FEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR

Transkript

1 FE VE MÜHEDİSLİKTE MTEMTİK METOTLR 3. KİTP MTRİS CEBİRİ f

2 70 İÇİDEKİLER I. MTRİS CEBİRİ ) Matrsler ve Elemaları B) İşlemler C) İk Özel Matrs D) Dyagoal Matrsler E) İz ve Determat F) Bazı Matrs İşlemler G) Matrs Foksyoları H) İk Özel Matrs Türü II. UYGULMLR I ) Leer Deklem Sstemler B) Oyular Teors III. DİYGOLLEŞTİRME İŞLEMİ ) Özdeğerler - Özvektörler B) Drac Gösterm C) Bezerlk Döüşümü le D D) Hermtsel ve Üter Özel Durumları

3 7 IV. MTRİS FOKSİYOLRI ) Dyagoalleştrme Metodu B) Cayley - Hamlto - Sylvester Metodu C) f H İç İzdüşüm Matrsler Metodu D) Patolojk Matrsler ve Foksyoları E) Leer Bağımsızlık ve çılımlar F) L L ç Geelleştrlmş Özdeğer Problem V. UYGULMLR II ) Markov Süreçler B) Vo euma Ekoomk Büyüme Model EKLER VE OTLR

4 7 I. MTRİS CEBİRİ ) Matrsler ve Elemaları Dkdörtge koumda dzlmş sayı veya foksyolara 'Matrs' der. Bu dzlm her üyes se 'Matrs Elemaı' olarak adladırılır. Br matrs kmlğ elemalarıca belrler. Matrs elemalarıı adresler de at olduğu satır ve sütula buluur. matrs a j elemaı, matrs 'c satır ve j 'c sütuuda yer alıyor demektr : j a a a a a a a a a. Br matrs sağ alt köşesde yer ala elemaı dsler, matrs M M M M olarak fade edle 'Boyut' uu belrler. M durumu Kare Matrs' olarak adladırılır. Matrsler M durumuda 'Satır Vektör' lere; durumuda se 'Sütu Vektör' lere döüşürler. Sütu vektörler V, satır vektörler se V olarak gösterlecektr , B, V 0, W değşk boyutlarda matrslere örektrler. B) İşlemler Tüm şlemler ve deklemler temelde yata eştlk, matrsler ç B a b lşksyle verlr. Bua göre k matrs eşt olması ç j j karşılıklı elemaları eşt olmaları gerekl ve yeterldr. Toplama - Çıkartma şlemler de B C olarak yapılır. karşılıklı elema düzeyde = a j b j c j Eşt olmak, toplaıp - çıkartılmak ç matrsler ayı boyuta sahp olmaları gerektğ açıktır. Matrsler br sayı le çarpılması da tüm elemaları ayrı ayrı o sayıyla çarpılması demektr :

5 73 B k b k a. İk matrs çarpımı, daha üst düzeyde, 'Leer Vektör Uzayları' kousuda alaşılacak br bçmde : j j K B C c a b olarak taımlaır. Buda matrs j k k j k çarpımıı taımlı olablmes ç 'ı sütu sayısıı B ' satır sayısıa eşt olması gerektğ görülmektedr. M P boyutlu br matrs le, P boyutlu br B matrs B çarpımı M boyutlu olur. ve boyutlu k vektörü W V olarak çarpımıı soucu br sayı olacağı ç 'Skalar Çarpım' olarak adladırılır. W V 0 durumu se 'Ortogoal 'lk fade eder. B ve B çarpımlarıı ks de taımlı olsalar ble geelde B B olur. Çarpımda yer değştrme özellğ olmaması da bölme şlem mkasız kılar. Br taımlamak mümkü olsa ble, B B B olacağı ç B taımlaamaz. Özetle : 3 durumuda B = 7 0, 9 4 6, 5 4 = B B ; = 34 B, B buluur. B olmakla beraber ve B eştlkler dkkat çekmektedr. C) İk Özel Matrs Toplamda etksz 0 matrs tüm elemaları sıfırdır ve her boyutta 0 j = 0 0 öreğde olduğu gb olarak taımlaır. Uygu boyutta seçle 0

6 0 0 lşks yaı sıra 0 o, 0 o matrsler, deklemler sağlar. 74 Çarpımı etksz elemaı sadece kare boyutlarda ve j j olarak taımlaır. Mesela 3 3 boyutta j 0 j ola 'Brm Matrs', Kroecker Delta sembolüü eleme özellğ 0 0 K kullaılarak k a k j a j ve j j k j k K a a ; özetle k k j j j sağlar. D) Dyagoal Matrsler D 0 0 öreğde olduğu gb j dyagoal elemaları dışıda tüm elemaları sıfır ola matrslere 'Dyagoal Matrs' der ve taımlaırlar. Bu matrsler ked aralarıda B B özellğ sağlarlar. D d olarak D D D D yer değştrme j j E) İz ve Determat Kare matrsler le ltl, öem lerde alaşılacak k sayı vardır. Bularda 'İz', dyagoal elemaları toplamıdır, Tr le gösterlr ve Tr a olarak taımlaır. Bu taımda hareketle Tr B Tr TrB, Trk k Tr

