ADIYAMAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ SOFT KÜMELER VE BAZI SOFT CEBİRSEL YAPILAR.

Transkript

1 ADIYAMAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ SOFT KÜMELER VE BAZI SOFT CEBİRSEL YAPILAR Ebubekr İNAN DANIŞMAN Yrd. Doç. Dr. Mehmet Al ÖZTÜRK ADIYAMAN 2011 Her Hakkı Saklıdır

2 TEZ ONAYI Ebubekr İNAN tarafından hazırlanan SOFT KÜMELER VE BAZI SOFT CEBİRSEL YAPILAR adlı tez çalışması aşağıdak jür tarafından oy brlğ le Adıyaman Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü Matematk Anablm Dalı nda YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edlmştr. Danışman : Yrd. Doç. Dr. M. Al ÖZTÜRK Jür Üyeler : Prof. Dr. Hayrullah AYIK Adıyaman Ünverstes, Matematk A.B.D. Yrd. Doç. Dr. Mehmet Al ÖZTÜRK Adıyaman Ünverstes, Matematk A.B.D. Yrd. Doç. Dr. Tayfun SERVİ Adıyaman Ünverstes, İlköğretm Matematk Eğtm A.B.D. Yukarıdak sonucu onaylarım Doç. Dr. Mustafa ÖZDEN Ensttü Müdürü

3 ÖZET Yüksek Lsans Tez SOFT KÜMELER VE BAZI SOFT CEBİRSEL YAPILAR Ebubekr İNAN Adıyaman Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü Matematk Anablm Dalı Danışman: Yrd. Doç. Dr. M. Al ÖZTÜRK Bu tez altı bölümden oluşmaktadır. Brnc bölüm grş kısmına ayrılmıştır. İknc bölümde, -halkaları ve fuzzy kümeler le lgl dğer bölümlere öncülük eden kavramlar özetlenmştr. Üçüncü bölümde, soft kümeler ve temel özellkler verlmştr. Ayrıca, soft küme ve fuzzy küme kavramları karşılaştırılmıştır. Dördüncü ve beşnc bölümlerde, soft gruplar, soft alt gruplar, normal soft alt gruplar, soft grupların homomorfzmaları, soft halkalar, soft alt halkalar, soft dealler, dealstk soft halkalar, soft halkaların homomorfzmaları ve temel özellkler ncelenmştr. Son olarak altıncı bölümde, blnen soft cebrsel yapıların özellkler -halkalarına genelleştrlmştr. Bu bölümde, soft -halkaları, soft alt- -halkaları, soft dealler, dealstk soft -halkaları, soft -halkalarının homomorfzmaları kavramları verlmş ve bazı temel özellkler elde edlmştr. Hazran 2011, 51+ᴠ sayfa Anahtar Kelmeler: Soft Küme, Soft Grup, Soft Halka, Soft Gamma Halkası

4 ABSTRACT Master Thess SOFT SETS AND SOME SOFT ALGEBRAIC STRUCTURES Ebubekr İNAN Adıyaman Unversty Graduate School of Natural and Appled Scences Department of Mathematcs Supervsor: Asst. Prof. Dr. M. Al ÖZTÜRK The thess conssts of sx chapters. The frst chapter has been reserved for the ntroducton. In the second chapter, prelmnares have been summarzed manly about the -rngs and fuzzy sets. In the thrd chapter, soft sets and ther basc propertes have been gven. In addtonal, concepts of soft set and fuzzy set have been compared. In the fourth and ffth chapters, soft groups, soft subgroups, normal soft subgroups, homomorphsms of soft groups, soft rngs, soft subrngs, soft deals, dealstc soft rngs, homomorphsms of soft rngs and ther basc propertes have been nvestgated. Fnally, n the sxth chapter, the propertes of some known soft algebrac structures have been generalzed to -rngs. In ths chapter, soft -rngs, soft sub- -rngs, soft deals, dealstc soft -rngs, homomorphsms of soft -rngs have been gven and some of ther basc propertes have been obtaned. June 2011, 51+ᴠ pages Key Words: Soft Set, Soft Group, Soft Rng, Soft Gamma Rng

5 TEŞEKKÜR Bu çalışmada bana destek olan ve her aşamasında blglern, tecrübesn ve yakın lgsn esrgemeyen danışman hocam sayın Yrd. Doç. Dr. Mehmet Al ÖZTÜRK e, çalışmalarım sırasında tezme madd katkı sağlayan Adıyaman Ünverstes Blmsel Araştırma Projeler (ADYÜBAP) brmne, yapıcı tavsyelernden dolayı değerl hocam Yrd. Doç. Dr. Mustafa UÇKUN a teşekkürlerm borç blrm. Ayrıca, benden manev desteklern esrgemeyen aleme ve değerl eşme de sonsuz teşekkür edyorum. Ebubekr İNAN Adıyaman, 2011

6 İÇİNDEKİLER ÖZET ABSTRACT TEŞEKKÜR İÇİNDEKİLER v SİMGELER DİZİNİ v 1. GİRİŞ 1 2. ÖN BİLGİLER Gamma Halkaları Fuzzy Kümeler 5 3. SOFT KÜMELER Soft Kümeler ve Özellkler Soft Küme Teorsnde De Morgan Kuralları Fuzzy Küme le Soft Küme Arasındak İlşk SOFT GRUPLAR Soft Gruplar ve Özellkler Soft Alt Gruplar Normal Soft Alt Gruplar SOFT HALKALAR Soft Halkalar ve Özellkler Soft deal ve İdealstk Soft Halkalar SOFT -HALKALARI ve İDEALİSTİK SOFT -HALKALARI Soft -Halkaları İdealstk Soft -Halkalar 46 KAYNAKLAR 50 ÖZGEÇMİŞ 51 v

7 SİMGELER DİZİNİ D Bölüm halkası D m n m, n tpndek matrslern kümes U U nun kuvvet kümes A t F, A A da br fuzzy küme nün sevye alt kümes Soft küme C F, A, r F, A, Supp F, A, F A soft kümesnn tümleyen F A soft kümesnn relatf tümleyen F A soft kümesnn destekleyen e e parametresnn değl Doğal sayılar kümes Tam sayılar kümes AND operatörü OR operatörü Soft kümelern arakest Soft kümelern brleşm Soft kümelern b-arakest Kısıtlanmış fark Genşletlmş arakest Kısıtlanmış arakest Kısıtlanmış brleşm v

8 1.GİRİŞ Blm adamları yüzyıllar boyunca mutlak tutarlı ve sınırları kesn blmsel yöntem ve yaklaşım kavramlarından kurtulamamışlardır. Ancak blm ve teknolojnn gelşm ve doğanın blmsel olarak tasarlanmasındak zorluklar, bu tutarlılık ve kesnlk lkelern yetersz kılarak matematk ve mantıkta krzlere sebep olmuştur. Belrszlğn modellenmes yan; matematksel olarak fade edlmes klask mantık yaklaşımıyla mümkün değldr. Tıpkı doğadak gb sürekl değşen, çevresnden etklenen ve denge halnde olmayan sstemlern modelleneblmes ancak tutarsız bulguların toparlanıp bunlardan sonuç çıkarılmasıyla mümkündür. Bu doğrultuda, 17. yüzyıl başlarında Pascal ve Fermat olasılık kuramını ortaya atarak lk olarak belrsz br durumu matematksel olarak ncelemşlerdr. 19. yüzyıl başlarında se brçok blm adamı tarafından belrszlk üzerne çalışmalar yapılmıştır. Ancak lk olarak 1920 lerde Hesenberg belrszlk kavramını açıklayarak, çok değerllğe kapı açmıştır ların başında se Lukasewcz lk üç değerl mantık sstemn ve aynı tarhlerde kuantum flozofu olan Black de lk sürekl değerlere sahp mantığı tanımlamıştır te, karmaşık olayların modern anlamda modellenmesne mkan tanıyan, teknolojde dönüm noktası dyebleceğmz bulanık (Fuzzy) küme teors Zadeh tarafından tanımlanmıştır. Bu alandak dğer br teor olan yaklaşımlı (Rough) küme teors de 1982 de Pawlack tarafından tanımlanmıştır. Bu tarhten sonra, belrszlk durumlarını ncelemek çn yen br matematksel araç olan esnek (Soft) kümeler kavramı 1999 da Molodtsov tarafından gelştrlmştr. Son zamanlarda, Soft kümeler teors üzerndek çalışmalar hızla lerlemektedr. Blgsayar uygulamaları açısından son derece öneml olan karar verme problemler çn lk uygulama, Soft kümeler teors kullanılarak; Maj tarafından verlmştr. Soft küme teorsnn cebrsel yapıları son yıllarda yoğun br şeklde çalışılmaktadır. Aktaş ve Çağman soft kümelern temel özellklern bulanık kümeler ve yaklaşımlı kümelerle lşklendrerek ncelemşlerdr. Aktaş ve Çağman soft grupları tanımlayarak gruplarla lgl bazı temel özellklern üzernde durmuşlardır. Feng, Jun ve Zhao soft küme teorsn kullanarak soft yarı halka, soft yarı halka üzernde soft deal ve dealstk 1

