Boşlukta Dalga Fonksiyonlarının Noralleştirilesi Konu tesilinde oentu özduruları, u p (x) ile belirlenir ve ile verilir. Ancak, boşlukta noralleştirilecek bir olasılık yoğunluğu gibi yorulanaaz zira ( x) 2 2 = dx u p ( x) ıraksar. Bununla beraber, bunlar süreklilik u p 2π ve ortonorallik şartını sağlarlar. Bu noralleştire u p ( x) 2 = 2π ile verilen düzgün bir parçacık yoğunluğuna karşı gelir. Şidi olasılık akı yoğunluğunu aşağıda belirlendiği üzere hesaplaaya çalışalı ψ(x) = u p (x) için buluruz ki bu υ = p hızıyla hareket eden düzgün bir parçacık yoğunluğu ( x) 2 = beklediğiiz gibi buluş oluruz. u p 2π Genel olarak, ψ(x) = Ce ipx p bir dalga fonksiyonu seçilirse bu hızı, bir parçacık yoğunluğu ψ( x) 2 = C 2 ve bir parçacık akıı j( x) = C 2 p ye karşı gelir. Noralleştire sorunu ile uğraşırken değişik oentu duruları şunlardır:. Dalga paketleri Sonlu sayıda oentu özduruların bir üstüste binesi noralleştirileez, ancak sonsuz sayıdaki oentu özdurularından kurulu olan bir dalga paketi ise üstüste bindirilebilir (Fourier bileşenleri). XIV-
x ± (p ± ) iken ψ(x), φ(p) x ( p ) den daha hızlı ulaşır. Şekil I: Konu uzayındaki ψ(x) dalga paketi veyahut oentu uzayındaki φ(k), büyük x (veya k) değeri için x /2 (k /2 ) den daha hızlı olarak düşüş gösterir. 2. Peryodik sınır şartları Sonlu L uzunluktaki bir kutu kabul edeli, bunun gerektirdiği sınır şartları ψ() = ψ(l) (4-7) e ipx / düzle dalgaları için bu e ipx / pl = veyahut = kl = n2π, n tasayı gerektirir ve oentu kuantulaşıştır ki p n = n k olup k = 2π ile verilir. L Buna karşı gelen oentu duruları [, L] aralığında noralleştirilebilir L kutusunda p n = n k lı noralleşiş oentu özdurularıdır. L dxu pn ( x)u p x ( ) = δ n kutudaki ortonorallik şartı (4-) Sabit boyutlu bir kutudaki tü hesaplar yapılış olup, L (yani k, oentu spektruu sürekli olur) liiti sonradan alınır. Tü fiziksel anlalı sonuçlar, ilgili aralıklara göre yeterince büyük bir L alındığında, kutu boyu L den bağısız olacaktır. XIV-2
Şekil II: L boyunda peryodik sınır şartlarına sahip bir kutudaki dalga fonksiyonu Serbest-parçacık dalga paketlerinin zaan evrii Boşlukta genelde noralleştiriliş Gauss dalga paketleriyle uğraşırız bu şekilde yazılırsa şunlar vardır: x = ω dalga paketinin belirsizliği veyahut rs genişliğidir. Niçin bu Gauss dalga paketi şeklini tercih ediyoruz?. Özellikle basit ve sietrik olup, Fourier dönüşüü de aynı zaanda bir Gauss dalga paketidir. 2. KM ile izinli iniu belirsizlik ΔxΔk = ΔxΔp = 2 ( 2) dalga paketidir. 3. Fiziksel siste bundan sonra oentu veyahut konuda Gauss genişleesine yol açar, yani ato oentularının bir gazdaki ısıl dağılıı bir Gauss dağılııdır. XIV-3
Bir dalga paketinin υ hızıyla hareketini nasıl sağlayabiliriz? p = k = dan (bkz Şek. III). p = k = k = υ oentu uzayında dağılıı yer değiştireli Ters Fourier dönüşüü, yani, konusal dalga fonksiyonu hala Gauss tipinde olup, ancak bir faz değişii e ik,x e sahiptir. Önceden dalga paketi üzerinde sbt bir faza sahipti (Denk. 4- le kıyaslayınız). Bu faz değişii e ik,x, konu uzayında dalga parçacığının hızını υ = k olacak şekilde kodlar : Dalga paketindeki haki de Broglie dalgaboyu bir k dalga vektörüne veyahut bir oentu k e karşı gelir. Şekil III: Ortalaa hız υ = k ile hareketli Gauss dalga paketi ve konusal dalga fonk. ψ ( x) = ( 2π ) /4 /2 e x ω 2 4ω 2 e ik x XIV-4
