Polteknk Ders Journal o Poltechnc Clt: 6 aı: s. 505-5, 00 Vol: 6 No: pp. 505-5, 00 ÇOK AMAÇLI BULANIK OPTİMİZAYON TEKNİĞİ İLE DÜZLEM KAFE İTEMLERİN BOYUTLANDIRILMAI Öer KELEŞOĞLU, Mehet ÜLKER Fırat Ünverstes, Teknk Eğt Fakültes,Yapı Eğt Bölüü, 9 ELAZIĞ Fırat Ünverstes, Mühendslk Fakültes,İnşaat Mühendslğ Bölüü, 9 ELAZIĞ ÖZET Bu çalışada, bulanık küeler kullanılarak, düzle kaes sstelern optzasonu apılıştır. Bunun çn λ orülasonu uulanıştır. Kaes ssten analznde, atrs-deplasan önte kullanılıştır. Bulanık optzason teknğnn alortası Ms-Excel n akroları kullanılarak oluşturuluştur. elştrlen alortanın uulanablrlğ, çözülen saısal örneklerle österlştr. Elde edlen optu boutlandıra sonuçları, daha öncek apılan çalışalardak sonuçlar le karşılaştırılıştır. Anahtar Keleler: Bulanık antık, Düzle kaes, Optzason MULTIOBJECTIVE FUZZY OPTIMIZATION TECHNIQUE FOR PLANE TRU YTEM DEIN ABTRACT In ths stud plane truss sstes were densonall optzed b usn uzz sets. For ths a λ orulaton was appled. The analss o the truss sste was ade wth respect to atrx-dsplaceent ethod. The alhort o ultobectve uzz optsaton was ored usn the acros o Ms-excell. A nuber o desn exaples are presented to deonstrate the applcaton o the alorth. The optall results obtaned were copared to the ones o the prevous studes. Ke Words: uzz loc, plane truss, optzaton. İRİŞ Bulanık antık ve bulanık küe teors, lk kez 965 Pro. Lot A. Zadeh taraından ortaa atılış ve hızla elşerek br çok bl adaının lsn çeken araştıraa açık en br konu oluştur (). Bulanık antık haberleşe, kontrol, entere devreler üret, şlete, tıp, pskolo ve ühendslğn br çok dalında uulanıştır. Mühendslk ve dğer bl dallarında ssteler, kesn ateatksel şleler kullanılak suretle odellenr. Yapı boutlandıra proble, belrl br aacı ve sınırlaıcıları sağlaacak br karar vere şle olarak düşünüleblr. Öncelkle apının şekl üzernde karar verlerek, apı eleanlarının kestler apıa etken dış ükler altında çubuklarda doğan erleler le düğü noktalarının deplasanları şartnaede belrlenen apı davranışı sağlanıncaa kadar kontrol edlr. Optzason şle bu şartlar sağlanıncaa kadar deva edlr. sten hassas br ateatksel odel elştrlrken karşılaşılan etersz ver, ssten sınırlaıcıları, boutlandıra aaçlarının etersz orülasonu ve aaçlar arası bağıl öne değerlendree proble, hassaset eksklğne sebep olur. ste karaşıklaştıkça ssten davranışı ve ssten hassas ateatksel terlerle odellenes üçleşr. Boutlandıra problenn belrsz ve karaşık apısını odelleek çn bulanık küeler teorsnn kullanılası bu duruda avanta sağlar (). eleneksel küe teorsnde, br eleanın üelk eleanı a 0 ada le österlrken, bulanık küe teorsnde, bu değer 0 le arasında herhan br değer olablr. Bu değer bulanık küee at ola derecesn österr. Bulanık sstelern optzason le ll lk çalışalar Zerann ve Tanaka taraından apılıştır (8,9). Buradan hareketle, bulanık doğrusal proralaa le bulanık nonlneer proralaa üzernde çalışalar oğunlaşıştır (,5,). Rao ekank sstelern optu boutlandıra ve tanılanasını aptııştır (8). Tek br aaç onksonu le apıların optu boutlandırılası Yuan ve Quan taraından ele alınış olup, bulanık küelern nşaat ühendslğnde uulanası Braun ve Yao taraından erçekleştrlştr (,,5). Mühendslk sstelern sonlu 505
