tüdergs/d mühedslk Clt:, Sayı:--4-5, 87-99 Ekm 4 ekl değerler ayrıştırılması (DA) yötem le duyarlılık aalz aka ERSOY *, Ata MUĞAN İÜ Maka Fakültes, Maka Mühedslğ Bölümü, 447, Gümüşsuyu, İstaul Özet Bu çalışmada, leer cer araçlarıda ola ekl Değerlere Ayrıştırma DA (Sgular Value Decomposto, SVD) metodu, yapısal sstemler tasarım duyarlılığı aalzlere uygulaarak DA'ya dayalı duyarlılık aalz yötem gelştrlmştr. Br yapısal sstem tekl değerler şeklledrlmes, ayı zamada sstem cevaıı elrlemes alamıa gelmektedr. Burada hareketle, gelştrle DA'ya dayalı duyarlılık aalz yötem le mevcut klask tasarım duyarlılığı metodlarıı statk, damk aalzler, çoklu yükleme hal ve yapısal gürüzlük g alalarda karşılaştırmaları yapılmış ve yötem performası sayısal örekler üzerde deemştr. Yötem ell alalarda klask metodlara göre daha fazla lg açığa çıkarmasıı yaı sıra, hesaplamalı alada şlemc süres ve hafıza kullaımıda üyük avatajlara sahp olduğu görülmektedr. Aahtar Kelmeler: asarım duyarlılık aalz, tekl değerler, tekl değerlere ayrıştırma, e kötü yükleme hal, yapısal gürüzlük. Desg sestvty aalyses of structures ased o sgular value decomposto Astract I ths study, the sgular value decomposto (SVD) s employed for desg sestvty aalyses of structures. As the squares of sgular values are the ouds of power, eergy ad power spectral desty ratos etwee the put ad output vectors, shapg the sgular values of a structure. s equvalet to shapg the respose of the structure. Comparso s made of the proposed sestvty aalyss ased upo the SVD wth statc ad dyamc resposes, ad egevalue desg sestvty aalyses. he ssues such as structural roustess, worst loadg case ad multple load cases are studed. As show, desg sestvty aalyses ased upo the SVD ca gve good sght to statc ad dyamc respose characterstcs of structures. Several umercal examples are also preseted to llustrate the proposed approach. As a result, the SVD ased aalyss s compared wth the classcal techques yeld more formato ad computatoally advatageous partcularly case of multple load cases, fdg worst case loadg ad sestvty ouds of a structure. Aother advatage of ths method s that t s well suted for fte elemet method equatos whch s the most popular method amog computatoal methods especally modelg cotuous structures. hat s why the proposed method ca e appled to sestvty ad optmzato algorthms of well-kow commercal aalyss softwares such as Asys, Nastra etc. Keywords: Desg sestvty aalyss, sgular values, sgular value decomposto, wost case loadg, structural roustess. * Yazışmaları yapılacağı yazar: aka ERSOY. ersoyhaka@tu.edu.tr; el: 9 /488. Bu makale, rc yazar tarafıda İÜ Maka Fakültes'de tamamlamış ola "Yapısal sstemler tasarım duyarlılığı aalzler ekl Değerlere Ayrıştırma (DA) metodua dayalı olarak yapılması" adlı doktora tezde hazırlamıştır. Makale met 4.8. tarhde dergye ulaşmış, 4.. tarhde asım kararı alımıştır. Makale le lgl tartışmalar..5 tarhe kadar dergye göderlmeldr.
. Ersoy, A. Muğa Grş Br yapısal sstem tasarlamasıdak temel oktalarda rs de tasarım parametrelerdek değşme karşı sstem verdğ cevaptır. asarım duyarlılığı aalz, sstem parametreler le sstem elrl alalardak performasları aracılığıyla taımlaa sstem cevaı arasıdak lşkler açığa çıkarır. Yapısal sstem tasarım değşkeler olarak kest atalet momet, plaka kalılığı, çuuk elemaları kest alaı, elastste modülü g değerler, sstem cevaı olarak da şekl değşm, gerlme üyüklüğü, doğal frekas, urkulma yükü g kavramları örek olarak gösterelrz. Duyarlılık aalzlerde, tasarım parametrelerdek değşme karşı sstem cevaıı uluması, azı performas değerler elrl parametre değşmlere karşı gösterdğ değşm elrlemes le olmaktadır. Bu şlemler cersel deklemler çözümü, özdeğer prolemler, matrs cer, veya dferasyel deklem çözümleryle gerçekleşmektedr. Yapısal duyarlılık aalzlerde kullaılmakta ola çeştl klask yötemler mevcut olmakla rlkte yapısal sstemler tasarım duyarlılık aalzler yapılmasıda şmdye kadar sstem tekl değer ve tekl vektörler davraışlarıa akılmamıştır. aluk tekl değerlere ayrıştırma, DA (Sgular Value Decomposto, SVD) şlem çok çeştl alalarda kullaılıyor olmasıı yaı sıra, sstemler grş-çıkış lşkler