Bir boşluk Gauss dalga paketi zaanla nasıl evrie uğrar? Genelde, bir dalga fonk. Ψ(x,), u E (x) enerji özfonksiyonlarına açarız ve bundan sonra enerji özfonksiyonları e iet / olarak evri yapar. Boşlukta sadece KE vardır. Bu takdirde u p (x) oentu özduruları boşlukta enerjinin eşzaanlı özduruları olurlar. veyahut Enerji özdurularının çift dejenere olduğu söylenebilir: E > olak üzere enerji özdeğerinin herbiri için iki farklı oentu durularının aynı (yani u ±p (x), p = 2 ) enerjiye sahip oldukları söylenebilir. Buradan p özdeğerlikli bir oentu özduruu zaansal olarak e ie p t / olarak evrie uğrarki böylece oentu uzayındaki konusal evri ise zaanla boşlukta oentu özfonksiyonlarının zaan evriini gösterir. Dalga fonk. gerçel uzayda ters Fourier dönüşüü Ψ(x,t) ile verilir veya eşdeğer olarak, kendine karşı gelen faz evri çarpanları e ie p t / ile verilen enerji özfonksiyonlarının üstüste binesiyle aynıdır. XIV-5
burada U p ( x,t) = u p ( x)e p 2 2 t / = 2π eipx / p2 i 2 e t / boşlukta zaana bağılı oentu özfonksiyonlarıdır. Yukarıdaki denkle farklı Fourier bileşenlerinin u p ( x) = 2π eipx /, fazlarının zaanla farklı hızlarda evrie uğradıklarını gösterir. Farklı Fourier bileşenlerinin faz dışına koşa sı, dalga paketinin konu uzayında yayılasına yol açar. Ödev problelerinde dalga paketinin rs genişliği x (t) = ω (t) nin zaanla şu şekilde büyüyeceğini göstereceksiniz. Bir dalga paketi farklı oentu bileşenlerine haiz olacağından, etkili hiçbir dış kuvvet olasa bile serbest uzayda zaanla değişir. t» t = ω 2 gibi uzun sürelerde dalga paketi ω( t) ω t gibi yayılır ki υ = ω hızında kendi büyüklüğü ile ters orantılı bir duru oluşur. Bu hız akroskopik dalga paketi büyüklüğü için ihal edilebilir, ancak başlangıçta iyi-yerleşik ikroskopik nesneler için boşlukta akla uygundur. Boşlukta bir dalga paketinin yayılası, onun büyüklüğünde bir parçacığınki ile belirleneeyeceğinin ilk işaretiydi. Yayıla enerjiye kuadratik bir bağılılık (lineer olayan)tan ileri gelekte olup, böylece faz evri hızı oentua bağlı olaktadır. Kütlesiz bir parçacık olan fotonun E = pc olak üzere dalga paketinin yayılasını gösterir (SD denk. göreceli olayıp, fotonlara uygulanaaz). Dalga paketlerinin hareketi, grup hızı ve kararlı faz dalga fonksiyonunun niçin υ = k edebiliriz? Tek bir oentu bileşeni u k ( x,t) = 2π e k x e λ = 2π k yolunu, T = 2π ω zaanında alacağından, bunun hızı hızında hareket eden bir parçacığı tesil ettiğini erak i k 2 2 t nin tepe noktası ileri doğru Bu bir oentu bileşeninin faz hızıdır. Parçacık υ ph = ω k faz hızıyla hareket etez ki burada tek oentulu parçacığın düzle dalgası ileri doğru hareket eder. O halde bu hız nedir? XIV-6
üsse bakıp şunu yazalı: E = E ( k ) = ω = ω( k ) = k 2 e x 2 4ω 2 +ik x iω( k )t 2 Kararlı fazla ilgili Ferat ilkesini hatırlayalı: yol uzayın bölgesiyle tanılanış olup, burada fazörler çoğunlukla bir yönde olurlar, yani, φ( k) = x 2 2 + ikx + iω k 4ω ( )t fazı, en düşük ertebeli farklı oentu bileşenleri arasında değişe gösterez ki veya Ferat ilkesi grup hızı kavraına yol açar Dalga paketinin sahip olduğu grup hızı, yani yapıcı girişi bölgesi, ilerlee yapar. Grup ω hızıyla faz hızı arasındaki fark şundan ileri gelir ki ω, veyahut E = ( ω) k k p ( k) E p den yani serbest uzayda KE nin oentua kuadratik bağılılığındandır. Bu duru, boşlukta = clineer bir dağılıa sahip olan fotonların aksine olup, grup ve faz hızı aynıdırlar. ω k = ω k XIV-7