Kenan Osmanoğlu / Kerem Köker KPSS Matematik Konu Anlatımlı ISBN 97860518091 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz. Bu kitapta yer alan geçmiş yıllarda ÖSYM'nin yapmış olduğu sınavlardaki ÇIKMIŞ SORULAR'ın her hakkı ÖSYM'ye aittir. Hangi amaçla olursa olsun, tamamının veya bir kısmının kopya edilmesi, fotoğraflarının çekilmesi, herhangi bir yolla çoğaltılması ya da kullanılması, yayımlanması ÖSYM'nin yazılı izni olmadan yapılamaz. Pegem Akademi Yayıncılık telif ücreti ödeyerek bu izni almıştır. 7. Baskı: Temmuz 015, Ankara YayınProje Yönetmeni: Ayşegül Eroğlu DizgiGrafik Tasarım: Gülnur Öcalan Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı Baskı: Ayrıntı Basım Yayın ve Matbaacılık Ltd. Şti İvedik Organize Sanayi 8. Cadde 770. Sokak No: 105/A Yenimahalle/ANKARA Yayıncı Sertifika No: 14749 Matbaa Sertifika No: 1987 İletişim Karanfil Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA Yayınevi: 01 40 67 50 40 67 51 Yayınevi Belgeç: 01 45 44 60 Dağıtım: 01 44 54 4 44 54 08 Dağıtım Belgeç: 01 41 7 8 Hazırlık Kursları: 01 419 05 60 İnternet: www.pegem.net Eileti: pegem@pegem.net
SUNU Değerli Adaylar; Bu kitap Kamu Personeli Seçme Sınavı (KPSS) Genel Yetenek Testinde önemli bir yer tutan Matematik kapsamındaki 6 veya 7 soruyu etkili bir şekilde çözebilmeniz amacıyla hazırlanmıştır. Kitap, sorulmuş ve sorulması olası soruların titizlikle incelenmesiyle meydana getirilmiş olup; MATEMATİK Temel Kavramlar, Sayılar, BölmeBölünebilme Kuralları, Asal Çarpanlara Ayırma EBOB EKOK, Birinci Dereceden Denklemler, Rasyonel Sayılar, Üslü Sayılar, Köklü Sayılar, Çarpanlara Ayırma, Eşitsizlik Mutlak Değer, Oran Orantı, Problemler, Kümeler, İşlem Modüler Aritmetik, Permütasyon Kombinasyon Olasılık Tablo ve Grafikler Sayısal Mantık bölümlerinden oluşmaktadır. Kitapta; bölümlerin sınav formatına uygun ve soru çözümünü kolaylaştıracak bir şekilde ele alınmasına ve bilgilerin açık ve anlaşılır bir dille ifade edilmesine özen gösterilmiştir. Her ünitenin sonunda, çıkmış sorular çözümlü testler ve cevaplı testlere; yer verilmiştir. Bu kitabın hazırlanmasında yardım, destek ve katkılarını esirgemeyen Pegem Akademi Sınav Komisyonuna, PEGEM AKADEMİ yayınevi ve dershanesi çalışanlarına ve öğrencilerine teşekkürü bir borç biliriz. Bu kitap, uzun bir birikimin ve yoğun bir emeğin ürünüdür. Kitapla ilgili görüş ve önerileriniz bu ürünün niteliğini daha da arttıracaktır. Değerli görüş ve önerilerinizi lütfen bizimle pegem@pegem.net aracılığıyla paylaşınız. Kitabın çalışmalarınızda yararlı olması dileğiyle, KPSS de ve meslek hayatınızda başarılar. Kenan Osmanoğlu Kerem Köker
İÇİNDEKİLER 1. BÖLÜM TEMEL KAVRAMLAR... Küme... Kümenin Elemanı ve Eleman Sayısı... Kümelerin Gösterilişi... Boş Küme... Sayı Kümeleri... Tek Çift Tamsayılar...4 Tam Sayılarda İşlemler...4 İşlem Önceliği...6 Rasyonel Sayılar...6 Rasyonel Sayılarda İşlemler...6 Harfli İfadeler...8 Denklemler...9 Çözüm Kümesi Bulma...9 Birinci Dereceden İki Bilinmiyenli Denklemler...10 İkili...10 Sıralama...10 Eşitsizlik...11 Oran Orantı...11 Ortak Paranteze Alma...1 Çözümlü Test 1...1 Cevaplı Test 1...17 Cevaplı Test...19. BÖLÜM SAYILAR... Sayı Kümeleri... Doğal Sayılar... Tam Sayılar...6 Tek ve Çift Tam Sayılar...7 Pozitif ve Negatif Sayılar...9 Ardışık Sayılar...1 Asal Sayı...6 Aralarında Asal Sayılar...6 Basamak Analizi...7 Çözümleme...4 Faktöriyel...44 Sayma Sistemleri...47 Çözümlü Test 1...54 Çözümlü Test...58 Çözümlü Test...6 Cevaplı Test 1...66 Cevaplı Test...68 Cevaplı Test...70 Cevaplı Test 4...7 Cevaplı Test 5...74 Cevaplı Test 6...76 Çıkmış Sorular...78. BÖLÜM BÖLME BÖLÜNEBİLME KURALLARI...8 Bölme...8 Bölünebilme Kuralları...86 ile Bölünebilme...86 ile Bölünebilme...86 4 ile Bölünebilme...87 5 ile Bölünebilme...88 7 ile Bölünebilme...89 8 ile Bölünebilme...89 9 ile Bölünebilme...89 10 ile Bölünebilme...91 11 ile Bölünebilme...91 Çözümlü Test...9 Cevaplı Test 1...97 Cevaplı Test...99 Çıkmış Sorular...101 4. BÖLÜM ASAL ÇARPANLARA AYIRMA EBOB EKOK...104 Asal Çarpanlara Ayırma...104 Bir Tam Sayının Bölenleri...105 Bir Tam Sayının Bölenleri Toplamı...107 En Büyük Ortak Bölen (EBOB)...108 En Küçük Ortak Kat (EKOK)...111 Çözümlü Test...116 Cevaplı Test 1...10 Cevaplı Test...1 Cevaplı Test...14 Çıkmış Sorular...16 5. BÖLÜM BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER...18 Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler...18 Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler...11 Denklem Sistemi...11 Yok Etme Metodu...11 Yerine Koyma Metodu...1 Özel Denklemler...1 Çözümlü Test...16 Cevaplı Test 1...140 Cevaplı Test...14 Çıkmış Sorular...144
