Öğrenci Yerleştirme Sınavı (Öys) / Haziran 99 Matematik Soruları Ve Çözümleri. a b c d ve a, b, c, d tek sayılar olmak üzere, abcd dört basamaklı en büyük sayıdır. Bu sayı aşağıdakilerden hangisine kalansız bölünebilir? A) B) 6 C) 9 D) E) Çözüm a, b, c, d rakamları birbirinden farklı, tek sayı ve abcd sayısı en büyük olacağından a 9, b 7, c ve d alınırsa 97 sayısı, 9 + 7 + + 4.8 rakamlar toplamı ün katı olduğundan 97 sayısı ile kalansız bölünür.. Maliyeti a lira olan bir gömlek % karla (a ) liraya satılmıştır. Bu gömleğin maliyeti kaç liradır? A) B) 4 C) D) E) 4 Çözüm a a + a a. Belirli bir iş için kullanılan makine her gün belli bir süre çalıştırılarak bu iş günde bitiyor. Makinenin günlük çalışma süresi ü kadar kısaltılırsa, aynı iş kaç günde bitirilir? A) 4 B) 4 C) D) E) 6
Çözüm Makinenin her gün çalışma süresi t olsun. Makinenin çalışma hızı oranında azaltılırsa çalışma süresi t olur. Ters orantı yoluyla t süreyle t süreyle gün x gün t. t.x x 4 gün 4. Ardışık pozitif tamsayının toplamı 8 olduğuna göre, bu sayıların en küçüğü kaçtır? A) 7 B) 9 C) D) E) 8 Çözüm 4 Toplam sayı olduğundan : Ortanca sayı da 8. sayıdır. 8 9 ortanca sayı elde edilir. Sayılar ardışık olduğundan birer birer geri gelinirse en küçük sayı 9 7 olur.. a, b N + olmak üzere, a sayısı 7 ile bölündüğünde bölüm b, kalan dir. a sayısı ile bölündüğünde bölüm, kalan b olduğuna göre, a sayısı kaçtır? A) 67 B) 7 C) 7 D) 76 E) 79 Çözüm a 7.(b ) + a. + (b ) 7.(b ) +. + (b ) b 7 a 79 olur.
6. a < b olmak üzere üç basamaklı ab sayısı 6 ile tam bölünebildiğine göre, a yerine yazılabilecek sayıların toplamı kaçtır? A) B) C) D) 8 E) Çözüm 6 ab sayısı 6 ile tam bölündüğüne göre hem ile hem de ile tam bölünür. ile bölünebilme kuralına göre b {,, 4, 6, 8} değerlerini alır. ile bölünebilme kuralına göre rakamlar toplamı ün katı olmalıdır. b a a, 4, 7 olabilir ama a < b olmalı b a a,, 8 olabilir ama a < b olmalı b 4 a4 a,, 6, 9 olabilir ama a < b ve olur. b 6 a6 a, 4, 7 olabilir ama a < b b 8 a8 a,, 8 olabilir ama a < b ve 4 olur. ve olur. a,,,, 4, değerlerini alır, toplam + + + + 4 + olur. 7. (99) 99 in 9 ile bölümünden kalan kaçtır? A) B) C) D) E) 4 Çözüm 7 99 6 (mod 9) (99 in 9 ile bölümünden kalan : 6 ) 6 6 (mod 9) 6 (mod 9) 99 99 6 99 (mod 9) (mod 9) 8. a b c d olduğuna göre, b a + + c d değeri kaçtır? A) B) C) D) E) 4
Çözüm 8 Verilen orandan a.x ve b.x d.y ve c.y alınırsa b+ c a+ d x+ y x+ y elde edilir. 9. a, b, c birbirinden farklı pozitif tamsayılar ve a + c, a + b 8 olduğuna göre, b nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? b A) B) C) 7 D) E) Çözüm 9 a a+ + c b bb b.c 8 b.c b b, 8 in tam bölenleri olacağına göre, b {,, 4, 8} olabilir. b için a + 8 a 7 c 8 b için a + 8 a 6 c 4 b 4 için a + 4 8 a 4 (a b 4, a ve b birbirinden farklı olmadığından) b 8 için a + 8 8 a (a, pozitif tamsayı değil) a pozitif tamsayı olduğuna göre, (a > b) b {, } olur. b Buna göre, b nin alabileceği değerler toplamı + bulunur.. Bir kitaplıktaki Đngilizce kitapların sayısının Türkçe kitapların sayısına oranı dir. Đngilizce kitapların sayısı 4 den fazla olduğuna göre bu kitaplıkta en az kaç kitap vardır? A) 94 B) 9 C) 4 D) 96 E) 97 4