celemesde de oldukça aşarılıdır. Özellkle r yapısal sstem tekl değerler özel r alama sahptr. Çükü tekl değerler kareler le grş-çıkış vektörler güç, eerj ve güç spektrumu arasıda orasal r ağ vardır. Burada hareketle, ssteme at tekl değerler çmledrlmes le sstem cevaı şeklledrlelmektedr. Ayrıca, tekl vektörler, grş le çıkış değerler arasıda asıl r lşk olduğuu ze söyleyelmektedr. Bu çalışmada, çok değşkel kotrol sstemler grş-çıkış özellkler celemesde kullaılmakta ola DA metodu, hesaplamalı mekak ve sstem teors dspller karşılıklı etkleşm le yapısal sstemler tasarım duyarlılığı aalze uygulamıştır. Çalışmada, solu elemalar deklem sstemler kullaılarak yapısal sstemler statk ve damk duyarlılık aalzler DA ya dayalı olarak çıkarılmıştır. Gelştrle DA temele dayalı duyarlılık aalz le dğer mevcut ola klask duyarlılık tekkler karşılaştırması yapılmıştır. Ayrıca metodu performası, farklı duyarlılık aalz tpler çerecek şeklde sayısal örekler üzerde gösterlmştr. asarım duyarlılığı aalz Br yapısal sstem tasarım aşamasıda ke grş ve çıkış parameterler arasıdak lşk aşta lelmes halde, ürüü ha performasıı yükseltlmes, tasarım süres kısaltılması ve prototp adet düşük tutulması koularıda öeml lerlemeler sağlaaleceğ açıktır. Duyarlılık kavramı, sstem cevaıdak değşm mktarıı, u değşme seep ola tasarım parametrelerdek değşme oraı olarak tarf edlmektedr. Buu, e geel alamda: Sstem cevaı Duyarlılık= Grş parametres şeklde fade edelrz. Bu taımlama, ayı zamada duyarlılık fadeler türevsel deklemlerle gelşeceğ de göstergesdr. Dğer tarafta, tasarım duyarlılığı ve optmzasyou rrlerde ayrı koular olmakla rlkte, yakı lşk çersdedrler. Optmzasyo şlem elrlee kısıtlar dahlde e y tasarımı elde etmeye çalışırke, ked algortmalarıı çersde duyarlılık katsayıları ve souçlarıı da kullaalmektedr. Duyarlılık metodları statk, damk veya özdeğer duyarlılığı g aalz türüe göre azı farklılıklar göstermekle rlkte, matematksel olarak matrs ve vektör türevler olarak gelşmektedr. Prolem tpe ağlı olarak elde edle dfferasyel fades çözümüde doğruda türevleme veya tşk (adjot) değşke metodları kullaılmaktadır. Parça oyutlarıı tasarım değşkeler olarak alıması durumuda geelleştrlmş gloal katılık matrs ve şekl değştrme vektörü tasarım değşkeler foksyou olmaktadır: K g = K g ( ()
DA yötem le duyarlılık aalz z g = z g ( () Burada =[,,... k ] şeklde tasarım değşkeler r vektörü elemalarıı oluşturacak tarzda yazılmıştır. Yapısal sstemler optmum tasarımlarıı yapılmasıda zlee yol, elrl sıır koşulları altıdak sstem tasarım değşkelere ağlı olarak taımlaa malyet veya temel foksyouu mmze yada maksmze edlmesdr. Burada hareketle yapısal sstemlerde: ψ = ψ(, z g () () şeklde taımlaa geel r performas ölçüm foksyouu ele alırsak, tasarım duyarlılığı u foksyou grş paramerelerdek değşme karşı verdğ cevap olacaktır. Bu durum, e geel halde dψ/d türev uluması olarak taımlaalr (aug 986). ekl değerlere ayrıştırma (DA) şlem DA'ı cersel açıklaması Reel veya kompleks e geel haldek her matrs: A mx =U mxm Σ mx V * x (4) [Matrs]=[Ortogoal/utary].[Dagoal].[Ortog oal/utary] şeklde üç ayrı matrs çarpımı olacak tarzda ayrıştırılalr. Eğer A matrs reel se * (traspoz), eğer A matrs kompleks se * (eşlek traspoz) olacaktır. Ayrıca A matrs reel olması durumuda ortogoallık, kompleks olması durumuda utary matrs söz kousudur. (4) fadesde U u koloları sol tekl vektörler, V koloları sağ tekl vektörler, Σ ı dagoal elemaları se tekl değerler çerr. U= [u u... u m ] ve V= [v v... v ] olur. Eğer m = se: Σ=Dag{σ,σ,..,σ m } (5) m > se: m< durumuda se: [ Σ ] Σ= Ο d mx ( m) (7) şekldedr. Burada Σ d =Dag{σ,σ,..,σ p }, p = m(m,),o xj R xj olarak verlmektedr. A A ı özdeğerler ç λ = σ, λ = σ,...,.