Öğrenci Yerleştirme Sınavı (Öys) / 23 Haziran Matematik Soruları Ve Çözümleri

Transkript

1 Öğrenci Yerleştirme Sınavı (Öys) / Haziran 996 Matematik Soruları Ve Çözümleri. Bir sınıftaki örencilerin 5 nin fazlası kız örencidir. Sınıfta erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı kaçtır? A) B) 8 C) 6 D) E) Çözüm Toplam öğrenci = olsun. Kız öğrenci sayısı = 5. + Erkek öğrenci sayısı = = = =.5 = Kız öğrenci sayısı = 5. + = 5. + = 8 olur.. Emine ile annesinin yaşlarının toplamı 9 dur. yıl önce annesinin yaşı Emine nin yaşının katı olduğuna göre, Emine şimdi kaç yaşındadır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) Çözüm Emine = ve Anne = y yaşında olsun. + y = 9 yıl önce emine = ve anne = y olur. y =.( ) y = 8 y = 6 + y = 9 5 = 5 = 9

2 . Serap bir kitabı her gün bir önceki günden 5 sayfa fazla okuyarak 6 günde bitiriyor. Serap. günün sonunda kitabın ünü okuduğuna göre, kitap kaç sayfadır? A) 6 B) 9 C) D) E) 5 Çözüm Kitaba başlama sayfası = olsun. Kitabın tamamı : + ( + 5) + ( + ) + ( + 5) + ( + ) + ( + 5) = günün sonunda,.(6 + 75) = = = Kitabın tamamı : = = = m lik bir arazi 9 ile doğru orantılı, ve 5 ile ters orantılı olarak üç parçaya ayrılmıştır. Buna göre, en büyük parça kaç m dir? A) 5 B) C) 5 D) E) Çözüm Arazi a, b, c olarak üç parçaya ayrılmış olsun. a + b + c = 85 a 9 b c a = = = b= 5c = t olsun. 9 5 a = 9t, b = t, c = 5 t a + b + c = 85 olduğuna göre, 9t + t + 5 t = 85 9t + 7t =.85 t = 5 a = 9t = 9.5 = 5 olur.

3 5. Etiket fiyatı maliyet üzerinden % 5 karla hesaplanan bir malın indirimli fiyatı etiket fiyatından 75, TL azdır. Bu mal indirimli fiyatla satıldığında maliyet üzerinden % zarar edildiğine göre, malın maliyeti kaç TL dir? A), B) 5, C), D) 5, E), Çözüm 5 I. Yol Etiket fiyatı = maliyet fiyatı + % 5.maliyet fiyatı m e = m + Đndirimli fiyat = etiket fiyatı 75, = maliyet fiyatı %.maliyet fiyatı e 75, = m 5 m m + m 75, = m 5 m m m 75, = 5 m 6m = 75, 5m = 75, m =, II. Yol Maliyet. ise etiket fiyatı 5. olur. % zarar oluyorsa yeni fiyat 8. demektir. Aradaki fark = = 75 = Maliyet. =. =

4 6. Saatteki hızı v olan bir hareketli A ve B arasındaki yolu 8 saatte almıştır. Bu hareketli yolun yarısında saatte v hızıyla, diğer yarısında da v hızıyla giderse, yolun tamamını kaç saatte alır? A) 7 B) 8 C) 9 D) E) Çözüm 6 Yolun tamamı = olsun. Saatteki hızı = v t = 8 saat = v.t = 8 v v =.t = v.t 8 v = v.t t = 8 = v.t = v.t 8 v = v.t t = t + t = 8 + = saat işleminin sonucu kaçtır? A) 6 B) C) 5 D) E) 8 Çözüm (+ 5) = = = = = = = =. = (+ ) 6+ 8

5 8. = olduğuna göre, ( 5) + ( 5) + ( 5) + ifadesinin değeri kaçtır? A) 7 7 B) 7 C) D) 7 8 E) 7 Çözüm 8 ( 5) + ( 5) + ( 5) + = [( 5)+] = ( ) = olduğuna göre, ( ) = ( ) 8 = 7 9. a, b, c birer pozitif sayı ve a+b c aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? < c a + olduğuna göre, A) c < b B) b < c C) a < b D) b < a E) a < c Çözüm 9 a+b c a a b a < + + < + c c c c b < c b < c. = ( ) ) y = olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? ( z = ( ) A) z < < y B) z < y < C) y < < z D) < y < z E) < z < y Çözüm = ( ) = ) y = = 8 < 6 < 8 < z < y ( z = ( ) = 6

