğin, 8 denklemini hepimiz çözebiliriz. Bu kdr bsit olms d bzen bşk yollr vrdır. Bunlrdn birincisi, kökler toplmı, köklerin ikişer ikişer çrpımlrının toplmı ve köklerin çrpımının formüllerini bildiğimizden üç bilinmeyenli üç denklem çözülebilir. Am bu çözüm çoğu zmn kbus gibidir. İkinci yol ise verilen üçüncü dereceden denklemi çrpnlrın yırmktır. Becerebilirsek tbii ki Üçüncü yol ise en mntıklısı, m tekrr htırltlım, bun her denklem izin vermez. Şöyle:
Kökler çrpımının hlde köklerin hepsi bu d olduğunu htırlyın. O d syısının bölenleri- dir. Du edelim ki tm böleni olsunlr. Tm bölenleri sğlms bile deneme ynılm yoluyl tüm derdimiz sdece bir kökü bulmk olck. İşte böyle bir kök bulbilirsek, örneğin bulduk ve o kök olsun, o hlde denklem ( ) ile tm bölünebilmeli diyerek, denklemi ( ) e böleceğiz. Bölümde çıkn ikinci dereceden denklem de bize diğer iki kökü ltın tepside sunck. Hemen bir örnek çözeyim: Soru. + 4 + 0 denkleminin tüm reel köklerini Çözüm: nin bölenlerini, tek tek, sğlıyor mu diye deneyeceğiz. Ben denedim, sğldı. Hemen denklemi ( ) e bölelim. + 4 +. + 4 +. + + 0 + 0 denklemini çözerek de diğer iki kökü merk ediyorsnız bulbilirsiniz. 0 + + + ( + ) olduğundn + ± olur. Burdn d diğer iki kök ve + bulunur. Alıştırmlr Aşğıd verilen üçüncü dereceden denklemlerin reel köklerini 97. 4 0 98. + 4 + 4 0 99. 4 + 4 0 00. y 0 0. 8 y 0 0. y 0 0. 64 7 0 04. + 7 + 5 0 05. + 5 0 06. 4 + 5 0 07. + 6 0 08. 5 0 0 09. 88 0 0. + 0. + 6 + + 8 0 Eşitsizlikler Syılr dersinin sonund bu dersin bşını görmüştük htırlrsnız. O zmnlr dın sdece birinci dereceden denklemleri içeren mnsınd Bsit Eşitsizlikler demiştik. Şimdi de dh büyük dereceden denklemleri içeren Zor Eşitsizlikler e geldik Eşitsizlik çözmek, kb tbirle, bir f fonksiyonunun hngi değerleri için pozitif, hngi değerleri için negtif ve hngi değerleri için sıfır olduğunu bulm işlemidir. Kurlı birinci dereceden bir polinom oln fonksiyonlr için eşitsizlik çözmeyi öğrenmiştik. Şimdi de dh büyük dereceden fonksiyonlr için öğreneceğiz. Önce birinci dereceden olnlrı nsıl çözdüğümüzü htırlylım: 4
f() 4 8 < 0 eşitsizliğinin sğlndığı rlığı bullım. Çözüm: İstemediğiniz kdr çok yol vr. Biz iki tnesini vereceğiz. Siz bu tip sorulrı birinci yoldn çözeceksiniz m ikinci yol dh büyük dereceden eşitsizlikleri çözerken kullncğımız yol olck, on d bkın, lıştırm olsun. Birinci yol. Aynı eşitlikmiş gibi dvrncğız: 4 8 < 0, 4 < 8, <. İkinci yol. f() 4 8 0 denkleminin kökünü, yni yi bir kenr yzın. Bir syı doğrusu çizip üzerinde işretleyebilirsiniz de, size klmış. Sonr fonksiyonun kurlının bşktsyısının işretini nin sğın yzın, zıt işretlisini de solun. Şöyle yni: + Bizden f() in sıfırdn küçük olduğu yni negtif olduğu yerler sorulduğundn, bu d bizim tsvirimizde nin solund bulunduğundn, çözüm rlığının den küçük syılr olduğunu nlrız. Bunu < şeklinde gösterebileceğimiz gibi, (, ) şeklinde de gösterebiliriz. Birinci dereceden eşitsizlikleri çözerken bu metod hiç gerek yok m dh büyük dereceden eşitsizlikler de ilç gibi geliyor. Hemen mertebeyi yükseltiyoruz. Konu nltımını soruyu çözerken ypyım: ( ) ( + 5) < 0 eşitsizliğinin çözüm rlığını bullım. Çözüm: Bu sefer eşitsizliğimiz ikinci dereceden olduğundn kökümüz vr. Hem de birbirinden frklı iki kök. Hemen bunlrı bir kenr boy sırsın göre diziyoruz, küçükten büyüğe: 5 Bu iki syı, üzerine işretlediğiniz syı doğrusunu üç prçy yırır. 5 in solu, 5 ile rsı ve nin sğı diye. İşte o nin sğın fonksiyonun bşktsyının işretinin yzcğız. Eğer fonksiyonun kurlı çrpnlrın yrılmış hlde bize verilmişse, fonksiyonu oluşturn çrpnlrın bşktsyılrının işretlerinin çrpımını en sğ yzrız, ki burd bu + oluyor, sonr sol doğru bir zıt işreti, bir ynı işreti yzcğız: + 5 + Bize sorud fonksiyonun sıfırdn küçük yni negtif olduğu yerler sorulduğundn, bu d tsvirimizde 5 ile rsınd göründüğünden cevbımız ( 5, ) olmlıdır. ( ) ( + 5) 0 eşitsizliğinin çözüm rlığını bullım. Çözüm: Bu sefer bir önceki örneğe göre köklerin değişmeyeceğini görünüz. Sdece önceden 5 ve eşitsizliği sğlmıyordu, şimdi sğlıyorlr, o hlde bu kökleri de çözüme dhil edeceğiz: Ç.A.: [ 5, ]. < 0 + 5 eşitsizliğinin çözüm rlığını bullım. Çözüm: Yine kökler ynı, bu yüzden ilk çözümle bir frkı yok, cevp: ( 5, ). 0 + 5 eşitsizliğinin çözüm rlığını bullım. Çözüm: Htırlrsnız, çrpnlr çrpım durumundyken < 0 yerine 0 dediğinde her iki kökü de lmıştık. Şimdi de öyle ypmmız gerekir m bu sefer + 5 çrpnı pyd d olduğundn 5 eşitsizliği sğlmz. O hlde cevp olrk ( 5, ] demeliyiz. Unutmyın ki, kçıncı dereceden olurs olsun, hiçbir zmn pydnın köklerini çözüme dhil edemeyiz. Prtik yol. Bu çözümlerden sonr, ikinci dereceden eşitsizliklerin çözümüyle ilgili şöyle bir genelleme ypbiliriz: Bşktsyı + iken, < 0 denmişse kökler rsı, > 0 denmişse köklerin dışı çözüm olur. Bşktsyı iken, < 0 denmişse kökler dışı, > 0 denmişse kökler rsı çözüm olur. Kökleri çözüm rlığın dhil edip etmeyeceğimiz, eşitliğin verilip verilmediğiyle ilgilidir, bir de ifdenin pyd mı pydd mı olduğuyl. ve dh büyük dereceden eşitsizlik çözümleri. Burdki yolun, birinci dereceden eşitsizliklere uyguldığımız ikinci yoldn ve ikinci dereceden eşitsizliklere uyguldığımız tüm yollrdn hiç frkı yok. Sdece burd kök syısı bzen dh fzl oluyor, m teknik değişmiyor. 5
