OLİNOMLAR o,,,... n, n birer reel syı, n bir doğl syı ve belirsiz bir elemn olmk üzere, o.. n n... n. n. biçimindeki ifdelere e göre düzenlenmiş reel ktsyılı ve bir belirsizli polinom denir. in bir polinomu,,r,t,k gibi sembollerle gösterilir. o polinomund:. o,.,.,..., terimleri, 0,, ktsyılrı denir.. n n.,... n n... n. n. n,n n, n. ifdelerine polinomun reel syılrın polinomun n n. terimindeki n syısın terimin ktsyısı, in kuvveti oln n doğl syısın terimin derecesi denir. Derecesi en büyük oln terimin derecesine polinomun derecesi denir ve der ile gösterilir. Derecesi en büyük oln terimin ktsyısın ise polinomun bş ktsyısı denir. olinomlr ktsyılrın göre dlndırılırlr. Ktsyılrı reel syılrdn oluşuyors reel ktsyılı polinom, ktsyılrı rsyonel syılrdn oluşuyors rsyonel ktsyılı polinom, ktsyılrı tm syılrdn oluşuyors tm syı ktsyılı polinom diye dlndırılır. Bir polinomd ynınd değişken olmyn terime sbit terim denir... polinomu ikinci dereceden reel ktsyılı bir polinomdur. olinomun derecesi olduğundn der dir. olinomd derecesi en büyük oln terimin ktsyısı olduğundn polinomun bş ktsyısı tür. Değişken içermeyen terim - olduğundn polinomun sbit terimi - dir.. 5 7 polinomund., 5, 7, polinomun terimleridirler., 5, 7, polinomun ktsyılrıdırlr 5, derecesi en büyük oln terim olduğundn der tür. olinomun bş ktsyısı -5 tir. terimi değişken içermediği için polinomun sbit terimi dir., 5, 7, syılrı reel syılr olduğundn polinom reel ktsyılı polinomdur. 5. 7 polinomund 5.,,, 7 polinomun terimleridirler. 5,,, 7 polinomun ktsyılrıdırlr 5, derecesi en büyük oln terim olduğundn der tür. olinomun bş ktsyısı 5 tir. 7 terimi değişken içermediği için polinomun sbit terimi 7 dir.
R ifdesi bir polinom değildir. m N olmk üzere 6 7 m m Çünkü ifdeyi oluşturn doğl syı değildir. teriminin kuvveti - İfdesinin polinom olmsı için m kç olmlıdır? Bir polinomd kuvvetler doğl syı olmk zorunddır. 8 ifdesi bir polinom değildir. Çünkü ifdeyi oluşturn. teriminin kuvveti doğl syı değildir. R ifdesi bir polinom değildir. Çünkü ifdeyi oluşturn teriminin kuvveti doğl syı değildir. Bir polinomd kuvvetler doğl syı olmk zorunddır. 6 7 m m ifdesinin polinom olmsı için 6 7 ve m ifdeleri doğl syı olmlıdır. m 6 7 ifdesinin doğl syı olmsı için, m doğl syısı 6 m nın böleni olmlıdır. Bun göre m =, m =, m = ve m = 6 olbilir. m ifdesinin doğl syı olmsı için, m 0 m olmlıdır. İki koşulu d sğlyn değer m = 6 dır. O hlde m = 6 için 6 verilen ifde polinomun dönüşür. Sbit olinom 7 ifdesi bir polinom değildir. Çünkü ifdeyi oluşturn değildir. Sonuç teriminin kuvveti - doğl syı Değişkenlerinin kuvvetleri doğl syılr oln fonksiyonlr polinom denir c R sıfırdn frklı bir reel syı olmk üzere n n c 0. 0.... 0. 0. c şeklindeki polinomlr sbit polinom denir. Sbit polinomlrın dereceleri sıfırdır. R polinomlrının her biri sbit polinomdur.