6 . a, b pozitif tamsayılar ve a.b = a + olduğuna göre, b nin en küçük değeri almasını sağlayan a aşağıdaki aralıklardan hangisindedir? A) [, 5] B) [, ] C) [7, 9] D) [, 6] E) [, ] Çözüm a.b = a + b = a+ a b = + a a = {,, 7, } b nin en küçük değeri alması için a nın değeri en büyük seçilir. a = b = olur. O halde, a = [, 5] aralığında olur..,+, =,7+,5 olduğuna göre, kaçtır? A) B) C) D),8 E),7 Çözüm,+, =,7+,5,6. +, =,. +,5,5. =,5 = 5 5 =. A = {,,,, 5} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 5 elemanı bulunur? A) B) C) D) 6 E) 8

7 Çözüm 5 barındırmayan alt kümeleri : elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı = = 6 {5}, {, 5}, {, 5}, {, 5}, {, 5}, {,, 5}, {,, 5}, {,, 5}, {,, 5}, {,, 5}, {,, 5}, {,,, 5}, {,,, 5}, {,,, 5}, {,,, 5}, {,,,, 5}. (96) + (97) toplamının 5 ile bölümünden kalan kaçtır? A) B) C) D) E) Çözüm 96 (mod 5) (96) (mod 5) 97 (mod 5) (97) (mod 5) (96) + (97) + 5 (mod 5) 5. ile 5 arasında bulunan ve 5 ile kalansız bölünebilen sayıların toplamı kaçtır? A) 9875 B) C) 5 D) 5 E) 75 Çözüm 5 I. Yol.....,,,,....., 5,...,, , 5,..., 5,..., 5 Bizden istenilen = 5.( ) Sonuç için ; den 7 e kadar olan sayıların toplamından den ye kadar olan sayıların toplamından çıkartırız ve 5 ile çarparız = 5. = 5. = 5.75= 75

8 II. Yol 7 = 5 tane Toplam = = 55.5 = f () =. f ( ) ve f (5) = 6 olduğuna göre, f () değeri kaçtır? A) B) C) D) E) Çözüm 6 f () =. f ( ) ve f (5) = 6 = 5 için f (5) =. f ( 5 ) =. f () = 6 f () = ve = için f () =. f ( ) =. f () = f () = olur. 7. f () = a + b f () = olduğuna göre, a.b çarpımı kaçtır? f () = 5 A) 7 B) 6 C) 5 D) E) 6

9 Çözüm 7 I. Yol f () = f ( f ()) = f () = f () f () = 5 f ( f ()) = f (5) = f (5) f () = a + b f () = a + b = f (5) = 5a + b = a = ve b = 7 a.b = ( ).7 = 7 II. Yol f () = a + b = f ( ) b a f ( ) = b a f () = f () = f () = 5 f () = b a b a = a = b a + b = = 5 5a = b 5a + b = a = ve b = 7 a.b = ( ).7 = 7 8. log = a log = b olduğuna göre, log 7 nin a ve b türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) b a B) a b C) a b D) a + b E) a + b Çözüm 8 log 7 =.a +.b log = + =.log.log 8.9 log. = log log +

10 = olduğuna göre, kaçtır? A) B) C) D) E) 5 Çözüm = (.7) = (. ) = = (+) = = + 79 = + = 79 + = 6 + = 6 =. ² m + m = denkleminin kökleri ve dir. + > olduğuna göre, m nin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) (, + ) B) (, ) C) R {} D) (, ) E) (, ) Çözüm + > + >. m > m m+ > m m > m > m + > m < < m <

11 Not : Đkinci Derece Denkleminin Kökleri ile Katsayıları Arasındaki Bağıntılar a² + b + c = denkleminin kökleri ve ise kökler toplamı : + = b a kökler çarpımı : =. c a. P ( ) = + ³ + ² + a a kaç olmalıdır? polinomunun ²+ ile kalansız bölünebilmesi için, A) B) Çözüm C) D) E) Kalan = olacağına göre, P() = (² + ).B() + kalan ²+ = ² = yazılırsa, eşitliğin sağ tarafı sıfır olacağından, P ( ) = + ³ + ² + a = ( ) a ( ) + ( ) + ( ) + a= + a= a= a =

