Geometri Öğretimi ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Yrd.Doç.Dr. Murat ALTUN

Geometri Öğretimi Yazar Yrd.Doç.Dr. Murat ALTUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra öğrenciler; Geometri öğretiminin önemini açıklayabilirler, Geometri öğretiminde sık kullanılan materyalleri tanır ve hazırlayabilirler, Düzlemsel şekillerin nasıl tanıtılacağını ve bu bilgilerin nasıl uygulanabileceğini açıklayabilirler, Geometrik cisimlerin nasıl tanıtılacağını açıklayabilirler, Ölçüsel geometri ile ilgili temel becerilerin nasıl öğretileceğini bilir ve öğretim yapabilirler. İçindekiler Giriş 161 Geometri Öğretiminde İki Yaklaşım 161 Geometrinin Kuruluşu 162 Düzlemsel Şekillerin Tanıtılması 164 Cisimlerin Tanıtılması 177 Özet 183 Değerlendirme Soruları 184

Yararlanılan ve Başvurulabilecek Kaynaklar 186 Çalışma Önerileri Bu üniteyi çalışırken, Yanınızda kağıt, cetvel, makas ve yapıştırıcı başta olmak üzere gerekli materyali hazır bulundurunuz ve öğretim için önerilen etkinlikleri yapınız. Önerilen etkinliklerin hangi sınıf düzeylerinde kullanılabileceğini ve kendi sınıfınızın seviyesine nasıl uyarlanabileceğini tesbit ediniz. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

GEOMETRİ ÖĞ RETİ M İ 161 1. Giriş Çocuklar okula başlayıncaya kadar, geometrik kavramlardan en çok uzay geometri ile ilgili olanlar hakkında informal bilgiler edinirler ve tecrübeler kazanırlar. Okulun görevi bunları çocukların zihinsel gelişmişlik düzeylerine göre düzenlemek ve formal hale getirmek, edindikleri bilgi ve becerileri taban alarak yeni geometrik kavramları, bu kavramlar arasındaki ilişkileri kazandırmaktır. Okul programlarında geometrinin yer almasının birçok nedeni vardır. Bunların başlıcaları şöyle sıralanabilir. İnsanın çevresini saran eşya ve varlıkların çoğu geometrik şekil ve cisimlerdir. Ayrıca insan işini ya da mesleğini yürütürken geometrik şekil ve cisimler kullanır. Bu varlıklardan en etkili şekilde yararlanmak, bunları tanımaya, eşyanın şekli ile görevi arasındaki ilişkiyi kavramaya dayanır. Uzayı tanıma ve uzayla ilgili yeteneklerin (çizim yapma, model üretme, modelde değişiklik yapma, çevre düzenleme gibi) gelişimi temelde geometrik düşüncelerden beslenir. Günlük hayatta insanların çözmek zorunda kaldıkları basit problemlerin pek çoğunun (çerçeve yapma, duvar kağıdı kaplama, boya yapma, depo yapma gibi) çözümü temel geometrik beceriler gerektirir. Bu öneminden ötürü geometri öğretimi ilköğretimin tüm sınıflarında yer verilen geniş bir şerittir., Geometrik bilgiler diğer şeritlerin öğretiminde, problem çözme çalışmalarında da bir materyal olarak kullanılır. 2. Geometri Öğretiminde İki Yaklaşım Geometri öğretimiyle ilgili iki temel yaklaşım vardır. Bunlardan biri öğretimde geometrinin tanımsız kavramları olarak adlandırılan nokta, doğru, düzlem ve uzay kavramlarının önce tanıtılması ve bunlar tanındıkça elemanları bu kavramlar olan şekillerin (ışın, doğru parçası, açı, üçgen ve diğer düzlemsel şekiller...) tanıtılması şeklinde bir sıra izler. Diğer yaklaşım çocukların eşya ve cisimleri önce kazandıkları düşüncesinden yola çıkan ve önce öğretime prizmalardan başlanmasını esas alan yaklaşımdır. Çocukların geometrik kavramları öğrenmelerine ilişkin Geldhof'lar tarafından verilen aşamalı sınıflama ikinci ünite içinde anlatıldı. Bu sınıflamanın geometri öğretimine katkısı büyüktür. İlköğretim düzeyindeki geometri bu sınıflamanın ilk üç basamağında sözedilen içerik ve etkinliklerle ilgilidir. Geometri öğretimini yakından ilgilendiren bir başka kavram miktar korunumu'dur. Miktar korunumunun ne olduğu aşağıda açıklanmıştır. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

162 GEOMETRİ ÖĞ RETİ M İ 2.1. Miktar Korunumu Geometri öğretimini yakından ilgilendiren bir başka kavram miktar korunum kavramıdır. Korunum sayı, uzunluk, alan, kütle gibi miktar bildiren kavramlarla ilgili olup "fiziksel değişimin, sonucu değiştirmediğinin farkına varma" demektir. Örneğin çocukta alan korunumunun gelişip gelişmediği şöyle denenebilir. Bu iki şeklin alanı aynı mı? Şekil 9.1: Alan Korunumu? Bu iki şekilden ikincisi birinciden elde edilmiştir. Bundan ötürü alanları birbirine eşittir. Alan korunumunu henüz geliştirmemiş olan çocuklar parçaların yer değiştirmesiyle alanın azalıp veya çoğalabileceğini düşünebilirler. Bu durumdaki çocuk şekillerin alanlarıyla ilgili bağıntıların elde edilmesinde başvurulan eylemlerin sonucu değiştirdiğini düşüneceği için bağıntıyı kavrayamazlar. Paralelkenarın alanının öğretimi, alan korunum düzeyinin gelişmiş olmasını gerektirir. Neden? 3. Geometrinin Kuruluşu Geometri dört temel eleman üzerine kurulur. Bunlar (1) Tanımsız terimler (nokta, doğru, düzlem, uzay, küme), (2) Tanımlı terimler, (3) Aksiyomlar, (4) Teoremlerdir. Her şekil ve cisme bir nokta kümesi olarak bakılabilir. Noktanın kendisi geometrinin en temel elemanıdır ve tanımsızdır. Yani noktayı başka bir şeyden yararlanarak tanımlama imkanı yoktur. Nokta dışındaki tanımsız terimlerden doğru, düzlem ve uzayı nokta yardımıyla anlatma imkanı vardır. Tanımsız kavramlar sezgisel yolla kazandırılır. Yani bunlar etkinliklerle öğrencilere sezdirilirler. Nokta: Kalemin kağıttaki izi, tebeşirin tahtadaki izi, küçük bir kum tanesi, toz şeker zerreciği gibi birşey olarak anlatılmalıdır. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

