Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri

Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri Yazar Doç.Dr. Hüseyin AZCAN ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Küresel Koordinatlar Silindirik Koordinatları Dönel Yüzeylerin Elde Edilmesi Silindir ve Koninin Denkleminin Bulunması Koniklerle İlişkilendirilen Bazı Yüzeyleri İçindekiler Giriş 205 Silindirik Koordinatlar 207 Silindir 214 Koni 215 Bazı Önemli İkinci Dereceden Yüzeyler 216 Özet 220 Değerlendirme Soruları 221

Çalışma Önerileri Bu üniteyi çalışmadan önce; Uzayda dik koordinatları tekrarlayınız. Düzlemde kutupsal koordinatları tekrarlayınız. Lise yıllarından bildiğiniz silindir, küre, koni gibi geometrik nesneleri tekrar inceleyiniz. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

ÜÇ BOYUTLU UZAYDA BAZI YÜZEYLER VE KOORDİ NAT Sİ STEMLERİ 205 1. Giriş İkinci bölümde üç boyutlu uzayda kartezyen koordinat sistemi ile donatdık. Bu koordinat sisteminin öteleme, dönme ve afin eşdeğerlerini bir kenara bırakacak olursak, uzay değişik amaçlar için farklı şekillerde koordinatlanabilir. Kartezyen koordinat sistemi bizim işimizi görmekle birlikte, eğer uzayda verilen nesnenin (genelde yüzeyin) denklemini sade ve basit bir biçimde ifade edelemiyebilir. Örneğin, düzlemde gördüğümüz kutupsal koordinat sisteminde bir çemberin denklemi düzlemin kartezyen koordinatlardaki denklemine göre çok sade bir formdadır. Yine vurgulayacak olursak düzlemde (0, 0) merkezli R yarıçaplı bir çemberin kartezyen koordinat sisteminde denklemi + y 2 = R 2 olmasına karşın, kutupsal koordinat sisteminde ki denklemi r = R dir. Kartezyen denklem: + y 2 = R 2 y Kutupsal denklem: r = R R (0,0) x Bu kutupsal koordinatlar benzer şekilde üç boyutlu uzayda genişletilebilir, buna küresel koordinatlar denir. Şimdi üç boyutlu uzayı küresel koordinatlar ile koordinatlayalım. Uzayda bir X = (x 0, y 0, z 0 ) noktası alalım. z D X = x o, y o, z o = (r, θ, ) z o r y o 0 θ x o B x C A y AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

206 ÜÇ BOYUTLU UZAYDA BAZI YÜZEYLER VE KOORDİ NAT Sİ STEMLERİ Bu alınan (x 0, y 0, z 0 ) noktasını (r, θ, ) şeklinde koordinatlayabiliriz. Burada r alınan X noktasının başlangıç noktasına uzaklığı, dolayısıyla r>0 dır. θ ise X noktasını başlangıç noktasına birleştiren doğrunun xy koordinat düzlemine dik izdüşümü olan doğrununx ekseni ile yaptığı açını (radyan) ölçüsü, dolayısıyla bu açı 0 θ 2π dir. Son olarak ise X noktasını başlangıç noktasına birleştiren doğru ile xy düzlemi arasında kalan açı, dolayısıyla bu açı - π 2 π 2 dir. (x 0, y 0, z 0 ) ile (r, θ, ) arasındaki ilişkiler de aşağıdaki şekilde elde edilebilir. 0XA dik üçgeninde cos = 0A r 0A = r cos ve sin = XA r XA = r sin dir. Diğer taraftan XA = z 0 olduğundan z 0 = r sin olarak elde edilir. Dikkat edilirse 0 ise z 0 0 ve 0 ise z 0 0 olduğundan z 0 = r sin formülünde açısı z 0 ın işaretini de verir. Öte yandan 0AB dik üçgeninde cos θ = 0B 0B = 0A cos θ olur. 0A = r cos yazılırsa x 0 = 0B = 0A cos 0A cosθ yine aynı 0AB dik üçgeninde sin θ = AB AB = 0A sin = θ = r cos sinθ 0A elde edilirler. Özetle (r, θ, ) den (x 0, y 0, z 0 ) geçiş x 0 = r cos cos θ, y 0 = r cos sin θ ve z 0 = r sin olarak elde edilir. Uzayda bazı noktaların küressel koordinatları aşağıdaki şekildeki gibi işaretlenebilir. z 1, 4, 4 1 4 /4 x y Aslında yukarıdaki koordinatlama (0, 0, 0) noktasını koordinatlayamaz çünkü r = 0 dır. Bu noktayı ayrıca şu şekilde koordinatlayabiliriz. x = (0, 0, 0) r = 0, θ = 0, = 0 denilirse küresel koordinatlarla donatılan uzay ile dik koordinatlarla donatılan uzay arasında ilişki kurulmuş olur. Bu işlemin tersine (x 0, y 0, z 0 ) dır (x, θ, ) yi aşağıdaki şekilde elde edebiliriz. r = x 0 2 + y 0 2 + z 0 2 r = 0 ise θ = 0, = 0 r 0 ise ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

