Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Bölüm 2 Kuvvet Vektörleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö.Soyuçok.
2 Kuvvet Vektörleri Bu bölümde, tekil kuvvet kavramı, kuvvetleri toplama, bileşenlerine ayırma ve bir eksen üzerine izdüşürme yöntemleri verilecektir. Kuvvet vektörel bir büyüklük olduğundan, kuvvetler söz konusu olduğunda vektör cebrini kullanmalıyız. İncelememize skaler ve vektörel büyüklükleri tanımlayarak başlayacak ve vektör cebrinin temel kurallarının bir kısmını oluşturacağız.
2.1 Skalerler ve Vektörler Mekanikteki fiziksel büyüklüklerin çoğu, skalerler ve vektörler vasıtasıyla matematiksel olarak ifade edilebilir. Skaler. Pozitif veya negatif bir sayı ile karakterize edilen bir büyüklüğe skaler adı verilir. Kütle, hacim ve uzunluk statikte sıkça kullanılan skaler büyüklüklerdir. Skalerler, A skaleri gibi, italik harflerler göserilecektir. Vektör. Bir vektör, büyüklük ve doğrultuya sahiptir. Statikte sık karşılaşılan vektörel büyüklükler konum, kuvvet ve momenttir. Vektörler, A vektörü gibi, koyu harfle gösterilecektir.
2.1 Skalerler ve Vektörler Başlangıç Etki çizgisi Uç Bir vektör grafiksel olarak, büyüklük, doğrultu ve yönünü tanımlamada kullanılan bir okla gösterilir. A vektörü 4 birim uzunluğundadır. Doğrultusu, yatayla saatin tersi yönünde 20 dir. Yönü, sağa ve yukarı doğrudur. Vektörün büyüklüğü okun uzunluğu ile ifade edilir. Doğrultusu, bir referans ekseni ile okun etki çizgisi arasındaki açı ile tanımlanır. Yönü, okun ucu ile tanımlanır.
2.2 Vektörel İşlemler Vektörün Bir Skalerle Çarpımı ve Bölümü. A vektörünün aa ile gösterilen a skaleriyle çarpımı, aa büyüklüğüne sahip bir vektör olarak tanımlanır. aa nın yönü, a pozitifse A ile aynı, a negatifse A ile terstir. Bir vektörün negatifi, vektörün (-1) skaleri ile çarpımıyla oluşur. Bir vektörün bir skalerle bölümü A/a = (1/a)A, a 0 olduğundan, skalerle çarpım kuralları kullanılarak tanımlanabilir.
2.2 Vektörel İşlemler Vektörlerin Toplamı. Aynı tipten A ve B vektörleri, paralelkenar kuralı kullanılarak toplanabilir. Sonuçta R = A+B «bileşke» vektörü elde edilir. A ve B vektörleri başlangıç noktalarından birleştirilir. Vektörlerin uçlarından çizilen paralel doğruların kesiştiği P noktası ile paralelkenarın diğer kenarları oluşturulur. R bileşkesi, A ve B nin başlangıcından P noktasına uzanan, paralelkenarın köşegenidir.
2.2 Vektörel İşlemler Vektörlerin Toplamı. B yi A ya paralelkenar kuralının özel bir hali olan üçgen oluşturmayı kullanarak da ekleyebiliriz. B vektörü, «uç-başlangıç» yöntemi ile, yani A nın ucu B nin başlangıcına bağlanmak suretiyle, A vektörüne eklenir. R bileşkesi A nın başlangıcından B nin ucuna uzanır.
2.2 Vektörel İşlemler Vektörlerin Toplamı. R, benzer şekilde, A nın B ye eklenmesiyle de elde edilebilir. Yani, vektör toplamının değişme özelliği vardır: R = A + B = B + A Özel olarak, A ve B vektörleri aynı doğru üzerinde ise, paralelkenar kuralı R = A + B cebirsel veya skaler toplamına indirgenir.
2.2 Vektörel İşlemler Vektörlerin Farkı. Aynı tipten A ve B vektörleri arasındaki fark bileşke vektörü R = A - B = A + (-B) olarak tanımlanır. Buna göre, fark toplamın özel bir hali olarak tanımlanmış olmaktadır. Vektör toplamı ile ilgili kurallar, vektör farkı için de uygulanır.
2.3 Kuvvetlerin Vektörel Toplamı Deneysel gözlemler, bir kuvvetin vektörel bir büyüklük olduğunu göstermiştir. Kuvvetler, belli bir büyüklük, doğrultu ve yöne sahiptir. Paralelkenar kuralına göre toplanırlar. Statikteki iki genel problem, bileşenlerden bileşke kuvveti bulmayı veya bilinen bir kuvveti iki bileşene ayırmayı içerir.
2.3 Kuvvetlerin Vektörel Toplamı Bileşke Kuvveti Bulma. Statikteki iki genel problem, bileşenlerden bileşke kuvveti bulmayı veya bilinen bir kuvveti iki bileşene ayırmayı içerir.