7 75 Tr B Tr B özdeşlkler kolayca gösterleblr. Det olarak gösterle 'Determat' ı taımı daha çetrefll ve zordur. sıl taım yere geçecek br 'reçete taım' braz dolaylı br şeklde, 'Laplace çılımı' yoluyla : a Cof a j ; Cof a j M a j Det[ ] j j j Herhag br sütu veya satır M a matrsde 'c satır ve j 'c sütu atılarak elde edle, br düşük boyutlu matrs determatı bçmde yapılır. Bu yaklaşım, determat taımıı gee determatla yaptığı ç kısır dögü zlem verse de, her dögüde boyut br azaldığı ç bu edşe yerde değldr. boyut ç a şlem tamamlamış olur. Matrs çarpımlarıı determatları ç a Det taımıyla B B B özdeşlğ geçerldr. () Buu soucu Det Det Det Det d Det ve d d boyutlu matrsler ç Det k k Det olarak lşkler kolayca spatlaır. İşlemler bölümüü öreğde dkkat çeke olmakla beraber ve B oluşlarıı arkasıda Tr B Tr B ve Det B Det B özdeşlkler olduğu alaşılmaktadır. B F) Bazı Matrs İşlemler ) Her matrs ç br matrs = = 6 5 öreğde olduğu gb

8 76 a j olarak taımlaır. 'Traspoze' adı verle bu şlem matrs satır j ve sütularıa rol değşklğ yaptırmak demektr. Dolayısıyla bu şlem üst üste k kere yapmak bz lk matrse götürür ve elde edlr., özdeşlkler spatlamak zor değldr. ) * = = öreğde olduğu gb br matrs tüm elemalarıı kompleks eşleğ alıarak * matrs elde edlr. a taımıda * * j j B B ve * *, * * * + + * * * B B özdeşlkler buluur. 3) Traspoze ve kompleks eşlek şlemler art arda uygulamasıa 'Hermtsel Eşlek' der ve * a olarak taımlaır. Traspoze ve kompleks eşlek j özdeşlklerde yararlaarak j, B B bağıtıları buluur. Mesela : 3 = = B + B ve 4) Det 0 ola her matrs ç sağlaya br matrs buluablr. 'ı 'İvers' olarak adladırıla ' temel özellkler :

9 77 ve matrs oluşturma reçetes B B özdeşlklerdr. cof j Det a j formülü le verlr. Pratkte vers buluacak matrs öce traspoze edlr, sora buu kofaktörler matrs oluşturulur. Bu oktada determat hesaplamak yere matrs, kofaktörler matrs le doğruda çarpmak hem yapıla şlemler doğruluğuu kotrol eder, hem de Det 'yı buldurur. Zra yalışsız yapıla br hesap soucu Det elde edlmes gerekr. rtık kofaktörler matrs determata bölüerek elde edleblr ; " " öreğde olduğu gb. Yukarıda celee tüm şlemlerle lgl olarak Tr * Tr, Tr Tr *, Tr Tr * ; Det Det, * Det Det *, Det Det *, Det Det bağıtıları geçerldr. G) Matrs Foksyoları matrs üst üste kedsyle çarpımıda kedsyle çarpımıda, matrs de üst üste elde edlr. Bu sayede Lauret serse açılable her

10 78 k foksyo, matrs ç de f a olarak taımlaablr. k exp veya! 3! 3 Bua göre mesela 7 csc olmaktadır. cak bu bçmsel br taımdır; pratkte veya k matrs br çok kuvvet hesaplayıp, sora da buları toplamak, solu veya verml br şlem dzs değldr. İlerde f hesabıı daha kestrme yolları görülecektr. H) İk Özel Matrs Türü Bell özellklerde dolayı e yaygı kullaım alaı ola matrs türü sağlaya 'Hermtsel' matrslerdr. Bu gb matrsler toplamları da hermtsel olur : H +H H +H, çarpımları se Br dğer özel matrs türü de matrsler çarpımları da üter olur : H H H H H H sağlar. U U sağlaya 'Üter' matrslerdr. Üter U U U U U U U U. UU deklem determatı ç yazıla U U U U U U * deklemlerde Det Det Det Det Det Det U 'u mutlak değer ola br kompleks sayı (ümodüler) olduğu görülür. Hermtsel ve üter matrsler arasıda H + H ve exp H exp H eştlklerde kayaklaa H exp H lşks vardır. Hem reel, hem hermtsel matrsler 'Smetrk' ; hem reel, hem üter matrsler se 'Ortogoal' olarak adladırılırlar. Det ola matrsler smledrlmesde ' S ' harf kullaılır. Bua göre :

