İMO Teknik Dergi, 214 6581-66, Yazı 411 Elastik Zeminle Dinamik Olarak Etkileşen Tek Serbestlik Dereeli Yapıların Optimal Kontrolü * Ali Ruzi ÖZUYGUR* A. Nemettin GÜNDÜZ** ÖZ Bu çalışmada optimal kontrol ve yapı-zemin etkileşimi konuları kısaa tanıtıldıktan sonra, elastik zeminle etkileşen tek serbestlik dereeli sistemlerin optimal kontrolü için sayısal bir yöntem önerilmiştir. Önerilen yöntemde ilk olarak rijit temele sahip sistem kullanılarak kontrol kuvveti hesaplanmaktadır. Daha sonra, hesaplanan kontrol kuvveti, Fourier Dönüşümüyle frekans tanım alanına dönüştürülerek zeminle etkileşen sistemin denklem takımına dahil edilmekte ve bu denklem takımından temel yanal yerdeğiştirmesi ve dönmesi hesaplanmaktadır. Ters Fourier Dönüşümü yardımıyla da temel yanal yerdeğiştirmesi ve dönmesinin zaman tanım alanındaki değerleri elde edilmektedir. Son olarak, daha öne elde edilen temele ait yanal yerdeğiştirme ve dönme ivmeleri ile deprem yer hareketi ivmesi kullanılarak optimal kontrol kuvveti tekrar hesaplanmaktadır. Bu çalışmada, bu konuda yayınlanmış diğer çalışmalarda yapıldığının aksine, tüm sistem için zemine temelden ankastre eşdeğer bir sistem tanımlayıp kullanmak yerine, sistem gerçekte olduğu gibi zeminle etkileşeek şekilde tanımlanarak ele alınmıştır. Anahtar Kelimeler: Optimal kontrol, yapı-zemin etkileşimi, empedans katsayıları. ABSTRACT Optimal Control of Single-Degree-of-Freedom Systems Dynamially Interating with Elasti Soil In this paper, a numerial algorithm is proposed to analyze optimally ontrolled soilstruture interation system. In the proposed algorithm, the ontrol fore is obtained first using a fixed-base system in time domain, and then it is onverted to frequeny domain by Fourier Transform to be used in the equations of soil-struture interation system. The lateral displaement and roking of foundation are obtained from the equations of soilstruture interation system ontaining the ontrol fore, and then onverted to time domain by Inverse Fourier Transform. Seondly, the ontrol fore is alulated again by using the ombination of lateral aeleration of the system, foundation roking and earthquake ground aeleration. In reent studies, optimal ontrol of strutures has been generally Not: Bu yazı - Yayın Kurulu na 12.4.21 günü ulaşmıştır. - 31 Mart 214 gününe kadar tartışmaya açıktır. * Yapı Proje Uygulama İnş. Taah. Nak. Ltd. Şti., İstanbul - aruzi@ypu.om.tr ** İstanbul Teknik Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü, İstanbul - gunduzan@itu.edu.tr
Elastik Zeminle Dinamik Olarak Etkileşen Tek Serbestlik Dereeli studied by using a fixed-base system rather than the system supported on flexible soil whih is usually analyzed in frequeny domain. In this study, a more realisti dynamially Keywords: Optimal ontrol, soil-struture interation, foundation impedanes. 1. GİRİŞ Yapı-zemin etkileşimi analizinde kullanılan zeminin empedans katsayıları dış yükün frekansına bağlıdır. Dolayısıyla yapı-zemin etkileşimi analizinde genel olarak kullanılan yöntem öne yapı-zemin sisteminin frekans tanım alanında analiz edilmesi, daha sonra elde edilen büyüklüklerin Ters Fourier Dönüşümü tekniği yardımıyla zaman tanım alanına dönüştürülmesi şeklindedir. Yapı mühendisliğinde kullanılan klasik optimal kontrol analizi zaman tanım alanında yapılmaktadır. Optimal kontrol ile yapı-zemin etkileşimi etkilerinin bir arada düşünülmesi, problemi çok karmaşık hale getirmektedir. Karşılaşılan önemli zorluklardan biri, zaman ve frekans tanım alanları arasında Fourier Dönüşümü uygulanaak büyüklüklerin her adımda değil, tüm zaman aralığında belli olması gerektiğidir. Dolayısıyla optimal kontrol ile yapı-zemin etkileşiminin bir arada analizi konusunda çeşitli basitleştirmelere dayanan az sayıda çalışma bulunmaktadır. Optimal kontrol analizinde genel olarak yapı-zemin etkileşimi etkilerinin küçük, özellikle temelin dönme etkisinin ihmal edilebilir mertebede olduğu varsayılmıştır. Geçmiş yıllarda Luo, Smith ve diğer araştırmaılar yapı