9 soft yarı halka kavramlarını vermşlerdr. Daha sonra, Acar, Koyuncu ve Tanay soft halka kavramını tanımlamışlardır. Bunun yanı sıra, Jun soft BCK/BCI cebrlern ve soft alt cebrler kavramlarını, Jun ve Park BCK/BCI cebrlernn cebrsel yapılarını, Park, Jun ve Öztürk soft WS-cebrlern ve ayrıca Sun, Zhang ve Lu soft modül teorsnn temel kavramlarını tanımlamışlardır. 2

10 2. ÖN BİLGİLER Bu bölümde, tezn anlaşılablrlğn kolaylaştıran ve dğer bölümlerde vereceğmz tanım ve teoremlere öncülük eden temel kavramlar verlecektr Gamma Halkaları Modül endomorfzmalarının halkası matematğn brçok alanında öneml rol oynar. Br modülden başka br modüle tanımlanan modül homomorfzmalarının kümes fonksyonlar çn blnen toplama şlemne göre kapalı olduğu halde, fonksyonların bleşke şlemne göre kapalı değldr. Br A modülünden B modülüne tanımlanan tüm homomorfzmaların toplamsal grubu M, B modülünden A modülüne tanımlanan tüm homomorfzmaların toplamsal grubu N olsun. f1, f2 M ve g N olmak üzere; f1gf 2 le tanımlanan homomorfzma M grubunun elemanı olur ve dolayısıyla N grubunu kullanarak yen br çarpma şlem tanımlanablr. Bu düşünceden hareketle Nobusawa 1964 yılında yayınladığı makalesnde Γ- halkası tanımını aşağıdak gb vermştr. Tanım [N. Nobusawa 1964] Elemanları a, b, c,... olan M toplamsal grup ve elemanları,,,... olan başka br toplamsal grup verlsn. Buna göre; : M M M ( a,, b) a b ve : M (, a, ) a şlemler le aşağıdak özellkler sağlanırsa o zaman M ye -halkası denr. a, a, a, b, b, b M ve, , 1 2 () ( a a b a b a b 1 2 ) 1 2 a 1 2 ) 1 2 ( b a b a b a ( b ab ab 1 b2 ) 1 2 () ( a b) c a ( bc) a( b ) c () a 0 ve b 0 ken a b 0 se 0 dır. 3

11 Tanım M br -halkası olsun. M nn sıfırdan farklı a elemanı çn aa 0 olacak bçmde br sıfırdan farklı nın elemanı olan varsa o zaman M ye yarı bast -halkası denr. M nn sıfırdan farklı a ve b elemanı çn a b 0 olacak bçmde sıfırdan farklı br nın elemanı olan varsa M ye bast denr. Örnek D br bölüm halkası olsun. Buna göre;, Dm, n a j aj D D a a D n, m j nm j ve M D n, m,, olarak alalım. Bu durumda aşağıdak şlemler le M br -halkasıdır. : M M M mn aj, bj aj bj aj bj : j, j j j j j : M M M aj, j bj aj j bj : M j, aj, j j aj j D m n N. Nobusawa nın tanımladığı -halkası kavramını, W. E. Barnes aşağıdak gb yenden tanımlanmıştır. Tanım [Barnes 1966] Eğer M { a, b, c,...} ve {,,,...} toplamsal grupları olmak üzere; sağlanırsa o zaman M ye -halkası denr. a, b, c M nn, nın elemanları olsun. Aşağıdak koşullar () a b M dr. () ( a b) c ac b c, a( ) b ab ab, a ( b c) ab ac, () ( ab) c a ( bc). 4

12 Barnes, Nobusawa ya göre -halkasında bulunan koşulları azaltarak daha kullanışlı hale getrmştr. M br -halkası se her,b M ve çn Tanım den; 0b a0b a 0 dır. Çünkü; 0 b (0 0 ) b 0 b 0 b, M M M M M 0 b M olduğundan en az br 0 b M olacak şeklde her elemanın ters vardır. M Dolayısıyla 0 b 0 b 0 b 0 b 0 M M M M M M b M M M b olur. 0 0 M M b Tanım M br -halkası, A M nn boş olmayan br alt kümes olsun. A, M, ( M A) A nn toplamsal alt grubu ve A M { a c a A,, c M} zaman A ya M nn sağ (sol) deal denr. se o 2.2. Fuzzy Kümeler Bu kısımda, 1965 te Zadeh tarafından gelştrlen Fuzzy küme tanımını vererek; klask küme kavramı le lşksn ele alacağız. Tanım [Zadeh 1965] X boştan farklı br küme ve I 0,1 fonksyonu tarafından karakterze edlen, de br fuzzy küme denr. Her x X çn x A : X 0,1 A, A R olsun. A x x x X X I kümesne X değerne x n A ya at olma dereces denr. x yaklaşması x n A ya daha fazla at olması anlamına gelmektedr. Klask küme teorsnde X boştan farklı br küme ve B X se üyelk fonksyonu, A n 1 e 5

13 B x 1, 0, x B x B şeklndedr. : X 0,1 fonksyonu x X X fuzzy kümes olarak yazılablr. : X 0,1 fonksyonu x X fuzzy kümes olarak yazılablr. çn x 1 olarak tanımlanırsa X kümes, X X x,1 x X çn x 0 B olarak tanımlanırsa X kümes, x,0 x X Sonuç olarak, her klask küme br fuzzy küme olarak dkkate alınablr ancak ters doğru değldr. Tanım [Malk ve Mordeson 1991] X boş olmayan br küme ve, X n br fuzzy alt kümes olsun. t 0,1 olmak üzere, t x X x t kümesne nün br sevye alt kümes denr. Örnek A a, b, c olmak üzere A nın br fuzzy alt kümes, a 0.3, b 0.1 ve c 0.4 çn,, 0 t t 0.3 t a b c A, çn a, c, çn c 0.3 t 0.4 t ve 0.4 t 1 çn t olur. t şeklnde tanımlansın. Bu durumda, 6

14 3. SOFT KÜMELER 3.1. Soft Kümeler ve Özellkler Tanım [Molodtsov 1999] İlk evrensel küme U ve U ; U nun kuvvet kümes olsun. Buna göre; : A U küme değerl fonksyon olmak üzere, A klsne U üzernde br soft küme denr. Dğer br fade le, U üzernde soft küme, U evrensel kümesnn alt kümelernn parametrelendrlmş br alesdr. A çn, yı, A soft kümesnn ε-yaklaşımlı elemanlarının kümes olarak dkkate alınablr. Açıkça, br soft küme klask anlamda br küme değldr. Molodtsov [1999] çalışmasında bazı örnekler vermştr. Benzer örnekler Maj vd. [2003], Aktaş ve Çağman [2007] da çalışmalarında vermşlerdr. Örnek [Molodtsov 1999, Maj vd. 2003] U kümes evlern kümes olarak ve E kümes de parametrelern kümes olarak dkkate alınsın. Her br parametre br kelme veya br cümle olarak verleblr. E pahalı; güzel; ahşap; ucuz; bahçel olsun. Bu durumda tanımlanacak soft kümenn anlamı; pahalı olan evler, güzel olan evler şeklnde olur. F, E kümedr. soft kümes, bay X n alacağı ev çn evlern cazplğ n tarf eden br Şmd bu örneğ daha detaylı olarak nceleyelm: U evrensel kümes U h, h, h, h, h, h olacak şeklde altı tane evden oluşsun ve parametre kümes, e 1 parametres pahalı, e 2 parametres güzel, e 3 parametres ahşap, e 4 parametres ucuz, e 5 parametres bahçel olmak üzere E e, e, e, e, e olsun