( + 5) ( ) 0 eşitsizliğini sğlyn lerin hngi rlıkt olduğunu bullım. Çözüm: Derhl üç kökü de yzlım: 5 0 Üç çrpnın üçünün de bşktsyılrı pozitif, o hlde üç pozitifin çrpımı d pozitif olcğındn en sğ + yzcğız. Bir zıttı, bir kendisi, bir zıttı, bir kendisi diye sol doğru ilerleyeceğiz: 5 + 0 + Eşitsizlik 0 durumund olduğundn hem + yzn rlıklrı hem de kökleri lcğız. O hlde cevbımız: [ 5, 0] [, ). Sonsuz giden ifdelerin her zmn çık prntezle gösterildiğini de tekrr htırltlım. + 0 eşitsizliğini sğlyn lerin hngi rlıkt olduğunu bullım. Çözüm: Kökleri yzcğız m pyd çrpnlrın yrılmış durumd olmdığındn kökler bir bkışt görünmüyor. Hemen pydyı d çrpnlrın yırıyoruz: + + 0 ( )( + ) Derhl üç kökü de yzlım: Üç çrpnın bşktsyılrının işretlerinin çrpımı negtif olduğundn en sğ yzıyoruz, gerisi bildiğiniz gibi: + + Sıfırdn büyük vey eşit olduğu yerler sorulduğundn + yzn yerleri lcğız, eşitlik olduğundn kökleri de lcğız m pydd olnlrı değil, pyd olnlrı. Ç.A.: (, ) (, ]. Bir de dh dh büyük dereceden bir eşitsizlik çözelim ki hepsinin çocuk oyuncğı olduğun ikn olun: ( + ) (4 ) 0 ( ) ( + ) ( 5) eşitsizliğinin çözüm rlığını bullım. Çözüm: Kökler sırıtıyor, hemen kydedelim: 5 0 4 Çrpnlrın bşktsyılrı üç pozitif, üç negtif syıdn oluştuğundn çrpımlrı negtif olur, en sğ yzıp, sol doğru ilerleyin. 5 + 0 + + 4 Sıfırdn küçük vey eşit olduğu yerler sorulduğundn, yzn yerleri lcğız, eşitlik de verildiğinden pyın köklerini de. O hlde, Ç.A.: (, 5) (, 0] (, ] [4, ) Aşğıdki soruyu çözebilmek bury kdr nltıln her şeyi süper nlmış olmk demektir. Lütfen çözüme bkmdn önce kendi bşınız çözmeyi deneyiniz. 4 < ve b < b iken ( ) b > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? Çözüm: nın pozitif bsit kesir, b nin de negtif olduğu gizli kpklı verilmiş, hemen onu gördük, şimdi sorunun çözümüne geçiyoruz: Kökler, 0 ve olduğunu not edelim m bunlrı küçükten büyüğe sıry dizmek gerekecek. pozitif bsit kesir olduğundn küçükten büyüğe sır şudur: 0 Çrpnlrın bşktsyılrı, b ve olduğundn bşktsyılr çrpımı b, yni negtiftir, o zmn en sğ yzcğız: + 0 + Sıfırdn büyük oln yerler sorulduğundn çözüm rlığımız (, 0) (, ) olmlıdır. Temizlik ypıyoruz. Şimdi olylr birz lengirli olmy bşlıyor. İfdenin içinde reel kökü olmyn ikinci dereceden çrpnlr verilirse, olmyn kökü nereye ve nsıl yzcğız sorusun cevp rycğız, her zmnki gibi bulcğız. Pozitif bir ifdeyi bir bşk pozitifle çrprsnız cevp pozitif, negtifle çrprsnız cevp negtif olur. Anlycğınız ilk pozitif syının çrpıln ikinci ifdeye etkisi olmuyor. O hlde denklemde ne duruyor ki o, tlım! Bu hkkın nerden lıyoruz peki? Hemen yzyım: Bir ikinci dereceden ifdenin dim pozitif olduğunu nereden nlrız? Grfiğinin krşımızd durduğunu düşünün, her noktsı ekseninin üst bölgesindedir değil mi? Yni or- 6
dintlrı pozitif oln noktlrın bulunduğu bölgelerde. Ve eksenini de kesmiyordur, çünkü kesseydi dim pozitif demezdik ki. Peki bir fonksiyon grfiği, eksenini hiç kesmeden, hep üst bölgesindeyse, bu durum onun diskriminntı negtif olduğundn değil midir? Peki diskriminntın negtif olmsı bize ne nltmk isterdi? İfdenin reel kökünün olmdığını. O hlde böyle ifdeler gördük mü hemen tcğız, zten kökü de olmdığındn ilerde krşımız dikilmez Beni niye ttın? diye. İkinci dereceden bir ifdenin ne zmn dim pozitif olduğunu grfiğinden değil m denkleminden nlm metodunu d geçen dersimizde öğrenmiştik. Örneğin, eşitsizliğin sol trfınd + 6 + 0, + 4 + 9, +, +, ( ) +, 8, 7, 56 gibi ifdeleri gördünüz mü gözlerinin yşın bkmyın, tın! Tbi, ill ikinci dereceden olck diye bir şrt yok, bizim rdığımız özelik ifdenin dim pozitif olmsıdır. Yni, +, 8 +,, + 4, 4 + gibi ifdeleri görürseniz de cımyın! Uyrı. Şimdi söyleyeceğime çok dikkt edin. Bir ifde dim pozitif değil m hiç negtif olmyn bir ifdeyse de tın! Hiç negtif olmyn derken neyi kstettiğimizi nlmışsınızdır, bzen sıfır d olbilen, ( 5) 4,,, ve 6 gibi ifdelerden bhsediyorum. Ylnız bunlrı ilerde htırlmk üzere tın, çünkü bu ifdelerin kökleri vrdır, o kökler eşitsizliği sğlıyor d olbilir sğlmıyor d olbilir, bunlrı incelemek lzım. Attığınız ifdenin kökü, geri klnlrın çözümünde vr m eşitsizliği sğlmıyors onu çözümden tın. Benzer şekilde ttığınız ifdenin kökü, geri klnlrın çözümünde yok m eşitsizliği sğlıyors onu d çözüme ekleyin. Bir de burd gösterdiğimiz metott, eğer sdeleşmesi gereken bir ifde vrken sdeleştirmediyseniz de yndınız! Çünkü sdeleştirmeme durumund yzmmnız gereken bir kökü diğer köklerin rsın bir yere sıkıştırdınız demektir, bizim metott py ve pydd kökleri ynı oln iki çrpn vrs derhl onlrı trız! Şşırcksınız m pyd 8 pyd d vrs gene bunlrı sdeleştirin! Derdimiz ifdenin ynı olmsı değil, köklerin ynı olmsı. Aşğıdki örnekleri incelerseniz ne demek istediğimi dh rht nlrsınız. ( 5) < 0 eşitsizliğinin sğlndığı rlığı bullım. Çözüm: negtif olmyck bir ifde olduğundn tın gitsin. 