ölüm 5. Üçgende lan Neler Öğreneceğiz? Üçgenin alanını veren bağıntılar ve üçgenin alanıyla ilgili uygulamaları nahtar Terimler 5... Üçgenin lanı aşlarken İnşaat sektöründe ustalar, çatı, duvar ya da zemini kaplamadan önce ne kadar malzeme kullanacaklarını belirlemede geometrik şekillerin alanından yararlanırlar. Örneğin yandaki şekilde bir üçgenin alanını bularak tüm çatı için gerekli olan toplam cam miktarı belirlenebilir. Üçgenin alanı Hatırlayalım Sembol ve Gösterimler ( ) aha önceki yıllarda bir üçgenin alanının, bir kenarının uzunluğu ile o kenara ait yüksekliğin uzunluğunun çarpımının yarısına eşit olduğunu öğrenmiştik. c h a h h c b H a b ar açılı üçgen h b = c h a h c = b H a ik üçgen h a c b h b H a h c Geniş açılı üçgen ( ) = a h = b h = c h a b c 9 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
Üçgenin lanı u bölümde bir üçgenin iki kenarının uzunluğu ve bu kenarların oluşturduğu açının ölçüsü verildiğinde üçgenin alanının nasıl hesaplanabileceğini öğreneceğiz. şağıdaki teorem bu hesaplamayı ifade etmektedir. Sinüs lan ormülü Teorem c b ir üçgenin alanı, iki kenar uzunluğu ve bu kenarların oluşturduğu açının ölçüsünün sinüs değerinin çarpımının yarısına eşittir. Yandaki üçgeninde, a ( ) = a b sin = a c sin = b c sin İspat: Verilenler: bir üçgen, = a, = b, = c İstenen: ( ) = a b sin = a c sin = b c sin üçgeninin kenarına ait yüksekliği çizelim. Yüksekliğin kenarını kestiği nokta, H olsun. c h b a H üçgeninde sin = olduğundan h c a h a = c sin dir. üçgeninin alanı, H a ( ) = H = a ha olduğundan bu ifadede h a yerine eşiti olan c sin yazılırsa ( ) = a ha = a c sin elde edilir. enzer şekilde üçgeninin alanını veren ifadenin ( ) = a b sin veya ( ) =. b. c.sin olduğu gösterilebilir. Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler 9
ölüm 5. Üçgende lan Yandaki üçgeninde m ( ) = 0 = br 0 6 = 6 br ise ( ) değerini bulalım. üçgeninin alanı sin olduğundan, ( ) = 6 sin 0 = 6 = 6 br olarak bulunur. unu biliyor muydunuz 50 6 Yandaki şekilde [] ^ [] m ( ) = 50 = cm = 6 cm ve = cm olduğuna göre ( ) değerini bulalım. irçok tarihi eserde farklı süslemelere yer verilmektedir. Yukarıda Sultan hmet amii nin tavanını kaplayan süslemeler görülmektedir. m ( ) + m ( ) + m ( ) = 60 ve 90 + m ( ) + 50 = 60 eşitliğinden m ( ) = 0 bulunur. ( ) = ( ) + ( ) + ( ) olduğundan ( ) = + sin50 + sin 0 olur. 6 ( ) = + + 6 eşitliğinden ( ) = + cm bulunur. 9 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
Üçgenin lanı Yandaki şekilde [] ^ [] 0 [] ^ [] = 0 cm 8 = 8 cm ve = 5 cm olduğuna göre 5 ( ) nin değerini bulalım. üçgeninde m ( ) = a ve α 0 m ( ) = b olsun. üçgeninin iç açı ölçüleri toplamından a + b = 90 bulunur. m ( ) + m ( ) = 90 olduğundan 8 β α 5 m ( ) = a olur. 8 dik üçgeninde sin a = ve 0 ( ) = sin a olduğundan 8 ( ) 8 5 = = 6 cm bulunur. 0 9 ve üçgen = 9 br, = br = br ve ( ) = ( ) olmak üzere = değerinin kaç br olduğunu bulalım. Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler 95
ölüm 5. Üçgende lan açısı, ve üçgenlerinde ortak açıdır. ( ) = ( ) sin = sin dir. uradan olduğundan. sin = ( + ) sin eşitliğinden = 9 + 8 ve = 6 br olarak bulunur. 5 Yandaki üçgeninde kenarı dört ve S kenarı beş eş parçaya bölünmüştür. ( ) = S ve ( ) = S olmak üzere S S S oranını hesaplayalım. nahtar ilgi y ( ) = S S S ( ) = S ve ( ) = S+ S z ise, t a a a a S S b b b b b Şekildeki eş parçalar aynı harfle gösterilirse; S a b sin = olup S+ S a 5 b sin S = bulunur. S + S 0 uradan 0 S = S + S ve 7S = S elde S edilir. Son eşitlikten istenen oran = olarak S 7 bulunur. S z = S+ S ^+ yh ^z+ th 96 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
Üçgenin lanı 6 0 6 Yandaki üçgeninde = = dir. m ( ) = 60 = 6 br ve = 0 br ise ( ) değerini bulalım. Şekildeki ve ikizkenar üçgenlerinde α m ( ) = m ( ) = a ve m( ) = m( ) = b olsun. α üçgeninden a + m ( ) = 80 ve β 0 6 üçgeninden b + m ( ) = 80 olup β eşitlikler taraf tarafa toplanırsa ( α+ β) + m ( ) + m ( ) = 60 elde edilir. m ( ) + m ( ) = 60 olduğundan a + b = 50 olarak bulunur. uradan m ( ) = 80-50 = 0 olur. ( ) sin 0 6 0 = = = 5 br bulunur. 7 ir üçgeninde = 6 cm, = 8 cm ve 60 m( V ) 50 olduğuna göre ( ) nın alabileceği en büyük ve en küçük değerlerini bulalım. 6 8 n büyük değer ( ) = sin, ve değerleri sabit olduğundan üçgeninin alanı açısının sinüs değerine bağlıdır. 60 m( V ) 50 aralığındaki açı ölçülerinden sinüs değeri en büyük olanı 90 olduğundan ( ) nin en büyük değeri 6 8 sin 90 6 8 = = cm olur. nahtar ilgi ir açının ölçüsünün sinüs değeri, açı ölçüsü 0 den 90 ye doğru artarken büyür. 90 de en büyük değerini alır. 90 den 80 ye doğru artarken küçülür. Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler 97
ölüm 5. Üçgende lan İlgili aralıkta sinüs değeri en küçük olan açının ölçüsü 50 olduğundan ( ) nın en küçük de- 6 50 ğeri, 8 n küçük değer sin 6 8 50 6 8 = = cm olur. Matematik Tarihi ir kenar uzunluğu ve bu kenara ait yüksekliği verilen bir üçgenin alanı ile iki kenar uzunluğu ve bu iki kenarın oluşturduğu açının ölçüsü verilen bir üçgenin alanını nasıl hesaplayacağımızı öğrendik. şağıdaki teorem sadece kenar uzunlukları verilen bir üçgenin alanının nasıl hesaplanabileceğini açıklamaktadır. Üçgenin alanını çevreden yararlanarak hesaplamayı sağlayan bu teorem Heron formülü olarak bilinir. Heron Of leandria (M.Ö.75) kenar uzunlukları a, b, c olarak verilen bir üçgenin alanını çevresini kullanarak hesaplamıştır. Heron ormülü c b Teorem Kenar uzunlukları a, b ve c olan üçgeninin çevresinin yarısı u olmak üzere cu = + + m a b c Gökdal,. (999). Heron ve rahmagupta ormülleri. Matematik ünyası, Sayı, 0-. a ( ) = u ^u-ah ^u-bh ^u-ch dir. 8 Kenar uzunlukları a = 5 br, b = 6 br ve c = 7 br olan üçgeninin alanını ve b kenarına ait yüksekliğinin uzunluğunu bulalım. 5 6 7 üçgeninin çevresinin yarısı u = + + = 9 br dir. Heron formülüne göre kenar uzunlukları verilen üçgenin alanı, ( ) = u ^u-ah^u-bh^u-ch olduğundan ( ) = 9 ^9-5h ^9-6h ^9-7h = 9 = 6 6 br olarak bulunur. yrıca b hb 6 hb ( ) = olduğundan 6 6 = eşitliğinden hb = 6 br olarak elde edilir. 98 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