15 1 h2, h4, 2 h1, h3, 3 h3 h4 h5 4 h1 h3 h5 h F e F e F e F e F e 5 1,,,,, ve olduğu kabul edlsn. F, E soft kümes, U kümesnn altkümelernn parametrelendrlmş br alesdr. Böylece F e 1 n anlamı e 1 parametresn sağlayan evlern kümesdr. Dolayısıyla F, E soft kümes, F, E e, h, h, e, h, h, e, h, h, h, e, h, h, h, e, h şeklnde yazılablr. Burada her br yaklaşım k kısımdan oluşmaktadır. İlk kısım parametre, knc kısım se değer kümesdr. Br soft küme blgsayar ortamında tablo yardımı le de gösterleblr. (Tablo ) U Pahalı Güzel Ahşap Ucuz Bahçel h h h h h h Tablo Tanım [Maj vd. 2003] F, E soft kümesnn tüm değer kümelernn sınıfı, soft kümenn değer sınıfı olarak adlandırılır ve F, E olur. C le gösterlr. Açıkça C U Örnek çn C h 2 h4 h1 h3 h3 h4 h5 h1 h3 h5 h1 U F, E,,,,,,,,,, dur., F E 8

16 Tanım [Maj vd. 2003], A ve, B aynı U evrensel kümes üzernde soft kümeler olsun. Buna göre, aşağıdak koşullar varsa, A ;, B nn br soft alt kümesdr denr ve, A, B () A B, () e A çn e ve e le gösterlr. aynı yaklaşıma sahptrler. Örnek [Maj vd. 2003],, ve,,, Açıkça A B dr. üzerndek k soft küme A e e e E B e e e e E olsun F, A ve G, B aynı U h, h, h, h, h, h e1 h2 h4 e3 h3 h4 h5 e h F, F,, F 5 1 şeklnde tanımlansın. Böylece, A, B ve dr. evrensel kümes e1 h2 h4 e2 h1 h3 e3 h3 h4 h5 e h G, G, G,, G 5 1 Tanım [Maj vd. 2003], A ve, B aynı U evrensel kümes üzernde soft kümeler olsun. Bu durumda, A ;, B nn soft altkümes ve, B ;, A soft alt kümes se, A ve, B soft kümeler eşttr denr. Tanım [Maj vd. 2003] E e e e e nın 1, 2, 3,..., n parametrelern kümes olmak üzere E e1, e2, e3,..., en kümesne parametre kümesnn değl denr. Burada e anlamı, her çn e parametresnn değldr. Aşağıdak önermelern doğruluğu açıktır. nn Önerme [Maj vd. 2003] E parametrelern kümes ve A, B E olsun. Bu durumda A A A B A B A B A B (1), (2) ve (3) dır. 9

17 Örnek [Maj vd. 2003] Örnek dkkate alınsın. Bu durumda E kümes E pahalı değl; güzel değl; ahşap değl; ucuz değl; bahçel değl şeklndedr. Tanım [Maj vd. 2003] F, A, U evrensel kümes üzernde soft küme olsun. Bu durumda F, A soft kümesnn tümleyen, olmak üzere,, C C F A F, A C C F : A U, F U F, A le tanımlıdır. C F, F küme değerl fonksyonunun soft tümleyendr. Açıkça, C F, A C F, A dır. F C C F ve C Örnek [Maj vd. 2003] Örnek dkkate alınırsa, F, A kümes C F, A pahalı değl, h1, h3, h5, h6, güzel değl, h2, h4, h5, h6, ahşap değl, h1, h2, h6, ucuz değl, h2, h4, h6, bahçel değl, h2, h3, h4, h5, h6 şeklndedr. Tanım [Maj vd. 2003] F, A, U evrensel kümes üzernde soft küme olsun. Bu durumda e A, F e se, F A ya boş (null) soft küme denr ve le gösterlr. Örnek [Maj vd. 2003] U evrensel kümes ahşap evlerden oluşan küme olarak dkkate alınsın. U h, h, h, h, h ve A tuğla, kerpç, çelk, taş olsun. Bu durumda F, A tuğla evler,, kerpç evler,, çelk evler,, taş evler, soft kümes boş (null) soft kümedr. Tanım [Maj vd. 2003] F, A, U evrensel kümes üzernde soft küme olsun. Bu durumda gösterlr. e A, F e U se, F A ya mutlak (absolute) soft küme denr ve A le 10

18 Örnek [Maj vd. 2003] U evrensel kümes ahşap evlerden oluşan küme olarak dkkate alınsın. U h, h, h, h, h ve B tuğla değl, kerpç değl, çelk değl, taş değl olsun. Bu durumda. G A tuğla olmayan evler U kerpç olmayan evler U çelk olmayan evler, U, taş olmayan evler, U,,,,, soft kümes mutlak (absolute) soft kümedr. Maj [Maj vd. 2003] soft kümeler çn AND, OR, arakest ve brleşm gb bazı kl şlemler de tanımlamıştır. Tanım [Maj vd. 2003] F, A ve G, B aynı U evrensel kümes üzernde soft kümeler olsun. Bu durumda " F, A AND G, B " şlem F, A G, B le gösterlr ve F, A G, B H, A B, a, b A B çn H a, b F a G b tanımlıdır. şeklnde Örnek [Maj vd. 2003] Evlern malyetn ve evlern cazplğn belrleyen, aynı U evrensel küme üzernde k soft küme F, A ve, U h, h, h, h, h, h, h, h, h, h, A çok malyetl, malyetl, ucuz B güzel, bahçel, ucuz olduğunu kabul edelm. h2, h4, h7, h8 h1, h3, h5 h, h, h F çok malyetl F malyetl F ucuz olarak alınırsa, G B olsun. ve. ve h2, h3, h7 h5, h6, h8 h, h, h G güzel G bahçel G ucuz 2 7 8,,, 3,, 5,,,,,, 6,, h, h, h H çok malyetl, güzel h, h, H çok malyetl, bahçel h, H çok malyetl ucuz H malyetl güzel h H malyetl bahçel h H malyetl ucuz H ucuz güzel H ucuz bahçel h H ucuz ucuz olur ve dolayısıyla F, A G, B H, A B elde edlr

19 Tanım [Maj vd. 2003] F, A ve G, B aynı U evrensel kümes üzernde soft kümeler olsun. Bu durumda " F, A OR G, B " şlem F, A G, B le gösterlr ve F, A G, B O, A B, a, b A B çn O a, b F a G b şeklnde. tanımlıdır. Örnek [Maj vd. 2003] Örnek dkkate alınırsa, çok malyetl güzel h2 h3 h4 h7 h8 çok malyetl bahçel h2 h4 h5 h6 h7 h8 O çok malyetl, ucuz h2, h4, h6, h7, h8, h9, h10,o malyetl, güzel h1, h2, h3, h5, h7, O malyetl, bahçel h1, h3, h5, h6, h7,o malyetl, ucuz h1, h3, h5, h6, h9, h10, O ucuz, güzel h2, h3, h6, h7, h9, h10,o ucuz, bahçel h5, h6, h8, h9, h10, O ucuz, ucuz h6, h9, h10 olmak üzere, F, A G, B O, A B dr. O,,,,,,O,,,,,,, Tanım [Maj vd. 2003], A ve, B aynı U evrensel kümes üzernde soft kümeler olsun. Buna göre; () C A B, () C çn e e veya e olmak üzere;,c soft kümesne, A le gösterlr., A, B, C, (ks de aynı küme) ve, B soft kümelernn arakest denr ve Örnek [Maj vd. 2003] Örnek dkkate alınsın. Bu durumda F, A ve G, B soft kümelernn arakest F, A G, B H, C ve H ucuz h, h, h C A B ucuz dr olmak üzere Tanım [Maj vd. 2003], A ve, B aynı U evrensel kümes üzernde soft kümeler olsun. Buna göre; () C A B, e, e A B se () e e, e B A se, ec e e, e A B se 12

20 olmak üzere;,c soft kümesne, A, A, B, C le gösterlr. ve, B soft kümelernn brleşm denr ve Örnek [Maj vd. 2003] Örnek dkkate alınırsa, F, A ve G, B soft kümelernn brleşm F, A G, B H, C olmak üzere. C A B çok malyetl, malyetl, ucuz, güzel, bahçel ve , 9, 10, 2, 3, 7, h, h, h dr. H çok malyetl h, h, h, h, H malyetl h, h, h, H ucuz h h h H güzel h h h H bahçel Aşağıdak önermenn doğruluğu açıktır. Önerme [Maj vd. 2003] (1),,,, F A F A F A F A F A F A (2),,, dır. Arakest tanımına alternatf olarak k soft küme arasında tanımlanan b-arakest kl şlemn verelm. Tanım [Feng vd. 2008], A ve,b aynı U evrensel kümes üzernde soft kümeler olsun. Buna göre; C A B ve x C çn x x x :C U le tanımlı dönüşümü le verlen ve aynı U evrensel kümes üzernde soft küme olan,c,, A ve,b, A, B, C soft kümelernn b-arakest olarak adlandırılır ve le gösterlr. Tanım [M. Irfan vd. 2009] F, A ve G, B aynı U evrensel kümes üzernde soft kümeler olsun. Buna göre; 13