ÜÇ BOYUTLU UZAYDA BAZI YÜZEYLER VE KOORDİ NAT Sİ STEMLERİ 207 = sin -1 z 0 r - π 2, π 2 olduğundan iyi tanımlıdır x 0 0, y 0 0 θ 0, π 2 θ = tan -1 y 0 x 0 x 0 0, y 0 0 θ π 2, π x 0 0, y 0 0 θ π 3, 3π 2 x 0 0, y 0 0 θ 3π 2, 2π Örneğin küresel kooordinatlardaki 2, π 2, π 3 noktasının kartezyen koordinatlarını bulalım. x 0 = r cos cos θ = 2 cos π 3 cos π 2 = 0 y 0 = r sin θ cos = 2 sin π 2 cos π 3 = 1 z 0 = r sin = 2 sin π 3 = 3 den 0, 1, 3 elde edilir. noktasının küresel koardinatla- Kartezyen koordinatlarda verilen 1 2, 1 2, 1 2 rını bulalım. r = x 0 2 + y 0 2 + z 0 2 = 1 4 + 1 4 + 1 2 = 1-1 = sin -1 2 1 = π 4 1 θ = tan -1 2 = π x 0 > 0, y 0 > 0 olduğu için 1 4 2 O halde noktanın küresel koordinatları 1, π 4, - π 4 elde edilir. 2. Silindirik Koordinatlar Küresel koordinatlar gibi doğrusal olmayan bir diğer yaygın kullanıma sahip koordinat sistemi de silindirik koordinatlardır. Silindirik koordinatlar da yine düzlemin kutupsal koordinatlarının üç boyutlu uzaya genişletilmesi gibi düşünülebilir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

208 ÜÇ BOYUTLU UZAYDA BAZI YÜZEYLER VE KOORDİ NAT Sİ STEMLERİ Kartezyen koordinatları X = (x 0, y 0, z 0 ) olarak verilen bir noktayı (r, θ, z) olarak aşağıdaki şekilde koordinatlayabiliriz. z (x, y, z ) = X 0 0 0 0 θ r B y C A y Bu koordinatlamada r alınan X noktasını başlangıç noktasına birleştiren doğrunun x y düzlemine olan dik üzdüşümünün uzunluğu, dolayısıyla r > 0 dır. θ ise bu dik izdüşümün x ekseni ile yaptığı açı, dolayısıyla 0 θ< 2π dir. Son olarak ise OX doğrusunun z ekseni üzerine olan dik izdüşümünün işaretli uzunluğu z = z 0 dır. Bu durumda kartezyen koordinatlarda verilen bir (x 0, y 0, z 0 ) noktasının (r,, z) silindirik koordinatları aşağıdaki şekilde bulunur. r = + y 0 2 θ = cos -1 x 0 x 0 2 + y 0 2 = sin-1 y 0 x 0 2 + y 0 2 z = z 0 Tersine silindirik koordinatlarda verilen bir (r, θ, z) noktasının kartezyen koordinatları (x 0, y 0, z 0 ) aşağıdaki şekilde bulunabilir. z 0 = z x 0 = r cosθ, y 0 = r sinθ noktasının kartezyen koordinatla- Örneğin silindirik koordinatlarda rı (x 0, y 0, z 0 ) ı bulalım: 1, π 3, -1 z 0 = -1, x 0 = 1 cos π 3 = 1 2, y 0 = 1 sin π 3 = 3 2 O halde istenilen nokta 1 2, 3 2, -1 noktasıdır. Son olarak silindirik ve küresel koordinatlar arasındaki ilişkiyi netleştirelim. Aynı bir (x 0, y 0, z 0 ) noktasının küresel koordinatı (r, θ, ) ve silindirik koordinatı (r', θ', z) ise ilişkiler: ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