11 79 SL () : Determatı ola boyutlu geel matrsler, SO(3) : Determatı ola 3 3 boyutlu ortogoal matrsler, SU() : Determatı ola boyutlu üter matrsler, O(4) : Determatı ola 4 4 boyutlu ortogoal matrsler, U() : Determatı ümodüler ola boyutlu matrsler, ya e sayısıı fade eder. PROBLEMLER P.I.) Maclaur açılımı ble br F x foksyou ç Fx ' açılımıı buluması : F x a a x a x, o F x bo b x b x açılımlarıda elde edle ( a a x a x ) ( b b x b x ) o o eştlğ matrsler aracılığıyla özetleebleceğ göster ve lk dört Maclaur açılımıı yapı. ao bo a ao 0 0 b 0 a a ao 0 b 0 b ' bulu. Bu souçları kullaarak olarak sec x ' P.I.) ta ta ta ta?

12 P.I.3) Br determatı türev almak ç satırları veya sütuları teker teker türevler alııp, toplaması gerektğ göster. 80 B + B B B olduğuu P.I.4) göster. Ser toplamıı solu ve alamlı olma koşullarıı tartışı. P.I.5) Determatı sıfır olmaya br matrs ve keyf br B matrs ç yazıla, X B deklem çözümüü = X B 0 olduğuu göster. Ser toplamıı solu ve alamlı olma koşullarıı tartışı. + olduğuu göster. + P.I.6) II. UYGULMLR I ) Leer Deklem Sstemler Matrs cebr e bast uygulama alaı blmeyel leer deklem çözümüdür. x y 3 z, x 3 z 3, x y z 6 gb br sstem 3 x 0 3, X y, C 3 taımlarıyla X C z 6 olarak yazılır. Çözüm : Blmeye deklem br tarafıda yalız bırakıp, bleler csde fade etmek olduğua göre X C deklem solda le çarpılarak X C çözümü elde edlr. Yukarıdak örekte

13 = 5 9 olduğu ç de 9 x y z buluur. cak baze deklem sayısı yeterl olmaz; bu durumlarda bağımsız deklem sayısı kadar blmeye elde tutup, ger kalaları 'parametre' düzeye drmek gerekr. Mesela x y 3 z, x 3 z 3 gb br sstemde 3 x y 3 z 3 y 5 4 y x, z buluur. 3 9 x 3 3 y yazılır ve z 9 3 Dğer br lgç durum da bağımsız deklem sayısıı blmeye sayısıda fazla olmasıdır. O zama X C deklem solda le çarpılıp, 'ı ters alıarak X C soucua ulaşılır. () Mesela x y 3 z, x 3 z 3, x y z 6, x y z veya = öreğde x.87 y.03 z 0.9 elde edlr. Bu souç deklemler hçbr sağlamadığı ç gerçek alamda br çözüm değldr. cak tüm deklemler sağlamaya, Gauss'u 'E Küçük Kareler' metodu alamıda e yakı çözüm elde edlmş olmaktadır.

14 8 B) Oyular Teors E bast halyle oyular teors k oyucuu brbrlerde bağımsız olarak aldıkları kararlarla kazaç sağlamaya, veya e az zararla kurtulmaya çalışmalarıı celer. Br örek olarak : Erke uyarı sstemler öces br savaşta, B le göstereceğmz bombardıma uçaklarımız, her gü akı yaptıkları br şehr alçakta veya yüksekte bombalamaya karar vereblrler. Doğal olarak alçakta bombalamak düşmaa daha fazla zarar verecektr. Düşma se le göstereceğmz avcı uçaklarıyla bombardıma flomuzu alçak veya yüksekte karşılamaya karar verr. Bu bağımsız kararlar ve B açısıda souçlar da br tablo le : B Yüksek lçak Yüksek lçak olarak özetler ve 6 9 G = 4 6 olur. Bua göre ve B ayı terch yaparsa B 'ler düşürülmekte, ayrı terch yaparlarsa yükseklğe bağlı br bombardıma başarısı sağlamaktadır. B açgözlü davraıp hep 'lçak' seçeeğ kullaırsa, da durumu kavrayıp hep 'lçak' seçeeğ kullaacak ve B buda zararlı çıkacaktır. Böyle oyularda esas ola, tarafları öcede kestrlemeye ve rastgele br bçmde davramaları gereğdr. her gü p olasılıkla 'Yüksek', p olasılıkla da 'lçak' seçeeğ; B se q olasılıkla 'Yüksek', q olasılıkla da 'lçak' seçeeğ kullaacaktır. Oyuu 'Beklee Değer' :, V p q p p g g q g g q V V zorudadır. Bu durumda da 0 p q k oyucu açısıda da optmal olmak koşulları

