Rassal Değişkenler X = 2 zarın üzerindeki sayıların toplamıdır. Bu durumda P X = 2 = 36 P X = 3 = 2 36... P X = 2 = 36 Tüm olasılıkların toplamının olması gerekmektedir. Örnek p = Paranın tura gelme olasılığı X = Paranın tura geldiği ilk atışa kadar olan toplam atış sayısı ise; P X = = p P X = 2 = p. ( p)... P X = n = p. ( p) 0 Böyle bir örnekte X geometrik dağılmaktadır. Örnek I = Pilin ömrünün 2 aydan uzun olmasıolmaması I = 0, P I = 0 = p (Pilin ömrünün 2 aydan kısa olması) P I = = p (Pilin ömrünün 2 aydan uzun olması) Örnek Bir rassal değişkenin alabileceği n farrklı değer var ise; her olayın olasılıkları p, p 5,, p ve 89 p 8 = olarak ifade edilir. X = Her olay en az bir kere gerçekleşene kadar yapılan deneme sayısı ise X in n olma olasılığı nedir? P X = n =? Çözüm için P X = n olmama olasılığını bularak den çıkartmak sonuca daha kolay ulaşmamızı sağlayacaktır. A 8 = n denemede i sonucunun çıkmamış olası P X > n = P A 8 = P A 8 8NM P A 8 A M + R (A A 5 A S A ) + P A 8 A M A P 8NMNP = p 8 p 8 p M + p8 p M p P + R 0 P X = n =? Bulmaya çalışıyoruz. +
P X = n = P X > n P X > n Bu kısma kadar olan değişkenler ayrık rassal değişkenlerdi. Şimdi sürekli rassal değişkenleri ifade edeceğiz. lim X n = n n = F b = P(X b) P X = b = P X b lim P X b h = lim(f b F b h ) \ \ Türev bir fonksiyonun bir noktadaki değişim hızıdır. F X F X h F^ X = lim \ h P a < X b = P b P(a) olarak ifade edilebilir. F b, b ye göre azalmayan bir fonksiyondur. lim F b = F = lim F b = F = 0 0X P X b = lim \ F b h = lim \ F X b h Kesikli Değişkenler Bernoulli Rassal Değişkeni Bir deneyin sonuçları p olasılıkla başarılıbaşarısız, 0 şeklinde ifade edilebiliyorsa bu rassal değişken Bernoulli olarak adlandırılmaktadır. P 0 = P X = 0 = p P = P X = = p Binomial (Binom) Rassal Değişkeni Her birisinin sonucu başarılı veya başarısız olarak nitelendirilen n tane deneyde ortaya çıkan başarı sayısıdır. (n, p) parametreleri ile ifade edilmektedir. P X = k = n k. p 0P. p P n deneyde k tanesinin başarılı olması. Para atma deneyinde 4 atışta 2 tanesinin tura gelmesi TTYY- TYTY- TYYT- YTTY- YYTT- YTYT Y = X + X 5 + + X Binom rassal değişkeni n tane Bernoulli değişkenin toplamıdır. Örnek 2 veya 4 motorlu uçaklarda motorların %50 si ya da daha fazlası çalışır durumda olduğunda bir problem olmamaktadır. Hangi uçak daha güvenlidir? 2 Motorlu, 2 4 motorlu 2, 3, 4
P = motorun çalışma olasılığı P X = 2 ve ya = 2 2. p5 + 2. p. ( p) P Y = 2, 3 ve ya 4 = 4 2. p5. p 5 + 4 3. ps. p + 4 4. pf. p Hangisinin daha güvenli olduğu p ye bağlıdır p 5 ise 4 motorlu daha güvenlidir. S p < 5 ise 2 motorlu daha güvenlidir. S Geometrik Rassal Değişken İlk başarılı sonuç elde edilene kadar yapılan deney sayısıdır. P X = k = p P0. p Poisson Rassal Değişkeni 0,, 2, değerler alabilen X rassal değişkeni, λ parametresine sahip bir Poisson rassal değişkeni ise olasılık dağılımı; P k = P X = k = e 0i. λp k! Binom dağılımı çok büyük bir n ve çok büyük bir p değeri için Poisson dağılımına yakındır. P X = k =! 0P!P!. pp p 0P = = n. n. n 2. (n k + ) n P. λp. 0. 05.(0PR) k!. P! λ n λ n. i P = e0i. λp k! P. i 0P lim = X klm n çok büyük ve k çok küçük ise; lim i = e 0i X 0 lim = X lim X i P = Örnek Bugün çevre yolunda olan kaza sayısı λ = 3 parametresine sahip Poisson dağılmaktadır. P X = 0 = e 0i. in = P! e0s. So =! e0s (0 kaza olma olasılığı) P X 2 = e 0S. So +! e0s. Sp +! e0s. Sq (2 ve ya daha az kaza olma olasılığı) 5!