ÜÇ BOYUTLU UZAYDA BAZI YÜZEYLER VE KOORDİ NAT Sİ STEMLERİ 209 θ * = θ *', r 2 = r' 2 + z 2, = tan -1 z r' formülleri ile silindirik koordinatlardan küresel koordinatlara geçilir. Küresel koordinatlarda silindirik koordinatlara ise θ ' = θ, z = r sin, r' = r 2 - z 2 formülleri ile geçilir. Bu formülleri biz yalnızca ifade ettik. Siz de uygun dik üçgenleri göz önüne alarak bu formülleri kanıtlayınız. Üç boyutlu uzayda koordinat sistemlerini kabaca bu şekilde gördükten sonra uzayda yüzeylere kısa bir göz gezdirelim. 2.1. Yüzeyler Uzayda bir yüzeyin tanımını şu şekilde yapabiliriz. f : U R 2 R 3 sürekli bir fonksiyonunun R 3 deki f(u) görüntüsüne R 3 de bir yüzey denir. Eğrilerdeki kötü kullanım burada da aynı şekilde kendini gösterir. Çoğunlukla görüntüyü belirleyen f fonksiyonunun kendisine yüzey denir. Bu şekilde f : U R 2 R 3, f(λ, µ) = (x (λ, µ), y (λ, µ), z (λ, µ)) şeklinde verilişi aslında çoğu zaman yüzeyin parametrik biçimi denir. Aynı bir yüzey parametre uzayı ve fonksiyon değişik biçimlerde seçilerek farklı şekillerde ifade edilebilir. Örneğin: f : R 2 R 3 (λ, µ) (2λ, 1 + µ + λ, λ - µ) bir yüzeydir. Burada: x = 2λ, y = 1 + λ + µ ve z = λ - µ şeklindedir. x = 2λ ve z = λ - µ denklemlerinden λ ve µ yü x ve z cinsinden çözersek, λ = ve µ = - z elde edilir. Bu değerler y = 1 + λ + µ denkleminde yerine konulursa y = 1 + + - z y = 1 + x - z elde edilir. Bu şekilde parametreler yok edilerek elde edilen AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

210 ÜÇ BOYUTLU UZAYDA BAZI YÜZEYLER VE KOORDİ NAT Sİ STEMLERİ F(x, y, z) = 0 şeklinde ifadeye yüzeyin kartezyen formu denir. Eğer kartezyen formdaki F(x, y, z) ifadesi n-inci dereceden x, y, ve z ye bağlı bir polinom ise F(x, y, z) = 0 denklemiyle verilen yüzeye n-inci dereceden bir cebirsel yüzey denir. Örneğin xy - 2x 3 - z 2 y = 0 denklemiyle verilen yüzey üçüncü dereceden cebirsel bir yüzeydir. Yüzeylerin teorisi yüzeylere göre çok daha zordur. Doğal olarak burada ilk bakılacak yüzeyler birinci dereceden cebirsel yüzeylerdir. Yani a, b, c, d R olmak üzere kartezyen formu ax + by + cz + d = 0 şeklinde verilen yüzeylerdir. Bu yüzeylerin bir düzlem gösterdiğini bir önceki bölümde görmüştük (Eğer a, b ve c değerleri sıfır ise boş küme gösterir). Genelde F(x, y, z) = 0 ifadesi ile verilen bir yüzeyi canlandırmak (en azından nasıl bir şey olduğunu hayal etmek) hiç de kolay değildir. Bu bağlamda öncelikle yüzeyleri düzlemsel eğrilerden türetmeyi düşünebiliriz. Bunun ilk şekli ise belki daha önceki yıllardan adını duyduğunuz dönel yüzeylerdir. 2.2. Dönel Yüzeyler Dönel yüzeyler xz koordinat düzleminde verilen bir y = 0, F(x, y, z) = 0 eğrisinin z ekseni etrafında döndürülmesi ile oluşan yüzeydir. Burada farklı koordinat düzlemlerindeki eğrilerin farklı eksenler etrafında döndürülmesiyle de dönel yüzeyler elde edilebilir. Şimdi bir dönel yüzey örneği elde edelim. Z x = 1 y = 0 θ (x, y, z) (x cos θ - y sin θ, x sin θ + y cos θ, z) x Uzayda x = 1, y = 0, z R denklemleriyle verilen doğruyu z ekseni etrafında döndürelim. Bu dönme esnasında ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