mühendisliğinde kullanılan optimal kontrol problemini yapı-zemin etkileşimini de dahil ederek araştırmışlardır [1-11]. Yukarıda da sözü edildiği gibi optimal kontrol ile yapı-zemin etkileşimini bir arada düşünmenin esas zorluğu yapı-zemin etkileşimi analizinin frekans tanım alanında, klasik optimal kontrol probleminin ise zaman tanım alanında ele alınmasıdır. Bu problemin çözümü için; a) Sato ve Toki tarafından geliştirilen bir yöntem, öne kontrolsüz sistem kullanılarak ters Fourier Dönüşümü yardımıyla yapı-zemin etkileşimi etkilerinin zaman tanım alanında elde edilmesi, daha sonra bu etkilerin kontrol problemine dahil edilmesi şeklindedir. Bu yöntemde yapı-zemin etkileşimi elde edilirken kontrollü sistemin davranışı esas alınmadığı için kullanılan empedans fonksiyonlarının değeri de farklı olmaktadır [5]. b) Alam ve Baba tarafından kullanılan yöntem, empedans fonksiyonlarını frekanstan bağımsız olarak elde etmek ve kontrol problemine doğrudan dahil etmek şeklindedir [6]. ) Wu ve Smith tarafından geliştirilen yöntemde öne yapı ve zemin frekanslarına bağlı, zemine ankastre olarak bağlı eşdeğer sistem tanımlanmış, bu eşdeğer sistem üzerinde kontrol kuvveti iterasyonla tahmin edilmiştir [7, 1]. d) Luo tarafından geliştirilen yöntemde ise kontrol kuvvetlerini kesin olarak, yapı-zemin etkileşimini yaklaşık olarak tahmin eden eşdeğer sistem kullanılmıştır [11]. Bu çalışmada ise, elastik zemine rijit bir temel ile mesnetlendirilmiş tek serbestlik dereeli bir yapı sistemi için optimal kontrol ile yapı-zemin etkileşimi analizinin bir arada yapılmasını sağlayan bir sayısal yöntem önerilmiştir. Söz konusu yapı sistemi 194 El Centro deprem yer hareketi için yapı-zemin etkileşimi de hesaba katılarak optimal olarak kontrol edilmiştir. 6582
Ali Ruzi ÖZUYGUR, A. Nemettin GÜNDÜZ Diğer çalışmalardan farklı olmak üzere herhangi bir eşdeğer sistem tanımlanmadan, yapızemin etkileşimini de hesaba katan sistem denklemlerine kontrol kuvveti katkısı eklenerek elde edilen denklemler doğrudan kullanılmıştır. Çalışmada durum uzay formülasyonu kullanılmıştır. Bu amaçla iki adımlı bir ardışık yaklaşım yöntemi uygulanmış, ilk adımda yapının rijit zemine oturduğu varsayılmış, ikini adımda bu durum birini adımda elde edilen temele gelen kuvvetler yardımıyla hesaplanan rijit temel yerdeğiştirme bileşenleri kullanılarak ve yapının rijit bir temel ile elastik zemine mesnetlendirildiği düşünülerek düzeltilmiştir. Bu şekilde optimal olarak kontrol edilen yapının yerdeğiştirme yanıtı ve kontrol kuvveti zaman tanım alanında doğrudan belirlenmiştir. Ayrıa performans indeksinin zaman tanım alanındaki değişimi de yapı-zemin etkileşiminin söz konusu olması ve olmaması durumları için belirlenmiştir. Sayısal çözümleme için bir MATLAB programı geliştirilmiş ve sayısal hesaplamalar bu program kullanılarak gerçekleştirilmiştir. Sayısal uygulama amaıyla periyodu birbirinden farklı 5 adet tek serbestlik dereeli sistem seçilmiş, söz konusu yapı sistemleri 194 El Centro deprem yer hareketi için yapı-zemin etkileşimi de hesaba katılarak optimal olarak kontrol edilmiştir. Tek serbestlik dereeli bir sistem olarak modellenen yapının zemine göre rijitliği değiştirilerek bir parametrik çalışma yapılmış, elde edilen sonuçlar yorumlanmıştır. 2. KONTROL EDİLEN SİSTEMİN DURUM-UZAYI YÖNTEMİYLE ÇÖZÜMÜ Kontrol kuvveti uygulanmış doğrusal tek serbestlik dereeli sistemin hareket denklemi mu() t u () t ku() t mu () t F () t (1) ge olarak verilebilir. Burada m, ve k sırasıyla sistemin kütlesi, sönümü ve rijitliği; ut (), ut () ve ut () sırasıyla sistemin göreli yerdeğiştirmesi, hızı ve ivmesi; F () t optimal kontrol kuvveti; u ge () t ise yer hareketi ivmesidir. Denklem (1) i durum-uzayı şeklinde yazmak için durum vektörü olarak adlandırılan ut () z() t ut () (2) vektörü kullanılır. Durum vektörünün hızı zamana göre türevi alınarak yazılır ve hareket denklemi düzenlenirse ut () 1 ut () z() t u () () 1 1 g t F 1 t ut () m k m ut () 1 m (3) elde edilir. Hareket denklemini daha basit biçimde yazmak için Hart ve Wong [12] tarafından kullanılan notasyonla 6583