12 . ABC bir üçgen D [BC] m(acd) = α m(cad) = β m(adb) = 5β m(dab) = β AD = cm CD = 9 cm AC = cm Yukarıdaki verilere göre, AC = kaç cm dir? A) 5 B) 6 C)7 D) 8 E) 9 Çözüm ACD üçgeninde, bir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşit olduğuna göre, α + β = 5β α = β olur. ABC üçgeninde, β + β + α + α = 8 5 β + 5α = 8 ( α = β ) α = 8 α = β = 8 s(d) = 5.8 = 9 CDA dik üçgeninde, = 9² + ² (pisagor) ² = 8 + = 5 = 5 Not : α = β = 8 bulunmaktadır. ADC üçgeninde, tan8 = 9 = olur. Ancak ; tan8 =,9 dur. Bu nedenle soru hatalıdır.

13 . ABC bir üçgen m(abc) = 5 m(bca) = AC = 6 cm AB = cm Yukarıdaki verilere göre, AB = kaç cm dir? A) B) C) D) E) Çözüm I. Yol BC AH dikmesini çizelim. AHC, 6 9 dik üçgeninde, AH = olur. [ derecenin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısına eşittir.] AHB ikizkenar dik üçgeninde, AH = ise BH = olur. O halde pisagordan; = + = 8 = II. Yol ABC üçgeninde Sinüs Teoremi uygulanırsa, sin = 6 sin 5 = = 6 = = =

14 Not : Dik üçgen özellikleri Bir dar açının ölçüsü olan dik üçgende, karşısındaki kenarın uzunluğu hipotenüsün yarısına, 6 karşısındaki kenar uzunluğu hipotenüsün katına eşittir. Not : Sinüs Teoremi Kenar uzunlukları a, b, c birim olan ABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı R ise sin a A b c = = = R dir. sin B sin C. ABC bir üçgen (ABC) D = {D, E} [AB d ={F} AB = 8 cm BF = 6 cm AD = cm Yukarıdaki şekilde Alan(CDE) = Alan(EBF) olduğuna göre, AC kaç cm dir? A) B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

15 Çözüm Alan(CDE) = Alan(EBF) = S olsun. Alan(ABED) = A olsun. Alan(ABED) + Alan(CDE) = A + S = Alan(ABC) =.8. AC.sinA Alan(ABED) + Alan(BEF) = A + S = Alan(AFD) =...sina A + S =.8. AC.sinA =...sina 8. AC =. AC = 6 Not : Đki kenarı ve aradaki açısı verilen üçgenin alanı Alan (ABC) =.b.c.sin(a) Alan (ABC) =.a.c.sin(b) Alan (ABC) =.a.b.sin(c)

16 5. ABCD dik yamuk m(adc) = 9 m(acb) = 9 AB = 8 cm DC = CB = cm Yukarıdaki verilere göre, DC = CB = kaç cm dir? A) B) 6 5 C) 5 5 D) E) Çözüm 5 ABC üçgeninde öklid teoremini uygularsak, ² = (8 ).8 ² + 8 = = 8²..( ) = 5. = 5.8² 8m8 5, = = 9m 9 5 = Not : Öklid Bağıntıları I ) h² = p.k II ) c² = p.a b² = k.a III ) h² = b² + c²

17 6. O [CH] [CH] d OC = r = cm OH = cm Yukarıdaki şekilde, d doğrusu O merkezli çemberi A ve B de kesmektedir. HB = CH olduğuna göre, OH = kaç cm dir? A) B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 Çözüm 6 HB = CH olduğuna göre, CH = + HB = OB = yarıçap olduğuna göre, pisagordan + + ( = + ) 5 + = + 6= = 6 olur.

18 7. Şekildeki iki çember E noktasında içten teğet ve içteki çemberin merkezi O dur. [AE ışını çemberlere E de teğet, dıştaki çemberin A, B, C noktalarından geçen keseni içteki çembere L de teğettir. OE = cm, AO = 6 cm, LC = cm olduğuna göre, BL kaç cm dir? A) B) C) D) 9 E) 8 Çözüm 7 OE = cm AO = 6 cm LC = cm AE, O merkezli çembere teğet olduğuna göre, AE OE AEO dik üçgeninde pisagor bağıntısına göre, AE = 6 = Bir çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçalarının uzunlukları eşit olduğuna göre, AE = AL = Çemberde kuvvet bağıntısına göre, AE ² = AB. AC ² = y.(y + + ) AE = AL = y + = 576 = y.6 y = 6 olduğuna göre, = 8 = BL

19 Not : Yarıçap teğete değme noktasında diktir. Not : [OP] açıortaydır. Not : Bir çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçalarının uzunlukları eşittir. PA = PB Not : Çemberde kuvvet bağıntıları Çembere dışındaki bir P noktasından, PT teğeti ve çemberi A ve B noktalarında kesen bir kesen çizilirse, PT ² = PA. PB olur.