Sıfır olinomu n n 0 0. 0.... 0. 0. 0 şeklindeki polinom sbit polinom denir. Sıfır polinomu, 0 ile de gösterilir. Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir. R 0 6 0. 0. polinomlrının her biri sıfır polinomudur.. b 5 ifdesi sbit polinom olduğun göre,.b çrpımının değeri kçtır?. b 5. b 5 ifdesi sbit bir polinom olduğun göre sbit terim dışındki terimlerin kt syılrı sıfır olmlıdır. 0 ve b 0 b O hlde.b. m. n. 5 ifdesi sbit polinom olduğun göre, m+n toplmının değeri kçtır? m. n. 5 ifdesi sbit bir polinom olduğun göre değişken içeren sbit terim dışındki terimlerin kt syılrı sıfır olmlıdır. Bun göre, m 0 m ve n 0 n O hlde m n polinomunun derecesi kçtır? polinomu değişken içermediğinden sbit polinomdur. Sbit polinomlrın dereceleri sıfır olduğundn 0 der dır. m ve n birer reel syı olmk üzere m 7 n ifdesi sıfır polinomu olduğun göre, n m nin değerini bulunuz. m m 7 7 n. n ifdesi sıfır polinomu olduğun göre, m 7 0 ve n 0 olmlıdır. m 7 0 m 7 m bulunur. n n 0 n Bu durumd 6 m İşlemlerde kolylık sğldığı için bir polinom in zln y d rtn kuvvetlerine göre yzılır. in rtn kuvvetlerine göre yzılmış oln o.. n n... n. n. n n n şeklinde zln kuvvetlerine göre yzılbilir. polinomu, n....... o
5 5 7 polinomu, in zln 5 şeklinde, kuvvetlerine göre, 5 7 5 in rtn kuvvetlerine göre, 7 5 şeklinde yzılır. OLİNOM FONKSİYONLAR n n o..... n. n. polinomund reel syı d olbilen bir belirsizdir. Eğer polinomund reel syı olrk seçilirse; : R R, n n o..... n. n. bir fonksiyon olur. Bu tür fonksiyonlr polinom fonksiyon denir. : R R,.. 5 fonksiyonu, reel syılr kümesinde tnımlı üçüncü dereceden polinom fonksiyondur. Bu fonksiyond ün görüntüsünü bullım. polinomund gördüğümüz yere yzrsk,.. 5. 75. polinomu veriliyor. bullım. polinomund gördüğümüz yere yzrsk, değerini. 5 polinomu veriliyor. polinomunu bullım. polinomund gördüğümüz yere + yzrsk,. 5... 5. 7. 0 polinomu veriliyor. polinomunu bullım. dir.. 7. 0 polinomund gördüğümüz yere + yzrsk,. 7. 0. 7 7 0. 7. 5 8.. polinomu veriliyor. 5 değerini bullım... 0
. Önce, sonr 5 8.. yzrsk, polinomund yerine. 8.. 8. 5 5.5.5 5 0. i bulmdn d 5 i bulbiliriz. polinomunu 5 syısın eşitlersek, 5 polinomund yerine O hlde 8.. yzılırs,. 8.. 5 0 o. polinomu veriliyor.. n n... n. n.. olinomun ktsyılrı toplmını bulunuz. b. olinomun çift kuvvetli terimlerinin ktsyılrı toplmını bulunuz c. olinomun tek kuvvetli ktsyılrı toplmını bulunuz. olinomd yerine yzılırs, her ktsyı in kuvvetleri ile çrpılmış olcğındn ktsyılr toplmı bulunmuş olur. b. olinomd yerine - yzrk, yerine yzrk değerini bullım.... n n. o o... n Bulunn bu değerler trf trf toplnırs,.... dir. olinomun o çift kuvvetli terimlerinin ktsyılrı toplmı; o... c. olinomd yerine yzrk, yerine - yzrk değerini bullım. o... n... n n. o Bulunn bu değerler trf trf çıkrılırs,.... dir. olinomun 5 çift tek kuvvetli terimlerinin ktsyılrı toplmı; 5.... 5. 5 polinomu veriliyor.. olinomun ktsyılrı toplmını bulunuz. b. olinomun çift kuvvetli terimlerinin ktsyılrı toplmını bulunuz c. olinomun tek kuvvetli ktsyılrı toplmını bulunuz 5
. olinomd yerine yzılırs,.. 5. 5.. 0 b. Çift kuvvetli terimlerinin ktsyılrı toplmı toplmı; 0 0 0 c. Tek kuvvetli terimlerinin ktsyılrı toplmı; Çok Belirsizli olinomlr ve y iki değişken olmk üzere 0 0 0 5,y 5.y y y 8 biçimindeki ifdelere iki belirsizli polinom denir., y polinomund bir terimin derecesi, bu terimdeki belirsizlerin üslerinin toplmıdır. olinomun derecesi ise terimlerin derecelerinin en büyük olnıdır. Terimdeki syısl çrpnlr ktsyı denir., y polinomund 5.y teriminin; e göre derecesi ; y ye göre derecesi ; ve y ye göre derecesi, + = 6 ve terimin ktsyısı 5 tir. Diğer terimlerin ve y ye göre dereceleri de yukrıdki gibi bulunbileceğinden, y polinomunun derecesi,y 7 der dir.. b. 5 ve 5 c 7 polinomlrı veriliyor. olduğun göre, b ve c nin değerlerini bullım. ise,. b. 5 5 c 7, b 5 b 8, c 7 5 c olur.. ve b. c 5 d polinomlrı veriliyor. olduğun göre, b,c ve d nin değerlerini bullım. ise,. b. c 5 d b b 0, c 0, 5 5 d d İKİ OLİNOMUN EŞİTLİĞİ Aynı dereceli terimlerinin ktsyılrı eşit oln polinomlr eşit polinomlr denir. b. c b. b olduğun göre, b ve c nin değerlerini bullım. 6
