KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ Bu bölümde, düzlemsel levhaların veya düzlem levha gibi davranış sergileyen üç boyutlu cisimlerin hareketi üzerinde durulacaktır. Diğer bir ifadeyle, katı cisim üzerine etki eden kuvvetler, cismin geometrisi ve kütlesi ile oluşan hareket incelenecektir. Maddesel noktanın kinetiği incelenirken cisim maddesel nokta - cismin bütün kütlesinin bir noktada toplandığı ve kuvvetlerin bu noktaya etki ettiği - kabul edilerek yapılmıştı. Bu kısımda, cismin şeklini ve kuvvetlerin etki noktalarını tam olarak göz önüne alacağız. Genel düzlemsel hareket yapmakta olan katı cisim, eş zamanlı olarak ötelenme ve dönme yapmakta olduğu daha önce ifade edilmişti. Katı cismin düzlemsel kinetiğinin incelenmesinden önce kütle atalet momenti kavramı üzerinde durulacaktır. Daha sonra, düzlemsel katı cisimlerin ötelenmesi, sabit eksen etrafında dönmesi ve genel düzlemsel hareketi incelenecektir.
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Kütle Atalet Momenti) Kütlesi m olan ve O O ekseni etrafında α açısal ivmesi ile dönen cismin bütün partikülleri birbirlerine paralel düzlemlerde hareket eder. Cisim üzerinde göz önüne alınan herhangi bir partikülün kütlesi dm ve yörüngesine teğet ivme bileşeni a t = αr dir. Newtonun II kanununa göre partikül üzerindeki bileşke kuvvet teğetsel olarak F t = αrdm kadardır. Bu kuvvetin O O eksenine göre momenti M = r 2 αdm ve partiküllerin tamamının teğetsel kuvvetlerinin momentleri r 2 αdmkadardır. Katı cismin bir tek açısal ivmesi olduğundan, cisim üzerinde açısal ivme α sabit olup integral dışına α r 2 dm alınabilir. Kalan r 2 dm integrasyonu m kütlesinin O O eksenine göre kütle atalet momenti olarak tanımlanır. I ile sembolize edilirse I = r 2 dm Bu integral, katı cismin önemli bir özelliğini karakterize eder. Katı cismin belirli bir eksene göre açısal ivmeye sahip olması durumunda dış kuvvetlerle ilişkilerinin belirlenmesinde gerekli bir büyüklüktür. İvmeli ötelenme hareketinde, kütlenin ötelenmeye karşı bir direnci göstermesi gibi açısal harekette de kütle atalet momenti dönmeye karşı bir direnci ifade eder.
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ Kütle atalet momenti şu formda da ifade edilebilir. I = r i 2 m i Burada, r i ve m sırasıyla bir partikülün dönme ekseninden olan radyal uzaklığı ve kütlesidir. Eğer cisim, yoğunluğu her yerinde aynı (homejen) ise, kütle atalet momenti. I = ρ r 2 dv olarak yazılabilir. Burada, dv elemanın hacmidir. Kütle atalet momenti büyüklüğü kg m 2 ile ifade edilir. Belirli bir eksene göre kütle atalet momenti I olan, m kütleli bir katı cismin atalet yarıçapı veya jirasyon yarıçapı k dır. k = I m veya I = k 2 m k kütle atalet yarıçapı cismin dönme eksenine göre kütlesinin dağılımının bir ölçüsüdür. Cismin tamamının kütlesi bir noktada toplanmış olsaydı kütle atalet momenti k 2 m olacaktı.
