Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.

1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli denir ve d(f(x)) ile gösterilir. dy y = f(x) = f '(x) dy = f '(x). dx tir. dx Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir. Çözüm f(x) = 2x ise, d(f(x)) nedir? d(f (x)) dx 2 dy dx 2 = 2. dx tir. Çözüm y = x 3 + 2 1 x 2 3x + 5 ise, dy nedir? dy = 3x 2 + x 3 dy = (3x 2 + x 3) dx tir. dx

2 BELİRSİZ İNTEGRAL Tanım: f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında sürekli ve (a,b) aralığında türevli olsun. F ı (x) = f(x) ise d(f(x)) = f '(x). dx tir. c R için (F(x) + c) ı = F ı (x) = f(x) ise, d(f(x) + c) = f(x). dx olur. Buna göre, F(x) + c ifadesine, f(x) fonksiyonunun İlkeli veya Belirsiz İntegral denir. UYARI: İntegral türevi ya da diferansiyeli belli olan fonksiyon nedir, sorusuna cevap olarak çıkmıştır. Türevi bilinen bir fonksiyonun, türevi alınmadan önceki halini (İlkeli) bulma işlemine, İntegral diyebiliriz. BELİRSİZ İNTEGRALİN KURALLARI a) a o ise a.f(x) dx = a. f(x) dx tir. b) [f(x) g(x) h(x)] dx = f(x) dx g(x) dx h(x) dx tir. Kural 1 TEMEL İNTEGRAL KURALLARI n -1 ise, n 1 n x x dx c (c R, c sabit) n 1 F(x) = (3x 2 + 2x 3) dx integralini hesaplayınız. F(x) = x dx (x > 0) integralini hesaplayınız.

3 Kural 2 a) f '(x) dx = f(x) + c n ı f ( x). f ( x) dx n 1 b) f ( x) n 1 c (x 2 + 4) 2. (2x) dx integralini hesaplayınız. x 2 2x 3.(2x 2)dx integralini hesaplayınız. Kural 3 a) dx ln x c x b) f ı ( x) dx ln f ( x) c f ( x) x 3 x 1 dx x integralini hesaplayınız.

4 2dx 3 x 2x 3 2 integralini hesaplayınız. Kural 4 x x a) e dx e c f ( x) ı f ( x) b) e. f ( x) dx e c x x a c) a dx c ln a f (x) f (x) ı a d) a.f (x)dx c ln a e 3x+1 dx integralini hesaplayınız. e 4x 1 x 2x 2 e e dx ifadesinin integralini hesaplayınız.

5 Kural 5 A) 1) sin xdx cos x c 1 2) sin( ax b)dx cos(ax b) c a B) 1) cos xdx sin x c 1 2) cos( ax b) sin(ax b) c a dx 1 dx 2 cos x 2 C) 1) tan x = sec 2 xdx tan x c 2 2) 1 tan ax 2 D) 1) cot x dx 1 a tanax c dx 1 dx 2 sin x 2 = (cos ec x)dx cot x c 2 2) 1 cot ax 1 dx cot ax c a (cos3x sin2x) dx integralini hesaplayınız. tan x dx integralini hesaplayınız.

6 sin x f (x) dx integralini hesaplayınız. 2 cos x (tan 5 x + tan 3 x) dx integralini hesaplayınız. TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ 1 a) dx Arcsin x c 2 1 x 1 1 x 2 dx Arccos x c du u b) dx Arcsin c 2 2 a u a a du 2 u 2 dx Arccos 1 c) dx Arctan x c 2 1 x 1 1 x 2 u a dx Arccot x c du 1 u d) Arctan c 2 2 a u a a du 2 a u 2 1 Arccot a u a c c

7 dx 4 x 2 integralini hesaplayınız. cos x dx integralini hesaplayınız. 1 2 sin x DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME (DÖNÜŞÜM) YÖNTEMİ a) f(x). dx integralinde x = g(t) diyelim. x = g(t) ise, dx = g ı (t) dt dir. f(x) dx = f(g(t)). g ı (t) dt yazılırsa, integral t türünden ifade edilmiş olur. F(x) = 3 2 2.(x 2).3x dx 3 2 (x 2) 3 olarak tanımlıdır. F(-1) = ln2 ise, F(0) kaçtır?

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24 dx integralini hesaplayınız. 2 x 3x 2 2 2x 2x 1 dx integralini hesaplayınız. 3 2 x x

25 KISMİ İNTEGRAL

26

27

28 BELİRLİ İNTEGRAL BELİRLİ İNTEGRALİN ÖZELLİKLERİ

29 3 1 2xdx integralini hesaplayınız. 1 3 ( 3x 2)dx 14 ve a + b = 6 olduğuna göre, b kaçtır?

30

31 Teorem: f: [a,b] R sürekli bir fonksiyon ise, F(x) = x f (t)dt ile tanımlı; a F: [a,b] R ye fonksiyonu (a,b) aralığında türevlenebilir ve x (a,b) için, F(x) = x f (t)dt F ı (x) = f(x) tir. a h(x) 1) F(x) = f (t)dt ise a F ı (x) = h ı (x). f(h(x)) tir. h(x) 2) F(x) = f (t)dt ise g(x) F ı (x) = h ı (x). f(h(x)) g ı (x). f(g(x)) tir. f(x) = 2 x e 2 t 1 dt ise, f ı (1) kaçtır?

32 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN İNTEGRALLERİ MUTLAK DEĞER FONKSİYONU f: [a,b] R ye sürekli f fonksiyonu tanımlasın. b a f (x) dx integrali hesaplanırken; önce fonksiyonun [a,b] de işareti incelenir. Fonksiyonun işaretine göre aralıklarda integralin değeri bulunur. 5 2 x 4 dx integralinin değeri nedir? / 6 cos x dx integralinin değeri nedir?

33

34 EĞRİLERLE SINIRLI DÜZLEMSEL BÖLGELERİN ALANLARININ BULUNMASI 1.

35 3. 4.

36 6. 7. 8.

37 f(x) = x 2 + 2 eğrisi x ve y eksenleri ile x = 2 doğrusu tarafından sınırlanan düzlemsi bölgenin alanı kaç br 2 dir? br 2 dir? f(x) = x 3 4x eğrisinin x ekseniyle sınırladığı düzlemsel bölgenin alanları toplamı kaç

38 İKİ EĞRİ TARAFINDAN SINIRLANAN DÜZLEMSEL BÖLGELERİN ALANLARI f(x) ve g(x) fonksiyonları [a,b] aralığında sürekli ve f(x) > g(x) olsun. Bu eğriler tarafından sınırlanan düzlemsel bölgenin alanı; b S = [ f (x) g(x)]dx tir. a

39

40

41 8. 9. f(x) = -x 2 x + 2 ve g(x) = 2x + 2 eğrileri arasında kalan taralı alanı bulunuz. 10. f(x) = -x 2 + 4x ve g(x) = x 2 + 2x eğrilerinin sınırlandığı alanı bulunuz?

42

43

44 6. y = x 2 + 1 parabolünün oy ekseni etrafında 360 0 dönmesinden [2,4] aralığında oluşan cismin hacmini bulunuz.

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56