AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a m a l a r ı» i s i m l i k i t a p t a n h a z ı r l a n m ı ş t ı r.
2. BÖLÜM: Temel Yapılar: Kümeler, Fonksiyonlar, Diziler, Toplamlar ve Matrisler 2.1. Kümeler Giriş Kümeler nesneleri gruplamada kullanılır. Her zaman olmasa da çoğu durumda, bir küme içindeki elemanlar benzer özellikler taşır. Örneğin; okulunuzda kayıtlı olan tüm öğrenciler bir küme oluşturur. Benzer şekilde, okullarda ayrık matematik dersini alan tüm öğrenciler bir küme oluşturur. Ayrıca, okulunuzda ayrık matematik dersi alan öğrencilerden oluşan küme, yukarıda bahsedilen iki kümenin ortak elemanları alınmak suretiyle oluşturulabilir.
2.1. Kümeler Giriş TANIM 1: Bir küme sıralı olmayan nesneler topluluğudur. Bir kümenin içindeki nesnelere kümenin elemanları veya üyeleri denir. Bir küme elemanlarını içerir. a ϵ / A gösterimi ise a nın A kümesinin bir elemanı olmadığını belirtir. Kümeler çoğunlukla büyük harfler kullanılarak gösterilir. Küçük harfler ise daha çok küme elemanlarını belirtmek için kullanılır. Bir kümeyi tanımlamak için bir çok yol vardır. Bunlardan bir tanesi, eğer mümkünse, kümenin tüm elemanlarını listelemektir. Kümenin tüm elemanlarının çengelli parantez içinde yer aldığı bir gösterim kullanıyoruz. Örneğin; {a, b, c, d} gösterimi elemanları a, b, c ve d den oluşan dört elemanlı bir kümeyi temsil eder. Kümenin bu şekilde gösterilmesine listeleme gösterimi denir.
2.1. Kümeler Giriş ÖRNEK: İngiliz alfabesindeki tüm sesli harfleri içeren V kümesi şu şekilde yazılabilir: V= {a, e, i, o, u} ÖRNEK: On sayısından küçük olan pozitif tek tam sayılar kümesi, Q, şu şekilde ifade edilebilir: Q= {1, 3, 5, 7, 9}
2.1. Kümeler Giriş Bazen listeleme gösterimi bir kümenin tüm elemanlarını listelemeden de kullanılabilir. Elemanların genel yapısının bariz olduğu durumlarda kümenin bazı elemanları listelenir, sonra üç nokta (...) kullanılır. ÖRNEK: 100 den küçük olan pozitif tam sayılar kümesi şu şekilde gösterilebilir: {1, 2, 3,..., 99}. Bir kümeyi göstermenin bir başka yolu da küme kurma gösterimi kullanmaktır. Kümenin içindeki tüm unsurları, o kümenin bir elemanı olabilmeleri için taşımaları gereken koşul veya koşulları açıklayarak belirleriz. Örneğin; 10 dan küçük olan tüm pozitif tek tamsayıları içeren O kümesi şu şekilde yazılabilir: O= {x x 10 dan küçük pozitif tek tamsayılar}, Veya evrensel kümeyi pozitif tamsayılar kümesi olarak belirtirsek: O= {xϵ Z + x tek sayıdır ve x<10}.
