ÜN TE I. KON KLER N ANAL T K NCELENMES

Transkript

1 ÜN TE I. KON KLER N ANAL T K NCELENMES 1. G R fi. EL PS I. Tan mlar II. Elipsin eksenleri ve özel noktalar a. Asal eksen b. Yedek eksen c. Merkezil elips d. Elipsin köfleleri e. Elipsin odak noktalar f. Elipsin d fl merkezli i III. Elipsin çemberleri a. Asal çember b. Yedek çember c. Do rultman çemberi IV. Merkezil elipsin denklemi a. Odaklar ekseni üzerinde olan elipsler b. Odaklar ekseni üzerinde olan elipsler V. Elipsin parametrik denklemleri VI. Elips ile bir do runun birbirine göre durumlar VII. Elips üzerindeki bir noktadan çizilen te et ve normalin denklemleri a. Te etin denklemi b. Normalin denklemi VIII. ÖZET IX. ALIfiTIRMALAR 3. H PERBOL I. Tan mlar II. Hiperbolün eksenleri ve özel noktalar a. Asal eksen b. Yedek eksen c. Hiperbolün merkezi d. Hiperbolün köfleleri e. Hiperbolün odak noktalar f. Merkezil hiperbol g. Hiperbolün d fl merkezli i

2 III. Hiperbolün çemberleri a. Asal çember b. Yedek çember c. Do rultman çemberi IV. Merkezil hiperbolün denklemi a. Odaklar ekseni üzerinde olan hiperboller b. Odaklar ekseni üzerinde olan hiperboller V. Hiperbol ile bir do runun birbirine göre durumlar VI. Hiperbole üzerindeki bir noktadan çizilen te et ve normalin denklemleri a. Te etin denklemi b. Normalin denklemi VII. Hiperbolün köflegenleri VIII. Hiperbolün asimptotlar IX. kizkenar hiperbol X. ÖZET XI. ALIfiTIRMALAR 4. PARABOL I. Tan mlar II. Parabolün eksenleri ve özel noktalar a. Parabolün oda b. Parabolün do rultman c. Parabolün ekseni d. Parabolün tepesi e. Parabolün parametresi f. Parabolün d fl merkezli i III. Merkezil parabolün denklemi a. Simetri ekseni ekseni, tepe noktas orijin noktas olan merkezil parabolün d e n k l e m i b. Simetri ekseni ekseni, tepe noktas orijin noktas olan merkezil parabolün d e n k l e m i IV. Parabol ile bir do runun birbirine göre durumlar V. Parabol üzerindeki bir noktadan çizilen te etin ve normalin denklemi a. Te etin denklemi b. Normalin denklemi VI. ÖZET VII. ALIfiTIRMALAR 5. DE ERLEND RME TEST I

3 BU BÖLÜMÜN AMAÇLARI * Bu bölümde konikleri ve koniklerin ortak özeliklerini tan abilecek ve düzlemde analitik incelenmesini görece iz. 1. Elipsi analitik olarak incelemek ve ugulamalar apabilmek için; * Elipsi tan mlaabilmemiz için elipse ait asal ve edek eksenleri tan abilecek. Bu eksenlerin uzunlukluklar n hesaplaabilecek, * Elipse ait özel noktalar olan, elipsin köflelerinin ve odak noktalar n n koordinatlar n odaklar aras uzakl n ve elipsin d fl merkezli ini hesaplaabilecek, * Elipsin çemberleri olan, asal çember, edek çember ve do rultman çemberlerinin denklemlerini azabilecek, * Merkezil elipsin denklemini azabilecek ve bu elipsin bütün özeliklerini tan abilecek, * Denklemi verilen bir merkezil elipsin parametrik denklemini ve an flekilde parametrik denklemi verilen bir elipsin merkezil denklemini azabilecek, * Denklemi verilen elips ile bir do runun durumlar n inceleebilecek, * Denklemi verilen merkezil bir elipse, üzerindeki bir noktadan çizilen te et ve normalin denklemini azabileceksiniz,. Hiperbolü analitik olarak incelemek ve ugulamalar apabilmek için; * Bir hiperbolü tan mlaabilmemiz için, hiperbolün eksenleri olan asal eksen ve edek eksenlerini tan abilecek ve bu eksenlerinin uzunluklar n hesaplaabilecek, * Hiperbole ait özel noktalar olan, merkezini, köflelerinin ve odak noktalar n n koordinatlar n azabilecek, odak noktalar aras uzakl n ve hiperbolün d fl merkezli ini hesaplaabilecek, * Hiperbolün çemberleri olan, asal, edek ve do rultman çemberinin denklemlerini azabilecek, * Merkezil hiperbolün denklemini azabilecek ve bu hiperbolün odaklar hangi eksenler üzerinde oldu unu söleebilecek, * Denklemi verilen hiperbol ile bir do runun birbirine göre durumlar n inceleebilecek, * Hiperbole üzerindeki bir noktadan çizilen te et ve normalin denklemini azabilecek, * Denklemi verilen bir hiperbolün, köflegen ve asimptot do rular n n denklemlerini azabilecek, * Verilen bir ikizkenar hiperbolü tan abilecek ve bu hiperbolün özeliklerini ve bunlara ait ugulamalar apabileceksiniz. 3

4 3. Parabolü analitik olarak incelemek ve ugulamalar apabilmek için; * Verilen bir parabolün denklemini tan abilecek, bu parabolün eksenlerini ve do rultman do rusunu, simetri ekseninin denklemini azabilecek, do rultman do rusunun denklemi ve odak noktas n n koordinatlar verilen parabolün denklemini azabilecek, * Parabolün özel noktalar olan, parabolün odak noktas n n ve tepe noktas n n koordinatlar n azabilecek, parabolün parametresini ve d fl merkezli ini hesaplaabilecek, * Tepe noktas orjinde olan, merkezil parabolün her türlü denklemini azabilecek, * Parabol ile bir do runun birbirine göre durumlar n inceleebilecek, * Bir parabole üzerindeki bir noktadan çizilen te et ve normalin denklemini azabilecek ve bunlarla ilgili ugulamalar apabileceksiniz. 4

5 NASIL ÇALIfiMALIYIZ? * Koniklerin analitik incelenmesi, eni bir konu oldu undan, konunun bafl ndan itibaren anlafl lmaan k s mlar geçmeden, disiplinli bir flekilde çal flmal z. Çünkü konular koladan zora, basitten karmafl a do ru gitmektedir. * Her konunun sonunda verilen örnekleri mutlaka çözünüz Anlaamad n z k s mlar tekrar ediniz. * Bu bölümde hiç karfl laflmad n z epeni problemlerle karfl laflacaks n z. Bu zorluklar aflmak için koniklerin özeliklerinin ve formüllerin ezbere bilinmesi gerekir. * Konu sonunda verilen al flt rma ve de erlendirme testlerini cevapla n z. * Bu konular n er ald kanak kitaplardan ararlanarak çok sa da s o r u l a r ç ö z ü n ü z. 5

6 ÜN TE I KON KLER N ANAL T K NCELENMES 1. G R fi: Düzlemde sabit noktaa ve sabit bir do rua olan uzakl klar oran sabit olan noktalar n geometrik erine, konik denir. Düzlemde sabit noktaa odak, sabit do rua do rultman do rusu ve sabit orana d fl merkezlik denir. Bu bölümde elips, hiperbol ve parabolün analitik incelenmesini ar ar ö renece iz.. EL PS I. Tan mlar Düzlemde, sabit iki noktaa olan uzakl klar toplam sabit olan noktalar n geometrik erine elips denir. Sabit olan iki noktaa elipsin odaklar, odaklar birlefltiren do ru parças n n orta noktas na da elipsin merkezi denir. Defterinize F ve F gibi sabit iki noktaa toplu i ne bat ral m. Uzunlu u a birim olan bir ip alal m. pin iki ucunu, F ve F noktalar nda bulunan toplu i nee ba l al m. Kaleminizin sivri ucu ile ipi gergin tutarak defterinize çizdi iniz kapal e ri bir elipstir. (fiekil 1.1) Çizilen e ri üzerinde herhangi bir nokta P ise PF + PF = a birimdir. noktas n n e ri üzerindeki eri de ifltirildi inde, bu toplam uzunlu unun de eri de iflmez. F O F F, F noktalar na, elipsin odaklar, FF do ru parças n n uzunlu una da elipsin odaklar aras uzakl denir. P Elips, düzlemde kapal bir e ridir. fiekil 1.1 II. Elipsin eksenleri ve özel noktalar Analitik düzlemde, merkezi orijinde ve odaklar ekseni üzerinde olan bir elips çizelim. Bu elipsin odaklar F ve F olsun. A, A noktalar na elipsin asal köfleleri; B, B noktalar na da elipsin edek köfleleri denir. (fiekil 1.) 6

