GÜVENİLİR OLMAYAN SİSTEMLER İÇİN ARALIK ÇİZELGELEMESİ PROBLEMİ

İtanbul Ticaret Üniveritei Fen Bilimleri Dergii Yıl: 6 Sayı:12 Güz 2007/2. 67-79 GÜVENİLİR OLMAYAN SİSTEMLER İÇİN ARALIK ÇİZELGELEMESİ PROBLEMİ Deniz TÜRSEL ELİİYİ, Selma GÜRLER ÖZET Bu çalışmada, her biri zaman-bağımlı arızalara tabi m adet özdeş paralel makineden oluşan bir item için aralık çizelgelemei problemi ele alınmıştır. Sitemde yapılmaı gereken her işin iteme giriş zamanları ve on telim tarihleri önceden bilinmektedir. Bir iş eğer iteme girdiği anda yapılmaya başlanmaz ie kaybedilmiş ayılmaktadır. Çalışmada iki değişik tip makine itemi ele alınmıştır. Birinci itemde m- taneden-k-tane yapıı, ikinci itemde ie paralel bir yapı vardır. Problemde amaçlanan, yapılan işlerin getireceği toplam karı makimize etmektir. İki durumda da problemler tanımlanmış ve muhtemel kullanım alanları belirtilmiştir. Her iki problem için optimal çözümleri üretecek matematikel modeller geliştirilmiştir. Çözüm önerileri ve gelecek için çalışma alanları belirlenmiştir. Anahtar Kelimeler: Aralık Çizelgelemei, Güvenilirlik, m-taneden-k-tane Yapıı, Paralel Yapı INTERVAL SCHEDULING PROBLEM FOR UNRELIABLE SYSTEMS ABSTRACT In thi tudy, we conider interval cheduling in a ytem of m identical parallel erver ubject to timedependent failure. Each tak ha a fixed ready time and deadline. A tak, which doe not tart proceing at it ready time, i lot. We conider two different ytem tructure: A k-out-of-m tructure, and a parallel tructure. The aim i to maximize the total weight of the proceed job. We define the problem, and develop mathematical model to olve the problem optimally in both tructure. We identify ome reduction of the model, and propoe poible olution procedure baed on thee reduction. Keyword: Interval Scheduling, Reliability, k-out-of-m Structure, Parallel Structure İzmir Ekonomi Üniveritei, İktiadi ve İdari Bilimler Fakültei, İşletme Bölümü, İzmir Dokuz Eylül Üniveritei, Fen Edebiyat Fakültei, İtatitik Bölümü, İzmir

Deniz TÜRSEL ELİİYİ, Selma GÜRLER 1. GİRİŞ Aralık Çizelgelemei Problemi (AÇP) çizelgeleme alanında yeni gelişmeye başlayan bir alandır. Problemde önceden belirlenmiş iteme giriş zamanları ve on telim tarihleri olan işler, belirli ayıda kaynak (makine) üzerinde işlem görecektir. AÇP rezervayon itemlerinde çokça karşılaşılan bir problemdir. Rezervayon itemi örnekleri hizmet ektöründe otel odaı, araç tamir veya araç kiralama itemlerinde görülebilir. Bu tip itemlerde müşteriler işlere, oda, tekniyen veya araçlar ie makinelere karşılık gelmektedir. Rezervayon itemleri, üretim ektöründe işler ve makineler olarak karşımıza çıkmaktadır. Her iki ortamda da işler makinelere belirli işlem zamanlarında talepte bulunmaktadır. Problem hangi işlerin işlenmek üzere eçileceği veya tüm işleri işleyebilmek için gereken makine ayıı gibi çeşitli kararların alınmaını gerektirmektedir. Literatürde tipik bir rezervayon itemi paralel bir makine yapıına işaret etmektedir. Problem şu şekilde ifade edilebilir: m adet paralel makinede işlenmei gereken n adet iş bulunmaktadır. Herhangi bir j işinin iteme giriş zamanı r j ve on telim tarihi d j önceden bilinmektedir ve bu parametreler j işinin hangi zaman diliminde işlenmei gerektiğini götermektedir. Eğer bir iş iteme girdiği anda işlenmeye başlanmalı ie AÇP, Sabit İş Çizelgelemei Problemi (SÇP) olarak da