ÜÇ BOYUTLU UZAYDA BAZI YÜZEYLER VE KOORDİ NAT Sİ STEMLERİ 211 z koordinatı değişmez z - ekseni etrafında dönme aslında xy düzleminin ve ona paralel bütün düzlemlerin dönmesidir. O halde xy koordinat düzlemindeki dönmenin paralel düzlemler boyunca uygulanmasından başka bir şey değildir. x y düzleminin θ radyan dönmesi sonucu elde edilen yeni noktaların koordinatları (x cos θ - y sin θ, x sin θ + y cos θ, z) dır. Bizim doğrunun her noktasında x = 1, y = 0 olduğundan dönmüş nokta (cos θ, sin θ, z) dır. z yi sabit bırakıp xy düzlemini θ radyan döndürdük. O halde dönel yüzeyin denklemi { (x, y, z) x = cos θ, y = sin θ, z R, θ [0, 2π] } olmalıdır. θ [0, 2π] alarak bütün dönmeleri yeni yüzeyin elemanı yaptık. + y 2 = sin 2 θ + cos 2 θ = 1 olduğundan yüzeyin kartezyen denklemi R 3 de + y 2 = 1, z R ifadesi ile verilir. (Bu yüzeyin bir dik silindir olduğunu sanırım fark ediyorsunuzdur). Şimdi benzer yolla bir koninin denklemini elde edelim: Z z = 2x y = 0 x 0 θ (x, y, z) = (x, 0, 2x) x y AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

212 ÜÇ BOYUTLU UZAYDA BAZI YÜZEYLER VE KOORDİ NAT Sİ STEMLERİ Kolay olsun diye koninin köşesini başlangıç noktası alıp uzayda z = 2x, y = 0, x 0 yarı doğrusunu z -ekseni etrafında döndürelim. Şekilden de görüldüğü gibi z = 2x, y = 0 doğrusu üzerinde koniye ait bir noktanın koordinatları (x, 0, 2x) dir. (Doğru denkleminin bir sonucu olarak.) Yine keyfi bir (x, y, z) noktasının z -ekseni etrafında θ radyan döndürürsek yeni nokta (x cos θ - y sin θ, x sin θ + y cos θ, z) olur. Burada y = 0, z = 2x alınırsa θ [0, 2π] ve x 0 olmak üzere istenilen koninin denklemini elde etmiş oluruz. O halde koni üzerinde keyfi bir nokta (x cos θ, x sin θ, 2x) θ [0, 2π], x 0 olur. Yani koni üzerinde keyfi bir (X, Y, Z) noktası X = x cos θ, Y = x sin θ, Z = 2x denklemlerini sağlar. x = Z 2 yazılırsa: X = Z 2 cosθ, Y = Z 2 sinθ 2X Z = cosθ, 2Y Z = sinθ 2X Z 2 + 2Y Z 2 = 1 4 X2 + Y 2 = 1 4 X 2 + Y 2 = Z 2 Z 2 denklemini elde etmiş oluruz. x 0 olduğundan yeni denklemde de Z 0 dır. Şimdi benzer yolla R yarı çaplı bir küre yüzeyinin denklemini yazalım: z x = R 2 - z 2, y = 0 x y ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