Üçgenin lanı 9 Yandaki şekilde ( ) = ( ) 0 [] ^ [] = 9 br = 0 br ve = br olduğuna göre 9 değerini bulalım. ( ) = ( ) = S ve ( ) = S olsun. S S 9 ( ) = ( ) bulunur. S 0 olduğundan u durumda ( ) = ( ) = S + S olur. üçgeninin üç kenar uzunluğu da belli olduğu için bu üçgenin alanı Heron formülü kullanılarak 9 0 hesaplanırsa u = + + = 5 br ve ( ) = 5 5 6 = 0 br olarak bulunur. 9 0 0 = eşitliğinden = br olarak 0 Üçgen şeklindeki bir yüzme havuzunun etrafına beyaz renkli fayanslar kullanılarak bir yürüyüş bölümü yapılacaktır. Havuzun kenar uzunlukları 5 m, 8 m ve m dir. Yürüyüş bölümü yapıldıktan sonra havuzun yürüyüş bölümü eklenmiş hali için kenar uzunlukları 7 m, 9 m ve m olacağına göre yürüyüş bölümünün alanını bulalım. Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler 99
ölüm 5. Üçgende lan Şekilde görüldüğü gibi havuzun çevresine yapılacak olan yürüyüş bölümünün alanı Ç( ) 7 9 ( )- ( ) dir. üçgeni için u = m = + + = olmak üzere ( ) = 7 5 = 980., 0 m 7 5 9 8 Havuzun çevresine döşenen fayansın alanı dir. Ç( ) 5 8 üçgeni için u = m = + + = olmak üzere ( ) = 7 = 6. 8, m dir. ( )-( )., 0-8, =, 97 m olarak bulunur. nahtar ilgi Heron formülü kenar uzunlukları bilinen bir üçgenin alanını hesaplamada kullanılmaktadır. u formül sayesinde aynı çevreye sahip üçgenlerin alanları karşılaştırılabilmektedir. Kenar uzunlukları birer tamsayı ve çevresi 5 cm olarak verilen bir üçgenin alanının en büyük kaç cm olduğunu bulalım. ir elektronik tablolama programı kullanarak örneği çözelim. lektronik tablo programında alanın maksimum olduğuna karar vermemiz için adım adım kenar uzunluklarındaki değişime göre alanlardaki değişimi inceleyebiliriz. unun için öncelikle çevresi 5 cm olan ve üçgen eşitsizliğini sağlayan üçgenlerde alanları belirleyerek kenar uzunluklarının değişimine göre oluşan üçgenlerin alanlarını inceleyelim. Üçgenin kenar uzunlukları a, b, c olsun. Üçgen eşitsizliğini sağlayan ve a + b + c = 5 cm olan farklı (a, b, c) tamsayı üçlülerini belirleyerek her bir durumda oluşan üçgeninin alanını Heron formülü yardımıyla hesaplayalım. a b c u u a u b u c lan 7 7 7,5 6,5 0,5 0,5,906 6 7 7,5 5,5,5 0,5 5,569 5 7 7,5,5,5 0,5 6,959 6 6 7,5,5,5,5 8,7 7 7,5,5,5 0,5 6,7777 5 6 7,5,5,5,5 9,9567 5 5 5 7,5,5,5,5 0,85 Yukarıdaki tabloya göre üçgeninin tüm kenar uzunlukları birbirine eşit olduğunda üçgenin alanı en büyük olmaktadır. aşka bir ifadeyle sabit bir çevre uzunluğuna sahip bir üçgenin en büyük alana sahip olması için üçgenin eşkenar üçgen olması gerekir. 90 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
MTMTİK TÖLYSİ u atölye çalışmasında iki üçgenin birer kenarlarının ortak veya yükseklik uzunluklarının eşit olması durumunda üçgenlerin alanları arasında nasıl bir ilişki olduğunu inceleyeceğiz. raç ve Gereçler: Kareli kağıt, cetvel, kalem Şimdi de benzer bir incelemeyi yükseklikleri eş üçgenler için yapalım. dım Kareli bir kâğıda birer kenarları eş olan ve üçgenlerini çizerek eş olan kenarlara ait yükseklikleri h ve h olarak gösteriniz. h h H K a a dım Kareli bir kâğıda yükseklikleri eş olan ve üçgenlerini çiziniz. h h H K a d dım ve üçgenlerinin alanlarını veren ifadeleri aşağıdaki boşluklara yazınız. dım... H... h ( ) = =... K... h ( ) = = ve üçgenlerinin alanlarını oranlayınız. Sonuç ( )... = = ( )......... Yaptığınız işlemler sonunda birer kenarları eş olan üçgenlerin alanları oranı ile yüksekliklerin uzunlukları arasında belirlediğiniz ilişkiyi yazınız.......... dım ve üçgenlerinin alanlarını veren ifadeleri aşağıdaki boşluklara yazınız. dım... a... ( ) = =... d... ( ) = = ve üçgenlerinin alanlarını oranlayınız. Sonuç ( )... = = ( )......... Yaptığınız işlemler sonunda yükseklikleri eş iki üçgenin alanları oranı ile bu yüksekliklere ait kenar uzunlukları arasında belirlediğiniz ilişkiyi yazınız.......... Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler 9
ölüm 5. Üçgende lan ş Yüksekliğe veya Kenara Sahip Üçgenlerin lanlarının Karşılaştırılması Yukarıda yaptığınız atölye çalışmasından aşağıdaki sonuçlara ulaşabiliriz. Sonuç irer kenarları eş olan üçgenlerin alanları oranı, eş olan kenarlara ait yükseklik uzunluklarının oranına eşittir. Yükseklikleri eş olan üçgenlerin alanları oranı, bu yüksekliklere ait kenar uzunluklarının oranına eşittir. nahtar ilgi ir üçgenin bir kenara ait kenarortayı üçgenin alanını iki eş parçaya ayırır. Üçgen şeklindeki tarlasını iki oğlu arasında eşit I II paylaştırmak isteyen Hasan mca tarlanın bir kenarının ortasına bir kazık çakmıştır. Tarlanın bu kenarının karşısındaki köşeye de diğer bir kazık çakarak iki kazık arasına ip bağlamıştır. Oluşan iki parça tarlanın birinci kısmını büyük oğluna ikinci kısmını ise küçük oğluna vermiştir. üyük oğlu kardeşinin kendisinden daha fazla tarladan pay aldığını iddia ederek itiraz etmiştir. Hasan mca nın büyük oğlunun haklı olup olmadığını bulalım. S S ( ) = ( ) I II H ve üçgen şeklindeki tarlaların köşesinden çizilen yükseklikleri eş ve = olduğundan ve üçgenlerinin alanları eşittir. Hasan mca nın büyük oğlunun iddiası doğru değildir. Yandaki üçgeninde = ve ( ) = 5 br olduğuna göre ( ) değerini bulalım. 9 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
Üçgenin lanı ve üçgenlerinin ve kenarlarına ait yükseklikleri eştir. u nedenle ve üçgenlerinin alanları oranı oranına eşittir. ( ) eşitliğinden ( ) = ( ) = 5 ( ) = ( ) + ( ) = 0+ 5 = 5 br ve ( ) = 0 br elde edilir. bulunur. Yandaki üçgeninde = = = ve ( ) = 7 br olduğuna göre ( ) yi bulalım. ile noktalarını birleştirelim., ve üçgenlerinin köşesin- a 7 a 7 a den çizilen yükseklikleri eş ve = = olduğundan ( ) = 7 br ( ) = 7 br ise ve ( ) = br olur. u durumda ( ) = 8 br dir. 8 b 8 b Yandaki şekilden de görülebileceği gibi ve üçgenlerinin köşesinden çizilen yükseklikleri eş ve = olduğundan ( ) = 8 = 8 br dir. ( ) = 8 + 8 = br bulunur. olarak Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler 9
ölüm 5. Üçgende lan 5 6 Yandaki üçgeninde [] [] = {} ve taralı bölgelerin alanları eşittir. = 6 br = br ve = br ise = değerini bulalım. S 6 ( ) = ( ) den S S+ =... (**) olur. S+ (*) ve (**) numaralı ifadelerin eşitliğinden ( ) =, ( ) = ve taralı bölgelerden herbirinin alanı S olsun. ( ) una göre = den ( ) S+ 6 =... (*) olur. S+ 6 = olup 9 = br olarak bulunur. 6 Yandaki şekilde, [] ^ [] [] ^ [] ve ( ) = dir. ( ) = 6 br ise nun kaç birim olduğunu bulalım. kenarı ve üçgenlerinin ortak kenarı ve birer kenarları eş olan iki üçgenin alanları oranı bu kenarlara ait yükseklik uzunlukları oranına eşit olduğundan, ( ) = ( ) dir. olayısıyla 6 = den = br bulunur. 9 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