vi 6. BÖLÜM RASYONEL SAYILAR...146 Kesir ve Kesir Türleri...146 Kesir...146 Basit Kesir...146 Bileşik Kesir...146 Tam Sayılı Kesir...147 Sabit Kesir...148 Denk Kesir...148 Rasyonel Sayılarda Dört İşlem...149 Toplama İşlemi...149 Çıkarma İşlemi...150 Çarpma İşlemi...150 Bölme İşlemi...150 Kuvvet Alma...150 İşlem Önceliği...151 Ondalık Kesir...154 Ondalık Sayılarda Dört İşlem...155 Devirli Ondalık Açılımlar...157 Rasyonel Sayılarda Sıralama...158 İki Rasyonel Sayı Arasındaki Sayıları Yazma...160 Çözümlü Test 1...161 Çözümlü Test...165 Cevaplı Test 1...169 Cevaplı Test...171 Çıkmış Sorular...17 7. BÖLÜM EŞİTSİZLİK MUTLAK DEĞER...176 Basit Eşitsizlikler...176 Özellikleri...176 Reel (Gerçel) Sayı Aralıkları...179 Kapalı Aralık...179 Yarı Açık Aralık...179 Açık Aralık...180 Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler...180 Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi...181 Mutlak Değer...18 Özellikleri...185 Çözümlü Test 1...189 Çözümlü Test...19 Cevaplı Test 1...197 Cevaplı Test...199 Cevaplı Test...01 Çıkmış Sorular...0 8. BÖLÜM ÜSLÜ SAYILAR...06 Özellikleri...06 Üslü Sayılarda Dört İşlem...09 Toplama Çıkarma...09 Çarpma...10 Bölme...1 Çözümlü Test 1...15 Çözümlü Test...19 Cevaplı Test 1... Cevaplı Test...5 Çıkmış Sorular...7 9. BÖLÜM KÖKLÜ SAYILAR...0 Köklü Sayıların Özellikleri...0 Köklü Sayılarda Dört İşlem...4 ToplamaÇıkarma...4 Çarpma...5 Bölme...6 Kök Dışındaki Bir Sayının Kök İçine Alınması...8 Eşlenik...9 İç İçe Sonlu Kökler...41 İç İçe Sonsuz Kökler...4 A B Ifadesinin Kök Dışına Çıkarılması...44 Köklü Sayılarda Sıralama...46 Köklü Sayılarda Denklem Çözme...47 Çözümlü Test 1...48 Cevaplı Test 1...5 Cevaplı Test...54 Çıkmış Sorular...56 10. BÖLÜM ÇARPANLARA AYIRMA...60 Ortak Parantez Yöntemi...60 Gruplandırma Yöntemi...60 ax +bx+c ifadesinin Çarpanlara Ayrılması...61 Özdeşlikler...6 İki Kare Farkı...6 Tam Kare İfadeler...65 III. Dereceden Özdeşlikler...68 Çözümlü Test 1...70 Çözümlü Test...74 Cevaplı Test 1...78 Cevaplı Test...80 Çıkmış Sorular...8 11. BÖLÜM ORAN ORANTI...86 Oran...86 Orantı...86 Orantının Özellikleri...86 Orantı Türleri...88 Doğru Orantı...88 Ters Orantılı Çokluklar...90 Bileşik Orantı...91 Ortalamalar...9 Aritmetik Ortalama...9 Geometrik Ortalama...9 Çözümlü Test 1...95 Çözümlü Test...99 Cevaplı Test 1...0 Cevaplı Test...05 Çıkmış Sorular...07
vii 1. BÖLÜM PROBLEMLER...10 Denklem Kurma Problemleri...10 Yaş Problemleri...16 Yüzde Problemleri...19 Faiz Problemleri...1 Kâr Zarar Problemleri... Karışım Problemleri...5 İşçi Problemleri...8 Havuz Problemleri...0 Hareket Problemleri...1 Çözümlü Test 1...7 Çözümlü Test...41 Çözümlü Test...45 Çözümlü Test 4...49 Çözümlü Test 5...5 Çözümlü Test 6...57 Çözümlü Test 7...61 Çözümlü Test 8...65 Çözümlü Test 9...69 Cevaplı Test 1...7 Cevaplı Test...75 Cevaplı Test...77 Cevaplı Test 4...79 Cevaplı Test 5...81 Cevaplı Test 6...8 Cevaplı Test 7...85 Cevaplı Test 8...87 Çıkmış Sorular...89 1. BÖLÜM KÜMELER...98 Küme...98 Kümelerin Elemanı ve Eleman Sayısı...98 Kümelerin Gösterimi...98 Küme Çeşitleri...99 Kümelerde İşlemler...400 Alt Küme...40 Küme Problemleri...405 Çözümlü Test...407 Cevaplı Test...411 Çıkmış Sorular...41 14. BÖLÜM FONKSİYONİŞLEMMODÜLER ARİTMETİK...416 Bağıntı...416 Fonksiyon...416 İşlem...417 İşlem Tabloları...419 İşlemin Özellikleri...419 Modüler Aritmetik...4 Modüler Aritmetiğin Özellikleri...44 Modüler Aritmetikte Denklem Çözümü...48 Çözümlü Test 1...49 Çözümlü Test...4 Cevaplı Test 1...47 Cevaplı Test...49 Çıkmış Sorular...441 15. BÖLÜM PERMÜTASYON KOMBİNASYON OLASILIK...444 Saymanın Temel Kuralları...444 Toplama Kuralı...444 Çarpma Yolu ile Sayma...444 Saymanın Temel İlkesi...444 Permütasyon (Sıralama)...446 Tekrarlı Permütasyon...447 Dairesel Permütasyon...448 Kombinasyon (Gruplama)...449 Olasılık...454 Olasılık Fonksiyonu...454 Olasılık Hesabı...455 Koşullu Olasılık...459 Bağımsız ve Bağımlı Olasılık...460 Çözümlü Test 1...461 Çözümlü Test...465 Çözümlü Test...469 Cevaplı Test 1...47 Cevaplı Test...475 Çıkmış Sorular...477 16. BÖLÜM TABLO VE GRAFİKLER...480 Tablo ve Yorumlama...480 Grafik ve Yorumlama...484 Çizgi Grafik...484 Sütun Grafiği...486 Daire Grafiği...486 Çözümlü Test 1...489 Çözümlü Test...49 Cevaplı Test 1...496 Cevaplı Test...499 Çıkmış Sorular...501 17. BÖLÜM SAYISAL MANTIK PROBLEMLERİ...508 Sayı Örüntüleri...508 Sayı Dizileri...511 Tablo ve Şekil Soruları...51 Akıl Yürütme ve Mantık Soruları...5 Görsel Yetenek...50 Çözümlü Test...56 Cevaplı Test 1...547 Cevaplı Test...549 Cevaplı Test...551 Çıkmış Sorular...55
