Kpk Konusu: oncele Teoremleri Hiperbolde Yolculuk (ve oncele Teoremleri) Bu yz d hiperbolleri ele lc z. Tek bfl n... Yz m zdki her fley. Nzmi lker le Nâz m Terzio lu nun yzd Konikler [fiirkei üreibiye Bs mevi, snbul, üçüncü bsk, 1960] dl kib nd mevcuur ve h o kipn kendi dilimize ve kl m - z çevrilerek kr lm fl r. Geçen sy m z okuyn okur [-2005-II, syf 45-53] yn eoremlerin elipsler için de geçerli oldu unu (herhlde flfl rrk) görecekir. nck bu yz m z, ço u zmn oldu u gibi, di er üm yz lrdn b ms zd r. erkl okurun, bu yz d hiperbol, geçen sy d elips için kn lnn bu eoremlerin benzerlerini prbol için bulup kn lyc n umuyoruz. uzkl n odk uzkl d verilir. E er = 2c yzrsk, üçgeninin vrl c > eflisizli ini gerekirir. Teorem. Verilmifl bir çembere e e oln ve bu çember d fl nd verilmifl bir nokdn geçen çemberlerin merkezlerinin geomerik yeri bir hiperboldür. yr c her hiperbol böyle elde edilir. y Geomerik n mdn yol ç k yoruz: Bir düzlemde, verilen sbi iki noky oln uzkl klr n n frk sbi oln noklr kümesine hiperbol denir. h ç k olmk gerekirse, düzlemde iki de iflik ve noklr verilmifl olsun. = 2 eflili ini s lyn noklr kümesine hiperbol denir. ve noklr n hiperbolün odk noklr d verilir. Hiperbolleri geçen sy m zd çizmiflik. E er noklr x eksenine y göre simerik olck biçimde yerleflirirsek, hiperbol yukrdki gibidir. Görüldü ü gibi hiperbolün iki kolu vrd r. Yukrdki flekilde sol kolun noklr = 2 eflili ini s lrlr, s kolun noklr ise = 2 eflili ini. x Kn : Verilen çembere, noky dlr n verelim. nin merkezi ve yr çp 2 olsun., çemberin d fl nd herhngi bir nok olsun. merkezli ve den geçen bir çember ele ll m. fl - dki flekilden de görülece i üzere bu çember ye iki de iflik biçimde e e olbilir: nin noks - n den dh yk n olup olmms n göre çemberin içinde y d d fl nd kl r. Bu iki çemberin e e olbilmeleri için gerek ve yeer koflul, durum 2 28
y çemberine e e bir çember bulml y z. Böyle bir çember nin d ye göre simeri i oln noks ndn d geçer. emek ki ve noklr ndn geçen ve çemberine e e bir çember bulml y z. Bunu geçen sy m zd (syf 44) ypm fl k. simpolr Çizmek. Hiperbolün iki simpou oldu unu geçen sy m zd görmüflük. Bu simpolr çizebiliriz. Çizelim. Sv m z flu: Teorem. erkezi odk noklr ndn biri oln do rulmn çembere di er odk noks ndn çekilen e ee hiperbolün merkezinden geçen dik do ru hiperbolün simpolr ndn biridir. x 2 2 göre = 2, y d = 2 kofluludur. emek ki rd m z geomerik yer, ve odk nokl ve sl uzunlu u 2 oln hiperbolmüfl. E er bir hiperbol verilmiflse, bu hiperbolün odk merkezlerinden birinde (diyelim ) merkezlenmifl ve yr çp hiperbolün 2 sbii oln çemberle di er odk merkezinin () bu özelli i vrd r elbee: den geçen ve sözkonusu çembere e e her çemberin merkezi hiperbolün üsündedir. erkezi odklrdn biri, yr çp hiperbolün 2 sbii oln çembere do rulmn çemberi denir. dklr ve dk zunlu u Belli ln Bir Hiperbolle Bir o runun Kesiflimini Bulmk. dklr her zmn oldu u gibi ve diyelim. o ruy d diyelim. merkezli do rulmn çemberini çizelim. Hiperbolle d do rusunun kesiflim noklr, birz önce gördü ümüz gibi, den geçen ve çemberine e e çemberlerin merkezleridir. emek ki merkezi d do rusu