14. Gerçel Sy lrd Dört fllem Bir temel dizisini (tüm diziler -dizileridir) [] gerçel sy s n götüren ƒ : fonksiyonunu ele ll m: ƒ() = []. Bu fonksiyon elette örtendir. flte resmi:......... ƒ ƒ() = [] = [] = ƒ() ƒ fonksiyonunu kullnrk, eskiden üzerine tn mld - m z toplm, çrpm, ç krm ve ölme ifllemlerinin enzerlerini üzerine tn mlyc z. Ypc m z ifl özetle flu: Diyelim üzerine toplmy tn mlmk istiyoruz. den toplmk istedi imiz iki elemn ll m, u elemnlr r ve s diyelim. Elemnlr n de irer ƒ-önimgesini ull m ve s ryl onlr ve diyelim. Demek ki ƒ() = r ve ƒ() = s.
340 14. Gerçel Sy lrd Dört fllem fiimdi ve temel dizilerini de toply p + temel dizisini elde edeiliriz. Ve son olrk u toplm n ƒ imgesini l p ƒ( + ) elemn n uliliriz. r + s toplm n, r + s = ƒ( + ) olrk tn mlmy öneriyoruz, çünkü ne de ols + dizisi de de. den ye ç k, topl ve tekrr ye in: + ƒ r = ƒ() s = ƒ() r+s = ƒ(+) de toplmn n tn m : 1) r, s verilmifl olsun. 2) ƒ() = r ve ƒ() = s eflitli ini s lyn, dizilerini ul. 3) r + s yi ƒ( + ) olrk tn ml. Anck, r ve s gerçel sy lr verildi inde, ƒ() = r ve ƒ() = s eflitliklerini s lyn irden çok ve vrd r; tn m n geçerli olms için u eflitli i s lyn tüm ve lerin yn ƒ( + ) sonucunu verdi ini kn tlml y z. Bunu kn tlyc z. + de urd (kn tlnck) + Çrpmy d enzer yöntemle tn mlyc z. Her hlkd oldu u gii ç krm toplm trf ndn, ölme de çrpm tr-
14. Gerçel Sy lrd Dört fllem 341 f ndn elirlenecek. de s rlmy tn mlmk, çok de il, irzc k dh zordur. Ard ndn, tn mlnn u ifllemlerin ve s rlmn n thmin edilen özellikleri s ld n ve sonuçt s rl ir cisim (Bölüm 6.4 ve 6A.8) uldu umuzu ve u s rl cisimde nün kusurlr n n (Bölüm 7) olmd n kn tlyc z. Toplm. Yukrd gördü ümüz gii, de toplmn n önerdi imiz tn m n n geçerli olms için flu önsv kn tlnml : Önsv 14.1.,,, olsun. E er [] = [ ] ve [] = [ ] ise [+] = [ + ] eflitli i do rudur. Kn t: Vrsy m göre Y 0 ve Y 0. Doly - s yl, ( + ) ( + ) = ( ) + ( ) Y 0 dir, yni [+] = [ + ] eflitli i do rudur. fiimdi rt k, [] ve [] gerçel sy lr için, [] + [] = [ + ] tn m n huzur içinde ypiliriz, çünkü u tn m, de seçilen ve ye göre de il, [] ve [] gerçel sy lr n göre de iflmektedir. E er u önsv do ru olmsyd, [] = [ ] ve [] = [ ] eflitlikleri do ru olms n krfl n, [] + [] = [ ] + [ ] eflitli i do ru olmyilirdi ve o zmn d toplm iflleminin tn m geçerli olmzd. Toplmy tn mld ktn sonr toplmn n özelliklerine gelelim. Önsv 14.2. (, +, [s(0)]) de iflmeli ir gruptur, yni, T1. Her r, s, t için, (r + s) + t = r + (s + t). T2. Her r için, r + [s(0)] = [s(0)] + r = r. T3. Her r için, r + s = s + r = [s(0)] eflitli ini s lyn ir s vrd r. T4. Her r, s için r + s = s + r.