b. c b. b ise, b 0, b, c b olur. b 0 b sistemini trf trf toplrsk, b b b. c b Uyrı n n. b. b. n dir. n n b. b. n dir. ve 5 olmk üzere, 5 6 dir. A B bullım. olduğun göre A ve B nin değerlerini ve toplmını bullım. olmk üzere A B A. B.. A. A B. B. A B A B. A B A B A B A B A A, sistemini trf trf toplrsk, A B B B OLİNOMLARDA İŞLEMLER. Toplm İşlemi İki polinom toplnırken; dereceleri ynı oln terimlerin ktsyılrı kendi rlrınd toplnır, sonuç o terimin ktsyısı olrk yzılır.. 0. dir... tür.. 0... ve olmk üzere toplmını bullım.... 5. dir. 7
. polinomunu bullım. eşitliğini sğlyn polinomu ile polinomunun toplmının derecesi, bunlrdn derecesi büyük olnın derecesine eşittir. Bun göre, polinomunun derecesi tür. b. c. d. d. olsun. b. c. d.. c. b.. olup, burdn, d, c c 5 b b 0, 0. 5... 5. olur., y 7 y y ve,y y 5 6y polinomlrının toplmını bullım.,y,y 6.y 7 5.. y,y,y y 6y. Çıkrm İşlemi olduğundn polinomunu çıkrmk, polinomundn ile i toplmktır. Bunun için çıkrm işleminin, çıkrılck polinomun işretini değiştirip toplm ypmk biçiminde ele lbiliriz. ve 5 olduğun göre, 5 5. 5 8 dir. ve 5 olduğun göre, 5 5 dir. 8 ve 5 frkını bullım. 8 0.. 0. 8 olmk üzere dir. 5. 5. 0. tür. 0. 5. 0 0. 8.. 0. 0 0. Çrpm İşlemi İki polinomun çrpımı; birisinin her teriminin diğerinin her terimi ile yrı yrı çrpımlrındn elde edilen terimlerin toplmın eşittir. Uyrı n m n m.b.b. dir. n m n m.b b. dir. 8
ve 5 olmk üzere,.. 5..5 5 dir. ve. çrpımını bullım... olmk üzere...... olduğun göre. bullım......... 6 dir. bullım. olduğun göre... çrpımını çrpımını...... dir. ve 5. çrpımını bullım... 5 olmk üzere 5. 5 9 9 0 6 6 5. 5 9 6 6 polinomu veriliyor.. 9 m n olduğun göre polinomunu ve m,n syılrını bullım. der. ve der ise der der ise. b. şeklinde bir polinomdur. b b b. b b b dir.. 9 m n 9, b, olduğundn 9
b m m 6, b n n. b dir.. Bölünenin ltın yzıln çrpım polinomu, bölünenden çıkrılır. 5. Yukrıdki işlemlere, kln polinomun derecesi, bölen polinomun derecesinden küçük oluncy kdr devm edilir.. Bölme İşlemi ve iki polinom, der der.b eşitliğini sğlyn polinomunun polinomun bölümü denir. olsun. B polinomun, Bölünen Bölen B Bölüm K Kln olmk üzere, yndki işleme bölme işlemi denir. Yndki bölme işleminde,. der der. derk der. derk derb ise ile değiştirmesi klnı değiştirmez.. K 0 ise polinomu olrk bölünür. Bu durumd, biri polinomudur. Bölme İşleminin Ypılışı B in yer polinomun tm in çrpnlrındn olinomlrd bölme işlemi, syılrd bölme işlemine benzer şekilde ypılır. Bunun için sırsıyl şğıdki işlemler ypılır.. Bölünen ve bölen polinomlr değişkeninin zln kuvvetlerine göre sırlnırlr.. Bölünen polinomun soldn ilk terimi, bölen polinomun soldn ilk terimine bölünür. Çıkn sonuç, bölümün ilk terimi olrk yzılır. polinomunu..adım: dikkt ediniz..adım: polinomun bölelim. olduğundn. olduğun Bun göre olduğundn. 0 olduğun dikkt ediniz. polinomunun polinomun bölünmesiyle elde edilen bölüm ve kln sıfırdır... polinomunun olduğun göre, polinomun bölünmesiyle elde edilen bölüm ve kln sıfırdır.. Bulunn bu bölüm, bölen polinomun bütün terimleri ile çrpılrk, ynı dereceli terimler lt lt gelecek şekilde bölünen polinomun ltın yzılır. 0
polinomunu bölelim. polinomun 5 polinomunu bölelim. polinomun.adım: ve olduğu için,. 5 polinomunun polinomun bölümünde bölüm, kln 5 tür. olduğun dikkt ediniz..adım: olduğun dikkt ediniz..adım: ve. olduğu için, 6 6 6 ve 6. 6 olduğu için, 6 6 olduğun dikkt ediniz. nin derecesi dir. nin derecesi sıfırdır. 0 < olduğu için bölme işlemi bitmiştir. Bir polinomunun polinomu ile bölümünden elde edilen bölüm ve kln olduğun göre polinomunu bullım. Bölme işleminin sğlmsın göre, 6. 8 bölme işleminin sonucunu bullım. Bun göre polinomunun polinomun bölünmesiyle elde edilen bölüm 6 ve kln dir.