adlandırılmaktadır. SÇP de herhangi bir j işinin işlenme zamanı (p j ), o işin on telim zamanı ve iteme giriş zamanları araındaki farka eşittir (d j - r j ). Dolayııyla eğer bir iş işlenmek üzere kabul edilire, işlenmeye r j zamanında başlayacak ve d j zamanında işlenmei bitirilecektir. Çalışmamızda bu yapıda bir AÇP ele alınmaktadır. Amaç fonkiyonlarına göre AÇP operayonel ve taktik problem olmak üzere iki ana gruba ayrılır. Operayonel problemde her işin belirli bir ağırlığı (w j ) bulunmaktadır. Bu ağırlık o işten gelecek karı veya o işin karar vericiye göre olan önemini temil etmektedir. Problemde amaçlanan, eldeki belirli ayıda makine ile işlenebilecek iş kümeinin toplam ağırlığını makimize etmektir. Taktik problem daha üt eviye bir problemdir. Bu problemde amaç, iteme giren tüm işleri işleyebilmek için gereken makine ayıını minimize etmektir. AÇP nin en temel varayımlarından biri her bir işin en fazla bir makinede işlenebilecek olmaıdır. Bütün makineler hız açıından özdeştir. İşlerin bölünmeine, yani bir makinede başlanan işleme diğer bir makinede devam edilmeine izin verilmemektedir. Tüm makineler tüm zamanlarda çalışmaya hazırdır. Literatürde AÇP nin bir çok pratik uygulamaından bahedilmiştir. Problem üretim ve işlemler yönetimi alanında önemli bir problem olarak belirlenmiştir. Kroon (1990) tarafından yapılan bir çalışmada, bir havayolu şirketinin uçak bakım ekibinin taktik kapaite planlamaında, yani ayıının belirlenmeinde, ana modeli AÇP oluşturmuştur. Daha onraki bir çalışmalarında Kroon vd., (1995) problemi, operayonel bazda ele almışlardır. Bu çalışmada belirli ayıda bakım mühendiinin hizmet verebileceği uçak kümeinin öncelikleri makimize edecek şekilde belirlenmei öz konuudur. Eliiyi ve Azizoğlu (2006a) çeşitli zaman kııtları altında 68

İtanbul Ticaret Üniveritei Fen Bilimleri Dergii Güz 2007/2 operayonel problemin çözümü üzerine yoğunlaşmışlardır. Problemin hizmet ve üretim alanında pek çok uygulamaı mevcuttur. Problemin teorii ve uygulama alanları hakkında detaylı bilgi Kovalyov vd. nin (2007) yaptığı bir çalışmada verilmektedir. Wolfe ve Sorenen (2000), problemi dünyayı gözlemleyen uyduların çizelgelenmeinde kullanmışlardır. Dünyanın yörüngeinde yeryüzündeki çeşitli iklimel ve fiziki değişiklikleri ölçmek ve gözlemlemek üzere yüzlerce uydu yer almaktadır. Bir uydu yörüngede dolaşırken farklı zamanlarda veri toplayabileceği poziyonları yakalamaktadır. Toplanılan görel verinin anında yeryüzündeki çeşitli alıcı merkezlere gönderilmei gerekmektedir. Ancak alıcı itayonların ayıı az miktarda olduğundan bütün verilerin aynı anda alınabilmei bazı zamanlarda mümkün olmamaktadır. Buna göre yazarlar hangi verinin alınacağına karar verilmei problemini SÇP olarak modellemişlerdir. Güvenilirlik bir item, bileşen veya ekipmanın, itendiğinde ve teiin o anki koşullarında, itenen zaman aralığında fonkiyonunu tam olarak yerine getirme olaılığı olarak tanımlanabilir. Dolayııyla güvenilirlik hayatta kalma veya yaşama olaılığıdır. Bozulma oranı ie t anına kadar yaşamını ürdürmüş bir bileşenin gelecek zaman diliminde bozulma olaılığını verir. Güvenilirlik tetleri iki farklı şekilde yapılmaktadır. Birinci ölçüm şekli, itemi çalışır veya çalışamaz durumda olarak iki kategori halinde gören tetlerden oluşmaktadır. İkinci ölçüm şeklinde ie ayıal yöntemler kullanılmakta; bozulmaya kadar kalan zaman