TMOZ/tmoz@yahoogroups.com Kasım - 2005 Ters trigonometrik fonksiyonlar Eyüp Kamil Yeşilyurt Alaattin Altuntaş Mustafa Yağcı Dikkat edilmeyen veya önemsenmeyen ayrıntılar bir gün sizi de rahatsız edebilir. Kimi zaman konu anlatırken, kimi zaman soru yazarken veya çözerken Bu yazımızda ters trigonometrik fonksiyonların tanım ve değer aralıklarının önemine değineceğiz. Aşağıdaki iki soruya hangi cevabı veriyorsunuz, verdiğiniz cevap neden doğru olsun ki? SORU 1. cos (arctan x) = 1 denkleminin çözüm kümesi nedir? 1. Cevap Ç.K = {0} 2. Cevap Ç.K = SORU 2. x lim =? x 0 arctan x 1. Cevap 2. Cevap x lim = 1 x 0 arctan x x 1, arctan 0= 0 = = kπ k k Z lim x 0 arctan x 0, arctan 0, 0,

Trigonometrik fonksiyonlar Sinüs fonksiyonu [ ] sin : R 1,1, f ( x) = sin x Tanjant fonksiyonu π tan : R + kπ : k Z R, f ( x) = tan x 2 Kosekant fonksiyonu { π } { π } cosec : R k : k Z R, f ( x) = cosec x 1 veya csc : R k : k Z R, f ( x) = csc x 1 MEB kitaplarında kabul edilmiş gösterimdir.

Genel olarak, y= f ( a x) grafiği, y= f ( x) in grafiğinin y eksenine göre simetriğinin x ekseninde a birim ötelenmiş grafiğine sahiptir. Kosinüs fonksiyonu y cos x sin π = = x olduğundan, kosinüs fonksiyonunun grafiği, sinüs fonksiyon 2 π grafiğinin y eksenine göre simetriğinin x ekseninde pozitif yönde birim ötelenmiş 2 halidir. cos : R 1,1, f ( x) = cos x [ ] Kotanjant fonksiyonu y cot x tan π = = x olduğundan kotanjant fonksiyonunun grafiği, tanjant fonksiyon 2 π grafiğinin y eksenine göre simetriğinin x ekseninde pozitif yönde birim ötelenmiş 2 halidir. { π } cot : R k : k Z R, f ( x) = cot x

Sekant fonksiyonu y sec x cosec π = = x olduğundan sekant fonksiyonunun grafiği, kosekant fonksiyon 2 π grafiğinin y eksenine göre simetriğinin x ekseninde pozitif yönde birim ötelenmiş 2 halidir. π sec : R + kπ : k Z R, f ( x) = sec x 2

Ters trigonometrik bağıntıların grafikleri Yukarıda verilen trigonometrik fonksiyonlar bire bir ve örten olmadıkları için tersleri fonksiyon değil bağıntıdır. Sekant ve kosekant fonksiyonlarının ters bağıntıları MEB Lise Matematik müfredatında olmadığı halde yabancı kaynaklarda ve üniversite matematiğinde olduğu için yazımızda değineceğiz. Arksinüs bağıntısı 1 1 f ( x) sin x f = ( x) = sin x= arcsin x

Arktanjant bağıntısı 1 1 f ( x) tan x f = ( x) = tan x= arctan x

Arkkosekant bağıntısı 1 1 f ( x) cosec x csc x f = = ( x) = cosec x= arccosec x= arccsc x

Arkkosinüs bağıntısı 1 1 f ( x) cos x f = ( x) = cos x= arccos x

Arkkotanjant bağıntısı 1 1 f ( x) cot x f = ( x) = cot x= arccot x

Arksekant bağıntısı 1 1 f ( x) sec x f = ( x) = sec x= arcsec x

Ters trigonometrik fonksiyonlar Ters trigonometrik fonksiyonların tanım ve değer kümesi önceden belirlenmiştir. 2 Önceden belirlenmiş bu aralıklarda elde edilen fonksiyonlara ters trigonometrik fonksiyon denir ve arc ön eki kullanılır. Bazı yabancı kaynaklarda Arc ön eki ters trigonometrik fonksiyon anlamında kullanılmıştır. Trigonometrik fonksiyonların terslerinin fonksiyon olması için bire bir ve örten olduğu keyfi bir alt aralık seçilebilir fakat keyfi seçilmiş bire bir ve örten alt aralıklarda elde edilmiş her fonksiyona ters trigonometrik fonksiyon denilmez. Arksinüs fonksiyonu π π arcsin :[ 1,1 ], 2 2 y= sin x x= arcsin y 2 Bu alt aralıklar keyfi seçilemez. MEB kitaplarında kabul edilmiş tanım ve değer aralıklarına göre ters trigonometrik fonksiyonlar verilmiştir.