ÜÇ BOYUTLU UZAYDA BAZI YÜZEYLER VE KOORDİ NAT Sİ STEMLERİ 213 Bu yüzeyde x = R 2 - z 2, y = 0 yarı çemberinin z ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilebilir. O halde θ radyanlık dönme xy düzlemine paralel her düzleme uygulanıp z de sabit bırakıldığında elde edilen yeni koordinatlar: (xcosθ - ysinθ, xsinθ + ycosθ, z) olur. y = 0 ve x = R 2 - z 2 alınırsa; R 2 - z 2 cosθ, R 2 - z 2 sinθ, z elde edilir. Yani küre kabuğu üzerindeki keyfi bir (X, Y, Z) noktasında X = R 2 - z 2 cosθ, Y = R 2 - z 2 sinθ, Z = z dir. Buradan X 2 + Y 2 + Z 2 = (R 2 - z 2 )cos 2 θ + (R 2 - z 2 ) sin 2 θ + z 2 = (R 2 - z 2 ) (cos 2 θ + sin 2 θ) + z 2 = R 2 - z 2 + z 2 = 1 elde edilir. O halde (0, 0, 0) merkezli R yarıçaplı küre yüzeyinin denklemi X 2 + Y 2 + Z 2 = R 2 dir. Şimdi biraz daha zorca bir yüzey olan (susamsız) simit yüzeyinin denklemini elde edelim. z (x - R - r) 2 + z 2 = r 2 R r (R + r, 0, 0) y = 0 x R > r y R > r olmak üzere simit yüzeyi (R + r, 0, 0) merkezli, r yarıçaplı (x - R - r) 2 + z 2 = r 2, y = 0 çemberinin z ekseni etrafında dönmesi ile elde edilebilir. O halde z nin sabit kalması koşuluyla (x, y, z) noktasının dönme altındaki görüntüsü: AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

214 ÜÇ BOYUTLU UZAYDA BAZI YÜZEYLER VE KOORDİ NAT Sİ STEMLERİ (xcosθ - ysinθ, xsinθ + ycosθ, z) olur. Burada y = 0 yazılırsa (xcosθ, xsinθ, z) şeklini alır. O halde simit yüzeyi üzerindeki keyfi bir (X, Y, Z) noktasının koordinatları θ [0, 2π) ve (x - R - r) 2 + z 2 = r 2 olmak üzere X = xcosθ, Y = xsinθ, Z = z dir. Burada F(X, Y, Z) = 0 olarak yazmak yerine kolay olan parametrik formu yazalım. (x - R - r) 2 + z 2 = r 2 x = (R + r) + rcos γ z = rsinγ (çember parametrizasyonu) ifadelerinden X = ((R + r) + rcosγ) cosθ, Y = ((R + r) + rcosγ) sinθ ve Z = rsinγ olan simit yüzeyinin parametrik gösterimi elde edilmiş olur. Sanırım bu yöntemle çok zor gibi görünen çoğu yüzeyin denklemleri kısmen de olsa rahatlıkla nasıl çıkarabileceğinizi anlamışsınızdır. Bütün bu örnek verdiğimiz yüzeylerin temel bir ortak noktaları bu yüzeylerin bir simetri eksenleri vardır. 3. Silindir Uzayda bir yüzey elde etmenin diğer bir önemli yolu da uzayda verilen bir l doğrusunu verilen bir uzay eğrisi l üzerinde paralel kaydırmaktır. Bu paralel kaydırma esnasında l doğrusunun süpürdüğü yüzeye bir silindir, buradaki l eğrisine silindirin dayanak eğrisi ve l doğrusuna da silindirin doğrultmanı denir. Önemli olan paralel kaydırma olduğu için doğrudan ziyade doğrultu buradaki önemli kavramdır. Bu doğrultuyu (vektörü) v ile gösterirsek yüzey üzerindeki genel bir noktadan v vektörü doğrultusundaki doğru üzerinde keyfi bir noktadır. Sembolik olarak bunlar şöyle yapılabilir. A ve B verilen l doğrusu üzerinde iki nokta ise v = B - A = AB = v 1, v 2, v 3 olarak alınabilir. Uzayda bir (x 0, y 0, z 0 ) noktasındangeçen ve doğrultusu v ile verilen doğrunun denkleminin x = x 0 + λv 1 y = y 0 + λv 2 z = z 0 + λv 3 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

