2
38
Bölüm 8 Hyperbolik Fonksiyonlar Hiperbolik fonksiyonlar iferensiyel enklemlerin çözümüme önemli rol oynar. Trigonometrik fonksiyonları anıran aları varır. Trigonometrik fonksiyonların alarını sonunu h harfi konulur. Ama onlar trigonometrik fonkiyonlaran farklıır. Aynen trigonometrik fonksiyonlara oluğu gibi, öteki hiperbolik fonksiyonlar şu ikisi cinsinen ifae eilir: cosh x = e x + e x 2 sinh x = e x e x 2 (8.) (8.2) e x ve e x fonksiyonları süreki ve sonsuz ke türetilebilir oluğu için coshx ve si nhx fonksiyonları a sonsuz kes stüretilebilir sürekli fonksiyonlarır. (8.) ve (8.2) fonksiyonlarını sağ yanları kullanılarak coshx v4 si nhx fonksiyonlarını gtafikleri çizilebilir. cosh0 = sinh0 = 0 (8.3) oluğu tanımlarınan çıkar. Ayrıca, şu bağıntışar kolayca görülür: cosh( x) = 2 (e x + e x ) = coshx (8.4) si nh( x) = 2 (e x e x ) = si nhx (8.5) (8.6)
40 BÖLÜM 8. HYPERBOLİK FONKSİYONLAR x coshx = 2 x e x + e x = (e x e x ) = si nhx (8.7) x si nhx = 2 x e x e x = (e x + e x ) = coshx (8.8) (8.9) Bu türevlri kullanarak intgrallerini hen yazabiliriz: coshx x = si nhx +C (8.0) si nhx x = coshx +C (8.) 8. Karmaşık Sayılar İçin Hiperbolik Fonksiyonlar e i x = cos x + i sin x (8.2) e i x = cos x i sin x (8.3) sinh x = i sinh(i x) (8.4) cosh x = cosh(i x) (8.5) tanh x = i tanh(i x) (8.6) coth x = i coth(i x) (8.7) sechx = sech(i x) (8.8) sschx = i csch(i x) (8.9) tanh(i x) = i tan x (8.20) cosh(x) = cos(i x) (8.2) tanh x = i tan(i x) (8.22) 8.2 Ters Hiperbolik Fonksiyonlar Hiperbolik fonksiyonların bire-bir oluğu aralıklara ters fonksiyonları varır:
8.3. HİPERBOLİK FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ 4 ( ) ar csi nhx = ln x + x 2 + ( ) ar ccoshx = ln x + x 2 (8.23) (8.24) ar ct anhx = 2 ln + x, x < (8.25) x ar ccothx = 2 ln + x, x > (8.26) ( x ) x 2 ar csechx = ln x +, (0 < x ) (8.27) x ( ) + x + x 2 ar ccschx = ln (8.28) + x 8.3 Hiperbolik Fonksiyonların Türevleri x tanh x = tanh2 x = sech 2 x = cosh 2 (8.29) x x coth x = coth2 x = csch 2 x = sinh 2 (8.30) x cschx = coth x.cschx (8.3) x (8.32) x ar csi nhx = x 2 + (8.33) ar ccoshx = x x (8.34) ar ct anhx = x x 2 (8.35) ar ccschx = x x + x 2 (8.36) ar csechx = x x x 2 (8.37) ar ccothx = x x 2 (8.38)
42 BÖLÜM 8. HYPERBOLİK FONKSİYONLAR 8.4 Hiperbolik Özeşlikler Hiperbolik özeşlikler rigonometrik özeşliklere benzer, zaten aları a onlar gibiir. sinh( x) = sinh x (8.39) cosh( x) = cosh x (8.40) (8.4) tanh( x) = tanh x (8.42) coth( x) = coth x (8.43) sech( x) = sechx (8.44) csch( x) = cschx (8.45) ar csechx = ar ccosh x ar ccschx = ar csi nh x ar ccothx = ar ct anh x (8.46) (8.47) (8.48) si nhx = 2 (e x e x ) = 2e x (e2x ) = 2e x ( e 2x ) (8.49) coshx = 2 (e x + e x ) = 2e x (e2x + ) = 2e x ( + e 2x ) (8.50) tanh x = sinh x cosh x = e x e x e x + e x = e2x e 2x + = e 2x + e 2x (8.5) coth x = cosh x sinh x = e x + e x e x e x = e2x + e 2x = + e 2x e 2x (8.52) sechx = cosh x = 2 e x + e x = cschx = sinh x = 2 e x e x = 2e x e 2x + = 2e x e 2x = 2e x + e 2x (8.53) 2e x e 2x (8.54)