GEOMETRİ ÖĞ RETİ M İ 163 "Cümle sonunda", "bazı harfleri yazarken" nokta kullanırız gibi cümleler çocuk zihninde nokta hakkında bir fikir oluşturur. Noktalar büyük harfler kullanılarak adlandırılır. A B E C D Şekil 9.2: Noktanın Tanıtılması Doğru: Doğru cetvel yardımıyla sıkça koyduğumuz noktalardan oluşan bir nokta kümesi olarak ve şekildeki aşamalar öğrencilerle birlikte yaşanarak gösterilebilir. Her iki uçtan sonsuza gittiği belirtilmelidir. Şekil 9.3: Çizgi Bir Nokta Kümesidir Bir doğru, üzerine konan iki harf ile adlandırılır ve gösterilir. Her iki yönden sonsuza gittiğini göstermek için çoğunlukla iki ucuna da ok konur. A B Düzlem: Düzlem anlatılırken öğrencilerin dikkati, masanın yüzü, kağıdın yüzü, cam yüzeyi, durgun su yüzeyi üzerine çekilir ve bunların her taraftan sonsuz olması hali düşünülür. Düzlemin bir nokta kümesi olduğunu kavratmak için kağıt veya cam üstüne fırça ile boya taneleri fırlatmak ve fırlatmaya devam etmek suretiyle kağıt yüzeyinin nokta şeklindeki boya tanecikleriyle kapandığını göstermek uygun bir çalışmadır. Bu çalışmayı (Şekil 9.4) izleyen çocuklar "Düzlem bir nokta kümesidir" fikrine ulaşırlar. Şekil 9.4: Düzlem ve Uzay Birer Nokta Kümeleridir AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

164 GEOMETRİ ÖĞ RETİ M İ Uzay: Uzayı anlatmak için toz şeker, tuz veya kum dolu bir kavanozdan yararlanılabilir. Her kum taneciği bir nokta gibi düşünülürse noktaların uzayı nasıl doldurduğu anlaşılır. Daha sonra bu kavanoz her taraftan sonsuz olarak düşünülmelidir. Tanımlı kavramların (doğru parçası, ışın, açı, üçgen, dörtgen vs.) tümü tanıtılırken bu tanımsız kavramların kullanılması yeterlidir. Öğretiminde güçlük çekilen kavramların biri de aksiyomlar ve teoremlerdir. İlköğretimde her ne kadar aksiyomatik sistem ve teorem ispatları yoksa da bazı teoremlerin sonuçları (üçgende iç açılar toplamı 180 dir gibi) tecrübeye dayalı olarak kavratılır. Öğrenciler kendileri bu sonuçlara ulaşmadıkça bunları ezberlemeye yönelmektedirler. 4. Düzlemsel Şekillerin Tanıtılması Düzlemsel şekiller deyince akla üçgen, dörtgen ve çokgenler, çember, elips ve diğer eğriler gelmektedir. Bunların birçoğu ilköğretim programlarında yer almaktadır. Bir şekil veya cismi öğretmenin en etkili yolu, onu öğrencilere ürettirmek ve kullandırmaktır. Bu yaklaşımla, aşağıdaki özel dörtgenlerin öğretiminde kullanılabilen bir etkinlik verilmektedir. Etkinlik: Kare, dikdörtgen, paralelkenar, eşkenardörtgen Materyal: Kağıt, makas, yapıştırıcı Grup: 2-3 kişi İşlem: İki kağıt şerit kesilmesi (ortalama 1 cm. eninde boyları farklı) ve bunların kıvrılarak halka yapılması (Şeritlerin farklı renklerde olması tercih edilir). Halkaların aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi dıştan birbirine dik olacak şekilde yapıştırılması. (a) (b) Şekil 9.5: Dörtgenlerin Üretilmesi Halkalardan birinin makasla ortasından halka boyunca kesilmesi. İkinci şeridin de aynı şekilde kesilmesi. Şekil 9.5a. Meydana gelen şekil nedir? Özelliklerinin söylenmesi. Şeritlerin farklı renklerde olması hangi özelliği görsel hale getiriyor? ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

GEOMETRİ ÖĞ RETİ M İ 165 Şimdi şerit boylarının farklı seçilerek yukarıdaki çalışmanın yeniden yapılması. Şimdi şeritlerin birbirlerine dik değil de dar açı yapacak şekilde yeniden yapıştırılması ve aynı çalışmaların tekrarlanması. Elde edilen dörtgenlerden biri eşkenar dörtgendir. Eşkenar dörtgenin nasıl elde edildiğinin açıklanması. Karenin üretimi ile olan farkın görülmesi. Eşkenar dörtgen elde etmenin bir başka yolu daha vardır. Dikdörtgen şeklinde bir kağıdın A köşesi C köşesine gelecek şekilde kırılır ve kenarlarda taşkınlık yapan üçgenler kesilirse kalan kağıdın bir eşkenar dörtgen modeli olduğu görülür (Şekil 5b). Elde edilen şekil üzerinde eşkenar dörtgenin özellikleri, köşegenlerinin birbirini dik olarak oraladığı kolayca görülebilir. Şekil 9.5'te eşkenar dörtgenin elde edilişi için iki ayrı yöntem gösterilmektedir. Bunlardan hangisi eşkenar dörtgenin çevresi, hangisi alanı üzerinde çalışmaya daha uygundur?? Eşkenar dörtgenin elde edilişi ile ilgili bu son şekil, içi dolu bir düzlem parçası olduğundan, eşkenar dörtgenin alanı kazandırılırken de kullanılabilir. Çokgenlerin kavratılması ile ilgili olarak sınıf içinde düzenlenebilecek bir başka etkinlik pipetlerden çokgen yapmadır. Etkinlik: Çokgen üretme Materyal: pipet, makas, ip, üç tane zar (her grup için) Grup: 2-3 kişi İşlem1: Pipetin farklı boylarda kesilmesi ve içinden ip geçirilerek şekildeki gibi bağlanması. Şekil 9.6: Pipet Çokgenler Elde edilen şekillere, kenar sayılarına göre ad verilmesi. Kare, dikdörtgen, eşkenar dörtgen, ikizkenar, eşkenar ve çeşitkenar üçgen elde etmek için pipetlerin nasıl kesilmesi gerektiğinin tartışılması. Kesilmesi ve bu şekillerin elde edilmesi. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