6 Kurl 8 m n olmk üzere, der m ve der n poinomunun bölüm Bun göre, B olsun. der der ile bölümünden elde edilen m dir. Yni iki polinomun toplmının derecesi, polinomlrdn derecesi büyük olnın derecesine eşittir. der der m dir. Yni iki polinomun frkının derecesi, polinomlrdn derecesi büyük olnın derecesine eşittir. der.der m n dir. Yni iki polinomun çrpımının derecesi, polinomlrın dereceleri toplmın eşittir. derb m n dir. Yni iki polinomun bölümünün derecesi, polinomlrın dereceleri frkın eşittir. der k. m k.yol dir. olduğun göre der kçtır? olsun. Bu durumd derr R olup, der der R. 6.Yol Derece, bir polinomdki en büyük dereceli terim ile ilgilidir. Yni,, polinomlrının üçünün de derecesi dir. 6 polinomunun derecesi ile polinomunun derecesi ynıdır. der.yol 6 6 olduğun göre der dır. olduğun göre 6.der.6 der kçtır? der olduğunu önceki örnekte bulduk. Bun göre, der.yol 6 polinomunun derecesi ile polinomunun derecesi ynıdır. der 6 der der olduğun göre ve 7 der olduğun göre
der kçtır? 6 der olduğunu önceki örnekte bulduk. 7 der ve 7 > 6 olduğundn der 7 dir. ve 7 polinomunun der olduğun göre ile bölümünden elde edilen bölüm polinomunun derecesi kçtır? der der der der.der olduğun göre değerini bullım. polinomund,.. tür... 0 0 dur. olduğun göre, polinomunun ktsyılrı toplmını bullım..yol.6 7 7 5 polinomunun ktsyılrı,, -,, - tür. Bun göre polinomunun ktsyılrı toplmı 5 olduğun göre bullım. in değerini değeri polinomd yzılırs,. 5. - 8 0. - - 0 - dir..yol dir. polinomunun ktsyılrı toplmı polinomund = ise,.. olduğun göre, ktsyılrı toplmını bullım. polinomunun
.Yol olduğun göre,. 6 Bun göre polinomunun ktsyılrı toplmı, 6 6.Yol polinomunun ktsyılrı toplmı, dir. polinomund = yzılırs,. 6 8 göre, 5 in değerini bullım. polinomunun ktsyılrı toplmı 5 olduğun 8 polinomunun ktsyılrı toplmı 5 ise,. 8 5 5 5 olduğun göre, polinomunun sbit terimini bullım..yol Sbit terim ten bğımsız oln terimdir. Bun göre terimi - tür..yol polinomunun sbit polinomunun sbit terimi 0 dır. 0 0.0.0 polinomund = 0 ise, olduğun göre sbit terimini bullım..yol olduğun göre, Bun göre.yol polinomunun polinomunun sbit terimi, - dir. polinomunun sbit terimi, 0 polinomund = yzılırs, dir.
m ve n birer reel syı olmk üzere m n polinomunun sbit terimi 8 ve ktsyılr toplmı 7 olduğun göre, m n frkı kçtır? olinomun sbit terimi 8 olduğun göre, 0 m.0 n n 8 n 8 n olinomun ktsyılr toplmı 7 olduğun göre, m. n m 7 m m 5 Bun göre, 7 m n 5 elde edilir. BÖLME İŞLEMİ YAMADAN KALANI BULMA A. Bir olinomunun b Klnı Bulm İle Bölümündeki polinomunun b ile bölünmesinden elde edilen bölüm B, kln K olsun. Bun göre, b.b K olur. b b 0 dır. Bu değeri yzrsk, b b. b b.b K b O hlde b b b.b K K polinomunun b ile bölünmesinden elde edilen klnı bulmk için b 0 denkleminin kökü oln b için hesplnır. Sonuç Bir b polinomunun değeri oln polinomunun b ile bölünmesinden elde edilen b kln dır. 5 polinomunun polinomun bölünmesinden elde edilen klnı bullım. 0 tür. polinomund yerine yzılırs,... 5 5 7 6 5 80 7 polinomunun polinomun bölünmesinden elde edilen klnı bullım. 0 dir. polinomund yerine - yzılırs,.. 7 7 5
m polinomunun polinomun tm bölünebilmesi için m nin lcğı değeri bullım. polinomunun polinomun tm bölünebilmesi için kln K 0 olmlıdır. Yni 0 Bun göre, için, K 0.. m. 0 6 m 0 m 8 0 m olmlıdır. 5 b polinomunun ile bölümündeki kln 5 ve ile bölümündeki kln 0 olduğun göre ve b değerlerini bullım. olduğun göre polinomunun polinomun bölünmesinden elde edilen klnı bullım..yol: olduğun göre,. 6 dır. 0 için, K 6 9 6 0 K Yni polinomu polinomun tm bölünüyor. 0 için, K 5 5.. b b 6 5 b bulunur 0 için, K 0 5.. b b 8 0 b 8 b b 8 b b 8-7, b 6.Yol: polinomu bulunmdn d kln bulunbilir. 0 için, K tür. polinomund yerine yzılırs,. 6 0 K Yni polinomu polinomun tm bölünüyor. 6