Üçgenin lanı 7 Yandaki şekildeki ( ) ( ) 9 = ve = br ise kaç birim olduğunu bulalım. G ve üçgenlerinin kenarına ait G ve yüksekliklerini çizelim. u durumda [G] // [] olur. m ( ) = mg ( ) ve m ( G ) = m ( ) olduğundan.. benzerlik kuralına göre G+ dir. uradan G =...(*) olur. irer kenarları ortak iki üçgenin alanları oranı bu kenarlara ait yüksekliklerin uzunlukları oranına eşit olduğundan =...(**) dir. ( ) G ( ) (*) ve (**) dan 8 = ( ) ( ) olur. 9 9 = eşitliğinden = br bulunur. G ir restorasyon çalışmasında üçgen mozaiklerin tahribata uğradığı tespit edilmiştir. Yandaki şekilde restorasyonu yapılan ve alanı 78 cm olan üçgen parçanın köşeleri,, noktalarıyla gösterilmiştir., ve bulundukları kenarların orta noktaları olmak üzere tahribata uğramış mozaik şekildeki gibi altı küçük üçgene ayrılmıştır. una göre G ve G üçgenleriyle gösterilen bölgelerin alanları toplamının kaç cm olduğunu bulalım. Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler 95
ölüm 5. Üçgende lan nahtar ilgi ir üçgenin üç kenarortayı üçgenin alanını altı eş parçaya ayırır. S S G S S S S G S S, ve bulundukları kenarların orta noktaları olduğundan [], [] ve [] üçgeninin kenarortaylarıdır. G üçgeninde noktası [] nın orta noktası olduğundan G ( ) = ( G) = S olarak gösterelim. iğer taraftan G noktası üçgeninde kenarortayların kesim noktası olduğundan bu nokta ağırlık merkezi olup G = G dir. u durumda G ( ) = ( G) = S dir. noktası G üçgeninde kenarının orta noktası olduğundan G ( ) = ( G) = S olur. enzer şekilde ( G) = G ( ) = S dir. u durumda üçgeninin kenarortayları üçgenin alanını altı eş parçaya ayırır. u parçalardan birinin alanı 78 6 ( G) + ( G) = 6 cm = cm dir. G ( ) = ( G) = cm olarak bulunur. olduğundan nahtar ilgi ir üçgenin bir köşesinin, bu köşenin karşısındaki kenara paralel olan bir doğru üzerinde hareket ettirilmesi üçgenin alanını değiştirmez. d 6 9 Yandaki şekilde [] // [] = 6 cm ve = cm olduğuna göre ( ) değerini bulalım. ( ) = ( ) = ( ) h H 6 olduğundan ( ) = cm ile noktalarını birleştirelim. Oluşan üçgeni ile üçgeninin birer kenarları ve bu kenarlara ait yükseklikleri eş olduğundan ( ) = ( ) dir. 6 ( ) = = = cm olarak bulunur. 96 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
Üçgenin lanı 0 Şekildeki üçgeninde [], açısının açıortayı = 7 ( ) = 8 br olduğuna göre ( ) değerini bulalım. ve üçgenlerinin sırasıyla ve kenarlarına ait yüksekliklerinin uzunlukları eşit olduğundan, bu üçgenlerin alanları oranı yüksekliklerinin ait olduğu kenar uzunluklarının oranına eşit olup =... (*) dir. yrıca [] açıortay olduğundan, İç ( ) ( ) çıortay Teoremi ne göre edilir. una göre ( ) =... (**) dir. (*) ve (**) dan = ( ) 8 7 = ise ( ) = 6 br ( ) uradan ( ) = 8 + 6 = br olur. olarak bulunur. elde nahtar ilgi N üçgeninde [N], açısının açıortayı olmak üzere, N ( ) = N ( ) dir. 8 Yandaki şekilde ve üçgenlerinde = 8 br = br m ( ) = m ( ) ve = dir. ( ) = br ise ( ) değerini bulalım. Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler 97
ölüm 5. Üçgende lan Matematik Tarihi Georg Pick (859-9) bir noktalı kağıt ya da çivili tahta üzerinde bulunan herhangi bir çokgenin alanını hesaplamak için bir yöntem geliştirmiştir. = olduğundan ( ) = ( ) = br üçgeninde m ( ) = m ( ) olduğundan üçgeninde İç çıortay Teoremine göre ( ) ( ) 8 = = = dir. = = = ( ) ve ( ) = br dir. ve buradan ( ) = ( ) dir. öylece olarak bulunur. u yöntem Pick teoremi olarak bilinir. Pick teoremine göre, köşeleri noktalar üzerinde bulunan bir çokgenin içinde kalan nokta sayısı i ve kenarlar üzerinde kalan nokta sayısı ise k olmak üzere çokgenin k alanı lan = i + - ile bulunur. una göre yukarıdaki üçgenin alanı 6 + - = 7br dir. Yandaki üçgeninde [], açısının açıortayı = br ve = br ise ( ) değerini bulalım. Pickover,.. (009). The Math book. Sterling Publishing. noktasından kenarına bir dik doğru çizelim. u doğrunun kenarını kestiği nokta olsun. çıortay üzerindeki bir noktadan açının kollarına çizilen dikmelerin uzunlukları eşit olduğundan, = = br olur. uradan ( ) = = = 8 br olarak bulunur. 98 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
Üçgenin lanı Yandaki şekilde = 5 cm 5 I 6 = 6 cm = 7 cm dir. 7 I üçgenin iç açıortaylarının kesim noktası olmak üzere şekilde verilenlere göre I ( ) değerini bulalım. 5 5S I 7S 7 6S Ç() = 5+ 6+ 7 = 8 cm 6 [I], [I], [I] üçgeninin iç açıortayları ve açıortay üzerindeki bir noktadan açının kollarına indirilen dikmelerin uzunlukları eşit olduğundan I = I = I dır. I, I ve I üçgenlerinin yükseklikleri eş olduğundan, bu üçgenlerin alanları taban uzunlukları ile orantılı olup, I ( ) = 5S ( I) = 7S Ç( ) ve u = = 9 cm dir. ( ) = 9^9-5h^9-6h^9-7h = 6 6 cm dir., I ( ) yazılabilir. = 6S ve yrıca ( ) = ( I) + ( I) + ( I) = 8S olup buradan 8S = 6 6 ise 6 6 S = = 6 cm dir. 8 6 u durumda I ( ) = 6S = 6 = 6 cm olarak bulunur. Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler 99
MTMTİK TÖLYSİ İki üçgen benzer ise karşılıklı kenar ve yardımcı elemanlarının (yükseklik, açıortay ve kenarortay) uzunlukları arasında bir oran olduğunu ve bu orana benzerlik oranı denildiğini öğrenmiştik. u atölye çalışmasında benzer üçgenlerin alanları ile benzerlik oranı arasındaki ilişkiyi inceleyeceğiz. raç ve Gereçler: inamik geometri yazılımı dım ir dinamik geometri yazılımını kullanarak üçgeni çiziniz. dım Yazılımın nesneleri belirli bir katsayıyla büyütme/küçültme özelliğinden yararlanarak üçgeninin katı büyüklüğündeki üçgenini oluşturunuz. dım Yazılımın ilgili ölçüm özelliklerini kullanarak ve üçgenlerinin alanlarını ve benzerlik oranını bularak aşağıdaki tabloyu doldurunuz. ( ) =? ( ' ' ') =? ( ' ' ')? = ( ) enzerlik oranı dk = ' ' n dım Yukarıdaki tabloya göre benzer üçgenlerin alanları oranı ile benzerlik oranı arasında nasıl bir ilişki bulunmaktadır? üçgenini köşe noktalarından hareket ettirerek üçgenin farklı durumları için gözlem yapınız. Oluşan üçgenlerin benzerlik oranı ile alanlarının oranı arasında nasıl bir değişim gözlemlediniz?... Sonuç: Yapmış olduğunuz çalışmalar sonunda nasıl bir sonuca ulaştınız? Ulaştığınız sonucu aşağıya yazınız.... 90 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