Elastik Zeminle Dinamik Olarak Etkileşen Tek Serbestlik Dereeli A 1,, 1 1 1 m k m 1 m H B tanımları yapılırsa, hareket denklemi z() t Az() t Hu () t BF () t (4) g şeklini alır. Denklem (4) ün genel çözümü aşağıdaki gibidir: (- ) () t ( ) t t tt t t u t A A A g()d A F ()d t A t z e z e e H e e B. (5) t t, t t, t t t, k, 1,... (6) k k1 k1 k kabulleri ile Denklem (4) teki u () t ve F () t terimleri sırasıyla ge u ve gk F k olarak ayrıklaştırıldıktan sonra gerekli integral alma işlemi gerçekleştirilirse optimal kontrol probleminin sistem durum denklemi z Fz H k1 s k du G gk Fk (7) elde edilir. Burada F e, H A e I H, G A e I B (8) s At 1 At 1 At d olup I (22) birim matrisidir. 3. OPTİMAL KONTROL Yapı mühendisliğinde kullanılan, bir çeşit aktif kontrol yöntemi olan optimal kontrol uygulamasında, sistemde hazır bulundurulan dış enerji kaynakları yardımıyla yapıya daha öne belirlenen şekilde kontrol kuvveti uygulanır. Optimal kontrol probleminde yapıya uygulanaak kontrol kuvveti belirli bir performans indeksinin minimum yapılmasından elde edilir. Optimal kontrol problemi, Denklem (7) kullanılarak performans indeksi 1 J N 2 k T 2 k k k zqz RF (9) 6584
Ali Ruzi ÖZUYGUR, A. Nemettin GÜNDÜZ ifadesini verilen zaman aralığında minimum yapan kontrol kuvveti F k nin seçilmesi işlemidir. Burada Q, 2 2 boyutunda yapı davranışı ağırlık matrisi ve R kontrol kuvveti ağırlık katsayısıdır. Q ve R nin seçilmesi kontrol mekanizmasının özellikleriyle yakından ilgilidir. Sistemin yerdeğiştirme ve hız yanıtının küçük olması istendiğinde Q matrisinin elemanları büyük seçilir. Kontrol kuvvetinin küçük olması istendiğinde ise R katsayısı büyük seçilir. Ayrıa z vektörünün elemanları olan yerdeğiştirme ve hız ile F kontrol kuvveti birimleri farklı büyüklükler olduğu için bu durum Q matrisinin elemanları ve R belirlenirken göz önüne alınır. Çok serbestlik dereeli yapı sistemlerinde ise R matrisi ayrıa, kontrolün hangi serbestlik dereelerine uygulanaağını da belirler. J ise skaler bir büyüklüktür. Denklem (7) de verilen durum denklemini sağlayarak amaç fonksiyonunun minimize edilmesi, ilgili kaynaklarda [12, 13] geniş olarak yer almaktadır. Problemin Lagrange Fonksiyonu N 1 1 T 2 T L zqz k k RFk λ k 1Fz s k Hdu gk GFk zk 1, k, 1,... k 2 (1) olarak tanımlanabilir. Burada λ belirlenmesi gereken Lagrange çarpanı matrisidir. k1 L nin sırasıyla λ, k z ve k F k ya göre varyasyonu alınarak sıfıra eşitlenirse aşağıdaki denklem takımı elde edilebilir: Fz s k Hdu gk GFk zk 1, (11) Qz F λ λ, (12) T k s k1 k T RF G λ. (13) k k 1 Lagrange çarpanı matrisi λ k, zamana göre değişimi çok az olan, dolayısıyla sabit kabul edilebilen [13] Riati Matrisi P ( t k ) yardımıyla doğrusal kontrol sistemlerinde λk Pz k k (14) şeklinde tanımlanır. Bu tanım sabit Riati Matrisi için geçerlidir. Yapı mühendisliği uygulamaları göstermiştir ki P () t matrisinin elemanlarının kontrol aralığında zamanla değişiminin çok düşük olduğu, bu nedenle de bu aralıkta sabit kaldığı varsayılabilmektedir. 6585
Elastik Zeminle Dinamik Olarak Etkileşen Tek Serbestlik Dereeli Gerekli matematiksel işlemler gerçekleştirilirse Riati Matrisi ve kontrol kuvveti 1 T R 1 T PQF P IG G P F, (15) s 1 1 T T T k k1 s k s F R GPz R GPG GPFz (16) olarak; sistemin k 1 adımındaki yanıtı ise 1 T R 1 z I G G P Fz H (17) k1 s k dugk şeklinde elde edilir. 4. YAPI-ZEMİN ETKİLEŞİMİ Şekil değiştirebilir zemine oturan yapıların davranışı rijit zemine mesnetlendirilmiş yapıların davranışından farklıdır. Şekil değiştirebilir zemine oturan yapıların dinamik analizi çeşitli kaynaklarda yapı-zemin etkileşimi olarak genişçe ele alınan yöntemler kullanılarak yapılabilir [14, 15, 16, 17]. Bu yöntemlerden biri de altsistem hesap yöntemidir. Altsistem hesap yönteminde yapı-zemin sistemi yapı ve zemin olmak üzere iki altsisteme ayrılır. Bu iki alt sistem arasındaki ilişki birbirine zıt yönde etkiyen eşit büyüklüğe sahip etkileşim kuvvetleri ile temsil edilir. Şekli 