342 14. Gerçel Sy lrd Dört fllem Kn t: deki u eflitlikleri kn tlmk için ƒ fonksiyonunu kulln p ye ç kc z. Bu eflitliklerin de de geçerli oldu unu kulln p tekrr ƒ ile ye inece iz. T1.,, c için, r = [], s = [], t = [c] olsun. O zmn, (r + s) + t = ([] + []) + [c] = [ + ] + [c] = [( + ) + c] = [ + ( + c)] = [] + [ + c] = [] + ([] + [c]) = r + (s + t). T2. için, r = [] olsun. O zmn, r + [s(0)] = [] + [s(0)] = [ + s(0)] = [] = r. [s(0)] + r = r eflitli i enzer içimde kn tln r. T3. için, r = [] olsun. E er = ( n ) n ise, = = ( n ) n ve s = [] olsun. stenen r + s = s + r = [s(0)] eflitli inin s lnd n s nmk zor de ildir. T4., için, r = [], s = [] olsun. O zmn, r + s = [] + [] = [ + ] = [ + ] = [] + [] = s + r olur. Önsv 2 nin Ard ndn: ) T1 e göre gerçel sy lr toplrken prntez kullnmy gerek yoktur, örne in, (r + s) + t yerine r + s + t ve (r + s) + (t + u) yerine r + s + t + u yziliriz. ) de T2 özelli ini s lyn ir ve tek ir elemn vrd r ( denir u elemn) ve u elemn, T2 nin söyledi i gii [s(0)] d r. Gelecekte [s(0)] yerine 0 yzc z m flimdi de il. Öte yndn dh flimdiden [s(0)] yerine 0 yzmk fen ir fikir de ildir, öyle de ypc z. c) E er r verilmiflse, T3 teki r + s = s + r = [s(0)] = 0 eflitli ini s lyn ir ve tek ir s vrd r. Bu elemn r olrk gösterece iz. Kn tt d görüldü ü üzere, için, [] = [ ].
14. Gerçel Sy lrd Dört fllem 343 d) de ç krmy iki de iflik içimde tn mlyiliriz: r s = r + ( s) olrk y d r = [], s = [] için r s = [ ] olrk. kisi de yn kp y ç kr nck ikinci tn m n geçerli olms için Önsv 2 ye enzer ir sonucun kn tlnms gerekmektedir. Benzer flekilde r s ve r + s ifllemlerini de tn mlyiliriz. (r s) = r s = s r gii eflitlikleri kn tlmk kolyd r. Am dikkt, toplrken prnteze gerek yoks d ç kr rken prntezleri korumk gerekir. Aksi dvrn fl n rk n üniversiteye girifli, le okulun girifli ile engelledi i ilinmektedir. e) Her grupt oldu u gii de de sdelefltirme yp lilir. Örne in, r + s = r + t ise s = t olur. Ayn flekilde r + s = r ise s = [s(0)] = 0 olur. f) [] + [] = [ + ] formülü, yni ƒ( + ) = ƒ() + ƒ() formülü, ƒ : fonksiyonunun (, +, s(0)) gruundn (, +, [s(0)]) gruun giden ir eflyp fonksiyonu (homomorfizm) oldu unu söylüyor. Eflyp fonksiyonunun nlm n ilmeyenlere: Toplmy (y d ir flk iflleme) syg duyn, yni ƒ( + ) = ƒ() + ƒ() eflitli ini s lyn ir gruptn ir flk gru giden ƒ fonksiyonlr n verilen dd r. Çrpm. Çrpmy d yn yöntemle tn mlyc z. den r ve s elemnlr n ll m. r ve s nin de ƒ-önimgelerini ull m. Bu önimgelere ve diyelim. Demek ki ƒ() = r ve ƒ() = s.
344 14. Gerçel Sy lrd Dört fllem fiimdi ve temel dizilerini de çrp p dizisini elde edeiliriz. Son olrk u çrp m n ƒ imgesini l p ƒ() ulilir ve rs çrp m n, rs = ƒ() olrk tn mlmy uygun uliliriz. Yni, için, [][] = [] tn m n ypmk istiyoruz. den ye ç k, çrp ve tekrr ye in ƒ r = ƒ() s = ƒ() rs = ƒ() de çrpmn n tn m : 1) r, s verilmifl olsun. 2) ƒ() = r ve ƒ() = s eflitli ini s lyn, dizilerini ul. 3) rs yi ƒ() olrk tn ml. Anck r ve s verildi inde, ƒ() = r ve ƒ() = s eflitli ini s lyn irden çok ve vrd r; tn m n geçerli olms için u eflitli i s lyn tüm ve lerin yn ƒ() sonucunu verdi ini kn tlml y z. de urd (kn tlnck) Önsv 14.3.,,, olsun. E er [] = [ ] ve [] = [ ] ise [] = [ ] eflitli i do rudur.