5 < 0 eşitsizliğinin çözümü < 5 dir. Bu noktd skın gidip (, 5) rlığının bulunduğu şıkkını işretlemeyin. Çünkü ttığınız ifdenin kökünü dh incelemediniz. İnceleyelim: yi sıfır ypn değer 0 dır, peki bu 0 değeri verilen eşitsizliği sğlıyor mu? Hyır, o hlde çözümden tmlıyız bunu. Cevp (, 5) {0} olmlıdır, bunu (, 0) (0, 5) diye de yzbilirsiniz. Eğer soru ( 5) 0 şeklinde sorulsydı, 0 zten çözüm rlığınd vr deyip, bir şeye dokunmycktık. ( 5) 0 eşitsizliğinin sğlndığı rlığı bullım. Çözüm: negtif olmyck bir ifde olduğundn tın gitsin. Geriye klnın çözümü 5 olur. Am dikkt edin, 0 d sğlr m bu çözümde yok, o zmn derhl 0 ı d ekleyin çözüme. Ç.A.: [5, ) {0}. Eğer soru ( 5) > 0 şeklinde sorulsydı, 0 eşitsizliği sğlmıyor, zten benim bulduğum çözümde de yok deyip, etliye sütlüye krışmycktık. 4 6 0 + eşitsizliğini sğlyn kç tmsyı vrdır? Çözüm: 6 4 ifdesinin iki kre frkı olduğunu görelim ve on göre çlım. 4 6 0 + (4 )(4 + ) 0 ( + ) 4 + ve + ifdeleri her reel syısı için dim pozitif olcğındn bunlrı tlım. Reel kökleri olmdığındn ilerde dönüp incelememize gerek yok, rdınız bkmdn tın. Geriye klnlrı çözelim: ( )( + ) 0 ( )( + ) 0 olduğundn çözüm rlığı [, ] olur. Bu rlıkt {,, 0,, } olmk üzere sğlyn 5 tmsyı vrdır. 7
006 ( + 7) 0 4 eşitsizliğini gerçekleyen pozitif tmsyılrın toplmı kçtır? Çözüm: Pydki ifdeyi ilerde kökünü htırlmk üzere tlım. Pydyı d çrpnlrın yırlım. 0 ( )( + ) olduğundn çözüm rlığı (, ) olmlıdır. Am de eşitsizliği sğlrken bizim çözümümüzde çıkmdı, o zmn hemen ekleyelim. Son cevbımız (, ) { }. ( 64)( + 5) < 0 6 + 48 eşitsizliğini sğlyn kç tmsyı vrdır? Çözüm: + 5 dim pozitif olduğundn hemen onu tıp, pydyı d çrpnlrın yırlım: ( 64) < 0 ( )( 4) Kökler 4, 6, olduğundn gerekli işlemler ypılırs, çözüm rlığı (, 4) (6, ) olrk bulunur. + 6 + + 7 0 eşitsizliğini sğlyn kç tmsyı vrdır? Çözüm: Pyın ktsyılrı sırsıyl, 6,, 8 olsydı, ( + ) olmz mıydı? O hlde py ( + ) diyeceğiz. Pyd d negtif olmyck bir ifde olduğundn hemen kökünü htırlmk üzere tcğız. ( + ) 0 ( + ) 0 ( + )( + 5 + 7) 0 + 5 + 7 her reel değeri için dim pozitif olduğundn tbiliriz, klnı çözelim: + 0 olduğundn çözüm kümesidir. Fkt pydnın tnımsız olmmsı için olmlıdır. Kesirli ifdenin pydsı sıfır olmycğındn olmlıdır. Sonuç olrk {, 0,, } olmk üzere eşitsizliği sğlyn 4 tmsyı vrdır. 006 < için m 4m > 0 eşitsizliğini gerçekleyen m tmsyı değerlerinden en büyüğü ile en küçüğünün toplmı kçtır? Çözüm: 006 < eşitsizliğinden in bsit kesir olduğunu nlrız, yni < <. O hlde ifdenin pydsı dim negtif olur, pydyı prntezine lrk dim pozitif oln syısını tbiliriz. Pyd d tek bşın kln işretini de trk eşitsizliğin yönünü değiştirsek bir şey olmz. O hlde son durum d eşitsizlik şu hle gelir: m 4m < 0 (m 6)(m + ) < 0 olduğundn m için çözüm rlığı (, 6) dır. O hlde m nin lbileceği en büyük tmsyı değeri 5, en küçük tmsyı değeri de olur. Toplmlrı d 4 tür. Her şeyi bir trft topluyoruz. Bzen, gıcıklık pryl değil y, eşitsizliği f() < 0 şeklinde değil de, örneğin f() < şeklinde verir. Böyle durumlrd hemen cnımızın istediği bir tnesini diğerinin ynın yollyıp, eşitliğin bir trfını 0 ypm gyretine gireceğiz, f() < 0 gibi Gerisi bildiğiniz gibi Hngi syılrın kreleri kendilerinden küçüktür? Çözüm: Kreleri kendilerinden küçük oln syılr diyelim. O hlde < eşitsizliğini sğlyn değerlerinin sorulduğunu nlıyoruz. Hemen eşitsizliğin bir trfını sıfır yplım: < < 0 ( ) < 0 olduğundn çözüm rlığı (0, ) rlığıdır. Hngi syılrın küpleri kendilerinden büyüktür? Çözüm: Küpleri kendilerinden büyük oln syılr diyelim. O hlde > eşitsizliğini sğlyn değerlerinin sorulduğunu nlıyoruz. Hemen eşitsizliğin bir trfını sıfır yplım: > > 0 ( ) > 0 ( ) ( + ) > 0 olduğundn hemen kökleri yzıp, işretleri yerleştirelim: + 0 + diye çözüm rlığı (, 0) (, ) rlığıdır. 8