21 () C A B, F e, e A B se () H e G e, e B A se, e C F e G e, e A B se olmak üzere, H, C soft kümesne F, A ve G, B arakest denr ve F, A G, B H, C le gösterlr. soft kümelernn genşletlmş Tanım [M. Irfan vd. 2009] F, A ve G, B, A B olmak üzere aynı U evrensel kümes üzernde k soft küme olsun. Buna göre C A B ve x C F, A ve, F, A G, B H, C çn H x F x G x olmak üzere; H, C soft kümesne G B soft kümelernn kısıtlanmış arakest denr ve le gösterlr. Bu tanım b-arakest tanımı olarak da dkkate alınablr. Tanım [M. Irfan vd. 2009] F, A ve G, B, A B olmak üzere aynı U evrensel kümes üzernde k soft küme olsun. Buna göre; () C A B, () H e F e G e, e C olmak üzere, farkı denr ve H, C soft kümesne F, A ve G, B F, A G, B H, C le gösterlr. soft kümelernn kısıtlanmış Tanım [M. Irfan vd. 2009] U lk evrensel küme, E parametrelern kümes ve A E olsun. Bu durumda () Her çn se F, A e A F e soft kümesne relatf boş soft küme denr ve A le gösterlr. () Her çn se G, A e A G e U soft kümesne relatf tam (whole) soft küme denr ve U le gösterlr. 14

22 Relatf tam (whole) soft küme U, E evrensel parametre kümes le dkkate alınırsa G, A soft kümesne U üzernde mutlak (absolute) soft küme denr. Tanım [M. Irfan vd. 2009] F, A, U evrensel kümes üzernde soft küme olsun. Bu durumda F, A soft kümesnn relatf tümleyen, olmak üzere,, r r F A F, A r r F : A U, F U F, A le tanımlıdır. Açıkça, r F, A U, r r F A ve F, A F, A dır. Burada soft kümenn tümleyen kavramındak A parametre kümes yerne A parametre kümes dkkate alınmıştır. Bu farkı vurgulamak çn Tanım dak soft kümenn tümleyen kavramına soft kümenn yarı tümleyen dyeceğz. Tanım [M. Irfan vd. 2009] F, A ve G, B, A B olmak üzere aynı U evrensel kümes üzernde k soft küme olsun. Buna göre; () C A B, () H e F e G e, ec olmak üzere, H, C soft kümesne F, A ve G, B brleşm denr ve F, A G, B H, C le gösterlr. soft kümelernn kısıtlanmış 3.2. Soft Küme Teorsnde De Morgan Kuralları Bu kısımda M. Irfan ve arkadaşları tarafından tanımlanan relatf tümleyen, kısıtlanmış brleşm ve kısıtlanmış arakest tanımları kullanılarak De Morgan kuralları verlecektr. Teorem [M. Irfan vd. 2009] F, A ve G, B, A B olmak üzere aynı U evrensel kümes üzernde k soft küme olsun. Bu durumda, (1),, r r F A G B F, A, (2), r G B, r r r F A G, B F, A G, B dr. 15

23 İspat. (1) Her c C A B çn H c F c G c olmak üzere, F, A G, B H, C olsun. Tanım den, her c C F, A, r G B H, C ve r çn H c U F c Gc U F c U Gc durumda C A B olmak üzere dr. Bu, Tanım ve Tanım den; her c C çn, F A, r r G B F, A G r, B K, C K c F r c G r c U F c U G c H r c dr. Böylece,, r r F A G B F, A, (2) Her c C A B F, A G, B H, C F, A G, B r H, C r G B bulunur. çn H c F c G c olmak üzere, olsun. Tanım ve Tanım den, r ve her c C çn r H c U F c G c U F c U G c C A B dr. Bununla brlkte olmak üzere F, A r G, B r F r, A G r, B K, C ve Tanım dan; her c C çn, olur. olur. Tanım K c F r c G r c U F c U G c H r c dr. Böylece F, A G, B F, A G, B r r r bulunur. Teorem [M. Irfan vd. 2009] F, A ve G, B aynı U evrensel kümes üzernde k soft küme olsun. Bu durumda, F, A G, B F, A G, B (1) (2) C C C, F, A G, B F, A G, B C C C dr. İspat. (1) Tanım kullanılırsa spat kolayca yapılablr. (2) F, A G, B H, A B Bu durumda her e A B olduğu kabul edlsn. c çn H e U H e olmak üzere, r 16

24 C C C C F, A G, B H, AB H, AB H, A B Tanım den, F e, e A B se, H e G e, e B A se, F e G e, e A B se. olur. Böylece C C U F e F e, e A B se, C H e U G e G e, eb A se, C C U F e G e F e G e, e A B se. bulunur. Bundan başka, F, A C G, B C F C, A G C, B K, A B Bu durumda C dr. olsun. C F e, e A B se, C K e G e, eb A se, C F e G e, e A B se. olur. Sonuç olarak c H ve K aynı küme değerl fonksyonlar olduğundan, F, A G, B F, A G, B C C C elde edlr Fuzzy Küme le Soft Küme Arasındak İlşk Önerme [Aktaş ve Çağman 2007] Her Fuzzy küme br soft küme olarak dkkate alınablr. İspat. F br fuzzy küme ve U evrensel kümesnden 0,1 e x F sup x F le tanımlı F, F fuzzy kümesnn üyelk fonksyonu olsun. F fonksyonu çn F -seyye kümelernn ales dkkate alınsın. Bu durumda F ales blnrse x fonksyonları F x F sup x F eştlğ le 17

25 bulunablr. Böylece her F fuzzy kümes, aynı zamanda, 0,1 küme olarak dkkate alınablr. F şeklnde br soft Fuzzy kümeler le soft kümeler arasındak bu lşky daha y anlamak çn bunu br örnek üzernden nceleyelm. Örnek [Aktaş ve Çağman 2007] U evrensel kümes U h, h, h, h, h, h olacak şeklde altı tane evden ve parametre kümes, sadece evlern cazplğn değerlendren sözel değşken evlern kaltes parametresnden oluşsun. Bu sözel değşken parametre çn değşken termlern kümes T kalte en y, y, orta, kötü şeklnde tanımlanablr. Her br değşken term kend fuzzy kümes le lgldr. Bunlardan ks; en y,0.2,,0.7,,0.9,, F h h h h,. kötü,0.9,,0.3,,1.0,,1.0,,0.2 F h h h h h şeklnde düşünüleblr. F kötü fuzzy kümesnn sevye kümeler F F F F kötü kötü kötü kötü h1 h2 h3 h4 h5 0.3 h1, h2, h3, h4, 0.9 h1, h3, h4 ve 1.0 h, h dr. 0.2,,,,, 3 4 A 0.2,0.3,0.9,1.0 0,1 parametrelern kümes ve her A çn tanımlı F : A U kötü küme değerl dönüşümü dkkate alınsın. Böylece F le F, 0,1 0.2, h1, h2, h3, h4, h5, 0.3, h1, h2, h3, h4, 0.9, h1, h3, h4, 1.0, h3, h4 kötü br soft kümedr. kötü 18

26 4. SOFT GRUPLAR Bu kısımda Aktaş ve Çağman [2007] tarafından tanımlanan soft grup kavramı ve bazı temel özellkler verlecektr. Bu bölüm boyunca, G br grup ve A boştan farklı br küme; R, A le G nn elemanları arasında br bağıntı ve,, le tanımlı F : A G F x y G x y R x A ve y G fonksyon olarak alınacaktır. Bu durumda F, A, G üzernde br soft kümedr Soft Gruplar ve Özellkler küme değerl Tanım [Aktaş ve Çağman 2007] F, A, G üzernde br soft küme olsun. Her x A çn F x G se bu durumda F, A ya G üzernde br soft grup denr. Örnek [Aktaş ve Çağman 2007] G A S e ve F x y G xry y x n, n 3, 12, 13, 23, 123, 132 küme değerl fonksyonu dkkate alınsın. Bu durumda F, A soft grubu, G nn alt gruplarının koleksyonu olan A F x x alesdr. Böylece F : A U e, 12 e, 12, 13 e, 13, 23 e, 23 ve , 123, 132 F e F F F F F e şeklnde olur. Buradan her üzernde br soft gruptur. x A çn küme değerl fonksyonu, F x, G nn alt grupları olduğundan F, A, G Teorem [Aktaş ve Çağman 2007] F, A ve H, A, G üzernde k soft grup olsun. Bu durumda F, A H, A, G üzernde br soft gruptur. İspat. Tanım den, C A A A x C çn U x F x veya U x H x olmak üzere F, A H, A U, C dr. Burada U, U : A G ve her şeklnde 19