ÜÇ BOYUTLU UZAYDA BAZI YÜZEYLER VE KOORDİ NAT Sİ STEMLERİ 215 olduğunu biliyoruz. Eğer l eğriside (x(t), y(t), z(t)) parametrik formunda verilmiş olduğunu kabul edersek yüzeyin üzerindeki keyfi bir noktanın koordinatları (X,Y,Z) şu şekildedir: X = x(t) + λv 1 Y = y(t) + λv 2 Z = z(t) + λv 3 Örnek Dayanak eğrisi (2t, 4t 2-1, sint) ve doğrultmanı, silindirin denklemini bulunuz. x 2 = y = z doğrusu olan 3 Çözüm Doğru üzerindeki keyfi iki nokta A = (0, 0, 0) ve B = (2, 3, 1) olarak alınabilir. O halde v = B - A = 2, 3, 1 Şimdi (2t, 4t2-1, sint) noktasında v doğrultusundaki doğru: X = 2(t) + λ. 2 Y = 4t 2-1 + λ. 3 Z = sint + λ. 1 koordinatları ile verilir. O halde yüzey (silindir) { ( 2t + 2λ, 4t 2-1 + 3λ, sint + λ) λ, t R} olarak verilir. 4. Koni Uzayda yüzey elde etmenin bir başka şeklide şöyledir. l uzayda bir eğri ve P = (p 1, p 2, p 3 ) de l üzerinde olmayan bir nokta olsun. P den ve l eğrisinin üzerinde bir noktadan geçen bir l doğrusunun l üzerinde P noktası sabit bırakılarak kaydırılması suretiyle elde edilmesidir. Bu tipten yüzeye bir koni ve P noktasına koninin köşesi ve l ya da koninin dayanak eğrisi denir. Eğer l nin bir noktası (x(t), y(t), z(t)) ve P = (p 1, p 2, p 3 ) olarak verilirse koninin keyfi bir (X, Y, Z) noktasının koordinatları X = p 1 + λ(x(t) - p 1 ) Y = p 2 + λ(y(t) - p 2 ) Z = p 3 + λ(z(t) - p 3 ) ile verilir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

216 ÜÇ BOYUTLU UZAYDA BAZI YÜZEYLER VE KOORDİNAT SİSTEMLERİ Örnek Dayanak eğrisi (sint, cost, 1) ve köşesi (0, 0, 0) olan bir koninin denklemini elde ediniz. Çözüm (0, 0, 0) noktasından ve (sint, cost, 1) noktasından geçen bir doğrunun denklemini yazmak problemin çözümüdür. Bu doğrunun (X, Y, Z) noktası X = λ sint, Y = λ cost, Z = λ dır. X = sint, Y = cost Z Z X Z 2 + Y Z 2 =1 X 2 + Y 2 = Z 2 elde edilir. Silindir ve koni adına regle yüzey denilen daha geniş bir yüzey sınıfının örnekleridir. Uzayda bir doğrunun herhangi bir şekilde verilen hareketi sonucu elde edilen yüzeye bir regle yüzey denir. Verilen bir yüzeyin bir regle yüzey olup olmadığının incelenmesi oldukça detaylı bir iştir. Bu yüzey sınıfını sadece tanımlamakla yetineceğiz. Şimdi bu bölümü bazı önemli yüzeylerle bitirelim. Bu yüzeylerin koniklerin üç boyutlu genellemesinden başka bir şey değildir. 5. Bazı Önemli İkinci Dereceden Yüzeyler Uzayda a, b, c pozitif gerçel sayılar olmak üzere 2 x2 + y + z2 = 1 denklemi a2 c2 b2 ile verilen yüzeye (0, 0, 0) merkezli bir elipsoid denir. Şekil 10.1: Elipsoid ANADOLU ÜNİVERSİTESİ