20 8. Şekildeki kare dik piramidin bir yan yüzü, taban düzlemi ile 6 lik açı yapmaktadır. Piramidin hacmi 88 cm olduğuna göre, tabanın bir kenarı kaç cm dir? A) B) C) D) E) 6 Çözüm 8 Tabanın bir kenarı = a olsun. Dik üçgende, 6 derecenin karşısındaki kenar derecenin karşısındaki kenarın olduğuna göre, katı Piramidin yüksekliği = a olur. Hacim = 88 =. a..(a) 88 =. a a = 6=6 a = 6 Tabanın bir kenarı = a =.6 = elde edilir.

21 Not : Dik üçgen özellikleri Bir dar açının ölçüsü olan dik üçgende, karşısındaki kenarın uzunluğu hipotenüsün yarısına, 6 karşısındaki kenar uzunluğu hipotenüsün katına eşittir. 9. O merkezli birim çember A, B çember üzerinde A O ekseni [BD] [OA] m(bod) = α Şekildeki O merkezli birim çemberde cosα = AB olduğuna göre, AB kaç birimdir? A) + B) + C) D) E)

22 Çözüm 9 O merkezli birim çember OB = OD = olsun. cosα = AB olduğuna göre, AB = ODB dik üçgeninde pisagor bağıntısına göre, ² = ² + BD ² BD = ² OB = = OA AD = ADB dik üçgeninde pisagor bağıntısına göre, ² = ( ² )² + ( )² = ( ) + ( ) + = =..( ) = + = =. sin A+ sin A cos A+ cos A ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) sina B) tana C) tana D) cota E) cosa Çözüm sin A+ sin A cos A+ cos A A+ A A A sin.cos sin A.cos A = = = tan A A+ A A A cosa.cos A cos.cos

23 Not : Dönüşüm Formülleri sina + sinb =.sin sina sinb =.cos cosa + cosb =.cos cosa cosb =.sin A+ B A B.cos A+ B A B.sin A+ B A B.cos A+ B A B.sin. < α < 9 ve.sin 5.cos7+.cos 5.sin 7.cos8.cos 6 = sin olduğuna göre, α kaç derecedir? A) B) 5 C) 8 D) E) 6 Çözüm.sin 5.cos7+.cos 5.sin 7.cos8.cos 6 = sin (sin 5.cos 7+ cos5.sin 7).sin 6.cos 6 = sin.sin(5+ 7).sin 6.cos6 =.sin.sin = sin = sin olduğundan = 6 bulunur. Not : Đki Açının Toplamının / Farkının Trigonometrik Değerleri sin(a + B) = sina.cosb + cosa.sinb sin(a B) = sina.cosb cosa.sinb cos(a + B) = cosa.cosb sina.sinb cos(a B) = cosa.cosb + sina.sinb Not : sina = cos(9 A)

24 Not : Yarım Açı Formülleri sina =.sina.cosa. 6 + ifadesinin açılımındaki sabit terim kaçtır? ² A) 5 B) 6 C) 8 D) E) Çözüm 6 6 r r 6 6 r r 6 6 r. r.( ) =. r. =. r Sabit terim için; 6 r = r =. 6 =. 6 =. 6 6, ! =.= = = (6 )!.! = 6.5 = = 5. z 5 i = koşulunu sağlayan z karmaşık sayısının argümenti θ olduğuna göre, tanθ kaçtır? A) B) 5 C) D) 6 E) Çözüm z = a + i.b Argz = θ ise tanθ = a b olduğuna göre, z 5 i = z = 6 + i Argz = θ tanθ = bulunur. 6

25 Not : Bir karmaşık sayının kutupsal (trigonometrik) biçimde yazılması z = a + b.i karmaşık sayısının düzlemdeki görüntüsü M(a, b) ve OM = r = z = a ² + b² OMH dik üçgeninde, cosθ = r a a = r.cosθ sinθ = r b b = r.sinθ Bu değerler z = a + b.i de yerine yazılırsa z = r.cosθ + r.sinθ.i z = r.(cosθ + i.sinθ) elde edilir. θ π koşuluna uyan θ açısına z nin esas argümenti denir. Argz = θ biçiminde yazılır.