1a da rijit temel plağına mesnetlendirilmiş tek serbestlik dereeli bir sistem elastik yarı sonsuz ortama oturmaktadır ve sistem iki altsisteme ayrılmaktadır. Temel plağının kütlesi m ve x ekseni etrafındaki kütlesel atalet momenti I dır. Yarı sonsuz ortam yüzeyindeki yer ivmesi u g yapı temelini öteleme ve dönmeye zorlayarak Şekil 1b de gösterildiği gibi etkileşim kuvvetlerini meydana getirir. P, y ekseni yönündeki yanal etkileşim kuvvetini, M, x ekseni etrafındaki etkileşim momentini, u yapı kütlesinin y ekseni yönündeki yerdeğiştirmesini, u temel plağının yerdeğiştirmesini, u zeminin g yerdeğiştirmesini, ise temel plağının x ekseni etrafındaki dönmesini göstermektedir. k,, m, I sırasıyla üstyapının rijitliği, sönümü, kütlesi ve kütlesel atalet momentidir. h yapı yüksekliğidir. Elastik yarı sonsuz ortamın özelliklerini tanımlayan parametreler ise kütlesel yoğunluk, kayma modülü G ve Poisson oranı dür. Üstyapı ve zemin olmak üzere iki parçaya ayrılan altsistemlere ait hareket denklemleri ayrı ayrı yazıldıktan sonra, etkileşim yüzeyindeki geometrik uygunluk ve denge koşulları kullanılarak yazılan denklem takımından temel dönmesi ve temel yanal yerdeğiştirmesi öne frekans tanım alanında, daha sonra zaman tanım alanında elde edilebilir. 6586
Ali Ruzi ÖZUYGUR, A. Nemettin GÜNDÜZ m, I y h u Altsistem 1 m, I h k /2 k /2 m, I z y Referans ekseni ug u h P k /2 M P M k /2 Elastik yarı sonsuz ortam, G, Kütlesiz rijit plak Elastik yarı sonsuz ortam, G, Altsistem 2 (a) (b) Şekil 1: Yarı sonsuz ortama oturan tek serbestlik dereeli sistem [17] Temel-zemin sisteminin rijitliği olarak tarif edilen empedans katsayılarının elde edilmesi çeşitli çalışmalarda araştırma konusu olmuştur. Bu çalışmada Veletsos ile Wei [18] tarafından elastik yarı sonsuz ortama oturan kütlesiz rijit dairesel plağın harmonik yükler altındaki titreşim analizi sonuunda elde edilen empedans katsayıları kullanılmıştır. Söz konusu çalışmada zemin yüzeyine oturan dairesel kütlesiz rijit plak için etkileşim kuvvetleri P ve M ile yanal yerdeğiştirme u ve dönme arasındaki bağıntı, basitleştirilmiş şekliyle frekans tanım alanında aşağıdaki gibi verilmiştir: P ( ) k1 ia( ) 1 k y u( ) M ( ) k ia ( ) k ( ) 2 2 x (18) Bu denklemdeki katsayılar zemin ortamının Poisson oranı ve frekans parametresi a a bağlı olarak verilmiştir. a aşağıdaki gibi tarif edilmiştir: r a ve s s G. (19) 6587
Elastik Zeminle Dinamik Olarak Etkileşen Tek Serbestlik Dereeli Burada dış etkinin titreşim frekansı, r dairesel plağın yarıçapı, kayma dalgasının s yayılma hızı ve i 1 dir. Dairesel plağın ötelenme ve dönme rijitlikleri sırasıyla k y 8Gr, 2 k x 3 8Gr 31 (2) olarak verilmiştir. Temel empedans katsayıları ( ) ve ( ) k k ia k k k ia k (21) yy 1 1 y 2 2 x şeklinde verilmiştir. Bu denklemlerde kullanılan ötelenmeye ait rijitlik ve sönüm katsayıları k1, ve dönmeye ait rijitlik ve sönüm katsayıları 1 k2, sayısal olarak verilmiştir. Denklem 2 (18), yukarıda verilen temel empedans katsayıları kullanılarak aşağıdaki gibi yazılabilir: P ( ) ( ) k yy u( ). ( ) ( ) (22) M k ( ) u ve de dahil edilerek Şekil 1 de verilen sistemin hareket denklemi m ug () t u () t h () t u() t u () t ku() t (23) olarak yazılabilir. Yapı ve temel sisteminin hareket denklemi de aşağıdaki gibi yazılabilir: m ug() t u() t h () t u() t m ug() t u () t kyyu() t, (24) mh u () () () () g t u t h t u t I() t k() t. (25) Hareket denklemlerinin her iki tarafına Fourier Dönüşümü uygulanarak Denklem (23) - (25) özel bir frekans için aşağıdaki gibi yazılabilir: mik um u m h m u g, (26) 2 2 2 2 yy, (27) 2 2 2 2 2 2 m u k m m u m h m m ug 6588