015 PEGEM AKADEMİ YAYINLARINDA YER ALAN 015 KPSS BENZER SORULAR 6 5 4 5 1. : c : m işleminin sonucu kaçtır? 5 6 A) 1 B) 6 C) 6 D) 1 E) 4 Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 169 / 5. soru 5. 10! 9! 8! + 7! işleminin sonucu kaçtır? A) 64 B) 65 C) 68 D) 70 E) 7 Modüler Soru Bankası Sayfa 117 / Soru 4 1. d1 + n işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B) 1 C) 1 D) E) 5 Genel Yetenek Genel Kültür Yaprak Test Test 1 / Soru 1 6. a b 8 c x 6 8 + 5 6 8 Yanda verilen çarpma işleminde ab ile 8c iki basamaklı doğal sayılardır. Buna göre, a + b + c toplamı kaçtır?. 9 9 94 A) 17 B) 18 C) 19 D) 0 E) 1 Modüler Soru Bankası Sayfa 64 / Soru 16 işleminin sonucu kaçtır? 1 1 1 A) B) C) 4 D) 5 1 E) 6 1 Modüler Soru Bankası Sayfa 174 / Soru 17 4. 1! 4 $ 10! 10! + 5$ 9! işleminin sonucu kaçtır? A) 84 B) 7 C) 70 D) 64 E) 60 Genel Yetenek Genel Kültür Türkiye Geneli 19. soru 7. x y z Yanda verilen çarpma işlemine göre, x K + L + M toplamı kaçtır? + 1 1 5 8 K L L K M A) 11 B) 1 C) 1 D) 14 E) 15 Genel Yetenek Genel Kültür Yaprak Test Test 6 / Soru 5 1
015 PEGEM AKADEMİ YAYINLARINDA YER ALAN 015 KPSS BENZER SORULAR 8. x < 0 < y olmak üzere, x y + x y ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) x B) y C) y D) y E) x Genel Yetenek Genel Kültür Yaprak Test Test 15 / Soru 1 1. x + 1 x + 4 e o = e o olduğuna göre, x kaçtır? 1 1 A) B) 1 C) D) 5 E) 1 Modüler Soru Bankası Sayfa 177 / Soru 6 9. y < 0 < x < olmak üzere, y 1 + x 5 + y + x işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) x+ y 1 B) x+ C) y D) x+ y+ 1 E) x y+ Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 19 /. soru 1. x 1 = 4 5 olduğuna göre, x kaçtır? 10. x y 0 olduğuna göre, x + x y y+ x ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) x B) y x C) y + x D) y E) y x Genel Yetenek Genel Kültür Türkiye Geneli 14. soru A) B) C) 4 D) E) 5000 Genel Yetenek Genel Kültür Soru Bankası Sayfa 179 / Soru 8 11. x < y olmak üzere, I. x+ z 1 y+ z II. x 1 y III. 1 1 x y ifadelerinden hangileri daima doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III Genel Yetenek Genel Kültür Yaprak Test Test 14 / Soru 14. Gerçel sayılar kümesi üzerinde bir f fonksiyonu x x f = + x + 15 9 Buna göre, f(a) = 6 ise a kaçtır? A) 4 B) C) D) E) 5000 Genel Yetenek Genel Kültür Soru Bankası Sayfa 1 / Soru 1
015 PEGEM AKADEMİ YAYINLARINDA YER ALAN 015 KPSS BENZER SORULAR 15. A 100m B 18. 0. soruları aşağıdaki bilgilere göre birbirinden bağımsız olarak cevaplayınız. A dan dakikadaki hızı 10 metre olan hareketli, B den dakikadaki hızı 0 metre olan bir kuş aynı anda karşılıklı olarak harekete başlıyor. Kuş hareketliyle karşılaşıp, tekrar B ye dönüyor ve hiç durmadan tekrar A dan hareket eden hareketliye doğru uçuyor ve karşılaşınca durmadan tekrar B ye dönüyor. Kuş bu hareketine A dan hareket eden hareketli B ye varıncaya kadar devam ettiğine göre, bu süre içinde kuş toplam kaç metre yol almıştır? A) 400 B) 960 C) 840 D) 40 E) 040 Pamuk 74 100 Diğer Naranciye Mısır 60 Buğday 100 70 Greyfurt 150 Naranciye 40 Limon Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 88 / 0. soru Bir bölgedeki tarım arazisinin ne kadarının hangi ürün için kullanıldığını gösteren daire grafik aşağıdadır. Narenciye ürünlerinin çeşitlerini göstermek için ayrıca başka bir daire grafik çizilmiştir. 18. Bu bölgedeki pamuk, narenciye, buğday ve mısır dışında kalan diğer ürünler için kullanılan arazi tüm ürünler için kullanılan arazinin yüzde kaçıdır? 16. Bir sınıftaki 0 öğrencinin 1. sınav sonuçlarının ortalaması 4,5 dir.. sınavda 4 öğrenci notunu puan, 8 öğrenci 1 puan yükseltirken diğerleri 1,5 puan düşürmektedir. Buna göre, son sınavın ortalaması kaçtır? A) 6 B) 8 C) 10 D) 1 E) 15 A) 5 B) 4,9 C) 4,8 D) 4,7 E) 4,6 Lisans Mezunları İçin Konu Anlatımlı Kitap Sayfa 06 / 14. soru 19. Bu bölgede mandalina için kulanılan arazi 00 dönümse mısır için kullanılan arazi kaç dönümdür? A) 900 B) 840 C) 800 D) 70 E) 648 17. A torbasında 5 beyaz ve 7 kırmızı, B torbasında 10 beyaz ve 5 kırmızı top vardır. A ve B torbalarından sırasıyla birer top çekildiğinde iki topun renginin aynı olma olasılığı kaçtır? A) 4 9 B) 17 6 C) 1 D) 5 9 E) 7 1 5000 Genel Yetenek Genel Kültür Soru Bankası Sayfa / Soru 18 0. Bu bölgede greyfurt için kullanılan arazi limon için kullanılan araziden 150 dönüm fazlaysa buğday için kullanılan arazi kaç dönümdür? A) 1000 B) 1080 C) 1100 D) 110 E) 1150 Modüler Soru Bankası Sayfa 410 / Soru 79