166 GEOMETRİ ÖĞ RETİ M İ İşlem 2: Üçgenlerle ilgili önemli bir çalışma da, üçgenin var olabilmesi için kenarları arasındaki a + b > c bağıntısının bulunmasıdır. Üç zarın birlikte atılması. Gelen sayılar uzunluğunda pipetlerin kesilerek üçgenlerin yapılması. Her bir üçgenin özelliğinin bulunması. Çubuk uzunluğu Üçgenin özelliği 2, 5, 4 Çeşitkenar 3, 3, 5 İkizkenar 2, 1, 5 Üçgen yok 2, 1, 5 örneğindeki gibi iki kenar toplamının üçüncüden küçük olması halinde üçgenin oluşmadığının görülmesi.? Bir dörtgenin varlığı, kenarlarının uzunlukları arasındaki bir bağıntıya bağlı mıdır? Bu özellik yukarıdaki çalışmaya benzer bir çalışmayla elde edilebilir mi? Düzgün çokgenlerin (kenarları birbirine eşit olan) geometri içinde ayrı bir önemi vardır. Bunlardan düzgün beşgen ve düzgün altıgenin öğretimine ilişkin bir etkinlik aşağıda verilmektedir. Etkinlik: Düzgün beşgen, eşkenar üçgen ve düzgün altıgen Materyal: Makas, gazete, cetvel Grup: 3-4 kişi İşlem 1: (Düzgün beşgen) Bir gazete sayfasının 6-8 cm. eninde bir cetvel haline getirilmesi. Gazeteye bir düğüm atılması ve boşlukların alınarak düğümün bastırılmak suretiyle yassılaştırılması. Gazetenin düğümden taşan parçalarının düzgün bir biçimde kesilmesi. Meydana gelen şeklin düzgün beşgen olduğunun görülmesi. Özelliklerinin, elde edilmiş bulunan bu beşgenden görülmesi. İşlem 2: (Eşkenar üçgen, düzgün altıgen) Bir dosya kağıdına bir daire çizilmesi. Bu dairenin merkezinin işaretlenmesi ve dairenin makasla kesilip çıkarılması. Dairenin kenar yayı merkezden geçecek şekilde kıvrılarak bastırılması. Kıvrımın tam bitiminden başlayarak kalan kısmın, kenar yayı yine merkezden geçecek şekilde kırılması. Aynı işlemin kalan kısma uygulanması (üç kırım) Bu durumda elde edilen şekil eşkenar üçgendir. Eşkenar üçgenin özellikleri bu şekil üzerinde tartışılabilir. Elde edilmiş bulunan bu eşkenar üçgenin köşeleri, merkezden geçecek şekilde kıvrılıp bastırılırsa düzgün altıgen elde edilmiş olur. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

GEOMETRİ ÖĞ RETİ M İ 167 Düzgün çokgenlerle uğraşma, öğrencilerde her çokgene yeni ve özel bir ad verme eğilimi doğurur. Karşılaştıkları herhangi bir çokgenin adını bilememekten ötürü sıkıntı duyarlar. Çokgenlerin adlandırılmasında genel kural kenar sayısına göre adlandırmadır. Aşağıdaki etkinlik çokgenlerle ilgili düşüncenin pekişmesine ve adlandırmadaki kuralı sezmelerine yol açar. Etkinlik: Çokgen üretme ve adlandırma Materyal: Yarım dosya kağıdı (bir yüzü yazılı olabilir), cetvel Grup: 2-3 kişi İşlemler: Kağıdın C köşesinin A'nın üstüne gelecek şekilde katlanması ve katlama çizgisi XY'den kesilerek veya yırtılarak ikiye ayrılması. Ortaya çıkan iki yamuğun, eşit olan kenarlarının yan yana getirilmesi yoluyla bunlardan mümkün olduğu kadar çok sayıda, farklı şekiller oluşturulması. A X D B Y C Şekil 9.7: Çokgen Üretme Ortaya çıkarılan 8 düzlem şeklin kenarlarına göre adlandırılması. bu 8 şekilden biri dikdörtgenin kendisidir. 4 şeklin yüzü aynı, diğer dördünün yarısı beyaz, yarısı yazılıdır. Yukarıda ABYX yamuğu ile DCYX yamuğu birbirine eşittir. Bu yamukların 4 kenarı da birbirinden farklı olduğu için 8 çokgen üretilmiştir. Birbirinin aynı iki dik üçgen iki beşgenle aynı çalışma yapılsaydı kaç değişik çokgen üretilmiş olurdu?? Çocuklar geometride gelişme gösterdikçe, onlardan şekillerin birbirleriyle olan ilişkilerini incelemeleri istenmelidir. Şekil 9.8'de dörtgenlerin birbirleriyle olan ilişkileri görülmektedir. bu şemadan yararlanarak "kare bir dikdörtgen, aynı zamanda bir eşkenar dörtgendir. Paralelkenar bir yamuktur" gibi ifadeler üzerinde öğrenciler konuşturulmalıdır. Şekil 9.8: Dörtgenlerin Birbirleri İle İlişkileri AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

168 GEOMETRİ ÖĞ RETİ M İ 4.1. Eşlik ve Benzerlik Eşlik ve benzerlik kavramlarının öğretimi için de yukarıda sunulanlara benzer etkinlikler düzenlenebilir. Verilen birçok şekil arasından eş veya benzer olanların seçilmesi ilk akla gelen çalışmalardan biridir. Eşlik ve benzerliğin bir problem içinde sunulması ise öğrenmedeki etkililiği artırma bakımından daha değerli bir çalışma biçimidir. Çokgen üretme ve adlandırma yanında eşlik ve benzerlik kavramlarının pekiştirilmesinde kullanılabilecek bir etkinlik Tangram bilmecesidir. hikayeye göre uzun yıllar önce Çin'de yaşayan Tan adında bir adamın elinde çok kıymetli, kare şeklinde bir tabağı vardı. Bunu krala sunmak isterken düşürdü ve tabak şekilde görülen çizgilerden kırılarak 7 parçaya ayrıldı. Önce üzüldü, sonra tabağı yapıştırmak suretiyle eski haline getirebileceğini düşündü. Fakat bu iş çok kolay olmadı ve her denemesinde farklı bir çokgen elde etti. O günden beri şekil 9.9'daki karenin bu 7 parçasından yeni bir şekil elde etmek Tangram bilmecesi olarak bilinir. Şekil 9.9: Tangram Etkinlik: Eşlik, benzerlik, çokgen üretme (Tangram bilmecesi) Materyal: Makas, tangram çizili kağıt Grup: 2 kişi İşlem: Tangramın 7 parçasının kesilmesi Bu parçaların herbirinin adlandırılması Bu parçaların hangileri eştir? bulunması Bu parçaların hangileri benzerdir? Bulunması Bu parçaların hepsinin kullanılarak, kare, dikdörtgen, yamuk, paralelkenar ve üçgen elde edilmesi. Benzerlikle ilgili bir başka uygulama içiçe benzer desenler çizmedir. Aşağıdaki etkinlik böyle bir uygulamayla ilgilidir. Şekillerin benzerliği, kenarları ölçülmek ve orantılı oldukları görülmek suretiyle anlaşılabilir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

GEOMETRİ ÖĞ RETİ M İ 169 Etkinlik: Çokgen desenler çizme, benzerlik Materyal: Düz kağıt, renkli kalemler, cetvel Grup: 2 kişi İşlem 1: Düz kağıda rastgele bir çokgen çizilmesi. Kenarlarının orta noktalarının işaretlenmesi ve birleştirilmesi. Aynı işlemin meydana gelen içteki çokgen için tekrarlanması. İşlem 2: Düz kağıda, kağıdı dolduracak şekilde rastgele bir dörtgen veya beşgen çizilmesi. Beşgen içinde keyfi bir noktanın seçilmesi ve bu noktanın şeklin köşelerine birleştirilmesi. Noktalarla gösterilen bu doğru parçalarının orta noktalarının işaretlenmesi ve birbirleriyle birleştirilmesi. Şekil 9.10: Çokgenlerde Benzerlik Meydana gelen şekil ile ilk şeklin arasındaki ilişkinin incelenmesi. Kenar boylarının karşılaştırılması. Aynı çalışmanın içteki şekil için tekrarlanması. Şekillerin sıralı olarak farklı renklerle boyanması. Desenlerin sınıf panosunda sergilenmesi. Bu etkinlikten bir bahçe içinde herhangi bir yere, bahçeye benzer bir havuz inşa etme problemini çözmede yararlanılabilir mi? Çözümü bulunuz.? 4.2. Geometri Tahtası ve Analitik Düzlem Geometri tahtası kare köşelerine çiviler çakılmış bir tahtadır. bu tahta üzerinde, lastik band kullanılarak değişik şekiller elde etmek, öğrencileri bunlar üzerinde konuşturmak, söylenen şekillerin öğrenciler tarafından üretilmesini sağlamak mümkündür. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