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Paralel Eksen teoremi) Katı cismin kütle merkezinden geçen eksenine göre kütle atalet momenti biliniyorsa, cismin paralel diğer bir eksene göre kütle atalet momenti kolayca hesaplanabilir. Şekilde kütle merkezi G de olan katı cismin, z den geçen eksene göre kütle atalet momenti I G dir. z ekseninden d kadar uzaktaki paralel z eksenine göre kütle atalet momentinin hesaplanması için, kütlesi dm ve koordinatları x, y olan diferansiyel eleman seçilir. r 2 = d + x 2 + y 2 ifadesi yerine yazılırsa, I = r 2 dm = d + x 2 + y 2 dm I = x 2 + y 2 dm + d 2 dm + 2d x dm Birinci integral, r 2 = x 2 + y 2 cismin kütle merkezinden geçen eksene göre kütle atalet momenti I G dir. ikinci integral cismin toplam kütlesidir. Üçüncü integral, z ekseni cismin kütle merkezinden geçtiği için sıfırdır. Yani, x dm = 0 dır. Burada d eksenler arası mesafedir. I = I G + md 2
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Birleşik Cisimlerin Kütle Atalet Momenti) Eğer bir cisim, belirli bir geometriye sahip disk, küre ve çubuk gibi basit şekillerin bileşiminden oluşmakta ise, cismin herhangi bir z ekseni etrafındaki atalet momenti, cismi oluşturan bileşenlerinin her birinin bu z ekseni etrafındaki atalet momentlerinin cebirsel toplamına eşittir. Örneğin, ortasına delik açılmış bir levhanın kütle atalet momentinin dolu levhanın atalet momentinden boşluğun atalet momenti çıkarılarak delikli levhanın atalet momentinin hesaplanmasında olduğu gibi, cisimde bir boşluk varsa, boşluğun atalet momenti negatif olarak düşünülüp, boşluksuz cismin atalet momenti ile cebirsel olarak toplandığında cismin atalet momenti hesaplanmış olur. Cismi oluşturan herhangi bir parçanın kütle merkezi z ekseni üzerinde bulunmuyorsa, hesaplamalarda paralel-eksenler teoremi kullanılmalıdır. Cismin tamamı için I = I G + md 2 olacaktır. Burada her bir bileşen için I G biliniyor olabilir veya integral hesabı kullanılarak hesaplanabilir.
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Belirli Geometrik Şekilli Cisimler için Kütle Atalet Momenti) Küre Silindir İnce Dairesel Disk İnce Plaka Yarımküre Koni İnce Halka Silindir çubuk
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Ötelenme) Öteleme: Katı cisme etkiyen dış kuvvetler; gravitasyonel, elektriksel, manyetik veya komşu cisimlerle temas kuvvetlerini temsil etmektedir. Ötelemede rijit cismin bütün partikülleri birbirine paralel çizgiler boyunca hareket ederler. Eğer bu yörüngeler doğru çizgi ise bu hareket doğrusal öteleme, yörüngeler birbirine paralel eğriler halinde ise bu hareket bir eğrisel ötelenme hareketidir. Rijit cisim, çok sayıda partikülün toplamı olarak göz önüne alınabilir. Her bir partiküle hareket denklemi uygulanıp bu denklemler vektörel olarak toplanırsa, partiküllerin kütleleri toplamı cismin kütlesine eşit olduğu m i = m ve öteleme yapan katı cismin bütün partiküllerin aynı ivmeye a i = a sahip olduğu görülür. Partiküller arası bağ kuvvetleri de eşit ve zıt yönlü olmalarından dolayı birbirlerini yok etmeleri de göz önüne alınırsa, sadece dış kuvvetlerin etkisiyle hareketin oluşacağı aşikardır. F = ma G Bu denklem, rijit cisme etkiyen dış kuvvetler toplamı F nin, kütle merkezi G nin ivmesi a G ile cismin kütlesinin çarpımına eşit olduğunu ifade eder. Düzlemsel hareket yapan katı cisim için bu ifade skaler iki denklem olarak F x = m a G x F y = m a G y