λ = σ olarak yazılalr. Aralarıdak lşk poztf elrllkte dolayı σ σ... σ r > ve σ r+ = σ r+ =... = σ = şekldedr. Burada r =Rak(A A), ulua özdeğerler A A ı özdeğerlerdr ve ulara karşılık gele özvektörler v, v,..., v olarak ulualr. Bu tekl vektöler, V matrs kololarıı sağ tekl vektörler olarak oluştururlar. V =(v,...,v r ), V =(v r+,...,v ), olarak yazalrz. Buradak v de v r e kadar ola vektörler sıfırda farklı λ,... λ r özdeğerlere karşılık gelmektedr. Dğer grupta kala v r+,...,v sıfır özdeğerlere karşılık gele vektörlerdr. Sıfırda farklı {u } sol tekl vektörler: u = Av, =,...r (8) σ fades le elde edlr ve u ler =,...,r ortoormal set formudadır. U = (u,...,u r ), yukarıda açıkladığı şeklde uluurke, U=(U, U ) ortogoal olması seeyle U = (u r+,...,u m ), ölümü ortogoallık kuralıı sağlayacak tarzda elrler. Dğer tarafta u ve v ler sırasıyla AA ve A A ı ortoormal özvektörler olduğuda hareket edersek: UU =I ve AA U=UΣ (9) VV =I ve A AV=VΣ () fadeler yazılalmektedr. I rm matrs göstermektedr. Solu elemalar faderdek katılık matrs kare olduğuu düşüürsek, ulara lave olarak A matrs kare olması durumuda A=UΣV se: Σ d Σ= Ο ( m ) x (6) A - =VΣ - U ()
. Ersoy, A. Muğa olur. er e kadar A matrs tekl değerler tek olarak elrlerke, özvektörler tek değldr. Eğer A=UΣV se A = U ΣV yazılalr. Burada θ herhag r değer alırke jθ jθ U = U e, V = U e değerlere sahptr. DA'ı solu elemalar deklemlere uygulaması Bu ölümde DA ı zamaa ağlı ve zamada ağımsız prolemlerde solu elemalar deklemlere asıl uygulaacağı üzerde durulacaktır. Solu elemalar fadelerde kullaıla: K d=f () doğrusal deklem sstem ele alırsak, urada, e geel halde, K C x olarak sstem katılık matrs, d C şekl değştrme vektörü ve f C sstem grş temsl ede yük vektörü, olacak tarzda d = K - f şeklde fade edlelr. K - DA sı ç K - =U Σ V, yazılalr. Burada U C x,, Σ R x ve V C x dr. Sstem farklı grş doğrultularıda farklı kazaçlarıı olduğuu gösterlmes amacıyla K - DA sı dyadk formda fade edlelr: K = σu v () = fzksel sstemlerde tekl değerler ayrı olduğuda yola çıkılarak, kuvvet vektörü f k.ıcı sağ tekl vektöre eşt olması halde f = v k ç: d = σ u v v k (4) = fades elde ederz. v ler ortoormal olması seeyle v v k = δ k yazılalr. Burada δ k kroecker delta foksyoudur. Böylece: d=σ k u k (5) d =σ k (6) fadelere ulaşılır. Bu fadelerde alaşılacağı üzere, f v k le ayı doğrultuda olması halde (5) deklemde çıkış durumuda ola d vektörü u k doğrultusuda olacaktır. (6) fades se sstem kazacıı σ k olacağıı göstermektedr. Böylece her r sağ tekl vektörle temsl edle grşler e şeklde r çıkışa seep olacağı sol tekl vektörler aracılığıyla ortaya komaktadır. Karşılık gele tekl değerler se grş çıkış arasıdak kazaç faktörüü elrtmektedr (Freudeerg, 988). DA ı yapısal damğe at uygulaması ç: M d & + Cd & + Kd = f (7) matrs deklem alırsak. Burada M R x kütle matrs, C R x vskoz söüm matrs, K R x katılık matrs, f R dış kuvvet vektörü, d, d & ve d && R sırasıyla şekl değştrme, hız ve vme vektörlerdr. (7) fades Laplace döüşümüde: D(s) = G(s)F(s) (8) elde ederz. İfadede s kompleks Laplace döüşüm değşkedr. D(s) ve F(s) vektörler sırasıyla d(t) ve f(t) Laplace döüşümler, G(s) trasfer foksyo matrsdr ve: G(s) = (Ms + Cs + K) - (9) şeklde taımlaır. ω frekasıdak f = fs( ω t) suzodal grşe at sstem cevaı ola D(jω) sürekl rejm çıkışı: ~ D(jω ) = G(jω) f () fades le verlr. Burada ~ f grş vektörüü şddet, j kompleks değşkedr. () deklemde D (jω) şddet çıkış vektörü d.c elemaıı şddete karşılık gelmektedr. Bu esada D (jω) faz açısı, d çıkış vektörüü.c elemaı le f grş vektörüü arasıdak faz açısı kadardır. Statk durumdake ezer şeklde, eğer ~ f grş vektörü v k doğrultusuda se, D(jω) cevaı σ k kazacı le u k doğrultusuda olacaktır. G(jω) tekl değerler ve tekl vektörler tahrk frekası ω ı foksyoudur. DA ve duyarlılık aalz Yapısal sstem deklemler fade (8) dek g Laplace değşkeler çerdğ ve ω ~
DA yötem le duyarlılık aalz frekasıa sahp tahrk uyguladığıı varsayarsak, (kısa gösterm amacıyla s=jω yazılmayacaktır) G DA sı G=UΣV şeklde yazılalr. Br ssteme herhag r grş, {v } vektörüü temel alarak: F= = a v () formuyla temsl edelrz. Buradak a katsayısı, v ler ortoormal olması özellğ kullaılarak: a =< v, F > () şeklde hesaplaalmektedr. <.. > ç çarpımı, üst çzg se eşleğ göstermektedr. D çıkışı: D = σ = u v F aσ u () = = fades le hesaplaır. Ayrıca.c çıkış le j.c grş arasıdak trasfer foksyo matrs elemaları: G j D = F j = m= σ m u _ v m, m, j (4) le ulualr. Burada D, D matrs.c elemaı, u m,, u m.c elemaı, σ m se G m.c tekl değerdr. Dkkat edlecek r okta G j, σ le doğru oratılı olduğudur. Ayrıca fadelere akıldığıda grş