. UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ d belirli integralinin aşağıdaki çözümünün doğru olup olmadığını belirtiniz. Eğer çözüm yanlış ise sebebini açıklayınız. + d d + = = = = ( ) = Çözümde herhangi bir işlem hatası yoktur. Ancak, fonksiyonu [-,] arasındaki =0 noktasında süreksizdir. Dolayısı ile bu aralıkta İntegral hesabın Temel teoremi (Newton ve Leibnitz teoremi) uygulanamaz. Ancak yukarıdaki çözümde bu teorem kullanılmıştır. Ayrıca, fonksiyonunun [-,] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun mantıksız olduğu da anlaşılabilir.. Taralı R bölgesi y = grafiği ve y = 4 doğruları ile sınırlandırılmıştır. 4 ten büyük bir k sayısı vardır. R bölgesinin y = k doğrusu etrafında döndürülmesi ile oluşturulan cismin hacmi, aynı bölgenin ekseni etrafında döndürülmesi ile elde edilen cismin hacmi ile aynıdır. k nın değerini bulmak için kullanılabilecek integral içeren denklemi yazınız.
Yandaki şekli göz önüne alarak öncelikle taralı alanın -ekseni etrafında döndürülmesi ile elde edilen hacmi veren integrali yazalım; Bu hacim, y = 4 fonksiyonunun [-,] aralığında - ekseni etrafında döndürülmesi ile elde edilen hacimden y= fonksiyonunun yine aynı aralıkta - ekseni etrafında döndürülmesinden elde edilen hacmin çıkartılmasından elde edilir. Bu hacim V olsun; 4 ( 4 ( ) ) ( 6 ) (disk yöntemi kullanılmıştır.) V = d = d Şimdi de taralı alanın y=k doğrusu etrafında döndürülmesinden elde edilen hacmi veren integrali yazalım; Bu hacim, y= fonksiyonunun [-,] aralığında y=k doğrusu etrafında döndürülmesinden elde edilen hacimden y=4 fonksiyonunun aynı aralıkta ve aynı eksen etrafında döndürülmesinden elde edilen hacmin çıkartılması ile elde edilir. Yine disk yöntemi ile bu hacmi yazalım, buna da V diyelim; (( ) ( 4) ) V = k k d Not: dönme eksenine göre yarıçapı veren fonksiyonun ne olduğuna dikkat ediniz. Sonuç olarak istenen denklem; ( ) 4 ( 6 ) ( ) ( 4) ( sadeleşmiştir) V = V d = k k d Not: daha ileri bir düzenleme ya da herhangi bir integral çözümü yapmaya gerek yoktur. Soruda istenene dikkat ediniz.. r = + cosθ kardioidinin, r = cosθ çemberinin dışında kalan parçasının uzunluğunu θ= k - hesaplayınız. θ = Soruda verilen şekiller standart olarak alışık olduğunuz şekillerdir. Ayrı bir çizim prosedürü uygulamanıza gerek yoktur. Fakat şekillerden emin değilseniz çizim prosedürünü kısmi olarak uygulayabilirsiniz. Şekil aşağıdaki gibi olacaktır.
İki şeklin kesiştiği θ açısını bulmak için birbirine eşitleyebiliriz; + cosθ = cosθ cosθ = θ = Bu durumda kardioidin çemberin dışında kalan kısmı, kutup ekseninin ile radyan arsında dönmesinden elde edilen yay uzunluğunun ile çarpılmasıyla hesaplanabilir. (Not: şekil üzerinde, bulunması gereken eğri uzunluğu karalama ile gösterilmiştir) ( ) + cosθ + + cosθ dθ = + cosθ + cos θ + sin θ dθ = + cosθ dθ θ θ = + cosθ dθ = + cosθ dθ = + cos dθ = 4 cos dθ (Not: cosθ için yarım açı dönüşümü uygulanmıştır) θ θ = 4 cos dθ = 8sin = 8 sin sin = 8 = 4 br 6 Olarak sonuç elde edilir. 4. a ve b nin hangi değerleri için (,) noktası noktasıdır? y + = a b fonksiyonunun büküm Dönüm noktası fonksiyonun ikinci türevini sıfır yapan noktadır. Burada önemli bir hatırlatma yapmak istiyorum; derslerimiz de hem birinci hem de ikinci türevin kökleri olan noktaları keskin (sert) dönüm noktası olarak isimlendirmiştik. Ancak bu soruda sadece büküm noktası deniyor. Yani ikinci türevi sıfır yapan noktadan bahsediliyor. Verilen (,)=(,y) noktası, eğrinin büküm noktası olduğuna göre, hem fonksiyonu sağlamalı hem de ikinci türevde yerine yazdığımızda sonuç sıfır çıkmalı; = + = + olduğuna göre; y a b y 6a b Fonksiyonda (,) = (,y) için a + b = ve = büküm noktası olduğundan 6a + b = 0 denklemleri elde edilir. Bu iki denklemin ortak çözümü yapılırsa 9 a = ve b = sonuçları bulunur. 