Ali Ruzi ÖZUYGUR, A. Nemettin GÜNDÜZ 2 2 2 2 2 2. mh umh u k mh I mh u g (28) Özel bir frekansa ait bu üç adet ebirsel denklemden oluşan denklem takımından u, u ve çözülebilir. Bu büyüklüklerin zaman tanım alanındaki hızı ve ivmesi de sonlu farklar yöntemi yardımıyla sayısal olarak elde edilebilir. 5. ZEMİNLE ETKİLEŞEN YAPILARIN OPTİMAL KONTROLÜ Şekil 1 de verilen deprem etkisindeki bir yapı için yapı-zemin etkileşimi dahil edilerek yazılan denge denklemi (23), kontrol kuvvetinin de eklenmesi durumunda m ug() t u () t h () t u() t u () t ku() t F() t (29) olarak yazılabilir. İçsel kontrol söz konusu olduğunda bina ve temel sistemi için yazılan denge denklemleri (24) ve (25) da herhangi bir değişiklik olmayaaktır [1]. Denklem (29) daki optimal kontrol kuvvetinin belli olduğu varsayılırsa özel bir frekans için Denklem (29) frekans tanım alanında aşağıdaki gibi yazılabilir: 2 2 2 2 mik um u m h m u g F. (3) Denklem (3), (27) ve (28) den oluşan ebirsel denklem takımından u ile bir öneki bölümde açıklandığı gibi elde edilebilir. Bu çalışmada zeminle etkileşen yapıya uygulanaak optimal kontrol kuvvetinin hesabı için iki adımlı ardışık yaklaşıma dayalı bir yöntem önerilmiştir. Birini adımda, kontrol kuvveti uygulanmış ve zeminle etkileşen sistemin hareket denklemi olan (29) denkleminde kullanılaak kontrol kuvveti, ankastre mesnetli sistemin hareket denklemi (1) den elde edilir. Kontrol kuvveti bu şekilde belirlendikten sonra birini adıma ait zaman tanım alanındaki temel yanal yerdeğiştirme ivmesi u () t ve dönme ivmesi () t, Fourier Dönüşümü ve sayısal yöntemler yardımıyla hesaplanabilir. İkini adımda u () t ile () t, ankastre mesnetli kontrollü sistemin hareket denklemi (1) e dahil edilerek Denklem (29) ile aynı şekle sahip, zaman tanım alanında çözümü yapılabilen, kontrol kuvveti uygulanmış ve zeminle etkileşen sisteme eşdeğer yeni bir sistem oluşturulabilir. u () t u () t u () t h () t (31) gt g olmak üzere Denklem (29) tekrar aşağıdaki gibi yazılabilir: 6589
Elastik Zeminle Dinamik Olarak Etkileşen Tek Serbestlik Dereeli mu() t u () t ku() t mu () t F () t. (32) gt Denklem (32) ye klasik optimal kontrol hesap adımları uygulanabilir. Bu şekilde, yapıya uygulanaak optimal kontrol kuvveti hesaplanırken elastik zemine oturan temelin yanal yerdeğiştirmesi ve dönmesi de hesaba dahil edilmiş olur. Şekil 2 de önerilen hesap yöntemi akış diyagramı biçiminde özetlenmiştir. Kontrollü ankastre mesnetli sistem mu() t u () t ku() t mu () t F () t g Kontrol kuvveti F () t Kontrollü zeminle etkileşen sistem m u g() t u() t h () t u() t u () t ku() t F() t, m ug() t u() t h () t u() t m u g() t u () t kyyu() t, mh u () () () () g t u t h t u t I() t k() t. Frekans tanım alanında çözüm 2 2 2 2, g yy 2 2 2 g. m ik um u m h m u F, 2 2 2 2 2 2 m u k m m u m h m m ug mh u mh u k mh I mh u u( ) u( t) h ( ) h ( t) Kontrollü zeminle etkileşen eşdeğer sistem mu() t u () t ku() t mu () t F () t u () t u () t u () t h () t gt g gt Kontrol kuvveti F () t Şekil 2: Kontrollü, zeminle etkileşen sistem için ardışık yaklaşıma dayalı hesap yöntemi akış diyagramı 659
Ali Ruzi ÖZUYGUR, A. Nemettin GÜNDÜZ Sayısal Karşılaştırma ve Değerlendirme Bu çalışmada önerilen yöntemin doğruluğunu kontrol etmek amaıyla Smith ve Wu [19] tarafından yapılan sayısal örnek benzer parametrelerle çözülmüş, elde edilen sonuçlar karşılaştırılmıştır. Smith ve Wu tarafından sayısal uygulama için kullanılan 5 katlı kayma çerçevesinde her katın kütlesi mi 6 kg, her katın rijitliği ki 6 kn/m, her katın yüksekliği hi 5 m, temel plağı kenar uzunluğu b 5 m, temel plağının kütlesi m 12 kg, zeminin kayma dalgası hızı s 3 m/s, Poisson oranı.33 kütlesel 3 7 yoğunluğu 17 kg/m, sönüm oranı.2 ve kontrol parametresi 1 dir. Kontrol kuvveti sadee 5. kata uygulanmıştır. Bu çalışmada temel plağının yarıçapı r 3 m olarak kabul edilmiştir. Sistem Şekil 3 te verilen 1989 yılında Capitola İstasyonu nda kaydedilen Loma Prieta depremi etkisi altındadır. Smith ve Wu tarafından elde edilen 5. katın yanal yerdeğiştirmesi ve 5. kata uygulanaak kontrol kuvveti Şekil 4 te verilmiştir. Bu çalışmada, önerilen yöntem çok serbestlik dereeli sistem için genişletilerek elde edilen 5. katın yanal yerdeğiştirmesi ve 5. kata uygulanaak kontrol kuvveti Şekil 5 te verilmiştir. Şekillerden görüldüğü gibi elde edilen sonuçlar kabul edilebilir yaklaşıktadır..5 İvme (g) -.5 5 1 15 2 25 3 35 4 Şekil 3: 1989 Loma Prieta depremi ivme kaydı Şekil 4: 5. kat yerdeğiştirmesi ve 5. kata uygulanaak kontrol kuvveti 6591