eşitsizliğinin çözüm rlığını bullım. Çözüm: Hemen sğdkini sol llım., 0, 4 0, ( )( + ) 0. Derhl gerekenler ypılırs çözüm rlığının (, ] (0, ] olduğu görülür. 4 4 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? Çözüm: Hepsini bir trft toplylım: 4 4 + 4 4 0 ( + ) 4 ( + ) 0 ( + ) ( 4) 0 ( + ) ( ) ( + ) 0 olduğundn çözüm kümesi [, ] [, ) dur. > 0 > b iken ( b + ) + b > 0 + b eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? Çözüm: Py ve pydlrı çrpnlrın yırlım d böyle korkunç görünmeye devm etmesin. Toplmlrı b, çrpımlrı b oln syılrı rıyoruz. Ben sizin yerinize rdım buldum: b ve syılrı. O hlde eşitsizliği tekrr yzlım: ( b)( ) > 0 ( b ) Köklerin b, ve 0 olduğunu znnetmeyin. yi cehenneme yollmyı unutmyın m ilerde kökünü incelemeyi de. Dolyısıyl kökler b ve dır. > 0 > b verildiğinden bu değerlerin küçükten büyüğe sırlmsı b şeklinde olur. Diğer yndn b syısının d verilenlere göre negtif olduğu görülürse, çrpnlrın bşktsyılrının işretleri çrpımı olur. b + Sıfırdn büyük oln yerler sorulduğundn çözüm rlığı [b, ] bulunur. Am 0 değeri ifdeyi tnımsız yptığındn tılmlıdır, son ve değişmez cevbımız: [b, ] {0}. < 0 7 + + 4 + eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? Çözüm: Bir sniye bile durmdn pydlrı eşitleyelim: 4 4 ( )( ) ( )( + )( ) ( ) ( )( + + ) olduğundn +, + + ve değerlerini tlım, değerlerini de sdeleştirelim. Geriye şu klır: ( + )( ) < 0 O hlde çözüm rlığı şimdilik (, ) dir. Htırlmmız gerekenleri htırlylım: {} ve {0} değerleri ifdeyi tnımsız ypıyor, onu tlım. O hlde son cevp: (, ) {0, }. + < 0 eşitsizliğini sğlyn ler hngi rlıktdır? Çözüm: Yine pydlrı eşitleyerek işe bşlylım: + 4 + ( 4) ( ) olduğundn ifde 4 < 0 ( ) hline dönüşür. ve 4 ü hiç negtif olmıyorlr diye trız, geriye klnı d çrpnlrın yırırız. < 0 ( )( + ) olduğundn çözüm rlığı (, ) olur. Am 0 ifdeyi tnımsız yptığındn cımdn tılmlıdır, son cevp: (, ) {0}. 9
+ 5 4 eşitsizliğini sğlyn kç tmsyı vrdır? Çözüm: ifdesi kök derecesi olduğundn in sdece den büyük sym syısı olbileceğini unutmylım. + 5 + 5 + 5 0 + 5 + 0 + 7 0 Bu noktd in pozitif olduğunu bildiğimizden bunu tbiliriz. Geriye klnı çözsek yeter. + 7 0 ( 7) 0 ( 7) 0 olduğundn için çözüm rlığı [0, 7] çıkr. Düştüğümüz ilk notl birlikte düşünürsek in sdece {,, 4, 5, 6, 7} değerlerini lbileceğini görürüz. Yni cevbımız: 6. Eşitsizlik sistemleri. den çok eşitsizliğin bir rd olmsın eşitsizlik sistemi diyoruz. Eşitsizlik sisteminin çözüm rlığı d sistemde bulunn tüm eşitsizliklerin hepsini birden sğlyn rlıktır. Bu d sistemdeki tüm eşitsizliklerin çözüm rlıklrının kesişimidir. 0 5 < 0 eşitsizlik sisteminin çözüm kümesinde kç tmsyı vrdır? Çözüm: Her iki eşitsizliği yrı yrı çözecek, dh sonr çözümlerin kesişimini lcğız. Geriye sdece içindeki tmsyılrı symk klck. 0 ( 4)( + ) 0 olduğundn ilk eşitsizliğin çözüm rlığı (, ] [4, ) dur. Sır ikinci de: 5 < 0 ( 5)( + ) < 0 olduğundn ikinci eşitsizliğin çözüm rlığı d (, 5) rlığıdır. Her iki eşitsizliği de şğıdki gibi syı doğrusu üzerinde kesiştirirsek, - - her ikisinde de bulunn rlığın, yni kesişimin [4, 5) rlığı olduğu görülür. O hlde eşitsizlik sistemini tek tmsyı sğlr, o d {4} tür. + > 0 eşitsizlik sisteminin çözüm rlığını 0 bullım. Çözüm: İlk eşitsizliğin çözüm rlığı (, ) (, ) olup, ikincisinin ise (, ) tür. Hemen her iki rlığı d çizip kesişimini llım: - - O hlde cevbımız (, ) olmlıdır. 5 < < eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? Çözüm: Bu d slınd gizli kpklı bir eşitsizlik sistemidir. Çünkü tne değil tne eşitsizliğin birden sğlnmsı gerekiyor. Skın her trfı ile çrplım demeyin de gerisi sorun değil. 5 5 > ve < eşitsizliklerini çözüp, kesişimlerini lcğız, bitecek. 5 > 5 + > 0 + 6 > 0 ( + )( ) > 0 olduğundn ilk eşitsizliğin çözüm rlığı (, ) (, ) dur. Şimdi ikincisine bklım. 5 < 5 < 0 4 5 0
< 0 ( )( + ) < 0 olduğundn ikinci eşitliğin çözüm rlığı d (, ) (, ) tür. Her iki rlığın kesişimi oln (, ) (, ) rlığı d cevp olur o zmn. (m + ) + m + > 0 eşitsizliğinin dim doğru olbilmesi m nin hngi rlıkt olmsıyl mümkündür? Çözüm: Bir fonksiyonun dim pozitif olm şrtını vermiştik. Bşktsyısı pozitif olup, diskriminntı negtif olcktı. Yni iki eşitsizlik birden sğlncktı. Bu d bir eşitsizlik sistemidir işte. Bu fonksiyond zten her reel m değeri için bşktsyı oln m + değeri hep pozitif olcğındn sdece diskriminntı negtif tutrsk yeter. m 4 (m + ) < 0 m 4m 4 < 0 m 4 < 0 m + 4 > 0 Bu eşitsizlik her m değeri için sğlncğındn çözüm kümemiz olmlıdır. m + (m ) + m < 0 eşitsizliğinin dim doğru olbilmesi m nin hngi rlıkt olmsıyl mümkündür? Çözüm: İster eşitsizliğin her iki trfını ile çrpıp, eşitsizliğin de yönünü değiştirip bir önceki örnekteki gibi çözüm yprız, istersek de bir fonksiyonun dim negtif olmsı için hngi şrtlrın sğlnmsı gerektiğini düşünürüz. İkincisinden yplım: Bir fonksiyonun dim negtif olmsı, yni grfiğinin ekseninin lt trfınd klmsı, hem bşktsyısının hem de diskriminntının negtif olmsıyl mümkündür. İkisini birlikte düşünüp kesiştireceğiz. İlk eşitsizliğimiz m < 0. Diğerine bklım: (m ) 4 m (m ) < 0 4m 8m + 4 4m + 4m < 0 4m + 4 < 0 4m < 4 m > m < 0 ve m > eşitsizliklerinin kesişimi olduğundn bizim cevbımız d dir. 4 7 8 < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? Çözüm: 4 syısının syısının kresi olduğun dikkt ediniz. Hemen küçük olnın t diyelim: t 7t 8 < 0 (t 8)(t + ) < 0 diye < t < 8 olduğunu buluruz. t yerine değerini yzrsk, < < 8 Bu d bir eşitsizlik sistemidir. Dikkt ederseniz iki eşitsizlik vr. İkisini de çözmek gerekir. nin hiçbir kuvveti negtif olmycğındn eşitsizliklerin sdece sğdkini incelesek yeter. < 8 < < < 0 ( )( + ) < 0 olduğundn için çözüm rlığı (, ) bulunur. Alıştırmlr. 