27 br fonksyondur. Böylece U, A, G üzernde br soft kümedr. üzernde k soft grup olduğundan, her x A dr. Böylece F, A H, A U x H x G çn F, A ve H, A, G U x F x G veya, G üzernde br soft gruptur. Teorem [Aktaş ve Çağman 2007] F, A ve H, B, G üzernde k soft grup olsun. A B se F, A H, B, G üzernde br soft gruptur. İspat. Tanım den, F, A H, B U, C her x C çn x A B veya x B A dır. x A B x B A yazılablr. A B olduğundan U x F x G veya se se U x H x G dr. Böylece F, A H, B gruptur., G üzernde br soft Teorem [Aktaş ve Çağman 2007] F, A ve H, B, G üzernde k soft grup olsun. Bu durumda F, A H, B, G üzernde br soft gruptur. İspat. Tanım dan, F, A H, B U, A B yazılablr. F ve H nn alt grupları olduğundan F H, G, G nn br alt grubudur. Bu durumda her, A B çn U, G nn br alt grubudur. Böylece F, A H, B üzernde br soft gruptur. Tanım [Aktaş ve Çağman 2007] F, A, G üzernde br soft küme olsun. Bu durumda () e, G nn brm elemanı olmak üzere, her x A çn F x e üzernde brm soft grup denr. () Her x A çn F x se, F A ya G, G G se F, A ya G üzernde tam (absolute) soft grup denr. Teorem [Aktaş ve Çağman 2007] (1) F, A, G üzernde br soft küme ve f, G den K ya br homomorfzma olsun. Her x A çn F x Ker f se f ( F), A, K üzernde brm soft gruptur. 20

28 (2) F, A, G üzernde tam (absolute) soft grup ve f, G den K üzerne br homomorfzma olsun. Bu durumda f ( F), A, K üzernde tam (absolute) soft gruptur. İspat. ek (1) e K, K nın brm elemanı olmak üzere, her x A çn f F x den, f ( F), (2), A K üzernde brm soft gruptur. dır. Tanım F A, G üzernde tam (absolute) soft grup olduğundan, her x A çn F x dr. Bu durumda her x A çn f F x f G den, f ( F), A, K üzernde tam (absolute) soft gruptur. G K elde edlr. Böylece Tanım Soft Alt Gruplar Tanım [Aktaş ve Çağman 2007] F, A ve H, K, G üzernde k soft grup olsun. Bu durumda () K A ve () Her xk çn H x F x se H, K ya F, A nın soft alt grubu denr ve H, K F, A le gösterlr. Tanım de verlen brm ve tam (absolute) soft gruplar aşkâr soft alt gruplardır. Örnek [Aktaş ve Çağman 2007] G S3, A S3 ve K A3 olsun. n 3, ve H x y A3 xry y x F x y S xry y x n şeklnde tanımlanırsa A3 S3 ve her x A3 H, K F, A dır. çn H x F x olduğundan Soft alt grup kavramı kullanılarak, klask alt grupların özellklerne benzer olan soft alt grupların bazı özellklernden bahsedleblr. Bu özellklern spatları kolayca görüleblr. Teorem [Aktaş ve Çağman 2007] F, A ve H, A, G üzernde k soft grup olsun. Bu durumda 21

29 (1) Her x A çn F x H x se, F A, H, A nın soft alt grubudur, (2) E e ve F, E, F, G G üzernde soft alt gruplar se F, E F, G dr. Sonuç [Aktaş ve Çağman 2007] F, G, G üzernde soft grup se, bu durumda E e olmak üzere, İspat. Tanım den spatı açıktır. F G ve F, E, F, G nn soft alt gruplarıdır. Teorem [Aktaş ve Çağman 2007] F, A, G üzernde soft grup ve I nds kümes olmak üzere H, K I ales olsun. Bu durumda (1) H, K,, I (2) H, K, F, A I I İspat. (1) Açıkça,,, F A nın soft alt grubu, nın soft alt grubu ve K A dır. Her I çn I H, K,, I F A nın soft alt grubudur. F A nın soft alt gruplarının boştan farklı br H, K F, A (2) Tanım dkkate alınarak B K e H e olmak üzere H, K, B I I I olduğundan ve her e e B çn I yazılablr., H K I, F, A nın soft alt gruplarının boştan farklı br ales olduğundan, her I çn H, K,, F A nın soft alt gruplarıdır. Yan her I çn K dr. Her I çn K B K A A A... A... A ve H e F e A ve H e F e olduğundan olur. Böylece ve e H e F e I I I I Tanım den H, K, F, A I I nın br soft alt grubudur. Teorem [Aktaş ve Çağman 2007] F, A ve H, B, G üzernde k soft grup ve F, A, H, B nn soft alt grubu olsun. f, G den K ya br homomorfzm se 22

30 f F, A ve f H, B K üzernde soft alt gruplardır ve f F, A, f H nn soft alt grubudur. İspat. f, G den K ya homomorfzm olduğundan, her x A ve her y B çn f F x ve f H y K nın alt gruplarıdır. Böylece f F, A ve f H üzernde soft gruplardır. F, A, H, B nn soft alt grubu se her x A H x n alt grubudur ve f F, A f H, B elde edlr. f F x, Tanım [Aktaş ve Çağman 2007] k soft grup ve f : G K ve g : A, B, B K F x, çn f H x n alt grubudur. Tanım den F,A ve H, B, sırasıyla G ve K üzernde B k fonksyon olsun. Bu durumda aşağıdak özellkler sağlanırsa f, g ye soft homomorfzm ve F, A, H, B ye soft homomorfktr denr. () () f, G den K üzerne homomorfzma, g, A dan B üzerne br dönüşüm ve () Her x A çn f F x H g x, H, B ye soft homomorfk se F, A H, B. F, A le gösterlr. Tanım de f ; G den K ya zomorfzm ve g ; A dan B üzerne brebr br dönüşüm se bu durumda f, g ye soft zomorfzm ve F, A, H, B ye soft zomorfktr denr. F, A, Örnek [Aktaş ve Çağman 2007] den m m üzerne, k olmak üzere üzerne, k H, B ye soft zomorfk se F, A H, B f k olmak üzere g k F : P, F x y : y 5 kx, k ve le gösterlr., ve, grupları dkkate alınsın. m k şeklnde br homomorfzm ve dan k şeklnde br dönüşüm, F : P, H u y : y uk, k 5 olarak tanımlansın. Bu durumda m m m 5 F x x ve H u ku : k 5 elde edlr. Açıkça F, ve H, m, sırasıyla 23

31 ve m üzernde soft gruplardır.. 5xk k ve H g x f F x H g x olduğu görülür. Böylece, f F x F,,, m H ye soft homomorfktr Normal Soft Alt Gruplar xs s 5 olduğundan f g br soft homomorfzmdr ve Tanım [Aktaş ve Çağman 2007] F, A, G üzernde br soft grup ve H, B, F, A nın soft alt grubu olsun. Her x B çn H x, F x n normal alt grubu se H, B ye F, A nın normal soft alt grubu denr ve H, B F, A le gösterlr. Teorem [Aktaş ve Çağman 2007] F, A, G üzernde soft grup ve I nds kümes olmak üzere H, K I ales olsun. Bu durumda (1) H, K,, I (2) H, K, F, A I I İspat. (1) Açıkça, H, K,, I,, F A nın normal soft alt gruplarının boştan farklı br F A nın normal soft alt grubudur. nın normal soft alt grubudur. K A dır. Her I çn I F A nın normal soft alt grubudur. (2) Tanım dkkate alınarak B K e H e olmak üzere H, K, B I I H, K F, A I ve her olduğundan e e B çn I yazılablr., H K I, F, A nın normal soft alt gruplarının boştan farklı br ales olduğundan, her I çn H, K,, F A nın normal soft alt gruplarıdır. Yan her I çn K H e F e dr. Her I çn K A ve A ve H e F e olduğundan 24

