Test 6. Teorem: a R ve a ise a dir. Kanıt: Varsayalım ki, olsun. a a olduğundan a 0 dır. Bu durumda, eşitsizliğin yönü değişmeden, a a olur. Demek ki, a a dir. Fakat bu durum a hipotezi ile çelişmektedir. Demek ki, dır. a Yukarıda yapılan kanıtta hangi ispat tekniği kullanılmıştır? A) Karşıt Ters B) Çelişki C) Doğrudan İspat D) Aksine örnek E) Tümevarım MANTIK İspat Teknikleri. Bir öğrenci doğru olduğunu düşündüğü aşağıdaki iddiayı ispatlarken bir hata yapmıştır. İddia: En büyük pozitif tam sayı tür. Öğrencinin ispatı: Sıfırdan faklı bir n pozitif tam sayısı için, I. En büyük tam sayı n olsun. II. n en büyük tam sayı olduğu için, n dir. Bu durumda n dir. III. n en büyük tam sayı olduğu için, n n dir. Bu durumda n dir. IV. n ve n olduğundan n dir. V. O halde en büyük pozitif tam sayı olur. Bu öğrenci numaralandırılmış adımlardan hangisinde ilk kez hata yapmıştır? A) I B) II C) III D) IV E) V. Teorem: x Z ve x x çift ise x tektir. Kanıt: x in çift olduğunu varsayalım. Bu durumda x k olacak biçimde bir k tam sayısı vardır. Yerine yazılırsa, x x Böylece, k k (k k ) x x tek olur. Yukarıda yapılan kanıtta hangi ispat tekniği kullanılmıştır? A) Karşıt Ters B) Çelişki C) Doğrudan İspat D) Aksine örnek E) Tümevarım. İddia: = tür. İspat: eşitliği, I. 0 9 olarak yazılabilir. II. Düzenlenirse, olur. III. Her iki tarafa eklenirse, ( ) ( ) IV. O halde, tür. V. Her iki tarafa eklersek olur. Yukarıda verilen ispatta numaralandırılmış adımlardan hangisinde hata yapılmıştır? A) I B) II C) III D) IV E) V
Test 6. Teorem: a,b R Kanıt: için a b ab dir. (a b) 0 olduğunu biliyoruz. (a b) 0 eşitsizliğinin her iki tarafına da ab eklersek, (a b) ab ab a ab b ab (a b) ab a b ab a b ile ispat tamamlanır. ab Yukarıda yapılan kanıtta hangi ispat tekniği kullanılmıştır? A) Karşıt Ters B) Çelişki C) Doğrudan İspat D) Aksine örnek E) Tümevarım MANTIK İspat Teknikleri 7. Aşağıda verilen önerme ispatlanırken bir hata yapılmıştır. Önerme: a ve b sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere, a b ise dır. b a Kanıt: I. a 0 ve b 0 olduğundan ab 0 dır. II. Bu durumda III. a R ab olur. b eşitsizliğinin her iki tarafını çarparsak a b olur. ab ab a b IV. Yani, dir. ab ab V. Gerekli sadeleştirmeler yapılırsa, ile kanıt tamamlanır. b a ab Buna göre, numaralandırılmış adımlardan hangisinde hata yapılmıştır? A) I B) II C) III D) IV E) V ile 6. İddia: = dir. İspat: a b olacak biçimde a ve b pozitif sayıları verilsin. I. Eşitliğin her iki tarafını a ile çarparsak, a ab II. Elde edilen bu eşitliğin her iki tarafından b çıkarırsak, a b ab b (a b)(ab) b(a b) III. Her iki tarafı a b ile bölersek, IV. a ab b b olduğundan, bb b b b V. Her iki tarafı b ye bölersek, Yukarıda verilen ispatta numaralandırılmış adımlardan hangisinde hata yapılmıştır? A) I B) II C) III D) IV E) V 8. Teorem: x 0 ve x bir irrasyonel sayı ise x bir irrasyonel sayıdır. Kanıt: x bir irrasyonel sayı olmasın. Bu durumda, a ve b pozitif tam sayı olacak biçimde x a b dir. Her iki tarafın karesini alırsak, x a b olur. a ve b pozitif tam sayı a olduğundan b bir rasyonel sayıdır. O halde, x bir irrasyonel sayı değildir. Yukarıda yapılan kanıtta hangi ispat tekniği kullanılmıştır? A) Karşıt Ters B) Çelişki C) Doğrudan İspat D) Aksine örnek E) Tümevarım B A A D C 6 C 7 C 8 A