26 . D [AB] BC = birim BD = birim Şekildeki ABC eşkenar üçgeninde A) B) 6 C) 8 D) E) Çözüm CB. CD çarpımı kaçtır? CB. CD = CB. CD.cosθ =. CD.cosθ BHD dik üçgeninde, BD ² = BH ² + DH ² (pisagor) BH = ve DH = DHC dik üçgeninde, DC ² = DH ² + CH ² (pisagor) CD ² = ( )² + ² CD = = 7 CB. CD =. CD.cosθ olduğuna göre, CB. CD =. CD.cosθ = = elde edilir.

27 Not : Đç (skaler) Çarpım Sıfırdan farklı A = (, y ), B = (, y ) vektörleri arasındaki açı θ ise A. B.cosθ gerçel sayısına A ve B vektörlerinin iç (skaler) çarpımı denir ve A. B ya da < A, B > biçiminde gösterilir. A. B = A. B.cosθ 5. A = (, ) ve B = (, ) vektörleri arasındaki açı kaç derecedir? A) 9 B) 75 C) 6 D) 5 E) Çözüm 5 I. Yol A = (, ) ile ekseni arasındaki açı = 5 B = (, ) ile ekseni arasındaki açı = Toplam = 5 + = 75

28 II. Yol A = (, ) B = (, ) A. B =. + y. y = A. B.cosθ olduğuna göre,. + ( ). = ² + ( )². ( )² + ².cosθ. =..cosθ cosθ = cosθ =.( + ) θ = 75 Not : Vektörlerin skaler (iç) çarpımı Öklid iç çarpımı denilen bu iç çarpım A = (, y ), B = (, y ) vektörleri için A. B =. + y. y biçiminde tanımlanır. Sonuç bir skaler (sayı) çıktığından bu çarpıma skaler çarpım da denir. 6. A = y matrisi için A -.A = A² olduğuna göre,.y çarpımı kaçtır? A) 5 B) C) D) E) Çözüm 6 A -.A = I A -.A = A² olduğuna göre, A² = I. = y y + y y y = y+ = = y + = y =.y =.( ) =

29 a 9 matrisinin, ters matrisinin olmaması için a kaç olmalıdır? A) 5 B) C) D) 6 E) 5 Çözüm 7 I. Yol Matrisin, ters matrisinin olmaması için determinantı sıfır olmalıdır. 5 7 a 9 = olmalıdır. Saruss yöntemine göre, 5 7 a = [(..(a 9)) + (..5) + (..7) (..(a 9)) (..7) (..5)] = [5 + 9a + 8 ] = 6 9a = 9a = 6 a = II. Yol Eğer n n matrisinin iki satırı veya iki sütunu eşit ise, o zaman determinantı = dır. a 9 = 5 a =

30 Not : A tersi alınabilen bir matris, yani A. A = A. A = I A. A ters matrisi varsa, A = A. A = olduğundan, A ve A = = A A dir. Şu halde, bir matrisin çarpmaya göre tersinin olması için gerek ve yeter koşul determinantının sıfır olmamasıdır. ( A ) 8. n =,,,... olmak üzere ilk n teriminin toplamı S n = n² + olan bir dizinin 7. terimi kaçtır? A) B) C) D) 6 E) Çözüm 8 a a n = ( n + ) (( n ) + ) = n n = S n S n a n a n = n a =.7 7 = 9. lim ln + değeri kaçtır? A) B) C) D) E)

31 Çözüm 9 lim ln + için,. belirsizliği vardır. lim ln + = ln(+ ) lim = belirsizliği vardır. L Hospital uygulanırsa, )]' [ln(+ lim [ ]' = lim (+ )' (+ ) (+ ) = lim = lim = = Not : L Hospital Kuralı f ( ) lim g( ) f ( ) f '( ) limitinde veya belirsizliği varsa, lim = lim olur. g( ) g'( ). f () = e tan olduğuna göre, lim π f ( ) f / π π ( ) değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) e B) e C) e D) e E) e