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Sabit eksen Etrafında Dönme) Dönme Hareketi: P noktası, keyfi olarak seçilmiş x, y, z eksen takımının orijini olup cisim x y düzlemi içinde hareket etmekte ve z ekseni hareket düzlemine diktir. Katı cisim moment etkisiyle dönme hareketi yapar. Şimdi, P noktasından geçen hareket düzlemine dik eksene (z ekseni) göre dış kuvvetlerin meydana getirdiği moment ile düzlemsel rijit cismin hareketi arasındaki bağıntıyı elde edeceğiz. Bu işlem, rijit cismin çok sayıda partikülün toplamı olduğuna, hareket denklemine ve bir kuvvetin bir noktaya göre momentinin hesaplanmasına dayandırılacaktır. F i, i partikülüne etkiyen bileşke dış kuvveti, f i ise i partikülü yerinden koparıldığında komşu partiküllerle arasında meydana gelen iç kuvvetlerin bileşkesini temsil etmektedir. Eğer partikülün kütlesi m i ve göz önüne alınan anda ivmesi a i ise, serbest cisim diyagramı ve kinetik diyagramında partiküle etkiyen kuvvetlerin P noktasına göre momentleri alınıp birbirlerine eşitlenirse r F i + r f i = r m i a i M P i = r m i a i Serbest Cisim Diyagramı Kinetik Diyagram
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Sabit Eksen Etrafında Dönme) M P i = r m i a i Serbest Cisim Diyagramı Bağıl ivme bağıntısı kullanılarak a i ivmesi, P noktasının ivmesi a P cinsinden a i = a P + α r ω 2 r M P i = m i r a P + α r ω 2 r M P i = m i r a P + r α r ω 2 r r M P i k = m i xi + yj a P x i + a P y j + xi + yj αk xi + yj M P i k = m i y a P x + x a P y + αx 2 + αy 2 k x 2 + y 2 = r 2 M P i = m i y a P x + x a P y + αr 2 Kinetik Diyagram
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Sabit Eksen Etrafında Dönme) Bir partikül için elde edilmiş bu denklemde m i = dm olarak yerine yazılır ve cismin tüm kütlesi için integre edilirse Serbest Cisim Diyagramı ΣM P = ydm a m P x + xdm a m P y + r 2 dm m α M P, P noktasına göre cisme etkiyen dış kuvvetlerin momentleridir. İç kuvvetlerin momenti ise sıfır olacaktır. Denklemin sol tarafındaki x = xdm ve y = m ydm m ise sırası ile cismin P referansına göre kütle merkezlerinin x ve y koordinatlarıdır. Son integral I P = m r 2 dm ise, z eksenine göre kütle atalet momentidir. ΣM P = ym a P x + xm a P y + I P α P referans noktası G kütle merkezi ise, x = y = 0 olacağı için ifade daha basitleşir. ΣM G = I G α Cismin kütle merkezine göre dış kuvvetlerin momentlerinin toplamı, G den geçen eksene göre kütle atalet momenti ve açısal ivmesiyle çarpımına eşit olacaktır. Kinetik Diyagram
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Sabit Eksen Etrafında Dönme) Cismin P noktasının davranışı da a G ivmesinin x ve y bileşenleri ve kütle atalet momenti I G cinsinden yazılabilir. G nin koordinatları (x, y) olduğundan paralel eksenler teoremi kullanılarak I P = I G + m x 2 + y 2 yazılabilir. İfade ΣM P de yerine yazılarak işlem yapılırsa, ΣM P = ym a G x + xm a G y + I G α Bu önemli sonuç, serbest cisim diyagramında cisme etkiyen dış kuvvetlerin P noktasına göre momentleri toplamının, ma G bileşenlerinin P ye göre kinetik momentleri ile I G α kinetik moment toplamına eşit olduğunu ifade eder.
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Sabit Eksen Etrafında Dönme) Serbest Cisim Diyagramı Kinetik Diyagram Sonuç olarak, katı cismin düzlemsel kinetik denklemlerinden moment denklemini yazmak için dış kuvvetlerin gösterildiği serbest cisim diyagramı ve cismin kütle merkezine m a G yada bileşenleri m a G x ve m a G y ile I G α nın konulduğu kinetik diyagramı çizilir ve bu iki diyagramdaki kuvvetlerin P noktasına göre momentlerin toplamları birbirine eşitlenirse moment denklemi, M P Ser. Cis. Diy. = M P Kin.Diy. İfadenin sol tarafı serbest cisim diyagramındaki kuvvetlerin P ye göre momentlerinin toplamını, sağ taraf ise kinetik diyagramındaki kuvvetlerin ve momentin P noktasına göre momentleri toplamını temsil eder. I G α nın P ye göre momenti yine kendisi olduğu açıktır.