Öer KELEOĞLU, Mehet ÜLKERPOLİTEKNİK DERİİ,CİLT 6, AYI, 00 elaanlarla çözüde bulanık küeler kullanılış, Rao ühendslk sstelernn çok aaçlı bulanık optzasonu çn br orülason verştr (,9). Çok aaçlı bulanık optzason teknğ le ll lteratürde br çok çalışalar evcuttur (,,9,0,). Bu akale bulanık ühendslk sstelernn çok aaçlı optzasonuna önelk olarak, λ orülasonunun br optu boutlandıraa ulaşak aacıla kullanableceğn österektedr.. ÇALIŞMA TABLO YAZILIMI ünüüzde, çalışa tablo azılıı, en popüler blsaar azılıları arasında bulunaktadır (,6,7,). İlk olarak Lotus- paket prora le ündee elen ve çalışa tablolarında, elektronk hücreler vea hücreler topluluklarından oluşan çalışa tablolarında, stenen şleler orüller halnde rlr ve otoatk olarak çalıştırılır vea bu şlelere uun koutlar kullanılır. ünüüzde aın olarak kullanılan Ms- Excel çalışa tabloları, çeştl hazır onksonlar le kendne özü br proralaa dlne sahptr. Bu dl kullanarak akro adı verlen proralar oluşturulur. Makrolar, çalışa tablosunun proraları çersnde azılan ve çalıştırılablen küçük proralar olup, k türlü tanılanablr; kout akroları ve onkson akrolarıdır. Fonkson akroları kullanıcının en onksonlar azarak Excel n onkson küesn enşletesn sağlar. Kout akroları se; doğrudan çalışa tablosu üzernde kullanılablen onksonlardan edana elr. Oldukça elşş br akro dlne sahp olan Excel n akro onksonlarını, Excel e at dğer onksonlarla brlkte kullanarak, ühendslk sstelernde stenecek her türlü operasonu ve şle erçekleştreblecek akrolar oluşturak ükündür (5,6).. ÇALIŞMA TABLOLARI İLE ELİŞTİ- RİLEN ÇOK AMAÇLI BULANIK OPTİ- MİZAYON YÖNTEMİ.. Bulanık Optzason Bulanık ateatksel proralaa öntelernden br olan bulanık optzason, bulanık ortaında karar vere sağlaan br teknktr. Bulanık çevrede karar vere dele, sınırlaıcıların a da aaçların a da her ksnn apı olarak bulanık olduğu br karar sürecnde kastedlektedr. Bu aaçların a da sınırlaıcıların sınırları kesn olarak tanılanaış alternat ruplar çerdğ anlaına elr. Aaç onksonu le sınırlaıcıların kesş sonucu elde edlen çözülere se bulanık karar denr. Bulanık alternatler olarak adlandırılırlar. Alternatler uzaındak en üksek üelk derecesne sahp bulanık karar a da kararlar se, optu karar olarak adlandırılır. Bulanık proralaada aaç optu karara ulaşaktı (7). Br proble bulanık optzason önte le çözülürken dkkat edles ereken en önel noktalardan br kullanılacak üelk onksonun bçnn seçdr. Çünkü seçlen üelk onksonu bçnn doğruluğu ve problen apısına uunluğu, problen çözüünü doğrudan etkleektedr... enel Aaçlı Optzason Makrosu Klask proralaa önteler le apıların optzasonunda, proralaanın önel br kısını optzason şle oluşturaktadır. Bu çalışada optzason şle, çalışa tablosu paket proraları çersnde erleşk olarak bulunan enel aaçlı optzason akrosu olver taraından apılaktadır. olver proraı belrtlen sınırlaıcılar altında, tanılanan aaç onksonun aksu, nu vea belrl br değere eştlenesn sağlaan, lneer ve lneer olaan problelerde splex ve nteer (Ta saılı) problelerde branch and bound (Dal-sınır) çözü öntelern kullanan br optzason aracıdır. olver le br bulanık optzason proble çözülürken aşağıdak adılar uulanaktadır:. Çalışa tablo üzernde uun erlere, bağısız değşkenlern başlanıç değerler rastele azılır.. Bağısız değşkenlern bulunduğu hücreler reerans österlerek, tablonun uun erlernde aaç onksonu ve sınırlaıcılar le bulanık üelk onksonları orülze edlr.. Otoatk etkleş özellğnden ararlanılarak, en uun başlanıç değerler seçlr. olver çalıştırılır ve dalo kutusunun ll erlerne aaç onksonu ve sınırlaıcılar le bulanık küe bller rlr. 506