Elastik Zeminle Dinamik Olarak Etkileşen Tek Serbestlik Dereeli.4 Yerdeğiştirme (m).2 -.2.3623 -.4 5 1 15 2 25 3 35 4 6 6.934 Kontrol kuvveti (kn) 4 2-2 -4-6 5 1 15 2 25 3 35 4 Şekil 5: 5. kat yerdeğiştirmesi ve 5. kata uygulanaak kontrol kuvveti Sayısal Örnek Şekil 1 de verilen, optimal kontrol kuvveti uygulanmış tek serbestlik dereeli sistemde m 175 kg, sönüm oranı / (2 km).5, titreşim periyodu T.2 s,.5 s, 1. s, 3. s, 5. s, kat yüksekliği h 3 m, temel kütlesi m, dairesel n 2 temel plağının yarıçapı r 3 m, zeminin kayma modülü G 1 kn/m, Poisson oranı 3.33 ve kütlesel yoğunluğu 2 kg/m olarak verilmiştir. Bu durumda zemin kayma dalgası hızı 7.1 m/s olmaktadır. Örnek olarak T n =.5 s için sistemin rijitliği 2 s k m 2 / T 27634.89 kn/m olarak hesaplanabilir. Sistem Şekil 6 da verilen El- n Centro depremi etkisi altındadır. Kabul edilen optimal kontrol parametreleri aşağıdaki gibidir: k 27634.89,.1, 175 R m Q u z u.. 1. A, 157.9137 1.2566 B,.571428 H. 1 El-Centro depreminin örneklendiği t.2 s zaman aralığı için 6592
Ali Ruzi ÖZUYGUR, A. Nemettin GÜNDÜZ F s.968844.19543, 3.86185.944285 59711.6824 4359.5783 P. 4359.5783 3683.258 olarak hesaplanabilir. H d.19729,.1954349.1127399 G,.111677114.5 İvme (g) -.5 5 1 15 2 25 3 Şekil 6: 194 El-Centro depremi ivme kaydı Ankastre mesnetli ve zeminle etkileşen sisteme uygulanan optimal kontrol kuvveti ve maksimum değerleri Şekil 7 de verilmiştir. Şekil 7 den görüldüğü gibi T n =.2 s olan sistemde ankastre mesnetli sisteme uygulanan kontrol kuvvetinin maksimum değeri ile zeminle etkileşen sisteme uygulanan kontrol kuvvetinin maksimum değeri arasındaki fark 19.97 kn olarak hesaplanmıştır. Bu değer T n = 5. s olan sistemde.12 kn mertebesindedir. Oransal olarak bakıldığında ankastre mesnetli sisteme uygulanan kontrol kuvvetinin maksimum değeri ile zeminle etkileşen sisteme uygulanan kontrol kuvvetinin maksimum değeri arasındaki oran T n =.2 s için 1.35; T n =.5 s için 1.7; T n = 1. s için 1.5 ve T n = 1. s den büyük değerler için 1.5 ten daha küçük olarak elde edilmiştir. Dolayısıyla göree rijit yapılarda, özellikle zeminin bu örnekte olduğu gibi oldukça yumuşak olduğu durumlarda, zeminle etkileşen yapılara uygulanan optimal kontrol kuvveti, ankastre mesnetli sistemlere uygulanan optimal kontrol kuvvetinden belirli ölçüde farklıdır. Sistemin serbest titreşim periyodu büyüdükçe ankastre mesnetli ve zeminle etkileşen sistem için uygulanan optimal kontrol kuvvetinin zamanla değişimi birbirine yaklaşmaktadır. Optimal olarak kontrol edilen ve kontrol edilmeyen sistemin üstyapı yerdeğiştirmeleri ve maksimum değerleri Şekil 8 de verilmiştir. Şekil 8 den görüldüğü gibi T n =.2 s ve.5 s olduğunda zeminle etkileşen kontrol kuvveti uygulanmış ve kontrol kuvveti uygulanmamış sistemlerin yerdeğiştirmeleri benzer değere sahip olurken, söz konusu yerdeğiştirmeler arasındaki fark T n = 1. s olduğunda.62 m; T n = 3. s olduğunda.138 m; T n = 5. s olduğunda.65 m olarak hesaplanmıştır. Oransal olarak bakıldığında kontrol kuvveti uygulanmamış ve kontrol kuvveti uygulanmış sistemlerin yerdeğiştirmelerinin oranı T n =.2 s ve.5 s için 1.; T n = 1. s için 1.63; T n = 3. s için 2.53; T n = 5. s için 1.63 şeklindedir. Dolayısıyla zeminle etkileşen göree rijit sistemlere optimal kontrol kuvveti uygulanarak elde edilen kazanç önemli mertebede değildir; sistemin serbest titreşim periyodu orta periyoda (3. s ivarı) yaklaştıkça elde edilen kazanç daha belirgin hale gelmektedir; uzun periyot (5. s ivarı) söz konusu olduğunda ise elde edilen kazanç tekrar göreeli olarak azalmaktadır. 6593