170 GEOMETRİ ÖĞ RETİ M İ Geometri tahtasında yapılan çalışmaların tamamı kare köşeleri noktalı kağıt (dik ağ) üzerinde cetvel yardımı ile de yapılabilir. Ayrıca dik ağ çevre hesaplamının öğretiminde de kullanılan etkili bir araçtır. Aşağıda noktalı kağıt ile yapılabilecek bir kaç uygulama verilmiştir. 4.3. Motif Kaplama Motif kaplama diye, bir yüzeyin aynı desenle hiç boşluk kalmayacak şekilde doldurulmasına denir. Kare parkelerle bir zemini döşemek en basit motif kaplamadır. kaldırımlarda görülen ve görünüm güzelliği veren kaplamalar düz parkeye bir dönüşüm vermek suretiyle elde edilen motif kaplamalardır. Motif kaplama geometrik şekillere uygulanan bir dönüşüm olduğu için bir geometrik uğraştır. Motif kaplama için önce bir birim bölgenin seçilmesi gerekir. Bu birim bölge kare, dikdörtgen, paralelkenar, eşkenar dörtgen veya düzgün altıgen olabilir. Seçilen birim bölgenin, örneğin karenin bir kenarına nasıl hareket veriliyorsa karşı kenara da aynı hareket verilmelidir. Şekil 9.11'de (1) ve (2) nolu adımlar bu safhayı göstermektedir. Böylece elde edilen dönüşümle, kareye eş alanlı bir şekil üreyecek ve kareler yan yana uyumlu oldukları için dönüşüm sonunda elde edilenler de birbirine uyumlu olacaktır. Diğer kenarlara başka bir dönüşüm verilebilir. Şekil 9.11'deki (3) ve (4) adımlarda bu hareket görülmektedir. Dört kenara uygulanan bu işlemler sonunda yeni desen (motif) üretilmiş olur. Şekil 9.11'de bir civciv şekli üretilmiştir. Şeklin içinde yapılan keyfi süslemelerin motifle ilgisi yoktur ve sadece görünümü güzelleştirmek içindir. Şekle göz konabilir, kanat boyanabilir vs. (0) (1) (2) (3) (4) (5) Şekil 9.11: Motif Üretimi Motif kaplamada kullanılan birim şekil çember, üçgen veya beşgen olamaz. Niçin? Koordinat sisteminin tanınmasına, analitik düzleme geçişe yardımcı olacak, aynı zamanda geometrik çalışmaların estetik güzelliğini hissettirecek etkinliklerden biri de doğru desenleridir. Doğru desenleri paralel veya dik ağ üzerinde keyfi iki eksen seçmek ve bunların üzerindeki noktaları belli bir düzene göre birbirleriyle birleştirmek (doğru parçaları çizmek) suretiyle elde edilir. Aşağıda dik ve eğik ağlar üzerinde yapılan doğru desenleriyle ilgili bir etkinlik sunulmaktadır. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

GEOMETRİ ÖĞ RETİ M İ 171 Etkinlik: Doğru desenleri Materyal: Cetvel, paralel veya dik ağ veya geometri tahtası Grup: 2-3 kişi İşlemler: Ağ veya geometri tahtasında, doğru parçaları ile eğrisel şekiller elde etmek mümkündür. Kağıtta iki nokta sırasını belirleyerek, bunları çizilecek şeklin eksenleri olarak gözönüne alınız. Eksenlerin birindeki 1. noktayı diğerinin 5. noktasına, 2. noktayı 4. noktasına birleştirerek bu işleme devam ediniz. 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 Şekil 9.12: Doğru Desenleri Bu çalışmayı eksenlerin belirlediği dört bölgenin herbirinde yapınız. Çalışmayı 1 cm. x 1 cm. ağ yerine 0.5 cm. x 0.5 cm. ağ üzerinde yapınız ve eksenin 1. noktasını, diğer eksenin 10. noktasına birleştiriniz. Hangisinde eğri daha belirgin olmaktadır. Yukarıda ağda yapılan çalışmaların geometri tahtası (çivili tahta) üzerinde renkli iplik gerilerek yapılması, en güzel seçilen beş desenin sınıf sergisine konması. Bu çalışmalar öğrencileri bir taraftan da analitik düzlemi tanımaya hazırlar. Öğrencilere dik ağ üzerinde iki eksen seçtirilir ve bunların üzerindeki noktaları yukarıdaki gibi numaralandırmaları istenir. Bu durumda herhangi bir noktayı bu sayılarla belirtip belirtemeyeceğimiz sorularak, bir noktaya bir sayı çiftinin karşılık geldiği sonucuna varılır. (3, 4) noktasının (4, 3) ten farklı olduğu belirtilir. Bunu takiben dik ağ üzerinde köşeleri noktalara eşlenen üçgen ve dörtgenler, köşeleri A(1, 7), B(4, 1), C(7, 5) olan üçgen örneğindeki gibi tanımlanır. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

172 GEOMETRİ ÖĞ RETİ M İ 8 7 A 6 5 C 4 3 2 1 B 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Şekil 9.13: Analitik Düzlem Analitik düzlemde yapılacak olan eğlenceli ve öğretici çalışmalardan biri, öğrencilerin koordinatları verilen noktaları sırayla birleştirerek ilginç şekiller ortaya çıkarmasıdır. kuş modeli, fare modeli gibi. Analitik düzlemin şekil 9.13'te verilen birinci bölümü tanıtıldıktan sonra zamanla eksenler diğer tamsayıları da içerecek şekilde uzatılır ve diğer bölgeler de tanıtılır. 4.4. Simetri Kavramı Simetri, geometrik şekil ve cisimlerde var olan bir özelliktir. Çocuklar simetri kavramıyla tanışmadan önce insan vücudundan, yaşadıkları çevreden ve kullandıkları eşyalardan simetri kavramını sezgisel olarak edinirler. Simetrinin ne olduğunu kavratmak için yapılabilecek bir etkinlik şöyle düzenlenebilir. Etkinlik: Simetri (doğruya göre) Materyal: Makas, mürekkep, yarım dosya kağıdı, ayna Grup: 2 kişi İşlem 1: Yarım dosya kağıdının ikiye katlanması ve kat yerinin iyice kırılması. Kat yerinin herhangi bir yerinden makasla girilerek rastgele kesilerek yine kat yerinin bir yerinden çıkılması. Elde edilen parçanın (şekilde taralı kısım) açılarak görülmesi. Kırım boyunca katlandığında iki yüzün birbirini örttüğünün gözlenmesi. Elde edilen simetrik şekillerin panoda sergilenmesi. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