ÇOK AMAÇLI BULANIK OPTİMİZAYON TEKNİĞİ İLE... / POLİTEKNİK DERİİ, CİLT 6, AYI, 00 5. olver dalo kutusunun optons butonu ardııla, solver seçenekler dalo kutusundan optzason önte, hassaset ve aksu adı saısı b bller seçlr. 6. olver butonu ardııla bulanık optzason şlene başlanılır. Optzason şle esnasında tablodak değerlern değş, otoatk etkleş özellğnden dolaı, örsel olarak zleneblr. Yeterl aklaşı sağlandığında, şle sona erer. Yapının deplasan, rtlk, erle sınırlaıcıları altında optu boutlandırılasında ukarıda verlen adılar uulanır. Optzason apak çn Excel dek solver paraetresnden adalanarak bulanık küe bllernn şlee katılası le bulanık optzason öntenn oluşturulası sağlanılıştır.. Çok Aaçlı Bulanık Optzason Yönte Bu önte çok aaçlı optzason teknğne uulanan, çok aaçlı bulanık optzason öntedr. Boutlandıra problenn aaç onksonları, sınırlaıcılarındak belrszlk ve karaşık apısını çözek çn bulanık küeler kullanılarak odellend. Başlanıçta bulanık küe bller, her br sınırlaıcı onksonunun ern tutan üelk eleanları bulunaktadır. Üelk onksonlarının bç seçlerek, bulanık eçş böles en uun şeklde tanılanır. elştrlen önten orülasonu aşağıdak alt bölülerde tanılanaktadır.... Çok aaçlı bulanık optzason çn enel ateatksel odel Blndğ b (9), klask çok aaçlı optzason problenn duruu: n ( l ) =,,...,, () ( u) Burada, x boutlandıra değşken, T = { ( x),,..., k } aaç onksonunun vektörü, (x). sınırlaıcı onksonu ve { l, u } alt ve üst sınır değerler olarak tanılanır. Bu onkson: n (x) ; =,,...,, () sınırlaıcı onksonları çn l u ; = [, ] aralıklarıla belrtlr. ınırlaıcılar bulanık küe bllern çerdğ çn proble, denkle () dekne benzer olarak: n (x) ; =,,...,, () tanılanır. Belrtlen bu operatörler, bulanık küe değşken bllernn sınırlaıcı değerlerne kadar kullanılır. Bundan dolaı sınırlaıcısı, ( ) > 0 ın önündek bulanık küesnn br eleanıdır. Bulanık optu karar D, bütün sınırlaıcıların kesş kües olarak tanılanır. D = () = ve üelk dereces br x boutlandıra değşkennn bulanık optu karar D, taraından elde edlr ve aşağıdak b tanılanır: D,,..., = (x) = n { [ (x)]}, (5) Bütün sınırlaıcılar, x boutlandıra değşkennn nu değer hesaba katılarak > 0 adesn sağlaalıdır. D... λ-forülasonu Denkle (5) de belrtldğ b bulanık optu kararın üelk onksonu D > 0 dır. Tek aaçlı onkson, (x) n bulanık karar. ( D ), bulanık aaç ve bulanık sınırlaıcıların kesşdr: = = [ ]} { } (6) Bulanık optu karar, optu çözüü elde edlen bulanık optu kararlar arasındak en büük üelk derecesne sahp olan değer = dr. (7) vea 507