Çözüm Đ T. x ise,. x Đngilizce kitaplarının sayısı 4 den fazla olduğuna göre, x 8 için Đ + T x + x 6x 6.8 76. Saatteki hızları v ve v olan iki araç K noktasından aynı anda L noktasına doğru harekete başlamıştır. Hızı fazla olan araç öbüründen üç saat önce L noktasına vardığına göre, hızı az olan araç L noktasına kaç saatte gitmiştir? A) B) 4 C) D) E) 9 Çözüm Hızı v olan araç yolu t sürede tamamlasın. Hızı v olan araç yolu t sürede tamamlar. Alınan yollar eşit olduğuna göre, KL v.(t ) v.t t 9 t t 9. 6 ve 6+ sayısının aritmetik ortalaması kaçtır? A) 6 B) C) D) 6 E) 6+ 6 Çözüm 6 + 6+ + +
Not : a x + y b x.y olacak biçimde x, y R + varsa ; x > y olmak üzere a ± b ( x± y )² dir. Buna göre, a+ b ( x+ y)² x + y a b ( x y )² x y olur.. Gerçel sayılar kümesi üzerinde her a ve b için değişme özelliği olan a b a.b (b a) işlemi tanımlanmıştır. Buna göre, ( ) değeri kaçtır? A) 6 B) C) 4 D) E) 7 Çözüm Đşlemin değişme özelliği olduğundan, a b b a olur. Dolayısıyla a b a.b (a b) 4(a b) a.b a b a.b 4 olur. a b a.b 4 ( ).( ) 4 4 4. A R ve f : A R olmak üzere f (x) x sgn( x 9x+ 4) fonksiyonun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) [, ] B) [, 6] C) [, 7] D) [, 8] E) (, 8) 6
Çözüm 4 Fonksiyonu tanımsız yapan ifade paydayı sıfır yapan ifadedir. sgn(x² 9 x + 4) sgn(x² 9x + 4) olması için, x² 9x + 4 > olması gerekir. x² 9x + 4 > (x ).(x 7) > (, ) (7, + ) aralığında, sgn(x² 9x + 4) değeri olduğuna göre, f (x) fonksiyonun çözüm kümesi de [, 7] kümesidir.. f (x) x +, x g ( x) ve ( g of )( x) x + 6 olduğuna göre x kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 8 Çözüm I. Yol x g ( x) g ( ) x + x x x x ( g of )( x) ( ) o (x + ) 6 x (x+ ) (x+ ) x 6 6 x x 7
II. Yol ( g of )( x) 6 go ( g of )( x) g( 6) f (x) g( 6) x ( 6) g ( x) g( 6) x + ( 6) + f (x) g( 6) x + x bulunur. Not : Ters Fonksiyon d a f : R { } R { } c c y f (x) ax+ b cx+ d fonksiyonunun ter fonksiyonu, f : R { a } R { c d } y ( ) c x f dx+ b cx d 6. x² x + p denkleminin kökleri, aynı zamanda x³ + qx + denkleminin de kökleridir. Buna göre, p + q nun değeri kaçtır? A) 8 B) 6 C) D) 4 E) 8
Çözüm 6 I. Yol x² x + p denkleminin kökleri, x ve x olsun. x + x x.x p x³ + qx + denkleminin kökleri; x, x ve x olsun. x + + x x x. x x.. ortak ifadeler kullanılırsa, x + x + x + x x x. x p.( ) p 6 x.. x x³ + qx + denklemini sağlar. ( )³ + q( ) + q 9 Buna göre, p + q 6 + ( 9) bulunur. 9
II. Yol x² x + p denkleminin kökleri x³ + qx + denkleminin de kökleri olduğundan, x³ + qx + denkleminin çarpanlarından biri x² x + p, diğeri de polinom derecesinden x + a dır. x³ + qx + (x² x + p).(x + a) Polinomların eşitliğinden x³ + qx + x³ + ax² x² ax + px + pa x³ + qx + x³ + (a )x² + (p a)x + pa a a pa p. p 6 p a q 6. q 9 a, p 6 ve q 9 olur. Buna göre, p + q bulunur. Not : Đkinci Derece Denkleminin Kökleri ile Katsayıları Arasındaki Bağıntılar ax² + bx + c denkleminin kökleri x ve x ise kökler toplamı : x + x c kökler çarpımı : x.x a b a Not : Üçüncü Dereceden Bir Denklemin Kökleri ile Katsayıları Arasındaki Bağıntılar ax³ + bx² + cx + d denkleminin kökleri x, x ve x ise kökler toplamı : x + x + x kökler çarpımı : x. x.. x d a b a ve x. x x. x + x x +. c a