GEOMETRİ ÖĞ RETİ M İ 173 Şekil 9.14: Simetrik Şekiller İşlem 2: Yarım dosya kağıdına mürekkep damlatılması ve kağıdın mürekkep lekesi arada kalacak şekilde katlanması. kağıdın açılarak meydana gelen şeklin incelenmesi. İşlem 3: Aynanın masa üzerinde dik durumlu olarak tutulması ve aynaya değecek veya altına sıkışacak şekilde bir materyal (yaprak, silgi, şekil vs.) konması Materyalin aynadaki görüntü ile birlikte incelenmesi. Bu işlemlerin sonuçlarından yararlanarak simetrinin ne olduğu hakkında sınıf tartışması açılması. Öğrencilerin çevrelerinden gördükleri eşya ve şekiller üzerinde simetrik olanları söylemesi. Simetrinin iki türü vardır. Doğruya göre simetri veya dönel simetri. Yukarıdaki etkinlikte elde edilen şekiller doğruya göre simetrik olup bu doğruya simetri ekseni denmektedir. Dönel simetri, şeklin bir nokta etrafında dönmesi sonucunda kendisini örtmesi durumunda vardır. Bu dönme açısı 360 den farklıdır. Örneğin kare köşegenlerinin kesim noktası etrafında 90, 180, 270 lik döndürmelerde kendisini örter. Çember merkezi etrafındaki her dönüşte kendisini örter. Bazı şekiller hem eksene göre simetrik hem de dönel simetriktirler. Çemberin sonsuz simetri ekseni ve sonsuz dönel simetri açısı vardır. Simetri ile ilgili olarak çokgenlerin simetri eksenlerinin ve simetrik dönüşlerinin bulunması, harfler, kelimeler ve sayıların simetrik olanlarının bulunması ve incelenmesi uygulama olarak yapılabilir. Dönme açısının 360 olması simetrik olmayı niçin gerektirmez?? AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

174 GEOMETRİ ÖĞ RETİ M İ 4.5. Alan ve Çevre Hesaplama Çevre ve alan hesaplama, ölçüler şeridi ile geometri şeridinin ortak konusudur. Onun için burada sadece geometrik şekillerin çevre ve alanlarının hesaplanmasında ölçüler ünitesinde söylenenlere ek olarak neler yapılabilineceğine değinilecektir. Şekillerin çevrelerinin hesabında ağ (kare köşeleri noktalı kağıt) çok kullanışlı bir kavramdır. Ağ üzerinde kenarları hep birbirine dik olarak çizilen çeşitli çokgenlerin çevrelerinin hesabı, öğrencileri birim uzunlukları saymaya zorlar ve öğrenci böylece çevre ölçmenin bir uzunluk ölçmek olduğu sonucuna ulaşır. İkinci olarak ağ üzerinde çevresi verilen bir sayıda olan şekillerin çizdirilmesi, daha sonra kare, dikdörtgen gibi özel şekillerin çevrelerinin hesaplanmasında saymadan daha kestirme bir yolun araştırılması ile çevre formülüne ulaşılır. Çevre hesaplama ile ilgili etkinlik şöyle düzenlenebilir. Etkinlik: Çevre hesaplama Materyal: Dik veya paralel ağ, cetvel Grup: 2 kişi İşlem: Ağ üzerinde verilen birinci şeklin çevresinin hesaplanması. Ağ üzerinde çevresi verilen bir sayıda olan bir şekil çizilmesi. 8 cm 10 cm Şekil 9.15: Çevre Hesaplamada Ağ Kullanımı Karenin ve dikdörtgenin çevrelerinin, çevre üzerindeki birimlerin sayılarak bulunması. Kare ve dikdörtgenin çevresiyle ilgili bağıntının elde edilmesi. Ç = 4 x a ve Ç = 2xa + 2xb. Çevresi verilen bir sayıda olan dikdörtgenlerin çizilmesi. öğrencilerin yaptığı çizimlerin panoya asılması ve böylece şekilleri farklı, çevreleri aynı olan birçok dikdörtgenin varlığının anlaşılması. Diğer şekillerin çevrelerinin hesaplanması, her şekil tanındıkça yapılır. Çevre hesaplamada farklılık arzeden şekil, dairenin çevresidir. Dairenin çevresinin (çemberin uzunluğu) hesaplanabilmesi için π sayısının bilinmesine ihtiyaç vardır. π sayısı buluş yoluyla aşağıdaki şekilde kazandırılabilir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

GEOMETRİ ÖĞ RETİ M İ 175 Etkinlik: π (pi) sayısı Materyal: Değişik çaplarda dairesel eşyalar, mezur, bant, cetvel Grup: 3-4 kişi İşlemler: Her gruba bir dairesel eşya verilmesi ve bunun çevresinin ölçülmesi. Aynı eşyanın çapının ölçülmesi. Her grubun elde ettiği çevre ölçüsünü çap ölçüsüne bölmeleri. Grupların elde ettikleri sonuçları karşılaştırmaları ve hepsinin 3.14'e yaklaşık değerler olduğunun görülmesi. Sonuçlar üzerinde sınıf tartışması açılması ve "çember ne kadar büyük olursa olsun çevresinin çapına bölümü 3.14'tür" sonucuna ulaşılması. Bu sayıya çevre sayısı anlamına gelen π (pi) sayısı dendiğinin söylenmesi. Çemberin çevresi ile ilgili bağıntının elde edilmesi artık kolaydır. Çevre Çap = π elde edilmiş olduğundan bölmenin tersi olarak Çevre = Çap x π = 2r x π yazılabilir. Alan Hesabı Düzlemsel şekillerin alanlarının hesaplanmasında hareket noktası dikdörtgenin alanıdır. Önce dikdörtgenin alanının nasıl hesaplanacağı öğretilmelidir. Dikdörtgenin alanı, alan ölçme öğretiminin sonuncu basamağıdır ve dikdörtgenin alanını iki kenarının çarpımı olarak hesaplamak, alanı dolaylı yoldan ölçmek demektir. Aşağıdaki etkinlik alan ölçme ve dikdörtgenin alanı ile ilgilidir. Etkinlik: Alan ölçme ve dikdörtgenin alanı Materyal: Kareli kağıt (kafes), makas Grup: 2-3 kişi İşlem: Sınıfa, hangisinin alanının daha büyük olduğu hususunda tereddüt oluşturacak iki kartonun gösterilmesi ve öğrencilerin hangisinin büyük olduğunu tahmin etmeleri. Kartonların karelere bölünmüş arka yüzlerinin gösterilmesi ve karelerinin sayılarak alanın bulunması, tahminlerin gözden geçirilmesi (Şekil 9.16a, b). (a) (b) Şekil 9.16: Alan Hesaplama Kareli kağıt üzerine dikdörtgenler çizilmesi ve bunların alanlarının, birim kareler sayılmak suretiyle hesaplanması. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