Üçgenin lanı Sonuç p k m k n k p m n enzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir. Yandaki şekilde + ve bu iki üçgen arasındaki benzerlik oranı k ise, ( ) = k dir. ( ) İspat: Verilenler: + ve İstenen: ( ) = k ( ) + ise W, W, = = = k, k R + = = k dır. uradan nahtar ilgi Üçgenlerin benzerlik oranı, alanları oranına eşitse bu iki üçgen eştir. ( ) ( ) sin = = = k k = k sin elde edilir. Yandaki şekilde [] // [] dir. = ve Taralı alan br ise ( ) değerini bulalım. Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler 9
ölüm 5. Üçgende lan [] // [] olduğundan m ( ) = m( ) ve m ( ) = m ( ) dir... benzerlik kuralına göre + olur. O halde benzerlik oranı = tür. enzer üçgenle- rin alanları oranı benzerlik oranının karesine eşit olduğundan dir. ( ) = ( ) + 9 6 ( ) = 7+ = 8 br ( ) = c m = ( ) olduğundan 7 ( ) = 9 ve ( ) = 7 br olarak bulunur. dir. 9 6 5 Yandaki şekilde m ( ) = m ( ) ( ) = br ve = ise taralı alanın kaç br olduğunu bulalım. m ( ) = m ( ) ve m ( ) = m ( ) olduğundan.. benzerlik kuralına göre + dir. u benzerlikte benzerlik oranı = olur. enzer iki üçgenin alanları oranı benzerlik oranlarının karesine eşit olduğundan ( ) 9 = c m = ise ( ) 6 bulunur. ( ) = Taralı lan = ( )- ( ) = 8 = br olur. 9 6 eşitliğinden ( ) = 8 br olarak 9 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
Üçgenin lanı 6 Yandaki şekilde ve üçgenlerinde eş açılar gösterilmiştir. 8 = 8 br ve = br olduğuna göre ( ) ( ) oranını hesaplayalım. α β 8 β θ α + β α + θ β + θ θ α üçgeninde eş olan açıların ölçülerini yandaki şekildeki gibi harflendirelim. ir üçgende iki iç açının ölçülerinin toplamı, bu açılara komşu olmayan açının dış açısının ölçüsüne eşit olduğundan üçgeninin iç açı ölçüleri; m ( ) = α+ β, m ( ) = θ+ β, m ( ) = α+ θ olur. ve üçgenlerinin karşılıklı açıları birbirine eş olduğundan + olur. u benzerliğe ait benzerlik oranı = = olarak bulunur. 8 enzer iki üçgenin alanları oranı benzerlik oranının karesine eşit olduğundan ( ) = ( ) 6 olarak elde edilir. Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler 9
MTMTİK TÖLYSİ Önceki bölümlerde tüm kenar uzunlukları birbirine eşit olan üçgenlere eşkenar üçgen denildiğini ve eşkenar üçgende tüm yükseklik uzunluklarının birbirine eşit olduğunu öğrenmiştik. şkenar üçgenin bu ve bunun gibi birçok farklı özelliği bulunmaktadır. u özelliklerden birisi de eşkenar üçgenin yüksekliği ile üçgen içerisinde alınan bir noktadan kenarlara çizilen dikmeler arasındaki ilişkilidir. u atölye çalışmasında bu ilişkiyi inceleyeceğiz. raç ve Gereçler: inamik geometri yazılımı dım ir dinamik geometri yazılımında düzgün çokgen özelliği yardımıyla bir eşkenar üçgeni çiziniz. dım üçgeninin iç bölgesinde bir P noktası belirleyiniz. P noktasından üçgenin kenarlarına dikler çizerek bu diklerin üçgeninin kenarlarını kestiği noktaları sırasıyla, ve ile gösteriniz. öylece [P], [P] ve [P] diklerini belirleyiniz. P dım Yazılımın ölçme özelliklerini kullanarak P, P ve P değerlerini bulup aşağıdaki tabloyu doldurunuz. P P P P + P + P dım P noktasını üçgeninin iç bölgesinde hareket ettirerek P noktasından üçgeninin kenarlarına çizilen dikmelerin uzunlukları toplamında nasıl bir değişim olduğunu gözlemleyiniz. Sonuç: Yapmış olduğunuz çalışma sonunda ulaştığınız sonucu aşağıya yazınız..... 9 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
Üçgenin lanı Teorem P ir eşkenar üçgeninin iç bölgesinde alınan bir P noktasından kenarlara çizilen dikmelerin uzunlukları toplamı, eşkenar üçgenin yüksekliğinin uzunluğuna eşittir. Yandaki üçgeninde P + P + P = H dır. H İspat: Verilenler: eşkenar üçgen, P noktası üçgeninin iç bölgesinde bir nokta, [H], kenarına ait yükseklik İstenen: P + P + P = H P H eşkenar üçgenin kenarına ait yüksekliğinin uzunluğu H = h olsun. P noktasını, ve noktalarıyla birleştirelim. u durumda üçgeninin içinde üç farklı üçgen oluşur. u üçgenlerin alanları sırasıyla ( P) = P, ( P) = P ( P) = P dir. üçgeni bir eşkenar üçgen olduğundan = = = a olsun. eşkenar üçgeninin alanı, ( ) = ( P) + ( P) + ( P) biçiminde yazılabileceğinden; ( ) = ( P) + ( P) + ( P) = P + P + P = a P + a P + a P a h= a^p + P + P h elde edilir. u son eşitlikten H = h = P + P + P bulunur. ve Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler 95
ölüm 5. Üçgende lan 7 Yanda verilen eşkenar üçgeninin alanı br dir. Üçgenin içindeki bir noktası için, [] [] [] [] = br ve = br olduğuna göre noktasının kenarına olan uzaklığını bulalım. nahtar ilgi a a a ir kenarının uzunluğu a br olan eşkenar üçgenin alanı a tür. = a birim olsun. şkenar üçgenin yüksekliği a G = olduğundan a H a a a G ( ) a = = = br a bulunur. una göre = olup 60 G a a = 8 eşitliğinden a = br bulunur. a uradan G = = = 6 br elde edilir. noktasının kenarına olan uzaklığı H olsun. una göre [H] ^ [] dir. 0 şkenar üçgenin içerisinde alınan bir noktadan kenarlara çizilen dikmelerin uzunlukları toplamı üçgenin yükseklik uzunluğuna eşit olduğundan, + + H = G den + + H = 6 ise H = br bulunur. 8 8 P Yandaki eşkenar üçgeninde P noktası üçgeninin iç bölgesinde bir noktadır. [P] // [], [P] // [] ve [P] [] P = br P = 8 br P = br olduğuna göre ( ) değerini bulalım. 96 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
Üçgenin lanı H 60 0 P 60 8 0 K P noktasından ve kenarlarına dikmeler çizelim. [P] // [] olduğundan mhp ( ) = 60 ve [P] // [] olduğundan mpk ( ) = 60 olur. PH ve PK üçgenleri 0-60 - 90 üçgeni olduğundan PH = br ve PK = br olarak bulunur. u durumda üçgeninin yüksekliği h = + + = 9 olarak bulunur. şkenar üçgenin bir kenar uzunluğu a br olmak üzere a h = olduğundan a ( ) = a 9 = ve a = 8 br bulunur. 8 olduğundan ( ) = = 8 br bulunur. Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler 97
MTMTİK TÖLYSİ şkenar üçgenin yüksekliğinin, üçgenin içerisinde alınan bir noktadan kenarlara çizilen dikmelerin toplamına eşit olduğunu öğrendik. u atölye çalışmasında benzer bir ilişkinin ikizkenar üçgen için de geçerliği olup olmadığını inceleyeceğiz. unun için aşağıdaki adımları takip ediniz. raç ve Gereçler: inamik geometri yazılımı dım ir dinamik geometri yazılımı yardımıyla bir ikizkenar üçgeni çiziniz. dım ikizkenar üçgeninin [] tabanı üzerinde bir P noktası alarak P noktasından eş olan kenarlara dikler çiziniz. iklerin eş kenarları kestiği noktaları ve olarak isimlendiriniz. dım ikizkenar üçgeninde P noktasından eş kenarlara çizdiğiniz dikmelerin uzunluklarını bularak aşağıdaki tabloyu tamamlayınız. P P P P + P dım P noktasını üçgeninin kenarı üzerinde hareket ettiriniz. P noktasından ve eş kenarlarına çizdiğiniz dikmelerin uzunlukları toplamındaki değişimi gözlemleyiniz. Sonuç: Yapmış olduğunuz çalışma sonunda ulaştığınız sonucu aşağıya yazınız....... 98 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