çıkış duyarlılığıı doğal olarak tahrk frekası ω ı r foksyou olduğu görülür. Eerj yayıımı ve tekl değerler Mac Farlae, (979) ve Postlethwate, (98) de tekl değerler frekas alaıdak davraışları ell kazaç lmtler dahlde gösterlmştr. İfadelerde ω frekasıa sahp peryodk r f grş syal r peryodluk ala ç sürekl rejm çıkışlarıı, d ss ortalama değerler toplamı: ω π / ω SMSVO(jω) = d ( t) d π ss = f S(jω) f olarak verlmektedr. Burada: ss ( t) d t (5) = + S (jω) G (jω) G(jω) G (jω) G(jω) (6) Dğer tarafta grşe at ortalama değerler toplamı r peryod ç: ω π / ω SMSVI = f ( ) f ( )d f f t t t = (7) π ve SMSVO(jω) σ (jω) σ (jω) (8) SMSVI şekldedr. Peryodk olmaya r grş ç (8) deklem: d(jω) σ (jω) σ (jω) f (jω) olmaktadır. Burada: d(jω) f (jω) = d = f = (jω) (jω) (9) () şekldek deklem ω frekasıdak eerj çıkışları toplamıı ω frekasıdak eerj grşler toplamıa oraı olarak açıklaalr. İfadedek şapkalı değşkeler Fourer döüşümü yapılmış değşkeler taımlamaktadır. fˆ jωt (jω) = f ( t) e d t Stochastc r grş syal ç (8) fades, σ ( P (j ω) ) () z d (j ω) σ (j ) () z ω ( P f (j ω) ) olur. P d (jω) ve P f (jω) grş ve çıkış vektörler kovaras matrsler Fourer döüşümlerdr. İspatlar Mac Farlae (979) ve Postlethwate (98) de verlmştr. (8) ve (9) fadelere akıldığıda σ (jω) ve σ (jω) peryodk grş syaller ç ortalama güç oralarıı, peryodk olmaya syaller ç se eerj oralarıı sıırıı oluşturduğu görülmektedr. Grş v doğrultu-
. Ersoy, A. Muğa suda olması durumuda üst sıır şartı, v doğrultusuda olması halde se alt sıır şartı gerçekleşmektedr. Böylece yapısal r sstem tekl değerler şeklledrlerek, dğer r değşle, tekl değerler sayısal üyüklüklere müdahale edlerek yapısal sstem cevaı elrlemş olmaktadır. ekl değerler ve vektörler tasarım duyarlılığı Yapısal r sstem, G=U Σ V şeklde trasfer foksyou matrs DA sıı ele alırsak (s=jω yı kısa gösterm amacıyla yazmadığımızı düşüerek) y tasarım değşke olarak kaul edelm. Buradak öeml r okta σ ( fadeler geellkle türevleele fadeler çermemektedr. Bu edele σ, u, ve v foksyolarıı tasarım değşkee göre sayısal alamda souç ürete Gateaux türevler kullaılacaktır. Dyadk göstermle yazdığımız G = uσ v trasfer = foksyo matrs Gateaux türev alırsak: δg( ; = ( δ( u ( ; ) σ v = () + u δ( σ ) v + u σ δ( v )) fades elde etmş oluruz. Dğer tarafta δσ fades türev (Freudeerg 98): δσ ( ; ) [ u δ [ G ( ; )] v ] = R (4) şekldedr. Buradak R[. ] paratez çersdek fade reel kısmı temsl etmektedr. δ u ( ; ) fades ç u deklem her k tarafıı Gateaux türevler alırsak: δ( GG ) u = σ u δσ + GG + σ δu δu ulumaktadır. Bu fade düzelemesyle: ( GG σ I) δu δ[ GG ] u ) = σ u δσ (5) (6) elde edlmektedr. Bezer şeklde u fade de Gateaux türevler alıarak düzelemes le: ( G G σ I) δv ( ; (7) = σ v δσ ( ; δ [ G G( ; ] v deklem ulumaktadır (Freudeerg 988). Böylelkle r kez δg(;, δ[g G(; ] ve δ[gg (; ] hesapladıkta sora (4), (6) ve (7) deklemler kullaılarak sırasıyla δσ (;, δu (; ve δv (; değerler ulualmektedr. ekl değerler ve tekl vektörlere at sayısal Gateaux türevler u şeklde uluması, solu farklar deklemler kullaılarak ulumasıa göre sayısal olarak daha kararlı ve hesaplamalı alada CPU süres ve hafıza kullaımı akımıda daha avatajlıdır. Bu tarzda yapıla hesaplama şlemlerde her r tasarım parametresdek değşme karşılık G DA sıı tekrar hesaplaması zorululuğu ortada kalkmaktadır. Ayrıca () dek özellk sayesde, G ye at u ve v ler ulmak ç (9) dak matrs ters alma şleme de gerek kalmamaktadır. Dğer tarafta yapısal sstem cevaıı sıırları le lglelmes durumuda sadece e üyük ve e küçük tekl değerler le olara karşılık gele tekl vektörler hesaplamak yeterldr (Golu, 98). Dğer tekl değer ve vektörler hesaplamasıa gerek yoktur. Bu durum, hesaplama süres ve hafıza kullaımı açısıda üyük avataj sağlamaktadır. Yapısal sstemlere at duyarlılık aalzler ve sayısal örekler Bu ölümde, çalışmada gelştrle yötem, çeştl duyarlılık aalz tpler çerecek şeklde sayısal örekler üzerde zah edlmş karşılaştırmalar yapılmış ve yötem avatajları ortaya komuştur. esaplamalar ve dğer şlemlerde Matla, Mathematca ve Mathcad g yazılımlarda faydalaılmıştır. Öreklerde aıla şlemc hesaplama süreler (CPU tme) Itel 66MMX şlemcsde gerçekleşe değerlerdr.