2.1. Kümeler Giriş Bir kümenin tüm elemanlarını listelemenin mümkün olmadığı durumlarda kümeyi belirtmek için bu şekilde bir gösterim kullanıyoruz. Örneğin, tüm pozitif rasyonel sayılar kümesi Q + şu şekilde yazılabilir: Q + = {xϵ R x= p/q, pozitif tamsayılar p ve q için}. Aşağıda koyu harfle ifade edilen kümeler ayrık matematikte önemli rol oynar: N= {0, 1, 2, 3,...}, doğal sayılar kümesi Z= {..., -2, -1, 0, 1, 2,...}, tam sayılar kümesi Z + = {1, 2, 3,...}, pozitif tam sayılar kümesi Q= {p/q p ϵ Z, q ϵ Z, q 0}, rasyonel sayılar kümesi R, reel sayılar kümesi R +, pozitif reel sayılar kümesi C, kompleks sayılar kümesi
2.1. Kümeler Giriş TANIM 2: İki küme, sadece ve sadece aynı elemanlardan oluşuyorsa denktirler. Yani, eğer A ve B küme ise, ancak ve ancak x (x ϵ A x ϵ B) ise A ve B kümeleri denktir. A ve B kümeleri denk kümeler ise A=B şeklinde ifade edilir. ÖRNEK: {1, 3, 5} ve {3, 5, 1} kümeleri denktir, çünkü aynı elemanlardan oluşmaktadırlar. Küme içindeki elemanların hangi sırada listelendiği önem arz etmez. Küme içindeki bir elemanın birden fazla tekrarlanması da önem arz etmez, {1, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5} ile {1, 3, 5} aynı kümelerdir çünkü aynı elemanlardan oluşmaktadırlar.
2.1. Kümeler Giriş BOŞ KÜME: Hiç elemanı olmayan özel bir küme vardır. Bu kümeye boş küme denir ve Ø işareti ile gösterilir. Boş küme { } işareti ile de gösterilebilir. İçinde bir elemanı olan bir kümeye tek elemanlı küme denir. Sıkça yapılan bir hata boş küme, Ø, ile tek elemanlı bir küme olan {Ø} kümesini birbirleriyle karıştırmaktır. {Ø} kümesinin içindeki tek eleman boş kümenin kendisidir!
2.1. Kümeler Venn Şemaları Kümeler Venn şemaları kullanılarak grafik olarak da gösterilebilir. Venn şemasında, bahse konu tüm nesneleri içeren evrensel küme, U, bir dikdörtgen ile gösterilir. Diğer kümeler, bu dikdörtgen içerisinde daireler veya diğer geometrik şekiller kullanılarak gösterilir. Bazen bir kümenin elemanlarını göstermek için noktalar kullanılır. Venn şemaları çoğu kez kümeler arasındaki ilişkileri göstermek için kullanılır.
2.1. Kümeler Venn Şemaları ÖRNEK: İngiliz alfabesindeki sesli harfler kümesini, V, gösteren bir Venn şeması çiziniz. ÇÖZÜM: İngiliz alfabesindeki 26 harfi içeren kümeyi temsil eden evrensel küme U için bir dikdörtgen çiziyoruz. Bu dikdörtgen içine V kümesini temsil eden bir daire çiziyoruz. Bu daire içinde V kümesinin elemanlarını noktalar ile belirtiyoruz.
2.1. Kümeler Altkümeler Bir kümenin elemanlarının aynı zamanda ikinci bir kümenin elemanları olma durumu ile karşılaşmak olağandır. TANIM 3: Bir A kümesi, sadece ve sadece A nın tüm elemanları aynı zamanda B nin elemanı ise B kümesinin altkümesidir. A nın B nin altkümesi olduğunu belirtmek için A B gösterimini kullanıyoruz. Ancak ve ancak x (x ϵ A x ϵ B) doğruysa A B (A, B nin altkümesidir) diyebiliriz. A nın B nin bir altkümesi olmadığını göstermek için sadece x B olup x ϵ A olan bir eleman bulmamız yeterlidir. Böyle bir x, x ϵ A ise x ϵ B dir iddiasına ters örnektir.
2.1. Kümeler Altkümeler ÖRNEK: 10 dan küçük olan tüm pozitif tek tamsayılar kümesi 10 dan küçük olan tüm pozitif tamsayılar kümesinin alt kümesidir. ÖRNEK: Okulunuzdaki tüm Bilgisayar Bilimleri bölümü öğrencileri kümesi okulunuzdaki tüm öğrenciler kümesinin altkümesidir. ÖRNEK: Çin deki tüm insanlar kümesi Çin deki tüm insanlar kümesinin alt kümesidir (yani, bir küme kendi kendisinin altkümesidir). ÖRNEK: Okulunuzda ayrık matematik dersi alan ve bilgisayar bölümü öğrencisi olmayan en az bir öğrenci varsa, okulunuzda ayrık matematik dersi alan öğrenciler kümesi, tüm bilgisayar bölümü öğrencilerinin bir alt kümesi değildir.