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Sabit Eksen Etrafında Dönme) Serbest Cisim Diyagramı Kinetik Diyagram F x = m a G x F y = m a G y M G = I G α veya M P = M P kin
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ ÖTELENME: Rijit cisim ötelenme hareketi yaparken cismin bütün partikülleri aynı ivmeye sahiptir. Dolayısıyla a G = a dır. Ayrıca, açısal ivme de α = 0 dır. Dönme hareketi denklemi G noktasına uygulanırsa M G = 0 olur. Doğrusal öteleme: Doğrusal öteleme yapan cismin bütün parçacıkları birbirine paralel doğrusal yörüngeler boyunca hareket ederler. Cisim dönme hareketi yapmaz α = 0. Kinetik diyagram üzerinde sadece ma G gösterilir. Son denklem bütün dış kuvvetlerin cismin kütle merkezine göre momentleri toplamının sıfır olmasını gerektirir. Kütle merkezinin veya cismin dışında bir noktaya göre moment almak da mümkündür. Ancak bu durumda ma G nin momentini göz önüne almak gerekecektir. Örneğin, öteleme doğrultusu üzerinde bulunmayan bir A noktası, seçilirse A noktasının hareket doğrultusuna dik uzaklığı d olduğuna göre, F x = m a G x F y = m a G y M G = 0 M A = M Kin A veya M A = ma G d
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ Eğrisel Ötelenme: Rijit cisim eğrisel öteleme hareketi yapıyorsa cismin bütün partikülleri paralel eğri yörüngeler boyunca hareket eder. Bu tür problemlerin analizinde n, t koordinat sisteminin kullanılması uygun olur. Eğrisel Ötelenme F n = m a G n F t = m a G t M G = 0 Burada, a G t ve a G n sırasıyla, G noktasının ivmesinin teğetsel ve normal bileşenleridir. Eğer moment denklemi M G = 0 yerine her hangi bir B noktasına göre alınırsa, m a G t ve m a G n nin bu noktaya göre momentlerini hesaba katmak gerekir. Kinetik diyagramda h ve e, B noktasının ivme bileşenlerine olan dik uzaklıklarını gösterir. Saat ibreleri yönü pozitif alınarak B noktasına göre moment alınırsa, M B = M B kin M B = m a G n h m a G t e
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ SABİT EKSEN ETRAFINDA DÖNME: Pimle O noktasından sabitlenmiş ve sabit bir eksen etrafında dönmeye zorlanan rijit cismi ele alalım. Cisme etki eden dış kuvvetler cismin sadece dönmesine sebep olurlar. Cismin kütle merkezi G dairesel bir yörünge üzerinde hareket etmekte olduğundan bu noktanın ivmesi normal ve teğetsel bileşenlerine ayrılarak gösterilmiştir. İvmenin teğetsel bileşeninin büyüklüğü a G t = αr G olup yönü açısal ivme ile aynı yöndedir. İvmenin normal bileşeninin şiddeti a G n = ω 2 r G Olup yönü açısal hız ω ya bağlı olmaksızın daima G den dönme merkezi O ya doğru yönelmiştir.