2.3 Kuvvetlerin Vektörel Toplamı Vektörün Bileşenlere Ayrılması. Statikteki iki genel problem, bileşenlerden bileşke kuvveti bulmayı veya bilinen bir kuvveti iki bileşene ayırmayı içerir.
2.3 Kuvvetlerin Vektörel Toplamı İkiden Fazla Kuvvetin Toplanması. İkiden fazla kuvvet toplanacaksa, paralelkenar kuralı arka arkaya uygulanabilir. Çoğu kez yoğun geometrik ve trigonometrik hesaplamalar gerektirir. Daha sonra açıklanacak «dik bileşen yöntemi» kullanılarak kolayca çözülebilir.
Analizde İzlenecek Yol Paralelkenar Kuralı. Trigonometri.
Örnek 2-1 Şekilde verilen kanca F 1 ve F 2 kuvvetlerine maruzdur. Bileşke kuvvetin büyüklük ve doğrultusunu belirleyiniz.
Örnek 2-1
Örnek 2-3 Şekildeki çerçeveye etkiyen F kuvveti 500 N luk büyüklüğe sahiptir ve AB ve AC çubukları boyunca etkiyen iki bileşene ayrılacaktır. Yataydan aşağıya doğru ölçülen θ açısını, A dan C ye doğru yönelmiş F AC kuvveti 400 N luk büyüklüğe sahip olacak şekilde belirleyiniz.
Örnek 2-3
Örnek 2-4 Şekildeki halka F 1 ve F 2 kuvvetlerine maruzdur. Bileşke kuvvetin 1 kn büyüklüğünde, düşey doğrultuda ve aşağı yönlü olması istendiğine göre, F 1 ve F 2 büyüklüklerini, (a) θ = 30, (b) F 2 minimum olacak şekilde belirleyiniz.
Örnek 2-4
Örnek 2-4
2.4 Düzlemsel Kuvvetlerin Toplanması İkiden fazla kuvvetin bileşkesini elde ederken, her bir kuvvetin belirlenmiş eksenler boyunca bileşenlerini bulmak, bu bileşenleri cebirsel olarak toplamak ve bileşkeyi oluşturmak paralelkenar kuralını kullanmaktan daha kolaydır. Bu kesimde, her bir kuvveti x ve y eksenleri doğrultusundaki bileşenlerine ayıracağız. Eksenler birbirine dik kalmak üzere, herhangi bir eğim açısıyla yerleştirilebilir.
2.4 Düzlemsel Kuvvetlerin Toplanması Her bir düzlemsel vektörün dik bileşenlerinin yönünü göstermek için bir notasyon oluşturulmalıdır. Bu iki şekilde yapılabilir. Skaler Gösterim. Pozitif F x ve F y F x Pozitif F y Negatif
2.4 Düzlemsel Kuvvetlerin Toplanması Kartezyen Vektör Gösterimi. Özellikle üç boyutlu problemlerin çözümünde avantaj sağlar. İki boyutlu problemlerde x ve y eksenlerinin doğrultuları sırasıyla i ve j kartezyen birim vektörleri ile gösterilir.
2.4 Düzlemsel Kuvvetlerin Toplanması Düzlemsel Kuvvetlerin Bileşkesi. Bir kuvvetin dik bileşenlerini göstermede kullanılan yöntemler (skaler ve kartezyen vektör), çok sayıda düzlemsel kuvvetin bileşkesini belirlemek için de kullanılabilir.
2.4 Düzlemsel Kuvvetlerin Toplanması Düzlemsel Kuvvetlerin Bileşkesi. Kartezyen vektör Skaler
2.4 Düzlemsel Kuvvetlerin Toplanması Düzlemsel Kuvvetlerin Bileşkesi. Bileşke bileşenleri belirlendikten sonra, bunlar kendi doğrultularında x ve y eksenleri boyunca çizilebilir. Bileşke kuvvet, vektör toplamından belirlenebilir.
2.4 Düzlemsel Kuvvetlerin Toplanması Düzlemsel Kuvvetlerin Bileşkesi. Direğe etki eden üç kablo kuvvetinin bileşkesi, her bir kablo kuvvetinin x ve y bileşenlerinin cebirsel olarak ayrı ayrı toplanmasıyla elde edilebilir. Bu F R bileşke kuvveti, üç kablonun direk üzerindeki çekme etkisine eşdeğer bir etki oluşturur.
Örnek 2-5 F 1 ve F 2 kuvvetlerinin x ve y bileşenlerini belirleyiniz. Her bir kuvveti kartezyen vektör olarak ifade ediniz.
Örnek 2-5 Skaler Gösterim. Kartezyen Vektör Gösterimi.
Örnek 2-7 Şekildeki halka F 1 ve F 2 kuvvetlerine maruzdur. Bileşke kuvvetin büyüklüğünü ve doğrultusunu belirleyiniz.
Örnek 2-7 Skaler Gösterim.
Örnek 2-7 Kartezyen Vektör Gösterimi.
Örnek 2-8 Şekildeki çubuğun ucuna aynı düzlemdeki üç kuvvet etki etmektedir. Bileşke kuvvetin büyüklüğünü ve doğrultusunu belirleyiniz.
Örnek 2-8