14. Gerçel Sy lrd Dört fllem 345 Kn t: Vrsy m göre Y 0 ve Y 0. Doly - s yl, ( ) = ( ) + ( ) Y 0 dir (Önsv 9.7), yni [] = [ ] eflitli i do rudur. fiimdi rt k, [] ve [] gerçel sy lr için, [][] = [] tn m n huzur içinde ypiliriz, çünkü u tn m, de seçilen ve ye göre de il, de seçilen [] ve [] gerçel sy lr n göre de iflmektedir. E er u önsv do ru olmsyd, [] = [ ] ve [] = [ ] eflitlikleri do ru olms n krfl n, [][] = [ ][ ] eflitli i do ru olmyilirdi ve o zmn d çrpm iflleminin tn m geçerli olmzd. Kimi zmn [][] yerine [] [] y d [] [] yzc z. Önsv 14.4. fiu özellikler do rudur: Ç1. Her r, s, t için, (rs)t = r(st). Ç2. Her r için, r [s(1)] = [s(1)] r = r. Ç3. Her 0 r için, rs = sr = [s(1)] eflitli ini s lyn ir 0 s vrd r. Ç4. Her r, s için rs = sr. Kn t: Aynen ir önceki kn t gii. deki u eflitlikleri kn tlmk için ƒ fonksiyonunu kulln p ye ç kc z. Bu eflitliklerin de de geçerli oldu unu kulln p tekrr ƒ ile ye inece iz. Ç1, Ç2, Ç4. Önsv 2 nin T1, T2 ve T4 ün kn t yl yn oldu undn kn t okur rk yoruz.
346 14. Gerçel Sy lrd Dört fllem Ç3. = ( n ) n için, r = [] olsun. Y 0 = [s(0)] = 0 r = [] oldu undn,, Y 0 d de ildir, yni 0 yk nsymz. Teorem 12.3 e göre her n > N için n 0 eflitsizli inin s lnd ir N göstergeci vrd r. n 1 n e er n N ise 0 e er n N ise ve = ( n ) n olsun. Teorem 11.11 e göre ir temel dizidir. O zmn dizisi ir zmn sonr sit 1 dizisi olur ve doly s yl limiti 1 dir. Demek ki s(1) dizisi 0 yk nsr, yni Y 0 dd r. Demek ki, [][] = [] = s(1)] olur. Sonuç 14.5. ( \ {0 },, [s(1)]) de iflmeli ir gruptur, yni, Ç1. Her r, s, t \ {0 } için, (rs)t = r(st). Ç2. Her r \ {0 } için, r [s(1)] = [s(1)] r = r. Ç3. Her r \ {0 } için, rs = sr = [s(1)] eflitli ini s lyn ir s \ {0 } vrd r. Ç4. Her r, s \ {0 } için rs = sr. Önsv 4 ve Sonuç 5 in Getirdikleri: ) Ç1 e göre gerçel sy lr çrprken prntez kullnmy gerek yoktur, örne in, (rs)t yerine rst ve (rs)(tu) yerine rstu yziliriz. ) de Ç2 özelli ini s lyn ir ve tek ir elemn vrd r (çrpmn n etkisiz elemn denir u elemn) ve u elemn d Ç2 nin söyledi i gii [s(1)] dir. Gelecekte [s(1)] yerine 1 yzc z m flimdilik de il. Öte yndn dh flimdiden [s(1)] yerine 1 yzmk fen ir fikir de ildir. c) E er r \ {0 } verilmiflse, Ç3 teki rs = sr = 1 eflitli ini s lyn ir ve tek ir s vrd r. Bu elemn s 1 olrk gösterece iz. Kn tt d görüldü ü üzere, için, tm olrk [] 1 = [ 1 ] olms d u eflitlik gerçek ten çok çok uzk de il.