7 a. Asal Eksen: Elipsin merkezi O noktas olmak üzere, elipsin ekseni ile kesim noktalar A ve A olsun. A A do rusuna elipsin asal ekseni (büük eksen) denir. (fiekil 1.) OA = OA = a birimdir. Bu uzunlu a, elipsin ar büük eksen uzunlu u, AA = a birim uzunlu una da elipsin büük eksen uzunlu u denir. b. Yedek eksen: Elipsin ekseni ile kesim noktalar B ve B olsun. BB do rusuna, elipsin edek ekseni (küçük eksen) denir. OB = OB = b birimdir. Bu uzunlu a elipsin ar küçük eksen uzunlu u, BB = b birim uzunlu una da elipsin küçük eksen uzunlu u denir. Bir elipste, asal eksen ve edek eksen birersimetri eksenidir. Elipsin merkezi ise elipsin simetri merkezidir. c. Merkezil elips: Merkezi orijin olan ve köfleleri koordinat eksenlerinde bulunan elipse, merkezil elips denir. d. Elipsin köfleleri: Elipse ait olan ve eksenler üzerinde bulunan, A (a, 0), A (-a, 0), B (0, b) ve B (0, -b) noktalar na, elipsin köfleleri denir. e. Elipsin odak noktalar : Elipsin odak noktalar, asal eksen üzerinde bulunan F (c, 0) ve F (-c, 0) noktalar d r. OF = OF = c birimdir. FF = c birim uzunlu una elipsin odaklar aras uzakl denir. B(0, b) A (-a, 0) A (a, 0) F (-c, 0) O F(-c, 0) B (0, -b) fiekil 1. fiekil 5. deki BOF dik üçgeninde, Pisagor ba nt s ndan, BF = OB + OF a da a = b + c dir. BF F üçgeninin medana gelmesi için, BF + BF > F F dür. Bölece, a > c vea a > c olmal d r. f. Elipsin d fl merkezli i: Elipsin odaklar aras uzakl n n, büük eksen (asal eksen) uzunlu una oran na, elipsin d fl merkezli i denir. D fl merkezlik e ile gösterilir. D fl merkezlik = Odaklar aras uzunluk Büük eksen uzunlu u ; e = c a = c a dir. c < a oldu undan, c a < 1 ve 0 < e < 1 olur. 7

8 ÖRNEK 1 : Büük eksen uzunlu u 0 birim, küçük eksen uzunlu u 16 birim olan merkezil elipsin, köflelerinin ve odaklar n n koordinatlar n bulal m. ÇÖZÜM 1 : Büük eksen uzunlu u, a= 0 birim oldu undan, a = 10 birimdir. Küçük eksen uzunlu u, b = 16 birim oldu undan, b = 8 birimdir a = b +c oldu undan, 10 = 8 + c dir. c = = 36 ise c = 6 birimdir. Elipsin köflelerinin koordinatlar : Asal köfleleri : A (a, 0) = A(10, 0) ve A (-a, 0) = A (-10, 0) d r. Yedek köfleleri: B(0, b) = B(0, 8) ve B (0, -b) = B (0, -8) dir. Odak noktalar : F (c, 0) = F(6, 0) ve F (-c, 0) = F (-6, 0) olur. ÖRNEK : Odaklar aras uzunlu u 8 birim, edek eksen uzunul u olan merkezil elipsin d fl merkezli ini bulal m. 4 5 birim ÇÖZÜM : Verilen elipste; odaklar aras uzunluk, c = 8 birim ise c = 4 birimdir. Yedek eksen uzunlu u, b = 4 4 birim ise b = 5 birimdir a = b +c oldu undan, a = dir. Buradan, a = = 36 ise a = 6 birimdir. Elipsin d fl merkezli i ; e = c a = 4 6 = 3 olur. III. Elipsin çemberleri a. Asal çember: Merkezi, elipsin merkezi ve ar çap uzunlu u a birim olan çembere, elipsin asal çemberi denir. (fiekil 1.3) Yar çap uzunlu u r olan merkezil çemberin denklemi, + = r oldu undan, elipsin asal çemberin denklemi, + = a olur. (fiekil 1.3) B Asal Çember b. Yedek çember: Merkezi, elipsin merkezi ve ar çap uzunlu u b birim olan çembere, elipsin edek çemberi d e n i r. Yedek çemberin denklemi + = b olur. (fiekil 1.3) A O B A Yedek Çember 8 fiekil 1.3

9 c. Do rultman çemberi: Merkezi, elipsin odaklar ndan biri ar çap uzunlu u a birim olan çembere, elipsin do rultman çemberi denir. Bir elipste iki tane do rultman çember vard r. Bunlar; 1. Merkezi F (-c, 0) ve ar çap uzunlu u a birim olan do rultman çemberinin denklemi, ( + c) + = 4a dir.. Merkezi, F (c, 0) ve ar çap uzunlu u a birim olan do rultman çemberinin denklemi, ( - c) + = 4a dir. ÖRNEK 3: Verilen bir elipsin asal eksen uzunlu u 6 birim, edek eksen uzunlu u 4 birimdir. Bu elipsin asal çemberinin, edek çemberinin ve do rultman çemberlerinin denklemlerini azal m.. ÇÖZÜM 3: Verilen bir elipsin asal eksen uzunlu u, a = 6 birim ise a = 13 birimdir. Yedek eksen uzunlu u, b = 4 birim ise b = 1 birimdir. Odaklar aras uzunlu u c = a - b oldu undan, c = (13) - (1) = = 5 ise c = 5 birim olur. Elipsin asal çemberinin denklemi + = a oldu undan, + = 169 olur. Elipsin edek çemberinin denklemi; + = b oldu undan, + = 144 tür. Elipsin do rultman çemberlerinin denklemleri; + c + = 4a oldu undan, +5 + = 676 ve - c + = 4a oldu undan, = 676 olur. IV. Merkezil elipsin denklemi a. Odaklar ekseni üzerinde olan elipsler Odaklar ekseni üzerinde olan merkezil bir elips üzerinde de iflken nokta P(, ) olsun. (fiekil 1.4) göre, B(0, b) P(, ) PF = - c + ve PF = + c + dir. PF + PF = a oldu undan, A (-a, 0) A (a, 0) F (-c, 0) O F(-c, 0) B (0, -b) - c c + = a olur. fiekil 1.4 9

10 + c + = a - + c + = a - - c + + c + = a - - c + + c + c + = 4a - 4a - c + iki taraf n karesini alal m. - c c +c + sadelefltirirsek, a -c + = a - c olur. Tekrar her iki taraf n karesini alal m. a - c + = a - c a - c + c + = a 4 - a c + c Buradan ; a - a c + a c + a = a 4 - a c + c a - c + a = a 4 - a c ; a - c + a = a a - c a - c = b oldu undan, b + a = a b olur. Eflitli in her iki taraf n a b ile bölersek, a + Bu ba nt a, merkezcil elipsin denklemi denir. b = 1 elde edilir. ÖRNEK 4: Büük eksen uzunlu u 10 birim, küçük eksen uzunlu u 8 birim olan ve odak noktalar ekseni üzerinde bulunan, merkezil elipsin denklemini azal m. ÇÖZÜM 4: Büük eksen uzunlu u a = 10 birim ise a= 5 birimdir. Küçük eksen uzunlu u, b = 8 birim ise b = 4 birimdir. Elipsin denklemi a + b = 1 oldu undan, b = 1 vea = 400 olur. ÖRNEK 5: Denklemi = 1 olan elipsin; a. Eksenlerinin uzunluklar n, b. Köflelerinin koordinatlar n, c. Odaklar aras uzunlu unu, d. Odaklar n n koordinatlar n, e. D fl merkezli ini bulal m. 10

11 ÇÖZÜM 5: a. Büük eksen uzunlu u: Verilen elipsin, = 1 denkleminde a > b o oldu undan, odaklar ekseni üzerindedir. a = 169 oldu undan, a = 13 birim ve a = (13) = 6 birimdir. Küçük eksen uzunlu u: b = 144 oldu undan, b = 1 birim ve b = (1) = 4 birimdir. b. Asal köfleleri: A(a, 0) = (13, 0) ve A (-a, 0) = A (-13, 0) d r. Yedek köfleleri: B(0, b) = B(0, 1) ve B (0, -b) = B (0, -1) dir. c. Odaklar aras uzunlu u c = a -b oldu undan, c = = 5 ise c = 5 tir. c = (5) = 10 birimdir. d. Odaklar n n koordinatlar : F (c, 0) = F (5, 0) ve F (-c, 0) = F (-5, 0) d r. e. D fl merkezli i : e = a c = 5 olur. 13 b. Odaklar ekseni üzerinde olan elipsler Denklemi, a + = 1 a da b b + a = a b olan elipste a < b ise elipsin odak noktalar ekseni üzerindedir. (fiekil 1.5) Bu elipsin odak noktalar n n koordinatlar F (0, c) ve F (0, -c) dir. Büük eksen uzunlu u: BB = b birim, Küçük eksen uzunlu u: AA = a birimdir. FA O dik üçgeninde pisagor ba nt s ndan b = a + c olur. ÖRNEK 6: Denklemi = 1600 olan elipsin; a. Eksenlerinin uzunluklar n, b. Köflelerinin koordinatlar n, c. Odaklar aras uzunlu unu d. Odaklar n n koordinatlar n, e. D fl merkezli ini bulal m. f. Analitik düzlemde çizimini apal m. B(0, b) F(0, c) b c A (-a, 0) A (a, 0) a O F (0, -c) B (0, -b) fiekil