Modüler Aritmetik. a, b ve c tam sayıları için, a b ve b c olduğuna göre, I. a c dir. II. a (c b) dir. III. a (b + c) dir. ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur? A) Yalnız I B) I ve II C) I ve III D) II ve III E) I, II ve III Test Tam Sayılarda Bölünebilme. A x: xz 8 (x ) olduğuna göre, A kümesinin en küçük iki elemanının toplamı kaçtır? A) 7 B) C) D) E) 0. a, b ve c tam sayıları için, a (b + c) olduğuna göre, I. a b dir. II. a c dir. III. a çift sayı ise (b c) dir. ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız III C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III. a, b ve c sıfırdan farklı tam sayıları olmak üzere, I. a, a ve a 0 II. ( a b a c ) a (b + c) III. ( a b b a ) ( a b a b) ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) II ve III E) I, II ve III. I. x 6y 8 II. x 0y III. x 6y denklemlerinden hangilerinin tam sayılarda çözüm kümesi boş kümedir? A) Yalnız I B) I ve II C) I ve III D) II ve III E) I, II ve III 6. A bir tam sayı olmak üzere, x 6y 9z A denklemini sağlayan x, y ve z tam sayıları bulunabildiğine göre, A sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) 9 B) 7 C) 8 D) E)
Modüler Aritmetik 7. n bir tam sayı olmak üzere, (n ) (n 7) olduğuna göre, n nin en büyük değeri kaçtır? A) B) C) D) E) Test Tam Sayılarda Bölünebilme 0. Karesinin eksiğini bölen kaç tam sayı vardır? A) B) C) D) E) 6 8. A {x: x ve x Z} kümesi veriliyor. Buna göre, A kümesinin ile bölünebilen negatif elemanları ile 6 ile bölünebilen pozitif elemanlarının toplamı kaçtır? A) 8 B) C) D) 9 E) 6. x x in kendisinden küçük en büyük tam sayı böleni x x in kendisinden büyük en küçük tam sayı böleni olarak tanımlanıyor. Buna göre, 8 toplamının sonucu kaçtır? A) 6 B) C) D) 8 E) 7 9. A tam sayısı 7, (A ) tam sayısı 6 ve (A ) tam sayısı ile bölünebilmektedir. Buna göre, A 7 sayısı I. 0 ile bölünebilir. II. ile bölünebilir. III. 0 ile bölünebilir. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız II B) I ve II C) I ve III D) II ve III E) I, II ve III. a b c ve b c d olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? A) a c d B) b a c C) a c D) c a b E) a c d E B A E E 6 E 7 E 8 A 9 E 0 E C E 6
Denklem ve Eşitsizlikler. x y7 0 Test 6 İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler. y x x x y 0 olduğuna göre, x.y çarpımı aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 0 B) 6 C) 0 D) 6 E) 6 y x x parabollerinin apsisi pozitif olan kesim noktasının ordinatı kaçtır? A) 7 B) 7 C) 7 D) 7 E) 7 6. x y 0 x y 0 olduğuna göre, y x kaçtır? A) 6 B) 8 C) 8 D) 6 E) 6. x xy 0 mx y 0 denklem sisteminin çözüm kümesi bir elemanlı olduğuna göre, m kaçtır? A) B) C) D) E). y x x parabolü ile y = doğrusunun kesim noktaları A ve B dir. Parabolün tepe noktası T olduğuna göre, ATB üçgenin alanı kaç birimkaredir? A) 6 B) C) 8 D) E) 6. x y 8 0 y x 0 denklem sisteminin çözüm kümesi kaç elemanlıdır? A) 0 B) C) D) E)
Denklem ve Eşitsizlikler 7. x xyy 0 0 Test 6 İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler 0. x y 0 x xyy 8 0 olduğuna göre, y x farkı aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 6 B) C) 0 D) E) x y 0 denklem sisteminin çözüm kümesinin elemanları analitik düzlemin A ve B noktalarına karşılık geldiğine göre, AB kaç birimdir? A) B) C) D) 0 E). x y xy 0 x y xy 0 denklem sisteminin gerçel sayılarda çözüm kümesi kaç elemanlıdır? A) 0 B) C) D) E) 8. a olmak üzere, a abb 0 ab 0 olduğuna göre, a.b