tahminlenmekte ve güvenilirlik ölçümü bu tahmine dayalı olarak yapılmaktadır. Güvenilirlik tek bir item bileşeniyle ınırlandırılamaz. Paralel ve m-taneden-k-tane itemleri endütriyel ve teknik alanlarda çokça uygulamaı olan özdeş olmayan bileşenlerden oluşmuş itemlerdir. Bu itemlerde güvenilirliği artırmak için yapıal yedekleme kavramı kullanılmaktadır. Bir m-taneden-k-tane itemi eğer m bileşeninden k tanei çalışıyora çalışır durumda olarak adlandırılmaktadır. Dolayııyla item eğer m-k+1 veya daha fazla bileşeni bozulura bozulur. Bütün bileşenlerin çalışmaya aynı anda başladığını düşünülüre bu itemde m-k adet bileşenin aktif bir şekilde yedekte tutulduğu görülebilir. Örnek olarak üç paralel abit diki olan bir unucu bilgiayarı ele alının. Bu unucunun düzgün çalışmaı için en az iki abit dikin çalışır durumda olmaı gerektiği farz edilin. Her abit dik farklı üreticiler tarafından yapılmış olabilir ve dolayııyla güvenilirlikleri farklı olabilir. Bu item 3-taneden-2-tane itemine bir örnek oluşturmaktadır. Paralel (k=1) ve eri itemler (k= m) m-taneden-k-tane itemlerinin özel durumları olarak öne çıkmaktadır. Güvenilir olmayan itemlerle ilgili araştırmalarda iki tip bozulma ele alınmıştır. Çalışmaya bağlı bozulmalar adece bileşen veya makine çalışırken gerçekleşebilir. Zamana bağlı bozulmalar ie makine çalışırken veya çalışmazken herhangi bir zamanda gerçekleşebilir. Güvenilir olmayan makinelerle çizelgeleme konuu birçok araştırmacı tarafından özellikle enek üretim itemleri alanında çokça çalışılmış ve bilinen bir konudur. Bu çalışmalara örnek olarak Aktürk ve Görgülü (1998), Dutta (1990) ve Mehta ve 69

Deniz TÜRSEL ELİİYİ, Selma GÜRLER Uzoy (1998) verilebilir. Stadje (1995) güvenilir olmayan tek bir makine üzerinde işlerin çizelgelenmei üzerinde çalışmıştır. Bildiğimiz kadarıyla literatürde güvenilir olmayan makinelerle SÇP üzerine yapılmış herhangi bir çalışma bulunmamaktadır. Bu çalışma operayonel SÇP yi tokatik bozulmalara tabi bir makine iteminde ele almaktadır. Problem başlangıçta belirli ayıda makineyle başladığı için operayoneldir. Bir makine bozulduğunda planlama periyodunun onuna kadar çalışamaz durumda kaldığı kabul edilmektedir. Bu durum, değiştirme zaman ve maliyetinin yükek olmaıyla açıklanabilir. Problemdeki makine itemi bir m- taneden-k-tane itemi olarak düşünülmüştür. Sitem k nın genel hali ve k=1 olan paralel durum için ayrı şekillerde incelenmiştir. Daha önce bahedilen gözlem uyduları yukarıda anlatılan item için iyi bir örnek oluşturmaktadır. Gözlem uyduları tokatik yaşam ürelerine ve zamana bağlı bozulmaya tabidir. Gözlem uyduları yörüngedeki konum, güneşin açıı, enör ayarları veya başka faktörlere bağlı olarak değişik yaşam dağılımlarına ahip olabilmektedir. Bir uydu bozulduğunda yerine yeniinin konulmaı çok uzun üreler alabilmektedir. Dolayııyla problem operayonel bir problem olduğundan ve ıklıkla çözüleceğinden, bu ürenin problemin planlama periyodunun dışına taştığı rahatlıkla varayılabilir. Uydu iteminin çalışabilmei için m uydudan k taneinin çalışır durumda olmaı gerekmektedir. Sitemdeki ortalama veri yükü kritik önemdeki verilerin kaybolmamaı için böyle bir yapının varlığını gerektirebilir. Bahedilen item yapıı bilgiayar unucularında veya arama motorlarında da uygulanabilecek pratik önem arz eden bir yapıdır. Dolayııyla modellerimiz literatürdeki bu boşluğu doldurmak üzere taarlanmıştır. Bir onraki bölüm problemin tanımını ve matematikel modellerin geliştirilmeiyle ilgili açıklamaları içermektedir. Paralel ve m-taneden-k-tane itemleri için farklı varayımlar yapılmış ve iki problem farklı modellenmiştir. Üçüncü bölümde her iki problem için çeşitli çözüm yöntemleri önerilmiştir. Dördüncü bölüm onucu ve gelecek çalışma konularını unmaktadır. 