7. (p + 6)x² + 7(p + )x + (p ) denkleminin gerçel kökleri x, x dir. x < < x x > x olması için p nin alabileceği değerler gerçel kökleri hangisidir? A) ( 6, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (, 6) Çözüm 7 p x < < x x. x < < p+ 6 Eşitsizliğinin çözüm kümesi : ( 6, ) 7( p+ ) x > x x +x < < p+ 6 Eşitsizliğinin çözüm kümesi : (, 6) (, + ) ifadelerinden p nin alabileceği değerler (, ) aralığındadır. 8. 4logx 7 log denklemini sağlayan x değeri kaçtır? log 9 x A) B) C) D) 6 E) 9 Çözüm 8 4log x log log x 4log log 4log x x log log log log x x log x x x
9. log a, 9 olduğuna göre, log a nın değeri kaçtır? A), 977 B), 7 C), 644 D), 7 E), 644 Çözüm 9 log a, 9 log a +,9 log a loga log a ( +,9) (,869),6 +,6 +,977, 977 Not : Bir sayının logaritmasının tam kısmı (karakteristiği) ve ondalık kısmı (mantisi) k tamsayı, m < olmak üzere, her a pozitif gerçel sayısı için log a k + m olacak biçimde k ve m sayıları vardır. k tamsayısına a nın logaritmasının tam kısmı (karakteristiği), m sayısına da a nın logaritmasının ondalık kısmı (mantisi) denir. Not : Bir sayının logaritmasının karakteristiği negatif ise karakteristiğin üzerine ( ) işareti konularak gösterilir.. cos arc cot değeri kaçtır? A) B) C) 4 4 D) E)
Çözüm cos arc cot arc cot a olsun. cosa? cot a olduğuna göre, cos a cosa cos ² a π. x olmak üzere sinx cot x + olduğuna göre x açısı aşağıdakilerden hangisidir? + cosx A) π B) π C) 4 π D) 6 π E) 8 π Çözüm cosx sinx + sinx + cosx payda eşitlenirse, cos x+ sin x+ cosx sinx(+ cosx) + cosx sinx(+ cosx) π sin x x 6. i ve n pozitif tamsayı olmak üzere i 8n + i i 4n 4n ifadesinin kısaltılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) i B) i + C) i D) E)
Çözüm i i ² i 8n + i i 4n 4n 8 n 4 ( i ). i + ( i ) 4 n ( i ). i n + i + i i. z x + iy ve z z olduğuna göre, z nin karmaşık düzlemdeki geometrik yeri aşağıdakilerden hangisidir? A) Gerçel eksene dik bir doğru B) Sanal eksene dik bir doğru C) birim çaplı bir çember D) Bir elips C) Bir parabol Çözüm z x + iy ve z z x + iy x + iy x + y ( x ) + y x + + y ( x ) y 4x 4 x doğrusu elde edilir. Bu doğru da x eksenine (gerçel eksen) dik bir doğrudur. 4. 8 kişilik bir gruptan kişilik kaç değişik takım kurulabilir? A) 6 B) 4 C) 68 D) E) 6 4
Çözüm 4 8 8 C ( 8,) C(8,) 8 8! 8! (8 )!.!!.! 8.7.6..4......4... 8.7.6 8.7 6... Bir torbada 6 beyaz, 4 siyah bilye vardır. Bu torbada rasgele çekilen bilyeden birinin beyaz, diğer ikisinin siyah olma olasılığı kaçtır? A) B) 9 C) 4 D) 4 E) Çözüm C(6,). C(4,) C(,) 6 4. 4. 6..9.8. 6 6. Bir dikdörtgenin bir kenarı % uzatıldığında, alanın değişmemesi için diğer kenarı yüzde kaç kısaltılmalıdır? A) B) C) D) E) Çözüm 6 Alan a.b olsun. a a a kenarı % uzatıldığına göre : a + olur. 4 4 a 4b Alanın değişmemesi için : a.b.x x olması gerekir. 4 4b Başlangıçta b iken sonra olduğuna göre, 4b b b. b % kısaltılmalıdır.