Öer KELEOĞLU, Mehet ÜLKERPOLİTEKNİK DERİİ,CİLT 6, AYI, 00 > n = < n 0.., =,,,..., k. n () kesşnden oluşan bulanık karar aşağıdak b azılır. k = [ ] = = (9) Buradan = n{, [ ]} (0), elde edlr. Burada. aaç ve. sınırlaıcı onksonun üelk eleanları sırala (x) ve [ ] olarak tanılanır. Optu çözü (x ) değer: ( x ) = () olarak tanılanır.... İşle sırası enel olarak aşağıdak adılardan oluşur: - Başlanıçta herhan br boutlandıra değşken x s, (x) aaç onksonunun nzasonundak sınırlar ( l ) ( u) ; =,,..., klask optzason önten kullanır. Çözü çn x, =,,..., k dır. = n{, [ ( x)], [ ],..., [ ]} n = n ( x ) = ( x ) olarak tanılanır. (8) (8) (), =,,..., k, Yukarıdak aklaşı öz önüne alınarak, = ( x ), çok aaçlı bulanık optzason problenn orülasonu, aaç onksonu ve sınırlaıcıların - Denkle () de belrtlen nn sınır değerlerndek, bulanık aaç onksonlarının, üelk onksonları: - λ-paraetresnn aksu olası duruu, bulanık kararın en büük değere ulaşasını sağlar. n λ = [ (x)]/[ ] () elde edlr. Şekl. Klask ve bulanık sınırlar 5- Bulanık sınırlaıcıların duruu: ( l) ( u) ( ) +, =,,...,, (5) ( l) u (l) (u) Burada ve sınır aralığı.. sınırlaıcının üelk onksonları: - Aaç onksonunun nu ve aksu değerler: 508
ÇOK AMAÇLI BULANIK OPTİMİZAYON TEKNİĞİ İLE... / POLİTEKNİK DERİİ, CİLT 6, AYI, 00 λ paraetresnn aksu değer, çok aaçlı bulanık optzason problelernde aaç ve sınırlaıcı onksonlarının optu çözüünü verr ve λ λ, =,..., k λ λ l u, =,...,, =,...,. (8) erle sınırlaıcılarının sınırları se σ σ σ ; =,,, değerler ( alt ) σ = 5;( =,,), σ = 0;( =,,) le verlştr. değerler arasından bulunur. L L A A A =A x Şekl. Üç çubuklu kaes sste Aaç onksonları; α P=0 L Şekl. Çok aaçlı bulanık optu boutlandıra W = ρaj l İ n J = δ = δ x + δ olarak tanılanış olup ınırlaıcılar; se σ σ, σ σ, σ σ Boutlandıra değşkenlernn sınırları A A A ; =,, değerler A = 0., ( =,), A = 5, ( =,) dr. Şekl. ınırlaıcı denkleler, bulanık küe bller ve solver dalo kutusu Çok aaçlı bulanık optzason le üç çubuklu kaes ssten çözüünden elde edlen sonuçlar Rao nun ve hh sonuçları tablo de karşılaştırılıştır (,9). 509
Öer KELEOĞLU, Mehet ÜLKERPOLİTEKNİK DERİİ,CİLT 6, AYI, 00 Tablo. Çok aaçlı bulanık optu çözü Bu problede düğü noktası deplasanlarının, sınır değerlern çok altında kaldığı örülüştür. Boutlandırada deplasan ve kest alan sınırlaıcıları hak oluştur. Tablo. Çok aaçlı bulanık optu çözü.. Beş Çubuklu Düzle Kaes ste ve düğü noktasındak düşe deplasan 5 le sınırlandırılıştır. Kaes sste şekl- de örülektedr. Eleanlardak düğü noktaları şeklde örüldüğü b nuaralandırılıştır. ve düğü noktaları sadece düşe olarak hareket edeblrler ve düğü deplasan vektörler δ = δ, δ } dr (0,). { Şekl 5. Beş çubuklu kaes sste Aaç onksonları; 5 W = ρaj l n J = δ = δ, δ olarak tanılaış olup ınırlaıcılar;se İ Boutlandıra değşkenlernn sınırları A A A ; =,, değerler ( alt ) ( üst ) A = 50, ( =,), A = 50, ( =,) dr. erle sınırlaıcılarının sınırları se σ σ σ ; =,,, değerler σ ( alt ) üst) = 0.50kN / ;( =,,), σ = 0.50kN / ;( =,,) le belrtlştr. A A A 0 0 00kN A 50kN A 000 5. ONUÇLAR Düzle kaes sstelern belrsz ve karaşık apısını optu boutlandırak çn, bulanık küeler kullanılarak br önte elştrlştr. elştrlen bu önte Rao nun [9] ühendslk sstelern çözüü çn verş olduğu çok aaçlı bulanık optzason paraetres olan λ orülasonu kullanılıştır.. Düzle kaes sstelern bulanık optzason le çözüü çn Ms-Excel dek akroları kullanarak br alorta elştrlştr. elştrlen alorta enel aaçlı olup, uza kaes sstelere de uulanablr.. Bulanık optzasonundak aaç en üksek üelk derecesne sahp bulanık optu karara ulaşaktır. Ulaşılan bu optu karar aaç onksonlarını nze eder.. Bulanık küe kullanarak optzason apa şlenn küçük br azılıla, daha hızlı br sonuca ulaşıldığı örülüştür.. Bulanık optzasonundak aaç onksonları da, brer sınırlaıcı olarak şlee katılıştır. 