Bir Kümenin Büyüklüğü TANIM 4: S bir küme olsun. Eğer S içinde n birbirinden farklı eleman varsa, n negatif olmayan bir tamsayı olmak üzere, S bir sonlu kümedir ve n, S nin niceliğidir. S nin niceliği S olarak gösterilir. Not: Nicelik terimi sonlu bir kümenin büyüklüğünü belirtmek için yaygın olarak kullanılan nicelik sayısından gelmektedir. ÖRNEK: A, 10 dan küçük tek pozitif tamsayılar kümesi olsun. Öyleyse A =5. ÖRNEK: S, Türk alfabesindeki harfler kümesi olsun. Öyleyse S =29. TANIM 5: Bir küme sonlu değilse sonsuz kümedir.
Kuvvet Kümeleri TANIM 6: Verilen bir S kümesi için, S nin kuvvet kümesi, S nin alt kümelerinden oluşan bir kümedir. S nin kuvvet kümesi Ƥ(S) olarak gösterilir. ÖRNEK: {0, 1, 2} kümesinin kuvvet kümesi nedir? ÇÖZÜM: Kuvvet kümesi Ƥ({0, 1, 2}), {0, 1, 2} kümesinin tüm alt kümelerinden oluşur. Dolayısıyla, Ƥ({0, 1, 2}) = {Ø, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}}. ÖRNEK: Boş kümenin kuvvet kümesi nedir? {Ø} nin kuvvet kümesi nedir? ÇÖZÜM: Boş kümenin tam olarak tek bir alt kümesi vardır, o da kendisidir. Dolayısıyla, Ƥ(Ø) = {Ø}. {Ø} kümesinin tam olarak iki alt kümesi vardır, bunlar, Ø ve {Ø} kümesinin kendisidir. Bu nedenle, Ƥ({Ø}) = {Ø, {Ø}}. Eğer bir kümenin n elemanı varsa kuvvet kümesinin 2 n elemanı vardır.
Kartezyen Çarpımlar TANIM 7: Bir sıralı n li, (a 1, a 2,..., a n ), ilk elemanı a 1, ikinci elemanı a 2,..., ve n. elemanı a n dir. İki sıralı n linin eşit olması, ancak ve ancak her bir karşılıklı gelen eleman çiftinin birbirlerine eşit olması ile mümkündür. Bir diğer deyişle, (a 1, a 2,..., a n ) = (b 1, b 2,..., b n ) sadece ve sadece tüm i=1, 2,..., n için a i =b i olması ile mümkündür. n=2 olduğu özel durumda sıralı ikililere sıralı çiftler denir. (a,b) ve (c,d) sıralı ikililerinin eşit olması ancak ve ancak a=c ve b=d olması ile gerçekleşir. Dikkat ediniz, a=b değilse (a,b) ve (b,a) birbirlerine eşit değildir.
Kartezyen Çarpımlar TANIM 8: A ve B kümeler olsun. A ve B nin Kartezyen çarpımı, A x B şeklinde gösterilir, a ϵ A ve b ϵ B olmak üzere tüm sıralı (a, b) çiftleridir. Dolayısıyla, A x B= { (a,b) a ϵ A ^ b ϵ B} dir. ÖRNEK: A={1, 2} ve B={a, b, c} Kartezyen çarpımı nedir? ÇÖZÜM: A x B Kartezyen çarpımı A x B ={(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}.