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ Serbest Cisim Diyagramı Kinetik Diyagram Cismin ağırlığı W = mg ve O daki pimin rijit cisme olan etkisi F O kuvveti bir dış kuvvet olduğundan serbest cisim diyagramında gösterilmiştir. Cismin ağırlık merkezinin normal ve teğetsel ivme bileşenlerinden kaynaklanan m a G n ve m a G t kuvvetleri kinetik diyagramında gösterilmiştir. Bu vektörler ivme bileşenleriyle aynı yönde olup şiddetleri, sırasıyla m a G n ve m a G t dir. I G α vektörü açısal ivme ile aynı yöndedir. Burada I G, cismin G kütle atalet momentidir. F n = m a G n = r G mω 2 F t = a G t = mαr G M G = Iα
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ Serbest Cisim Diyagramı Kinetik Diyagramı Moment denklemi, G noktasına göre yazılabildiği gibi, cismin üzerinde veya dışında herhangi bir P noktasına göre de yazılabilir. Bu durumda, m a G n, m a G t ve I G α nın P noktasına göre momentlerinin hesaba katılması gerekir. Birçok problemde, O noktasındaki bilinmeyen tepki kuvveti F O ın moment denkleminden elimine etmek için moment alınan nokta dönme eksenin geçtiği yer, O noktası olarak seçilir. O noktasına göre moment denklemi, M O = M Kin O M O = r G m a G t + Iα Denklemde, tesir çizgisi O noktasından geçtiğinden, m a G n nin momenti olmadığına dikkat ediniz.
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ Serbest Cisim Diyagramı Kinetik Diyagramı M O = I G + m r 2 G α Paralel eksenler teoreminden I O = I G + md 2 olduğundan parantez içindeki terim cismin O dan geçen sabit eksene göre kütle atalet momentidir. Böylece yukarıda verilen üç hareket denklemini F n = m a G n = mω 2 r G F t = m a G t = mαr G M O = I O α
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Genel Düzlemsel Hareket) GENEL DÜZLEMSEL HAREKET: Dış kuvvetler nedeniyle genel düzlemsel hareket yapan rijit cismi ele alalım. Cismin serbest cisim diyagramı ve kinetik diyagramı Şekilde verilmiştir. ma G vektörü cismin kütle merkezinin ivmesiyle, I G α ise cismin açısal ivmesiyle aynı yöndedir. Serbest Cisim Diyagramı = Kinetik Diyagram F x = m a G x F y = m a G y M G = I G α veya M P = M kin P
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Genel Düzlemsel Hareket) Sürtünmeli Yuvarlanma Hareketi: Özel olarak değinilmesi gereken düzlemsel kinetik problemlerden biride pürüzlü yüzeyler üzerinde hareket eden tekerlekler, silindirler veya bunlara benzer şekillere sahip rijit cisimlerdir. Uygulanan yüklerden dolayı, cismin kaymadan veya kayarak yuvarlandığını ön görmek mümkün olmayabilir. Bir örnek olarak, şekilde verilen diski ele alalım. Kütlesi m olan diskin merkezine yatay doğrultuda belirli bir P kuvveti uygulanmıştır. Cismin serbest cisim diyagramı ve kinetik diyagramı şekilde gösterilmiştir. a G sağa doğru olduğundan açısal ivme α saat ibreleri yönündedir. F x = m a G x ; F y = m a G y ; M G = I G α; P F = ma G N mg = 0 Fr = I G α Üç denkleme karşı F, N, α ve a G olarak dört bilinmeyen içerdiğinden dördüncü bir denkleme ihtiyaç vardır.
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Genel Düzlemsel Hareket) Kaymadan yuvarlanma: Sürtünme kuvveti F, diskin kaymadan yuvarlanmasını sağlayacak kadar büyükse, kinematikten cismin ağırlık merkezinin ivmesi a G ile cismin açısal ivmesi α arasındaki ilişki olduğu hatırlanırsa, a G = αr dördüncü bir denklem bulunmuş olacaktır. Dört denklem kullanılarak dört bilinmeyen çözülebilir. Çözüm yapıldığında yapılan kabulün doğruluğu kontrol edilmelidir. Kaymanın oluşmaması için normal kuvvet ile sürtünme kuvveti arasında F μ S N şeklinde bir ilişkinin olması gerektiğini hatırlayınız. Burada, μ S statik sürtünme katsayısıdır. Eşitsizlik sağlanırsa çalışma sonuçlanmıştır. Ancak, F > μ s N ise kayma oluşmaktadır ve problem yeniden incelenmelidir. Bu durumda, disk yuvarlanırken kaymaktadır. Kaymalı yuvarlanma: Kayma oluşmakta ise, cismin ağırlık merkezinin ivmesi a G ile cismin açısal ivmesi α birbirinden bağımsızdır. Yani, a G αr dır. Kayma hareketi gerçekleştiğinden sürtünme kuvvetinin büyüklüğü F = μ k N eşitliğinden belirlenebilir. Burada, μ k kinetik sürtünme katsayısıdır. Çünkü, kayma hareketi oluştuğundan iki cisim arasındaki pürüzlülüğün göstergesi olan kinetik sürtünme katsayı kullanılmalıdır.