Üçgenin lanı Özellik ir ikizkenar üçgende taban üzerinde alınan herhangi bir noktadan diğer kenarlara indirilen dikmelerin uzunlukları toplamı, eş kenarlara ait yüksekliğin uzunluğuna eşittir. H Yandaki ikizkenar üçgeninde = ve P [] olmak üzere P + P = H dır. P İspat Verilenler: ikizkenar üçgen, ve eş kenarlarına ait yüksekliklerin uzunlukları sırasıyla h c ve h b, = = a İstenenler: P + P = h b = h c ile P noktalarını birleştirerek P ve P üçgenlerini oluşturalım. P ve P üçgenlerinin alanlarının toplamı üçgeninin alanına eşit olduğundan, P ( ) = P ( ) + P ( ) = a P + a P a hb = a ( P + P ) & hb = P + P elde edilir. uradan P + P = h b = h c dir. Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler 99
ölüm 5. Üçgende lan 9 0 0 Şekildeki ikizkenar üçgeninde [] [] ^ [] [] ^ [] = = 0 br = br = br olduğuna göre üçgeninin alanını bulalım. 0 H [] kenarına ait [H] yüksekliğini çizelim. ir ikizkenar üçgenin tabanında alınan bir noktadan kenarlara çizilen dikmelerin toplamı ile üçgenin eş olan kenarlarına ait yükseklik uzunluğu eşit olduğundan H = + = + = 7 br bulunur. H 0 7 una göre ( ) = = = 5 br olarak bulunur. 90 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
KNİMİZİ SINYLIM Üçgenin lanı Kavrama ve Muhakeme. şağıdaki ifadelerden kesinlikle doğru olanların yanındaki boşluğa () yazınız. a. (...) ir üçgenin alanı herhangi bir yüksekliğinin uzunluğu ile herhangi bir kenarının uzunluğunun çarpımına eşittir. b. (...) ir dik üçgenin alanı herhangi iki kenar uzunluğunun çarpımının yarısına eşittir. c. (...) ir üçgenin alanı bir kenar uzunluğu ile bu kenara ait yükseklik uzunluğunun çarpımının yarısına eşittir. ç. (...) Sabit çevreye sahip üçgenler içerisinde alanı en büyük olan üçgen eşkenar üçgendir. a. (...) ( ) = b. (...) ( ) = c. (...) ( ) = ç. (...) ( ) = d. (...) ( ) = sin sin d. (...) ir kenar uzunlukları eşit olan üçgenlerin alanları oranı bu kenarlara çizilen yüksekliklerin uzunlukları oranına eşittir.. e. (...) ir üçgenin iç açıortayları üçgenin alanını altı eş parçaya ayırır. f. (...) ir ikizkenar üçgenin tabanı üzerinde alınan bir noktadan eş kenarlara indirilen dikmelerin uzunlukları toplamı taban uzunluğuna eşittir. M S P g. (...) enzer iki üçgenin alanları oranı benzerlik oranının karesine eşittir. Yukarıdaki şekilde [], üçgeninin orta O O tabanlarından biri S, M ve P sırasıyla, ve O nin alanı olduğuna göre aşağıda verilen ifadelerden hangisi yada hangileri doğrudur?. Yandaki şekle göre verilen eşitliklerden doğru olanların yanına yanlış olanların yanında Y yazınız. I. S = M II. P = S III. P > M Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler 9
Üçgenin lanı KNİMİZİ SINYLIM. bir üçgen. Yandaki şekilde [] = br S S S S [] orta taban ve T _ i = S T _ i = S T _ i = S ve T _ i = S olmak üzere ise ( ) kaçtır? 5 = 5 br ( ) = br I. S > S II. S + S = S III. S > S ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?. Yandaki şekilde = ( ) = br lıştırmalar ise ( ) kaçtır?. Yandaki üçgeninde = cm 50 = cm m ^ h= 50 olduğuna göre _ T i kaçtır?. Yandaki şekilde ve birer üçgen [H] [] [K] [] H K H = ve K T ( ) = cm olduğuna göre ( T ) kaçtır? 9 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
KNİMİZİ SINYLIM Üçgenin lanı 5. 7 9 8 Yandaki üçgeninde = 7 cm = 8 cm = 9 cm. 6 ise ( ) kaçtır? 60 Yandaki üçgeninde m ( ) = 60 = 6 cm = cm olduğuna göre ( T ) kaçtır? Uygulama ve Problem Çözme. Yanda verilen üçgeninde. ise ( ) kaçtır? Yandaki üçgeninde [], açısına ait açıortay = ( ) = br 5 ise ( T ) kaçtır? [], açısına ait açıortay = cm = 5 cm m ( ) = 90. ( ) = 90 br G ise ( G ) kaçtır? Yandaki şekilde G, üçgeninin ağırlık merkezi = 5. 6 m ( ) = 90 ise ( T ) kaçtır? 9 Yandaki şekilde [] ve [], sırasıyla ve açılarına ait açıortaylar = 6 br = 9 br Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler 9
Üçgenin lanı KNİMİZİ SINYLIM 6. 6 9 60 Yandaki üçgende [] ve [] sırasıyla ve açılarının dış açıortayları = 6 br 9. Yandaki şekilde,,, üçgeninin kenar orta noktaları ( ) = br = 9 br ise ( ) kaçtır? m ( ) = 60 ise ( ) kaçtır? 7. ise ( ) G kaçtır? Yandaki şekilde G, üçgeninin ağırlık merkezi,, kenar orta noktaları (G) = br 0. 6 ise ( ) kaçtır? H Yandaki şekilde H, üçgeninin diklik merkezi [] [] = {} = 6 br = br. Yandaki şekilde 8. ise ( G) G H kaçtır? Yandaki üçgeninde [], [], [] kenarortaylar, H, doğrusal ( HG) = br ikizkenar üçgen = 5 = 0 br = 5 br = 6 br,, doğrusal ve m ( ) = 90, ise ( ) kaçtır? 9 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
KNİMİZİ SINYLIM Üçgenin lanı. H ise K kaçtır? K Yandaki şekilde [] [H] = {K} ( H) ( ) = H = br 5. ( PRS) L P R K S M = br olduğuna göre ( ) üçgeninin kenarlarının orta noktalarını köşe kabul eden oluşturuluyor. u işlem iç içe dört üçgen oluşana kadar devam ettiriliyor. kaç br dir?. Yandaki şekilde 60 6 6 ve birer üçgen T m( ) = 60 = = br 6. 8 ve birer üçgen, taralı alanlar birbirine eşit olduğuna göre = kaç br dir? = = 6 br ise taralı alanlar toplamı kaçtır? 7. bir üçgen. S S üçgeninin alanını iki eşit parçaya bölecek şekilde [] na paralel bir [] çiziliyor. = cm 8 olduğuna göre ( ) [] [] // [] = ( ) = br ( ) = 8 br kaç br dir? olduğuna göre = değeri kaç cm dir? Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler 95
Üçgenin lanı KNİMİZİ SINYLIM 8. 0 I olduğuna göre ( I ) kaç br dir? üçgeninde m( W ) = 90 I, iç açıortayların kesim noktası, I = br. olduğuna göre ( ) kaç br dir? üçgeni açısı dik açı olan bir üçgen m ( ) = m ( ) = br = br 9. bir üçgen [] // [] [] 8 ( ) = br ( ) = 8 br olduğuna göre ( ) kaç br dir?. G olduğuna göre ( ) üçgeninde G ağırlık merkezi, G, doğrusal ve [] // [G] olup taralı alanların toplamı 0 br kaç br dir?. Yanda verilen şekilde 0. 8 olduğuna göre ( ) kaç br dir? dik üçgen [] // [] = br = 8 br I I = br, I = br, = br olduğuna göre I, üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi [] // [I] [] // [I] ( I) oranı kaça eşittir? ( ) 96 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