15 6 9 q q, p p dolayısıyla p, q, V 0 çözümüü verr. Kare G matrsler 5 5 G ç geelde V Det olmaktadır. Braz evvel celee örektek gb Det G 0 ola oyular 'Sıfır Toplamlı Oyu' olarak adladırılır. (3) 83 PROBLEMLER P.II.) Matrs metotları le çözü : x y z x y z 5 x y z 0, x y z x y z 0 x y z 4 P.II.) 00 para brm kullaılarak, 3 cs her brde e az br tae olmak üzere 00 meyve alıacak. Fyatlar Elma : 0.5 brm, Portakal : 3 brm, Muz : 0 brm se her brde kaçar tae alıdığıı bulu. İpucu : Bu 3 blmeyel deklem çözmek ç muz sayısıı parametre düzeye dr. P.II.3) x, y,, x, y ; 3 oktalarıı e küçük kareler alamıda e y temsl ede y m x b doğrusuu m ve b parametreler Blmeye Sayısı < Deklem Sayısı durumu ç geçerl metotla hesaplayı.

16 84 P.II.4) 3 G 8 matrs le belrlee oyuu optmal stratejler bulu. Oyuu değer hesaplayı. Kötü br oyucu ola, 3 3 stratejs bemserse B ' stratejs e olmalıdır? Bu durumda oyuu değer e olur? III. DİYGOLLEŞTİRME İŞLEMİ ) Özdeğerler - Özvektörler boyutlu br matrs boyutlu br sütu vektörle çarpımıı soucu gee boyutlu br sütu vektör olacaktır. Bazı özel durumlarda bu souç vektör, lk vektöre oratılı olur. Oratı katsayısı : 'Özdeğer', vektör de 'Özvektör' olarak adladırılır ve verle br matrs ç 'Özdeğer Problem' V V olarak fade edlr. V 0, 'ı keyf olmasıa yol açacağı ç geçerl br çözüm olarak kabul edlmez! V ', özdeğer deklem her k yaıda da yer almasıda, V k V döüşümüü çözümü etklemeyeceğ açıktır. Dolayısıyla her özdeğer ç, brbr le oratılı sosuz sayıda özvektör buluablr. V V deklem çözümü ç, boyut yazılamaz; acak V V V 0 yazılablr. Bu dekleme çözüm olarak 0 yolua gdlrse, başta koa V 0 şartı sağlamamış olur. tutarsızlığıda dolayı V 0 V Bu yüzde fades var olmaması, ya 0 Det olması gerekmektedr. boyutta Det 0 deklem, 'c derece, dolayısıyla çözümlü br cebrsel dekleme döüşür. Bu çözüme, ya br matrs özdeğerler küme 'se o matrs 'Spektrum' u der. Mesela 9 = 4 6 ç Det

17 veya 5, 0 olur. Her özdeğere at özvektör se V 0 deklemde buluur. Yukarıdak örekte V5 0 V V0 0 V elde edlr. Bu öreklerde k blmeyee karşı tek deklem olduğu görülmektedr. Her özdeğer ç brbr le oratılı sosuz özvektör olduğu ç bu çok doğaldır. B) Drac Gösterm boyutlu br matrs özdeğer deklem 'c derece br cebrsel deklem olduğu görülmüştü. Bu dekleme matrs 'Karakterstk Deklem' der. Buu çözümü sıra sayıları le etketleerek, souç V V ;,,, olarak yazılablr. V V 5, V 4 V V 0, V gb. Daha pratk br V0 0 V0 gösterm : V5 5 V5 ; öreğde olduğu gb, özdeğerler açık yazmak, özvektörler de at oldukları özdeğerlerle etketlemektr. Drac göstermde br adım daha öteye gderek br matrs özdeğerler a harf le, V da a sembolüyle fade edlr. Geelde a a a olarak yazıla a özdeğer deklem yukarıdak örek ç ve olur. Drac gösterm kullaılarak elde edlecek lgç ve öeml br souç da matrs foksyolarıı özdeğer