015 PEGEM AKADEMİ YAYINLARINDA YER ALAN 015 KPSS BENZER SORULAR 1.. soruları aşağıdaki bilgilere göre birbirinden bağımsız olarak cevaplayınız. B E D 50 75 75 60 A A 5 C 5 10 80 80 45 A 4 A 1 I. Grafik II. Grafik I. grafik beş farklı otomobil firmasının yıl içerisindeki satış sayısının sayısal dağılımını göstermektedir. A A. C markasının satış sayısının 5 'i, D markasının satış sayısının 1 'ü yerine, B markası satılmış olsaydı B markalı otomobilin bu beş marka içindeki satış yüzdesi kaç olurdu? A) 10 B) 15 C) 18 D) 0 E) 5 Genel Yetenek Genel Kültür Türkiye Geneli 19 Soru 5 E D 50 75 75 60 A A 5 C 5 10 80 80 45 B A 4 A 1 A A I. Grafik II. Grafik II. grafik ise A markalı otomobil firmasının beş farklı modeline ait satış sayılarının dağılımı göstermektedir. 4. A(, 1) noktasının x 4y + = 0 doğrusuna göre simetriği B olduğuna göre, AB kaç birimdir? A) 1 B) C) D) 5 E) 5 5000 Genel Yetenek Genel Kültür Soru Bankası Sayfa 86 / Soru 9 1. Yıl içinde A 1 modelinden 450 adet satıldığına göre, C marka otomobilden kaç adet satılmıştır? A) 560 B) 600 C) 610 D) 60 E) 700. A 5 modeli A modelinden 80 adet fazla satıldığına göre, B marka otomobilden kaç adet satılmıştır? A) 840 B) 900 C) 960 D) 1080 E) 110 5. ABCD dikdörtgen, 6AC@ + 6DE@ = " F,, A 0 D AD = 0 cm, DC = 15 cm ve 15 EC = 5 cm'dir. F Yukarıdaki verilenlere T göre, AADF ^ h kaç cm dir? B E 5 C A) 10 B) 100 C) 90 D) 80 E) 60 Geometri Yaprak Test 1 / Soru 8 4
TEMEL KAVRAMLAR KÜME Yıllara Göre Çıkmış Soru Analizleri KÜMENİN ELEMANI VE ELEMAN SAYISI KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ BOŞ KÜME 005 006 SAYI KÜMELERİ TEK ÇİFT TAMSAYILAR TAM SAYILARDA İŞLEMLER 007 008 İŞLEM ÖNCELİĞİ RASYONEL SAYILAR RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER DENKLEMLER ÇÖZÜM KÜMESI BULMA İKİLİ 009 010 011 SIRALAMA EŞİTSİZLİK ORAN ORANTI ORTAK PARANTEZE ALMA 01 01 015 014 Eksi çarpı eksi, artı edecek, böyle yazılacak, böyle bilinecek, kimse neden? demeyecek. John Von Neumann
TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde yer verdiğimiz başlıkların bir kısmı KPSS de direkt olarak sorulan konulara dair değildir. Buradaki amacımız diğer konuların daha iyi anlaşılabilmesi için bazı temel bilgileri hatırlatmak ve işlem yeteneğinin gelişmesini sağlamaktır. Değindiğimiz konuların bir kısmı ilerleyen bölümlerde daha detaylı bir şekilde işlenecektir. Bu bölüm daha çok sözel bölümlerden mezun olan arkadaşlarımıza yönelik hazırlanmıştır. KÜME Net olarak tanımlanmış canlı veya cansız varlıkların oluşturduğu topluluğa küme denir. Kümeler A, B, C, D, E, gibi büyük harflerle isimlendirilir. Pegem kelimesinin harfleri bir küme oluşturur Haftanın bazı günleri cümlesi bir küme oluşturmaz. Çünkü kümeyi oluşturacak günler net olarak söylenmemiştir. KÜMENİN ELEMANI VE ELEMAN SAYISI Kümeyi oluşturan canlı ve cansız varlıklara kümenin elemanları denir. Kümenin elemanı olan nesneler! sembolü ile kümenin elemanı olmayan nesneler ise! sembolü ile gösterilir. Bir kümeyi oluşturan elemanların sayısına kümenin eleman sayısı denir ve s ( ) ile gösterilir. Kümeyi oluştururken ortak elemanlar bir kez yazılır. 1 sayısı A kümesinin elemanı ise 1 d A sayısı A kümesinin elemanı değil ise! A şeklinde gösterilir. KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ 1) Liste Yöntemi Kümenin elemanlarının aralarına, konarak { } parantezi içine yazılmasına kümelerin liste biçiminde gösterilişi denir. Liste yönteminde virgülle ayrılan her nesne kümenin bir elemanıdır. A = " a, b, " c,," de,,, f, kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) E) Çözüm: A kümesinin elemanlarını yazacak olursak a! A, b! A, " c,! A, " de,,! Af,! A olmak üzere A kümesinin eleman sayısı 5 dir. Dolayısıyla sa ( ) = 5 bulunur. PEGEM kelimesinin harflerinin oluşturduğu kümenin eleman sayısı kaçtır? A) 5 B) 4 C) D) E) 1 Çözüm: PEGEM kelimesinin oluşturduğu küme A kümesi olsun. Küme yazılırken ortak olan elemanlar bir kez yazılacağından A = " P, EGM,,,olur. Dolayısıyla sa ( ) = 4 bulunur. A = " Kerem, kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 1 B) C) D) 4 E) 5 Çözüm: Liste yönteminde elemanlar virgüllerle ayrılır. Kümeyi inceleyecek olursak virgülle ayrılan eleman olmadığı için kümenin eleman sayısı sa ( ) = 1 bulunur. ) Ortak Özellik Yöntemi Kümenin elemanlarının taşıdıkları ortak özellikler belirtilerek { } parantezi içine yazılmasına kümenin ortak özellik yöntemi ile gösterilişi denir. Yüzden küçük doğal sayıların kümesi A = " xlx 1 100, x! N, şeklinde gösterilir.