çarpımı kaçtır? A) B) C) D) E) 6. Bir kenar uzunluğu x birim olan kare biçimindeki bir levhandan şekildeki gibi kısa kenar uzunluğu y birim olan bir dikdörtgen parça kesiliyor. y 9. x y 0 6 x y 9 0 olduğuna göre, A) 0 B) y x farkı kaçtır? C) D) E) x Kalan levha parçasına, bir kenar uzunluğu (y+) birim olan ve diğer kenarı kalan levha parçasının kısa kenarıyla çakışan, dikdörtgen biçiminde bir levha ekleniyor. y x x y+ Elde edilen dikdörtgen levhanın alanı ile karenin alanı birbirine eşit ve y x oldu- ğuna göre, kesilen parçanın alanı kaç birimkaredir? A) B) 0 C) 8 D) 6 E) D E C C D 6 E 7 D 8 E 9 D 0 B C A
Trigonometri. Aşağıdakilerden hangisi cosx sinx denkleminin köklerinden biri değildir? A) 6 D) 6 B) E) C) Test 9 Trigonometrik Denklemler. 0 x olduğuna göre, sinx sinx denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? A) B) C) D) 7 6 E). cosx sinx sin cos denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir? A) D) B) E) C) 7. sinxcosx 0 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) x x k,k Z B) x x k,k Z C) x x k,k Z D) x x 6 k,k Z E) x x k,k Z 6. tanxtanx denklemini sağlayan en küçük pozitif x gerçek sayısı kaçtır? A) D) 6 B) 0 E) C) 8 olduğuna göre, cosxcotx sinx 6. x denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? A) 6 D) B) E) C) 7
Trigonometri 7. cosxsinx denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir? 0. Test 9 Trigonometrik Denklemler sec x csc x 8 denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir? A) B) 6 C) A) B) C) 8 D) 8 E) D) 6 E) 8. cosx sinx toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır? A) B) C) 0 D) E). 0 x 80 için, cosx sinx sinx 0 olduğuna göre, x kaç derecedir? A) 7, B) C) 7, D), E) 67,. 0 x olduğuna göre, 9. sinx sinx sinx 0 denkleminin [0, ] aralığında kaç kökü vardır? A) B) C) D) 6 E) 7 cosx cosx denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? (Eşitliğin iki tarafını da cosx + cosx ile çarpabilirsiniz.) A) B) C) D) E) 6 B C B C D 6 C 7 A 8 C 9 E 0 C D B 8
Logaritma. Başlangıçta 00 farenin yaşadığı bir ortamda fare sayının her hafta % arttığı gözlenmiştir. Buna göre, n. hafta sonunda fare sayısını veren ifade aşağıdakilerden hangisidir? A) C) E) n 00 (,) n B) 00 (,0) n n 0 (,) D) 0 (,0) n 00 (,0) Test Üstel ve Logaritmik Problemler. Atık halindeki bir radyoaktif maddenin yılda ağırlığının 000 de sini kaybettiği biliniyor. Buna göre, bu maddeden başlangıçta 0 gram olan bir atığın 000 yıl sonra ağırlığı yaklaşık olarak kaç gram olur? ( Hesap makinesi kullanınız.) A),8 B),8 C),8 D),8 E) 6,8. Bir tarım arazisinde yapılan gözlemlere göre n ay sonunda çekirgelerden etkilenen arazinin 0,8n An 000 hektar olduğu belirlenmiştir. Buna göre, ay sonra çekirgelerden etkilen arazi kaç hektar olur? A) 000 B) 00 C) 00 D) 800 E) 6000. Yıllık %n sürekli faiz oranıyla t yıllığına bankaya yatırılan A miktar paranın t yıl sonra anapara ile birlikte getirisi At nt A e formülü ile hesaplanmaktadır. Yıllık %n sürekli faiz oranı ile bir bankaya yatırılan 0000 TL nin yıl sonra anapara ile getirisi 000 TL olduğuna göre, n kaçtır? A) ln B) ln 8 C) ln 8 D) ln E) ln 6. Richter ölçeğine göre bir depremin şiddeti. Bir bankanın yıllık bileşik faiz oranı %0 olarak belirlenmiştir. Buna göre, bu bankaya 0000 TL yatıran bir müşterinin yıl sonra alacağı para kaç TL olur? A) 8000 B) 86 C) 98 D) 99 E) 0 D R log D 0 formülü ile ölçülmektedir. Bu formüldeki D 0 sabiti standart sismik dalga boyunu, D değeri ise ölçülen en büyük dalga boyunu göstermektedir. Buna göre, Richter ölçeğine göre şiddeti 6,8 olan bir depremde ölçülen en büyük dalga boyu standart dalga boyunun kaç katı büyüklüktedir? A),7 0 B), 0 C), 0 D) 6,8 0 E) 8, 0