12 ÇÖZÜM 6: = 1600 olan elipsin denklemini 5 + = 1 fleklinde azabiliriz. 64 a < b oldu undan elipsin odaklar ekseni üzerindedir. a. Büük eksen uzunlu u: b = 64 oldu undan, b = 8 ve b =.8 = 16 birimdir. Küçük eksen uzunlu u: a = 5 oldu undan, a = 5 ve a =.5 = 10 birimdir. b. Asal köfleleri: B (0, b) = B (0, 8) ve B (0, -b) = B (0, - 8) dir. Yedek köfleleri: A (0, a) = A (0, 5) ve A (0, -a) = A (0, - 5) dir. c. Odaklar aras uzunlu u: c = b - a oldu undan, c = 64-5 = 39 ise c = 39 dur. c = 39 = 39 birimdir. d. Odaklar n n koordinatlar : F (0, c) = F 0, 39 ve F 0, -c = F 0, - 39 dur. e. D fl merkezli i: e = c b = 39 tir. 8 f. fiekil 1. 6 da, elipsin analitik düzlemde çizimi ap lm flt r. B(0, 8) F(0, 39) A (-5, 0) A (5, 0) O F(0,- 39) B (0, -8) fiekil 1.6 1

13 V. Elipsin parametrik denklemi Denklemi a + b = 1 olan elipsi, + = 1 fleklinde azabiliriz. b a b 0 θ < π aç lar için cos θ + sin θ = 1 dir. Buna göre, elips üzerinde al nan herhangi bir P, noktas için, = cos θ ve = sin θ olacak flekilde bir θ reel sa s vard r. a b Buradan, = a cos θ ve = b sin θ elde edilir. Buna, elipsin parametrik denklemi denir. P, = P a cos θ, b sin θ noktas elips üzerinde oldu undan, elips denklemini sa lar. ÖRNEK 7: 36 + = 1 olan elipsin parametrik denklemlerini azal m. 5 ÇÖZÜM 7: 36 + = 1 elips denkleminde; 5 a = 36 ise a = 6 ve b = 5 ise b = 5 tir. Elipsin parametrik denklemi: = a cos θ oldu undan = 6 cos θ = b sinθ oldu undan, = 5 sin θ olur. ÖRNEK 8: Parametrik denklemleri = 5cos θ ve = 3 sin θ merkezil denklemini azal m. ÇÖZÜM 8 olan elipsin = 5 cos θ ise = 3 sin θ ise 5 = cos θ ve cos θ = 5 tir. 3 = sin θ ve sin θ = 9 dur. cos θ + sin θ = 1 oldu undan, 5 + = 1 elde edilir. 9 O halde, elipsin merkezil denklemi, = 1 olur. VI. Elips ile bir do runun birbirine göre durumlar Denklemi a + b = 1 vea b +a = a b fleklinde verilen bir elips ile denklemi = m + n olan do runun birbirine göre durumlar n incelemek için, bu iki denklemin ortak çözümleri bulunur. Bunun için, b + a m + n = a b olur. Bu denklemi sadelefltirirsek, 13

14 b + a m + a mn + a n = a b b + a m + a mn + a n - a b = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemde Δ i bulal m. Δ = 4a 4 m n - 4 b + a m a n - a b Δ = 4a 4 m n - 4b a n + 4a b 4-4 a 4 m n + 4 a 4 m b Δ = 4 a b a m + b - n bulunur. Burada daima 4 a b > 0 oldu undan a. a m + b - n > 0 ise do ru elipsi farkl iki noktada keser. b. a m + b - n < 0 ise do ru ile elips birbirini kesmez. Ortak noktalar oktur. c. a m +b - n = 0 ise do ru elipse te ettir. Te etin de me noktas n n koordinatlar P 1, 1 ise, 1 = -a mn b +a m = -a mn n = - a m n dir. 1 = -a m +n n = b n dir. O halde, P - a m n, b n olur. Verilen = m + n do rusu, b + a = a b ÖRNEK 9: Denklemi = - + do rusu ile elipsinde a m + b = n ba nt s var ise do ru elipse te ettir. Bu te etin de me noktas n n koordinatlar, P - a m n, b n dir. 9 + = 1 denklemi ile verilen 4 elipsin birbirine göre durumlar n inceleelip, çözümü analitik düzlemde gösterelim. ÇÖZÜM 9: = 1 elipsin 14 denklemi = 36 fleklinde az labilir. = - + do rusunun denklemi ile ortak çözümü aparsak; = = = = 0 1 = 0 d r. B P 1 (0, ) A (-3, 0) A (3, 0) O P ( 9, 8 ) 5 5 B (0, -) fiekil 1.7

15 40-7 = 0 denkleminden, = 7 40 = 9 5 tir. 1 = - (0) + = dir. = = = tir. P 1 0, ve P 9 5, noktalar olmak üzere, do ru elipsi iki noktada kesior. Çizim (fiekil 1.7) de analitik düzlemde gösterilmifltir. ÖRNEK 10: Denklemi 9 +4 = 36 olan elips ile denklemi = 0 do rusunun birbirine göre durumlar n inceleelim. E er bu do ru elipse te et ise de me noktas n n koordinatlar n bulal m. ÇÖZÜM 10: Denklemleri verilen elips ile do runun birbirine göre durumlar n incelemek için, elips ile do ru denklemlerinin ortak çözümünü ap l r = = = 0 Δ = Δ = = 0 d r. Δ = 0 oldu undan do ru elipse te ettir. Te etin de me noktas n n koordinatlar n bulal m. Denklemi, = 36 olan elipsi = 1 ve denklemi, = 0 olan do ruu = - +5 fleklinde azabiliriz. Genel bir elipsin denklemi a + b =1 ve do runun genel denklemi = m + n fleklindedir. Elips için, a = 4 oldu undan a= dir. b = 9 oldu undan b = 3 tür. Do ru için, m = - ve n = 5 tir. Bu te etin de me noktalar p 1, 1 oldu undan, 1 = - a m = n 5 = 8 5 dir. 1 = b n = 9 5 tir. O halde, de me noktas n n koordinatlar, P 8 5, 9 5 olur. VII. Elips üzerindeki bir noktadan çizilen te et ve normalin denklemleri a. Te et denklemi Denklemi b + a = a b olan elipse, üzerindeki bir P( 1, 1 ) noktas ndan çizilen te etin denklemini azal m. 15

16 (fiekil 1.8) de, te etin denklemi = m + n olsun. Bir elips ile bir do runun birbirine göre durumlar n incelerken, do ru elipse te et ise denklemlerinin ortak çözümünden, Δ = a m +b - n = 0 bulmufltuk. Do ru elipse P ( 1, 1 ) noktas nda te et ise bu te etin de me noktas n n koordinatlar, P - a m n, b n dir. Denklemi = m + n olan do ru, elips üzerindeki P ( 1, 1 ) noktas nda te et oldu undan bu nokta do ru denklemini sa lar. 1 = m 1 + n 1 = b n ise, n = b 1 dir. n 1 1 = - a m n = - a m b 1 = - 1 a m 1 b 1 = - a m 1 b ise, m = - 1b a 1 dir. dir. A B O B P a m, b ( ) n n A Bu de erleri, =m + n te et denkleminde erine azarsak; fiekil 1.8 = - 1b a + b 1 olur. Pada eflitlemesini aparsak, a 1 = - 1 b + a b vea 1 Pada eflitlemesini apa 1 b + 1 a = a b olur. Bunu, = 1 fleklinde de azabiliriz. a b a + b = 1 denklemi ile verilen elipse, üzerindeki P 1, 1 çizilen te etin denklemi 1 a b. Normalin denklemi noktas ndan + 1 b = 1 vea 1b + 1 a = a b dir. Denklemi b + a = a b olan elipse, üzerindeki P( 1, 1 ) noktas ndan çizilen normalin denklemini azal m. (fiekil 1.9) daki gibi, elips üzerindeki P ( 1, 1 ) noktas ndaki te et ve normal birbirine dik oldu undan e imlerin çarp m -1 dir. 16