Sonuç polinomunun ile bölümünden elde edilen klnı dır. b edilen klnı b polinomunun ile bölümünden elde dir. b edilen klnı b polinomunun ile bölümünden elde dir. 7 verildiğine göre, polinomunun polinomun bölünmesinden elde edilen klnı bullım. polinomunun ile bölünmesinden elde edilen kln tür. polinomund yerine 5 yzrsk, 5 5 7.5 5 5. verildiğine göre, polinomunun polinomun bölünmesinden elde edilen klnı bullım. 0 tür. polinomunun ile bölünmesinden elde edilen kln tür. Anck, eşitliğin sğ trfınd yer ln değerini bulmlıyız. Bunun için eşitliğin sol trfını sıfır ypn değerinden yrrlnırız. 0 dir. Verilen bğıntıd yerine yzrsk,.. 0 olur. Bun göre,. polinomunun ile bölümündeki klnı Şimdi bulmk için yerine yzlım... 9 9 7.. m polinomunun ile bölünebilmesi için m yerine hngi syının yzılbileceğini bullım. 0 olur. polinomunun ile tm bölünebilmesi için kln sıfır olmlıdır. Yni K 0 olmlıdır... m 0 m 0 m D. Bir m 0 n olinomunun İle Bölümündeki Klnı Bulm n n 0 dır. 7
n Bun göre derecesi n den büyük oln bir polinomun ile bölümünden klnı bulmk için 9 6 n yerine yzılır. polinomunun ile bölümünden klnı bullım. 0 dir. 9 6. olduğun göre polinomund K yerine - yzılırs,.. K 8. 6 0 5 polinomunun ile bölümünden klnı bullım. 0 dir. 5.. 5 olduğun göre polinomund K.. 5 K yerine yzılırs, polinomunun ile bölümünden klnı bullım. 0 dir. olduğun göre K polinomund. K 6 yerine - yzılırs, polinomunun ile bölümünden klnı bullım. 0 dir. olduğun göre.. polinomund K K K... 7. tür. 8 5 yerine yzılırs, polinomunun ile bölümünden klnı bullım. 8
0 dir. 8 5 olduğun göre K 6 5 6 polinomund K 8 5 yerine - yzılırs, polinomunun ile bölümünden klnı bullım. 0 dir. 8. olduğun göre K. polinomund K yerine yzılırs, B. Bir olinomunun. b polinomu. b İle Bölümü çrpımı ile tm olrk bölünebiliyors ve b çrpnlrı ile yrı yrı tm olrk bölünür. ve b rlrınd sl polinomlr olmk üzere; polinomu bu polinomlr yrı yrı tm olrk bölünebiliyors bunlrın çrpımı oln. b ile de tm olrk bölünebilir. m n 5 polinomu. bölünebildiğine göre m n frkını bullım. polinomu. ile tm çrpımı ile tm bölünebildiğine göre ve çrpnlrı ile yrı yrı tm olrk bölünür. polinomu ile tm bölünebildiğine göre 0 olup 0 dır. polinomu ile tm bölünebildiğine göre 0 olup 0 dır olmlıdır. Bun göre,. m. n. 5 0 m n. m. n. 5 0 m n 7 Bulunn bu eşitlikleri trf trf çrprsk, m n. m n 7. m n elde edilir. polinomunun ile bölümünden kln 8 ve ile bölümünden kln - dir. Bun göre polinomunun. ile bölümünden klnı bullım. in ile bölümünden kln 8 ise 8 dir. in ile bölümünden kln - ise dir. 9
. çrpımı ikinci dereceden bir polinomdur. Klnın derecesi bölenin derecesinden küçük olcğın göre, in. ile bölümünden kln birinci dereceden bir polinomdur. Kln K m n olsun. Bun göre,..b m n dir. için 8 ise,..b m. n 8.m n 8 0..B.m n 8 için ise,..b.m n m n.0.b m n Bulunn bu iki eşitlik birlikte çözülürse,.m n 8 m n polinomunun. K m n m, n O hlde dir. ile bölümünden kln, C. Bir olinomunun. b İle Bölümü polinomu. b ile bölünebiliyors, polinomu ile türevi oln polinomu b ye tm olrk bölünürler. Yni polinomu. b ile bölünebiliyors b b 0 ve 0 dır. m 6 n polinomu ile tm bölünebildiğine göre, m.n çrpımını bullım..yol: 0 0 dir. nin eşiti polinomund yzılırs kln Klnın sıfır eşitlenmesi ile sonuc gidilir. Çünkü polinomu ile tm bölünmektedir. K m 6 n m.. 6. n olduğu için, 0 m.. 6. n 0 m m 6 n m 6 n 0 m. 0 m m m 6 n m. m n 6 0 dir. Bun göre polinomlrın eşitliği tnımın göre, m 0 m m n 6 0 8 n 6 0 n O hlde m.n. 8 elde edilir..yol: m 6 n polinomu ile tm bölünebildiğine göre 0 ve 0 m 6 n ise, dır. 0