18 86 problemdr. a a a deklem solda le çarpılarak a a buluur. a a a a a a deklem de üst üste a a a a ve Bularda da e geel dekleme erşlr. deklem üst üste le, le çarpılarak a a a deklemler buluur. f a f a a f () a f ( a) a C) Bezerlk Döüşümü le D adet boyutlu özvektörü ya yaa dzerek oluşturula matrse, tarh sebeplerle, S der. S matrs çarpımıda özdeğeryle çarpılmak bçmde etkleecektr. Öreğmzde S ' her sütuu, ya özvektörler, 'da S 4 matrs özellğ : S ' 'c satırıyla, 5 0 S 0 0 oluşu gb. Öte yada S S ' j 'c sütuu çarpımıı j S vermesdr. Bu durumda oluşa br dyagoal matrs olacaktır. Bu souca S S S S, dyagoal elemaları 'ı özdeğerlerde D : şleme de 'Bezerlk Döüşümü' der ve matrs dyagoal bçm, D S S olur. Bu kadar gayrette sora başlagıç oktasıa, ya özdeğerlere döülmes gereksz br şlem dzs yapıldığı zlem vereblr. cak yapılaları e kadar yararlı olduğu, matrs foksyoları kousuda alaşılacaktır. Bu oktada D S S S S Tr Tr Tr Tr ve D S S S S Det Det Det Det özdeşlkler, yapıla şlemler doğrululuğuu kotrol ederke çok yararlı ve gerekl oldukları vurgulamalıdır.

19 87 D) Hermtsel ve Üter Özel Durumları H H sağlaya hermtsel matrsler özdeğer problem ayrıca celemeye değer br koudur. H V = V sağlaya br özdeğer ve oa at özvektör ele alalım. Deklem hermtsel eşleğ V H V 'y sağda V * le çarparak elde edle V H V V V V V V V bağıtısı * * V V 0 V V 0 olacağı ç demektr. Böylece * hermtsel matrsler reel spektrumlara sahp oldukları görülür. Bu soucu kullaarak H V = V deklem hermtsel eşleğ V V özdeğere at V özvektörü le çarpılarak H sağda V H V V V V V V V veya ( ) V V 0 buluur. Dolayısıyla k ayrık özdeğer ( ) ç V V 0 olur. (4) Bu da hermtsel matrsler özvektörler j V V 0 şartıı sağlayarak dk (ortogoal) olmaları demektr. V k V keyflğ yüzüde V V 0 değer hakkıda br şey söyleemez. cak uygu br k seçmyle V V sağlamaya 'ormalzasyo' der ve V Vj j sağlaya 'Ortoormal' br kümeye erşlr. Özetle : Hermtsel matrsler özdeğerler reel, özvektörler ortogoal olur. Üter matrsler ç de ayı spat tekkler kullaılarak : " Üter matrsler özdeğerler ümodüler, özvektörler ortogoal olur. " soucua erşleblr. cak U exp H bağıtısı le ayı souca daha kestrme olarak gdleblr : h h h H j h H h h lşks e h : ümodüler, exp e h : ortoormal ; souçlarıı otomatk olarak vermektedr. Hermtsel matrsler dyagoal bçme getrlmes le lgç br gözlem : D H S H S deklem, hermtsel eşleğ ola DH S H S deklemyle karşılaştırılmasıda görülür k hermtsel, dolayısıyla da U exp H ola üter matrsler, üter matrs kullaa bezerlk döüşümler

20 le dyagoal hale gelmektedrler. Geelde sağlaya tüm matrsler üter bezerlk döüşümler le dyagoal bçme getrldğ gösterleblr. 88 PROBLEMLER P.III.) matrs spektrumuu bulu. P.III.) matrse dyagoalleştrme şlem uygulayı. P.III.3), B, C, B matrslere dyagoalleştrme şlem uygulayı : 0 0 0, 0 0 B 0, 0 C a b P.III.4) Eğer H b c matrs dyagoalleştre matrs cos s S SO() s cos se ta 'yı a, b, c csde fade ed. P.III.5) Üter matrs kullaa bezerlk döüşümler le dyagoal hale gele matrsler sağladığıı göster.

21 89 IV. MTRİS FOKSİYOLRI ) Dyagoalleştrme Metodu D S S deklem asıl öem ou S D S ve S D S bçmlerde gzldr. Bu deklemlerde öce ve j S D S, sora da f f f D 'ı değerledrlmes f Eğer yararı olmazdı, acak d fadedr : f S D S S D S bağıtılarıa ulaşılır. derecesde zor olsaydı bu şlemler D j olduğu ç j f D kolay br k ak 0 k K k D ak D = k K k 0 ak k K f 0 0 f elde edlr. Matrs foksyolarıı f f 0 S S formülü le hesaplamasıa f 0 'Dyagoalleştrme' ( D ) metodu der. Bu metodu br uygulaması olarak 3 4 öreğde, 5 ; S 3 dolayısıyla S buluur.