17 Te etin denklemi, = - 1 b + b a 1 1 oldu undan Te etin e imini, m T ile gösterirsek, m T = - 1 b a 1 dir. B (0, b) P( 1, 1 ) Normalin e imini, m N ile gösterirsek, A (a, 0) m N = - 1 m T = a 1 b 1 dir. F (-c, 0) O B (0, -b) F (c, 0) A (a, 0) Normalin denklemi, - 1 = a 1 b 1-1 olur. a + b = 1 denklemi ile verilen elipse üzerindeki P 1, 1 noktas ndan geçen normalin denklemi; - 1 = a 1 b 1-1 ÖRNEK = 64 denklemi ile verilen elips üzerindeki fiekil 1.9 noktas ndan > 0 çizilen te etin ve normalin denklemini azal m. P 3, dir. ÇÖZÜM 11 P 3, 1 noktas, elips üzerinde oldu undan elips denklemini sa lar = 64 ; = = ; 16 = 16 = 16 = 1 ise = 1 dir. > 0 oldu undan O halde, P 3, 1 olur. O halde, 16 P 3, 1 olur. Elipse çizilen te etin denklemi, 1 a + 1 b = 1 ifadesinden, b = 1 vea = 1 dir. Bunu sadelefltirirsek, = 16 vea = 0 olur. 17

18 P 3, 1 noktas ndaki normalin denklemi; - 1 = a 1 b 1-1 ifadesinden, 16 (1 ) - 1 = tür. Bunu sadelefltirirsek, = den = 3-3 vea = 0 olur. ÖRNEK 1 Verilen = m + 5 do rusu te et = 1 elipsine, alaca de erleri bulal m. oldu una göre m nin ÇÖZÜM 1 = m + n do rusu b + a m - n = 0 d r. a + b = 1 verilen de erler erine az l rsa, elipsine te et ise, m - 5 = 0 olur. Buradan, 16m = 16 ; m = 1 ise m = ± 1 dir. O halde, m 1 = 1 ve m = +1 de erleri problemin çözümüdür. 18

19 VIII ÖZET *Düzlemde sabit noktaa ve sabit bir do rua olan uzaklar oran sabit olan noktalar n geometrik erine, konik denir. Sabit noktaa odak, sabit do rua do rultman do rusu ve sabit orana d fl merekezlik denir. * Düzlemde sabit iki noktaa olan uzakl klar toplam sabit olan noktalar n geometrik erine elips denir. Sabit olan iki noktaa elipsin odaklar, odaklar birlefltiren do ru parças n n orta noktas na da elipsin merkezi denir. *(fiekil 1.10) da, A, A noktalar na elipsin asal köfleleri, B, B noktalar na da e l i p s i n edek köfleleri d e n i r. AA do rusuna e l i p s i n asal ekseni ve AA = a birim uzunlu una elipsin büük eksen uzunlu u d e n i r. BB do rusuna elipsin edek ekseni ve BB = b birim uzunlu una da elipsin küçük eksen u z u n l u u d e n i r. FF = c birim uzunlu una elipsin odaklar aras uzakl d e n i r. Bir elipste, a = b + c d i r. Elipsin odaklar aras uzakl n n, büük eksen uzunlu una oran na elipsin d fl m e r k e z l i i denir. e = a c ve 0 < e < 1 olur. fiekil 1.10 * Merkezi, elipsin merkezi ve ar çap uzunlu u a birim olan çembere, elipsin asal çemberi denir. Merkezi, elipsin merkezi ve ar çap uzunlu u b birim olan çembere elipsin edek çemberi denir. Merkezi, elipsin odaklar ndan biri ve ar çap uzunlu u a birim olan çembere elipsin do rultman çemberi denir. * Elipsin ar büük eksen uzunlu u a birim, elipsin ar küçük eksen uzunlu u b birim ve elips üzerinde de iflken nokta P(, ) ise elipsin merkezil denklemi b + a = a b vea a + b = 1 dir. * Denklemi olan elips üzerinde P(, ) noktas alal m. Elipsin a + b = 1 parametrik denklemi = a cos θ, = b sin θ θ R dir. P (, ) = P (a cos θ, b sin θ) fleklindeki noktalar elips üzerindedir. * Denklemi b + a = a b olan elips ile denklemi = m + n fleklinde olan do runun birbirine göre durumunu incelemek için, bu iki denklemin ortak çözümü ap l r. Buna göre; F (-c, 0) O F(-c, 0) B(0, b) a b A (-a, 0) A (a, 0) c B (0, -b) 19

20 a. a m +b - n > 0 ise do ru elipsi farkl iki noktada keser. b. a m +b - n = 0 ise do ru elipse te ettir. c. a m +b - n < 0 ise do ru elipsi kesmez. *Denklemi a + b = 1 olan bir elipse üzerindeki P 1, 1 noktas ndan geçen te etin denklemi, 1 a + 1 b = 1 normalin denklemi, - 1 = a 1 b 1-1 dir. 0

21 IX. ALIfiTIRMALAR 1. Büük eksen uzunlu u 10 birim ve odaklar aras uzakl 6 birim olan, elipsin denklemini az n z.. Afla da denklemleri verilen merkezil elipslerin eksen uzunluklar n ve odaklar aras uzakl klar n, köflelerinin ve odaklar n n koordinatlar n bulunuz. a. + 9 = 81 b = 100 c = 144 d = Denklemi, = 36 olan elipsin d fl merkezli ini bulunuz. 4. Denklemi, = 400 olan bir elipsin; a. Asal çemberinin denklemini, b. Yedek çemberinin denklemini, c. Do rultman çemberlerinin denklemlerini az n z. 5. Parametrik denklemi = 6 cos t ve = 4 sin t olan elipsin kartezen denklemini az n z. 6. Denklemi, + = 1 olan elipsin üzerindeki, P (, ) noktas ndan çizilen te etin ve normalin denklemini az n z. 7. Denklemi, + 4 = 4 olan elipsin, ekseni ile pozitif önde 45 lik aç apan te etlerinin denklemlerini az n z. 8. Asal çemberinin denklemi, + = 16 ve edek çemberin denklemi, + = 9 olan elipsin denklemini az n z. 9. Denklemi, = 34 olan elipsin = + 3 do rusuna paralel olan te etlerinin denklemlerini az n z. 10. Denklemi, = 6 olan elipste, = - 1 do rusunun a rd kiriflin uzunlu u kaç birimdir? 1

22 3. H PERBOL I. Tan mlar Düzlemde, sabit iki noktaa olan uzakl klar fark n n mutlak de eri, sabit olan noktalar n kümesine hiperbol denir. (fiekil 1.11) deki sabit olarak al nan F ve F noktalar hiperbolün odaklar d r. Sabit uzunlukta a birimdir. D ve E noktalar hiperbole ait birer nokta oldu undan D E DF - DF = a birimdir. EF - EF = a birimdir. F A O A F Hiperbol e risi elips e risi gibi kapal bir e ri de ildir. II. Hiperbolün eksenleri ve özel noktalar fiekil 1.11 Analitik düzlemde, merkezi orijinde ve odaklar ekseni üzerinde olan bir hiperbol çizelim. Bu hiperbolün odaklar F ve F olsun (fiekil 1.1) a. Asal eksen: ekseni üzerindeki FF do rusuna, hiperbolün odaklar ekseni vea asal eksen denir. b. Yedek eksen: O noktas ndan, asal eksene dik olmak üzere çizilen O do rusuna, hiperbolün edek ekseni denir. Yedek eksen hiperbolü kesmedi inden, bu eksene sanal eksen de denir. Bu eksen üzerinde hiperbole ait hiç bir nokta bulunmamaktad r (fiekil 1.1) deki flekli inceleiniz. F (-c, 0) c. Hiperbolün merkezi: FF do ru parças n n orta noktas na hiperbolün merkezi denir. d. Hiperbolün köfleleri: Asal eksen ile hiperbolün kesim noktalar olan A ve A noktalar na hiperbolün köfleleri denir. E E A B(0, b) B(0, b) O fiekil 1.1 A D D F(c, 0)