Negative Binomial Rassal Değişkeni n tane başarı yakalanana kadar yapılan deney sayısı negative binomial dağılır. (n, p) parametreleri ile ifade edilmektedir. X = X + X 5 + + X (X 8 ler geometrik dağılırken, X negative binomial dağılır) P = n. Başarının k. Deneyde gelme olasılığı P X = k = k n. p P0. p 0. p = k n. p P0. p k durum Sürekli Rassal Değişkenler P X b = F b X sürekli rassal değişken ise; X, olmak üzere, f(x) fonksiyonu bu rassal değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu olarak nitelendirilmektedir. F b = 0X P X B = v P a < x b = w P b = P b < x b = xy x = 0 = f b Toplam dağılım fonksiyonun türevi olasılık yoğunluk fonksiyonunu verir. Düzgün Dağılım 0 ile arasında düzgün dağılıma sahip x rassal değişkeni için; X 0X f x = 0 < x < 0 d. d = = dx =
f(x) x f(x) değeri bir olasılık değil olasılıkların elde edilmesini sağlayan bir fonksiyondur. Tüm olasılık değerlerinin toplamını gösterdiğinden dolayı olasılık yoğunluk fonksiyonunun taradığı alan dir. P 0.2 < x 0.6 =.5 a ile b arasında düzgün dağılan bir x rassal değişkeni için;.z F x dx f x = a < x < b b a 0 d. d R 5 P X = b = f b. ε = F y = P x y = 0 5 } w = Örnek X, [0, 0] düzgün dağılmaktadır. } b a dx =. (y a) b a w P X 3 = 3 0 P 4 < X 8 = 4 0 Üssel Dağılım (Exponential Distribution) Parametresi λ olan bir üssel dağılım için; X f x = λe0i, x 0 0, x < 0 λe 0i dx = e 0i X = e 0X e = 0 + = } F y = λe 0i dx = e 0i } = e 0i}
Poisson dağılımlar arasındaki süre üssel dağılıma uymaktadır. Gamma Rassal Değişkeni X = X + X 5 + + X f x = (X 8 ler üssel dağılırken, X gamma dağılır) λe 0i λx 0, x 0 Γ(α) 0, x < 0 X Γ n = e 0 x 0 dx n tam sayı değilse Γ n = n! Normal Dağılım n tam sayı ise f x = 0ˆ q 5Šq e0 ; < x < 2πσ 5 sefer para atma deneyi için; P X = 0 = 2 P X = = 5 2 P X = 2 = 0 2... P X = 5 = 2 Merkezi Limit Teoremi (Central Limit Theorem) X, X 5, aynı dağılıma sahip bağımsız rassal değişkenler olsun. Her birinin ortalaması μ, standart sapması σ ise; X, +X 5 + X S + + X nμ, n σ n standart normal dağılıma yakınsamaktadır. (N 0, ) X, ortalaması μ standart sapması σ olan normal dağılıma sahip ise; Z = 0ˆ dağılıma sahiptir. Y = αx + β X~N μ, σ ise Y~N αμ + β, ασ Var Y = Var αx + β = α 5 Var x = α 5 σ 5 Š standart normal