7. ABCD bir dikdörtgen [AZ] [ZY] m(zab) AD 4 birim ZY 4 birim Yukarıdaki verilere göre AB kaç birimdir? A) + 4 B) + 4 C) + 4 D) + 4 E) 7 Çözüm 7 m(zab) olduğuna göre, ADZ dik üçgeninde, m(daz) 6 ve m(dza) YCZ dik üçgeninde, m(yzc) 6 ve m(zyc) Buna göre, ADZ dik üçgeninde, DZ 4 YCZ dik üçgeninde, CZ AB DC DZ + ZC 4 + bulunur. Not : Dik üçgen özellikleri Bir dar açının ölçüsü olan dik üçgende, karşısındaki kenarın uzunluğu hipotenüsün yarısına, 6 karşısındaki kenar uzunluğu hipotenüsün katına eşittir. 6
8. m(bac) 9 AB 7 cm EC 4 cm BD DC Şekilde verilenlere göre, EBD üçgenin alanı kaç cm dir? A) B) 4 C) 7 D) 9 E) Çözüm 8 4.7 8 Alan(BCE) 4 Aan(BDE). Alan(BCE). 4 7 Not : Yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanları oranı, tabanları oranına eşittir. 9. L, M, N doğrusal L, B, C doğrusal LB birim BC birim LM 4 birim MN birim NA Şekildeki verilere göre oranı kaçtır? NC A) 7 B) 7 7 C) 6 D) 4 E) 4 7
Çözüm 9 (ABC) üçgeninde, Menalaüs Teoremine göre, AN AC 4.. AN 6 NA AC NC 7 Not : Menalaüs Teoremi Bir d doğrusu, ABC üçgeninin iki kenarını ve üçüncü kenarın uzantısını şekildeki gibi D, E, F noktalarında kesiyorsa DC DB BF AE.. dir. FA EC. Şekildeki ABC eşkenar üçgeninin kenarları üzerinde, AD BE CF x olacak şekilde D, E, F noktaları alınıyor. Alan ( DEF) Alan( ABC) ve BC 6 cm olduğuna göre, x kaç cm olabilir? A) B) C) D) + E) 8
Çözüm Alan ( DEF) Alan( ABC) olduğuna göre, Alan(DEF) s olsun. Alan(ABC) 6s AD BE CF x ve BC 6 olduğuna göre, BD AF CE 6 x s(a) s(b) s(c) 6 Đki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açı : ADF, CEF, BDE üçgenlerinde eşit olduğundan, Alan (ADF) Alan (BDE) Alan (CEF) olur. Alan (ADF) Alan (BDE) Alan (CEF) s olur. 6² Alan(ABC) 9 6s s 4 Alan (ADF) Alan (BDE) Alan (CEF) s Đki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açısı bilinen üçgenin alanına göre, s.x.(6 x).sin6 x² 6x + 6 x m + x + Not : Đki kenarı ve aradaki açısı verilen üçgenin alanı Alan (ABC).b.c.sin(A) Alan (ABC).a.c.sin(B) Alan (ABC).a.b.sin(C) 9
. ABCD bir ikizkenar yamuk m(aeb) 9 AB 6 cm CD cm AD BC Şekildeki verilere göre, ABCD ikizkenar yamuğunun alanı kaç cm dir. A) 4 B) 6 C) 8 D) E) Çözüm ABCD bir ikizkenar yamuk ve köşegenleri dik kesiştiğine göre, (DEC) üçgeninde öklid uygulanırsa, h². h (AEB) üçgeninde öklid uygulanırsa, k². 9 k (ABCD) yamuğunun yüksekliği h + k + 4 (6+ ).4 alan(abcd) 6 Not : Öklid bağıntıları I ) h² p.k II ) c² p.a b² k.a III ) h² b² + c²
Not : Đkizkenar Yamuk Köşegenleri dik kesişirse, c a c a a+c x ve y olup h x + y + olur. Not : Đkizkenar dik üçgende hipotenüse ait yükseklik, aynı zamanda açıortay ve kenarortaydır.. m(abc) 9 m(aed) 9 m(bae) BD cm CD cm AD x Şekildeki verilere göre, AD x kaç cm dir? A) B) C) D) E) 7
Çözüm I. Yol (ABD) üçgeni, 6 9 dik üçgen olduğuna göre, BD AB bulunur. Dörtgenlerin özelliğinden, Köşegenler dik olan dörtgenin, karşılıklı kenarların kareleri toplamı birbirine eşit olacağından, BO ² + DO ² ² 4 CO ² + AO ² x² DO ² + CO ² ² 9 AO ² + BO ² AB ² ( )² 4 + x² 9 + x² 7 x 7 II. Yol (ABD) dik üçgeninde, BD AD 4 ve AB (BOD) dik üçgeninde, BD OD DC ve OD OC OC ve AO AC 7 Not : Dik üçgen özellikleri Bir dar açının ölçüsü olan dik üçgende, karşısındaki kenarın uzunluğu hipotenüsün yarısına, 6 karşısındaki kenar uzunluğu hipotenüsün katına eşittir.