23 Hiperbolün köfle noktalar n n koordinatlar, A(a, 0) ve A (-a, 0) noktalar d r. (fiekil 1.1) de, AF - AF = AF - AF = AA = a d r. OA = OA ve AA = OA = a birim oldu undan, OA = OA = a birim olur. Yedek eksen üzerinde bulunan B ve B noktalar na hiperbolün edek eksen köfleleri denir. Yedek eksen uzunlu u BB = b birimdir. Hiperbolün edek eksen köflelerinin koordinatlar : B (0, b) ve B (0, -b) noktalar d r. e. Hiperbolün odak noktalar : Hiperbolün odak noktalar F ve F noktalar d r. FF uzunlu una, odaklar aras uzunlu u denir. Odaklar aras uzunlu u FF = c birim oldu undan, OF = OF = c birim olur. Odak noktalar n n koordinatlar, F (c, 0) ve F (-c, 0) d r. (fiekil 1.1) deki DOA dik üçgeninde, Pisagor ba nt s na göre; AD = OD - OA dir. AD = OB ve OD = OF oldu undan, OB = OF - OA ve b = c - a olur. f. Merkezil hiperbol: Odaklar ekseni üzerinde ve merkezi orijinde bulunan hiperbole, merkezil hiperbol denir. O ve O eksenleri hiperbolün simetri eksenleridir. O noktas (orijin) ise hiperbolün simetri merkezidir. g. Hiperbolün d fl merkezli i: Bir hiperbolde odaklar aras uzakl n, asal eksen uzunlu una oran na, hiperbolün d fl merkezli i denir. D fl merkezli i e ile gösterirsek; e = Odaklar aras uzakl k Büük eksen uzunlu u = c a = c a d r. c > a oldu undan e> 1 dir. ÖRNEK 13: Asal eksen uzunlu u 6 birim, odaklar aras uzakl 10 birim olan ve odaklar ekseni üzerinde bulunan merkezil bir hiperbol verilior. Buna göre; a. Hiperbolün köflelerinin koordinatlar n, b. Hiperbolün odaklar n n koordinatlar n, c. Hiperbolün edek eksen uzunlu unu ve edek eksenin köflelerinin koordinatlar n, d. Hiperbolün d fl merkezli ini bulal m. e. Verilen hiperbolü analitik düzlemde çizelim. 3

24 ÇÖZÜM 13: Verilen hiperbolde ; a. Asal eksen uzunlu u 6 birim oldu undan, a = 6 birim ve a = 3 birimdir. B (0, 4) Hiperbolün köflesinin koordinatlar : A(a, 0) = A(3, 0) ve F (-5, 0) A (-3, 0) O A (3, 0) F (5, 0) A (-a, 0) = A (-3, 0) olur. B (0, -4) b. Odaklar aras uzakl 10 birim oldu undan, c = 10 birim ve c = 5 birimdir. Hiperbolün odaklar n n koordinatlar ; F(c, 0) = F(5, 0) ve F (-c, 0) = F (-5, 0) olur. c. Hiperbolün edek eksen uzunlu unu bulmak için, fiekil 1.13 c = a + b oldu undan, b = c - a ve b = (5) - (3) ; b = 5-9 ; b = 16 ise, b = 4 birimdir. Hiperbolün edek eksen uzunlu u: b = (4) = 8 birim olur. Yedek eksenin köflelerinin koordinatlar : B (0, b) = B (0, 4) ve B (0, -b) = B (0, -4) olur. d. Hiperbolün d fl merkezli i; e = c a = 5 3 tür. e. Verilen hiperbol (fiekil 1.13) de çizilmifltir. ÖRNEK 14 D fl merkezli i 3, edek eksen uzunlu u 8 birim olan bir hiperbolün asal eksen uzunlu unun kaç birim oldu unun bulal m. ÇÖZÜM 14 Yedek eksen uzunlu u, b = 8 birim oldu undan, b = 4 birimdir. D fl merkezli i 3 oldu undan, e = c a = 3 ise c = 3a d r. 4 c = a + b oldu undan, 3a = a + 4 ; 9a = a + 3 olur. Buradan, 8a = 3 ve a = 4 ise a = birimdir. O halde, asal eksen uzunlu u, a =. = 4 birim olur.

25 II. Hiperbolün çemberleri a. Asal çember : Merkezi hiperbolün merkezi ve ar çap uzunlu u a birim olan çembere hiperbolün asal çemberi denir. Hiperbolün asal çemberinin denklemi, + = a dir. (fiekil 1.14) te çizilmifltir. b. Yedek çember: Merkezi, hiperbolün merkezi ve ar çap uzunlu u b birim olan çembere hiperbolün edek ç e m b e r i d e n i r. Yedek çemberin denklemi, + = b d i r. (fiekil 1.14) te çizilmifltir. F (-c, 0) Asal Çember A (-a, 0) c. Do rultman çemberi: Merkezi, hiperbolün odaklar ndan biri ve ar çap uzunlu u a birim olan çembere hiperbolün do rultman çemberi denir. Bir hiperbolde iki tane do rultman çemberi vard r. Bunlar ; B (0, b) O B (0, -b) fiekil 1.14 Yedek Çember A (a, 0) F(c, 0) 1. Merkezi, F -c, 0 ve ar çap uzunlu u a birim olan do rultman çemberin denklemi: +c + = 4a olur.. Merkezi, F c, 0 ve ar çap uzunlu u a birim olan do rultman çemberin denklemi: - c + = 4a olur. ÖRNEK 15: Merkezil bir hiperbolün asal eksen uzunlu u 4 birim ve edek eksen uzunlu u 10 birimdir. Buna göre; a. Asal çemberinin denklemini, b. Yedek çemberinin denklemini, c. Do rultman çemberlerinin denklemlerini azal m. ÇÖZÜM 15 a. Hiperbolün asal çemberinin denklemi, + = a d r. Asal eksen uzunlu u 4 birim oldu undan, a = 4 birim ise, a = 1 birimdir. Asal çemberin denklemi, + = 144 olur. b. Hiperbolün edek çemberin denklemi, + = b dir. Yedek eksen uzunlu u 10 birim oldu undan b = 10 birim ise, b = 5 birimdir. Yedek çemberin denklemi : + = 5 olur. c. Hiperbolün do rultman çemberlerin denklemlerini azabilmek için önce, hiperbolün odaklar aras uzunlu unu bulal m: c = a + b oldu undan, 5

26 c = = = 169 ise c = 13 birim olur. Hiperbolün do rultman çemberlerinin denklemleri: - c + = 4a ise = 576 ve + c + = 4a ise = 576 olur. IV. Merkezil hiperbolün denklemi a. Odaklar ekseni üzerinde olan hiperboller Odaklar ekseni üzerinde olan hiperbolün odak noktalar F(c, 0) ve F (-c, 0) ve asal eksen uzunlu u AA = a birimdir. Merkezil bir hiperbolün üzerinde, de iflen bir P, noktas alal m. (fiekil 1.15) te, PF = + c + PF = - c + PF - PF = a oldu undan de erleri erlerine azarsak, F (-c, 0) A (-a, 0) O B (0, b) A (a, 0) B (0, -b) P (, ) F (c, 0) + c c + = a olur. Eflitli in her iki taraf n karelerini alarak gerekli k saltmalar aparsak fiekil c c +. - c c + = 4a +c + c c +c + - c + c + + -c + c + = 4a + + c - 4a = 4 - c + + c 4 +c c - a = 4 - c + + c 4 +c + 4 Her iki taraf n bir daha karelerini alarak gerekli sadelefltirmeleri aparsak, c 4 +4a c - 4 a + c - 4 a -4c a = c + + c 4 +c + 4 sadelefltirme aparsak, 4a c - 4 a - 4 a - 4c a = 0 a 4 + c - a - a - c a = 0 olur. c nin erine, c = b +a eflitli i ugulan rsa a 4 + b +a - a - a - b +a a = 0 a 4 + b + a - a - a - b a - a 4 = 0 b - a = a b vea a - b = 1 olur. 6

27 Odaklar ekseni üzerinde, asal eksen uzunlu u a birim, edek eksen uzunlu u b birim olan, merkezil bir hiperbolün genel denklemi, b - a = a b vea a - b = 1 dir. ÖRNEK 16 Denklemi 5-9 = 5 olan hiperbolün; a. Eksenlerinin uzunluklar n, b. Köflelerinin koordinatlar n, c. Odaklar aras uzunlu unu, d. Odaklar n n koordinatlar n, e. D fl merkezli ini bulal m. ÇÖZÜM 16 : 5-9 = 5 vea 9-5 = 1 hiperbolünde a. a = 9 ise a = 3 birimdir. Asal eksen uzunlu u : a =. 3 = 6 birim olur. b = 5 ise b = 5 birimdir. Yedek eksen uzunlu u: b =. 5 = 10 birim olur. b. Asal eksen köfleleri: A (a, 0) = A (3, 0) ve A (- a, 0) = A (-3, 0) olur. Yedek eksen köfleleri: B (0, b) = B (0, 5) ve B (0, -b) = B (0-5) olur. c. Odaklar aras uzakl : c = a +b oldu undan, c = ; c = 9 + 5; c = 34 c = 34 birim olur. ise c = 34 birimdir. d. Odak noktalar ekseni üzerinde oldu undan, Odak noktalar n n koordinatlar F c, 0 = F 34, 0 ve F -c, 0 = F - 34, 0 olur. e. D fl merkezli i : e = c a = 34 3 olur. ÖRNEK 17 Merkezil bir hiperbolün odak noktalar n n koordinatlar F (5, 0) ve F (-5, 0) d r. Bu hiperbol P 8, 3 3 noktas ndan geçti ine göre, bu hiperbolün denklemini azal m. 7

