Dokuz Eylül Üverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes Dergs, Clt:7, Sayı:, Yıl:0, ss.57-70. Zama Skalasıda Bo-Co Regresyo Yötem Atlla Özur İŞÇİ Sbel PAŞALI GÖKTAŞ ATMACA 3 M. Nyaz ÇANKAYA 4 Özet Hata term le bağımlı değşke sürekllk ve ormal dağılma varsayımı bozulduğu durumlarda λ j, j =,,..., k, kuvvet döüşümü le taımlaa Bo-Co regresyo yötem kullaılmaktadır. Y ler üzerdek λ j, j =,,..., k, kuvvet döüşümüü hag λ j değerde Hata Kareler Toplamı (HKT) ı mmum yaptığı durum ele alımaktadır. Bo-Co regresyo yötem, regresyo oksyouu doğrusal olmaya durumu, sabt olmaya hata varyasları ve hata termler dağılışlarıı çarpıklığıı düzeltmek ç Y üzerde döüşüm yapılması açısıda oldukça uygudur. Bu çalışmada ark ve derasyel aalz brlkte ele alıdığı zama skalası türev kavramı kullaılarak Bo-Co regresyo yötem kullamaı avataj ve dezavatajları celemştr. Aahtar Kelmeler: Zama skalası, İler sıçrama, Ger sıçrama, Bo-Co Regresyo Yötem. JEL Sııladırma Kodları: C0, C0 Atlla GÖKTAŞ, Muğla Üverstes, Fe Fakültes, İstatstk Bölümü, Muğla, e-mal: gatlla@mu.edu.tr Özur İŞÇİ, Muğla Üverstes, Fe Fakültes, İstatstk Bölümü, Muğla, e-mal: ozur.sc@mu.edu.tr 3 Sbel Paşalı ATMACA, Muğla Üverstes, Fe Fakültes, Matematk Bölümü, Muğla, e-mal: sbelpasal00@yahoo.com 4 M. Nyaz ÇANKAYA, Akara Üverstes, Fe Fakültes, İstatstk Bölümü, Akara, e-mal: mehmet_cakaya@yahoo.com
Göktaş-İşç-Atmaca-Çakaya/Zama Skalasıda Bo-Co Regresso Method Tme Scalg Abstract Bo-Co regresso method wth λ j, or j =,,..., k, power trasormato ca be used whe depedet varable ad error term o the lear regresso model do ot satsy the cotuty ad ormalty assumptos. The stuato obtag the smallest mea square error whe optmum power λ j, trasormato or j =,,..., k, o Y has bee dscussed. Bo-Co regresso method s especally approprate to adjust estece skewess or heteroscedastcty o error terms or a olear uctoal relatoshp betwee depedet ad eplaatory varables. I ths study, the advatage ad dsadvatage use o Bo-Co regresso method have bee dscussed deretato ad deratal aalyss o tme scale cocept. Key Words: Tme scale, Forward jump, Backward jump, Bo-Co regresso method. JEL Classcato Codes: C0, C0. Grş Zama skalası kavramıı lk dea Stea Hlger doktora tezde ler sürmüştür. Zama skalasıı amacı, keskl aalz le sürekl aalz br çatı altıda brleştrmek olmuştur. reel sayılarıı boşta arklı kapalı alt kümese zama skalası der ve T le gösterlr (Boher ad Peterso, 00: ). Böylelkle de,,, N, N 0, sırası le, gerçel sayılar, tam sayılar, doğal sayılar ve pozt tam sayılar zama skalasıı öreklerdedr ve [0,] [, 3], [0,] şeklde değerledrlr. Ya L 0 ve L ya [ ] [ ] =. Q, \Q, C, (0,), sırasıyla rasyoel sayılar, rrasyoel sayılar, kompleks sayılar ve 0 ve açık aralığı zama skalasıda yer almamaktadır. Zama skalasıı kapalı olması edeyle, açıkça görüleceğ üzere rasyoel sayılar br zama skalası değldr. Gerçekte, T de taımlamış ola aşağıdak gb taımlamaktadır: oksyou ç delta türev () ' T = se geel türevdr. () T = Z se geel ler ark operatörüdür. Zama skalasıı daha y açıklayablmek ç aşağıda bazı taım ve teoremler verlmektedr. 58
