AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ ORAN-ORANTI İlköğretim Matematik Öğretmenliği Grup1 2011 1 E N F O R M A T İ K - L A B 4
İçindekiler ÜNİTE HAKKINDA BİLGİ:... 3 ORAN... 3 ORANTI... 4 1)ORANTI ÇEŞİTLERİ... 5 A)DOĞRU ORANTI... 5 B)TERS ORANTI... 7 2)TANIMLAR... 8 A)ARİTMETİK ORTALAMA... 8 B)GEOMETRİK ORTALAMA... 9 C)DÖRDÜNCÜ ORANTI... 9 Kaynakça...10 2
ÜNİTE HAKKINDA BİLGİ: Bu bölümde; önce oran konusunu sonra da orantı konusunu anlatacağız. Orantı konusu içinde doğru orantılı çoklukları, ters orantılı çoklukları bazı ortalama tanımlarını vereceğiz. ORAN Aynı cins iki çokluğun birbirine bölünerek karşılaştırılmasına oran denir. a ve b reel sayılarından en az biri sıfırdan farklı olmak koşuluyla a b ye a nın b ye oranı denir. ÖRNEK:1 Özlem in boyunun uzunluğu 113 cm, Derya nın boyunun uzunluğu 114 cm dir. Buna göre, Özlem in boyunun uzunluğu ile Derya nın boyunun uzunluğunu karşılaştıralım. Çözüm: Özle m in boyunun uzunluğu Dery a nın boyunun uzunluğu = 113 cm = 113 114 cm 114 olur. Oranın Özellikleri: Oranlanan çoklukların birimleri aynı tür ya da aynı cins olmalıdır. Oranda ölçü birimi yoktur. Kesirde olduğu gibi, oranın da payı ve paydası sıfırdan farklı bir sayı ile genişletilebilir. a = a.c b b.c, (c 0) Oranın payı ve paydası sıfırdan farklı bir sayı ile sadeleştirilebilir. 3
a = a:c b b:c, (c 0) ORANTI En az iki oranın eşitliğine orantı denir. Yani a b oranı c d nin eşitliği olan a:b=c:d ye orantı denir. İse; a:b=c:d a ile d ye dışlar, b ile c ye içler denir. 4
ÖRNEK:2 15 18 oranını ele alalım: 15 = 15:3 = 5 15 olduğundan; = 5 orantısı elde edilir. 18 18:3 6 18 6 Orantının Özellikleri a b = c d İse a.d=b.c *ikili bir oranda dışların (a ile d nin) çarpımı içlerin (b ile c nin) çarpımına eşittir.+ a:b:c=x:y:z ise burada; a=xk b=yk c=zk olur. x.y 0 olmak üzere; a b = c d = k ise; xa xb = yc yd = k dir. xa +yc xb +yd = k dir. an b n = cn d n = kn dir. 1)ORANTI ÇEŞİTLERİ A)DOĞRU ORANTI İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa ya da biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa bu iki çokluk doğru orantılıdır denir. Ya da kısaca, orantılıdır denir. Tanım X çokluğu ile y çokluğu orantılı olsun. K bir pozitif sabit olmak üzere, 5
K = y x eşitliğindeki k ye doğru orantı sabiti, Y = kx eşitliğine de doğru orantı denklemi denir. Doğru orantı kısaca, D.O. ile gösterilir. ÖRNEK:3 6 saatte 465 km yol giden bir otomobil, aynı hızla 4 saatte kaç km yol gider? Çözüm: Otomobil 6 saatte 465 km yol alırsa, aynı hızla 4 saatte daha az yol alacaktır. Verilen çokluklardan biri azalırken, diğeri de aynı oranda azaldığı için, bu çokluklar doğru orantılıdır. Bir orantıda bilinmeyenin değerini bulmak için, içler çarpımı ile dışlar çarpımı eşitlenir. Bu eşitlikten bilinmeyenin değeri bulunur. 6 saatte 465 km yol giderse, Azalış Azalış 4 saatte x km yol gider. YANİ DOĞRU ORANTI VAR. 6.x = 4.465 X = 4.465 6 ise x = 310 olur. 6
B)TERS ORANTI İki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa ya da biri azalırken diğeri aynı oranda artıyorsa bu iki çokluk ters orantılıdır denir. (GÜLMEZ, 2002) Tanım: X çokluğu ile y çokluğu ters orantılı olsun. K bir pozitif sabit olmak üzere, K = x.y eşitliğindeki k ye ters orantı sabiti, Y = k x eşitliğine de ters orantı denklemi denir. Ters orantı kısaca T.O.ile gösterilir. ÖRNEK:4 Bir işi 4 işçi 56 günde yapabiliyor. Aynı koşullar altında, 7 işçi bu işi kaç günde bitirebilir? Çözüm: İşçi sayısı arttığında işin tamamlanma süresi orantılı olarak azalır. Yani, işçi sayısı çokluğu ile işin tamamlanma süresi çokluğu ters orantılıdır. 4 işçi 56 günde yaparsa Artış Azalış 7 işçi x günde yapar. 7
YANİ TERS ORANTI VAR. Bir ters orantıda bilinmeyenin değerini bulmak için, üst terimlerin çarpımı ile alt terimlerin çarpımı eşitlenir. Bu eşitlikten bilinmeyenin değeri bulunur. 4.56 = 7.x X = 4.56 7 ise x = 32 olur. 2)TANIMLAR A)ARİTMETİK ORTALAMA x 1, x 2, x 3,, x n sayılarının; aritmetik ortalaması bu n tane sayının toplamının n ye bölümüdür. Aritmetik orta kısaca A.O. ile gösterilir. Kural: A.O. = x 1,x 2, x 3,, x n n dir. ÖRNEK:5 Ortalaması 12 olan 7 sayının toplamı kaçtır? Çözüm: N tane sayının aritmetik ortalaması, bu n tane sayının toplamının n ye bölümü olduğu için; 7 sayının toplamı x ve aritmetik ortalaması 12 ise; x y = 12 x = 84 tür. 8
B)GEOMETRİK ORTALAMA x 1, x 2, x 3,, x n sayıların; geometrik ortalaması bu n tane sayının çarpımının n. dereceden köküne eşittir. Geometrik orta kısaca G.O. ile gösterilir. Kural: G.O. = n x 1, x 2, x 3,, x n dir. (ÖZBEK, 2007) C)DÖRDÜNCÜ ORANTI a/b = c/d orantısını sağlayan x sayısına a, b, c sayıları ile dördüncü orantılı olan sayı denir. DOĞRU ORANTI GRAFİĞİ TERS ORANTI GRAFİĞİ 9
Kaynakça GÜLMEZ, S. (2002). Matematik. Ankara : Zafer Yayınları. ÖZBEK, M. (2007). Zirve-Matematik1. İZMİR: Zirve Dergisi Yayınları. www.sanalda1numara.com www.matematikcifatih.com www.gunceldir.com 10