Not : Dörtgenler Köşegenler birbirine dik ise karşılıklı kenarların kareleri toplamı birbirine eşittir. a² + c² x² + t² + y² + z² b² + d² z² + t² + x² + y² a² + c² b² + d². Bir düzgün dörtyüzlünün tüm alanı 6 birim karedir. Bu dörtyüzlünün yanal yüksekliği kaç birimdir? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E)
Çözüm Düzgün dörtyüzlü 4 tane eşkenar üçgenden meydana geldiğine göre, Eşkenar üçgenin bir kenarı a olsun. Eşkenar üçgenin alanı a² 4 olduğuna göre, 4 a ² 6 a 6 bulunur. 4 h 6 h 8 Not : Dik üçgen özellikleri Bir dar açının ölçüsü olan dik üçgende, karşısındaki kenarın uzunluğu hipotenüsün yarısına, 6 karşısındaki kenar uzunluğu hipotenüsün katına eşittir. 4
4. Şekildeki [BT ışını O merkezli [OA] yarıçaplı çembere T noktasında teğettir. OA AB cm olduğuna göre, TAB üçgeninin alanı kaç cm dir? A) B) C) 6 D) 7 E) Çözüm 4 T noktası teğet olduğuna göre, OT BT OA AB OT (OBT) dik üçgeninde BT olur. Đki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açının sinüsü bilindiğine göre, Alan(TAB)...sin(B). 4 elde edilir. Not : Yarıçap teğete değme noktasında diktir.
Not : Đki kenarı ve aradaki açısı verilen üçgenin alanı Alan (ABC).b.c.sin(A) Alan (ABC).a.c.sin(B) Alan (ABC).a.b.sin(C). ABCDEFGH bir birim küp olduğuna göre, [DF] ve [DA] arasındaki açının cosünüsü kaçtır? A) B) C) D) E) 4 Çözüm I. Yol s(a) 9, AF ² + ² DF ² + ( )² Cos(D) 6
II. Yol AF ² + ² DF ² + ( )² Kosinüs teoremine göre, ( )² ² + ( )²...cosx 4.cosx cosx Not : Kosinüs teoremi Bir ABC üçgeninde, a² b² + c².b.c.cos(a) b² a² + c².a.c.cos(b) c² b² + a².a.b.cos(c) 6. < x < olmak üzere, n + n n y toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) x B) y C) y D) y E) + y 6 y Çözüm 6 n + y n n n ( ) n + n y ) ( n. + + ( )² +... y +. + + ( )² +.... + y. y. + y. y y + y y+ 6 y 7
Not : + r + r² +..... + r n r n k k + r n r : ( r ) 7. 6x² 6c² lim c x 4sin( x c) değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 4 B) 8 C) 8x D) 6x E) x Çözüm 7 6x² 6c² lim c x 4sin( x c) belirsizliği vardır. L hospital uygulayalım. c x lim 8x c x 4cos( x c) 4cos elde edilir. Not : L Hospital Kuralı f ( x) lim x x g( x) / f ( x) f ( x) limitinde veya belirsizliği varsa, lim lim olur. x x / g( x) x x g ( x) 8. m, n gerçel sayılar, m 6n ve (n ) x + ( m ) x + x lim x + mx nx + 7x+ olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır? A) 8 B) C) D) 7 E) 9 Çözüm 8 Pay ve paydanın dereceleri eşit olduğuna göre, n m n m n m m 6n olduğuna göre, m 6n eşitliklerinden, n ve m 6 m + n 6 7 olur. 8
Not : a x + a +... + a n n n n lim x ± m m bmx + bm x +... + b x a x n n lim x ± m bmx an b n +,, n m ise n< m ise veya, n> m I Pay ve paydanın dereceleri eşitse en büyük dereceli terimlerin katsayılarının oranı limittir. II Paydanın derecesi büyükse limit sıfırdır. III Payın derecesi büyükse limit + veya dur. 9. y sinx + cosx in, π aralığında aldığı en büyük değer kaçtır? A) B) C) D) E) 6 Çözüm 9 I. Yol y sinx + cosx y cosx sinx cosx sinx cotx cotx sinx, cosx y sinx + cosx +. 9