ÖRNEK (Ötelenme) Kütlesi 2 Mg olan otomobilin kütle merkezi G dedir. Otomobil arka tekerleklerden tahrikli olup ön tekerlekler serbestçe dönebilmektedir. Otomobil hareket ederken arka çekiş tekerlekleri daima kayma (patinaj) yapmaktadır. Tekerleklerle yol arasındaki kinetik sürtünme katsayısı μ k = 0. 25 olduğuna göre otomobilin ivmesini hesaplayınız. Tekerleklerin kütlelerini ihmal ediniz. ÇÖZÜM Serbest Cisim Diyagramı: Katı cisme etki eden dış kuvvetlerin gösterildiği Serbest Cisim diyagramında ağırlık, A ve B de tekerleklere zeminin uyguladığı tepki kuvveti ve aracın ileri gitmesini sağlayan sürtünme kuvvetleri gösterilir. Ön tekerlekler serbestçe yuvarlanma yaptığından ve burada kütleleri ihmal edildiğinden sürtünme kuvveti oluşmaz. Her zaman harekete ters yönde oluşan sürtünme kuvvetinin B tekerleğindeki büyüklüğü F B = μ k N B = 0. 25N B kadardır. Koordinat sistemi diyagramda gösterilmiştir. İvmenin yönü aracın yönünde kabul edilmiştir. Serbest Cisim Diyagramı ve Kinetik Diyagram
ÖRNEK (Ötelenme) Hareket Denklemleri: Cismin kütlesi belirlidir. Araç yatay yol boyunca hareket yapmaktadır. Yani, sadece ötelenme hareketi vardır. Bu durumda katı cisme ait hareket denklemlerinden belirlenebilecek sadece doğrusal ivmedir. Araç dönme yapmadığı için açısal ivmesi olamayacağından moment denklemi sıfıra eşit olacaktır. F x = m a G x ; 0. 25 N B = 2000 kg a G 1 + F y = m a G y ; N A + N B 2000 9. 81 N = 0 2 Serbest Cisim Diyagramı ve Kinetik Diyagram M G = I G α = 0; N A 1. 25 m 0. 25N B 0. 3 m + N B 0. 75 m = 0 (3) Elde edilen üç denklemden üç bilinmeyen belirlenebilir. a G = 1. 59 m s 2 sola doğru (kabul edilen yönde) N A = 6. 88 kn N B = 12. 7 kn
ÖRNEK (Ötelenme) F x = m a G x ; 0. 25 N B = 2000 a G 1 + F y = m a G y ; N A + N B 2000 9. 81 = 0 2 M A = M kin A N B 2 2000 9. 81 1. 25m = 2000 a G 0. 3 (3) Serbest Cisim Diyagramı ve Kinetik Diyagram Denklem 1 ve 3 den a G ivmesi belirlenir. a G = 1. 59 m s 2 sola doğru N A = 6. 88 kn N B = 12. 7 kn
ÖRNEK (Sabit Eksen Etrafında Dönme) 30 kg disk, merkezinden pimle sabitlenmiştir. Diske sarılı ip ile F = 10 N kuvvet ve sabit M = 5 Nm moment uygulanmaktadır. Hesaplamalarda ipin kütlesini ihmal ederek, başlangıçta durmakta olan diskin 20 rad/s açısal hıza erişinceye kadar kaç devir yapması gerektiğini belirleyiniz. Pim mafsaldaki tepki kuvvetlerini hesaplayınız. Serbest Cisim Diyagramı Kinetik Diyagram ÇÖZÜM: Serbest Cisim Diyagramı: Disk, merkezinden pimle sabitlenmiş olduğundan dış kuvvetlerin etkisi ile sadece dönme hareketi yapacaktır. Kütle merkezinin hızı ve ivmesi olmadığına sadece diskin saat ibreleri yönünde bir açısal hıza sahip olduğu görülmelidir. Diskin mafsala (aynı zamanda kütle merkezine) göre kütle atalet momenti I O = 1 2 mr 2 = (1/2) 30 kg 0. 2 m 2 = 0. 6 kg m 2