4 + + 5 < eşitsizliğini sğlyn en 6 9 büyük tmsyı değeri kçtır? A) 9 B) 40 C) 4 D) 4 E) 4. < + eşitsizliğini gerçekleyen pozitif tmsyılrın toplmı kçtır? A) B) 5 C) 6 D) 0 E) 7 4. > eşitsizliğinin çözüm rlığı şğıdkilerden hngisidir? A) < B) < ve 0 C) < C) < < ve 0 D) 0 < <
5. Aşğıdkilerden hngisi ( ) ( ) < 0 eşitsizliğinin çözüm rlığının bir ltkümesidir? A) < < B) < < C) < D) < < E) 0 < < 6. ( ) ( + 4) < 0 eşitsizliğinin çözüm rlığı şğıdkilerden hngisidir? A) (, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (, ) ( ) (5 ) tmsyı vrdır?. 0 eşitsizliğini sğlyn kç A) B) C) D) 4 E) 5. + < eşitsizliğinin çözüm kümesi şğıdkilerden hngisidir? ( ) A) > B) < C) < D) < ve E) < < 7. + > + eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? A) > ve B) > 0 C) < D) < < E) (, ) (, ) 8. ( 4) < ( 5) eşitsizliğinin çözüm rlığı şğıdkilerden hngisidir? A) > B) < < 0 C) < 0 D) 0 < < E) < < 5 9. + 0 eşitsizliğinin tmsyılrdki çözüm kümesi kç elemnlıdır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 0. 6 0 eşitsizliğini doğrulyn kç tmsyı 4 vrdır? A) 0 B) C) D) E) 4. ( )( + ) > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi şğıdkilerden ( 4) hngisidir? A) < < 0 B) > C) 0 < < D) <, 0 < < E) <, < < 4. ( + ) 0 eşitsizliğini doğrulyn tmsyılrın toplmı 6 + 5 kçtır? A) 5 B) 7 C) 9 D) E) 5 5. eşitsizliğini sğlyn ler hngi rlıktdır? + A) > B) > C) < D) < E) < < 6. + 4 vrdır? eşitsizliğini sğlyn kç tmsyı A) B) C) D) 4 E) 5
CEVAP ANAHTARI A A 4 B 5 D 6 B 7 A 8 C 9 C 0 B C D E 4 B 5 C 6 B 7. ( 4)( 6) 0 ( + ) tmsyı vrdır? eşitsizliğini sğlyn kç A) 6 B) 5 C) 4 D) E) 8. ( ) ( + ) 0 eşitsizliğini doğrulyn tmsyılrın toplmı 4 ( ) kçtır? A) B) C) 0 D) E) 9. > eşitsizliğinin çözüm rlığı nedir? A) < 6 B) > 6 C) 0 < < 6 D) < 0 vey > 6 E) 6 < < 0 0. 9 eşitsizliğinin sğlndığı rlık şğıdkilerden hngisidir? A) (0, ] B) (, ] C) [, ) D) (, 0) E) [, 0) [, ). eşitsizliğine göre, şğıdkilerden hngisi çözüm kümesinin bir ltkümesi- dir? A) < < 0 B) < 0 C) < D) 0 < < E) >. 0 eşitsizliğini gerçekleyen pozitif tmsyılrın toplmı kçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9. 0 eşitsizliğinin çözüm rlığı şğıdkilerden + + hngisidir? A) < B) < C) < < D) < < 0 E) < 4. + 0 eşitsizliğinin çözüm rlığı şğıdkilerden ( ) hngisidir? A) > < 0 B) 0 > C) <, 0 D) < < 0 E) < < 5. ( ) 0 eşitsizliğinin çözüm rlığı şğıdkilerden + hngisidir? A) (, ) {, } B) (, ) C) (, ) D) (, ) {0} E) (, ) 6. ( + 0) < 0 eşitsizliğinin tmsyılrdki + 5 çözüm kümesi kç elemnlıdır? A) B) C) D) 4 E) 5 7. + > 0 < 0 şğıdkilerden hngisidir? eşitsizlik sisteminin çözüm rlığı A) (, 0) B) (, 0) C) (0, ) D) (0, ) E) (, )
> 0 8. eşitsizlik sisteminin çözüm kümesinde kç tmsyı 4 < 0 vrdır? A) B) C) D) 4 E) 5 9. + < 4 < eşitsizliğini gerçekleyen bütün değerleri hngi rlıktdır? A) > B) < 4 C) 4 < < 0 D) 4 < < E) 0 < < 40. + + > 0 6 0 eşitsizlik sisteminin çözüm rlığı şğıdkilerden hngisidir? A) [, 4) B) ( 4, 4) C) [ 4, 4] D) (, ) E) (, 4] [4, ) 4. + > 0 < 0 eşitsizlik sisteminin çözüm rlığı şğıdkilerden hngisidir? A) B) < C) D) < < E) < < CEVAP ANAHTARI 7 B 8 C 9 C 0 D A E C 4 C 5 A 6 A 7 D 8 A 9 C 40 C 4 B 4. 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? + A) [, ] B) (, ) C) [, ) D) (, ] E) [, ] {0} 4. 4 > 0 eşitsizliğini sğlyn ler 4 hngi rlıktdır? A) [, ] B) (, ) C) [, ) D) (, ] E) [, ] {0} 44. ( m ) + m m + < 0 eşitsizliğini sğlyn kç tmsyı 4 vrdır? A) 0 B) C) D) E) 4 45. + 5 < 4 < + eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? A) [, ] B) (, ] C) [, ) D) (, ) E) [, ] {0} 46. < < eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? A) [, 0] B) (, 0] C) (, 0) D) [, 0] E) (, 0) 47. eşitsizliğini sğl- + < + yn ler hngi rlıktdır? A) [, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ] E) [, ) 48. eşitsizliğini sğlyn ler hngi r- < lıktdır? A) (, ) (0, ) B) (, ) (, ) C) (, ) (4, 7) D) (, ) E) (, ) 4