32 ve e H e F e I I I I B K A A A... A... Tanım den H, K 5. SOFT HALKALAR, F, A I I olur. Böylece nın br normal soft alt grubudur. Bu bölüm boyunca, R br halka ve A boştan farklı br küme;, A le R nn elemanları arasında br bağıntı ve x y R x, y le tanımlı : A R, küme değerl fonksyon olarak alınacaktır. Bu durumda, A, R üzernde br soft kümedr Soft Halkalar ve Özellkler Tanım [Acar vd. 2010], A, U üzernde br soft küme olsun., kümesne,, A Supp A x A x soft kümesnn destekleyen denr. Destekleyen boş kümeye eşt olmayan soft kümeye boş olmayan soft küme denr. Tanım [Acar vd. 2010], A, R üzernde boştan farklı br soft küme olsun. Her x A çn x halkadır., R nn alt halkası se bu durumda, A R üzernde br soft Örnek R A Z 6 0,1, 2,3,4,5 ve x y Z xy xy küme değerl fonksyonu dkkate alınsın. Bu durumda 0 0,1, 2,3,4,5, 1 0, 2, 4, 2 0,1,2,3, 4,5, 3 0, 2, 4, 4 0,1,2,3, 4,5, 5 0, 2, 4 dır. Burada her x A çn x soft halkadır., R nn alt halkalarıdır. Dolayısıyla, A Teorem [Acar vd. 2010], A ve, B durumda, A, B, R üzernde br soft halkadır. 6 0,2,4, R üzernde br, R üzernde k soft halka olsun. Bu 25

33 İspat. Tanım dan, her x,y A B, A, B, A B yazılablr. x ve y çn x,y x y olmak üzere, R nn alt halkaları olduğundan, x y de R nn alt halkasıdır. Bu durumda her,y x,y x y, R nn alt halkasıdır. Böylece, A, B soft halkadır. Teorem [Acar vd. 2010], A ve, B durumda (α, A) (β, B) b-arakest, R üzernde br soft halkadır. x A B çn, R üzernde br, R üzernde k soft halka olsun. Bu İspat. Tanım den, bazı x C A B çn x x x olmak üzere, A, B, C olduğundan, x x x, C, A, B yazılablr. x ve x, R nn alt halkaları de R nn alt halkasıdır. Sonuç olarak b-arakest, R üzernde br soft halkadır. Tanım [Acar vd. 2010], A ve, B durumda () B A ve () Her xsupp, B çn x, x se, B ye, A nın soft alt halkası denr., R üzernde k soft halka olsun. Bu n alt halkası Örnek [Acar vd. 2010] R A 2 ve B 6 A olsun. x nx n ve x 5nx n şeklnde tanımlı : A PR ve : B PR küme değerl fonksyonları dkkate alınsın. Kolayca görülür k her x B çn x 5x, x x n alt halkasıdır. Böylece, B,, A halkasıdır. nın soft alt 26

34 Teorem [Acar vd. 2010], A ve, B durumda; (1) Her x B A çn x x se,,b,, A, R üzernde k soft halka olsun. Bu nın br soft alt halkasıdır. (2), A ve, B boştan farklı se,, A, B b-arakest,, A alt halkasıdır. İspat. (1) Doğruluğu açıktır. (2), A, B, C olsun. A B A halkası olduğundan,c,, A, A nın soft alt halkası olduğu görüleblr. ve x x x, x nın br soft n alt nın soft alt halkasıdır. Benzer olarak,b nn de Örnek [Acar vd. 2010] R, A 2 ve B 3 x 2nx n 2x ve x 3nx n 3x şeklnde tanımlı olsun. : A PR ve : B PR küme değerl fonksyonları dkkate alınsın. C A B 6, B, C olsun. Her x C olmak üzere, A çn x x x 6x, x 2 x 3x halkalarının alt halkalarıdır. Sonuç olarak, A, B, A ve, B nn br soft alt halkasıdır. x ve b-arakest, Teorem [Acar vd. 2010], A, R üzernde soft halka ve I nds kümes olmak üzere durumda I (1), A, A I,, A, R (2), A nın soft alt halkalarının boştan farklı br ales olsun. Bu üzernde br soft halkadır. I, R üzernde br soft halkadır. (3) Her, j I çn A Aj se, A I, R üzernde br soft halkadır. 27

35 İspat. Teorem İspat (1) ve (2) ye benzer olarak spat kolayca görüleblr Soft deal ve İdealstk Soft Halkalar Cebr teorsnde deal kavramı oldukça önemldr. Bu nedenle, soft halkalar çn soft deal kavramı U. Acar vd. [2010] tarafından tanımlanmıştır. Tanım [Acar vd. 2010], A, R üzernde br soft halka olsun. Bu durumda () I A ve () Her x Supp, I çn x, x se, I ya R üzernde, A n deal Örnek A x y x y xy nın br soft deal denr ve, I, A 6 0,2,4 şeklnde tanımlı le gösterlr. 6 0,1,2,3, 4,5 ve her x A çn : A küme değerl fonksyon olmak üzere, A, R üzernde br soft küme olsun. 0 6, 1 0, 2, 4, 2 6, 3 0, 2, 4, 4 ve 5 0, 2, 4 6 kümeler 6 nın alt halkalarıdır. Böylece, A, R üzernde br soft halkadır. I 0,1,2 ve her x I çn x y 6 xy xy 0 : I 6 şeklnde tanımlı küme değerl fonksyon olmak üzere, I, 6 üzernde br soft küme olsun. Bu durumda 6 28

36 , 1 0 0, 2, , 3 2 dr. 6 Dolayısıyla, I,, nın br soft dealdr. 6 ve Teorem [Acar vd. 2010], A R üzernde soft halka,, I, A nın soft dealler olsun. Bu durumda, I, I,, A dealdr. İspat. Teorem (2) den spat açıktır. Teorem [Acar vd. 2010], A ve,b de sırasıyla, A ve,b 2, I2, I,, A, B 1, I ve, I 1 1 de 2 2 nın br soft R üzernde soft halka,, I ve 1 1 soft halkalarının dealler olsun. Bu durumda nn br soft dealdr. İspat. Tanım den, her x I çn I I1 I2 üzere, I, I, I 1 1 x x x 2 2 ve C A B ve x x x olmak 1 2 yazılablr. Benzer olarak, her x C çn olmak üzere, A, B, C dr. I1 I2 boştan farklı olduğundan, x x x olacak şeklde br x Supp, I vardır. I1 I2 A B 1 2 olduğundan, her x Supp, I çn x n, x br deal olduğu gösterlmeldr. ve 1 x x x x x x olduğu görülür. Böylece x 1 2 Son olarak; her r halkasının 2 x x olduğundan,, R nn br alt halkasıdır. x ve her a x çn ra x olduğu gösterlmeldr. 1 x, x n br deal olduğundan r x x x ve a x x x çn ra x ve ra x olduğu görülür. Böylece, ra x 1, I,, A, B 1, I nn br soft dealdr. 1 2 elde edlr. Yan 29

37 Örnek [Acar vd. 2010] R M 2, yan tam sayılar üzerndek 2 2 tpndek matrslern halkası, A 3, B 5, I1 6 ve I2 10 olsun. x nx 0 0 nx n ve x nx 0 nx nx n şeklnde tanımlanan fonksyonları dkkate alınsın. Açıkça, A ve,b : A R ve : B R, R üzernde soft halkalardır. x ve x, R nn alt halkalarıdır. Böylece 1 x nx nx 0 0 n ve x nx nx n şeklnde tanımlanan : I R ve : I R 1 1 küme değerl fonksyonları dkkate alınırsa, n dealler olur. Her x I1 I2 çn x ve 2 x, sırasıyla x ve x 0 nx nx 0 1 x 2 x n x x n nx elde edlr. Bu durumda, I,, A, B 1, I1 2 2 nn br soft dealdr. Teorem [Acar vd. 2010], A, R üzernde br soft halka,, I, A nın soft dealler olsun. I 1 ve 2 nın soft dealdr. İspat. Tanım den, I I1 I2 ve ve, I I ayrık se bu durumda, I, I,, A