ÖRNEK (Sabit Eksen Etrafında Dönme) Hareket Denklemleri: Kütle sabit olup dış kuvvetler belirlidir. Bu durumda, katı cisme ait hareket denklemlerinden belirlenebilecek sadece doğrusal ve açısal ivmedir. Bu çalışmada, cisim ötelenme hareketi de yapmadığından doğrusal ivmelerde sıfırdır. Disk sadece dönme yaptığı için ötelenme denklemleri sıfıra eşit olacaktır. Moment denklemi ise, I O α eşit olmalıdır. F x = m a G x = 0; O x = 0 + F y = m a G y = 0; O y 293. 4 N 10 N = 0 O y = 304 N M O = I O α; 10 N 0. 2 m + 5 N m = 0. 6 kg m 2 α Serbest Cisim Diyagramı ve Kinetik Diyagram α = 11. 7 rad/s 2 saat ibreleri dönme yönünde Kinematik: Katı cisme ait hareket denklemleri sadece doğrusal ivmeyi ve açısal ivmeyi vermekteydi. İvmelerin dışındaki kinematik değerlerin belirlenmesi gerektiğinde kinematik denklemlerden yararlanılır. Diskin açısal ivmesi sabit α = 11. 7 rad/s 2 dir. ω 2 = ω 0 2 + 2α θ θ 0 ; (20 rad/s 2 ) 2 = 0 + 2(11. 7 rad/s 2 )(θ 0) θ = 17. 1 rad 1 devir = 2π radyan olduğu hatırlanırsa; θ = 17. 1 rad 1 devir 2π rad = 2. 73 devir
ÖRNEK (Sabit Eksen Etrafında Dönme) 60 Nm momente maruz 20 kg kütlete sahip çubuk O da pimle sabitlenmiştir. Uzunluğu 3 m olan çubuk ω = 5 rad/s açısal hıza sahip olup belirtilen yönde dönmektedir. Şekilde verilen anda çubuğun açısal ivmesini ve pimde oluşan kuvvetleri hesaplayınız. ÇÖZÜM: Serbest cisim diyagramı ve kinetik diyagram. Serbest cisim diyagramında, çubuğa etki eden moment, ağırlık ve tepki kuvvetleri gösterilecektir. Çubuk O da sabitlenmiş olduğundan sadece dönme hareketi yapabilecektir. İvme, dönme merkezine yönelmiş a n ve yörüngeye teğet a t bileşenleriyle gösterilmiştir. İvmenin teğetsel bileşeni aşağı doğruysa açısal ivmenin yönü de bu yönde olmalıdır. Serbest Cisim Diyagramı ve Kinetik Diyagram
ÖRNEK (Sabit Eksen Etrafında Dönme) Hareket Denklemleri: F n = mω 2 r G ; O n = 20 kg 5 rad/s 2 1. 5 m 1 + F t = mαr G ; O t 20 9. 81 N = 20 kg α 1. 5 m 2 M G = I G α; O t 1. 5 m 60 Nm = 1 12 20kg 3 m 2 α 3 Denklem 1, 2 ve 3 den üç bilinmeyen belirlenir. O n = 750 N, O t = 19 N α = 5. 90 rad/s 2 Serbest Cisim Diyagramı ve Kinetik Diyagram
ÖRNEK (Genel Düzlemsel Hareket) Kütlesi 8 kg olan birleşik makaranın kütle atalet yarıçapı k G = 0. 35 m dir. Göbekteki drama halat vasıtasıyla 100 N kuvvet uygulanmaktadır. Makaranın dış kısmından geçmekte olan halat ise tavana sabitlenmiştir. Kütle merkezi G olan makaranın boyut ölçüleri şekilde verilmiştir. Makaranın açısal ivmesini belirleyiniz. Halatların kütlelerini ihmal ediniz. Serbest Cisim Diyagramı ve Kinetik Diyagram ÇÖZÜM: Serbest Cisim Diyagramı: Tekerleğe etki eden dış kuvvetlerin gösterildiği S. C. diyagramında tekerleğin ağırlığı, 100 N kuvvet ve T halat kuvvetleri gösterilmiştir.