Kartezyen Çarpımlar TANIM 9: A 1, A 2,..., A n, kümelerinin kartezyen çarpımı A 1 x A 2 x... x A n olarak gösterilir, ve (a 1, a 2,..., a n ) den oluşan sıralı n li demetten oluşur. Burada a i elemanı i= 1, 2,..., n olmak üzere A i den gelir. Bir başka deyişle, A 1 x A 2 x... x A n = {(a 1, a 2,..., a n ) a i ϵ A i, i=1, 2,..., n için}. ÖRNEK: A= {0, 1}, B={1, 2} ve C={0, 1, 2} ise A x B x C Kartezyen çarpımı nedir? ÇÖZÜM: A x B x C Kartezyen çarpımı a ϵ A, b ϵ B ve c ϵ C olan tüm sıralı (a, b, c) üçlülerinden oluşur. Dolayısıyla, A x B X C = {(0, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 1, 2), (0, 2, 0), (0, 2, 1), (0, 2, 2), (1, 1, 0), (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 0), (1, 2, 1), (1, 2, 2)}. UYARI: A, B ve C birer küme olmak üzere (A x B) x C ve A x B x C aynı değildir.
Kartezyen Çarpımlar ÖRNEK: A= {1, 2} olsun. Bu durumda A 2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} A 3 = { (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2)} dir. Kartezyen çarpımı A x B nin bir alt kümesi, R, A kümesinden B kümesine olan bir ilişki olarak tanımlanır. R nin elemanları sıralı çiftlerden oluşur ve bu çiftlerin ilk elemanı A kümesinden, ikinci elemanı B kümesinden gelir. Örneğin; R= {(a, 0), (a, 1), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (c, 0), (c, 3)}, {a, b, c} kümesinden {0, 1, 2, 3} kümesine bir ilişkidir. Bir A kümesinden kendisine olan bir ilişkiye A üzerinde bir ilişki denir.
Niceleyicilerle Küme Gösterimi Kullanımı Bazen nicelenen bir ifadenin tanım kümesini açıkça sınırlamak gerekir ve bu amaçla belirli bir gösterim kullanılır. Örneğin, x ϵ S(P(x)), S kümesindeki tüm elemanlar üzerinde P(x) evrensel nicelemesini belirtir. Bir diğer deyişle, x ϵ S(P(x)) ifadesi, x (x ϵ S P(x)) ifadesinin kısa şekilde gösterilmesidir. Benzer şekilde, x ϵ S(P(x)), S kümesindeki tüm elemanlar üzerinde P(x) varoluşsal nicelemesini belirtir. Yani, x ϵ S(P(x)) ifadesi, x (x ϵ S ^ P(x)) ifadesinin kısa şekilde gösterilmesidir. ÖRNEK: x ϵ R (x 2 0) ve x ϵ Z (x 2 =1) ifadeleri ne anlama gelir? ÇÖZÜM: x ϵ R (x 2 0) ifadesi her x reel sayısı x 2 0 anlamına gelir. Bu, «Her gerçel sayının karesi negatif olmayan bir sayıdır». Bu doğru bir ifadedir. x ϵ Z (x 2 =1) ifadesi x 2 =1 olan bir x tamsayısı bulunur anlamına gelir. Bu, «Karesi 1 olan bir tamsayı vardır.» x 2 =1 (benzer şekilde x=-1) böyle sayılar oldukları için bu ifade de doğru bir ifadedir.
Doğruluk Kümeleri ve Niceleyiciler Verilen bir P yüklemi ve D tanım kümesi için, P nin doğruluk kümesi D nin içinde P(x) in doğru olduğu x elemanlarının kümesi olarak tanımlanır. P(x) in doğruluk kümesi {x ϵ D P(x)} şeklinde gösterilir. ÖRNEK: Tanım kümesinin tam sayılar olduğu, P(x) in «x =1», Q(x) in «x 2 =2» ve R(x) in «x =x» olduğu P(x), Q(x) ve R(x) yüklemlerinin doğruluk kümeleri nelerdir? ÇÖZÜM: P nin doğruluk kümesi, {x ϵ Z x =1}, x =1 olan tam sayılar kümesidir. x =1 olabilmesi sadece x=1 ya da x=-1 durumlarında gerçekleştiği ve başka hiçbir x tamsayısı için gerçekleşmediğinden, P nin doğruluk kümesinin {-1, 1} olduğunu görürüz. Q nun doğruluk kümesi, {x ϵ Z x 2 =2}, x 2 =2 olan tam sayılar kümesidir. Bu bir boş kümedir. Çünkü x 2 =2 olan hiçbir x tamsayısı yoktur. R nin doğruluk kümesi, {x ϵ Z x =x}, x =x olan tam sayılar kümesidir. x =x olması ancak ve ancak x 0 durumunda gerçekleştiğinden, R nin doğruluk kümesi negatif olmayan tamsayılar, N olur.