8.4. HİPERBOLİK ÖZDEŞLİKLER 43 cosh 2 x sinh 2 x = (8.55) İspat : cosh 2 si nh 2 x = 4 (e x + e x ) 2 4 (e x e x ) 2 = 4 (e2x + 2 + e 2x e 2x + 2 e 2x ) = 4 (4) = e x = cosh x + sinh x (8.56) e x = cosh x sinh x (8.57) sinh(x + y) = sinh x.cosh y + cosh x.sinh y (8.58) İspat: sinh x.cosh y + cosh x.sinh y = 4 (e x e x )(e y + e y ) + 4 (e x + e x )(e y e y ) = 4 (e x+y e x+y + e x y e x y + ex + y + e x+y e x y e x y ) = 2 (e x+y e x y ) = si nh(x + y) cosh(x + y) = cosh x.cosh y + sinh x.sinh y (8.59) İspat: Bunun ispatı önceki gibi yapılır. Bu özeşliklere y yerine y konulursa, sinh(x y) = sinh x cosh y cosh x sinh y (8.60) cosh(x y) = cosh x cosh y sinh x sinh y (8.6)
44 BÖLÜM 8. HYPERBOLİK FONKSİYONLAR çıkar. sinh(2x) = 2sinh x cosh x (8.62) cosh(2x) = cosh 2 x sinh 2 x (8.63) özeşlikleri ele eilir. Trigonometrik fonksiyonlar için x 2 + y 2 = formülünün karşılığı x 2 y 2 = (8.64) ir. Trigonometrik fonksiyonlaraki çember yerini hiperbol almaktaır. Bu enklem hiperbolün sağ koluna karşılık gelir. Tabii, formüle x ile y nin yerleri eğişirse, hiperbolün sol kolu ele eilir. Şekle bakınız. tanh x ve coth x fonksiyonları tan x ve cot x fonksiyonlarına benzer olarak tanımlanır: tanh x = sinh x cosh x = e x e x e x + e x (8.65) coth x = cosh x sinh x = e x + e x e x e x (8.66) Aynı şey sechx ve cschx fonksiyonları için e geçerliir: sechx = (8.67) cosh x = 2 e x + e x (8.68) cschx = sinh x = 2 e x e x (8.69) 8.5 Hiperbolik Fonksiyonların Türevleri Hiperbolik fonksiyonların türevleri, onları tanımlayan eşitlikler kullanılarak kolayca bulunur: cosh x = sinh x (8.70) x sinh x = cosh x (8.7) x x tanh x = sech2 x (8.72) x coth x = csch2 x (8.73) sechx = sechx.tanh x (8.74) x cschx = cschx.coth x (8.75) x
8.6. HİPERBOLİK FONKSİYONLARIN İNTGRALLEİ 45 Bunlaran ilk iki eşitliği önceen bulmuştuk. Sonrakiler bölümün türevi tanımınan çıkar. Örnek olması için örüncü eşitliği çıkaralım. x coth x = x tanh x (8.76) = tanh 2 tanh x x x (8.77) = tanh 2 x sech2 x (8.78) = cosh2 x sinh 2 x cosh 2 x (8.79) = sinh 2 x (8.80) = csch 2 x (8.8) Problem: 2 f = f 3 f, f (0) = f 8 ) = 0 (8.82) başlangıç eğer problemini çözünüz. Çözüm: tanh x fonksiyonunun sınır eğer problemini salaığı kolayca görülür. O hale çözüm y = tanh x ir. 8.6 Hiperbolik Fonksiyonların İntgrallei Sonlu bir [a, b] aralığına cosh x fonksiyonunun integrali o aralıktaki eğri uzunluğuna eşitttir: Alan= = b a cosh x x = b a + ( ) 2 x cosh x x = arc length (8.83) tanh x x = lncosh x +C (8.84) ir. İspat:
46 BÖLÜM 8. HYPERBOLİK FONKSİYONLAR sinh x tanh x x = cosh x x (8.85) (cosh x = (8.86) cosh x = lncosh x +C (8.87) tanh x fonksiyonu oğrusal olmayan f = f 2 ifrensiyel enklemini sağlar; yani o enklemin çözümüür.
94 BÖLÜM 8. HYPERBOLİK FONKSİYONLAR