Elastik Zeminle Dinamik Olarak Etkileşen Tek Serbestlik Dereeli T =.2 s Kontrol kuvveti (kn) 76.6826 (ankastre) 5 56.7145 (YZE) -5 1 2 3 4 5 6 Zaman (sn) (s) T =.5 s Kontrol kuvveti (kn) Kontrol kuvveti (kn) Kontrol kuvveti (kn) Kontrol kuvveti (kn) 2-2 334.623 (YZE) 359.466 (ankastre) -4 1 2 3 4 5 6 7 8 Zaman (sn) (s) 4 432.635 (ankastre) 413.1751 (YZE) 2-2 T = 1 s -4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 (sn) 2-2 2-2 T = 3 s 284.3258 (ankastre) 283.949 (YZE) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Zaman (sn) (s) T = 5 s 292.384 (ankastre) 291.9185 (YZE) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Zaman (sn) Ankastre Kontrollü YZE Kontrolsüz Şekil 7: Zeminle etkileşen tek serbestlik dereeli sisteme uygulanan optimal kontrol kuvveti 6594
Ali Ruzi ÖZUYGUR, A. Nemettin GÜNDÜZ T =.2 s Yerdeğiştirme (m).5.71373.71326 -.5 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 T =.5 s Yerdeğiştirme (m).5 -.5.81818.72849 -.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Yerdeğiştirme (m).2.1 -.1 T = 1 s.1646.99572 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 T = 3 s Yerdeğiştirme (m).2.22817.1 -.1 -.2.9192 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 Yerdeğiştirme (m) T = 5 s.2.1689.1 -.1.1326 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 Kontrollü Kontrolsüz Şekil 8: Zeminle etkileşen optimal kontrollü ve kontrolsüz sistemin üstyapı yerdeğiştirmesi 6595
Elastik Zeminle Dinamik Olarak Etkileşen Tek Serbestlik Dereeli Performans indeksi (knm) 15 x 14 1 5 T =.2 s Ankastre YZE 5 1 15 2 25 3 Performans indeksi (knm) Performans indeksi (knm) Performans indeksi (knm) Performans indeksi (knm) 4 x 14 3 2 T =.5 s 1 Ankastre YZE 5 1 15 2 25 3 2.5 x 14 T = 1 s 2 1.5 1.5 Ankastre YZE 5 1 15 2 25 3 T = 3 s 15 1 5 Ankastre YZE 5 1 15 2 25 3 T = 5 s 15 1 5 Ankastre YZE 5 1 15 2 25 3 Şekil 9: Ankastre ve zeminle etkileşen optimal kontrollü sistemin performans indeksi 6596
Ali Ruzi ÖZUYGUR, A. Nemettin GÜNDÜZ Şekil 9 da ise J performans indeksinin zamanla değişimi, yukarıda tanımlanan beş ayrı tek serbestlik dereeli yapı sistemi için T n doğal periyoduna bağlı olarak yapı-zemin etkileşiminin söz konusu olması ve olmaması durumları için ayrı ayrı verilmiştir. Performans indeksinin integrandı pozitif olduğu için performans indeksi zamanla monoton artan fonksiyonlar olarak elde edilmiştir. Bu şeklin inelenmesinden de kolaylıkla görülebileeği üzere, elastik yapı zemine göre yumuşadıkça performans indeksi azalmakta ve yapı-zemin etkileşiminin göz önünde tutulması ve tutulmaması durumlarında performans indeksinde ortaya çıkan fark da azalmaktadır. 6. SONUÇLAR Bu çalışmada zeminle etkileşen yapıların deprem sırasında optimal olarak kontrol edilebilmesi için gereken kontrol kuvvetlerinin belirlenmesinde kullanılabileek iki adımlı ardışık yaklaşıma dayanan sayısal bir algoritma geliştirilmiş ve geliştirilen algoritmanın yeteri kadar doğruluğu Smith ve Wu tarafından yapılan çalışmayla sayısal olarak karşılaştırarak gösterilmiştir. Ayrıa bir adet sayısal uygulama yapılmıştır. Yapılan hesaplamalarda 194 El-Centro depremi ivme kaydı kullanılmıştır. Bu deprem yer hareketi için yapı zemine göre yumuşadıkça yapının optimal olarak kontrol edilebilmesi için gereken kontrol kuvvetleri, yapı-zemin dinamik etkileşimi etkileri düşük düzeyde kalaağı için rijit zemine mesnetlendirilmiş sistem için belirlenmiş kontrol kuvvetlerine yakın değerler almaktadır. Yerdeğiştirmeler karşılaştırıldığında ise yapı zemine göre yumuşadıkça yerdeğiştirmelerin kontrolünde çok daha fazla kazanç sağlandığı görülmektedir. Semboller : sistemin sönümü 1 2 F F k G h I I J k k 1 : temel ötelenmesine ait sönüm katsayısı : temel dönmesine ait sönüm katsayısı : optimal kontrol kuvveti : ayrıklaştırılmış kontrol kuvveti : zeminin kayma modülü : yapı yüksekliği : üstyapı kütlesinin kütlesel atalet momenti : temel plağının kütlesel atalet momenti : amaç fonksiyonu : sistemin rijitliği : temel ötelenmesine ait rijitlik katsayısı 6597