KNİMİZİ SINYLIM Üçgenin lanı. 5 0 olduğuna göre ( ) 5 kaç br dir? Yandaki şekilde = = 5 br = br = 0 br m( W ) = 90 7. 5 6 5 ise ( ) kaçtır? Yandaki şekilde, üçgeninin iç teğet çemberin merkezi [] // [] [] // [] = = 5 br = 6 br 5. Yandaki şekilde 0 ( ) = 5 br 6 ise ( ) kaç br dir? = br = 6 br = 0 br = br 8. [] // [] // [],, ve,, noktaları doğrusal = = y 6. ir kenar uzunluğu 0 metre olan eşkenar üçgen şeklindeki tarlada çalışan İsmail mca tarladaki tüm işi bitirmek için 00 TL ye anlaşıyor. ir gün sonunda İsmail mca tarlanın her bir kenarından metre içeride kalan eşkenar üçgen şeklindeki bir bölgedeki işi bitiriyor ve işi bıraktığını söylüyor. ( ) ( ) = y z - - y = z olmak üzere olduğunu gösteriniz. İsmail mca bir günlük bu çalışması sonucunda ne kadar ücret almalıdır? Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler 97
MTMTİK TÖLYSİ u atölye çalışmasında bir üçgenin kenar uzunlukları ile bu kenarların karşılarındaki açı ölçülerinin sinüs değerlerinin oranları arasındaki ilişkiyi inceleyeceğiz. raç ve Gereçler: inamik geometri yazılımı dım inamik geometri yazılımında bir üçgeni çiziniz. dım Çizdiğiniz üçgenin kenar uzunlukları ve açı ölçülerini yazılımın ilgili ölçüm araçlarını kullanarak hesaplayınız. dım Yazılımın hesap yapma özelliği yardımıyla bir önceki adımda bulduğunuz ölçümleri kullanarak her bir kenar uzunluğunun bu kenarın karşısında bulunan açı ölçüsünün sinüs değerine oranlarını bulunuz. ulduğunuz oranları aşağıya not ediniz. a b c =... =... =... sin sin sin dım üçgenini köşelerinden sürükleyiniz. Oluşan farklı üçgenler için yukarıda bulduğunuz oranları inceleyiniz. Sonuç Yaptığınız incelemeler sonunda bir üçgenin kenar uzunlukları ile bu kenarların karşılarında bulunan açı ölçülerinin sinüs değerlerinin oranları arasında belirlediğiniz ilişkiyi yazınız....... 98 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
Sinüs Teoremi 5... Sinüs Teoremi Neler Öğreneceğiz? aşlarken ir harita veya kroki üzerinde belirli noktaların birbirlerine uzaklıkları ve bu noktaları birleştiren yolların oluşturduğu açı ölçülerinden bazılarının bilinmesi durumunda bilinmeyen uzaklıkların bulunmasında Sinüs Teoremi kullanılabilir. Sinüs Teoremi yardımıyla bir üçgenin belirli sayıda elemanı ölçüsü verildiğinde diğer elemanların ölçülerini bulmayı nahtar Terimler Sinüs Teoremi 0 70 aha önceki bölümlerde öğrendiğimiz Kosinüs Teoremi, bir üçgenin iki kenar uzunluğu ve bu kenarların oluşturduğu açının ölçüsünün bilindiğinde üçgenin üçüncü kenar uzunluğunun bulunmasında kullanılmaktadır. ncak yanda verilen üçgeninde veya nu hesaplamada Kosinüs Teoremi doğrudan kullanılamaz. u bölümde bir üçgenin açı ölçüleri ve kenar uzunluklarından bazılarının verilmesi durumunda diğerlerini nasıl hesaplayacağımızı öğreneceğiz. şağıdaki teorem üçgenin açı ölçülerinin sinüs değerleri ile kenar uzunlukları arasında nasıl bir ilişki bulunduğunu ifade etmektedir. u teorem Sinüs Teoremi olarak bilinmektedir. Teorem c b Kenarlarının uzunlukları a, b, c ve bu kenarların karşılarındaki iç açıları sırasıyla,, olan bir üçgen için a a sin b c = = ilişkisi vardır. sin sin Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler 99
ölüm 5. Üçgende lan İspat Verilenler: bir üçgen, = a, = b, = c a b c İstenen: = = sin sin sin üçgeninin alanını iki kenarı ve bu kenarların oluşturduğu açıların sinüs değerleri cinsinden yazalım. u c durumda; b ( ) = b c sin = a c sin = a. b sin olur. a u eşitlikleri ile çarpıp a b c ile bölersek; b c sin = a c sin = a b sin a b c a b c a b c eşitlikleri elde edilir. u son eşitlikte gerekli sadeleştirmeler yapıldığında sin sin sin a = b = c ifadesine ve buradan da a b c = = eşitlikleri elde sin sin sin edilir. 0 c a 50 üçgeninde m( V) = 0 m( W ) = 50 = cm olduğuna göre = c ve = a değerlerini bulalım. sin (50) 0,7660 sin (00) 0,98807750 Üçgenin iç açı ölçüleri toplamı 80 olduğundan m( W ) = 00 dir. a c üçgeninde Sinüs Teoreminden = = eşitlikleri yazılabilir. sin00 sin 0 sin 50 50 ve 00 lik açı ölçülerinin sinüs değerleri hesap makinesi yardımıyla yaklaşık değerleri sin50. 0, 77 ve sin 00. 098, olarak bulunur. a c u değerler yerine yazılırsa; = = elde edilir. 098, 0, 5 077, u son eşitlikten a. 7, 8 cm ve c. 6, 6 cm bulunur. 950 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
Sinüs Teoremi Müze,5 km 60 y Stadyum 5 v Yanda verilen krokide müzeye giden yolların oluşturduğu açı ölçüsü 60, eve giden yolların oluşturduğu açı ölçüsü 5 ve müze ile stadyum arası mesafe,5 km olduğuna göre şekilde verilen ve y değerlerini bulalım. Üçgenin iç açı ölçüleri toplamından stadyuma giden yolların oluşturduğu açının ölçüsü 5, y 80 (60 + 5 ) = 66 olarak bulunur. Sinüs Teoreminden = = sin5 sin 60 sin 66 olup, 5, 60 ve 66 lik açı ölçülerinin yaklaşık sinüs değerleri hesap makinesi yardımıyla hesaplanarak yerlerine yazılırsa, = = olur. 5, y 08, 087, 0, 9 5, 087, u son eşitliklerden in yaklaşık değeri. den., 69 km ve y nin yaklaşık değeri y. den y., 8 km olarak bulunur. 08, 5, 09, 08, Yandaki şekilde 50 m ( ) = 50 = cm = cm = cm [] ^ [] Verilenlere göre = değerini bulalım. sin (60) 0,8660507 sin (5) 0,8090699 sin (66) 0,955576 dik üçgeninde Pisagor Teoremine göre = + dir. Verilen uzunluk değerleri yerlerine yazılırsa = + = = cm olur. dik üçgeninde m ( ) = a olsun. u durumda sin a = dür. + üçgeninde Sinüs Teoreminden = dır. uradan sin50 sin a + 7 = & + 6 = & = cm olarak bulunur. Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler 95
ölüm 5. Üçgende lan 00 8 km 70 Yandaki şekilde, rotası üzerindeki fırtınadan kaçmak isteyen bir uçağın izlediği yol görülmektedir. Uçak noktasında 70 lik sağa dönüş yaparak 8 km yol almış ve daha sonra sola 00 lik dönüş yapıp bir müddet ilerleyerek noktasında rotasına geri dönmüştür. Uçağın fazladan kaç km yol aldığını hesaplayalım. sin (70) 0,9969607 00 80 8 km, ve noktaları doğrusal olduğundan m ( ) = 80-00 = 80 dir. nin iç açı ölçüleri toplamı 80 olduğundan sin (80) 0,98807750 0 70 m ( ) = 80 -( 80 + 70 ) & m ( ) = 0 dir. nde Sinüs Teoremi uygulanırsa 8 = = olup hesap makinesi sin80 sin 70 sin 0 yardımıyla bulunan 70 ve 80 lik açı ölçülerinin sinüslerinin yaklaşık değerleri sin 70 0,9 ve sin 80 0,98 ve bu değerler Sinüs Teoreminde yerlerine yazılırsa, 8 = = elde edilir. 098, 0, 9 05, u son eşitlikten = 6 0,98 5,68 km ve 6 0,9 = 5,0 km olarak bulunur. Uçağın fazladan aldığı mesafe + olduğundan istenen sonuç 8 + 5,0 5,68 = 7,6 km olarak bulunur. 5 Yandaki resimde dikeyle 0 lik açı yapan bir direğin gölgesinin boyu 0 m olarak ölçülmüştür. una göre direğin boyunu hesaplayalım. 0 0 m 0 95 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