28 ÇÖZÜM 17 PF = PF = = = 36 = 6 birimdir. PF = = PF = = 196 = 14 birimdir. PF - PF = 14-6 = 8 birimdir. Hiperbolün asal eksen uzunlu u: a = 8 birim olur. a = 8 birim ise a= 4 birimdir. Odak noktalar n n koordinatlar F(5, 0) ve F (-5, 0) oldu undan, c = 5 birimdir. Hiperbolün edek eksen uzunlu unun ar s n bulmak için, b = c - a oldu undan, b = 5-4 = 5-16 = 9 ise b = 3 birimdir. Buna göre hiperbolün denklemi, a - b = 1 oldu undan, 16-9 = 1 vea 9-16 = 144 olur. b. Odaklar ekseni üzerinde olan hiperboller Hiperbolün odaklar ekseni üzerinde ise asal eksen ekseni ile çak fl kt r. Hiperbolün kollar eksenini kesmez. Bu hiperbolün odak noktalar n n koordinatlar F(0, c) ve F (0, -c) dir. Asal eksen köfleleri: F (0, c) A (0, a) A(0, a) ve A (0, - a) d r. (fiekil 1.16) O Bu durumda a < b ise a < b < c ve c = a + b dir. A (0, -a) F (0, -c) Hiperbolün denklemi b - a = a b vea a - b = 1 olur fiekil

29 ÖRNEK 18: Denklemi 5-16 = 400 olan hiperbolün; a. Eksenlerinin uzunluklar n, b. Köflesinin koordinatlar n, c. Odaklar aras uzunlu unu, d. Odaklar n n koordinatlar n, e. D fl merkezli ini bulal m, f. Analitik düzlemde çizimini apal m. ÇÖZÜM 18 B (5, 0) O F (0, 41) A (0, 4) A (0, -4) B (5, 0) 5-16 = 400 hiperbolünü 16 - = 1 fleklinde azabiliriz. 5 Burada a = 4 birim ve b = 5 birimdir. F (0, - 41) fiekil 1.17 a. Asal eksen uzunlu u: a =.4 = 8 birimdir. Yedek eksen uzunlu u b =. 5 = 10 birimdir. b. Asal eksen köfleleri: A(0, a) = A(0, 4) ve A (0 - a) = A (0, -4) tür. Yedek eksen köfleleri : B(b, 0) = B(5, 0) ve B (-b, 0) = B (-5, 0) olur. c. Odaklar aras uzunlu u: c = a + b oldu undan, c = = = 41 ise, c = 41 birim ve c = 41 birim olur. d. Odaklar n n koordinatlar : F 0, c = F 0, 41 ve F 0, -c = F 0, - 41 olur. e. D fl merkezli i: e = a c = 41 tür. 4 f. (fiekil 1.17) de çizimi ap lm flt r. V. Hiperbol ile bir do runun birbirine göre durumlar Denklemi b - a = a b olan merkezil hiperbol ile denklemi = m + n olan do runun birbirine göre durumlar n incelemek için, bu denklemlerin ortak çözümü ap l r. Bunun için do ru denklemini hiperbol denkleminde ugularsak; b - a m + n = a b b - a m + mn + n - a b = 0 b - a m - a mn - a n - a b = 0 denklemi elde edilir. 9

30 Bu denklemin diskriminant ; Δ = 4m n a 4-4 b - a m -a n - a b Δ = 4a b n +b - a m bulunur. Burada daima 4a b > 0 oldu undan, a. n + b - a m > 0 ise do ru hiperbolü farkl iki noktada keser. b. n + b - a m < 0 ise do ru ile hiperbol birbirini kesmez. Yani ortak noktalar oktur. c. n + b - a m = 0 ise do ru hiperbole te ettir. Te etin de me noktas n n koordinatlar P( 1, 1 ) ise, 1 = a mn b - a m = a mn -n = - a m dir. n 1 = -a m + n n = - b n d r. O halde, P - a m n, - b n olur. ÖRNEK 19: Denklemin + - = 0 olan do ru ile 3-4 = 48 denklemi ile verilen hiperbolün birbirine göre durumlar n inceleelim. Analitik düzlemde çizimini apal m. ÇÖZÜM 19: Denklemi + - = 0 do rusu ile 3-4 = 48 denklemi ile verilen hiperbolün ortak çözümünü apal m, Do runun denklemi = - oldu undan, = - oldu unda = = = = 0 denklemi bulunur. Bu denklemin diskrimant Δ = Δ = = 0 olur. Δ = 0 oldu undan do ru hiperbole te ettir. Te etin de me noktas n n koordinatlar P 1, 1 ise, 1 = - a m n = - = 16 = 8 dir. 1 = - 1 den, 1 = - 8, 1 = - 6 d r. O halde, P 8, - 6 olur. Verilen do ru ve hiperbol (fiekil 1. 18) de çizilmifltir. F A B O B A fiekil 1.18 F P(8, -6) 30

31 ÖRNEK 0 Denklemi - 3 = 71 olan merkezil hiperbol ile = - 4 do rusun u n kesim noktalar n bulal m. ÇÖZÜM 0 Denklemleri verilen hiperbol ile do runun kesim noktalar n bulmak için bu denklem sisteminin ortak çözümü ap l r. Buna göre, = = = = 0 denklemi bulunur. Bu denklemin diskriminant, Δ = Δ = = 100 = 10 Δ > 0 oldu undan, do ru hiperbolü farkl iki noktada keser. Kesim noktalar n n koorinatlar n bulmak için, 1, = -b ± Δ 4 ± 10 = ifadesinden, 1 = 4-10 = 14 a = 7 dir. = = 34 = 17 dir. Bu de erleri = - 4 denkleminde ugularsak, 1 = 7-4 = 3 tür. = 17-4 = 13 tür. O halde, kesim noktalar P 7, 3 ve K 17, 13 olur. VI. Hiperbole üzerindeki bir noktadan çizilen te et ve normalin denklemleri a. Te etin denklemi Denklemi b - a = a b olan hiperebole, üzerindeki P( 1, 1 ) noktas ndan çizilen te etin denklemini azal m. Hiperbole çizilen te etin denklemi = m + n olsun. (fiekil 1.19). Bu do ru hiperbol üzerindeki P( 1, 1 ) noktas ndan geçece i için 1 = m 1 + n olur. Buradan, n = 1 - m 1 dir. Bu denklemle, merkezil hiperbole te et olma flart olan b +n - a m = 0 ifadesinin ortak çözümünü aparsak, b m 1 - a m = 0 b m 1 + m 1 - a m = a m m + b + 1 = 0 olur. a 1 ise bu denklem m e göre ikinci dereceden bir denklemdir. P noktas nda, e rinin farkl iki te eti olmaaca na göre, bu denklemin kökleri eflit olmal d r. Buna göre, Δ = 0 olmal d r. Denklemi buna göre çözersek, m = 1 1 = a 1 - a dir. Bu de er te etin e imidir. 31

32 n = 1 - m 1 = a 1 = a = - a a 1 - a dir. P( 1, 1 ) noktas, hiperbolün üzerinde oldu undan, b 1 - a 1 = a b ; b 1 - a = a a = a 1 b Bu de er m ve n ifadesinde ugulan rsa, B. P( 1, 1 ) m = a = 1 1 a 1 b = b 1 a 1 dir. F A O A F O halde te etin denklemi, = m + n oldu undan, = b 1 a 1 - b 1 olur. B fiekil 1.19 Burada gerekli sadelefltirmeleri aparsak, 1 a - 1 b = 1 vea b 1 - a 1 = a b olur. a - = 1 denklemi ile verilen hiperbole üzerindeki b P 1, 1 noktas ndan çizilen te etin denklemi; 1-1 = 1 vea b a b 1 - a 1 = a b dir. b. Normalin denklemi Denklemi b - a = a b olan hiperbole üzerindeki P( 1, 1 ) noktas ndan çizilen normalin denklemini azal m. (fiekil 1.19) daki hiperbolün normali, de me noktas nda te ete dik oldu undan m T. m N = - 1 dir. m T = b 1 a 1 oldu undan, m N = - a 1 b 1 dir. 3-1 = m N - 1 ifadesinden, - 1 = - a 1 b 1-1 olur.