5. Yediğiniz meyvenin çekirdeklerini yere atmamak için, elinizin altında bulunan ve bir kenarı 0 cm olan kare şeklindeki bir kâğıt parçasının kenarlarını katlamak sureti ile üstü açık dikdörtgen prizma şeklinde bir tabak yapmak istiyorsunuz. Tabağın
maksimum miktarda çekirdek alabilmesi için kâğıdın kenarını içeriye doğru kaç cm katlamalısınız? Kare kağıdı aşağıdaki gibi katlamalıyız; eşitlemeliyiz; Bu katlama neticesinde tabanı bir kenarı (0-) br olan kare ve yüksekliği br olan bir tabak elde edilir. İki taraftan eşit katlamalıyız. Eğer farklı katlarsak büyük olan yükseklik diğer taraftan desteklenmeyeceği için bu kısmı kullanamazsınız. Bu durumda maksimum olması istenen hacim formülü; ( 0 ) V = olarak karşımıza çıkar. Maksimum olması için gerekli değeri arandığına göre birinci türevini sıfıra ( )( ) V = 0 ( ) + 0 = 0 4 + 0 = 0 0 6 ( ) ( ) V = 0 0 6 = 0 0 = 0 ve 0 6 = 0 elde edilir. Buradan da; 5 = 5 ve = kökleri bulunur. Hangi değerin hacmi maksimum yaptığını bulmak için tablo yapılabileceği gibi, = 5 için hacim 0 olduğundan doğru cevabın 5 = olduğu rahatlıkla anlaşılabilir. 6. y = + eğrisi ile y = + doğrusunun arakesit bölgesinin y-ekseni etrafında 0- döndürülmesi ile elde edilen cismin hacmini hesaplayınız. Öncelikle şekli görelim; y = + = + + = ( ) + olduğuna göre bu fonksiyonun grafiğini y = fonkisyonunu br sağa ve br yukarı kaydırarak elde edebiliriz. y = + doğrusunun grafiği ise basit bir grafiktir. İki grafiğin oluşturduğu arakesit bölgesi aşağıdaki gibi olur; Bu alanın y-ekseni etrafında döndürülmesi ile elde edilen cismin hacmini disk yöntemi ile bulmaya kalkışırsak dönme ekseni olan y-eksenine dik kesitlerin yarıçapları için alanı y-ekseni üzerinde iki parçaya ayırmamız gerekecek. Ancak bu hacmi kabuk yöntemi ile çok daha kolay yapabiliriz;
V 4 = = + + d = + d = + 4 0 0 0 7 = 4 br 4 7. Limit, türev ve diferansiyel kavramlarını en iyi tanımlayan bir kelime ya da bir kelime grubu (kalıp) söylemek gerekirse ne dersiniz? Her birinin gerekçesini yazınız. Limit, bir fonksiyonun bağımsız değişkeninin belirli bir noktaya sonsuz küçük yakınlıkta yaklaşması durumunda bağımlı değişkenin davranışını inceler. Bundan dolayı bu kavramı yakınsama, yaklaşma gibi deyimlerle ifade edebiliriz. f f a Türev, özel bir limit işlemidir. lim a a limiti y = f() eğrisine a noktasında çizilen teğetin eğimini verir. Eğim de bir fonksiyonun ne kadar hızlı değiştiğini verir. Türev kelimesini en iyi karşılayan kelime olarak eğim veya değişim hızı kelimelerinden biri seçilebilir. Diferansiyel ise sadece bağımlı değişkendeki ya da bağımsız değişkendeki anlık farktır. Yani diferansiyel, türevden farklı olarak tek başına bir değişimi ifade eder. Bu kavram için de değişim, fark ya da artım kelimelerinden biri kullanılabilir. 8. + d integralini Newton ve Leibnitz teoremi adı verilen ve Analizin temel teoremi olarak da bilinen teoremi kullanmadan hesaplayınız. f() = + fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir; Buna göre + d = olduğu integralin anlamı göz önüne alındığında rahatlıkla anlaşılabilir. Öğr. Grv. Tolga KABACA