5. Boutlandıra problenn belrsz ve karaşık apısını odelleek çn bulanık küe teors kullanıının uun olduğu örülüştür. 6. Çok aaçlı bulanık optzason önte olan λ orülasonu le çözülen örnekler daha önce apılış çalışalar le karşılaştırılıp sonuçlar rdelenştr. KAYNAKLAR. Baburan, B., Baburan, O., ıdık, K., Ms- Excel Makro, İstanbul. saı, Mart, 99. Brown, C.B., and Yao, J.T.O., Fuzz sets and structural enneern. Asce J. truct.enn 09, -5-98 50
ÇOK AMAÇLI BULANIK OPTİMİZAYON TEKNİĞİ İLE... / POLİTEKNİK DERİİ, CİLT 6, AYI, 00. hh, C.J., Chan, C.J., Pareto optzaton o alternatve lobal crteron ethod or uzz structural desn. Coputers &tructural Vol. 5, No., 55-60, 995. hh, C.J., Tsen, T.J., Robus easble enneern optzaton usn uzz nonlnear proran. Derp. o Mech. Enn. Taaka Unverst, Tasu, Tawan 57, R.O.C. 5. Jun, C.Y., Pulano, V.A., İproved uzz lnear proran odel or structure desns. Coputers &tructural Vol. 58, No., 7-77, 996 6. Özen,., Elektronk Tablolar İle Deransel Denklelern Çözüü. İMO Teknk Ders, 995 7. Akpınar, H., Excel de Fonksonlar, Ver Analzler ve Proble Çöze, İ.Ü. İşlete Fak..saı, Ocak, 996 8. Tanaka, H., Okuda T., Asa, K., On uzz atheatcal proran. J. Cbernetcs, 7-6, 97 9. Zerann, H.J., Optzaton n uzz envronent. XXI Internatonal TIM and 6 th Conerence, an Juan, Perto Rco, 97 0. Mad, K.I., Introducton to Matrx and Nuarcal Methods or Cvl Enneers, London, s,., 980. Mad, K.I., Optu Desn o tructures, London, 97. Chen, L., Rao,.., Fuzz nte-eleent appraoch or the vbraton analss o precsel-dened sstes. Fnte Eleents n Analss and Desn, 7, 69-8, 997. Quanon, L., We, Z., Yn, Z., A nonlnear prorannn or ult-obectve uzz optal desn. J. o uln İnst. O Elec. Technolo, Vol.9, No., 999. Zedah, L., Fuzz sets. Inoraton and Control 8, 8-5, 965 5. Ülker, M., Haaloğlu, M.., Optu desn o space trusses wth buckln constrants b eans o spreadsheets. Turk J Enn. Envron c, Tübtak, 5, 55-67, 00 6. Ülker, M., Uza Kaes stelern Çalışa Tablolarıla Optu Boutlandırası, Fırat Ünv. İnşaat Müh. Fak. Elazığ, 996 7. Bellan, R.E., Zadeh, L.A. Decson-akn n a uzz envronent. Manaeent cence, Vol. 7, -6, 970 8. Rao,.., Descrpton and optu desn o uzz echancal sstes. J. Mech. Trans. Autoaton Desn 09, 6-, 987 9. Rao,.., undararau, K., Prakash, B.., Balakrshna, C., Multobectve uzz optzaton technques or enneern desn. Coputers &tructural, Vol., No., 7-, 99 0. Rao,.., Multobectve optzaton n structural desn wth uncertan paraeters and stochastc processes. AIAA JI, 670-678, 98. Rao,.., Multobectve optzaton o uzz structural sstes. Int. J. Nuer. Meth. Enn, 57-7, 987. Mohandas,.U., Phelps, T.A., Rasdell, K.M., tructural optzaton usn a uzz oal proran approach. Coputers &tructural, Vol. 7, No., -8, 990. Yurt, T. Bl ve teknolo çn excel uulaaları. Alkı Ktapçılık Yaıncılık, 99. Yuan, W.., and Quan, W.W., Fuzz optu desn o structures. Enn. Optz. 8, 9-00, 985 5. Yuan, W.., Quan, W.W., Fuzz optu desn o asec structures. Earthquake Enn. truct. Dn., 87-87, 985 5