üsünde oln, den geçen ve Kn : Hiperbolün odk noklr n ve diyelim. merkezli do rulmn çemberi olsun. Hiperbolün merkezine, yni ve noklr n n or noks n diyelim. den çemberine çizilen e e çemberini T noks nd kessin. dn T ye çizilen dik do ruy d d n verelim. nin hiperbolün bir simpou oldu unu göserece iz. 2 T K h H m 2 d n n T do rusunu kesi i noky h diyelim. Hem T hem de do rulr T yi dik kesiklerinden birbirlerine prleldirler. oly s yl, h noks T nin or noks d r. Hiperbolün üsünde herhngi bir noks ll m. merkezli ve yr çpl çembere diyelim. nin ye e e oldu unu biliyoruz. çemberinin T do rusunu kesi i di er noky K diyelim. nin T ve do rulr üsündeki izdüflümlerine s rs yl m ve H diyelim. mh nin uzunlu- 29
u KT nin uzunlu unun yr s kdrd r, çünkü, KT = T K = 2h 2m = 2hm. noks sonsuz do ru gii inde, ve T noklr yerlerinde kld klr ndn, K noks T ye (ve çemberi giderek büyüyerek ve T civr nd yss - lfl p T do rusun) yk nsr. oly s yl TK uzunlu u, doly s yl yr s oln hm uzunlu u d 0 yk nsrlr. emek ki do rusu hiperbolün simpouymufl. Geçen sy m zd elips için kn ld m z bir önermenin (syf 48, Teorem 2) benzerini hiperboller için kn lyc z. Teorem. Bir hiperbolde, bir od n e elere göre (simpolr dhil!) simerilerinin geomerik yeri, di er od i do rulmn çemberidir. yr - c e er hiperbol üsünde bir nokys ve do rusu merkezli do rulmn çemberini noks nd kesiyors, do rusu do ru prçs n n or dikmesidir. Kn : Hiperbolün odklr n ve, sbiine de 2 diyelim., merkezli 2 yr çpl do rulmn çemberi olsun. hiperbolün üsünde bir nok olsun. do rusu çemberini noks nd kessin., do ru prçs n n ordikmesi olsun. = = 2 = oldu undn, =. emek ki bir ikizkenr üçgen. oly s yl ve noklr do rusun göre simerikirler. fiimdi nin hiperbole e e oldu unu, yni hiperbolü sdece noks nd kesi ini kn lyl m. hiperbolü bir de yr c noks nd kessin. do rusu çemberini noks nd kessin. zmn ynen için oldu u gibi, = olur. oly s yl, = =. m do rusu çemberinin merkezinden geçi i için, uzunlu u noks n n çemberine oln mesfedir. Bu ve = eflili i = eflili ini verir. emek ki =. Teorem. Bir hiperbolde, odklr n e eler ve simpolr üzerindeki izdüflümlerinin geomerik yeri merkezi hiperbolün merkezi ve yr çp oln çemberdir. 2 Kn : Bir önceki eoremdeki flekilden devm edelim., ile nin kesiflimi olsun. = ve = efliliklerinden ve do rulr n n birbirlerine prlel olduklr ç kr. emek ki 2 üçgeni üçgeninin yr s. Yni = /2 = 2/2 =. emek ki hiperbolün noklr n n e elere izdüflümleri merkezi hiperbolün merkezi ve yr çp oln çemberdir. Kn n geri kln k sm okur b rk lm fl r. 30
Teorem. Bir hiperbolde odklr n e ee (y d simpolr) oln uzkl klr n n çrp m bir sbiir, c 2 2 ye efliir. (2c = odklr n uzkl ) Kn : Bir önceki eoremdeki flekilden devm edelim., odk noks n n üzerine izdüflümü olsun. ve noklr n n merkezli yr çpl çemberinin üsünde olduklr n biliyoruz. yu çemberini bir V noks nd kesecek kdr uzl m. V üçgeni köflesinde dik oldu unu önceki eoremlerden biliyoruz. emek ki V do rusu dn geçer. Bundn d üçgeninin V üçgenine efli oldu u ç kr. emek ki = V ve = B = (, ) (= nin çemberine göre gücünün mulk de eri, bkz. - 2005-II, syf 40). fiimdi (, ) sy s n hesplyl m: (, ) = = c 