176 GEOMETRİ ÖĞ RETİ M İ Alanı verilen ölçüde, örneğin 12 br 2 olan dikdörtgenlerin çizilmesi, çizimlerin panoda sergilenmesi ve alanı aynı, şekli farklı birçok dikdörtgen olduğunun farkına varılması (Şekil 9.17 a, b). (a) (b) 12 br 2 12 br 2 Şekil 9.17: Dikdörtgenin Alanı Dikdörtgenin alanının, birim kareleri saymak yerine, iki kenarının çarpılmasıyla da bulunabileceğinin anlaşılması. Alan = a x b sonucuna ulaşılması. Buradan sonraki iş dikdörtgenin alanı ile ilgili uygulamaların yapılmasıdır. kare, dikdörtgenin özel bir halidir. Alan bağıntısının a x a olduğu, öğrenciler tarafından koyalca farkedilebilir. Üçgenin alanı dikdörtgenin alanının yarısı olarak Şekil 9.18'deki materyalden, paralelkenarın alanı, dönüştürülebildiği dikdörtgenden yararlanarak gösterilebilir (Şekil 9.19). A = axb 2 b b A = axh 2 (a) (b) Şekil 9.18: Üçgenin Alanı h A = a. h a Şekil 9.19: Paralelkenarın Alanı Diğer özel dörtgenlerin (eşkenar dörtgen, deltoid) alanları için yukarıdakine benzer etkinlikler düzenlenebilir. Düzgün çokgenler üçgenlere parçalanabildikleri için, alanlarının hesaplanması burada tanıtılanların bir uygulaması olarak ele alınmalıdır. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

GEOMETRİ ÖĞ RETİ M İ 177 Dairenin alanı, üçgen veya dörtgenlere parçalanamadığı, içine kareler doldurulamadığı için ayrı bir çalışma tarzı gerektirir. Etkinlik: Dairenin alanı Materyal: Pergel, cetvel, makas, yapıştırıcı Grup: 2-3 kişi İşlem: Her grubun kağıdına bir daire çizmesi. Dairenin 8 eş dilime ayrılması ve bu dilimlerden yarısının boyanması. Dilimlerin kesilip çıkarılması ve Şekil 9.20'deki gibi paralelkenar modelinde dizilmesi. Şimdi dilimlerin tekrar ikiye bölünmesi ve yeniden paralelkenar modelindeki gibi dizilmesi. Alan = Kısa kenar x uzun kenar r π A = r x πr = πr 2 fi ekil 9.20: Dairenin Alan Bu son elde edilen paralelkenarın dikdörtgene benzediğinin ve dilimler küçüldükçe dikdörtgene daha çok benzeyeceğinin farkedilmesi. Dikdörtgene dönüşeceği düşünülen bu şeklin kenarlarının birinin yarıçap, diğerinin yarı çevre olduğunun görülmesi (r ve πr). Dikdörtgenin alanından yararlanarak dairenin alanının r x πr = πr 2 olarak elde edilmesi. Dairenin alanı ile ilgili etkinliğin kavranabilmesi için çocukta alan korunumunun gelişmiş olması gerekir. Neden?? 5. Cisimlerin Tanıtılması Cisim deyince, ilköğretim düzeyinde akla, küb, dikdörtgenler prizması, silindir, küre, düzgün dörtyüzlü, koni ve piramit gelir. Bunların tanınması ilköğretimin ilk yıllarında olur. Cisimlerin tanıtılmasında, bunlara uygun toplanan örnekler içinden tanıtılan türe uygun olanların seçilmesi, öğrencilerin gözlerini kapatarak el yordamıyla istenilen cismi bulabilmeleri gibi etkinliklere yer verilir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

178 GEOMETRİ ÖĞ RETİ M İ Cisim kavramıyla birlikte öğrencinin gündemine yüz ve yüzey kavramları da girer. Yüzey, cismi dış dünyadan ayıran sınırdır. Bazen eğrisel olmakla birlikte çoğu kez düzlem parçalarından oluşur. Yüz, bir yüzeyi oluşturan ve birbirinden kenarlarla ayrılan parçaların her biridir. Örneğin kürenin yüzeyi tek parça, kübün 6 parçadır. Yüz kavramı ile ilgili etkili bir çalışma "Möbius Şeridi" nin incelenmesidir. Möbius şeridi ve özelliklerinin incelenmesi bir etkinlik olarak aşağıda verilmiştir. Etkinlik: Möbius şeridi ve yüz kavramı Materyal: Kağıt, makas, yapıştırıcı, kalem Grup: 2-3 kişi İşlemler: Yaklaşık 3 cm. eninde 15 cm. boyunda bir kağıt şerit kesilmesi. Bunun kaç yüzünün ve kenarının olduğunun açıklanması. Dikdörtgen şeridin kısa kenarları birbirine karşılıklı getirilerek yapıştırılması ve elde edilen şeklin (halka) yüz ve kenar sayılarının bulunması. Aynı ölçülerde bir başka dikdörtgen şeridin kesilmesi ve iki yüzünden birine A, diğerine B yazılması. A'dan B'ye giden bir yolun, kenarların herhangi birinden geçmeden mümkün olup olmadığının tartışılması. Kalem ucuyla çizilerek denenmesi. Halkanın iki yüzünün olduğunun görülmesi, birinden diğerine (A'dan B'ye) geçişin kenarı aşmaksızın mümkün olmadığının anlaşılması. Şimdi kağıt şeridin uçlarını karşılıklı biraraya getirerek bir ucun sabit tutulup diğerinin boyunca ters çevrilip uçların yapıştırılması. Elde edilen şeride Möbius Şeridi denir. Möbius şeridinin kaç yüzünün ve kaç kenarının olduğunun araştırılması. A'dan çıkarak yüz boyunca giden bir çizgi (yol) ile B'ye varılıp varılamayacağının araştırılması. Halka Möbius Şekil 9.21: Mobius Şeridi Yüz ve yüzey kavramları ile ilgili bir başka çalışma, cisimlerin yüzlerinin sayılmasıdır. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

GEOMETRİ ÖĞ RETİ M İ 179 Etkinlik: Yüz kavramı Materyal: Küb, prizma, koni, silindir, piramit, dörtyüzlü, küre ve çok yüzlü örnekleri Grup: 2-3 kişi İşlem: Tek yüzlü olan cismin seçilmesi (küre) İki yüzlü olan cismin seçilmesi (koni) Üç yüzlü olan cismin seçilmesi (silindir) Dört yüzlü olan cismin seçilmesi (düzgün dörtyüzlü) Beş yüzlü olan cismin seçilmesi (üçgen piramit) Altı yüzlü olan cismin seçilmesi (küb) Sekiz yüzlü olan cismin seçilmesi (düzgün sekizyüzlü) İnsan hayatında düzgün düzlem şekiller gibi düzgün çok yüzlülerin de ayrı bir önemi vardır. Öğretmenin düzgün cisimleri ve düzgün çok yüzlüleri kavratmada başvuracağı en önemli etkinliklerden biri bunların kartondan yüzeylerini üretmek ve çok yüzlü meydana getirmektir. Bunun tersi de, yani yapılmış bir karton çok yüzlüyü makasla kesip açma ve bundan yararlanarak yüzey ölçümleri (alanları) ile ilgili bağıntıyı bulma ve hesaplamalar yapma etkili öğrenmeye yol açar. Bu tür çalışmaların, öğrencilerin tasarım yeteneklerini geliştireceği beklenir. Küb, dikdörtgenler prizması, silindir ve koni ile ilgili burada sözü edilen çalışmalar için yararlanılacak ve başvurulabilecek kaynaklara başvurulabilinir. Aşağıda yalnız düzgün çok yüzlülerin açılımlarının çizilip bu cisimlerin yüzeylerinin nasıl üretildiği üzerinde birkaç örnek verilecektir. Etkinlik: Düzgün dörtyüzlü Materyal: Makas, yapıştırıcı, cetvel, kalem, kağıt (paralel çizgilerle çizilmiş paralel kafes olması tercih edilir). Grup: 2 kişi İşlemler: Kağıda bir eşkenar üçgen çizilmesi. Şekilde görüldüğü gibi bu üçgene bitişik üç eşkenar üçgen daha çizilmesi. Şekil 9.22: Düzgün Dörtyüzlünün Açık Şekli Yapıştırma kulağı olarak taralı kısımların çizilmesi. Şeklin kesilip çıkarılması. Kalem izlerinden kırılması ve yapıştırma kulaklarına yapıştırıcı sürülerek, katlanıp cismin meydana getirilmesi. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