33 denklemi ile verilen hiperbole üzerindeki P( 1, 1 ) noktas ndan a - b = 1 geçen normalin denklemi ; - 1 = - a 1 b - 1 dir. 1 ÖRNEK 1: Denklemi - 3 = 6 olan merkezil hiperbole, üzerindeki P (3, ) noktas ndan çizilen te etin ve normalin denklemini azal m. ÇÖZÜM 1: Denklemi - 3 = 6 olan merkezil hiperbolü, 3 - = 1 fleklinde azabiliriz. Burada; a = 3 ve b = dir. P(3, ) noktas ndan çizilen te etin denklemi, 1 a - 1 b = 1 oldu undan, = 1 dir. Bu da, - = 1 vea = - 1 olur. Normalin denklemi: - 1 = - a 1 - b 1 oldu undan, 1 - = ; - = ; = olur..3 ÖRNEK : Denklemi - 5 = 30 olan hiperbolüne üzerindeki P(5, ) noktas ndan te et ve normali çizilior. ( > 0) a. P noktas n n koordinatlar n, b. P noktas ndan çizilen te etin denklemini, c. P noktas ndan çizilen normalin denklemini azal m. ÇÖZÜM : a. Verilen P(5, ) noktas, - 5 = 30 hiperbolü üzerinde oldu u için, bu denklemi sa lar..5-5 = 30 ; 50-5 = 30 ; 5 = 0 = 4 ise = ± dir. > 0 oldu undan = + al n r. O halde P 5, olur. b. - 5 = 30 olan merkezil hiperbolü 15 - = 1 fleklinde azabiliriz. 6 Burada; a = 15 ve b = 6 d r. P 5, noktas ndan bu hiperbole çizilen te etin denklemi, 1 a - 1 = 1 oldu undan, 5 b 15-6 = 1 dir. Bu da, 3 - = 1 ; - - 3= 0 vea = - 3 olur. 3 33

34 c. Hiperbol üzerindeki P 5, noktas ndan, 15-6 = 1 hiperbolüne çizilen normalin denklemi, - 1 = - a 1 b 1-1 ÖRNEK 3: 9 - = 36 hiperbolünün, = do rusuna paralel olan te etlerinin denklemlerini azal m. ÇÖZÜM 3: oldu undan, - = ; - = ; = olur. 1 fleklinde azabiliriz. Denklemi 9 - = 36 olan merkezil hiperbolü 4-36 = 1 Burada; a = 4 ve b = 36 d r.. = do rusuna paralel olan, hiperbolün te etinin denklemi = m +n olsun. Burada, hiperbolün te eti, verilen do rua paralel olaca için m = 5 olmal d r. = 5 + n do rusunun hiperbole te et olma flart olan b - n - a m = 0 ba nt s ndan, 36 + n - 4 (5) = 0 n - 64 = 0 ; n = 64 ; n = ± 8 dir. O halde, te etlerinin denklemleri: = ve = 5-8 olur. 34 VII. Hiperebolün köflegenleri Hiperbolün merkezinden geçen do rulara hiperbolün köflegenleri denir. Denklemi b - a = a b o l a n merkezil hiperbolün köflegen denklemi = m fleklindedir. (fiekil 1. 0). Verilen köflegen ile hiperbolün kesim noktalar n n koordinatlar, = m ile b - a = a b denklemlerinin ortak çözümü ile bulunur. b - a m = a b b - a m = a b b - a m = a b = a b b - a m den 1, = ± ab b - a m 1, = m ± F (-c, 0) P A (-a, 0) O B (0, b) A (a, 0) B (0, -b) fiekil 1.0 P F (c, 0) b - a m ab = ± abm b - a m b - a m

35 = m köflegeni ile b - a = a b hiperbolünün kesim noktalar n n koordinatlar P ab b - a m, abm ile P - ab, b - a m b - a m - abm b - a m olur. a. b - a m > 0 ise köflegen hiperbolü keser. b. b - a m < 0 ise köflegen hiperbolü kesmez. c. b - a m = 0 ise köflegen hiperbolü sonsuzda keser. Bu durumda köflegen hiperbolün bir asimptotudur. ÖRNEK 4: 9-4 = 16 denklemi ile verilen merkezil, hiperbol ile = köflegen do rusunun durumunu inceleelim. ÇÖZÜM 4: 9-4 = 16 denklemi ile verilen merkezil, hiperbol ile = köflegen do rusunun durumunu incelemek için bu denklemlerinin ortak çözümü ap l r. 9-4 = 45 ; 5 = 45 ; = 9 ise = ± 3 tür. = denkleminden, = ± 3 olur. O halde, kesim noktalar P 3, 3 ve P -3-3 olur. VIII. Hiperbolün Asimptotlar Bir hiperbol e risine sonsuzda te et olan (de me noktas sonsuzda olan) köflegenlere, hiperbolün asimptotlar denir. b - a m = 0 d r. = m do rusu (köflegeni) b - a = a b Buradan, m = b a ve m = ± b a olur. = m köflegen denkleminde m erine m = ± b a hiperbolüne asimptot ise az l rsa, hiperbolün asimptotlar n n denklemleri: = b a ve = - b a olur. Denklemleri a - b = 1 vea b - a = a b fleklinde verilen, merkezil hiperbolün asimptotlar n n denklemleri; = b a ve = - b a olan köflegen do rular d r. 35

36 ÖRNEK 5: Denklemi, 5-9 = 5 olan merkezil hiperbolün asimptotlar n n denklemlerini bulal m. ÇÖZÜM 5: Denklemi, 5-9 = 5 olan merkezil hiperbolü fleklinde az l r. Burada a = 9 ise a = 3 birimdir ve b = 5 ise b = 5 Verilen hiperbolün asimptotlar n n denklemleri: 9-5 =1 birimdir. = b a oldu undan, = 5 3 ve = - b a oldu undan, = olur. ÖRNEK 6: Denklemi, - 3 = 3 merkezil hiperbolünün asimptotlar n O ekseni ile pozitif önde kaç derecelik aç apt n bulal m. ÇÖZÜM 6: Denklemi, - 3 = 3 olan merkezil hiperbolü fleklinde azabiliriz. 3-1 = 1 Burada, a = 3 ise a = 3 birimdir. b = 1 ise b = 1 birimdir. Asimptotlar n n denklemleri: = b a ise = 1 3 ve = - b a ise = -1 3 olur. Pozitif öndeki aç için asimptotun e imi, m = 1 3 tür. tan θ = m = 1 3 ise θ = 30 dir. Hiperbolün asimptotlar ndan biri, O ekseni ile pozitif önde 30 aç apmaktad r. Negatif öndeki aç için asimptotun e imi, m = tür. tan θ = m = ise θ = 10 dir. O halde, ikinci asimptot O ekseni ile pozitif önde 10 aç apmaktad r. 36

37 VIII. kizkenar hiperbol Asal eksen uzunlu u, edek eksen uzunlu una eflit olan hiperbole, ikizkenar hiperbol denir. kizkenar hiperebolün özelikleri: a. a = b oldu undan ikizkenar hiperbolün denklemi - = a dir. b. kizkenar hiperbolün asimptot denklemleri, = ve = - tir. Bu asimptotlar birbirine diktir. c. kizkenar hiperbolde, c = a oldu undan, c = a dir. d. kizkenar hiperbolde, d fl merkezlik ; e = dir. e. kizkenar hiperbol üzerindeki P( 1, 1 ) noktas ndan çizilen te etin denklemi; 1-1 = a dir. ÖRNEK 7: Denklemi - = 9 olan ikizkenar hiperbolün, a. Asal eksen ve edek eksen uzunlu unu, b. Asal eksen ve edek eksen köflelerinin koordinatlar n, c. Odaklar aras uzunlu unu, d. Odak noktalar n n koordinatlar n, e. D fl merkezli ini, f. Asimptotlar n denklemlerini azal m. ÇÖZÜM 7: Denklemi - = 9 olan ikizkenar hiperbolü fleklinde azabiliriz. Burada a = b = 9 ise a = b = 3 birimdir. a. Asal eksen ve edek eksen uzunlu u : a = b =. 3 = 6 birimdir. b. Asal eksen köfleleri : A (a, 0) = A (3, 0) ve A (-a, 0) = A (-3, 0) olur. Yedek eksen köfleleri : B (0, b) = B (0, 3) ve B (0, -b) = B (0, -3) olur. c. Odaklar aras uzunlu u: c= 3 = 6 birim olur. c = a ise c = 3 birim oldu undan, d. Odak noktalar n n koordinatlar : F c, 0 = F 3, 0 ve F -c, 0 = F -3, 0 olur. e. D fl merkezli i: e = a c = 3 = olur. 3 f. Asimptotlar n denklemleri: = ± b a oldu undan, = ve = - olur. 9-9 = 1 37