DA yötem le duyarlılık aalz İlk olarak Şekl de gösterle üç çuuk kafes sstem ele alalım. Bu kafes sstem, statk cevap ve özdeğer tasarım duyarlılığı aug (986) da verlmştr. Burada, çalışmada oluşturula DA ya dayalı tasarım duyarlılığı le adı geçe klask duyarlılık metodlarıı karşılaştırması yapılacaktır. z = [z z z 5 ] (4) f = [f f ] (4) şekldedr. Burada E Elastklk modülü, l rc çuuğu oyu ρ çuuk malzemes yoğuluğu,.c çuuğa at kest alaı ve f dış kuvvetlerdr. Statk cevap tasarım duyarlılığı aalz Şekl dek üç çuuk kafes sstem statk cevap tasarım duyarlılığı aalz performas ölçüm foksyou olarak ψ( k,z( k ))=z, ya rc düğüm oktasıı yatay yer değşm alarak yapalım. Öce klask yötemle aşlarsak, aug (986) dak fadeler etcesde, z yerdeğştrme vektörü: Şekl. Üç çuuk kafes sstem. z = ( l E + 4 f f ( ) f + ) f f (44) θ = 45 o ve α = o ç yapısal ssteme at solu elemalar deklemler şu şeklde oluşmaktadır: M & z&+ Kz = f (8) Düğüm oktalarıı kematk ağ, drgemş kütle matrs, drgemş katılık matrs le şekl değştrme ve kuvvet vektörü fadeler: Z={ z g R 6 : z = z 4 =, z 5 cosα + z 6 sα = } (9) M ( + ρl ) = E K ( ) = l ( ) + + ( ) 4( + ( ) ( ) + (4 (4) ) (4) f = f = ve l = alıması durumuda: z 4 = + E E E (45) olur. Performas foksyou ψ = z ç tşk fades: K(λ= ψ / z = [ ] (46) çözüm sorasıda, drgemş katılık matrs, z ve λ ı kullaımıyla: d ψ = d ~ ( λ 4 K( ~ z) = E E (47) çmde elde edlr. Aalzde tasarım parametreler olarak çuukları kest alaları ler alalım. Blmeyeler dış kuvvetler f ve f olsu. Dış kuvvetlerle rlkte performas ölçüm foksyou ψ tasarım parametreler ola lere göre ola türev fades:
. Ersoy, A. Muğa d ψ = d l E f f ( 4) f f (48) olarak ulumaktadır. Geelleştrlmş gloal formülasyo durumuda z g vektörü: z 4 g = + E E E E (49) olur. dz g /d (=,, ) değerler hesaplarsak: d z g d d z d g d z d g = [ ] 4 = E = E E E (5) uluur. Bu fadelerde her r tasarım parametres yer değştrme vektörü üzerdek etks görülmektedr. ekl değerler taım fadeler gereğce kuvvet vektörü ç f = a = v, çıkışı temsl ede yerdeğştrme vektörü ç z = a σ u = fadeler yazılalr. Burada alaşıldığıa göre, eğer z tekl değerler mmze edersek, dğer r değşle tüm tekl değerler üst sıırı ya e üyüğü ola σ mmze edersek çıkış vektörü elemaları ve doğal olarak performas ölçüm foksyou, ψ = z de mmze olacaktır. DA ya dayalı tasarım duyarlılığı aalz avatajlarıda rs de çoklu yükleme durumuda ortaya çıkar. Buradak a katsayılarıı tasarım parametrelerde ağımsız olduğuda yola çıkarsak: k= [ σ ( ; ) ( ; )] δz ( ; ) = akδ k uk (5) yazılalr. [ σ ; ) ( ; )] δ k ( u k fades rkez hesapladıkta sora statk (DA sat) ve damk harmok (DA tahrk frekası ω ı foksyou) duyarlılık aalzler, a katsayısıı (5) fadesde yere koması le çoklu yükleme multple load case durumu ç doğruda hesaplaalr. Ayrıca ψ( k z( k )) performas ölçüm foksyou fades Gateaux türevler: ψ ψ δψ( ; ) = + δz( ; ) (5) z şeklde elde edlr. Buradak δz( ; ) fades (5) de verlmştr. = =, =, E = ve l = değerler ç, rm yükleme durumu f =f = olması halde z ve σ Gateaux türevler alo dedr. Burada tasarım parametrelerdek değşm %5 lk olarak =.5. şeklde göz öüe alımıştır. alo celedğde =,, ç dψ/d =dz /d = ve δz ( ; )= ke δσ ( ; ) dır. E üyük tekl değer σ mmze edlmes demek aslıda tüm yapısal stem statk cevap üyüklüğüü mmze edlmes demektr. Bu ayı zamada sstem katılığıı artırılması alamıa gelmektedr. alo. f = f = ve =.5 ç rc çıkış, δz ( ; ) ve tekl değerler δσ k ( ; ) at Gateaux türevler. δσ ( ; ) -8.6x - -4.96x - -.86x - δσ ( ; ) -.744x - -.55x - δσ ( ; ) -.877x - -.79x - -.8x - δz ( ; ) -.679x - -5.x - alo de herhag r yükleme koşuluda yapısal sstem şekl değştrmes üzerde e etkl tasarım parametres olduğu δσ ( ; ) talodak e düşük değer olması seeyle alaşılmaktadır. Br aşka deyşle çuuk kestler göz öüe alıdığıda rc çuuğu kest arttırılması yapıı rjtlğ arttırılması üzerde e etkl olaıdır. Bu souca ulaşılmasıda hesaplama süres.7 saye şlemc zamaıdır. Eğer klask usuldek drek yaklaşımla hesaplama yapılsaydı her r tasarım parametres ç mümkü ola tüm