38 1 x, x I1 I2 se x 2 x, x I2 I1 se, x I 1 x 2 x, x I1 I2 se olmak üzere;, I, I, I yazılablr., I, A ve, I, A olduğundan I A olduğu görülür. Her x Supp, I çn, I 1 ve I 2 ayrık olduğundan x I1 I2 ya da x I2 I1 dr. x I1 I2 x I x, x se, I, A 1 1 n dealdr. Benzer olarak x I2 I1 2 2 olduğundan se, I, A olduğundan x I x, x n dealdr. Böylece her x Supp, I 2 x x dr. Bu durumda, I,, A nın soft dealdr. 2 2 çn, Teorem de I 1 ve I 2 ayrık olmasaydı, Örnek de de görüldüğü gb, I, I,, A nın soft deal olamazdı. Örnek A x y x y xy 6 0,2,4 şeklnde tanımlı 6 0,1,2,3, 4,5 ve her x A çn : A küme değerl fonksyon olmak üzere, A, R üzernde br soft küme olsun. Örnek den, A nın R üzernde br soft halka olduğunu blnyor. 2,3,4,5 x I çn A x y 6 xy xy 0 şeklnde tanımlı A: I 6 6 I ve her küme değerl fonksyon olmak üzere A, I, 6 üzernde br soft küme olsun. Bu durumda A A A A 2 0,3 6 2, 4 0,3 6 4 ve 5 0 0, 2, 4 5 dr. 3 0, 2,4 0, 2, 4 3, 31

39 Dolayısıyla A, I,, nın br soft dealdr. Bununla brlkte, 4 6 x J çn B x 0 y x y 0,2 şeklnde tanımlı 6 B : J 6 J ve her küme değerl fonksyon olmak üzere B, J, 6 üzernde br soft küme olsun. B 4 0, 2,4 4 olduğundan B, J de, durumda 6 nın br soft dealdr. Bu C ve C 4 A4 B4 0,2,3,4, olmadığından C, U A, I B, J,, A nın br deal değldr. Teorem [Acar vd. 2010], A, R üzernde br soft halka ve, I nın soft deallernn boştan farklı br ales olsun. Bu durumda (1) k, Ik,, A k I k k, k, A I k I (2), I nın üzernde br soft dealdr. nın üzernde br soft dealdr. 6 ün br deal,, A k k k K İspat. Teorem İspat (1) ve (2) ye benzer olarak spat kolayca görüleblr. Tanım [Acar vd. 2010], A, R üzernde boştan farklı br soft küme olsun. Her, çn x, R nn deal se bu durumda, A x Supp A dealstk soft halkadır. Örnek [Acar vd. 2010] Örnek dek, A, her x Supp, A R nn deal olduğundan, R üzernde br dealstk soft halkadır., R üzernde br çn x Örnek R br halka ve tamsayılar halkası olmak üzere S R halkası dkkate alınsın. Her y, n R çn y, n Rn n se, 0,0 n se, şeklnde tanımlı 32

40 : S S küme değerl fonksyon olmak üzere,s, S üzernde br dealstk soft halkadır. Br halkanın her deal aynı zamanda br alt halka olduğundan, R üzerndek her dealstk soft halka, R üzernde br soft halkadır. Ancak, ters her zaman doğru değldr. Bu durumu br örnekle görelm. Örnek a b c 0 0 a b c a a 0 c b b b c 0 a c c b a 0 ve 0 a b c a 0 a 0 a b 0 0 b b c 0 a b c şlemler le brlkte R 0, a, b, c n halkasını dkkate alalım. A R ve x xx... x olmak üzere her x R çn x y R xy y x n, n şeklnde tanımlı : A R küme değerl fonksyonu çn 0 0, a 0, a, b 0, b ve c 0, c R nn alt halkaları olduğundan, A, R üzernde br soft halkadır. Ancak olduğundan c 0, c, R nn br deal değldr. Böylece, A cb b c üzernde br dealstk soft halka değldr. Önerme [Acar vd. 2010], A, R üzernde boştan farklı br soft küme ve B A olsun., A dealstk soft halkadır. R üzernde br dealstk soft halka se, B, R de R üzernde br 33

41 Teorem [Acar vd. 2010] ), A ve, B olsun. Bu durumda, A ve, B üzernde br dealstk soft halkadır. İspat. Tanım den, her x C A B, R üzernde dealstk soft halkalar boştan farklı se,, A, B çn x x x, A, B, C yazılablr. x ve x b-arakest R olmak üzere, R nn dealler ve br halkanın deallernn boştan farklı ales yne br deal olduğundan, her x Supp, C çn x x x de R nn br dealdr. Sonuç olarak, C, A, B b-arakest, R üzernde br dealstk soft halkadır. Teorem [Acar vd. 2010], A ve, B olsun. A ve B ayrık se, A, B, R üzernde dealstk soft halkalar, R üzernde br dealstk soft halkadır. İspat. Tanım den, C A B ve olmak üzere;, A, B, C Böylece her x Supp, C x, x A B se x x, x B A se, x C x x, x A B se yazılablr. A ve B ayrık se A B dr. çn, x A B ya da x B A dır. x A B R üzernde dealstk soft halka olduğundan, x x olarak x B A se,, B se,, A R nn br dealdr. Benzer R üzernde dealstk soft halka olduğundan, x x R nn br dealdr. Böylece her x Supp, C çn, x deal olur ve dolayısıyla, A, B, C halkadır. R nn br, R üzernde br dealstk soft R halkasının k farklı dealnn brleşm her zaman R nn deal olamayacağından, Teorem de A ve B ayrık olmasaydı,, A, B soft halka olamazdı. Bu durumu br örnekle nceleyelm. R üzernde br dealstk 34

42 Örnek [Acar vd. 2010] R, A 0,4 ve B 4 olsun. x y R x. y 0 le tanımlı 10 0,1, 2,3,4,5,6,7,8,9 : A R küme değerl fonksyonu dkkate alınsın. Bu durumda 0 R R ve 4 0,5 R dr. Böylece, A x 0 y R x y 0,2,4,6,8 le tanımlı, R üzernde br dealstk soft halkadır. : B R küme değerl fonksyonu dkkate alınırsa 4 0, 2, 4,6,8 R olduğu görülür. Böylece,B, R üzernde br dealstk soft halkadır , 2,4,6,8, R nn deal olmadığından, A, B Teorem [Acar vd. 2010], A ve, B olsun. Bu durumda, A, B İspat. Tanım dan, her x,y A B C R üzernde dealstk soft halka değldr., R üzernde dealstk soft halkalar, R üzernde dealstk soft halkadır. çn x,y x y olmak üzere, A, B, C yazılablr.,c nn boştan farklı olsun. x, y Supp, C se, bu durumda x, y x y dr., A ve, B dealstk soft halkalar olduğundan, x ve y, R üzernde boştan farklı kümeler R nn deallerdr. Böylece k dealn arakest deal olduğundan, her x, y Supp, C x,y, R nn br dealdr. Sonuç olarak,, A, B, C dealstk soft halkadır. çn, R üzernde x y Örnek [Acar vd. 2010] R x, y, z 0 z, A 6 ve B 10 olsun. x nx nx 0 0 n ve x 0 0 nx nx n le tanımlı : A R ve : B R 35

43 fonksyonları dkkate alınsın., A ve, B olmak üzere, A, B, C C A B, R üzernde dealstk soft halkalardır. olsun. Bu durumda t, x ve y nn en küçük ortak katı olmak üzere, her x, y 0 tn 0 0 C çn x, y x y n R dr. Böylece, A, B üzernde dealstk soft halkadır. Tanım [Acar vd. 2010], A, R üzernde dealstk soft halka olsun. Bu durumda; () Her x A çn x 0 se, A ya aşkâr dealstk soft halka denr., R () Her x A çn x R se, A ya tam (absolute) dealstk soft halka denr. Örnek a b c 0 0 a b c a a 0 c b b b c 0 a c c b a 0 ve 0 a b c a b b c 0 b 0 a şlemler le brlkte R 0, a, b, c halkasını dkkate alınsın. A R olmak üzere her x R çn x y R xy xy 0, a, b şeklnde tanımlı : A R küme değerl fonksyonu verlsn. Bu durumda her x A çn x R olduğundan, A tam (absolute) dealstk soft halkadır. Örnek [Acar vd. 2010] p br asal tam sayı olmak üzere, R p ve A 0 olsun. x y R x y p. p1 1 0 le tanımlı : A R 36