Logaritma 7. Richter ölçeğine göre bir depremin şiddeti D R log D 0 formülü ile ölçülmektedir. Bu formüldeki D 0 sabiti standart sismik dalga boyunu, D değeri ise ölçülen en büyük dalga boyunu göstermektedir. Buna göre, 6, şiddetinde bir depremde ölçülen en büyük dalga boyunun 0 katı büyüklüğe sahip bir depremin Richter ölçeğine göre şiddeti kaç olur? A) 6, B) 6, C) 6,6 D) 6,9 E) 7, 8. Ses şiddeti S D 0log S 0 (desibel) formülü ile ölçülmektedir. Bu formüldeki S 0 sabiti insan kulağının duyabileceği en zayıf ses yoğunluğunu, S değeri ise ölçülen ses yoğunluğunu göstermektedir. Ayrıca, 8 desibel ve üzeri şiddete sahip seslerin insanlarda kısmen veya tamamen duyma kaybına yol açtığı bilinmektedir. Buna göre, 9 I. Ses yoğunluğu 0 S 0 olan bir ortamda bulunmak duyma kaybına yol açabilir., II. Ses yoğunluğu 0 S 0 olan bir ortamdaki ses şiddeti desibelden fazladır. III. Ses şiddeti 60 desibel olan bir ortamdaki ses yoğunluğu standart ses yoğunluğunun 000000 katıdır. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız III C) I ve II D) II ve III E) I ve III 9. Düşme hızı 0,t V 0 ( ) m/sn olan bir paraşütçünün kaç saniye sonra hızı 0 m/sn olur? A) log B) log 8 C) log 7 D) log 9 E) log Test Üstel ve Logaritmik Problemler 0. Bir sıvının ph değeri ph log H formülü ile ölçülmektedir. Bu formüldeki H değeri sıvının bir litresinde bulunan hidrojen iyonlarının mol olarak sayısını göstermektedir. Buna göre, I. ph değeri,7 olan bir limonatanın bir,7 litresinde 0 mol hidrojen iyonu bulunur. mol/lt değerine sahip bir sıvı baziktir. II. 9, H 0 III. ph değeri 6 olan asidik bir elma suyunu nötr yapmak için içindeki hidrojen iyonlarının sayısını 9 0 7 mol kadar azaltmak gerekir. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) II ve III E) I, II ve III. Derin dondurucuya bırakılan bir suyun t dakika sonra sıcaklığı T 0e 0,0t C formülü ile verilmektedir. Buna göre, kaç dakika sonra su donmaya başlar? A) ln B) 0 ln C) 0 ln0 D) 0 ln6 E) 60 ln. Nüfusu başlangıçta P olan ve yıllık nüfus artış hızının n olduğu bir ülkenin t yıl sonra nüfusu Pt nt P e formülü ile hesaplanmaktadır. 000 yılındaki nüfusu 0000 ve 0 yılındaki nüfusu 00000 olan bir ülkedeki nüfus artış hızını kullanırsak, 06 yılında bu ülkenin nüfusu kaç olur? (Hesap makinesi kullanınız.) A) 08 B) 08 C) 0669 D) 098 E) 0 B E C B C 6 D 7 E 8 E 9 A 0 E D C
Dizi Kavramı Test n + 9. ^an h = e o n + dizisinin tam sayı terimlerinin toplamı kaçtır? A) B) C) D) 6 E) 7 n -. ^an h = c m n + dizisinin kaç terimi den küçüktür? A) B) C) 8 D) E) n - n+. ^anh = f p n + dizisinin kaç farklı tam sayı terimi vardır? A) B) C) D) E). ^anh = ^n - 7n + 0h dizisinin en küçük terimi kaçtır? A) B) C) 6 D) E) 0? Yayınları n - 7. ^an h = c m n - dizisinin kaç terimi negatiftir? A) 8 B) 6 C) D) E) 6. Genel terimi n + an = n + olan ^a n h dizisinin kaç tam sayı terimi vardır? A) 0 B) C) D) E) 8