22 90 B) Cayley - Hamlto - Sylvester Metodu Bu metodu temelde yata Cayley - Hamlto teorem, her matrs ked karakterstk deklem sağlamasıı ögörür. Bu teorem spatı zor değldr : Özdeğerler sağladığı br deklem, doğal olarak özdeğerlerde oluşa D matrs de sağlayacaktır. Bu dekleme uygulaacak br bezerlk döüşümüyle de karakterstk deklem ç de geçerl olduğu kolayca görülür. Cayley - Hamlto teorem yararı :,,,, termlerde oluşa cebrsel deklem yardımıyla,,, br matrs ç terml 'c derece yazılablmesdr. Buda da olmak üzere 'ı tüm poztf kuvvetler,,, kullaılarak fade edlebleceğ görülür. Öte yada karakterstk deklem le çarpımıda ortaya çıka deklem yardımıyla, ve dolayısıyla 'ı tüm egatf kuvvetler de,,, csde fade edlebleceğ alaşılır. Böylece 'ı poztf veya egatf tüm kuvvetler, dolayısıyla tüm csde f c bçmde foksyoları,,, 0 yazılablr. Bu oktada öeml ola c katsayılarıı hesaplamasıdır. Bu da f c deklem özvektörlere teker teker etk ettrerek elde edle, 0 adet blmeyel 0 c f ;,, leer deklem sstem çözümüde sağlaır. Örek olarak gee problem, bu sefer de Cayley - Hamlto - Sylvester ( CHS ) metodu le c c 0.7, o 3 4 c c o deklemlerde elde edle co c 0., 0.3 katsayıları kullaılarak soucuu verr.

23 9 C) f H İç İzdüşüm Matrsler Metodu So olarak sadece hermtsel, U exp H olduğu ç de ayı zamada üter matrsler foksyoları ç geçerl br metod ele alıacaktır. matrs özvektörler, ormalze edldkte sora V V ;, j,, sağladıkları görülmüştü. j j boyutlu br hermtsel P V V ;,, bçmde taımlaa ve 'İzdüşüm Matrsler' olarak adladırıla matrsler ç, bu özellklerde yararlaarak P P P ; j ç se P P j 0 veya topluca j j P P P olduğu gösterleblr. Br zdüşüm matrsler küme 's P P P ' elemalarıda,,, oluşturula, acak brbryle örtüşmeye toplamlar da gee br zdüşüm matrsler küme 's oluştururlar. Mesela 6 P P P deklem Det 0 ola Det P 0 ç P + P, P, P + P P gb P veya olmasıı gerektrr. Geelde doğru eştlğdr, acak zdüşüm matrs küme 's, o da brm matrs olmak üzere, tek elemada oluşuyorsa Det P toplamıı geçerl olur. Tüm zdüşüm matrsler P oluşu da 'Tamamlık' bağıtısı veya 'Brm yrıştırılması' olarak aılır. Hermtsel br matrse at özvektörlerde oluşturula V V tamamlık bağıtısıı solda f H le çarpılırsa, H olduğu ç elde edle f V f V f H f V V fades sadece hermtsel ve üter matrs foksyoları ç geçerl ola 'İzdüşüm Matrsler' ( P ) metoduu oluşturur. 0 6 Br örek olarak 6 0 foksyou, H , 6 ; V4, V6 ;

24 9 P 4, P 6 ; P 4 P4 P 4, P P P, P 4 P6 P 6 P4 0 ; P 4 + P P 4P , olarak değerledrlr. D) Patolojk Matrsler ve Foksyoları Bazı matrsler foksyoları ç yukarıda ele alıa metotları hçbr geçerl olmaz. Bu matrsler geelde 0 matrs kökler le bağlatılı matrslerdr. Mesela 0 ç tüm metotlar 0 0 verr, halbuk deklem doğruda yazılımıda boyutta a b a a b Z buluur. Z, ( 0 ) bçmdek matrsler ç f stadart metotlarla hesaplaamaz. 3 böyle br matrstr. 4 Tr oluşuda 0 0 olarak yazılır ve görülür. Z matrs ters çarpımı 0 0 = 0 0 olduğu Z varsayımıyla Z olarak buluur. ve ' üst üste kedleryle Z ve Z souçlarıı verr. Bu souçları yardımıyla da f f f Z formülüe erşlr. 0 matrs daha başka kökler ç yapılacak bezer br çalışma, mesela 0 3 Z3