DA yötem le duyarlılık aalz yükleme durumları ç hesaplama yapmak gerekmektedr. Bu hesaplama sırasıda kuvvet arttırımıı. olması ve de e kadar değşmes halde 4.5 saye şlemc süres geçecektr. (Buu 4. sayes maksmum yerdeğştrmey vere kuvvet uluması,.5 s.de duyarlılıkları hesaplamasıda geçe süredr). Prolem oyutuu artması ve yük aded çoğalması halde DA ya dayalı aalz şlemc zamaı le klask tekkler şlemc zamaı arasıdak süre farkı doğrusal olarak artmaktadır. Özdeğer tasarım duyarlılığı aalz Bu kısımda, tekl değerler duyarlılık aalz amacıyla kullaımı damk harmok aalz üzerde gösterlecektr. Buu ç tekl değerler tasarım duyarlılığı aalz, klask yötem ola özdeğer tasarım duyarlılığı aalz le karşılaştırılarak Şekl dek üç çuuklu kafes sstem üzere uygulamıştır. E=, ρ =, = = ve = değerler ç düğüm oktalarıı kematk yer değştrmeler, Z={y g R 6 : y = y 4 =, y 5 cosα + y 6 sα = } (5) θ = 45 o α = o değerler ç K g ( poztf elrldr. İdrgemş kütle matrs: + ρl M ( = + (54) 4( + ) olarak uluur. Yapısal ssteme at temel özdeğer ve karşılık gele ormalze edlmş özvektör sırası le aug (986) da ξ =.88 y = [ y y y 5 ] = [-.496.845.6] d ξ d d ξ d = (55) ~ ~ ( ) ) ( ~ = ( y K y ξ y M( ~ y) (56) [.944.5678 -.76] (57) olarak uluur. Ssteme ola grşler f ve f (f 5 = olduğu ç formüllerde yer almamıştır), çıkışlar se z, z ve z 5 olarak DA hesaplamalarıa dahl edlmştr. ahrk frekası ω = ξ =. 88 =.85 rad/s ç sstem tekl değerler ve tekl vektörler şu şeklde ulumaktadır. ekl değerler: σ =666.5 ve σ =.54, tekl vektörler: u =[-.78479.97.58758] u =[.54 -.797.58758] (58) v =[.96985 -.469] v =[-.469 -.96985] Ssteme at tekl değerler σ ve σ tahrk frekası ω ya göre değşm Şekl de verlmştr. Gateaux türevler se Şekl dedr. Çıkışları Gateaux türevler, δz k ( ; ) Şekl 4 de f = f = rm yük değerler ç gösterlmektedr. Buradak Gateaux türevler hesaplamalarıda tasarım parametrelerde %5 lk değşm =.5 olarak alımış ve solu farklar formülü kullaılmıştır. Gateaux türevler δσ k ( ; ) ve δz k ( ; ) frekas alaıdak davraışlarıa aktığımızda, rezoas oktalarıda sıçramaları meydaa geldğ görülmektedr. δσ k ( ; ) özellkle sstem eerj ve güç aktarım oralarıı duyarlılığıdır. Dğer tarafta δz k ( ; ) yapısal sstem k.cı serestlk derecese at ttreşm gelğ duyarlılığıdır. Buu soucu olarak, eğer z ω frekasıa sahp dış kuvvetler yapı üzerde oluşturduğu ttreşm gelkler mmze etmek styorsak, yapmamız gereke lgl ω frekasıda σ ya e üyük tekl değer mmze etmektr. Bu se e duyarlı tasarım parametrese yapılacak müdahale le olacaktır. Üç çuuk kafes ssteme at temel özdeğer augh (986) da λ = ω =.88 olarak verlmştr. Bu değer Şekl dek σ rc tepe oktasıa ω =. 88 =.85 rad/s. de karşılık gelmektedr. Böylece tekl değer aalz esasıda sstem rezoasları hakkıda da lg edlmektedr. Özdeğer tasarım duyarlılığı souçlarıa DA duyarlılık aalz le de ulaşılmış
. Ersoy, A. Muğa ω Şekl. Yapısal sstem tekl değerler ω frekasalaıdak değşm ω Şekl. σ, ve e göre Gateaux türevler ω frekas alaıdak değşm ω Şekl 4. z, ve e göre Gateaux türevler ω frekas alaıdak değşm
DA yötem le duyarlılık aalz olumaktadır. Görüldüğü üzere σ k ve δσ k ( ; ) ı grafk üzerdek değşm ze yapısal sstem frekas cevaıı tüm frekas alaıı kapsayacak şeklde vermektedr. Bua rezoas frekasları ve u frekaslardak duyarlılıklar da dahldr. aluk klask yötem ola özdeğer tasarım duyarlılığı, sadece rezoas frekaslarıda geçerldr. ekl değer tasarım duyarlılığı se tüm frekas alaıda kullaılalmektedr. σ çzmdek üç tepe oktası sstem serestlk dereces ve rezoas frekaslarıı şaret etmektedr. Bu arada σ ve σ degşmler ω=.7997 rad/s değerde temas edp ayrılma davraışı göstermektedr (Ersoy ve Muğa, ). Çoklu