m tir. m. 6. n 0 0 m n 6 m n 6 elde edilir. m.. 0 0 m m m n 6 n 6 O hlde, m.n. 8 dir. b c polinomu ile tm bölünebildiğine göre, ile b rsındki bğıntıyı bullım. ' ' ' b c ise, 6 b c 7 b dir. polinomu ile tm bölünebiliyors, b polinomu ile tm bölünebildiğine göre, b değerini bullım. 0 ', 0 ' ', 0 dır Bu soruyu yukrıdki.yolun dışınd bşk bir yoldn çözelim. Bunun için polinomunu ile bölelim. ' ' 0.. 7. b 0 6 b b 6 elde edilir. HORNER YÖNTEMİ İLE BÖLME polinomunun Horner yöntemi, bir y d b biçimindeki birinci dereceden bir polinom bölünmesindeki bölüm ve klnı bulmd kolylık sğlyn bir yöntemdir. Horner yöntemi ile bölmede ypılck işlemleri şğıdki örneğimizde olduğu gibi sırlybiliriz. Bun göre 0 ve b 8 0 b 8 Sonuç polinomu. b n b olur. ' 0, ile tm bölünebiliyors, b ' ' 0, b (n ) 0,..., b 0 5 polinomunun ile bölümünden elde edilen bölüm ve klnı bullım. Sorunun çözümünü Horner yöntemi ile yplım. ) Bölünen polinomun ktsyılrı in zln kuvvetlerine göre sırlnır.
b) 0, düşey çizginin solun yzılır. c) Bölünen polinomun bş ktsyısı oln olduğu gibi şğı indirilir. d) ile çrpılıp -5 in ltın yzılrk toplnır e) ile çrpılıp, nin ltın yzılrk toplnır... 7. Tblodn bulunn bu değerleri K.7 ifdesinde yerine yzlım, K.7 7 5 Bu sırlnış şem ile şğıd verilmiştir. İnceleyiniz. ÇÖZÜMLÜ SORULAR İşleme böyle devm edildiğinde en son elde edilen 9 syısı, klndır. Diğer syılr d bölüm polinomunun kt syılrıdır. Bun göre K 9 dur. bölümünün ktsyılrı,,,5 tir. 5 olur.. 5 polinomunun. ile bölümünden elde edilen klnı Horner yöntemi ile bullım. 0 dir.. b c b ve 5 polinomlrı veriliyor. olduğun göre,b ve c nin değerlerini bulunuz. 5 eşitliğinde yerine yzılırs,.. 5. 6 5 8 8 6 5 9 olur. olduğundn, b, c ve b 9 dur. Burdn 7, b 9, c Bölümü ile tekrr bölelim. 0 dir.. b c d ve polinomlrı veriliyor. olduğun göre,b ve c nin değerlerini bulunuz. 6 8 olup eşitliğinden,
, b 6 b 5, c, d 8. b, D ve c 0 8 5. D polinomlrı veriliyor. olduğun göre,b ve c nin değerlerini bulunuz.. 6 b ve D c 0 b 5 ise. D olduğun göre, c, 6 0, b, 0 b 5 olup, bu eşitliklerden, b 5, c 6 A B C. A B C. A C B C C A C 0, B, C olup, burdn A, B, C ifdesi sbit polinom olduğun göre b frkı kçtır? 6. b 7 b 7 polinomu sbit olduğun göre içeren terimlerin ktsyılrı sıfır olmlıdır.. b. çrpımının değeri kçtır? b. olduğun göre.b Bun göre, 0, b 0 b 7 b elde edilir. ifdesi sıfır polinomu olduğun göre b frkı kçtır? 7. 7 b. b.. b b ve b.b =. = dir. Sıfır polinomund bütün terimlerin ktsyılrı sıfırdır. O hlde 7 b ifdesinin sıfır polinomunu belirtmesi için, 7 0 7 b 0 b 5. A B C değerlerini bulunuz. olduğun göre A,B ve C nin 6 b
8.,.. olduğun göre polinomunu bulunuz......... der der der der.der der.der.. 9 8 dir. 9. 9 6 9 işleminin sonucunu bulunuz. 7 A B. kçtır? olduğun göre A B frkı 7 A B 7 A A B B 7 A B A B A B, A B 7 olup bu iki eşitlikten, 9 6 9 6 Bun göre tür. A B A B 7 - A - B A - B - 7 - B 6 B -, A tür. 0. der ve der olduğun göre b 7 polinomunun polinomun bölümünden elde edilen bölüm polinomunun derecesi kçtır? b 7 polinomunun polinomun bölümünden elde edilen bölüm polinomunun derecesi, 5 A B elde edilir. polinomunun. ile bölümündeki kln polinomu bulunuz. 0 ve 0 dir.