25 olmak üzere 3 verecektr. E geel durum Z ç f f f Z f Z Z ç se f Z olmak üzere Tr ve! ( ) f Z elde edlr. 0! 93 E) Leer Bağımsızlık ve çılımlar Ele alıa herhag br,,, K V V V vektör küme 'sde eğer c V 0 c V ck VK deklem sadece c 0 c c K durumuda sağlaıyorsa eldek vektörlere 'Leer Bağımsız' der. Bezerlk döüşümü le dyagoal hale getrle br matrs tüm özvektörler ç leer bağımsızlık koşulu S C 0 C 0 olarak fade edlr. Bu da Hermtsel ve üter matrsler ç S U ve 0 S Det 0 demektr. Det U sağladığı ç özvektörler doğal olarak leer bağımsızdırlar. V V tamamlık fades keyf br X vektörü le sağda çarpımı V V X X deklem verr. Toplamı çdek çarpımı değşk bçmde gruplayarak, öce X V V X deklem, sora da c V X taımı yapılarak X c V açılımı gerçekleştrlr. F) L L İç Geelleştrlmş Özdeğer Deklem Hermtsel br L matrs yaı sıra hem hermtsel hem de tüm özdeğerler sıfırda L W deklem, büyük ola br W matrs yer aldığı Z Z geelleştrlmş br özdeğer problemdr. Üter br matrs yardımı le W dyagoal hale

26 94 U L U U U W U U fades getrlr ve Z Z K U L U K ; Y Z D U W U taımları le U ; W K Y D Y bçme döüşür. Bu deklem de sağda W D le W çarpılmasıda D K D D D elde edlr. W ' W W W Y W Y özdeğerler poztf olması D matrs varlığıı ve hermtsel oluşuu W garatlemektedr. Bu durumda H DW K DW H ; V D W Y taımları le hermtsel br matrs özdeğer deklem ble bçm V V H elde edlr. Böylece D D U özdeşlğ kullaılarak varıla W W V Y Z U D D U U D U W m m W W m W m m V V Z Z Z Z Z Z bağıtısıda, Z özvektörler W matrs le ağırlıkladırılmak koşulu le ortoormal br küme oluşturdukları görülür. Tamamlık bağıtısı V V W Z Z W D U U D dekleme se U D W matrs le bezerlk döüşümü uygulaarak, tamamlık bağıtısıı ye şekl Z Z W elde edlr. Bu geel durumda L matrs foksyolarıı f ( L ) = f L f Z Z W, keyf br X vektörüü de c Z W X olmak üzere X c Z bçmde açılması gerektğ alaşılacaktır.

27 95 PROBLEMLER P.IV.) ) ?, ) 4 3 0?, ) ?, v) 7 6 6? ( 4 er çözüm! ) P.IV.) 3 9 6? ( Tamsayı elemalı çözüm ) P.IV.3) ) ta 0 =?, ) 0 ta 0 =?, 0 ) cos? , v) ta =? P.IV.4) exp exp Det Tr olduğuu göster. P.IV.5) H matrs ç H! foksyouu üç ayrı metotla hesaplayı. P.IV.6) matrs ç 'Basamak Foksyou' U 'yı hesaplayı. U fades değerledrp soucu yorumlayı.

28 96 P.IV.7) fades hesaplayıp, bastleştr. P.IV.8) 0 0? ( çözüm! ) P.IV.9) e =?, e 3 0 =? P.IV.0) ) ch x sh x sh x ch x =?, ) cos x s x s x cos x =? P.IV.) matrs ç BS ve SG hesaplayı. SG ve foksyolarıı BS 'ı çarpımlarıı bulup soucu yorumlayı. P.IV.) matrs ç BS ve SG hesaplayı. SG ve BS 'ı çarpımlarıı bulup soucu yorumlayı. foksyolarıı P.IV.3) Determatı sıfırda farklı tüm matrsler, H : poztf spektrumlu hermtsel, U da üter olmak üzere göster. H U olarak fade edlebleceğ

29 97 P.IV.4) cos s U s cos matrs ortoormal özvektörler bulu, zdüşüm matrsler şa ed, zdüşüm özellkler kotrol ed ve buları kullaarak U ve U U matrsler oluşturu. P.IV.5) 7 H 4 ç H matrs ( P ) metodu le hesaplayı. P.IV.6) 0 4 H matrs ortoormal özvektörler bulu, zdüşüm 4 5 matrsler şa ed, zdüşüm özellkler kotrol ed ve buları kullaarak H ve H matrsler oluşturu. P.IV.7) exp u ch u sh u sh u ch u deklemde u u 0 şlem le matrs bulu.. P.IV.8) 0 0, 0 0 I z x y cos s Z r y x s cos yakıştırmaları le f Z fades hesaplayı, soucu bastleştrp yorumlayı.