Dokuz Eylül Üverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes Dergs, Clt:7, Sayı:, Yıl:0, ss.57-70. K Taım.. : T R br oksyo ve t T 0 verldğde t br U komşuluğu ( U ( t, t )) ve 0 vardır k tüm s U ç, (t ) s T : s t olmak üzere; taımlaır ve ( Hoacker, 003: 0). Teorem.. [ ( (t )) ( s )] (t )[ (t ) s] (t ) s t de delta türev olarak söyler (Aderso ad : T R br oksyo ve 59 K t T oktası verldğde (Boher ad Peterso, 00: 5-6) ve (Agarwal ad Boher, 999: 3), (), t de türevleeblr olsu, o zama, t de sürekldr. (), t de sürekl ve t sağda serplmş se, o zama t de türevleeblrdr. () t sağ yoğuluksa, acak olur. ( ( t )) ( s ) ( t ) lm s t, s T ( t ) st ( t ) s ( ( s) lm st t s ( ( s ( lm solu br sayıı acak ve s t t s ) (v), t de delta-türevleeblr olsu, o zama şeklde elde edlr. eştlğ sağlaması koşuluyla t de türevleeblr ( ( ) ( ( ( K Taım.. : T R br oksyo ve t T 0 verldğde t br U komşuluğu ( U ( t, t )) ve 0 vardır k tüm s U ç, (t ) s T : s t olmak üzere, taımlaır ve ( Hoacker, 003: 0). Teorem.. [ ( ( ) ( s)] ( [ ( s] ( s t de abla türev olarak söyler (Aderso ad K : T R br oksyo ve t T oktası verldğde,
Göktaş-İşç-Atmaca-Çakaya/Zama Skalasıda (), t de abla-türevleeblr se, t de sürekldr. (), t de sürekl ve t solda serplmş se, o zama t de abla-türevleeblrdr. ( t ) lm st ( ( t )) ( s ) ( t ) s ( ( s) () t sol yoğuluksa, ( lm olması ç acak ve acak s t t s ( ( s) lm eştlğ sağlaması koşulu le t de türevleeblr olur. st t s (v), t de abla-türevleeblr se, aşağıdak oksyoel lşk yazılır: ( ( ) ( v( ( K Taım.3. : T R br oksyo ve t T 0 verldğde t br U komşuluğu ( U ( t, t )) ve 0 vardır k tüm s U ç, c [ ( ( ) ( ( )] ( [ ( ( ] ( ( taımlaır ve c ( Lebedsky, 007: 7). t de merkez türev olarak söyler (Bles, Atç, ad K Taım.4. : T R br oksyo ve t T 0 verldğde t br U komşuluğu ( U ( t, t )) ve 0 vardır k tüm s U ç, a [ ( (t )) (t )][t (t )] [ (t ) ( (t ))][ (t ) t ] [ ( t ) t ][t (t )] [( (t ) t ][t (t )] taımlaır ve a ( t de ortalama türev olarak söyler. Taım.5. İler Sıçrama Operatörü (Forward Jump Operator) T br zama skalası olsu. t T ç ler sıçrama operatörü :T T taımlamaktadır (Aderso ad Hoacker, 003: 9), ( t ) { s T : s t } Sağ-parçalı oksyo taımlamaktadır: T ç : T [0, ) aşağıdak gb (t ) (t ) t 60
Dokuz Eylül Üverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes Dergs, Clt:7, Sayı:, Yıl:0, ss.57-70. Taım.6. Ger Sıçrama Operatörü (Backward Jump Operator) T br zama skalası olsu. taımlamaktadır (Aderso ad Hoacker, 003: 9), t T ç ger sıçrama operatörü : T T ( t ) sup{ s T : s t } Sol-parçalı oksyo : T [0, ) aşağıdak gb taımlamaktadır: ( t ) t ( t ) Eğer ( 0 se, t sağ-sıçrama, dğer durumda se sağ-yoğuluk olduğuu söylerz. Ayı şeklde, eğer ( 0 se, t sol-sıçrama, dğer durumda se sol yoğuluk olduğuu söylerz. Şekl.. Noktaları Sııladırılması Şekl. de oktaları sııladırılması verlmektedr (Boher ad Peterso, 00: ). Yukarıdak bu k