Bu değerleri polinomund yerine yzrsk, ise K. polinomu veriliyor. in ktsyılr toplmı 9 olduğun göre, sbit terimi kçtır? in ktsyılr toplmı 9 ise 9 dur. polinomundn elde etmek için yerine - yzılırs,.. 9 Bun göre, 9 dur. 0 dır. polinomundn 0 yerine - yzılırs,.. 9 0 8 8 6 9 6 5 in sbit terimi elde etmek için polinomunun. m çrpnlrındn biri olduğun göre m kçtır? in çrpnlrındn biri ise ile tm bölünür. Bu durumd 0 polinomu dır... m 0 polinomunun ile 5. m m bölümünden kln 5 tir. Bun göre bölümünden kln kçtır? in ile in ile bölümünden kln 5 ise 5 5 m... m tir. 5 8m 6 6 m 5m 5 m tür. Bun göre, 9 olur. in ile bölümünden kln,... 9 6 6 9 55 6. ve polinomlrının ile bölümünden klnlr sırsıyl 5 ve dir. Bun göre. polinomunun ile bölümünden kln kçtır? in ile bölümünden kln 5 ise 5 tir in ile bölümünde kln ise. dir polinomunun ile bölümünden kln, 0 değeri yerine yzılırs,. 5. 0 7. ve polinomlrının klnlr sırsıyl -5 ve tür.. k. ile bölümünden polinomu ile tm bölünebildiğine göre k kçtır? 0 8.9 9 m m 5 5
in ile bölümünden kln -5 ise 5 in ile bölümünde kln ise.. k polinomu ile tm bölünebildiğine göre, 0 değeri yerine yzılırs, k. 0. dır. Bun göre, tür. k.. 5 k. 0. k. k 5 0 5. k 5 k 6 dır. 8. in sbit terimi, ktsyılr toplmı - tür. Bun göre polinomunun ile bölümünden kln kçtır? in sbit terimi ise 0 tür. in ktsyılr toplmı - ise 0 olduğu için, tür. in ile bölümünden kln, 0 9. in olduğun göre kçtır? olur. ile bölümünden kln 5 7 in ile bölümünden kln in ile bölümünde; bölüm B ve kln 5 7 olduğun göre,.b 5 7 dir. in ile bölümünden kln tür. Bun göre,.b 5. 7 0 0 7 eşitliği 0.. 7 verilmiştir. olduğun göre kçtır? in 5 ile bölümünden kln in ile bölümünden kln in 5 ile bölümünde kln ise 5 in ile bölümünde kln. 7 elde etmek için yerine yzılırs, tür. dir eşitliğinde 5.... 7 5. 8 7... in sbit terimi, ktsyılr toplmı 5 tir. Bun göre in ile bölümündeki klnı bulunuz. in sbit terimi ise 0 tür. in ktsyılr toplmı 5 ise 5 tir. polinomu ikinci dereceden olduğu için in ile bölümündeki kln birinci derecedendir. 6
in ile bölümündeki kln m n olsun. dir. Bun göre.b m n Bu eşitlikte yerine önce, sonr 0 yzılırs,.b m. n m n 5 5 0 0 0.B 0 m.0 n n m n 5 m tür. in ile bölümündeki kln m n dir. 6 polinomunun ile bölümündeki klnı bulunuz.. 5 5. 6. 6 5 6 6 polinomund, 0 yzılırs K.. 5.. 5 8 6 5 elde edilir.. olduğun göre polinomunu bulunuz. Verilenlere göre ikinci dereceden bir polinomdur. b c olsun.. b. c. b b c. b b c olduğun göre, b. b c olup,, b, b c eşitliklerinden, b, c O hlde, b c dir. polinomu ile klnsız bölünebildiğine göre kçtır?. polinomunun ile klnsız bölünebilmesi için yerine - yzıldığınd kln 0 olmlıdır. Bun göre, ise,.. 0 K 0.. 0 0 5. m n m n polinomunun ile bölümünden kln 7 olduğun göre m n toplmı kçtır? 0 olduğu için, polinomund yerine - yzılırs kln 7
m. n m n olduğu için, 7 K m.. n. m n 7 m n m n 7 m 5n m 5n 7 ise, m m ve 5n 7 n dir. m n Bun göre dır. 6. göre R olduğun ve 5 polinomunun. polinomun bölümünden elde edilen bölüm polinomunun derecesi kçtır? olsun. R der der der dir. Bun göre, R der der R. 6.der.6 dir.. der der 6 dır. polinomunun. dır. Bun göre, polinomun bölümünden elde edilen bölüm polinomunun derecesi, der 7.. der der. 6 6 işleminin sonucunu bulunuz. dır. 8. in ktsyılr toplmı 5, Bun göre.. in sbit terimi - dir. polinomunun ile bölümünden kln kçtır? in ktsyılr toplmı 5 ise 5 in sbit terimi - ise 0. tir. dir.. polinomunun ile bölümünden klnı bulmk için yerine yzılırs, K....0 5 K.5. 9. 7 polinomu veriliyor. in ktsyılr toplmı A, ile bölümünden kln B olduğun göre, A B kçtır? in ktsyılr toplmı A ise A dır. den elde etmek için yerine - yzılır,.. 7. 7 A A 8