2 2. Sonucumuz kn lnm fl r. V Bir Hiperbole Verilen Bir Yönde Te e Çizmek. Verilen yön d do rusuyl belirlenmifl olsun. ikk: E er d nin e imi iki simpoun e imleri rs ndys çözüm yokur, böyle bir e e bulunmz. E er d nin e imi simpolr n e imine eflise, o zmn sonsuzd e e i simpo olrk lg lrsk simpo buluruz. i er durumlrd iki de iflik çözüm bulc z. odk noks ndn d ye bir dik ç kl m. Bu dik merkezli do rulmn çemberini bir noks nd kessin. nün or dikmesi rnn e eir. Bunun kn bu flmd kolyd r ve okur b rk lm fl r. kur l fl rm olrk, prlel iki e ein ve de me noklr n n hiperbolün merkezine göre simerik olduklr n kn lybilir. H z n lmyn okur verilen bir hiperbole verilen bir nokdn ns l e e çizilebilece i üzerine düflünebilir. fiimdi hiperbol için oncele Teoremleri ne geçelim. oncele Teoremleri. Bir hiperbolün d fl ndn l nn bir noks ndn hiperbole ve e- elerini çizelim. Te elerin de me noklr ve olsun. 1) ve ç lr y birbirine efliir y d birbirlerini büünler. 2) Bir odkn ve e e prçlr efli vey birbirini büünler ç lr l nd görülür. Kn : ki de iflik durum zuhur edebilir. noks simpolr rf ndn belirlenen 4 bölgeden hiperbolü içeren ikisinin içinde olup olmms n göre, e elerin de me noklr hiperbolün yn y d iki de iflik kolund olbilir. Bu durumlrdn biri yukrdki, di eri fl dki flekilde göserilmiflir. 31
L K merkezli do rulmn çemberine diyelim., yi K de kessin. de yi L de kessin. e einin K do ru prçs n n, e einin de L do ru prçs n n ordikmeleri olduklr n biliyoruz. oly s yl K = = L. fiimdi merkezli ve yr çpl çemberini çizelim. Bu çember yi K ve L noklr nd keser. do rusu ve çemberlerinin merkezlerinden geçen do ru oldu undn, bu çemberlerin KL ork kirifline dikir. yr c ve K do rulr d birbirlerine dikler. emek ki KL ve ç lr n n kenrlr dik ve doly s yl ölçüleri y yn d r y d birbirlerini 180 dereceye büünlerler. Öe yndn çemberi K ve L noklr ndn geçi inden, L ç s n n ölçüsü (ç lr sin ers yönünde gider) KL ç s n n ölçüsünün yr s d r. m do rusu L ç s n n ç ory d r. emek ki ç s yl KL ç s n n ölçüleri yn d r. Bundn, ve ç lr n n y yn y d birbirlerini 180 dereceye büünledikleri ç kr. Birinci k s m kn lnd. ikk edilirse, elips için geçen sy m zd verdi imiz kn l kelimesi kelimesine yn [- 2005-II, syf 51], yln zc flekiller de iflik! kinci k sm n kn d yn d r ve okur b rk lm fl r. Bu ür eoremleri kn lmd en zor k s m do ru düzgün bir flekil çizmekir. Bu yüzden flekil m çizilmemeli! Konik problemlerinde okurun konik yerine koni in sdece odk noklr n ve belki de bir noks n y d bir e eini y d 2 uzunlu unu çizmesini sl k veririz. Yoks e ei e- e ypmk, dikç lr dik uurmk nerkeyse imkâns z oluyor. fl dki eoremlerin de kn elipse oldu u gibidir. Teorem. Bir hiperbolün sbi iki e ei rf ndn de iflken bir e ei üzerinde yr ln do ru prçs her odkn sbi bir ç l nd görülür. Teorem. Kenrlr verilmifl bir hiperbole e e oln dik ç lr n köflelerinin geomerik yeri merkezi hiperbolün merkezinde ve yr çp (2 2 c 2 ) 1/2 oln çemberdir. (ikk: 2 2 c 2 < 0 ise, çember imgeseldir.) scl Teoremi B b c b c Teorem. Köfleleri herhngi bir koni in üsünde bulunn bir l genin krfl l kl kenrlr n n üç kesiflim noks do rusld r. 32