38 ÖZET * Düzlemde sabit iki noktaa uzakl klar fark n n mutlak de eri, sabit olan noktalar n kümesine hiperbol denir. Verilen (fiekil 1.1) e göre; * O ekseni üzerindeki FF do rusuna, h i p e r b o l ü n o d a k ekseni vea asal eksen denir. * O noktas ndan asal eksene dik olmak üzere çizilen O eksenine, hiper bolün edek ekseni ( s a n a l eksen) denir. F K E A B O A D P F *FF do ru parças n n orta noktas na, hiperbolün merkezi d e n i r. E B D *FF do rusu ile hiperbolün kesim noktalar olan A ve A n o k t a l a r n a hiperbolün köfleleri denir. fiekil 1.1 * Yedek eksen üzerinde bulunan B ve B noktalar na, hiperbolün edek eksen köfleleri denir. *F ve F noktalar na hiperbolün odak noktalar, FF = c birim uzunlu una da odaklar aras uzakl denir. * Odaklar ekseni üzerinde ve merkezi orijinde bulunan hiperbole merkezil hiperbol denir. * Bir hiperbolde odaklar aras uzakl n, asal eksen uzunlu una oran na hiperbolün d fl merkezli i denir. e = a c ve e> 1 olur. * Merkezi, hiperbolün merkezi ve ar çap uzunlu u a birim olan çembere hiperbolün asal çemberi denir. Merkezi, hiperbolün merkezi ve ar çap uzunlu u b birim olan çembere, hiperbolün edek çemberi denir. Merkezi hiperbolün odaklar ndan biri ve ar çap uzunlu u a birim olan çembere hiperbolün do rultman çemberleri denir. * Odaklar ekseni üzerindeki hiperbolün odaklar aras uzunlu u, FF = c birim ve asal eksen uzunlu u, AA = a birim, edek eksen uzunlu u, BB = b b i r i m d i r. Merkezil bir hiperbolün üzerinde de iflen bir nokta P(, ) olsun. Bu hiperbolün genel denklemi, b - a = a b vea a - b = 1 dir. 38

39 *Odaklar ekseni üzerinde olan hiperbolün genel denklemi, b - a = a b vea a - b = 1 dir. *Denklemi, b - a = a b olan merkezil hiperbol ile denklemi = m + n olan do runun birbine göre durumunu incelemek için, bu denklemlerin ortak çözümü ap l r. Buna göre; a. n +b - a m > 0 ise do ru hiperbolü farkl iki nokta keser. b. n +b - a m = 0 ise do ru hiperbole te ettir. c. n +b - a m < 0 ise do ru ile hiperbol birbirini kesmez. * Denklemi, b - a = a b olan hiperbole üzerindeki P( 1, 1 ) noktas ndan çizilen te etin denklemi, Bu te et denklemini Denklemi, b - a = a b olan hiperbole üzerindeki P( 1, 1 ) noktas ndan çizilen normalin denklemi, - 1 = -a 1 - b 1 dir. 1 * Hiperbolün merkezinden geçen do rulara hiperbolün köflegenleri denir. Merkezil hiperbolün köflegen denklemi = m fleklindedir. * Bir hiperbol e risine sonsuzda te et olan köflegenlere, hiperbolün asimptotlar denir. Hiperbolün asimptotlar n n denklemi, = b 1 a 1 - b 1 dir. 1 a - 1 b = 1 vea b 1 - a 1 = a b fleklinde de azabiliriz. = ± b a tir. * Asal eksen uzunlu u, edek eksen uzunlu una eflit olan hiperbole, i k i z k e n a r hiperbol denir. kizkenar hiperbolün denklemi, - =a dir 39

40 40 IX. ALIfiTIRMALAR 1. Odak noktalar O ekseni üzerinde ve simetri merkezi O noktas olan hiperbolün, asal eksen uzunlu u a birim, edek eksen uzunlu u b birim, odaklar aras uzunlu u c birimdir. Afla da verilenleri kullanarak hiperbolün denklemlerini az n z. a. a= 5 birim ve b = 3 birimdir. b. a = 1 birim ve c = 13 birimdir. c. b = 6 birim ve c = 10 birimdir. d. a = 4 birim ve c = 5 birimdir.. Köflelerinin koordinatlar A(0, 4) ve A (0, -4) ile odaklar n n koordinatlar F (0, 5) ve F (0, -5) olan hiperbolün denklemini az n z. 3. Denklemi, 16-4 = 64 olan merkezil hiperbolün; a. Eksen uzunluklar n, b. Köflelerinin koordinatlar n, c. Odaklar n n koordinatlar n, d. Odaklar aras uzunlu unu, e. D fl merkezli ini, f. Asimptot denklemlerini az n z. 4. Odaklar O ekseninde bulunan bir hiperbolün, asal çemberinin denklemi + = 16, edek çemberinin denklemi + = 9 dur. Bu hiperbolün do rultman çemberlerinin denklemlerini az n z. 5. Denklemi - 4 = 0 olan hiperbol ile = - 10 do rusunun kesim noktalar n n kordinatlar n bulunuz. 6. Verilen P 1 (3, 0) ve P (-3, 0) noktalar na olan uzakl klar fark 4 olan noktalar n geometrik erini bulunuz. 7. Denklemi - 4 = 16 olan hiperbolün te etlerinden biri O ekseni ile 30 lik bir aç apmaktad r. Bu te etini ve de me noktas ndan geçen normalin denklemini az n z. 8. Verilen P 1, 3 noktas ndan geçen ve asimptotlar ndan biri = olan merkezil hiperbolün denklemini az n z. 9. Odaklar F(4, 0) ve F (-4, 0) ve d fl merkezli i olan hiperbolün, P (, ) noktas ndaki te et ve normalin denklemini az n z ( > 0 d r) 10. Denklemi 4 - = 8 olan hiperbol ile denklemi, - = olan do runun kesim noktalar aras ndaki uzakl k kaç birimdir?

41 4. PARABOL I. Tan mlar Düzlemde sabit bir F noktas na ve bu noktadan geçmeen sabit bir d do rusuna, uzakl klar birbirine eflit olan noktalar n geometrik erine parabol denir. fiekil 1. de, O, P ve P noktalar parabole ait birer nokta oldu undan OF = OE, P F = P K ve FP = PK olur. d K K E O P P F fiekil 1. II. Parabolün eksenleri ve özel noktalar a. Parabolün oda : Parabolde, sabit F noktas na parabolün oda denir. b. Parabolün do rultman : Paraboldeki sabit d do rusuna, parabolün do rultman do rusu denir. c. Par abolün ekseni: Parabolün odak noktas ndan geçen ve do rultman do rusuna dik olan do rua, parabolün ekseni denir. d. Parabolün tepesi: Parabol ile eksenin kesiflti i noktaa, parabolün tepesi (köflesi) denir. e. Parabolün parametre s i : Odak noktas n n do rultman do rusuna olan uzakl na, parabolün parametresi denir. Bu uzakl k p ile gösterilir (fiekil 1.) de EF d ve EF = p dir. O noktas EF do ru parças n n orta noktas oldu undan, p OE = OF = olur. Parabolün d fl merkezli i: Parabol üzerindeki her noktan n, F odak noktas na (sabit noktaa) ve do rultman d do rusuna (sabit do rua) olan uzakl klar oran na, parabolin d fl merkezli i d e n i r. D fl merkezlik e ile göserilir. Parabol üzerinde herhangi bir nokta P olsun (flekil 5.1). Bu noktan n, F odak noktas na uzakl PF, do rultman d do rusuna olan uzakl PK ise e = PK dir. FK = PF oldu undan, PF e = 1 olur. 41

42 III. Merkezil parabolün denklemi d a. Simetri ekseni ekseni, tepe noktas or ijin noktas olan merkezil parabolün denklemi Merkezil bir parabolün, F oda ile d do rultman do rusu verilsin. Bu parabolün simetri eksenini ekseni olarak alal m. Bu eksene, O tepe noktas ndan ç k lan dik do ru da ekseni olsun (fiekil 1.3). Parabolün parametresinin tan m ndan p FE = p ise OF = OE = olur. H E O p = - fiekil 1.3 P(, ) F ( p, 0) Bu duruma göre, F odak noktas n n koordinatlar do rusunun denklemi = - p olur. Parabol üzerinde de iflken bir nokta P(, ) olsun F p, 0 ve d do rultman PF = - p = - p + PH = + p + - = + p = + p dir. PF = PH oldu undan, - p + = + p olur. Her iki taraf n karesini alarak gerekli sadelefltirmeleri aparsak, - p + = +p + p 4 vea 4 - p + p 4 + = + p + p 4 4 = p olur. (fiekil 5.3) I. Simetri ekseni ekseni olan ve tepesi orijinde bulunan, F p odakl, 0 parabolün denklemi = p olur. (fiekil 1.3) de çizilmifltir. 4