49. + 5 + 0 eşitsizliğini sğlyn tmsyılr hngi şıkt + 8 + 4 + verilmiştir? A) {, } B) {, } C) {,, } D) {0,,, } E) {, 0,,, } 50. + 7 < + + < eşitsizliğini sğlyn ler hngi + rlıktdır? A) (, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) [, ] {0} 5. + 5 > + eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? A) (, ) B) (, ) C) (, ) D) > vey > E) (, ) 5. + + < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? A) > B) C) < D) (, ) E) 5. + > 6 eşitsizliğini sğlyn kç tmsyı vrdır? A) > 4 B) > 4 C) 4 D) 4 E) 4 54. + ( 6) < 0 + + tmsyı vrdır? eşitsizliğini sğlyn kç A) B) C) 4 D) 5 E) 6 55. (7 ) 0 eşitsizliğini gerçekleyen (4 )( + ) pozitif tmsyılrın toplmı kçtır? A) 9 B) 0 C) D) E) 56. vrdır? + + eşitsizliğini sğlyn kç tmsyı A) (, ) B) [, ] C) (, ) D) (, 4) E) (, ] CEVAP ANAHTARI 4 A 4 B 44 D 45 D 46 E 47 C 48 A 49 E 50 C 5 D 5 A 5 E 54 C 55 E 56 A İkinci dereceden bir denklemin köklerini bir α syısıyl kıyslnmsı. Bu konu slınd ikinci dereceden denklemler bşlıklı ders notun ykışır m eşitsizlik çözme bilgisi gerektirdiği için, o derste veremedik. Şu n bunlrı nlmy ve kendi kendimize çözmeye hzırız. + b + c 0 denkleminin kökleri her zmnki gibi ve olsun. ve syılrının bir α syısın göre durumlrını inceleyeceğiz. Genel olrk şu sorulr cevp rycğız: < < α ise yni her iki kök de α dn küçükse ne ypmmız gerekir? α < < ise yni her iki kök de α dn büyükse ne ypmmız gerekir? < α < ise yni α, köklerin birinden küçük m diğerinden büyükse ne ypmmız gerekir? α 0 durumu. En koly oln şık bu. Birinin öğretmesine gerek bile yok. Evinin yolunu bulbilen herkes, kendi kendine ne ypmsı gerektiğini bulbilir. Kökleri ve oln + b + c 0 denklemi için, < < 0 ise. Bu eşitsizliklerinin nltmk istediği, her iki kök de negtif olduğundn kökler toplmının negtif, kökler çrpımının pozitif olduğudur: 5
+ b c > 0. < 0, 0 < < ise. Burd d her iki kök pozitif olduğundn hem kökler toplmı hem de kökler çrpımı pozitif olmlıdır. b + > 0, c > 0. < 0 < ise. Köklerin biri pozitif biri de negtif olduğundn çıkrılbilecek tek sonuç kökler çrpımın negtif olduğudur. Büyüklükleri net olrk bilinmediğinden kökler toplmı için bir şey söylenemez. c < 0. Kökler toplmı hkkınd d bir şeyler söyleyebilmek için köklerin büyüklüğünü gösteren şıklr d ekleyelim: < 0 < ve < ise. Önce yorumlylım. Sonr yorumumuzun doğruluğunu mtemtik olrk d knıtlylım: Negtif oln syısının mutlk değerinin bile den küçük olmsı, nin işretsiz değerinin in işretsiz değerinden de büyük olduğunu nltır. O hlde bu iki syının toplmı, pozitif oln rkmc dh büyük olduğundn pozitiftir. Doğru mu bir bklım: < ise < 0 dır. < 0 olduğundn olur. O hlde < 0 yni b + > 0 demektir. Doğruymuş. < 0 < ve < ise. Bu sefer negtif olnın mutlk değeri, yni şretsiz değeri, pozitif olndn büyük, o hlde bunlr toplnırs negtifin rkmı dh büyük olduğundn, ğır bsck ve toplm negtif olcktır. İşlemlerle de gösterelim: < ise < 0 dır. < 0 olduğundn olur. O hlde ( ) < 0 yni b + < 0 demektir. Bury kdr olnlr dediğimiz gibi kolydı zten. Şimdi α nın 0 dn frklı olduğu durumlr göz tcğız. Bunlr küçük de ols mhret istiyor. α 0 durumu. α 0 syı doğrusu üzerinde kritik bir nokt olduğundn yorum ypmk koly oluyordu. Sğı pozitif, solu negtif diyorduk bitiyordu. Am örneğin α ols, α nın solundki iki syının ne toplmı ne de çrpımı hkkınd kesin hükümler veremeyiz. Her iki syı d pozitif olbileceği gibi, her ikisi negtif de olbilir htt biri pozitif biri negtif de. α < < ve < < α ise. Olsı durumlrı düşünelim. Bir kere α syısı her iki kökten de büyük vey küçük verilmiş. Demek ki köklerin vrlığı kesin. Demek ki fonksiyonun grfiği eksenini iki yerde kesiyor. Bu durum iki şekilde mümkün: Y kollr yukrı doğru, y d şğı doğru. Kollr yukrı doğruyken > 0 ve f(α) > 0 dır. Kollr şğı doğruyken de < 0 ve f(α) < 0 dır. Demek ki her iki durumd d f(α) > 0 olmlıdır. f(α) O y α α < < durumu (>0) O f(α) y f f(α) O α r α < < durumu (<0) r f y α < < α durumu (>0) O f(α) y f < < α durumu (<0) r α Peki o zmn, α < < ve < < α durumlrının ikisinde de f(α) > 0 ise bu durumlrı birbirinden nsıl yırt edeceğiz? Dikkt ederseniz α < < durumund (soldki iki şekil), α syısı prbolün tepe noktsının psisinden (r diyelim) yni kökler toplmının yrısındn küçüktür. < < α durumund ise (sğdki iki şekil), α syısı kökler toplmının yrısındn yni r den büyük. Toprlylım: b α < < ise f(α) > 0 ve α <, b < < α ise f(α) > 0 ve < α. < α < ise. Olsı durumlr yine iki tne. Y kollr yukrı doğrudur y d şğı doğru. Yukrı doğru olurs > 0 m f(α) < 0, kollr şğı doğru olurs d < 0 m f(α) > 0. Anlycğınız her iki durumd d ile f(α) değerleri zıt işretlidir. r f 6