30 98 V. UYGULMLR II ) Markov Süreçler Değşk seçeeklerde bulua eseler buludukları seçeeklerde kalma veya başka seçeeklere geçş yapma htmaller ve buu souçları 'Markov Süreçler' yoluyla ve 'Markov Matrsler' kullaılarak celer. Brm zamada seçeeğde j seçeeğe geçş yapma htmal p j p j 'ler oluşturduğu matrs : p p p p p p p p p P 'Markov Matrs' olarak adladırılır. Markov matrsler temel özellkler : htmal hesabı gereğ tüm elemalarıı 0 p j sağlaması ve satır toplamlarıı olmasıdır. Markov matrsler çarpım altıda kapalıdırlar, ya k Markov matrs çarpımı da br Markov matrs olur. Dğer br gözlem de Det P oluşu ve eştlğ sadece P ç geçerl olmasıdır. Buu soucuda, çok sayıda brm zama geçtkte sora Lm 0 Det P olur. Zama brm olarak br esl, yaklaşık 30 yıl, seçerek, toplamı değşmeye br üfusu Şehr - Köy arasıda dağılımıı br Markov sürec olarak celersek % 0 % 90 % 60 Ş K % 40

31 verleryle P olur. Uzu vadede e olacağıı gösterges P matrsdr. Bua göre başlagıç şartları e olursa olsu, uzu vadede toplam üfusu % 80 ' şehrlerde, % 0 's köylerde yaşayacaktır. B) Vo euma Ekoomk Büyüme Model adet mal ve buları üretlmes ç gerekl gelşmes ve fyat degeler Vo euma modelyle ve adet sürece sahp br ekoom boyutlu matrsler yardımıyla celer. Örek olarak k mal : Tavuk ve Yumurta, buları ürete k süreç olarak da 'Kuluçkaya Yatmak' ve 'Yumurtlamak' ta oluşa bast br ekoom ele alalım. Uygu br zama brmde br tavuğu yumurta yumurtladığıı veya 4 yumurta üzerde kuluçkaya yattığıı varsayalım. İk sürec Grd - Çıktı tablosu : T Y T Y Kuluçka Yumurtlama 0 tablosu le özetleeblr. Bu oktada mesele : Degel br büyüme ç bu süreçler hag ağırlıklarla kullaılacakları ve fyat yapısıı asıl oluşacağıdır. Süreç ağırlıkları Q satır vektörü, fyatlar da P sütu vektörü le gösterlrse tüm problem br geelleştrlmş özdeğer probleme drgedğ görülür : Q P 0 0. Bu problemde özdeğer gee br determat deklemde elde edlecek acak hem sütu, hem de satır özvektörler alamlı olacaktır.

32 5 4 Det 0 5, 3 değerlerde egatf gelşme fade ede 5 atılarak 3 ç Q ; P 6 Q P 0 yazarak 00 buluur. Bu da k süreç ayı ağırlıkta kullaılacak, fyatlar da Tavuk = 6 Yumurta düzeyde oluşacak demektr. Bu sayıları ögördüğü reçete : akılcı br başlagıç şartı olarak mesela 0 tavuk ve 0 yumurta le şe grşp, 5 tavuğu kuluçkaya, 5 tavuğu da yumurtlamaya ayırmayı ögörür. Döem souda 30 tavuk, 60 yumurta olacağıda 3 msl br büyüme gerçekleşmş demektr. Bu oktada br üst düzey tekolojye geçp, kuluçka makes kullaıldığıı varsayalım : Grd - Çıktı tablosu : T Y T Y Kuluçka 0 0 Yumurtlama 0 bçme döüşür. Matematksel problem de Q 0 0 P 0 0 Det 0 olacaktır. 3, 4 değerlerde ekoomk büyümey fade ede 4 kullaılarak Q 4 3 P 0 dolayısıyla Q 3 ; P 4 buluur. Bu da tekolojk lerleme hem gelşme katsayısıı 3 mslde 4 msle çıkartarak hızladırdığıı, hem de üretmde devrm yapıla malı fyatıı da Tavuk = 4 Yumurta olarak ucuzlattığıı göstermektedr. Bu sayıları ögördüğü reçete : akılcı br başlagıç şartı olarak mesela 0 tavuk ve 30 yumurta le şe grşp, tüm tavukları yumurtlamaya ayırıp, döem souda 40 tavuk, 0 yumurta le 4 msl br büyüme gerçekleştrmektr.

33 0 PROBLEMLER P.V.) a b a b M Markov matrs dyagoalleştr ve matrs hesaplayı. M EKLER VE OTLR () Bu bağıtıı spatıa, uzu olduğu gerekçesyle, yer verlmeyecektr. () kare br matrs olmadığı ç deemez ve deklem de X C bçmde bastleşemez. (3) J. G. Kemey, J. L. Sell, G. L. Thompso, Itroducto to Fte Mathematcs, Pretce - Hall, Chapter VI (4) Karakterstk deklem çokkatlı kökler olduğu, ya çokkatlı özdeğer durumuda da brbre dk özvektörler kolaylıkla şa edleblr. (5) J. G. Kemey, J. L. Sell, G. L. Thompso, Itroducto to Fte Mathematcs, Pretce - Hall, Chapter V (6) J. G. Kemey, J. L. Sell, G. L. Thompso, Itroducto to Fte Mathematcs, Pretce - Hall, Chapter VII