II. Yol y sinx + cosx ise tany olsun. y sinx + tany.cosx y sinx + siny.cosx cosy y y sin x.cosy+ siny.cosx cosy sin( x+ y) cosy tany olduğundan, cosy sin(x + y) olduğundan, y nin en büyük değeri için : y elde esilir. Not : Đki Açının Toplamının / Farkının Trigonometrik Değerleri sin(a + B) sina.cosb + cosa.sinb sin(a B) sina.cosb cosa.sinb cos(a + B) cosa.cosb sina.sinb cos(a B) cosa.cosb + sina.sinb
cos x 4. f (x) ln ( ) olduğuna göre, f kaçtır? / π A) ln B) ln C) ln D) ln E) ln Çözüm 4 cos x cos x f (x) ln ( ) ln cosx.ln / f ( x) (cosx.ln).sinx.ln / π π π f.sin(. ).ln.sin( ).ln.( ).ln.ln 4. x 6sint y 6cos²t denklemi ile verilen y f (x) fonksiyonun x apsisli noktadaki türevinin değeri kaçtır? A) B) C) D) E) Çözüm 4 / y f (x) y f ()? dy dy t t y 6cos²t dt..6cos ( sin ) sin t dx dx.6cost dt x 6sint x için, 6sint sint dy dx sin t.
x+ 4. dx integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir? x 9x+ 4 A) ln x + ln x + + c B) ln x +ln x + + c C) ln x 7 ln x + c D) ln x ln x + + c E) ln x 7 + ln x + c Çözüm 4 x+ x+ dx x 9x+ 4 dx ( x 7).( x ) Kesrin paydası çarpanlarına ayrıldığı için basit kesirlere ayrılarak integral alınır. x+ ( x 7).( x ) a + x 7 b x ax a + bx 7b x + a + b a 7b a ve b olur. x+ dx ( x 7).( x ) ( ) dx dx dx+ dx. x 7 x x 7 x ln x 7 ln x + c 4. sin(arccos x ) dx integralinde t arccosx dönüşümü yapılırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir? π π π A) 4.sin tdt B) 4.cos tdt C) 4 costdt π π 4 D) cos tdt π 4 E) π sin tdt
Çözüm 4 sin(arccosx ) dx t arccosx dönüşümü yapılırsa, x cos t dx sint dt x cos t olduğuna göre, x için, t π x π için, t olur. 4 π 4 π 4 sin ( sint) dt t sin ² tdt elde edilir. π π 44. Şekildeki f (x) doğrusu x noktasında y g (x) eğrisine teğettir. / g ( x) a dx ln olduğuna göre, a kaçtır? g( x) 8 A) 6 B) C) 4 D) E)
Çözüm 44 / g ( x) dx g( x) ln g(x) ln g() ln g() ln 8 a f (x) doğrusu x noktasında y g (x) eğrisine teğet olduğuna göre, f ( ) g() ise f (x) doğru denklemini bulalım. Đki noktası verilen doğru denklemine göre, (4, ) ve (, ) y x 4 4 y 4 x 4 x + y 4 elde edilir. x için, + y 9 9 y ise, g() 4 4 4 x için, g() 6 a ln g() ln g() ln 8 9 9 ln( ) ln(6) ln( 4 ) ln( ) 4 6 8 a bulunur. Not : Đki noktası bilinen doğru denklemi A(x, y ) ve B(x, y ) y y y y x x x x Not : Doğrunun eksen parçaları türünden denklemi (a, ) ve (, b) noktalarından geçen doğrunun denklemi x y + a b 4