2. PROBLEM TANIMI Bu bölümde, m-taneden-k-tane ve paralel olmak üzere iki farklı item yapıı altında problemin tanımı ve matematikel modelleri unulacaktır. Her iki model için aşağıda verilen tipik çizelgeleme varayımları kullanılmıştır: Tüm makineler hız bakımından özdeştir. Tüm makineler ıfır zamanında başlamaya hazır durumda ve kullanılmamış (yeni) olarak itemde bulunmaktadır. Bir makine aynı anda en fazla tek bir işi işleyebilir. Bir işe başlandıktan onra o iş bölünmekizin veya başka bir makineye aktarılmakızın işlenmelidir. 70

İtanbul Ticaret Üniveritei Fen Bilimleri Dergii Güz 2007/2 Bir işin karı ancak o iş tamamlandıktan onra elde edilebilir, parçalı işleme izin verilmez. Bir iş aynı anda en fazla bir makinede işlenebilir. İş ile ilgili parametreler ve makine ayıı kein olarak bilinmektedir. Her iki model için de kullanılan temel parametreler şunlardır: m: makine ayıı, n: iş ayıı. Modelde kullanılacak indiler şu şekildedir: j : iş indii, j =1,...,n. : makine indii =1,...,m. İşler ile ilgili parametreler aşağıda verilmiştir: r j : j işinin başlama zamanı, d j : j işinin bitiş zamanı, p j : j işinin işlem zamanı, p j = d j - r j, w j : j işinin ağırlığı, j=1,,n. j=1,,n. j=1,,n. j=1,,n. Genel olarak tüm nümerik verilerin pozitif tamayı olduğu kabul edilmektedir. Zaman ekeni eşit olmak zorunda olmayan periyotlara bölünmüştür. Bunun için, tüm başlama ve bitiş zamanlarının bir tarihel ıraı kurgulanır. Daha açık bir ifade ile, {t 1, t 2,...}, r j ler ve d j lerin tarihel ırada eş olanlar atılarak elde edilen ıralanmış dizii olun. P i ie, i=1, 2,... için [t i, t i+1 ) zaman aralığında işlemden geçirilecek olan işlerin kümei olun. Makineler ile ilgili parametre aşağıda tanımlanmaktadır: Y : makineinin yaşam zamanı. =1,,m. Y, makineinin yaşam zamanını göteren raal değişkendir. Öyleye, Y negatif olmayan ürekli bir raal değişkendir. F(y ), Y raal değişkeninin birikimli dağılım fonkiyonunu götermektedir. Buna göre herhangi bir makineinin güvenilirlik ve olaılık yoğunluk fonkiyonları aşağıdaki gibi ifade edilebilir: R () t = 1 F( y ) = P( Y t) f ( y ) = F ( y ) Her iki modelde de herhangi bir makinenin yaşam zamanının Y, =1,,m, (α, λ ) parametreleri ile Weibull dağılan raal değişken olduğu varayılmıştır. Weibull dağılımı üel dağılımın genel halidir. Üel dağılımın terine bozulma fonkiyonu abit değildir ve daha yaygın uygulama alanlarında karşımıza çıkmaktadır. İki parametreli Weibull dağılımı, güvenilirlikte en çok kullanılan zamana bağımlı olaılık dağılımıdır. Hem azalan hem de artan bozulma fonkiyonunu modellemede 71