) Venn Şeması Kümenin elemanlarının yanlarına. konarak kapalı bir şeklin içine yazılmasına kümenin venn şeması ile gösterilişi denir. A = " a, bcd,,,kümesini venn şeması ile gösterilişi şekildeki gibidir. A a BOŞ KÜME b c d Elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme Q veya { } sembolleri ile gösterilir. Yılın S harfi ile başlayan ayları cümlesinin oluşturduğu küme boş kümedir Not Bir kümenin elemanlarının yerlerinin değişmesi kümeyi değiştirmez. Yani kümenin elemanları farklı şekillerde sıralanabilir. A = " a, bc,, kümesinin elemanlarının yerleri değiştirilirse A kümesi değişmez. A = " a, bc,, = " bac,,, = " c, ab,, gibi RAKAM: 0, 1,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9 gibi tek haneli sembollere rakam denir. SAYI: Rakamların tek başlarına veya bir çokluk oluşturacak şekilde bir araya gelmesiyle oluşan ifadelere sayı denir. hem rakam hem de bir sayıdır. 16 iki rakamdan oluşan bir sayıdır. 48 üç rakamdan oluşan bir sayıdır. 7415 dört rakamdan oluşan negatif bir sayıdır. SAYI KÜMELERİ 1) Sayma Sayıları Kümesi " 1,,,..., kümesine sayma sayıları kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir sayma sayısı denir. Sayma sayıları kümesi " N + " ile gösterilir. ) Doğal Sayılar Kümesi " 01,,,,..., kümesine doğal sayılar kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir doğal sayı denir. Doğal sayılar kümesi "IN" sembolü ile gösterilir ) Tam Sayılar Kümesi "...,,,1, 01,,,..., kümesine tam sayılar kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir tam sayı denir. Tam sayılar kümesi Z sembolü ile gösterilir. Tam sayılar kümesi üç kümenin birleşimi olarak ifade edilir. Bu alt kümeleri inceleyecek olursak; a) Negatif Tam Sayılar Kümesi Sıfırdan küçük (sayı doğrusu üzerinde sıfırın solunda olan) sayılara negatif tam sayılar bu sayıların oluşturduğu kümeye negatif tam sayılar kümesi denir. Negatif tam sayılar kümesi " Z " ile gösterilir. Z = "...,,, 1, dir. Negatif tam sayılar sıfıra yaklaştıkça büyürler. Dolayısıyla en büyük negatif tam sayı " 1 " dir. b) Pozitif Tam Sayılar Kümesi Sıfırdan büyük (sayı doğrusu üzerinde sıfırın sağında olan) sayılara pozitif tam sayılar bu sayıların oluşturduğu kümeye pozitif tam sayılar kümesi denir. Pozitif tam sayılar kümesi " Z + " ile gösterilir. Z + = " 1,,,..., dir. Pozitif tam sayılar sıfıra yaklaştıkça küçülürler. Dolayısıyla en küçük pozitif tam sayı " 1 " dir. c) Sıfır bir tam sayıdır, fakat işaretsizdir. Yani pozitif ya da negatif tam sayı değildir. 4) Rasyonel Sayılar Kümesi a ve b birer tam sayı ve b! 0 olsun. İki tam sayının bölümü şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir. Rasyonel sayılar kümesi " Q " ile gösterilir. 17 6,,, 14, 1,... birer rasyonel sayıdır. 5 19 1
4 5) İrrasyonel Sayılar Kümesi Rasyonel olmayan sayılara yani iki tam sayının bölümü şeklinde yazılamayan sayılara irrasyonel sayılar denir. İrrasyonel sayılar kümesi Q ile gösterilir. 5, 5 7,,... birer irrasyonel sayıdır. 6) Reel (Gerçel, Gerçek) Sayılar Kümesi Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşim kümesine Reel sayılar kümesi denir. Reel sayılar kümesi " R " ile gösterilir. R = Q, Q ' şeklinde ifade edilir. TEK VE ÇİFT TAM SAYILAR a) Tek tam sayılar n bir tam sayı olmak üzere n 1 veya n + 1 şeklinde yazılabilen sayılara tek tam sayı denir. Tek tam sayılar kümesi "... 5,, 115,,,,...,şeklinde ifade edilir. b) Çift tam sayılar n bir tam sayı olmak üzere n şeklinde yazılabilen sayılara çift tam sayı denir. Çift tam sayılar kümesi "...4,, 04,,,..., şeklinde ifade edilebilir. TAM SAYILARDA İŞLEMLER Toplama işlemi a) Aynı işaretli sayıların toplanması İşaretleri aynı olan tam sayılar toplanırken önce sayı değerleri toplanır. Sonra toplama ortak olan işaret verilir. + 14 + 9 işleminde Sayılarının hepsi pozitif (+) olduğundan sayı değerleri toplanır. Toplamın işareti + olur. Buradan + 14 + 9 = 75 bulunur. 45 11 7 işleminde Sayıların hepsi negatif ( ) olduğundan sayı değerleri toplanır. Toplamın işareti " " olur. Buradan 45 11 7 = ( 45 + 11 + 7) = 19 bulunur. b) Zıt İşaretli Sayıların Toplanması İşareti farklı olan tam sayılar toplanırken sayı değeri büyük olandan sayı değeri küçük olan çıkarılır. Toplama, sayı değeri büyük olanın işareti verilir. 65 + 9 işleminde Sayıların biri () diğeri (+) işaretli olduğundan sayı değeri büyük olandan yani 9 den sayı değeri küçük olan yani 65 çıkarılır. Toplamın sonucu 9 65 olduğundan olur. Buradan 65 + 9 = 8 bulunur. 14 175 işleminde Sayılar zıt işaretli ve 175 14 olduğundan 175 den 14 çıkarılır. Toplama, 175 in işareti yani ( ) işareti verilir. Buradan 14 175 = 51 bulunur. Not Toplama işleminde sayıların yerlerini değiştirmek işlemin sonucunu değiştirmez. Yani a b = b+ a dr. ý 54 + 195 işleminde sayıların yerlerinin değişmesi işlemin sonucunu değiştirmez. Buradan 54 + 195 = 195 54 = 159 bulunur. Not İşlemde ters işaretli birkaç sayı varsa önce işareti aynı olanlar kendi aralarında toplanarak ifade düzenlenir. 6 7 + 86 118 işleminde iki tane pozitif ( + ), iki tane negatif ( ) sayı olduğundan önce bu sayılar kendi aralarında toplanarak işlem düzenlenir. Sonra bulunan zıt işaretli sayılar toplanır. 6 7 + 86 118 = 6+ 86 7 118 = 1 191 = 69 bulunur. Çıkarma İşlemi Tam sayılarda çıkarma işlemi yapılırken birinci sayı aynen yazılır. İkinci sayının işareti değiştirilerek sayılar toplanır. 48 19 = 48 + ( 19) = 9 76 = + ( 76) = 4 141 ( 14) = 141 + (14) = 55