taımlamada, mø=mat (T maksmum t se ( t ) ve maø=mt (T mmum t se ( t ) olarak alırız. Ø boş kümey göstermektedr. Eğer ( t se, t sağ-sıçrama ve ( t se, sol-sıçrama olduğuu söylerz. Hem sağ-sıçrama hem de sol-sıçrama ola oktalar zole olmuş (solated) olarak smledrlr. Ayı zamada, eğer t < mat ve ( t se t sağ-yoğuluk, eğer t > mt ve ( t se solyoğuluk olarak smledrlr. Hem sağ-yoğuluk hem de sol-yoğuluk ola oktalar yoğuluk olarak smledrlr (Bolde, Gozalez ad Parker, 00: 3). Bu oktaları sııladırılması bütü olarak Tablo. de yer almaktadır (Boher ad Peterso, 00: ). 6
Göktaş-İşç-Atmaca-Çakaya/Zama Skalasıda Teorem.3. () Tablo.. Noktaları Sııladırılması t sağ-sıçrama t ( t sağ-yoğuluk t ( t sol-sıçrama t sol-yoğuluk ( ( t ortada (solated) ( t ( t yoğuluk ( t ( K, g : T R, T da türevleeblr olsu. Bu durumda, g : T R toplamı t de türevleeblrdr: ( g) ( ( g (. () Herhag br a sabt sayısı ç, : T R t de türevleeblrdr: t t () ( ) ( (. g : T R t de türevleeblrdr: ( g) ( ( g( ( ( ) g ( ( g ( ( g( ( ). (v) Eğer, ( ( ( ) 0 se o zama t de türevleeblrdr: ( ) ( (v) Eğer, g( g( ( ) 0 se o zama g ( ( ( ( ) t de türevleeblrdr: ( g ) ( ( g( ( g g( g( ( ) ( şeklde elde edlr (Ta, 006: 7). Tablo. de bazı zama skalası örekler yer almaktadır (Boher ad Peterso, 00: 8). 6
Dokuz Eylül Üverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes Dergs, Clt:7, Sayı:, Yıl:0, ss.57-70. Tablo.. Zama Skalası Örekler μ( σ( ρ( 0 t t Z t + t - hz h t +h t - h N q t t (q - ) q t / q N t t t / N 0 t + ( t + ) ( t - ) Tablo. dek zama skalası örekler bazılarıı sayı doğrusu üzerde gösterm Şekl. de verlmektedr: Şekl.: Bazı zama skalaları. Bo-Co Regresyo Yötem Bo-Co regresyo model bağımlı değşke üzerde aşağıdak gb br döüşüm taımlamaktadır (Kuter, Nachtshem ad L, 005: 35). λ Y = β 0 + β X +...+ β k X k + ε (.) burada λ Y - λ λ 0 Y = λ l(y) λ = 0 (.) λ parametrel kuvvet döüşümü kullaılarak lglele modele lşk katsayılar elde edlr. λ parametres hag değerde HKT y e küçük verdğ araştırılır. λ kuvvet döüşümü parametre tahmde özellkle bağımlı değşke ormallk veya hataları sabt varyaslı olma varsayımı bozulduğuda kullaılması yararlıdır (Osbore, 00:). 63
Göktaş-İşç-Atmaca-Çakaya/Zama Skalasıda. Zama Skalası Türev Taımıa Göre İler ve Ger Sıçrama Operatörlere İlşk Normal Deklemler Elde Edlş Örek olarak bast doğrusal regresyo modele lşk ormal deklemler elde edlecektr. Bast doğrusal regresyo modelde e küçük kareler yöteme göre, Q ( Y Yˆ ) ( ) = mmum olmalıdır. 0 0 0 (..) Q Y Y X Y X X İler sıçrama operatörüe göre β 0 ve β e göre türev alıır ve sııra eştlerse (..3) ve (..5) elde edlr. Q Y ( ( 0) 0) X 0 0 (..) 0 ) 0 X Y ( (..3) Q X Y X ( ( ) ) 0 X 0 (..4) X ( ) X 0 X XY (..5) İler sıçrama operatörlere göre ormal deklemler elde edleblmes ç sırasıyla, ( 0 ) yere 0 ve ( ) yere yazılır.. Zama Skalasıa İlşk Normal Deklemler ( 0 ) yere 0 ve ( ) yere yazıldıkta sora zama skalası ormal deklemler (İler Sıçrama Operatörü) eştlk (..) dek gb elde edlmektedr. ˆ ˆ y ˆ 0 ˆ 0 y 64 (..)