4. y f (x) eğrisinin (, ) noktasındaki teğeti x ekseni ile lik açı yapmaktadır. // f ( x) 6x olduğuna göre, eğrinin y eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır? A) B) C) D) Çözüm 4 69 E) f ( ) y f (x) eğrisinin (, ) noktasındaki teğeti ile x ekseni arasındaki açı : olduğundan, / m T tan f ( ) // // / f ( x) 6x olduğuna göre, f ( x) 6 x f ( x) 8x² + c / f ( ) olduğundan, 8.( )² + c c / / f ( x) 8x² + c f ( x) 8x² / 8x³ f ( x) 8x ² f (x) x+ c f ( ) olduğundan, 8( )³ ( ) + c 64 4 + 66+ c + c c - 8x³ f (x) x+ c f (x) 8x³ x Fonksiyonun y eksenini kestiği nokta : x için, f ()
46. A ve B x z y t olmak üzere A.B A B olduğuna göre, B matrisi aşağıdakilerden hangisidir? A) 6 B) 7 C) D) 7 8 4 E) Çözüm 46 x y A.B A B x y. z t z t (-).x+.z.x+.z (-).y+.t x y.y+.t z t x+ z y+ t x y x y z t x + z x z y + t y t x z x ( ) y t y Buna göre, B x z y t olur. 6
47. x² xy + y² x + y şekildeki verilen ikinci dereceden denklem aşağıdakilerden hangisinin denklemidir? A) Kesişen iki doğru B) Paralel iki doğru C) Bir elips D) Bir çember E) Bir hiperbol Çözüm 47 x² xy + y² x + y (x y)² (x y) (x y)(x y ) x y y x x y y x Paralel iki doğru 48. y x² eğrisi üzerinde, P(, ) noktasına en yakın olan noktanın apsisi kaçtır? A) 4 B) C) D) E) Çözüm 48 I. Yol y x² eğrisi üzerinde, P(, ) noktasına en yakın nokta A(a, a²) olsun. P(, ) AP uzunluğu, iki nokta arası uzaklık formülüne göre, AP ( a ( ))² + (( a²) )² fonksiyonunun en küçük değerini bulmamız gerekir. AP ( a+ )² + (( a²))² AP a ² + a 4 + 6a+ 9 f (a) / / f ( a) f ( a) 4a³ + a+ 6 a 4 + a² + 6a+ 9 a³ + a + a 7
II. Yol A(x, y) noktası, y x² eğrisi üzerinde olsun. A(x, y) A(x, x²) AP en küçük olması için, PA T olmalıdır. Teğetin eğimi : y x² y x m T x PA doğrusunun eğimi : iki noktası bilinen doğrunun eğiminden, m PA ( x²) x ( ) x² x+ m PA x² x+ PA T olduğuna göre, m. m PA T x ² x³ ( ).( x) x+ x+ x³ x x³ + x + x 49. A(, ) noktasının y ax doğrularına göre simetrileri olan noktaların geometrik yerinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x² + y² 6 B) (x )² + (y )² C) x² + (y )² 6 D) (x )² + (y )² 6 E) (x )² + y² Çözüm 49 I. Yol Deneme yanılma yöntemiyle, (, ) noktasını sağlayan denklem : x² + (y )² 6 seçeneklerden buluruz. 8
II. Yol y ax y ax + doğrusu x için y (, ) y için x (, ) a a noktalarından geçecektir. A, A noktasının simetriği olsun. (, ) noktasına P diyelim. A(, ) noktasının, P(, ) noktasına uzaklığı : AP ( )² + ( )² + 6 P(, ) noktasına 6 birim uzaklıktaki noktaları bulmak için P merkezli yarıçapı 6 olan çember çizilir. P(, ) ve r 6 (x )² + (y )² ( 6 )² x² + (y )² 6 olur. Not : I Düzlemde sabit bir d doğrusu ve d doğrusu üzerinde sabit bir P noktası alınıyor. II d doğrusuna a cm ve P noktasına b cm uzaklıktaki noktaların geometrik yeri için, III P noktasına b cm uzaklıktaki noktaları bulmak için P merkezli b cm yarıçaplı çember çizilir. 9