in ile bölümünde kln B ise B den dir. elde etmek için yerine yzılır,.. 7. 7 6 6 B 6 B A B 6 6 elde edilir. 0. in ile bölümünden kln - olduğun göre in ile bölümünden kln kçtır? in ile bölümünde kln - ise in ile bölümünde kln Bun göre, ise, 9 olur.. 6 8 dir. tür. polinomunun ile bölümünden kln kçtır? 0 dir. Bun göre in ile bölümünden kln dir. 6 8 olduğun göre, dir. bğıntısı.. veriliyor. in ile bölümünde kln ise, in ile bölümünde kln kçtır? in ile bölümünde kln ise in ile bölümünde kln Verilen bğıntıd yerine yzılrk, dir..... 8.. tür.. tür 5 bğıntısı veriliyor. in ile bölümünden kln olduğun göre 6 kçtır? in ile bölümünden kln ise den yerine yzılırs, elde etmek için 6. 5. ve dir 0 bğıntısınd 6 0 polinomlrının ile bölümünden klnlr sırsıyl ve - tür...t. polinomu ile tm bölünebildiğine göre t kçtır? in ile bölümünde kln ise tür. in ile bölümünden kln - ise..t. polinomu ile tm bölünebildiğine göre, 9
dır. Burdn,..t. 0..t. 5 0 5 8t 0 t 8 8 7 7 polinomunun ile bölümünde kln kçtır? 5. 7 7 7 0 olduğu için 8 7 7 7. 7 7. 7 7 polinomunun yerine - yzılırs, K. ile bölümünde klnı bulmk için.. 7 K.6. 8 7 8 8 8 7 5 9 6 polinomunun 6. n 7 çrpnlrındn biri olduğun göre n kçtır? in çrpnlrındn biri ise, polinomu ile tm bölünür. Yni polinomu ile bölündüğünde kln sıfırdır. Bun göre, 0 değerini n 7 7 polinomund yzrsk, 0 K. n. 7 6 n 7 0 5 n 5 0 n 7. Bir polinomunun ile bölümünden kln olduğun göre, in ile bölümünden kln kçtır? polinomunun ile bölünmesiyle elde edilen bölüm B ve kln olsun. Bun göre,.b olur. Bu eşitlikte yerine - yzılırs,.b. 0 9 6 5 polinomunun 5 ile bölümünden kln dir. Bun göre in ile bölümünden kln kçtır? 8. in 5 ile bölümünden kln olduğu için, 5.B 5..B dir. in ile bölümünden kln, 0 yzılırs, 5..B. 0 9 7 olduğun göre 9. 0 polinomunu bulunuz. 0
tipinde ikinci Verilenlere göre b c dereceden bir polinomdur. Bun göre,. b. c. b b c dir.. b. c b b c dir. 0 olduğun göre, b 5 b c 0 olup,, b, 5 b c 0 eşitliklerinden, b ve c Bun göre, b c dir. 0. in ile bölümünden kln, ile bölümünden kln - olduğun göre in. ile bölümünden kln kçtır? için..b m. n m n m n.0.b dir. için..b m. n m n m n 0..B dir. Bulunn bu iki eşitlik birlikte çözülürse, m n m n. m,n 5 O hlde ile bölümünden kln, m n 5 tir.. b göre polinomu veriliyor. b 8. 9 in olduğun in ile bölümünden kln kçtır? 0 olduğu için b in ile bölümünden kln. b b dir. Verilen diğer eşitlikte yerine yzılırs, b. 8 9 ise, in ile bölümünden kln ise tür. in ile bölümünden kln - ise. di polinomu ikinci derecedendir. Bölen ikinci dereceden olduğu için klnın derecesi en çok dir. in. ile bölümünden kln m n olsun. Bun göre,..b m n dir.. b. 8. b 6. 0 8. 9 b 0 b 5 b 5 b 0 0 b in ile bölümünden kln. b b tür.
. polinomunun ktsyılr toplmı ve. polinomunun sbit terimi kçtır? göre olduğun polinomunun ktsyılr toplmı ise, tür. polinomunun sbit terimi 0 dır.. bğıntısınd yerine yzılırs,.. 0 0 6 0 dir. polinomunun sbit terimi 0 dir.. 7. bğıntısı veriliyor. değeri kçtır? Verilen eşitlikte yerine yzılırs,. olduğun göre polinomunun çift dereceli terimlerinin ktsyılrı toplmı kçtır? işleminin sonucu dereceli terimlerinin ktsyılrı toplmını verir. polinomunun tek işleminin sonucu dereceli terimlerinin ktsyılrı toplmını verir. polinomunun çift Bun göre, polinomund yerine önce 0, sonr - yzılrk, 0 0.0 ve. Bu durumd ktsyılrı toplmı, KONU BİTMİŞTİR. polinomunun çift dereceli terimlerinin 7 dir.. 7 7 0 0. 7 dır. Bun göre, 7. 7. 7 9 9. 9 7 dir.