5 Çarpma İşlemi Tam sayılarda çarpma işlemi yapılırken önce işaretler çarpılıp çarpımın işareti bulunur. Sonra sayı değerleri çarpılır. Aynı işaretli sayıların çarpımı daima pozitiftir. Yani ( + +=+ ) ( ) ( =+ ) ( ) Zıt işaretli sayıların çarpımı daima negatiftir. Yani ( += ) ( ) ( + = ) ( ) Uyarı! 84 1 ( 84) : (16) = = (pay ve payda 4 ile sadeleştirilirse) 16 4 100 0 (100) : ( 5) = = (pay ve payda 5 ile sadeleştirilirse) 5 7 Kuvvet Alma Tabanda yazılan sayı kuvveti (üssü) kadar yan yana yazılıp çarpılır. Yani a n sayısında a taban, n kuvvet olmak üzere a n = a a a a şeklinde yazılabilir. n tane Not Parantez dışındaki bir işlem parantez içerisine dağıtılırken işaretler çarpılır. (5) ( ) = 115 (1) (11) = 1 (18) (1) = 16 Bölme İşlemi Tam sayılarda bölme işlemi yapılırken önce işaretleri bölünüp bölümün işareti bulunur. Sonra sayı değerleri bölünür. Not Aynı işaretli sayıların bölümü daima pozitiftir. Yani ( + ) : ( + ) = + ():() = + Zıt işaretli sayıların bölümü daima negatiftir. Yani ():( + ) = ( + ):() = 4 sayısının değeri hesaplanırken tabandaki sayısı 4 kez yan yana yazılıp çarpılır. Buradan 4 = = 16 bulunur. 4 tan e () sayısının değeri hesaplanırken tabandaki sayısı kez yan yana yazılıp çarpılır. Buradan ( ) = ( ) ( ) ( ) =7 bulunur. tan e Not 1) Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir. ) Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir. 4 4 ( 5) = 5 = 5 5 5 5 = 65 7 7 ( ) = = = 18 ( 68) : (17) = 4 (10) : (1) = 10 ( 111) : (7) = (180) : ( 15) = 1 Eğer sayılar tam olarak bölünmüyorsa kesir olarak yazılır ve ifade sadeleştirilir. Uyarı! ( 4) + (7) ( 5) işleminde negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir. Buradan ( 4) + (7) ( 5) = ( 64) + (49) (15) = 64 + 49 + 15 = 64 + 174 = 110 bulunur.
6 Bir sayının kuvveti (üssü) negatif ise önce tabandaki sayı ters çevrilerek kuvveti pozitif hale getirilir. Sonra işlem yapılır. Yani n n n n 1 a b a =, = gibi (a 0, b 0) a b a Uyarı! 4 () ( ) ifadesinde Önce kuvvet alınıp sonra toplama işlemi yapılır. 4 O halde () ( ) = 8 4 16 = 8 bulunur. 1 1 1 1 = 4 = = = 4 4 4 4 64 5 5 = = = 5 = (4) ( ) 1 1 1 1 () ()()()()() 1 1 1 1 5 (5) (5)(5) 5 = = = = ( 5) Not 1) Sıfırdan farklı bütün sayıların sıfırıncı kuvveti 1 dir. ) Bütün tam sayıların birinci kuvveti kendisidir. 0 0 0 0 (8) = 1, ( 7) = 1, (009) = 1, = 1 8 = = 1 1 1 = 5 5 1 1, ( 5) 5, [ 15 + ( 10) : (5) + 1 ] : + ifadesinde Önce parantez içindeki işlemler yapılır. [ ] [ ] O halde 15 + ( 10) : (5) + 1 : + = 15 + 1 : + = 14 : + = 7+ = 10 bulunur. [ 18 : ( ) + ( ) ] [ 004 1 + 007] 0 ifadesinde Önce parantez içindeki işlemler yapılır. [ + ] [ + ] O halde 18 : ( ) ( ) 004 1 007 [ ] = 66 1 = 1 1 = 1 bulunur. (s ýfýrdan (sıfırdan farklýbütün farklı bütün) say ýlarýn sayıların sýfýrýncýkuvveti sıfırıncı kuvvetli 1 1 dir..) 0 İŞLEM ÖNCELİĞİ Parantezlerle ayrılmış ifadelerde önce parantez içindeki işlemler yapılır. Parantez içerisinde, (i) Kuvvet alınır. (ii) Çarpma işlemi veya bölme işlemi yapılır. (iii) Toplama işlemi veya çıkarma işlemi yapılır. 1 (15) : 5 4 ifadesinde İşlem önceliğine göre önce bölme işlemi sonra çıkarma işlemi yapılır. O halde 1 (15) : 5 4 = 1 () 4 = 1 + 4 = 15 4 = 11bulunur. RASYONEL SAYILAR a ve b birer tam sayı, b 0 olmak üzere a şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayı (kesir) b denir. a kesrinde a ya pay, b ye payda denir. b RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Toplama ve Çıkarma İşlemi Paydaları eşit olan rasyonel sayılar toplanırken veya çıkarılırken ortak payda aynen yazılır. Payları toplanıp veya çıkarılıp paya yazılır. a c a+ c O halde + =, b b b a c a c = dir. b b b
7 11 5 + ifadesinde 8 8 8 Paydaları eşit olduğu için payları toplanır ve çıkarılır. 11 5 + 115 14 5 O halde + = = 8 8 8 8 8 9 = bulunur. 8 Not Rasyonel sayıların paydaları farklı ise önce paydalar en küçük katında eşitlenir. Sonra toplama veya çıkarma işlemi yapılır. 1 + + ifadesinde paydalar birbirinden farklıdır. 4 6 Bundan dolayı önce kesirlerin paydaları en küçük ortak katları olan 1 de birleştirilir. 1 9 + 8 + 19 O halde + + = = bulunur. 4 6 1 1 () (4) () 1 7 4 + ifadesinde 5 10 Tam sayıların paydaları 1 olarak alınıp işlem yapılır. Dolayısıyla paydalar en küçük katları yani 10 da birleştirilir. 4 1 7 40 + 7 47 45 9 O halde + = = = = bulunur. 1 5 10 10 10 10 (10) () Çarpma İşlemi Rasyonel sayılar çarpılırken paylar çarpılıp paya, paydalar çarpılıp paydaya yazılır. Yani a c a = c dir. b d b d Rasyonel Sayılarda çarpma işleminden önce sayılar sadeleşebiliyorsa mutlaka sadeleştirilmelidir. 