ÜÇ BOYUTLU UZAYDA BAZI YÜZEYLER VE KOORDİ NAT Sİ STEMLERİ 217 Bu yüzeyin ay, xz ve yz düzlemleriyle ara kesitleri sırasıyla a 2 + y2 b 2 = 1 elipsi, x2 a 2 + z2 c 2 y2 = 1 elipsi ve a, b, c pozitif gerçel sayılar olmak üzere b 2 + z2 c 2 = 1 elipsidir. a 2 + y2 b 2 = cz denklemiyle tanımlanan yüzeye bir eliptik parabolid denir. Bu yüzeyin z = 1 düzlemiyle ara kesiti Şekil 10.2: Eliptik Parabolid a 2 elipsi olmasına karşın x = 0 ve y = 0 düzlemleriyle ara kesitleri y 2 = b 2 cx ve = a 2 cx parabolleridir. Diğer bir önemli yüzey ise yine a, b, c pozitif gerçel sayılar olmak üzere a 2 + y2 b 2 - y2 b 2 = c = cz denklemiyle verilen yüzeye bir hiperbolik paraboloid denir. Bu yüzeyin de z = 1 düzlemiyle ara kesiti a 2 - y2 b 2 = c AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

218 ÜÇ BOYUTLU UZAYDA BAZI YÜZEYLER VE KOORDİ NAT Sİ STEMLERİ hiperbolü olmasına karşın x = 0 ve y = 0 düzlemleriyle ara kesitleri sırasıyla y 2 = -b 2 cx ve = a 2 cx parabolleridir. Şekil 10.3: Hiperbolik Paraboloid Son olarak yine a, b, c pozitif gerçel sayılar olmak üzere a 2 + y2 b 2 - z2 c 2 = 1 eşitliği ile tanımlanan yüzeye tek kanatlı hiperboloid ve Şekil 10.4: Tek Kanatlı Hiperboloid ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

ÜÇ BOYUTLU UZAYDA BAZI YÜZEYLER VE KOORDİ NAT Sİ STEMLERİ 219 a 2 - y2 b 2 - z2 c 2 = 1 eşitliği ile tanımlanan yüzeye çift kanatlı hiperboloid denir. Bir tek kanatlı hiperboloidin z = 0 düzlemiyle ara kesiti Şekil 10.5: Çift Kanatlı Hiperboloid a 2 + y2 b 2 = 1 elipsi olmasına karşın, çift kanatlı hiperboloidin z = 0 düzlemiyle ara kesiti a 2 - y2 b 2 = 1 elipsidir. Son olarak elips, hiperbol ve parabol eğrilerine neden konik denildiğini görelim. Aşağıdaki şekillerden görüldüğü gibi bu eğriler bir dik koninin düzlem ile arakesitleri sonucunda oluşan eğrilerdir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

220 ÜÇ BOYUTLU UZAYDA BAZI YÜZEYLER VE KOORDİNAT SİSTEMLERİ (a) Çember (c) Parabol (b) Elips (d) Hiperbol Şekil 10.6: Koni Kesitlerinin Bir Dik Koniden Elde Edilmesi Özet Bu bölümde daha önce dik koordinatlarda donatılan üç boyutlu uzayın küresel ve silindirik koordinat sistemleri ile nasıl donatılacağını ve bu koordinat sistemleri arasındaki geçişlerin nasıl olduğunu gördük. Daha sonra uzayda önemli bir yüzey elde etme yöntemi olan dönel yüzeyleri inceleyip koni ve silindiri genel anlamda tanımladık. Son olarak düzlemdeki koni kesitleri ile çok yakından ilgili olan elipsoid, eliptik parabolid, hiperbolik parabolid, (tek ve çift) kanatlı hiperbolik olarak adlandırılan ikinci dereceden yüzeyleri tanımladık. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ

ÜÇ BOYUTLU UZAYDA BAZI YÜZEYLER VE KOORDİ NAT Sİ STEMLERİ 221 Değerlendirme Soruları 1. Kartezyen koodinatları 3 olan noktanın küresel koordinatlarını bulunuz? 2, 1 2, - 3 A. B. C. D. E. 2, π 6, - π 3 2, - π 6, - π 3 2, π 6, π 3 2, π 3, π 6 2, - π 3, π 6 2. Silindirik koordinatları 1, π noktasının kartezyen koordinatlarını bulunuz? 4, - 2 A. B. C. D. E. - 2, 1 2, 1 2 1 2, 1 2, - 2 1 2, 1, - 2 1, 1 2, - 2 1, 1, - 2 3. y = 0, x + 2z = 1 doğrusunu z-ekseni etrafında dönmesiyle elde edilen yüzeyin denklemini yazınız? A. + y 2-4z 2 + 4z = 1 B. - y 2-4z 2 + 4z = 1 C. + y 2-4 + 4z = - 1 D. + 2y 2-4z 2 + 4z = 1 E. + 2y 2-4z 2 + 4z = - 1 4. y = 0 z = eğrisini z-ekseni etrafında dönmesiyle elde edilen yüzeyin denklemini yazınız? A. z = + y 2 B. 2z = + y 2 C. z = 2 ( + y 2 ) D. z = + 2y 2 E. z = 2 + y 2 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