y O α f(α) < α < durumu (>0) f f(α) O y α < α < durumu (<0) O hlde < α < ise f(α) < 0 dır. Alıştırmlr 57. + (m ) + m 0 denkleminin kökleri ve dir. < 0 < ve < ise m hngi rlıkt olmlıdır? f 6. (m ) + (m + ) + m + 0 denkleminin kökleri ve dir. < ve < m < olduğun göre ve nin işretleri nelerdir? 64. d < < 0 < b iken ( + b)(d + ) < 0 ise için çözüm rlığı nedir? 65. > > olduğun göre + + 0 denkleminin köklerinin durumunu inceleyiniz. 58. + (m + ) + m + 0 denkleminin kökleri ve dir. < 0 < ve < ise m kçtır? 66. m + (m + 6) 4m 0 denkleminin kökleri ve dir. < < olduğun göre m hngi rlıkt olmlıdır? 59. m + (m + ) m + 0 denkleminin kökleri ve dir. < 0 < ve > ise m syısı hngi rlıktdır? 67. m (m + 4) 0 denkleminin kökleri ve dir. < < olduğun göre m hngi rlıkt olmlıdır? 60. + (6 m) m + 4 0 denkleminin kökleri ve dir. < 0 < ve > ise m kçtır? 6. m + m 0 denkleminin kökleri ve dir. < 0 < olduğun göre m hngi rlıkt olmlıdır? 6. + m + m 0 denkleminin kökleri ve dir. < < 0 olduğun göre m hngi rlıkt olmlıdır? 68. (m + ) (m 4) 0 denkleminin kökleri ve dir. < < olduğun göre m hngi rlıkt olmlıdır? 69. m + (m ) 4 0 denkleminin köklerinden biri den büyük, diğeri ise den küçüktür. Bun göre m hngi rlıkt olmlıdır? 70. (m + ) 4m + m 0 denkleminin kökleri ve dir. < < olduğun göre m hngi rlıkt olmlıdır? 7
7. (m + 4) + m + 5 0 denkleminin kökleri ve dir. < < olduğun göre m hngi rlıkt olmlıdır? 79. f() (m ) + m + m fonksiyonunun her reel syısı için dim negtif olbilmesi için m hngi rlıkt olmlıdır? 7. ( + 4) + + 5 0 denkleminin her iki kökü de den küçükse hngi rlıkt olmlıdır? 80. (m ) + (m ) + m + 0 denkleminin kökleri ynı işretli ise m hngi rlıkt olmlıdır? 7. m + m + m + 0 denkleminin kökleri ve dir. < < olduğun göre m hngi rlıkt olmlıdır? 8. (p ) + (p 4) + 0 denklemi veriliyor. Hngi p tmsyısı için bu denklemin reel kökü yoktur? 74. f() + m m 0 fonksiyonu için f() < 0 ise ve köklerinin syısın göre durumlrını inceleyiniz. 8. (5 4m) (m + ) + m 0 denkleminin köklerinin birbirlerine dik oln iki doğrunun eğimleri olbilmesi için m kç olmlıdır? 75. + ( + ) + 0 denkleminin kökleri ve dir. < < olduğun göre kçtır? 8. m + m + 0 denkleminin bir tmkre olmsı için m nin lbileceği değerler nelerdir? 76. (m + 5) (m + 6) 0 denkleminin kökleri ve dir. < 0 < < ise m hngi rlıktdır? 84. (p + ) p + p 0 denkleminin zıt işretli iki reel kökü vrs p hngi rlıktdır? 77. (m + ) + m + m 5 0 denkleminin kökleri ters işretliyse, m nin lbileceği tmsyı değerlerin toplmı kçtır? 85. p 5 + p (4p ) 7 denkleminin iki kökü çkışıks p nin lbileceği değerlerin çrpımı kçtır? 78. (m ) m + m + 5 0 denkleminin iki frklı pozitif kökünün olbilmesi için m nin lbileceği değerler hngi rlıktdır? 86. + ( m) + m 0 denkleminin kökleri pozitifse m hngi rlıkt olmlıdır? 8
Cevplr. 57. (, ) 7. (, ) 58. (, ) 7. (, ) 59. (, ) 74. 0 < < < 60. (, 6) 75. < < 0 6. m < 76. ( 5, ) 6. m > 0 77. 6. < 0, > 0 0 78. (, 5) (, ) b 64. (, ) d 79. (, ) 65. Reel kök yoktur 80. (, ) 5 66. (, 0) 4 8. 67. (, 0) 8. 68. (, ) (, ) 8. {, } 69. (0, ) 84. (, ) 70. (, ) (, ) 85. 7. (, ) 86. (, ) Krm Test 87. + 6 0 denklemini sğlyn değeri kçtır? 88. + denkleminin çözüm kümesini 89. + denkleminin çözüm kümesini 90. + 9. denkleminin çözüm kümesini m m + 0 denkleminin kökleri ve dir. 5 ise m kçtır? 9. Bir dikdörtgenin lnı br, çevre uzunluğu ise 0 br veriliyor. Bu dikdörtgenin kıs kenr uzunluğunu 9. + 0 denkleminin kökleri ve ise 6 + 6 toplmı kçtır? 94. m + 0 denkleminin çözüm kümesinin boşküme olmsı için m hngi rlıkt olmlıdır? 95. + 0 denkleminin negtif oln kökünü 96. + + m 0 denkleminin kökleri, ve iken + + ise m kçtır? 97. + (5m + ) + m + m 0 denkleminin iki kt kökü olmsı için m kç olmlıdır? 98. + m m 0 denkleminin kökleri ve dir. < < < ise m hngi rlıkt olmlıdır? 99. 4 + 8 4 + 0 denkleminin köklerinin çrpmy göre terslerinin toplmı kçtır? 00. m < 0 < n iken + m + n 0 denkleminin kökleri ve dir.,, m, n syılrını küçükten büyüğe doğru sıry diziniz. 9
0. 4 0 denkleminin hngi iki rdışık syı rsınd bir reel kökü kesinlikle vrdır? Cevplr 87. 4 9 94. (, ) + 88. 95. 89. 96. 90. {} 97. 9. 98. m > 0 9. 5 99. 4 9. 54 00. < m < < n 0. (, ) 0
Üçüncü dereceden denklemlerin köklerini bulmk [MD]. Birinci ve ikinci dereceden denklemlerin çözümlerini zten büyük ihtimlle sizler de ypbiliyordunuz. Am dh büyük dereceden denklemlerin çözümlerini bulmk insnlık trihinin nerdeyse 000 yılını ldı. Üçüncü dereceden denklemler, 55 yılı dolylrınd İ-tlyn mtemtikçi Scipione del Ferro trfındn çözülmüştür. Am kısmen. Tm olrk çözen yine bir İtlyn oln Niccolo Fontn Trtgli dır. 000 yıllık bir uğrşı burd tek syfd toprlybileceğimiz için çok şnslı olduğumuzu söyle-yebiliriz. Burd yzdıklrımızın ÖSS ile ilgisinin olmdığı konusund d uyr-lım. Bşlıyoruz: Denklemimiz + b + c + d 0 olsun. nın sıfırdn frklı olduğunu bir kez dh htırltırız. Aynı ikinci dereceden denklemlere uyguldığımız gibi eşitliğin her iki trfını y bölelim. + b + c + d 0 b B, C c d çıkr. Hem işlem kolylığı hem de nlşılbilirlik dın ve D eşitliklerini kullnrk denklemimizi + B + C + D 0 biçimine getirelim. Eğer bu denklemi çözebilirsek, bştki denklemi de çözebileceğimizi çoktn nlmış olmlısınız. Amcımız sdece krışıklığ meydn vermemek üzere denklemleri mümkün olduğunc sdeleştirmek. Yine ynı mçl denklemdeki terimini yok ederek denklemin