ÖRNEK (Genel Düzlemsel Hareket) Hareket Denklemleri: Cismin kütlesi belirlidir. Makara eş zamanlı ötelenme ve dönme hareketi yapmaktadır. Yukarı doğru yuvarlanarak ötelenme yapmakta olduğundan kütle merkezi G nin ivmesi a G aynı yönde olacaktır. Makaranın dönme yönü ise saat ibreleri dönüş yönündedir. + F y = m a G y ; T + 100 N 78. 48 N = 8 kg a G 1 M G = I G α; 100 N 0. 2 m T 0. 5m = 8 kg 0. 35 m 2 α 2 Kinematik: Makara halat üzerinde kaymadan yuvarlanmaktadır. Bu durumda, katı cismin açısal ivmesi ile ivmesi arsında ilişki kurulabilir. a G = αr G A a G = α 0. 5 m 3 Elde edilen üç denklemden üç bilinmeyen belirlenebilir. α = 10. 3 rad s 2 a G = 5. 16 m s 2 T = 19. 8 N Serbest Cisim Diyagramı ve Kinetik Diyagram
ÖRNEK (Genel Düzlemsel Hareket) 300 kg kütle ye sahip beton blok, şekilde verilen motor ve makaradan oluşan sistemde, halatın drama sarılması ile yukarı çıkarılmaktadır. Makara ve dram birleştirilmiş olup O pimi etrafında birlikte dönmektedir. Toplam kütlesi 150 kg olan makara ve dramın O dan geçen eksene göre kütle atalet yarıçapı 150 mm dir. A motoru tarafından P = 180 kn sabit çekme kuvveti uygulandığına göre; Beton bloğun ivmesini ve O mafsalında oluşan kuvveti hesaplayınız. ÇÖZÜM Dram ve beton bloğa etki eden bütün kuvvetlerin gösterildiği serbest cisim diyagramı ve kinetik diyagram şekilde gösterilmiştir. Dönme ekseni O da kuvvetlerin oluşturduğu moment, kinetik diyagramdaki momente eşit olmalıdır. Serbest Cisim Diyagramı ve Kinetik Diyagram
ÖRNEK (Genel Düzlemsel Hareket) M O = I O α; 1800 N 0. 6 m T 0. 3 m = 150 kg 0. 45 m 2 α 1 F y = m a y ; T 300 9. 81 N = 150 a y 2 Üç bilinmeyen içeren iki denklem elde edilir. Kinematikten. Üçüncü denklem, kinematik yardımıyla a t = rα yazılabilir. a t = rα; a t = 0. 3 α 3 T = 3250 N, α = 3. 44 rad s a = 1. 031 m s 2 Merkezinden pim bağlı disk, ötelenme yapamayacaktır. Serbest Cisim Diyagramı ve Kinetik Diyagram F x = m a x ; O x 1800 cos 45 = 0 O x = 1273 N F y = m a y ; O y 150 9. 81 3250 1800 sin 45 = 0 O y = 6000 N O = O x 2 + O y 2 = 1273 2 + 6000 2 = 6130 N
ÇÖZÜMLÜ SORULAR
ÇÖZÜMLÜ SORULAR
ÇÖZÜMLÜ SORULAR
ÇÖZÜMLÜ SORULAR
ÇÖZÜMLÜ SORULAR
ÇÖZÜMLÜ SORULAR Veya kütle merkezine göre hareket denklemi uygulanırsa,