180 GEOMETRİ ÖĞ RETİ M İ Meydana gelen cisme yüz sayısını esas alarak bir ad verilmesi. Yüzlerinin eşit olduğunun görülmesi (Düzgün dörtyüzlü) Etkinlik: Düzgün sekizyüzlü Materyal: Kağıt (paralel kafes olması tercih edilir), cetvel, makas, yapıştırıcı Grup: 2 kişi İşlem: Düzgün sekizyüzlü üretmenin yollarından biri yan yüzleri eşkenar üçgen olan iki kare piramit üretip, bunları taban tabana yapıştırmaktır. kare piramidin üretilmesi çok basittir. Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi önce bir kare, sonra karenin her bir kenarı üzerine bir eşkenar üçgen çizmek gerekmektedir. Taralı kısımlar yapıştırma kulaklarıdır. Şekil 9.23: Kare Piramit Düzgün sekizyüzlü için kağıt üzerine aşağıdaki şeklin çizilmesi ve yapıştırma kulaklarının gösterilmesi. Şekil 9.24: Düzgün Sekizyüzlü ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

GEOMETRİ ÖĞ RETİ M İ 181 Şeklin kesilip çıkarılması ve çizgilerden kırılması. Yapıştırma kulaklarından yararlanarak düzgün sekizyüzlünün yapılması. Meydana gelen cismin yüzlerinin sayılması ve eşit olduklarının anlaşılması. Etkinlik: Düzgün yirmi yüzlü Materyal: Kağıt, kalem, cetvel, yapıştırıcı Grup: 2 kişi İşlemler: Kağıt üzerine aşağıdaki şeklin çizilmesi (Paralel kafes kullanıldığında bu çizim oldukça kolaydır. Şeklin yan yana 10 tane eşkenar üçgen ile bunlara alt ve üstten eklenmiş 5'er tane eşkenar üçgenden meydana geldiğine dikkat ediniz). Şekil 9.25: Düzgün Yirmiyüzlü Düzgün onikiyüzlü, beşgen yüzlerden oluşur. Düzgün oniki yüzlü yapabilmek için önce bir çemberden yararlanarak düzgün beşgen çizmek (menkezden 72 lik açılarla görülen kirişler düzgün beşgen oluşturur) sonra beşgenin her kenarının üzerine aynı beşgeni kurmak gerekir. Böyle elde edilen altışar beşgenden oluşan iki şablon bir araya getirilirse düzgün oniki yüzlü elde edilir. Deneyiniz. Çokyüzlülerin alanlarının hesabı düzlemsel şekillerin bir bileşiği olarak ele alınabilir. Alan hesabında yukarıda tanıtılan açık şekillerin kullanılması ve yüzeyin hangi yüzlerden meydana geldiğinin öğrenciler tarafından bulunması gerekir. Cisimlerin hacimlerinin hesaplanmasında dikdörtgenler prizmasının hacmi temel alınır. Aşağıda dikdörtgenler prizmasının hacmi ile ilgili bir etkinlik sunulmuştur. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

182 GEOMETRİ ÖĞ RETİ M İ Etkinlik: Dikdörtgenler prizmasının hacmi Materyal: Saydam kutular, birim küpler Grup: 2-3 kişi İşlem: Gösterilen iki kutudan hangisinin büyük olduğunun sınıfa sorulması ve öğrenci tahminlerinin tesbit edilmesi. Kutuların birim küplerle boşluk kalmayacak şekilde doldurulması, içine sığan birim küplerin sayılması ve büyük olanın seçilmesi. Prizmanın hacminin, birim küpleri saymak yerine daha kestirme bir yol olarak taban alanının bulunup yükseklikle çarpılması ile elde edilebileceğinin farkedilmesi. Değişik prizma örneklerinin (kutuların) hacimlerinin hesaplanması. Küb, dikdörtgenler prizmasının özel bir hali olduğundan hacmi yukarıdaki etkinliğin bir uygulaması olarak verilir. Silindirin hacmi, prizmanın tabanın bir düzgün çokgen olması, sonra bu düzgün çokgenin kenar sayısının çok arttırılması halinde tabanın daireye yaklaşacağı düşündürülerek, hacim için daha önce elde edilen "taban alanı ile yüksekliğin çarpılması" düşüncesinin bir uygulaması olarak ele alınır. Taban bir daire olduğu için hacim formülü πr 2 x h şekline dönüşür. Piramidin hacmi; aynı taban ve yükseklikli prizmanın hacminden, koninin hacmi; aynı taban ve yükseklikli silindirin hacminden yararlanarak buluş yoluyla kazandırılabilir. Aşağıda piramidin hacmi için bir etkinlik verilmiştir, aynı etkinlik silindir ve koni için uygulanabilir. Etkinlik: Piramidin hacmi Materyal: Aynı taban ve yükseklikli bir prizma ve bir piramit, kuru bakliyat Grup: 2-3 kişi İşlemler: Prizmanın hacminin piramidin hacminin kaç katı olabileceğinin tahmin edilmesi. Piramidin kuru bakliyatla doldurulup prizmaya boşaltılması. tam 3 katı olduğunun görülmesi ve doğru tahmin edenlerin alkışlanması. Sonucun piramit için (Taban alanı x yükseklik) / 3 şeklinde ifade edilmesi. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