Dokuz Eylül Üverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes Dergs, Clt:7, Sayı:, Yıl:0, ss.57-70. 65 eştlk (..) de elde edle k blmeyel ormal deklemler 0 göre çözüldüğüde 0 zama skalası tahm eştlk (..) dek gb elde edlr. ˆ 0 z y y (..) β e göre çözüldüğüde se β zama skalası tahm eştlk (..3) tek gb elde edlr. ˆ z y y (..3) 3. Uygulama Zama skalasıda Bo-Co regresyo yötem celemesde (3.) dek regresyo deklem kullaılmıştır. =00 büyüklüğüde k değşkel ormal dağılımda bell özellklere sahp 4 arklı bağımsız ktlede rastgele türetlmştr. Bo-Co regresyo yötem sağlam parametre tahm verdğde öreklem büyüklüğüde etklemes söz kousu değldr (Marazz ad Yoha, 004:5). Bu yüzde öreklem büyüklüğü =00 sabt alımıştır. Burada arklı λ değerler ç HKT y e küçük yapa λ değer seçlmektedr. Bu amaçla çalışmada ver üretm ç MİNİTAB 5.0 paket programı ve e y λ belrlemek ç R paket programı kullaılmıştır. Buu ç λ, -3 le 3 aralığıda alımış ve her adımda λ değer 0.0 arttırılarak, 700 arklı λ değer ç HKT ı e küçük yapa λ değer elde edlmştr. Bo-Co regresyo model eştlk (3.) dek gb taımlaablr. λ 0 Y = β + β X + ε (3.) Eştlk (3.) de verle Bo-Co regresyo model zama skalasıa göre parametre tahmler eştlk (..) ve eştlk (..3) dek Y yere Y koularak sırasıyla eştlk (3.) ve eştlk (3.3) dek gb elde edlr.
Göktaş-İşç-Atmaca-Çakaya/Zama Skalasıda λ λ = = = = = = = 0 = = -( )-( )( y )+( )( )+( y )( ) β =- ( )-( ) λ λ = = = = = = = -( y )+( )( y )+ )-( ) β =- ( )-( ) (3.) (3.3) 5 Brc ver set ç ( =00), ortalama vektörü 3 ve varyas-kovaryas 0.8 matrs, 0.8 ola k değşkel ormal dağılımda türetle rastgele verler ele alımıştır. Bo-Co regresyo modeldek -3 le +3 arasıdak 700 arklı λ değer ç eştlk (3.) ve eştlk (3.3) dek zama skalası parametre tahmler kullaılarak HKT hesaplamıştır. Yatay eksede arklı λ değerler ve dkey eksede HKT arasıdak lşky göstere grak Şekl 3. de suulmuştur. Şekl 3. de görüldüğü gb HKT mmum olduğu değer λ =.4 ve HKT=6.70 dr. Bua göre klask e küçük kareler yötemde elde edle HKT da daha düşük br değer bulumuştur. Şekl 3.: = 00 ç λ ve HKT değerler 66
Dokuz Eylül Üverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes Dergs, Clt:7, Sayı:, Yıl:0, ss.57-70. Bezer şeklde kc ver set ç ( =00), ortalama vektörü 3 ve 0.4 varyas-kovaryas matrs 0.4 ola k değşkel ormal dağılımda türetle rastgele verler ele alımıştır. Şekl 3.: = 00 ç λ ve HKT değerler Şekl 3. de de görüldüğü gb HKT ı mmum olduğu λ değer λ =. ve HKT=3.5 olarak bulumuştur. 7 Üçücü ver set ç ( 3 =00), ortalama vektörü 0 ve varyaskovaryas matrs 0.6 0.6 ola k değşkel ormal dağılımda türetle rastgele verler ele alımıştır. 67