dh d sdeleşmesini sğlmk istiyoruz. yerine y t yzrk denklemi düzenlediğimizde oluşn li terimin t B/ olduğu zmn 0 olcğını nlıyoruz. Bu mçl yerine y B/ yzcğız. İşlemleri ypınc y lerin sdeleşerek kybolcğı rtık sürpriz değil! Geriye y + Ey + F 0 gibi bir denklem klır. Burd E ve F değerlerini merk eden bunlrı B, C, D dolyısıyl, b, c, d cinsinden yzbilir, biz bunu ypmycğız. Şimdi tüm mrifetimizi y + Ey + F 0 denklemini çözmeye hrcycğız. Eğer E sıfırs sorun yok, çünkü o zmn eşitlik y + F 0 hlini lır ki burdn y F olduğunu bulmyn zten ne bury kdr nlttıklrımızı nlmıştır, ne de bundn sonr nltcklrımızı nlr! Bundn böyle E nin sıfır olmdığını düşünelim. Şimdi bir süre için çrpnlr yırm dersine dönelim. (u v) u u v + uv v olduğunu biliyoruz. Hepsini bir trft toplylım: (u v) + uv(u v) + v u 0. Bir şeyler sezdiniz mi? y + Ey + F 0 denklemine ne kdr d benziyor değil mi? O hlde hemen y u v E uv F v u olsun diyelim. Burdn u v değerini buln y yi çoktn bulmuş olck! E nin eşitinden v yi çekip, F nin eşitinde yerine yzcğız. v E/(u) olduğundn F v u E /(7u ) u olur. Düzenlenirse; 7u 6 + 7Fu E 0 y d u 6 + Fu E /7 0 olur. Denklemdeki u yerine w yzrsk, w + Fw E /7 0 biçiminde ikinci dereceden bir denklem buluruz ki, böyle sorulrı çözmeyi bildiğimizden mutlu son ulşmış oluruz. Şimdi geriye sdece yptığımız dönüşümlerde ters işlemler yprk, b, c, d değerlerine ulşmk klıyor. Nsıl mı? w yi bulduğumuzdn w nin üçüncü dereceden kökünü lrk u y ulşırız. v E/(u) eşitliğinde bunu yerine yzrk v ye ulşırız. Ardındn y u v eşitliğinden de y yi buluruz. Çözümlerden birini bulunc diğerlerini bulmk çocuk oyuncğı gibi bir şeydir. Denklemi sğlyn y değerlerinden bulduğumuz y 0 diyelim. Mdem y 0 diye bir kökü vr, o hlde bu polinom (y y 0 ) ile tm bölünür diyerek, polinomu (y y 0 ) böleceğiz. Çıkn ikinci dereceden denklemin iki kökü de üçüncü dereceden
denklemin y 0 dn frklı oln diğer iki kökünü verecektir. Sonuç olrk, denklemin (ille de birbirlerinden frklı olmlrı gerekmeyen) üç kökü de bulunmuş olur. IV. Dördüncü Dereceden Denklemler. Bir, iki, üç derken dörde kdr geldik. Nereye kdr gideceğimizi (dh doğrusu gidebileceğimizi) merk ediyorsnız, okumy devm! Dördüncü dereceden denklemler ilk olrk Girolmo Crdno nun öğrencisi Lodovico Ferrri trfındn 540 lrd çözülmüştür. 0 olmk üzere 4 + b + c + d + e 0 denklemiyle ve her zmnki gibi bu denklemin her iki trfını y bölerek bşlıyoruz. 4 + B + C + D + E 0 gibi bir denklem elde ediyoruz, ynı üçüncü dereceden denklemlere uyguldığımız gibi y B/4 lıp y 4 + Fy + Gy + H 0 biçiminde yzıln dh bsit bir denkleme vrıyoruz. Amcımız bu denklemi y cinsinden çözmek. Önce y 4 + Fy + Gy + H 0 denklemini şğıdki gibi kreye tmmlylım: y 4 + Fy + F Fy + F Gy H yni (y + F) Fy Gy + F H. Şimdi birz zeki olup, her z için, (y + F + z) (y + F) + z(y + F) + z Fy + F Gy H + zy + zf + z (F + z)y Gy + (F H + zf + z ) eşitliklerinin, dh doğrusu sdece (y + F + z) (F + z)y Gy + (F H + zf + z ) eşitliğinin yrımın vrmlıyız. Sğ trf y cinsinden ikinci dereceden denklem olduğundn, z yi sğ trf bir kre olck şekilde seçebiliriz; bunun için z yi sğ trfın diskriminntını, yni G 4(F + z) (F H + zf + z ) syısını 0 olck biçimde seçmeliyiz, ki bu d z cinsinden üçüncü dereceden bir denklem olduğundn çözülebilmesi her zmn mümkündür. Bundn böyle z yi öyle seçelim. Demek ki belli bir 0 için, (y + F + z). Şimdi (y + F + z) yi biçiminde seçersek; y 4 + Fy + Gy + H 0 denkleminin çözümlerinden birini buluruz. Birini bulduk mu diğerleri koly zten. Trtgli, sen çok yş! V. Beşinci ve Dh Yüksek Dereceden Denklemler. Beşinci dereceden genel denklemler yukrdki gibi cebirsel olrk, yni dört işlemle ve kök lrk çözülemezler. Çözülmesi bilinmiyor değil, çözülemezler. Hiç kimse, hiçbir zmn çözemez. Bu, mtemtiksel olrk knıtlnmıştır. Bugün hl dh bzılrı beşinci dereceden denklemleri çözmeye çlışır, htt çözdüğünü iddi eder. Bulduklrı çözüm kesinlikle doğru olmz, bir yerde ht ypmışlrdır mutlk. Her denklem çözülemez demek istemiyoruz. Örneğin, 5 + 0 türünden denklemler çözülebilir. Çözülebilecek dh krmşık denklem ileleri de vrdır elbet. Am cebirsel yöntemlerle çözülemeyecek beşinci dereceden denklemler vrdır, htt bunlr çoğunluktdır. Bu imknsızlık çok genç yşlrınd ölen Norveçli Niels Henrik Abel (80-89) trfındn 84 te knıtlnmıştır. Bu sdece n 5 için değil, eğer n 5 ise n. dereceden denklemlerin tümü için geçerlidir. Bu d mtemtik trihinin en romntik figürü oln Frnsız Evriste Glois (8-8) trfındn knıtlnmıştır. Çözülemez diye kollrımızı kvuşturmycğız herhlde. Ayrıc kim söyledi çözülemeyeceğini? Sdece cebirsel çözümün bulunmycğını söyledik, nlize dynn yöntemler bulunbilir, neden bulunmsın? Onlrın yeri tbii ki bursı değil, mtemtik bölümünü kzndıktn sonr gelin ynım, olur mu?