14. Gerçel Sy lrd Dört fllem 347 d) \ {0 } de ölmeyi r/s = rs 1 olrk tn mlyiliriz. r 1 s 1 = (rs) 1, (r 1 ) 1 = r, gii eflitlikleri kn tlmk kolyd r. e) Her grupt oldu u gii \ {0 } gruund d sdelefltirme yp lilir. Örne in, rs = rt ise ve r 0 ise s = t olur. Bu, s y d t, 0 ye eflitse de geçerlidir. Ayn flekilde rs = r ise ve r 0 ise s = 1 olur. Toplm ve Çrpm. Yukrd, önce sdece toplmy ilgilendiren, rd ndn sdece çrpmy ilgilendiren özellikleri ulduk. fiimdi u ölümde, hem toplmy hem de çrpmy hrmnlyn özelli i ulc z. Önsv 14.6. Gerçel sy lrd çrpm toplmy göre d - l r, yni her r, s, t için, (r + s)t = rt + st eflitli i geçerlidir. Kn t: Her zmnki gii ye ç k p de enzer eflitli i kullnrk kn tln r. Ayr nt lr okur rk lm flt r. Bunun ir sonucu olrk, her r için, r0 = 0 r = 0 eflitli i do rudur. Nitekim, r0 = r(0 + 0 ) = r0 + r0 ve urdn d sdelefltirerek, r0 = 0 ulunur. Teorem 14.7. (, +,, 0, 1 ) yp s ir cisimdir, yni flu özellikler s ln r: T1. Her r, s, t için, (r + s) + t = r + (s + t). T2. Her r için, r + [s(0)] = [s(0)] + r = r.
348 14. Gerçel Sy lrd Dört fllem T3. Her r için, r + s = s + r = [s(0)] eflitli ini s lyn ir s vrd r. T4. Her r, s için r + s = s + r. Ç1. Her r, s, t için, (rs)t = r(st). Ç2. Her r için, r [s(1)] = [s(1)] r = r. Ç3. Her 0 r için, rs = sr = [s(1)] eflitli ini s lyn ir 0 s vrd r. Ç4. Her r, s için rs = sr. D. Her r, s, t için, (r + s)t = rt + st. Kn t: Çoktn kn tlnd ile... Son olrk, ƒ() = [] kurl yl tn mlnn ƒ: örten fonksiyonun ir def dh kl m. Bu fonksiyon flu özellikleri s lr: ƒ( + ) = ƒ( + ), ƒ() = ƒ(), ƒ(s(0)) = 0, ƒ(s(1)) = 1. Yukrdki eflitlikler, ƒ fonksiyonunun hlks ndn hlks n (sl nd cismine) giden ir eflyp fonksiyonu oldu- unu söylüyor. Resim fl d. s(0) Y 0 s(1) + ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ 0 1 r s rs r + s nin toplm ve çrpm ifllemleri ve u ifllemlerin etkisiz elemnlr de enzer ifllemlere ve elemnlr tekül ediyor.
14. Gerçel Sy lrd Dört fllem 349 Tii u rd nin ir cisim olmd n m nin ir cisim oldu unu unutmyl m. (Arife Not: Hlklr kurm n n n sit ir sonucun göre, nin cisim olms Y 0 n nin mksiml ideli oldu u nlm n gelir.) Bir sonrki ölümde üzerine ir s rlm tn mlyc z. S rlmy tn mld ktn sonr, (, +,, 0, 1, <) yp s n n s rl ir cisim oldu unu görece iz. Al flt rm. E er n = 0 y d 1 ise n nin ne oldu unu iliyoruz. E er n 1 ir do l sy ys, n sy s n tümevr ml flöyle tn mlyl m (kz. Bölüm 6A.5): (n+1) = n + 1. ( n) sy s n d ( n) = (n ) olrk tn mlyl m. Böylece her n için n sy s n tn mlm fl olduk. (n + m) = n + m, (nm) = n m eflitlikleri kn tly n. Üs Almk. Dikkt ederseniz gerçel sy lrd üs lmy tn mlmd k. Bir n tmsy s ve ir x gerçel sy s için x n sy - s n tn mlmk hiç zor de ildir. Bir x > 0 gerçel sy s ve ir q kesirli sy s için x q sy s d irz zhmetle de ols oldukç rht içimde tn mlnilir. Am ir x > 0 ve y gerçel sy lr için x y gerçel sy s n tn mlmk hiç koly de ildir. Bu tn m de iflik içimlerde yp lilir (uchy dizileriyle, serilerle, ln fonksiyonunun tersi olrk). Bu konuy d gelece iz. Am nliz dersinde.