1. Aşağıdaki kümelerin elemanlarını listeleyiniz. A. {x x, x 2 =1 olacak şekildeki bir reel sayı} B. {x x, 12 den küçük pozitif bir tamsayı} C. {x x bir tam sayının karesi ve x<100} D. {x x, x 2 =2 olacak şekildeki bir tamsayı}
1. Aşağıdaki kümelerin elemanlarını listeleyiniz. A. {x x, x 2 =1 olacak şekildeki bir reel sayı} {-1, 1} B. {x x, 12 den küçük pozitif bir tamsayı} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} C. {x x bir tam sayının karesi ve x<100} {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81} D. {x x, x 2 =2 olacak şekildeki bir tamsayı} Ø
2. Her küme ikilisi için birinci küme ikincisinin altkümesi mi, ikinci küme birincisinin altkümesi mi veya hiçbiri diğerinin altkümesi mi olduğunu belirleyiniz. A. New York tan İstanbul a uçan havayolu kümesi, New York tan İstanbul a doğrudan uçan havayolu kümesi, B. İngilizce konuşan insanlar kümesi, Çince konuşan insanlar kümesi C. Uçan sincaplar kümesi, yaşayan uçan yaratıklar kümesi
2. Her küme ikilisi için birinci küme ikincisinin altkümesi mi, ikinci küme birincisinin altkümesi mi veya hiçbiri diğerinin altkümesi mi olduğunu belirleyiniz. A. New York tan İstanbul a uçan havayolu kümesi, New York tan İstanbul a doğrudan uçan havayolu kümesi, İkinci birincinin altkümesi, fakat birinci ikincinin altkümesi değildir. B. İngilizce konuşan insanlar kümesi, Çince konuşan insanlar kümesi Hiçbirisi diğerinin alt kümesi değil C. Uçan sincaplar kümesi, yaşayan uçan yaratıklar kümesi Birinci ikincinin altkümesi, fakat ikinci birincinin altkümesi değildir.
3. Aşağıdaki küme ikililerinin eşit olup olmadıklarını belirleyiniz. A. {1, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5}, {5, 3, 1} B. {{1}}, {1, {1}} C. Ø, {Ø}
3. Aşağıdaki küme ikililerinin eşit olup olmadıklarını belirleyiniz. A. {1, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5}, {5, 3, 1} Evet B. {{1}}, {1, {1}} Hayır C. Ø, {Ø} Hayır
4. Aşağıdaki kümeler için, 2 nin bir eleman olup olmadığını belirleyiniz. A. {x ϵ R x, 1 den büyük tamsayıdır.} B. {x ϵ R x, bir tamsayının karesidir.} C. {2, {2}} D. {{2}, {{2}}} E. {{2}, {2, {2}}} F. {{{2}}}
4. Aşağıdaki kümeler için, 2 nin bir eleman olup olmadığını belirleyiniz. A. {x ϵ R x, 1 den büyük tamsayıdır} Evet B. {x ϵ R x, bir tamsayının karesidir.} Hayır C. {2, {2}} Evet D. {{2}, {{2}}} Hayır E. {{2}, {2, {2}}} Hayır F. {{{2}}} Hayır
5. Aşağıdaki önermelerin doğru olup olmadığını belirleyiniz. A. 0 ϵ Ø B. Ø ϵ {0} C. {0} Ø D. Ø {0} E. {Ø} {Ø}