Deniz TÜRSEL ELİİYİ, Selma GÜRLER kullanılabilir. Bu dağılımda α parametrei dağılımın şeklini, λ parametrei ie dağılımın ölçeğini belirler. Dağılım, α<1 ie azalan bozulma fonkiyonuna, α>1 ie artan bozulma fonkiyonuna ahiptir. α=1 olduğu durumda üel dağılan fonkiyonun bozulma fonkiyonu zamandan bağımız ve abittir (Barlow ve Prochan, 1975). Weibull dağılımına göre makineinin yaşam zamanına ait dağılım fonkiyonu şu şekilde oluşmaktadır: α ( λ ) y F( y ) = 1 e, y 0, (α, λ ) >0. Dikkat etmek gerekire, makinelerin yaşam zamanları aynı dağılıma ahip olmadığı düşünülerek genel durum ele alınmıştır. Yani Weibull dağılımının parametreleri makineden makineye değişebilir. Yukarıda verilen kurgulamanın özel bir hali olarak aynı dağılmaları durumunda (α, λ ) = (α,λ),, olacaktır. Yukarıdaki tanımlamalara göre, belirli bir t i zamanında bir makineinin güvenilirlik fonkiyonu makinenin yaşam zamanının t i zamanına eşit ya da büyük olma olaılığıdır. Yani; α ( λ ) i t R ( t ) = P( Y t ) = e dir. i i Yukarıdaki tanımların ışığında bir onraki bölümde problemin m-taneden-k-tane bir item için tanımı yer almaktadır. 2.1. m-taneden-k-tane Sitemi Modeli Bu bölümde, itemin yaşıyor olmaı için m tane makineden en az k tane makinenin yaşıyor olmaı koşulu altında işlerin çizelgelemei için kurulan matematikel model unulacaktır. Bu amaçla, yukarıdaki tanımlamalara ek olarak iki tane göterge değişkene ihtiyaç vardır. ψ i : makinei için ikili göterge değişkeni, =1,,m. φ : m-taneden-k-tane iteminin t i zamanındaki yapı fonkiyonu. i Makine için t i zamanındaki durumu belirlemek amacıyla ψ i ikili göterge değişkeni kullanılmıştır: { 1, eğer makine çalışıyora, ψ i =,. i 0, eğer makine çalışmaz durumdaya. Bu noktada ek varayımlara gerek duyularak m-taneden-k-tane iteminde herhangi bir makinenin güvenilirliği için alt limit tanımlanmıştır. Bu ınır değer karar verici tarafından belirlenen makine güvenilirliği için en düşük kabul edilebilir değeri 72

İtanbul Ticaret Üniveritei Fen Bilimleri Dergii Güz 2007/2 tanımlamaktadır. Diğer bir deyişle, t i zamanında makinenin güvenilirliği ınır değerin altında kaldığında makinenin bozulduğu ve [t i, t i+1 ) aralığı ve onraında herhangi bir işi tamamlayamayacağı varayılır. Bu varayım güvenilirliğin baitçe matematikel modelde yer almaını kolaylaştırır. Ancak itemi bu şekilde modellemenin, bir makinenin gerçekten bozuluncaya kadar bozuk olarak ayılamayacağı gerçek bir item için yaklaşık bir onuç vereceği göz önüne alınmalıdır. Daha küçük bir alt limit daha iyi bir yaklaşım anlamına gelmektedir. Bu açıklamayla beraber ikili göterge değişkeni ψ i aşağıdaki gibi tanımlanabilir: { 1, eğer PY ( t) L, i ψ i =,. i 0, eğer PY ( t) < L. i m-taneden-k-tane iteminin yapı fonkiyonu φ, itemin durumunu götermektedir. Daha açık bir ifadeyle, { 1, eğer item çalışıyora, φ = 0, eğer item çalışamaz durumdaya. Sitemde keikli zaman noktalarında gözlem yapıldığından, yapı fonkiyonu t i nin bir fonkiyonu olarak tanımlanır. Sitem m makineden en az k taneinin yaşıyor olmaı koşulu altında çalışır. Diğer durumlarda itemin bozuk olduğu varayılır. Bu ebeple, t i zamanında m-taneden-k-tane iteminin yapı fonkiyonu φ i aşağıdaki gibi tanımlanır: 1, eğer ψ k, i φ = i 0, eğer ψ < k. i Açıkça görülmektedir ki, t i zamanında item bozulduya t i+1, t i+2, zamanları için de item aynı şekilde kalacaktır. Tanımlanan ikili karar değişkenleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır: x j 1, eğer j işi makineinde işleniyora, = j,. 0, diğer türlü. 73