5 : ifadesinde 10 14 Önce sadeleştirme işlemleri yapılırsa 16 7 5 16 O halde = = 8 bulunur. 10 14 7 Uyarı! Bölme İşlemi Rasyonel sayılar bölünürken birinci kesir aynen yazılır. İkinci kesir ters çevrilip çarpılır. Yani a c a d a : = = d dir. b d b c b c 64 4 : 1 5 ifadesinde Birinci kesir yani 64 1 ters çevrilir çarpılır. 8 aynen yazılır ikinci kesir yani 4 5 64 4 64 O halde : 1 5 = 5 8 5 40 = = bulunur. 1 4 9 5 Not Tam sayılarda verilen işlem önceliği rasyonel sayılarda da geçerlidir. 1 + ifadesinde 4 6 Önce çarpma işlemi sonra toplama ve çıkarma işlemi yapılırsa, 1 6 1 + = + 4 6 4 1 1 = + 1 4 (4) () 1 1+ = 4 14 1 = 4 1 = bulunur. 4 1 1 5 : + ifadesinde 4 4 8 8 Önce bölme işlemi sonra toplama ve çıkarma işlemleri yapılırsa 1 1 5 1 1 8 5 : + = + 4 4 8 8 4 4 8 1 5 = + 4 8 (6) (8) () 6 16 + 15 = 4 5 = bulunur. 4
8 HARFLİ İFADELER Bir reel sayı ve a, b, c, x, y, z, gibi harflerle yazılan ifadelere harfli ifadeler denir. 8 + 9 ifadeleri birer harfli ifadedir. x, 17ab, x y z, 4x 5y z,... x ifadesi ve x den oluşan bir harfli ifadedir. 17ab ifadesi 17, a ve b den oluşan bir harfli ifadedir. TERİM: Bir harfli ifadede toplama (+) veya çıkarma () işlemi ile ayrılan kısımlara terim denir. 8x + 1y 4z ifadesinde 8x birinci terim, 1y ikinci terim 4z üçüncü terim olur. KATSAYI: Bir harfli ifadenin her bir teriminde bulunan reel sayıya bulunduğu terimin katsayısı denir. a + 7b + 5c ifadesinde Birinci terimin katsayısı, İkinci terimin katsayısı 7, Üçüncü terimin katsayısı 5 tir. BİLİNMEYEN: Bir harfli ifadenin her bir teriminde kullanılan x, y, z, a, b, c, gibi harflere bilinmeyen denir. x ifadesinin katsayısı ve bilinmeyeni x dir. 8 ab ifadesinin katsayısı 8 ve bilinmeyenleri a ve b dir. BENZER TERİM: Bir harfli ifadede bilinmeyenler ve bilinmeyenin kuvvetleri eşit ise bu terimlere benzer terim denir. Benzer terimlerin katsayıları farklı olabilir. 4a + 5b a 7b ifadesinde 4a ile a benzer terim, 5b ile 7b benzer terimdir. x + 4xy + 6yx + x ifadesinde 4xy ile 6yx benzer terimdir. x ile x benzer terim değildir. HARFLİ İFADELERLE İŞLEMLER Toplama ve Çıkarma İşlemi Harfli ifadelerde toplama ve çıkarma işlemi yapılırken benzer olan terimlerin katsayıları toplanır veya çıkarılır. x + 7x x = ( + 7 )x = 8x dir. 4a + 9b + a b = 4a + a + 9b b = 6a + 8b dir. x y + 5x x y x = x y x y + 5x x = x y + x dir. Çarpma İşlemi Harfli ifadeler çarpılırken önce katsayıları çarpılır. Sonra tabanları aynı olan bilinmeyenlerin kuvvetleri toplanır. 1+ 1 x 5x = 15x = 15x + 5 8x 6x = 48x = 48x 4 + 1 4 4 7x 5xy = 5x y = 5x y 1x 4x y = 48x y = 48x y 5 4 4 5+ 4 4 9 4 x(x + x + ) = x + x + x (x + )(x + 5) = x + 5x + 6x + 15 = x + 11x + 15 Bölme İşlemi Harfli ifadeler bölünürken önce katsayıları bölünür. Sonra tabanları aynı olan bilinmeyenlerin kuvvetleri çıkarılır. 16x 8x 7 = x = x 7 4 15x y x x 1 60x y y 4y = 4 = 4 4
9 Kuvvet Alma Harfli ifadelerde kuvvet alınırken her bir çarpanın ayrı ayrı kuvvetleri alınıp çarpılır. Eğer bilinmeyenlerin kuvveti var ise kuvvet alınırken kuvvetler çarpılır. (x) = x = 9x ( 5x ) = (5) (x ) = 15 x 9 (x + y) x + y şeklinde yazılamaz. Toplam veya fark şeklinde yazılan harfli ifadelerin kuvvetleri çarpanlara ayırma konusu içerisinde anlatılacaktır. DENKLEMLER BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER Uyarı! a ve b birer reel sayı olmak üzere ax + b = 0 şeklinde yazılabilen denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. x + 7 = 18 birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir. 4(x ) + 5 = x 18 birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir. ÇÖZÜM KÜMESİ BULMA Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerde denklemi sağlayan bilinmeyenin değerine denklemin çözümü ya da kökü denir. Denklemin kökünün oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi denir. Çözüm Kümesi Bulunurken; 1) Payda eşitlemesi yapılır. ) Parantezler dağıtılır. ) Bilinmeyenler eşitliğin bir tarafına reel sayılar eşitliğin diğer tarafına alınır. 4) Eşitliğin her iki tarafı bilinmeyenin katsayısına bölünür. Sayılar ve bilinmeyenler eşitliğin bir tarafından diğer tarafına geçerken işaret değiştirir. Uyarı! 5x 4 = 11 ifadesinin sağlayan x değerini bulabilmek için 5x 4 = 11 denkleminde bilinenler eşitliğin bir tarafına bilinmeyenler eşitliğin diğer tarafına alınır. 15 Buradan 5x 4 = 11 5x = 15 x = = bulunur. 5 (x + ) = 4x ifadesindeki denkleminin kökü, denklemi sağlayan bilinmeyenin değeri yani x in değeridir. Ohalde ( x+ ) = 4x & x+ 6 = 4x & 6+ = 4x x 9 = xbulunur. x x + = 8 5 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) 15 B) 15 C) { 15} D) { 15 } E) {15, 15} Çözüm: Verilen ifadede önce eşitliğin her iki tarafındaki sayıların paydaları eşitlenmelidir. x x 8 5x + x 10 + = = 5 1 15 15 (5) () (15) 8x = 10 10 x = = 15 dir. 8 Buradan çözüm kümesi { 15} bulunur. x x = 9 ise x kaçtır? A) B) 1 C) 19 D) 17 E) 15 Çözüm: Verilen ifadede payda eşitlemesi yapılırsa x x 9 x (x ) 18 = = 1 1 () () x x + = 18 x + = 18 x = 18 = 15 bulunur.