Sinüs Teoremi ireğin dikeyle yaptığı açı 0 olduğundan üçgeninde m ( ) = 90-0 = 80 dir. nin iç açı ölçüleri toplamı 80 olduğundan, m ( ) = 80 -( 0 + 80 ) = 60 olur. 60 nde Sinüs Teoreminden = 0 sin60 sin 0 0 80 olup 0 ve 60 lik açı ölçülerinin yaklaşık sinüs 0 m değerleri hesap makinesi yardımıyla hesaplanarak yerlerine yazılırsa, 0 08, 7 = 06, olur. u son eşitlikten in yaklaşık değeri, c 88, m olarak bulunur. sin (0) 0,67876096 sin (60) 0,8660507 6 y 6 5 Yandaki şekilde = 6 cm = 5 cm = cm = cm m ( ) = ve m ( ) = y dir. sin u verilenlere göre oranını hesaplayalım. sin y üçgeninde m ( ) = a olsun., ve y noktaları doğrusal olduğundan m ( ) = 80 -a dır. 6 5 üçgeninde Sinüs Teoreminden 6 α = & = ve buradan 80 α sina sin sina sin sin a sin = olur. enzer şekilde üçgeninde 6 5 Sinüs Teoreminden = & = sin( 80 - a) sin y sin( 80 - a) sin y sin( 80 - a) ve buradan sin y = olur. sin (80 a) = sin a olduğundan 5 sin a sin 6 sin 0 0 = ve buradan = = olarak bulunur. sin y sin a sin y 8 9 5 İnceleyelim ütünler açıların ölçülerinin sinüs değerleri birbirine eşittir. α θ sin a = sin q Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler 95
Sinüs Teoremi KNİMİZİ SINYLIM Kavram ve Muhakeme. Kenar uzunlukları a, b, c ve bu kenarların karışlarındaki açıları sırasıyla,, olan bir üçgeni için aşağıdaki boşlukları uygun şekilde doldurunuz. a b... = = sin... sin. şağıdaki üçgenlerde verilenlere göre sin değerlerini bulunuz. a. 0 8. şağıdakilerden hangileri tek başına verildiğinde bir üçgeninin c kenar uzunluğu bulunabilir? b. 0 (sin5 0,8) I. b, sin, sin II. a, sin, sin III. sin, sin, sin lıştırmalar. şağıdaki şekillerde değerlerini hesaplayınız. a. c. G 5 50 K 0 5 (sin5 0,8) H b. 8 0 05 5 5. şağıdaki üçgenlerde değerlerini hesaplayınız. a. 50 c. H 0 G 8 50 K (sin8 0,) b. 5 5 65 (sin65 0,9) 95 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
KNİMİZİ SINYLIM Sinüs Teoremi. Yandaki şekilde m ( ) = 0 m ( ) = 50 y = 0 50 = y olduğuna göre oranı neye eşittir? y. 7 y 5 Yanda verilen şekilde [], açısının açıortayı, m( ) = m ( ) = y = 7 cm = 5 cm Uygulama ve Problem Çözme = sin y olduğuna göre oranı kaçtır? sin. θ 60 Yanda verilen üçgeninde = cm = cm m ( ) = 60 m ( ) = q ve = olduğuna göre sin q değerini bulunuz.. 00. 60 y 0 Yanda verilen üçgeninde m ( ) = m ( ) = y m ( ) = 0 m ( ) = 60 = sin u verilenlere göre oranı neye eşittir? sin y 5 (sin00 0,98) (sin65 0,90) 5 lik eğimli bir dağın noktasında yere dikilmiş direk noktasından gergin bir iple yere bağlanmıştır. İpin uzunluğu 7 m olduğuna göre direğin boyunu hesaplayınız. Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler 955
Sinüs Teoremi KNİMİZİ SINYLIM 5. uvar 50 7. 9 7,5 m uvar Kapı noktasındaki güvenlik kamerası m ( ) = 75 olacak biçimde önündeki alanı görüntülemektedir. una göre duvarında görüntüleyemediği bölgenin uzunluğu kaç metredir? ( sin65. 090,, sin 0. 0, 65, sin 75. 096, sin 50. 075, ) Yukarıdaki şekilde kentinden 6.000 km uzaklıktaki noktasında bulunan bir haberleşme uydusunun resmi görülmektedir. m ( ) = ve m ( ) = 9 olduğunu göre ile kentleri arasındaki uzaklık yaklaşık olarak kaç km dir? ( ile kentlerini birleştiren çizginin düz olduğu kabul edilecektir.) ( sin9. 0, 6, sin. 066, ) 6. 8. 0 0 m 5 y 7 8 60 km Samsun Trabzon (sin8 0,) (sin 0,) (sin 0,67) Yandaki şekilde verilen açı ve uzunluk ölçülerine göre gemilerin fenere olan uzaklıklarını bulunuz. ( sin95. 099,, sin 7. 0, 6, sin 8. 0, 7) Trabzon-Samsun arasında deposunda bir arıza meydana gelen uçak en çok 70 km daha uçabilecektir. Trabzon a ya da Samsun a ulaşıp ulaşamama durumunu araştırınız. 956 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
KNİMİZİ SINYLIM Sinüs Teoremi 9. θ θ α α β β Yukarıdaki şekilde noktası üçgenin iç bölgesinde olmak üzere, sin q sin b sin a = sin q sin b sin a eşitliğinin doğruluğunu gösteriniz. 0. θ θ c b α 80 α m n şağıda iç açıortay teoreminin ispatı iki kolonlu ispat biçimiyle verilmiştir. una göre boş bırakılan yerleri tamamlayınız. İfade c m =............ = sin( 80 - α) sin θ c sin α b sin( 80 - α) c b m sin θ n sin θ Gerekçe üçgeninde Sinüs Teoremi üçgeninde Sinüs Teoremi =... m =... n Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler 957
ölüm 5.. Üçgenin lanı ÖLÜM ĞRLNİRM. G ve ( H) H = br ise ( H) Yandaki şekilde [] [G] = {H} ( GH) G ( ) kaçtır? = 5. G Yandaki eşkenar üçgeninde [] [] [G] [] ve [] [] = br G = br ( ) = 7 br olduğuna göre kaçtır?. 6 Yanda verilen üçgeninde = 6 br = 0 br alanı kaçtır?. 0 8 [] ^ [] olduğuna göre taralı bölgenin Yandaki şekilde [], açısına ait açıortay = = br 5. 8 ise ( ) kaçtır? 6 Yandaki şekilde [] [] = {} = br = 8 br = br = 6 br = 8 br cos( ) = 08, ise ( ) kaçtır? 958 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
ölüm 5.. Üçgenin lanı ÖLÜM ĞRLNİRM 6. Yandaki üçgeninde [] // [] = 7 ( ) ( kaçtır? ) 8. 6 Yandaki şekilde [] [] = {} = br = br = 6 br = br ( ) = br ise ( ) kaçtır? 7. G 9. 7 Yukarıdaki üçgeninde = G = G = ve 6 = ( ) ise kaçtır? ( ) Yukarıdaki üçgeninde = br, = = br, = 7 br ve () = br ise ( ) kaçtır? Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler 959
ölüm 5.. Üçgenin lanı ÖLÜM ĞRLNİRM 0. Yandaki şekilde [] // [] // [],, ve,, noktaları doğrusal. 6 G 8 Yandaki şekilde [] // [] [] [] = {G} = G = br 6 = = = 6 br = 8 br () = 5 cm ise () kaçtır? ise ( G) ( ) kaçtır? G =. Yandaki üçgeninde m ( ) = m ( ). ise ( ) kaçtır? = br = br ( ) = 0 br 0 Yukarıdaki şekilde = olan ikizkenar üçgenin, tabanında alınan bir noktasından eş kenarlara dikmeler çizilmiştir. = 0 br, = br, = 5 br ise ( ) kaçtır?. Yandaki üçgeninde [] // [] = () = 8 br 5. G Yandaki şekilde G noktası üçgeninin ağırlık merkezi ( ) = 5 br ise ( ) kaçtır? ise G ( ) kaçtır? 960 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