yükleme hal ve yapısal sstem gürüzlüğü Bu ölümde tekl değer tasarım duyarlılık aalz Şekl 5 de görüle elemalı köprü kafes ssteme uygulamıştır. Kuvvet uygulama oktaları düğüm oktalarıa gelecek şeklde, yapıı çoklu yükleme şartları altıdak davraışı celemştr. Dış kuvvetler, köprü üzerdek araç hareketler temsl edecek tarzda z 5, z 6, z 9 ve z doğrultularıda etkdğ varsayalım. Sayısal hesaplamalarda elastste modülü E =, yoğuluk ρ =, elema oyu l = l =, kest alaı h = h = ( kafes elema umarasıı temsl etmektedr). değşk yükleme doğrultularıda tam ters r davraış gösterelr. Burada hareketle ortaya şu soru atılalr: z yapısal sstemmz öyle tasarlayalım k değşk yükleme doğrultularıa verdğ cevaplar arasıdak fark mmum olsu. İşte u hal sstem gürüzlüğü (roustess) olarak adladırılmaktadır. Şekl 5 dek kafes köprü sstem tasarım parametrelere müdahale ederek yapıı gürüzlüğüü arttırmak stedğmz varsayalım. Köprü sstemde dört grş (düğüm oktalarıa z 5, z 6, z 9 ve z doğrultularıda etkye araç yükler) ve or çıkış (düğüm oktalarıı yerdeğşm) vardır. Sstem tekl değerler ve karşılık gele tekl vektörler hesaplaarak alo de verlmştr. Yapısal ssteme at gelk lgl tekl değer tarafıda temsl edldğe göre, yapıı gürüzlüğüü maksmum olması e üyük tekl değer σ le e küçük tekl değer ola σ 4 arasıdak farkı mmze edlmesyle mümkü olacaktır (σ /σ 4 = mmum). alo. Köprü sstem tekl değer ve tekl vektörler σ σ σ σ 4 6.88 6.48.458.848 v v v v 4.7 -.59.47.86 -.67 -.55 -.7.5.45 -.74 -.47 -.566 -.696 -.48.6677 -.4 Şekl 5. Köprü kafes sstem Sstem mühedslğde araştırıla özellklerde r taes de sstem (u r kotrol sstem veya r yapısal sstem olalr), grş parametrelerdek değşme karşı verdğ cevaplar arasıdak farkı üyüklüğüdür. Buu yapısal sstemler ç raz daha açacak olursak, r yapı ell doğrultularda yapıla yüklemeye karşılık oldukça katı (veya esek) davraırke u u u u 4.666 -.97.77.987 -.555 -.56 -.96 -.9.8 -.4.7.75 -.447 -.8 -.646..786 -.4 -.795.54 -.47 -.57 -.66.487.6 -.457 -.54 -.89 -.49 -.47.5644 -.74.96 -.4. -.87 -.4 -.95.96 -.8.57 -.6 -.47 -.88
. Ersoy, A. Muğa asarım parametres olarak kaul ettğmz çuuk kest alalarıdak ±%5 lk değşmler tekl değerler Gateaux türevlere ola etks alo de gösterlmştr. Burada hareketle, mevcut ya orjal durumdak σ /σ 4 = 6.88 /.848 = 9.466 oraıı ye kest alaları aracılığıyla σ /σ 4 = 8.74 /.944 = 5.694 değere getrelrz. Bu esada kest değşmler, h =.5h, h =.5h, h =.5h, h 4 =.5h, h 5 =.5h, h 6 =.5h, h 7 =.5h, h 8 =.5h, h 9 =.5h, h =.5h, h =.5h, şeklde olmaktadır. Böylelkle (kc durumda) yapı daha yüksek r gürüzlüğe ulaşmaktadır. Buu dışıda sstem rjtlğ topyekü arttırmak steyelrz. Ya herhag r yükleme karşısıda yapıı şekl değşm mmum olması stes. Bu se tasarım parametrelere yapılacak müdahale le düğüm oktalarıı yer değşmler e aza drlmes le mümkü olacaktır. Prolem tekl değer aalze dayalı olarak çözülmes halde, e üyük tekl değer σ düşürülmes gerekr. alo. Köprü sstemde h =.5h tasarım parametre değşm ç δσ (h ; h ) ve δσ 4 (h ; h ) tekl değerler Gateaux türevler Değşm (-) δσ δσ 4 h =.5h.757.4 h =.5h.98. h =.5h.85 -.9 h 4 =.5h.447.96 h 5 =.5h 4.98.555 h 6 =.5h -.4 -.6 h 7 =.5h.79.4 h 8 =.5h.4.78 h 9 =.5h.649 -.47 h =.5h.576. h =.5h.76.5 Kest alalarıda h =.5h, h =.5h, h =.5h, h 4 =.5h, h 5 =.5h, h 6 =.5h, h 7 =.5h, h 8 =.5h, h 9 =.5h, h =.5h, h =.5h şeklde yapılacak değşklklerle σ, 6.88 de.9 e düşmektedr. Buu alamı e kötü yükleme halde şekl değştrme mktarlarıı %.4 oraıda düşmes demektr. ekl değerlere dayalı olarak yapıla hesaplamaları süres.6 şlemc (CPU) sayedr. Öte yada doğruda metodla hesaplaması halde, aralığıı. artım değer le taraması durumuda şlem süres 9.78 x 5 şlemc (CPU) saye olmaktadır (Ersoy ve Muğa, ). Souçlar Bu çalışmada yapısal sstemler (structure) tasarım duyarlılığı aalz matrs cer araçlarıda ola tekl değerlere ayrıştırma DA ya dayalı