10 x x 1 5 = ise x kaçtır? 4 1 A) 1 B) C) 18 D) 5 Çözüm: Verilen ifadede payda eşitlemesi yapılırsa, x x 1 5 (x ) 4(x 1) 5 = = 4 1 1 1 () (4) (1) x 9 8x + 4 = 5 5x 5 = 5 5x = 10 10 x = = bulunur. BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER a, b, c birer reel sayı olmak üzere, 1 E) 5 5 ax + by + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemler denir. x + y = 6 birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklemdir. x y 1 + = birinci dereceden iki bilinmeyenli bir denklemdir. 5 9 İKİLİ a ve b birer reel sayı olmak üzere (a, b) şeklinde yazılan ifadelere ikili denir. (a, b) ifadesinde a ya ikilinin birinci bileşeni, b ye ikilinin ikinci bileşeni denir. (, 4) ifadesinde birinci bileşen ve ikinci bileşen 4 tür. ÇÖZÜM KÜMESİ: Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemlerin kökleri (x, y) ikilisi şeklindedir. Çözüm kümesi {(x, y) } şeklinde yazılır. İki bilinmeyenli denklemlerin çözüm kümesinin bulunabilmesi için en az iki denkleme ihtiyaç vardır. Birinci dereceden iki bilinmeyenli iki denklemin çözüm kümesi bulunurken bilinmeyenlerden birini yok etmek yeterlidir. Yok edilecek bilinmeyenin katsayısı zıt işaretli olacak şekilde düzenlenir. Sonra denklemler taraf tarafa toplanarak bilinmeyenlerden biri yok edilir. Bulunan değer denklemlerin birinde yerine yazılarak diğer bilinmeyenin değeri bulunur. x+ y = 8 x y = 14 denklem sisteminin çözüm kümesi bulunurken y lerin katsayıları eşit ve işaretleri zıt olduğundan y leri yok etmek daha kolaydır. + x+ y = 8 x y = 14 x = x = 11 dir. x y = 14 11 y = 14 11 14 = y = y dir. Buradan çözüm kümesi {(11, ) } bulunur. x + y = 1 x + y = 6 denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) { 1, 4 } B) { 1 } C) { 4 } D) {( 1, 4 )} E) {( 4, 1) } Çözüm: Birinci denklem ile çarpılırsa ve ikinci denklemle toplanırsa x bilinmeyeni yok edilir. / x + y = 1 x + y = 6 x 6y = 6 + x + y = 6 5y = 0 0 y = = 4 dür. 5 Bulunan y değeri herhangi bir denklemde yerine yazılırsa x + y = 1 x + 1 = 1 x = 1 olur. Burada çözüm kümesi {(1, 4) } bulunur. SIRALAMA > (büyük), (büyük ve eşit) < (küçük), (küçük ve eşit) sembolleriyle yazılan ifadelere eşitsizlik denir. x > y ifadesi x büyük y x < y ifadesi x küçük y şeklinde okunur.
11 x >, 'ten büyük sayıları x, ve 'ten büyük sayıları x < 4, 4'ten küçük sayıları x 4, 4 ve 4'ten küçük sayıları ifade eder. Not 1) Pozitif sayılar sıfıra yaklaştıkça küçülür, sıfırdan uzaklaştıkça büyür. 18 > 1, 9 < 7...gibi ) Negatif sayılar sıfıra yaklaştıkça büyür sıfırdan uzaklaştıkça küçülürler. >7, 10 <9 18 ile 1 sayıları sıralarken sıfıra uzaklıklarına bakılmalıdır. Sıfıra yakın olan sayı 1 küçük, 18 büyüktür. Yani 18 > 1 dür. 1 ile 8 sayılarını sıralarken 0 (sıfır) a olan uzaklıklarına bakılmalıdır. Sıfıra yakın olan sayı yani 8 büyük, 1 küçüktür. Yani 8 > 1 tür. EŞİTSİZLİK a, b birer reel sayı olmak üzere ax + b > 0 şeklinde yazılan ifadelere eşitsizlik denir. Eşitsizlikler denklemlerdeki çözüm yöntemlerine benzer şekilde çözülür. Eşitsizliklerin çözüm kümesi reel sayı aralıkları şeklindedir. x + 5 < 1 eşitsizliğinde x + 5 < 1 x < 1 5 x < 8 bulunur. (x + ) < x + 4 eşitsizliğinde ifadeyi düzenleyecek olursak (x + ) < x + 4 x + 6 < x + 4 6 4 < x x < x bulunur. x1 x4 1 eşitsizliğinde çözüm aralığı bulunurken 4 öncelikle payda eşitlemesi yapılır ve ifade düzenlenirse x 1 x 4 1 6(x 1) 4(x 4) 4 1 1 (6) (4) () ORAN ORANTI 6x 6 4x + 16 x + 10 x 7 7 x bulunur. Aynı türden çoklukların bölünerek karşılaştırılmasına oran denir. a'nın b'ye oranı a b şeklinde gösterilir. ORANTI İki veya daha fazla oranın eşitliğine orantı denir. a b a b ve c ayrı ayrı birer orandır. Bu oranlar eşitlenirse d c = bir orantı olur. d Özellikler 1.. a c = şeklinde verilen bir orantıda a d= b cdir. b d a c = = k ise a = b k ve c= dk dır. b d. Bir orantıda her bilinmeyen karşısında bulunan reel sayının bir katıdır. Yani; a = c ise a = c k ve b = d k (k R) dir. b d a = orantısında b 5 a'nın karşısında olduğundan a = k b'nin karşısında 5 olduğundan b = 5 k dır. 4x = 9y orantısında y x 9 = yazılabilir. 4 x in karşısında 9 olduğundan x = 9 k y nin karşısında 4 olduğundan y = 4 k dır.