. y x² 4x ve y x² + x parabolünün kesim noktalarından ve (, ) noktasından geçen türdeş (aynı türden) parabolün denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x² x 7y B) x² 7x y C) 7x² 6x y D) 7x² 7x E) 6x² 7x y Çözüm y x² 4x y x² + x Kesim noktaları : x² 4x x² + x x 6, y 4 6 (, ) 4 Aynı türden parabolün denklemi : y ax² + bx olsun. (, ) noktasından geçtiğine göre, a + b a b 6 (, ) noktası da denklemi sağladığına göre, 4 6 a( )² + b( ) 6 a b 4 a b olduğuna göre, 6 a + a a 6, b bulunur. 7 7 y ax² + bx y x² x x² x 7y 7 7. y mx + doğrusu 9x² + y² elipsine teğet olduğuna göre, m aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) 4 D) E) 4
Çözüm I. Yol 9x² + y² elipsi ile y mx + doğrusu teğet olduğuna göre, b²x² + a²y² a²b² elipsi ile y mx + n doğrusunun teğetlik şartı : a²m² + b² n² olduğundan, 6 m² + 9 m² m ± 4 elde edilir. II. Yol Elipsin denklemi : 9x² + y² 9x² + y² Değme noktası : ( x, y ) ise Teğetin denklemi : 9xx + yy olur. Bu doğrunun, y mx doğrusunu göstermesi için m y 9x olmalıdır. 9 Buna göre, y bulunur. Değme noktası elips denklemini sağlayacağından, 9 9x + ( )² x ± 4 elde edilir. Değme noktası doğru denklemini de sağlayacağından, 9 9 ( x, y ) (4, ) y mx + m.4 + m 4 9 9 4 ( x, y ) ( 4, ) y mx + m.( 4) + m 4
III. Yol Elips denklemi : 9x² + y² 9x² + y² x ² ² + y 9 Değme noktası : ( x, y ) ise Bu noktadaki teğetin eğimi, türevin ( x, y ) noktasındaki değeri olduğuna göre, Kapalı fonksiyonun türevini alalım. / x yy + / y 9 9x y Teğetin denklemi : 9xx + yy olur. Bu doğrunun, y mx doğrusunu göstermesi için m y 9x olmalıdır. 9 Buna göre, y bulunur. Değme noktası elips denklemini sağlayacağından, 9 9x + ( )² x ± 4 elde edilir. 9 Değme noktası : ( x, y ) ( 4, ) ise m / y 9.( 4) 4 elde edilir. 9. 4
Not : Bir doğru ile bir elipsin ortak noktaları x² y² + a² b ² elipsi ile y mx + n doğrusunun ortak noktaları b²x² + a²y² a²b² y mx + n sisteminin çözümleridir. Birinci denklemde y yerine (mx + n) konur ve gerekli düzenlemeler yapılırsa (b² + a²m²) + (mna²)x + (a²n² a²b²) Đkinci dereceden denklemi elde edilir. a²b²(a²m² + b² n²) olacağından, ise doğru ile elipsin bir ortak noktası vardır, yani teğettir. Buna göre, a²m² + b² n² ise doğru elipse teğettir. Not : Elipse üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin denklemi x² y² Denklemi + a² b ² x teğetin denklemi :. x y. y + a² b ² olan elipse, üzerindeki bir P( x, y ) noktasından çizilen Eğer elips denklemi b²x² + a²y² a²b² biçiminde ise teğet denklemi : b² x x + a² y y a²b² 4
Not : Elips üzerindeki P( x, y ) noktasının teğetinin eğimi, türevin P( x, y ) daki değeridir.. Eksenler üzerinde e ve e birim vektörleri alınmıştır. e birim vektörü başlangıç noktası etrafında, pozitif yönde α kadar döndürülürse, elde edilen y vektörü aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) e cosα + e sinα B) e sinα + e cosα C) e sinα e sinα D) e cosα e sinα E) e sinα + e cosα Çözüm cos α a a cos α sin α b b sin α y e cos α + e sin α Adnan ÇAPRAZ adnancapraz@yahoo.com AMASYA 44