ölüm 5.. Üçgenin lanı ÖLÜM ĞRLNİRM 6. G Yandaki şekilde G üçgeninin ağırlık merkezi,, kenar orta noktaları (G) = br² 8. G H Yandaki şekilde G noktası üçgeninin ağırlık merkezi, H, kenar orta noktaları [] // [] ise ( ) kaçtır? ( ) = 7 br ise ( HG ) kaçtır? 7. H G Yandaki şekilde [], [] ve [] üçgeninin kenarortaylarıdır., H, doğrusal ( HG) = br 9. 6 α β Yandaki şekilde verilenlere göre sin α oranı sin β kaçtır? ise ( G) kaçtır? Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler 96
ölüm 5.. Üçgenin lanı ÖLÜM ĞRLNİRM 0. 75 5 9 olduğuna göre = değeri kaçtır? Yandaki üçgeninde = 9 br m ( ) = 75 m ( ) = 5. 78 7 Şekildeki gölde, = 9 km dir. noktasından ve noktalarına gitmek üzere iki kayık hareket ediyor. dan ye giden kayık, dan ye giden kayıktan kaç km fazla gitmiştir? ( sin7, 095, ve sin 78, 0, 98). 60 0 5 y Yandaki üçgeninde verilenlere göre kaçtır? y 96 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
Ünite 5 İK ÜÇGN V TRİGONOMTRİ, ÜÇGNİN LNI V VKTÖRLR ölüm 5.. u ölümde Neler Öğreneceğiz? Vektör kavramını ir vektörün uzunluğunu irim vektörü Sıfır vektörünü Konum vektörünü ş vektörleri Vektörlerin toplamını Vektörlerin skaler çarpımını Neden Öğreneceğiz? ilimde uzaklık, alan, hacim gibi bazı ölçümler bir sayı ve birim ile ifade edilirler. akat kuvvet ve hız gibi kavramları belirtmek için sayı ve birim yeterli değildir. unlara ek olarak yönü de belirtilmelidir. Örneğin, masa üzerindeki bir cisme uygulanan kuvveti, yönünü bilmeden ifade edemeyiz. u nedenle benzer durumları ifade etmede vektörleri kullanacağız. Vektörler ve Vektörlerde İşlemler
ölüm 5.. Vektörler HZIR MIYIZ?. şağıda verilen noktaları düzlemde gösteriniz. a. (, ) b. (, ) c. (, 0) d. (5, ). üzlemde (, ), (, ), (, 0) ve (0, 5) noktaları veriliyor. şağıdaki uzaklıkları bulunuz. a. b. c. d. 96 Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
Vektörler 5.. Vektörler aşlarken ir eğitim uçağı doğu yönünde saate 00 km hızla ilerlerken rüzgâr kuzeyden saatte 75 km hızla esmektedir. una göre uçağın takip edeceği yol değişir mi? Neler Öğreneceğiz? Vektör kavramını ir vektörün uzunluğunu irim vektörü Sıfır vektörünü Konum vektörünü ilardo oyununda beyaz topa ıstaka (topa vurmaya yarayan özel sopa) ile vurup, diğer top ya da toplara çarptırarak istenilen yere yönlendirmek esastır. Oyunda ıstakanın beyaz topa vuruş şiddeti ve yönü, yapılan hamleyi nasıl değiştirir? nahtar Terimler Vektör Uzunluk Yön Konum Yukarıdaki bilardo masasındaki toplar ya da futbol sahasındaki oyuncuların hareketlerinin oklar ile gösterilmesi, hareketin yönü ve hızı hakkında bilgi verme amaçlıdır. u durumlardan başka, bir nesneye uygulanan kuvvetin hangi yönde ve ne kadar şiddetli olduğu da modellenmek istenebilir. Sembol ve Gösterimler u 0 Yandaki şekildeki beyaz topa ıstaka ile vurulmak istendiğinde kesikli olarak belirtilen çizgi topun yer değiştirme yönünü, okun büyüklüğü ise uygulanan kuvvetin büyüklüğünü ifade eder. Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler 965
ölüm 5. Vektörler Matematik Tarihi William Rowan Hamilton ilardo örneğindeki topa uygulanan kuvvet ya da kuvvet sonucunda topun yer değiştirmesindeki gibi durumlarda iki temel karakteristik özellik vardır. unlardan birincisi kuvvetin ya da yer değiştirmenin hangi yönde olduğu, diğeri ise ne kadar olduğudur. Yönü ve miktarı belli olan büyüklükleri belirtmek için kullanılan yönlü doğru parçalarına vektör adı verilir. Yukarıdaki futbolcuların hareketlerini belirten vektörleri Kartezyen koordinat sistemine yerleştirelim. (805-865) Vektör kavramı 00 yıldan fazla bir süredir gelişerek bugün bildiğimiz şekline ulaşmıştır. irçok bilim adamının katkıları olan bu kavramın gelişiminde en önemli katkılardan biri İrlandalı bir bilim adamı olan William Rowan Hamilton a aittir. Hamilton un fizik, astronomi ve matematik alanında çalışmaları vardır. 0 y K L M P N 5 genellikle u, v gibi küçük harfler kullanılır. R Yer değiştirme olayında, adından da anlaşılacağı üzere başlangıç ve bitiş konumu olmak üzere iki konum vardır. Örneğin, konumunda bulunan futbolcunun K noktasına olan hareketi (yer değiştirmesi) K ile gösterilir ve K vektörü olarak okunur. K vektörünün boyu, yer değiştirmenin büyüklüğü ile doğru orantılıdır. ir vektör başlangıç ve bitiş noktaları yerine bir küçük harf ile de gösterilebilir ve bu gösterimde Hareketin başlangıç ve bitiş konumları yönünü belirleyeceği için K yerine K kullanılamaz. u iki vektörün yer değiştirme miktarı (büyüklüğü) aynı fakat ters yönlü oldukları için K = K yazılır. itiş noktası K aşlangıç noktası K K K = K aşlangıç noktası itiş noktası Rüzgâr da vektörle ifade edilebilecek bir hava olayıdır. azı ülkelerde rüzgârın yönünü göstermek için evlerin çatılarında bir çeşit rüzgârgülü kullanılır. u rüzgargülüne bakarak o anki rüzgarın yönü hakkında bilgi sahibi olunabilir. 966 Ünite 5 ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler
Vektörler ununla birlikte rüzgârın şiddetinin de bilinmesinin önemli olduğu yerler vardır. Hava alanı ya da karayollarının köprüyol bölgelerinde de rüzgârın hem yönünü hem de şiddetini belirtmek için farklı tipte rüzgârgülleri kullanılır. Rüzgâr hakkında bilgi almanın bu pratik yollarının dışında, hava durumu haritaları da kullanılır. u haritalardaki okların yönü ve büyüklüğü rüzgârın esme yönünü ve şiddetini belirtir. Yukarıdaki haritayı rüzgârın yönü ve şiddeti aynı olan herhangi bir bölgesini bir futbol sahası görülecek kadar yakınlaştırdığımızı düşünelim. O futbol sahasındaki her futbolcuya etki eden rüzgârın yönü ve şiddeti aynı olacaktır. u örnekte olduğu gibi, yönleri ve büyüklükleri eşit olan vektörlere eş vektörler denir. utbol sahasını bir düzlem, başlama vuruşunun yapıldığı noktayı orijin ve futbolcuların bulunduğu konumları da bu düzlem üzerindeki noktalar olarak düşündüğümüzde, bu noktalardaki rüzgârın yönü ve şiddeti aynıdır. Ünite 5. ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler 967
ölüm 5. Vektörler.5.5 K P N 0.5 0.5 0 0.5 L.5 y 0.5 R M.5 Örneğin, şekildeki vektörlerin konum vektörleri aşağıdaki gibi oluşturulabilir..5 R y aşlangıç noktaları orijine taşınmış vektörler sadece bitiş noktası ile isimlendirilebilirler. N 0.5 P L K 0.5 0 M 0.5 (,) ve (,) noktaları kullanılarak oluşturulan vektörünü düşünelim. y (, ) u vektör başlangıç noktası orijinde olacak şekilde taşındığında bitiş noktası (,) olur. (, ) 0 968 Ünite 5 ik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin lanı ve Vektörler