5. Aşağıdaki önermelerin doğru olup olmadığını belirleyiniz. A. 0 ϵ Ø Yanlış B. Ø ϵ {0} Yanlış C. {0} Ø Yanlış D. Ø {0} Doğru E. {Ø} {Ø} Doğru
6. Aşağıdaki önermelerin doğru olup olmadığını belirleyin. A. x ϵ {x} B. {x} {x} C. {x} ϵ {x} D. {x} ϵ {{x}} E. Ø {x} F. x ϵ {x}
6. Aşağıdaki önermelerin doğru olup olmadığını belirleyin. A. x ϵ {x} Doğru B. {x} {x} Doğru C. {x} ϵ {x} Yanlış D. {x} ϵ {{x}} Doğru E. Ø {x} Doğru F. x ϵ {x} Yanlış
7. a ve b farklı elemanlar olmak üzere, aşağıdaki kümelerin kuvvet kümelerini bulunuz. A. {a} B. {a, b} C. {Ø, {Ø}}
7. a ve b farklı elemanlar olmak üzere, aşağıdaki kümelerin kuvvet kümelerini bulunuz. A. {a} {Ø, {a}} B. {a, b} {Ø, {a}, {b}, {a, b}} C. {Ø, {Ø}} {Ø, {Ø}, {{Ø}}, {Ø, {Ø}}}
8. a ve b farklı elemanlar olmak üzere, aşağıdaki kümelerin kaç tane elemanları olduğunu bulunuz. A. Ƥ({a, b, {a, b}}) B. Ƥ({Ø, A, {a}, {{a}}}) C. Ƥ(Ƥ(Ø))
8. a ve b farklı elemanlar olmak üzere, aşağıdaki kümelerin kaç tane elemanları olduğunu bulunuz. A. Ƥ({a, b, {a, b}}) 8 B. Ƥ({Ø, A, {a}, {{a}}}) 16 C. Ƥ(Ƥ(Ø)) 2
9. A={a, b, c, d} ve B={y, z} olsun. Aşağıdakileri bulunuz. A. A x B B. B x A
9. A={a, b, c, d} ve B={y, z} olsun. Aşağıdakileri bulunuz. A. A x B {(a, y), (b, y), (c,y), (d, y), (a, z), (b, z), (c, z), (d, z)} B. B x A {(y, a), (y, b), (y, c), (y, d), (z, a), (z, b), (z, c), (z, d)}
10. A 2 yi bulunuz. A. A={0, 1, 3} B. A= {1, 2, a, b}
10. A 2 yi bulunuz. ALIŞTIRMALAR A. A={0, 1, 3} {(0, 0), (0, 1), (0, 3), (1, 0), (1, 1), (1, 3), (3, 0), (3, 1), (3, 3)} B. A= {1, 2, a, b} {(1, 1), (1, 2), (1, a), (1, b), (2, 1), (2, 2), (2, a), (2, b), (a, 1), (a, 2), (a, a), (a, b), (b, 1), (b, 2), (b, a), (b, b)}
11. Aşağıdaki önermeleri Türkçe ye çeviriniz ve doğruluğunu belirleyiniz. A. x ϵ R (x 2-1) B. x ϵ Z (x 2 =2) C. x ϵ Z (x 2 >0) D. x ϵ R (x 2 =x)
11. Aşağıdaki önermeleri Türkçe ye çeviriniz ve doğruluğunu belirleyiniz. A. x ϵ R (x 2-1) Reel sayıların karesi hiçbir zaman -1 olamaz. Doğru B. x ϵ Z (x 2 =2) Karesi 2 olan tamsayı vardır. Yanlış C. x ϵ Z (x 2 >0) Her tamsayının karesi pozitiftir. Yanlış D. x ϵ R (x 2 =x) Karesi kendisine eşit olan tamsayı vardır. Doğru
12. Tanım kümeleri tam sayılar kümesi olmak üzere, aşağıdaki önermeleri doğrulayan kümeleri bulunuz. A. P(x): x 2 <3 B. R(x): 2x+1 =0
12. Tanım kümeleri tam sayılar kümesi olmak üzere, aşağıdaki önermeleri doğrulayan kümeleri bulunuz. A. P(x): x 2 <3 {-1, 0, 1} B. R(x): 2x+1 =0 Ø