Test Dizi Kavramı 7. n ^anh = e o n! dizisinin en büyük terimi kaçtır? 9 A) B) C) 6 D) E) 9 0. Genel terimi Z n, nçift ise an = ] [ n +, ntek ise ] \ olan ^a n h dizisi için, I. an= an+ dir. II. an+ an+ = n+ dir. an+ III. $ dir. an ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) II ve III n -n -n 8. ^anh = f p n + dizisinin negatif terimlerinin çarpımı kaçtır? A) 6 B) 8 C) 0 D) 8 E) 6 n+. ^an h = elnc mo n dizisinin ilk dokuz teriminin toplamı kaçtır? A) B) C) e D) loge E) ln 0? Yayınları 9. n pozitif tam sayısının en büyük asal sayı böleni n ile gösterilmektedir. Buna göre, genel terimi n, n / 0( mod ) an = * n +, n / ( mod ) olan ( a n ) dizisi için, a06- a7 ifadesinin değeri kaçtır? A) B) 0 C) 8 D) E) 08. Genel terimi an = EBOB( nn, + ) olan ^a n h dizisi için, I. EBOB( a, an) = dir. II. En büyük terimi dir. III. İlk 7 teriminin toplamı dir. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) I ve II C) I ve III D) II ve III E) I, II ve III C C D B C 6 B 7 B 8 E 9 A 0 E E B
Geometrik Diziler Test 8. N k - / c m k = 0 toplamının N büyürken yaklaştığı gerçek sayı aşağıdakilerden hangisidir? A) 6 B) C) 7 D) E) 06. / ^$ k h k= toplamının ile bölümünden kalan kaçtır? A) 0 B) C) D) E). + + + g+ + g k - toplamının yaklaştığı gerçek sayı aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E)? Yayınları. Aşağıda genel terimleri verilen geometrik dizilerden hangisinin tüm terimlerinin toplamı bir gerçek sayıya yaklaşmaz? n- n $ A) B) e o C) n+ n $ - n n D) E) e o - n r. k + c m + c m + g+ c m + g toplamının yaklaştığı gerçek sayı aşağıdakilerden hangisidir? A) 9 B) C) 7 9 D) 7 E) 6. İlk iki terimi sırasıyla x+ ve x- olan bir geometrik dizinin tüm terimlerinin toplamı bir gerçek sayıya yaklaşmaktadır. Buna göre, x gerçek sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) B) - C) 7 D) E)
Test 8 Geometrik Diziler 7. fx x k - ^ h = $ / ^ - h 9 k = olduğuna göre, ^fofhc m kaçtır? 0. Bir kenarının uzunluğu birim olarak çizilen Şekil deki karenin köşelerine, Şekil deki gibi kenar uzunlukları oranında küçültülmüş dört kare çiziliyor. Aynı işlem bu karelere de uygulanarak Şe- A) 9 D) B) E) 6 C) kil deki kareler çiziliyor. 8. Belli bir yükseklikten serbest bırakılan bir top, saniyede yere çarpmakta ve bir önceki düşme süresinin %80 i kadar sürede tekrar yükselmektedir. Buna göre, serbest bırakıldıktan en çok kaç saniye sonra topun durması beklenir? A) B) 0 C) D) 0 E) Buna göre, bu işleme sürekli devam edildiğinde çizilecek olan tüm karelerin alanları toplamı hangi gerçek sayıya yaklaşır? A) 8 9 Şekl Şekl Şekl B) D) E) C) 9 9. ABC dik üçgeninin içine şekildeki gibi D! 7ADA ve E! 7BCA olacak biçimde BDE eşkenar üçgeni çiziliyor. Benzer biçimde EFG, GHL ve diğer eşkenar üçgenler çizilmeye devam ediliyor. 7ABA= 7BCA, AB = ve BC = birimdir. A D? Yayınları. Şekildeki gibi merkezleri aynı olan daireler iç içe çizilerek aralarında kalan bölgeler birer ara boşluk bırakılarak taranıyor. F H B Buna göre, E G g L C I. Tüm eşkenar üçgenlerin çevreleri toplamı birimdir. II. Tüm eşkenar üçgenlerin alanları toplamı birimkaredir. III. Çizilen beşinci eşkenar üçgenin yüksekliği birimdir. 8 ifadelerinden hangileri doğrudur? En dıştaki dairenin yarıçapı birim ve sonraki her bir dairenin yarıçapı bir öncekinin 9 8 u kadar olduğuna göre, taralı bölgelerin alanları toplamı aşağıdaki gerçek sayılardan hangisine yaklaşır? A) 7r D) 8r 9r B) E) r 7 C) r 88 A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III 6 B E B B D 6 D 7 C 8 E 9 C 0 C D