Elastik Zeminle Dinamik Olarak Etkileşen Tek Serbestlik Dereeli k 2 : temel dönmesine ait rijitlik katsayısı k ( ) yy : zeminin frekansa bağlı yanal empedans katsayısı k ( ) : zeminin frekansa bağlı dönel empedans katsayısı L m m M P P Q R T n u u u u ge u gk u u z λ k : Lagrange formülasyonu indeksi : sistemin kütlesi : temel plağının kütlesi : temel-zemin sisteminin etkileşim momenti : Riati Matrisi : temel-zemin sisteminin yanal etkileşim kuvvetini : kontrol ağırlık matrisi : kontrol ağırlık katsayısı : sistemin doğal titreşim periyodu : sistemin göreli yerdeğiştirmesi : sistemin göreli hızı : sistemin göreli ivmesi : yer hareketi ivmesi : ayrıklaştırılmış deprem yer hareketi ivmesi : temel plağının yanal yerdeğiştirmesi : temel plağının yanal ivmesi : durum vektörü : kontrol parametresi : sönüm oranı : Lagrange çarpanı : zeminin Poisson oranı : temel plağının dönmesi : temel plağının dönel ivmesi : zeminin kütlesel yoğunluğu 6598
Ali Ruzi ÖZUYGUR, A. Nemettin GÜNDÜZ Kaynaklar [1] Wong, H. L., Luo, J. E., Ative ontrol of the seismi response of strutures in the presene of soil-struture interation effets, Pro. U.S. National Workshop on Strutural Control Researh, University of Southern California, Los Angeles, CA, 231-235, 25-26 Otober, 199. [2] Wong, H. L., Luo, J. E., Strutural ontrol inluding soil-struture interation effets, Journal of Engineering Mehanis, ASCE, 1, 2237 225, 1991. [3] Sato, T., Toki, K., Matsushima, H., Optimal ontrol of strutures taking into aount the dynami soil-struture interation, Colloquium on Control of Strutures, Tokyo, 257-263 (in Japanese), July, 1991. [4] Wong, H. L., Luo, J. E., Effets of soil-struture interation on the seismi response of strutures subjeted to ative ontrol, Pro. 1th World Conf. on Earthquake Engineering, Madrid, Spain, 2137 2142, 1992. [5] Sato, T., Toki, K., Preditive ontrol of seismi response of strutures taking into aount the soil-struture interation, Pro. 1st European Conf. on Smart Strutures and Materials, Glasgow, Sotland, 245 25, 1992. [6] Alam, S. M. S., Baba, S., A robust ative optimal ontrol sheme inluding soilstruture interation, Journal of Strutural Engineering, ASCE, 119, 2533 2551, 1993. [7] Smith, H. A., Wu, W. H., Borja, R. I., Ative strutural ontrol with soil-struture interation effets, Pro. U.S. - Italy - Japan workshop/symposium on strutural ontrol and intelligent systems, Sorrento, Italy, 24-218, 1992. [8] Smith, H. A., Wu, W. H., Borja, R. I., Strutural ontrol onsidering soil-struture interation effets, Earthquake Engineering and Strutural Dynamis, 23, 69 626, 1994. [9] Wu, W. H., Smith, H. A., Optimal strutural ontrol onsidering soil-struture interation effets, Report No. JABEEC 112, John A. Blume Earthquake Engineering Center, Stanford University, CA., 1994. [1] Wu, W. H., Smith, H. A., Comparison of SSI effets on externally and internally ontrolled systems, Smart Materials of Strutures, 4, A158 - A168, 1995. [11] Luo, J. E., A simple model for strutural ontrol inluding soil-struture interation effets, Earthquake Engineering and Strutural Dynamis, Vol. 27, 225 242, 1998. [12] Hart, G. C., Wong, K., Strutural Dynamis for Strutural Engineers, John Wiley & Sons, In., NY., 2. [13] Soong, T. T., Ative Strutural Control: Theory and Pratie, Longman Sientifi and Tehnial, New York, NY., 199. [14] Wolf, J. P., Dynami Soil-Struture Interation, Prentie-Hall, In., Englewood Cliffs, NJ., 1985. 6599
Elastik Zeminle Dinamik Olarak Etkileşen Tek Serbestlik Dereeli [15] Wu, W. H., Smith, H. A., Effiient modal analysis for strutures with soil-struture interation, Earthquake Engineering and Strutural Dynamis, Vol. 24, 283-299, 1995. [16] Çelebi, E., Gündüz, A. N., An Effiient Seismi Analysis Proedure for Torsionally Coupled Multistory Buildings Inluding Soil-Struture Interation, Turkish Journal of Engineering and Environmental Sienes, Vol. 29, 143-157, 25. [17] Clough, R. W., Penzien, J., Dynamis of Strutures, Computers & Strutures, In., Berkeley, CA., 23. [18] Veletsos, A. S., Wei, Y. T., Lateral and roking vibrations of footings, Journal of the Soil Mehanis and Foundation Division, ASCE, 97(9), 1227-1248, 1971. [19] Smith, H. A., Wu, W. H., Effetive optimal strutural ontrol of soil-struture interation systems, Earthquake Engineering and Strutural Dynamis, Vol. 26, 549-57, 1997. 66