222 ÜÇ BOYUTLU UZAYDA BAZI YÜZEYLER VE KOORDİ NAT Sİ STEMLERİ 5. z = + y 2 yüzeyi ile x + y = 0 z = 1 eğrisinin ara kesiti nedir? A. (x, - x, z) B. (x, - x, 0) C. (x, - x, 1) D. (x, y, + y 2 ) E. ( - z, y 2 - z, 1) 6. Doğrultmanı z = 1 x + y + 1 = 0 doğrusu ve dayanak eğrisi (t 2 + 1, 2t, t 2-1), t R olan silindirin denklemini yazınız? A. (λ 2 + 1 + µ, 2 λ - µ, λ 2-1) B. (λ 2 + 1, 2 λ - µ, λ 2 + 1) C. (λ 2 + µ 2, λ 2 - µ 2, 2 λ) D. (λ 2 + 3 µ 2, λ - 2µ, λ 2-1) E. (λ 2 + 3 µ 2, λ - 2µ, λ 2 + 1) 7. Dayanak eğrisi (t, sint, cost) ve köşesi (1, 1, 1) olan koninin denklemini yazınız? A. (λ 2, λ sint, λ cost) B. (λ cost + 1 - λ, λ sint + 1 - λ, λt + 1 - λ) C. (λt + 1 - λ, λ sint + 1 - λ, λ cost + 1 - λ) D. (1, λ sint + 1 - λ, λ cost + 1 - λ) E. (λ sint + 1 - λ, λt + 1 - λ, λ cost + 1 - λ) 8. Aşağıda verilen yüzeylerden hangisi bir tek kanatlı hiperbobiddir? A. B. C. D. E. 2 + y2 4 - z2 5 = 1 2 - y2 4 - z2 5 = 1 2 + y2 4 + z2 5 = 1 2 - y2 4 - z2 5 = - 1 x y z = 1 9. 4 - y2 = 2z hiperbolik paraboloidinin x + y = 0 düzlemiyle arakesiti 3 nedir? A. = 24 z, y = x B. z 2 = 24 x, y = x C. z 2 = - 24 x, y = x D. = - 24 z, y = x E. xz = 24, y = x ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

ÜÇ BOYUTLU UZAYDA BAZI YÜZEYLER VE KOORDİ NAT Sİ STEMLERİ 223 10. Aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur? a) 9 - y2 2 + z2 = 1 yüzeyinin başlangıç noktasından geçen bir düzlemle ara kesi elipstir. b) 4 - y2 + 3z = 1 yüzeyinin x = 1 düzlemiyle arakesiti bir paraboldür. 12 c) İki küre yüzeyi bir elips boyunca kesişir ya da ara kesiti boştur. A. {a, b} B. {a} C. {b} D. {a, b, c} E. {b, c} Değerlendirme Sorularının Yanıtları 1. A 2. B 3. A 4. A 5. C 6. A 7. C 8. B 9. D 10. A AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

224 Yararlanılan ve Başvurulabilecek Kaynaklar ELLIS, J.A.; Basic Algebra and Geometry for Scientists and Engineers, John Wiley & Sons 1982, ISBN 0 471 10175 3. KAYA, Rüstem; Analitik Geometri, Anadolu Üniversitesi Basımevi Eskişehir, 1992, ISBN975-492-287-X. RYAN, Patrick J.; Euclıdean and Non-Euclıdean Geometry, Cambrıdge University Press 1986, ISBN 0 521 27635 7. WALKER, Robert J.; Algebraic Curves, Dover Publications, Inc. New York 1950. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