GEOMETRİ ÖĞ RETİ M İ 183 Şekil 9.26: Piramit ve Koninin Hacmi Hacim hesaplamayla ilgili aşağıdaki gibi rutin olmayan problemlerin çözülmesi, elde edilen sonuçlardan nasıl yararlanılacağının sınıf ortamında tartışılması, öğrenileni uygulamaya geçirmek bakımından çok önemlidir. Aynı büyüklükte iki dikdörtgen kartondan biri kısa kenar, diğeri uzun kenar boyunca kıvrılırsa (silindir yapılır) hangi silindirin hacmi büyük olur?? Bu çalışma bir etkinlik olarak düzenlenip sonuçlandırılabilir. Dolgu malzemesi olarak kuru bakliyat kullanılabilir. Sonucun ekonomik bir yararının olup olmayacağının tartışılması çalışmanın önemini artrırır. Özet İnsanın çevresini saran eşya veya varlıkların çoğunun geometrik olması, bazı mesleklerin yürütülebilmesi için gerekli materyalin geometrik şekil ve cisimlerden oluşması, geometrik eşyanın estetik zevk vermesi geometrinin tüm öğretim programlarında geniş olarak yer almasının başlıca nedenidir. Geometrinin temel kavramlarından nokta, doğru, düzlem ve uzay tanımsız olduğundan bunların öğretimi sırasında kavramların sezdirilmesi yolu seçilmelidir. Geometrik kavramların kazandırılmasında çocuğun zihinsel gelişmişlik düzeyinin gelişmiş olması çok önemlidir. Aksi halde ezberleme eğilimi belirir. Bir şekil veya cismi tanıtmanın en etkili yolu onu öğrenciye ürettirmek ve kullandırmaktır. geometrik şekillerin üretilmesi zor olmayıp kullanılan malzeme ucuz ve kolay temin edilebilir malzemelerdir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

184 GEOMETRİ ÖĞ RETİ M İ Geometriyle ilgili olarak kazandırılması gereken diğer başlıca kavramlar "eşlik ve benzerlik, analitik düzlemin tanıtılması, motif kaplama ve simetri kavramları"dır. Bunların herbirine uygun sınıf içi etkinlikler düzenlemek ve kavramlara öğrencilerin ulaşmasını sağlatmak mümkündür. Düzlemsel şekillerin çevre ve alanlarının, cisimlerin yüzey alan ve hacimlerinin hesaplanması ölçüsel geometri içine girer. öğrenciler çoğu kez çevre, alan ve hacim formüllerini ezberlemekte, bunların kavramsal boyutunu bilmemektedirler. Bunu gidermenin en etkin yolu öğrencilere öncelikle çevre, alan ve hacim kavramlarının ne olduğunu kavratmaktır. Alan hesaplamada dikdörtgenin alanı, hacim hesaplamada dikdörtgenler prizmasının hacmi temel alınır. Diğer bütün şekil ve cisimler bunların bir uygulaması olarak ele alınabilir ve öğretimde bu yaklaşım benimsenebilir. Değerlendirme Soruları Aşağıdaki soruların yanıtlarını verilen seçenekler arasından bulunuz. 1. Geometri öğretiminde kullanılan etkinliklerde aşağıdakilerden hangisi en önemlidir? A. Etkinliği yürütmede, kağıt, makas, yapıştırıcı kullanılması B. Geometrik şekil ya da cismi öğrencinin elde etmesi C. Etkinliğin ana amacının yanında başka bilgi ve beceriler de kazandırması D. Etkinliğin öğretmen kontrolünde yapılması E. Etkinliğin ucuz malzeme kullanılarak yapılması 2. Üçgen, dörtgen ve çokgenlerle ilgili pipet ve ip kullanılmak suretiyle yapılan etkinlik, aşağıdakilerden hangisi için uygun değil? A. Çokgenlerin nasıl adlandırıldığını kavrayabilme B. Çokgenlerin çevrelerinin nasıl bulunduğunu kavrayabilme C. Çokgenlerin alanlarının nasıl bulunduğunu kavrayabilme D. Üçgenlerin hangi koşullarda var olduğunu kavrayabilme E. Üçgenlerin kenarlarına göre çeşitlerini kavrayabilme 3. İki kağıdı üst üste koyup çeşitkenar bir dik üçgen şeklinde kestiğimizi göz önüne alalım. Bu kağıtlar eş kenarları boyunca yan yana getirilerek, "çokgen üretme ve adlandırma" etkinliği yapılacak olursa bu çalışma aşağıdakilerden hangisi tanıtmak için yeterli olmaz? A. Üçgen B. Dörtgen C. Beşgen D. Altıgen E. Deltoid ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

GEOMETRİ ÖĞ RETİ M İ 185 4. Tangram aşağıdaki kavramlardan hangisini kazandırmaya uygun bir materyal değildir? A. Çokgen üretme ve adlandırma B. Benzerlik C. Eşlik D. Simetri E. Analitik düzlemin tanıtılması 5. Aşağıdaki cümlelerden hangisi yanlıştır? A. Çevre hesaplama bir sayma olayıdır B. Alan hesaplama bir sayma olayıdır C. Çevreleri aynı olan çeşitli paralelkenarlar vardır D. Çevreleri aynı olan kareler bir türlüdür E. Çevreleri aynı olan dikdörtgenler bir türlüdür 6. Alan hesaplamayla ilgili uygulama yapma sırasında çalışma materyali olarak aşağıdakilerden hangisi en uygundur? A. Bir pencere camının alanının hesaplanması B. Bir defter kapağının alanının hesaplanması C. Bir dosya kağıdının alanının hesaplanması D. Televizyon ekranının alanının hesaplanması E. Sınıf kapısının alanının hesaplanması 7. Öğretim sırasında aynı büyüklükte iki dikdörtgen kartondan birini kısa, diğerini uzun kenarı boyunca kıvırarak yapılan silindirlerin hacimlerinin karşılaştırılması etkinliği için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A. Silindirle ilgili temel bilgileri kazandırmaya yarar B. Silindirin hacim formülünü elde etmeye yarar C. Silindirin hacmi ile ilgili bir alıştırmadır D. Silindirin hacmi ile ilgili bir uygulamadır E. Silindirin yanal düzeyinin alanını bulmaya yarar 8. π sayısının kullanılmasını gerektiren aşağıdaki sorulardan hangisi sizce daha etkili öğrenmeye yol açar (daha iyi bir uygulamadır)? A. Bir bisiklet tekerleğinin çapını ölçüp çevresini hesaplama B. Bir konserve kutusu kapağının çevresini ölçüp çapını hesaplama C. Pergelle çizilen bir dairenin çevresini hesaplama D. Beton bir elektrik diğeriğin çevresini ölçüp çapını hesaplama E. Bir oyun çemberinin sınırladığı alanı hesaplama AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

186 GEOMETRİ ÖĞ RETİ M İ 9. Paralelkenarın alanının dikdörtgenin alanından yararlanılarak kavratılabilmesinin gerektirdiği yeterliklerden biri hangisidir? A. Sayı korunumunun gelişmiş olması B. Alan korunumunun gelişmiş olması C. Denklik kavramı D. Alan ölçmenin birim kareleri saymak olduğunun bilinmesi E. Paralelkenarın alan formülünün bilinmesi 10. Möbius şeridinin tanıtılması, bu şeridin geometrik tanıtımının yapılması yanında aşağıdaki kavramlardan hangisinin kazanılmasına yardım eder? A. Köşe kavramı B. Çevre kavramı C. Kenar kavramı D. Yüz kavramı E. Alan kavramı Yararlanılan ve Başvurulabilecek Kaynaklar Altun, Murat. Matematik Öğretimi. Bursa: 1998. Busbridge, John ve D. Ali Özçelik. İlköğretim Matematik Öğretimi, Ankara: 1997. Souviney, Randall J. Learning to Teach Mathematics, New York: 1994. Değerlendirme Sorularının Yanıtları 1. B 2. C 3. C 4. E 5. E 6. A 7. D 8. D 9. B 10. D ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