Göktaş-İşç-Atmaca-Çakaya/Zama Skalasıda Şekl 3.3: 3 = 00 ç λ ve HKT değerler Şekl 3.3 de görüldüğü gb HKT ı mmum olduğu λ değer λ =.30 ve HKT=.7 elde edlmştr. Dördücü ver set ç ( 4 =00), ortalama vektörü ve varyas- 0.7 kovaryas matrs 0.7 türetle rastgele verler ele alımıştır. 8 ola k değşkel ormal dağılımda Şekl 3.4: 4 = 00 ç λ ve HKT değerler 68
Dokuz Eylül Üverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes Dergs, Clt:7, Sayı:, Yıl:0, ss.57-70. Şekl 3.4 de de görüldüğü gb HKT ı mmum olduğu λ değer λ =.38 ve HKT=.57 olarak bulumuştur. 4. Souç ve Değerledrme Bu çalışmada Bo-Co regresyo model Y λ = β + β X + ε ele 0 alımıştır. E y λ değer klask e küçük kareler yötem yere zama skalası parametre tahmlere göre elde edlmştr. Verler k değşkel ormal dağılımda rastgele türetlmş ve = 00 hacmdek 4 arklı bağımsız öreklem hag λ değerde e küçük HKT değere ulaşıldığı araştırılmıştır. Burada öreklem büyüklüğüü veya kovaryas matrs determatıı etks le lglelmedğde bağımsız 4 arklı öreklem seçlmştr. Zama skalası Bo-Co ve klask e küçük kareler yöteme göre elde edle HKT ç özet souçlar Tablo 4. de verlmektedr. Tablo 4.: Farklı Öreklemelere Göre Zama Skalası ve Klask E Küçük Kareler Yötem le Elde Edle λ ve HKT Souçları λ Zama Skalası Bo-Co HKT Klask E Küçük Kareler HKT = 00.4 6.70 8.79 = 00. 3.5 86.49 3 = 00.30.7 70.36 4 = 00.38.57 60.85 Bu souçlara göre zama skalası Bo-Co yötem le elde edle HKT, klask e küçük kareler yötem le elde edle HKT da daha küçük bulumuştur. Özellkle bağımlı değşke ormal dağılım göstermemes durumuda bast doğrusal regresyo model yere zama skalası Bo-Co regresyo model kullaılması daha uygu olmaktadır. 69
Göktaş-İşç-Atmaca-Çakaya/Zama Skalasıda KAYNAKLAR Agarwal, R.P. ad Boher, M. (999), Basc Calculus O Tme Scales ad Some o ts Applcatos, Results Math, 35(-), -0. Aderso, D. R. ad Hoacker, J. (003), Gree s Fuctıo For A Eve Order Med Dervatve Problem O Tme Scales, Dyamc Systems ad Applcatos,, 9-. Bles, D., Atç, F., Lebedsky, A. (007), Eamples o Tme Scale Models Macroecoomcs, Workg paper, -3. Boher, M. ad Peterso A. (00), Dyamc Equatos o Tme Scales: A Itroducto wth Applcatos, Brkhauser, Bosto. Bolde, T., Gozalez, B., Parker, R. (00), Dervatve Appromatos o Tme Scales, Lecture Notes, -5. Kuter, M.H., Nachtshem, C.J., Neter, J. ad L, W. (005), Appled Lear Statstcal Models, Fth Edto, Irw Book Team, Newyork. Marazz A., Yoha V. J. (004), Robust Bo-Co Trasormatos For Smple Regresso. Theory Ad Applcatos O Recet Robust Methods, Seres: Statstcs or Idustry ad Techology, Brkhauser, Basel. Edted by M. Hubert, G. Pso, A. Struy ad S. Va Aelst., 73-8. Osbore, J.W. (00), Improvg Your Data Trasormatos: Applyg The Bo-Co Trasormato, Practcal Assessmet, Research & Evaluato, Volume 5, Number, October, ISSN 53-774, -9. Ta L. H. (006), Ivestgatos Ito Dyamc Equatos o Tme Scales, School o Mathematcs, Master Thess, The Uversty o New South Wales, - 00. 70