Deniz TÜRSEL ELİİYİ, Selma GÜRLER Probleme ait kııtlar: Her bir iş j en fazla bir makinede işlenir: m x 1 j = 1,..., n. (1) j = 1 Bir makine aynı anda birden fazla iş işleyemez. Yapı fonkiyonunun değeri de bu kııt içinde düşünülmüştür: ( x ψ φ) 1 = 1,..., m i. (2) j i i j P i İşler bir makineden başka makineye aktarılamaz veya bir işin işlem ürei bölünemez: x 0,1 = 1,..., m j = 1,..., n. (3) j { } (1), (2) ve (3) numaralı kııtlara bağlı olarak tanımlanan problem için elde edilen tamamlanmış model aşağıdaki gibidir: Enb. m n = 1 j= 1 wx j j (4) Kııtlar; (1), (2) ve (3). (4) numaralı amaç fonkiyonu tamamlanan işlerin toplam ağırlığını en büyüklemektedir. Diğer bir deyişle amaç fonkiyonu, toplam karı makimize etmektedir. Bunu gerçekleştirirken model, her bir makinenin ve bir bütün olarak itemin güvenilirliğini dikkate almaktadır. Ağırlıklar tüm işler için aynı olduğunda, w j = w, j, problem tamamlanan işlerin ayıını en büyükleme problemine indirgenmiş olur. 2.2 Paralel Sitem Modeli Bu bölümde, makinelerin paralel itemi üzerinde işlerin çizelgelemei üzerine kurulan matematikel model elde edilmiştir. Bir paralel item daha önce de belirtildiği gibi m-taneden-k-tane iteminin k=1 için özel halidir. Sitemin işlevini gerçekleştirebilmei için en az bir bileşenin çalışıyor olmaı gerekir. Paralel item için oluşturulmak itenilen model beklenen kar fonkiyonu üzerine kurgulanmıştır. Bir makinei j işini ancak r j zamanında çalışıyor ie işleyebilir. Bununla birlikte makinenin bu işi bitirebilmei için d j zamanında hala çalışıyor 74

İtanbul Ticaret Üniveritei Fen Bilimleri Dergii Güz 2007/2 olmaı gereklidir. Bu noktada ele alınan problemde kımi işlemeye izin verilmediği varayıldığında işten elde edilecek olan kar ancak iş bitirildiğinde gerçekleşecektir. Bu varayım altında adece işin başlatılmaı değil işin bitirilmei de önem kazanmaktadır. Bu nedenle bir işin bitirilmei olaılık fonkiyonu heaplanırken r j zamanında makineinin güvenilirliği yerine, r j zamanındaki (Y -r j ) koşullu güvenilirlik fonkiyonunun kullanılmaı gereklidir. Bu koşullu güvenilirlik, makineinin r j zamanındaki geriye kalan yaşam zamanı olarak adlandırılır ve aşağıdaki gibi ifade edilir (Barlow ve Prochan, 1975). R ( d r ) = P( Y d Y r ), =1,,m. j j j j Yukarıda tanımlanan koşullu güvenilirlik, makineinin, r j zamanında çalışıyor olma koşulu altında, d j zamanında j işini bitirme olaılığını heaplar. Daha önceki bölümde de belirtilen karar değişkeni aşağıdaki gibi tanımlanır. x j 1, eğer j işi makineinde işleniyora, = j,. 0, diğer türlü. Probleme ait kııtlar aşağıdaki gibidir: Her bir iş j en fazla bir makinede işlenir: m = 1 x j 1 j = 1,..., n Bir makine aynı anda birden fazla iş işleyemez: x 1 = 1,..., m i (5) j j P i İşler bir makineden başka makineye aktarılamaz veya bir işin işlem ürei bölünemez: x 0,1 = 1,..., m j = 1,..., n j { } Probleme ilişkin tamamlanmış model (1), (3) ve (5) koşulları altında aşağıdaki gibi ifade edilir. j j j j) (6) m n Enb. ( R ( d r ) w x = 1 j= 1 Kııtlar; (1), (3) ve (5). 75

Deniz TÜRSEL ELİİYİ, Selma GÜRLER (6) numaralı amaç fonkiyonu işlerin beklenen toplam ağırlıklarını; başka deyişle beklenen toplam karını makimize etmektedir. Bunu yaparken model, yukarıda tanımlandığı gibi, her makinenin işe başlama zamanında çalışıyor olmaı koşulu altında güvenilirliğini dikkate almaktadır. 3. ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI Bu bölümde, önceki bölümlerde tanımlanan problemlere bazı çözüm yaklaşımları unulmuştur. Bölüm 2.2 de paralel makinelerden oluşan yapı için elde edilen amaç fonkiyonu, işlerin toplam beklenen ağırlıklarını en büyüklemektedir. Geliştirilen bu modelde amaç fonkiyonuna koşullu güvenilirlik değerlerinin ilave edilmei, x j değişkenlerinin amaç fonkiyonu katayılarının adece işlere bağımlı olmaını değil aynı zamanda işlendiği makinelere bağlı olmaını gerektirir. Tüm j ve için r j zamanındaki makineinin geriye kalan yaşam zamanı R ( d j r j) heaplandıktan onra, j=1,,n, ve =1,,m için wj = R ( d j rj ) wj olmak üzere, amaç fonkiyonu aşağıdaki gibi ifade edilebilir. Enb m n w x j j. (7) = 1 j= 1 Bundan dolayı problemin makinelere bağımlı ağırlıklar içeren Operayonel Aralık Çizelgelemei problemine indirgendiği görülmektedir. Bu problem Eliiyi ve Azizoğlu (2006b) tarafından çalışılmıştır ve ragele ağırlıkların varlığında problemin NP-zor olduğu yazarlar tarafından ipat edilmiştir. Yazarlar problem için 100 işe kadar kullanılabilecek bir Dal ve Sınır algoritmaı geliştirmişlerdir. Bu çalışmada önerilen algoritma güvenilir olmayan paralel yapıdaki makinelerin aralıklı çizelgeleme problemini çözmek için de kullanılabilir. İkili göterge değişkenli modelde ie m-taneden-k-tane iteminde problemin zamana bağımlı bozulma yapıı, tüm makinelerin ıfır zamanında çalışmaya başladığı ve bozulma zamanlarının heaplanabildiği düşünüldüğünde, makine erişilebilirlik kııtları olan bir Operayonel Aralık Çizelgelemei problemine indirgenmektedir. Erişilebilirlik kııtı genellikle her makine veya makine etleri için ardışık vardiya aatlerinin modellenmeinde ortaya çıkmaktadır. Dolayııyla bir makinenin bozuluncaya kadar geçireceği ürenin o makinenin vardiyaı veya erişilebilirlik ürei olarak modellenmei mümkün olmaktadır. Problemde makinelerin farklı güvenilirliğe ahip olmaı ebebiyle indirgenmiş problem makineler için farklı erişilebilirlik değerleri göterecektir. Erişilebilirlik kııtları altında Operayonel Aralık Çizelgelemei problemi Kolen, Lentra ve Papadimitriu (1986) tarafından çalışılmış ve problemin NP-zor olduğu göterilmiştir. Kolen ve Kroon (1993) problem üzerine çalışan diğer yazarlardır ve problemi modellemişler 76

İtanbul Ticaret Üniveritei Fen Bilimleri Dergii Güz 2007/2 ve çözüm algoritmaları geliştirmişlerdir. Bu nedenle makinelerin m-taneden-k-tane yapıı ile ilgili problem NP-zor bir problemdir ve problemin optimal çözümü için Dal ve Sınır algoritmaı gibi enümerayona dayalı yöntemler kullanılmalıdır. 4. SONUÇ VE GELECEK ÇALIŞMA KONULARI Bu çalışmada zamana bağlı bozulma göteren özdeş olmayan m adet paralel makineden oluşan bir itemde Sabit İş Çizelgeleme Problemi (SÇP) ele alınmıştır. Problemde her işin başlangıç ve bitiş zamanları önceden belirlidir. Başlangıç zamanında işleme alınmayan bir iş işlenemeyip item için kayıp olarak nitelendirilmektedir. Problemdeki makine itemi bir m-taneden-k-tane itemi olarak düşünülmüştür. Sitem k nın genel hali ve k=1 olan paralel durum için ayrı şekillerde incelenmiştir. Amaç fonkiyonu işlenen işlerin toplam ağırlığını (kar veya göreli önemini) makimize etmeyi amaçlar. Çalışmada problem matematikel olarak tanımlanmış, iki ayrı durum için farklı kabullerden yola çıkılarak matematikel programlama modelleri geliştirilmiştir. Her iki durum için çeşitli çözüm yöntemi önerileri getirilmiştir. Bu çalışma, problemin pratik değeri ve bu alandaki ilk çalışma olmaı ebebiyle önemlidir. Çalışmada önerilen çözüm yöntemleri problemin uygulama alanı olabilecek her durumda kullanılabilir. Çalışmada unulan çözüm önerilerinin