44 küme değerl fonksyonu dkkate alınsın. Bu durumda her x A çn x R R dr. Böylece, A, R üzernde tam (absolute) dealstk soft halkadır. x y R x. y 0 le tanımlı : B R fonksyonu dkkate alınırsa her x A çn x 0 R dr. Böylece,B, R üzernde aşkâr dealstk soft halkadır., A, R üzernde br soft küme ve f : R R ' halkalar arasında tanımlı br dönüşüm olsun. Bu durumda her x A : ' çn f x f x f A R fonksyonu dkkate alınırsa, ' tanımlayablrz. Tanım den, Önerme [Acar vd. 2010] f : R R ' üzernde br dealstk soft halka se f halkadır. şeklnde tanımlı R üzernde f,,, A soft kümesn Supp f A Supp A olduğu görülür. br halka epmorfzması olsun., A, A, R ', R üzernde br dealstk soft İspat. Tanım den,, A boştan farklı br soft küme ve, A, R üzernde dealstk soft halka olduğundan f, A, R ' üzernde boştan farklı br soft kümedr. Her x Supp f, A çn f x f x dr. Boştan farklı x R nn deal ve f br epmorfzma olduğundan Böylece her x Supp f, A çn f x f, A, R ' üzernde br dealstk soft halkadır. f x kümes, R ' nün br dealdr., R ' nün br dealdr. Sonuç olarak, Teorem [Acar vd. 2010], A, R üzernde dealstk soft halka ve f : R R ' br halka epmorfzması olsun. (1) Her x A halkadır. çn x ker f se f, A, R ' üzernde aşkâr dealstk soft 37

45 (2), A tam (absolute) se f, A, R ' üzernde tam dealstk soft halkadır. İspat. (1) Her x A çn x ker f olsun. Bu durumda her x A çn 0 R' f x f x yazılablr. Böylece Tanım ve Önerme den f, A, R ' üzernde aşkâr dealstk soft halkadır. (2), A nın tam (absolute) olsun. Bu durumda her x A çn x ' R dr. Böylece her x A çn f x f x f R R olur. Sonuç olarak, Tanım ve Önerme den f, A, R ' üzernde tam (absolute) dealstk soft halkadır. Tanım [Acar vd. 2010], A ve, B sırasıyla R ve R ' üzernde soft halkalar olsun. f : R R ' ve g : A B dönüşümlern dkkate alalım. Aşağıdak koşullar sağlanırsa f, g klsne br soft halka homomorfzması denr. () f br halka epmorfzması, () g, bre br dönüşüm ve () Her x A çn f x g x., A ve, B arasında br soft halka homomorfzması varsa,, A,, B homomorfktr denr ve, A, B ye soft le gösterlr. Ayrıca, f br halka zomorfzması ve g bre br ve örten br dönüşüm se, f, g soft halka zomorfzmasıdır. Bu durumda, A,, B ye soft zomorfktr denr ve, A, B Örnek [Acar vd. 2010] R ve A 2 ve 0 6 B olsun., A nın R üzernde ve, B halka oldukları kolayca görüleblr. x x18 ve y tanımlı : A R ve : B R ' küme değerl fonksyonları verlsn. Bu durumda f x 0, x le gösterlr. R ' 0 halkalarını göz önüne alınsın. nn R ' üzernde soft 0, 0 6y şeklnde le tanımlı f : R R ' 38

46 fonksyonu br halka zomorfzmdr. Dğer taraftan g y 0,3y le tanımlı f : A B fonksyonu bre br ve örten br dönüşümdür. Her x A çn ve f x f x x Sonuç olarak g x 0 6x 0 18x elde edlr. f, g soft halka zomorfzmasıdır ve, A, B le gösterlr. 6. SOFT GAMMA HALKALARI ve İDEALİSTİK SOFT GAMMA HALKALARI Bu bölüm boyunca, M br -halkası ve ; M, ve M nn elemanları arasında tanımlı br bağıntı, yan, M M nn br alt kümes olarak dkkate alınacaktır. Her a N çn H a b M a,, b, le tanımlı H : N M değerl fonksyon olmak üzere, H, N M üzernde br soft kümedr Soft Gamma Halkaları küme Tanım H, N, M -halkası üzernde boştan farklı br soft küme olsun. Her a N M çn -halkası denr. H a, M nn alt -halkası se H, N ye M üzernde br soft Örnek M 0 0 0, 1 0 0, 1 1 0, , ve 1 3 toplamsal değşml grupları dkkate alınsın. : M M M a,, b a b olsun. Bu durumda her a, b, c M ve her, çn, () ab M, () ( a b) c ac b c, a( ) b ab ab, a ( b c) ab ac, () ( ab) c a ( bc) koşulları sağlandığından M br -halkasıdır. 39

47 N 0 0 0, M ve her a N çn H a b M a,, b ab 0 0 0, 1 1 0, 0 1 0, le tanımlı H : N M küme değerl fonksyon olsun. Açıkça, H , 1 1 0, H ve kümeler M nn alt -halkalarıdır. Böylece H, N, M -halkası üzernde br soft -halkasıdır. Teorem F, A ve G, B, M -halkası üzernde soft -halkaları olsun. Bu durumda F, A G, B İspat. Tanım dan, her x,y A B, M -halkası üzernde br soft -halkasıdır. çn H x,y F x G y F, A G, B H, A B yazablrz. F x ve -halkaları olduğundan, F x G y durumda her x,y A B -halkasıdır. Böylece F, A G, B çn H x,y F x G y olmak üzere G y, M -halkasının alt de M -halkasının alt -halkasıdır. Bu, M -halkasının br alt, M -halkası üzernde br soft -halkasıdır. Tanım F, A ve G, B, M -halkası üzernde soft -halkaları olsun. Bu durumda () B A ve () Her xb çn G x, F x se n alt -halkası G, B ye F, A nın soft alt -halkası denr ve F, A G, B le gösterlr. Önerme F, A ve G, B, M -halkası üzernde soft -halkaları olsun. Bu durumda; (1) F, A G, A, M -halkası üzernde br soft -halkasıdır. 40

48 (2) Her x A -halkasıdır. çn F x Gx se, bu durumda, İspat. (1) Tanım den, her x A çn H x F x F, A G, A H, A yazılablr., -halkaları olduğundan, her x A çn F x ve F A, G, B nn br soft alt veya G x olmak üzere F A ve G, B, M -halkası üzernde soft G x M nn alt -halkalarıdır. Böylece, her x A çn H x M nn alt -halkasıdır. Sonuç olarak, M -halkası üzernde br soft -halkasıdır. F, A G, A H, A (2) Her x A çn F x Gx olduğundan, A B ve her çn, n alt -halkasıdır. Sonuç olarak, Tanım den, x B F x G x G, B nn br soft alt -halkası olduğu görülür. F A nın Tanım F, A, M -halkası üzernde soft -halkaları olsun. Bu durumda, () B A, I I () Her e B çn Ge F e olacak şeklde br 0 I vardır. 0 koşulları sağlanıyorsa, G, B soft -halkasına F, A soft -halkalarının arakest denr ve F, A G, B le gösterlr. I I Tanım F, A, M -halkası üzernde soft -halkaları olsun. Bu durumda, () I I B A ve her e e B G, B F, A () I çn Ge F e I br soft -halkasıdır. C A ve her e e C I I olmak üzere I çn Ge F e br soft -halkasıdır. G, C F, A I I olmak üzere 41

49 Teorem F, A, M -halkası üzernde br soft -halkası olsun. I nds kümes olmak üzere F, A I se, bu durumda, (1) F, A,, I (2) F, A, F, A I,, F A nın soft alt -halkalarının boştan farklı br ales F A nın br soft alt -halkasıdır. nın br soft alt -halkasıdır. I İspat. (1) Tanım den ve her I çn F, A, F, A nın br soft alt -halkası olduğundan, her G : B çn x A A ve her I I çn Gx F x le tanımlı M fonksyonu yazılablr. Bu durumda, her x B A A ve her I F x, M -halkasının br alt -halkası ve dolayısıyla I I F x, M -halkasının br alt -halkasıdır. Böylece, G, B M -halkası üzernde br soft -halkasıdır. Sonuç olarak Tanım den G, B F, A,, -halkasıdır. (2) Tanım dkkate alınarak B K e H e olmak üzere H, K, B I I I I ve her F A nın br soft alt e e B çn I yazılablr., H K I, F, A nın soft alt -halkalarının boştan farklı br ales olduğundan, her I çn H, K,, F A nın soft alt -halkalarıdır. Yan her I çn K H e F e dr. Her I çn K B K A A A... A... A ve A ve H e F e olduğundan olur. Böylece ve e H e F e I I I I Tanım den H, K, F, A I I nın br soft alt -halkasıdır. Tanım F, N, M -halkası üzernde br soft -halkası olsun. () U N ve 42