Arktanjant fonksiyonu π π arctan : R, 2 2 y= tan x x= arctan y

Arkkosekant fonksiyonu π π arccosec : R 1,1, 0 2 2 y= cosec x x= arccosec y ( ) { }

Arkkosinüs fonksiyonu arcsin :[ 1,1] ( 0,π) y= sin x x= arcsin y

Arksekant fonksiyonu ( ) [ π] arcsec : R 1,1 0, y= sin x x= arcsin y π 2

Arkkotanjant fonksiyonu arccot : R 0,π MEB lise matematik ders kitabında bu aralıkta kabul edilmiştir fakat ( ) bazı yabancı kaynaklarda bu aralık farklı kabul edilmektedir. Yabancı kaynaklarda da birliktelik sağlanmış değildir.

Bazı yabancı kaynaklarda arkkotanjant fonksiyonu aşağıdaki aralıklarda kabul edilmektedir. Yabancı kaynaklarda fonksiyonun sürekli olduğu aralık değil, tanım aralığında sıfır civarının tercih edildiğini görüyoruz. Bunun bizim için önemi olmaya bilir, MEB kitaplarındaki tanım ve kabullenmeler bizim için daha önemlidir. Diplomalarının uluslar arası platformlarda tanınması için üniversitelerimizin büyük çoğunluğu, yabancı kaynakların tanım ve kabullerine uymaya özen göstermektedir. Yüksek lisansı teşvik eden MEB, yayınlarında bu tür durumlara da dikkat etmeli. Bazı yabancı kaynaklarda, ters trigonometrik fonksiyonları bağıntılardan ayırt etmek için arc ve Arc ön ekleri farklı manalarda kullanmaktadır. Yabancı kaynaklarda genellikle y = Arctan x gösterimi fonksiyon için kullanılırken, y = arctan x gösterimi bağıntı için kullanılmıştır. Bazen tersi de olduğu görülebilir. Oysa bizim kitaplarımızda hem bağıntı, hem de fonksiyon için y = arctan x gösterimi kullanılmıştır. Bu gösterimin nerede bağıntı nerede fonksiyon ifade ettiğini anlamak güçtür. Öğretmenlerimize MEB kitaplarındaki tanım ve kabullenmelerde birleşelim diye her yayınımızda çağrı yapıyoruz ama MEB ders kitabı bu konuda kendisi ile

çelişki içinde olduğundan bir an önce yeni basılacak kitaplarda söz konusu çelişkinin ortadan kaldırılmasını ümit ediyoruz. MEB ders kitaplarından 3 birkaç çarpıcı örnek vererek yazımızı sonlandıralım; Lise 2 matematik ders kitabından bir örnek; Soru arcsin (-1) =? Çözüm arcsin (-1) = x olsun. sin x = -1 3π x= 2 Başlık Arksinüs fonksiyonu fakat örnekler bağıntıya ait. Eğer arcsin fonksiyon olarak alınmışsa bunun doğru çözümü aşağıdaki gibi olmalıydı: arcsin (-1) = x sin x = -1 π x= 2 Burada negatif açıları pozitif yapmak için 2π ekleyemeyiz, bunu ancak arcsin bağıntıyken yapabiliriz. Bağıntı ile fonksiyonu bir birinden ayırt eden ince çizgi de budur zaten. MEB ders kitabından başka bir örnek (sayfa 41) Soru arctan (-1) =? Çözüm 7π arctan( 1) = x tan x= 1 x= 4 MEB Lise 3 matematik ders kitabında y = arctan x, y=arcsin x gibi ifadelerin tümü ters trigonometrik fonksiyon anlamında olduğunun da altını çizelim. Tüm durumlar dikkate alınarak MEB kitaplarında birlik sağlanmalıdır. 3 Ö. Faruk ERTÜRK Galip KIR İsmail BİLGİN /2001 2005 Lise 2 MEB Matematik kitapları

Sonsöz. Ters trigonometrik bağıntılar arc, ters trigonometrik fonksiyonlar Arc ön ekleriyle birbirinden ayırt edilmelidir. Buna göre giriş bölümünde sorduğumuz soruları tekrar ele alırsak, SORU 1. cos (arctan x) = 1 denkleminin çözüm kümesi nedir? Cevap Ç.K = {0} SORU 2. cos (Arctan x) = 1 denkleminin çözüm kümesi nedir? Cevap Ç.K = x SORU 3. lim =? x 0 arctan x 1, arctan 0= 0 x Cevap lim = x 0 arctan x 0, arctan 0 = kπ, k 0, k Z limit yoktur. SORU 3. x lim =? x 0 Arctan x Cevap x lim = 1 x 0 Arctan x