ortaya çıkaracağı onuçların hem kalite, hem de çözüm zamanları açıından incelenebilmei için deneyel bir çalışma taarlanabilir. Bu çalışma çözüm yöntemlerinin optimal onuçları ne kadar zamanda bulduğunu ve çeşitli problem büyüklükleri için naıl performan göterdiklerinin anlaşılmaında kullanılabilir. Deneyel çalışmada makine yaşam ürelerinin Gamma veya normal dağılım gibi değişik dağılımlardan gelebileceği unutulmamalıdır. Ayrıca problemin çözümü için optimal onuç bulmayan, ancak kıa ürelerde iyi onuçlar üretebilen ezgiel yöntemler de incelenebilir. Başka bir gelecek çalışma konuu ie benzer bir problem ortamında hem işlerin çizelgelenmeini hem de makinelerin bakım ve tamir işlerinin planlanmaını içeren bir çalışma yapmaktır. Bu çalışma makinelerin bakım ürelerinin daha kıa olduğu bazı örnekler için yararlı olacaktır. Bu tip ortamlarda makinelerin ne kadar zamanda bir bakıma alınacağı da ayrı bir optimizayon konuu oluşturacağından çok amaçlı bir problemden bahetmek de öz konuu olabilecektir. Son olarak, zaman yerine çalışmaya bağlı bozulmaların olduğu bir item ayrı bir çalışma konuunu oluşturabilir. Bu itemde modeller tamamıyla farklı bir hale dönüşeceği için bakım planlanmaının ve iş çizelgelemenin yöntemleri de tamamen farklı olacaktır. 77

Deniz TÜRSEL ELİİYİ, Selma GÜRLER 5. KAYNAKÇA Akturk, M. S. ve Gorgulu, E., (1998), Match-up Scheduling Under a Machine Breakdown, European Journal of Operational Reearch, 112, 80-96. Barlow, R. E. ve Prochan, F., (1975), Statitical Theory of Reliability and Life Teting, Holt, Rinehart and Winton Inc. Dutta, A., (1990), Reacting to Scheduling Exception in FMS Environment, IIE Tranaction, 22, 300-314. Eliiyi, D. T. ve Azizoğlu, M., (2006a), Spread Time Contraint in Operational Fixed Job Scheduling, International Journal of Production Reearch, 44, 4343-4365. Eliiyi, D. T. ve Azizoğlu, M., (2006b), A Fixed Job Scheduling Problem with Machine-Dependent Job Weight, International Journal of Production Reearch, (Kabul edildi). Kolen, A. J. W. ve Kroon, L. G., (1993), On The Computational Complexity of (Maximum) Shift Cla Scheduling, European Journal of Operational Reearch, 64, 138-151. Kolen, A. J. W., Lentra, J. K. ve Papadimitriu, C. H., (1986), Interval Scheduling Problem, Manucript, Centre for Mathematic and Computer Science, C.W.I., Kruilaan 413, 1098 SJ Amterdam. Kovalyov, M. Y., Ng, C. T. ve Cheng, T. C. E., (2007), Fixed Interval Scheduling: Model, Application, Computational Complexity and Algorithm, European Journal of Operational Reearch, 178, 331-342. Kroon, L. G., (1990), Job Scheduling and Capacity Planning in Aircraft Maintenance, PhD Thei, Eramu Univerity, The Netherland. Kroon, L. G., Salomon, M. ve Van Waenhove, L. N., (1995), Exact and Approximation Algorithm for The Operational Fixed Interval Scheduling Problem, European Journal of Operational Reearch, 82, 190-205. Mehta, S. V. ve Uzoy, R. M., (1998), Predictable Scheduling of a Job Shop Subject to Breakdown, IEEE Tranaction on Robotic and Automation, 14, 365-378. Stadje, W., (1995), Selecting Job for Scheduling on a Machine Subject to Failure, Dicrete Applied Mathematic, 63, 257-265. 78

İtanbul Ticaret Üniveritei Fen Bilimleri Dergii Güz 2007/2 Wolfe, W. J. ve Sorenen, S. E. (2000), Three Scheduling Algorithm Applied to The Earth Oberving Sytem Domain, Management Science, 46, 148-168. 79