olarak yapılmıştır. Buu etcesde mevcut klask duyarlılık metodlarıa lave olarak DA ya dayalı tasarım duyarlılığı yötem gelştrlmştr. Gelştrle u yötem klask duyarlılık metodları le çeştl aalz tplerde karşılaştırılmış, kou açıklamalarıı yaı sıra yötem performası sayısal örekler üzerde de gösterlmştr. Br yapısal sstemde, tekl değerler kareler sstem grş ve çıkış vektörler arasıdak güç eerj ve eerj dağılım oralarıı sıırları le ağıtılıdır. Frekas alaıda se tekl değerler koumları le trasfer foksyo matrs elemalarıı şddetler arasıda lşk olduğu görülmektedr. DA ya dayalı olarak yapıla statk ve damk cevap duyarlılık aalzlerde, tekl değerler yapısal sstem çıkış gelkler temsl etmektedr. Bua ağlı olarak yapıı statk veya damk cevap üyüklüğüü düşürülmes, e üyük tekl değer mmze edlmes le mümkü olmaktadır. Dğer tarafta r yapısal sstemde, grş-çıkış doğrultuları arasıdak lşk sstem tekl vektörler tarafıda temsl edleldğ görülmektedr. Sağ tekl vektör elemaları grş veya yükleme koşullarıı üyesde arıdırırke, karşılık gele sol tekl vektörler çıkış değerler elemalarıı çermektedr. Özdeğer tasarım duyarlılığı le yapıla karşılaştırmada, klask metod sadece rezoas ferkasıda geçerl ke, tekl değerlere dayalı duyarlılık aalz tüm frekas alaıda souç vermektedr. DA ya dayalı yötem klask yötemlere azara daha geş lg çermes yaı sıra özellkle çoklu yükleme durumu aşta olmak üzere şlemc
DA yötem le duyarlılık aalz hesaplama süres ve hafıza kullaımı açısıda avatajlara sahp olduğu görülmektedr. Metodu kullaışlılık açısıda r aşka avatajı da sürekl ortamları modellemesde e etk metod ola, hesaplamalı yötemler aşıda gele, solu elemalar fadelere uyarlaalmektek aşarısıdır. Bu da gelecekte, yötem öde gele (Asys, Nastra, g tcar aalz programlarıı algortmalarıa dahl edlmes yoluu açmaktadır (Ersoy ve Muğa, ). Semoller A : Matrsler : asarım değşke a : Katsayı C : Söüm matrs D(s) : Çıkışı laplace döüşümü d : Şekl değştrme vektörü δ : Gateaux türev E : Elastste modülü G : rasfer foksyo matrs F(s) : Grş laplace döüşümü h : Kest alaı I : Brm matrs j : Kompleks değşke K, K g : Katılık ve gloal katılık matrs l : Elema oyu M : Kütle matrs λ : Adjot değşke ψ : Performas foksyou ζ : Özdeğer y : Özvektör σ : ekl değerler u : Sol tekl vektörler v : Sağ tekl vektörler ρ : Yoğuluk ω : ahrk frekası : Vektör şddet Σ : ekl değerler çere matrs U : Sol tekl vektörler çere mat. V : Sağ tekl vektörler çere mat. z, z g : Şekl değeştrme vektörü ~ : Kısm türevde sat kısım - : Üst çzg, eşlek Kayaklar Datta, B. N., (995). Numercal Lear Algera ad Applcatos, Brooks/Cole Pulshg Compay. Ersoy,. ve Muğa, A., (). Desg Sestvty Aalyss of Structures Based Upo he Sgular Value Decomposto, Computer Methods Appled Mechacs ad Egeerg, 9, 459-476. Freudeerg, J. S. ve Looze, D.P., (988). Frequecy Doma Propertes of Scalar ad Multvarale Feedack System, Sprger Verlag, Berl. Freudeerg, J. S., Looze D. P. ve Cruz, J. B., (98). Roustess Aalyss Usg Sgular Value Sestvtes, Iteratoal Joural of Cotrol, 5, 95-6. Golu G.. ve Va Loa, C. F., (98). Matrx Computatos, Johs opks Uversty Press, Baltmore. aug, E. J. Cho, K. K. ve Komkov, V., (986). Desg Sestvty Aalyss of structural Systems, Academc Press, Orlada, Florda. Kleer, M., sada,., (99). Desg Sestvty Aalyss, Atlata echology Pulsher. MacFarlae, A. G. J. ve Scott-Joes, D. F. A., (979). Vector Ga, Iteratoal Joural of Cotrol, 9, 65-9. MSC/NASRAN V68, User s Maual, MacNeal- Schewedler Ic. Muğa, A., (). Effects of Mode Localzato o Iput-output Drectoal Propertes of Structures, Joural of Soud ad Vrato, 58,, 45-6. Postlethwate, I., Edmuds J. M. ve MacFarlae A. G. J., (98). Prcpal Gas ad Prcple Phases the Aalyss of Lear Multvarale Feedack Systems, IEEE rasacto o Automatc Cotrol, AC-6-46. Strag, G, (988). Lear Algera, arcourt Brace Jovaovch, Pulshers.