32 Çözüm lim f ( ) f π / π π ( ) π = f '( ) f () = e tan olduğuna göre, f tan '( ) = ( e )' = (+ tan ). e tan = π π π π tan tan π f '( ) ( e )' = (+ tan ). e π = f '( ) = (+ ). e = e. k nin hangi aralıktaki değerleri için k+ y = fonksiyonu daima eksilendir (azalandır)? + k A) < k < B) < k < C) < k < D) < k < E) < k < Çözüm Fonksiyonun azalan olması için türevinin sıfırdan küçük olması gerekir. k+ y = + k y < k+ ( k+ )'.( + k) ( + k)'.( k+ ) k.( + k).( k+ ) y = ( )' = = = + k ( + k) ( + k) k ( + k) y = k ( + k) < k² < k² < < k <. m,n R olmak üzere, f : R R fonksiyonu f () = ³ m² + n ile tanımlıdır. f fonksiyonunun = ve = noktalarında yerel ekstremumu olduğuna göre, n m farkı kaçtır? A) B) C) 7 D) 9 7 E) 5

33 Çözüm Ekstremum noktaları, fonksiyonun türevini sıfır yapan noktalardır. f '() = ve f '() = f () = ³ m² + n f '( ) = ² m + n f '() = f '() = m + n = m n = f '() = f '() = 9 6m + n = 6m n = 9 m = 5 ve n = 6 bulunur. n m = 6 5 = 7 elde edilir.. Şekildeki grafik aşağıdaki fonksiyonlardan hangisine ait olabilir? + A) y = B) y = C) ( ) ( ) D) y = E) y = ( + ) ( ) y = ( + )

34 Çözüm I. Yol Düşey asimptot = olduğuna göre ; = olduğunda paydası sıfır olan seçenekler A, B ve E y eksenini kesen nokta (, ) bunu sağlayan seçenekler ise A ve B Denklemin kökleri ve olduğuna göre, bunu sağlayan seçenek ise B Çarpanlara ayırdığımızda ( + ).( ) olduğu görülüyor. II. Yol k.( + ).( ) Grafikte verilen fonksiyon y = şeklindedir. ( ) (, ) noktasından geçtiğine göre, = için y = Bu durumda fonksiyon y = dir. ( ) sağlanır ve k = olur.. Yukarıdaki şekilde merkezi O, yarıçapı OA = OB = cm olan dörtte bir çember yayı üzerindeki bir N noktasından yarıçaplara inen dikme ayakları K ve L dir. Buna göre, OKNL dikdörtgeninin en büyük alanı kaç cm dir? A) B) C) D) 6 E) 8

35 Çözüm OK = OL = y olsun. ON = olduğundan, OKN dik üçgeninde pisagor bağıntısına göre, + y = = 6 y = 6 Alan = A =.y =. 6 Alanın en büyük olması için türevi sıfır olmalıdır. A =. 6 + ( 6 ). A = A = 6 6 = = 6 = y = 6 8 = 8 = A =.y =. =. = 8 olur. 5. π 6 d dt t cos d dt değeri kaçtır? A) 7 6 B) C) D) E)

36 Çözüm 5 π 6 d dt t cos d dt π 6 = cos d= π 6 sin = (sin. π sin ) = 6. = 6. y² = 6 parabolünün koordinat sisteminin. bölgesindeki (, y ) parçası ile = ve y = doğrularıyla sınırlı olan bölgenin alanı kaç birim karedir? A) 8 B) 6 C) 6 D) E) 6 Çözüm 6 y² = 6 = için y = m y = için = 6 olur. (, y ) parçası ile = ve y = doğrularıyla sınırlı olan bölgenin alanı = A olsun y² = 6 = 6 y² A = (6 y ) dy= 6y y = 6 6 = 8

37 7. Şekildeki gibi y = e eğrisi ile =, = a ve y = doğruları ile sınırlı bölgenin ekseni π etrafında döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi ( e e ) br olduğuna göre, a nin değeri kaçtır? A) B) C) D) 5 E) 6 Çözüm 7 π Dönel cismin hacmi = ( e e ) olduğuna göre, π ( e e ) a π a = π ( e ) d= π. e = ( e e ) a = a = 5 a

38 Not : Dönel cisimlerin hacmi ( ekseni etrafında dönme) y = f() eğrisi ile = a, = b, y = doğrularının belirttiği şekildeki taralı bölgenin ekseni etrafında 6 döndürülmesi ile oluşacak dönel cismin hacmi, b H = π. a b y² d ya da H = π. a [ f ( )] d olur. 8. < AB < 8 olmak üzere, A noktasından birim, B noktasından 5 birim uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri aşağıdakilerden hangisidir? A) Đki nokta B) Đki çember yayı C) Bir doğru parçası D) Bir doğru E) Bir çember Çözüm 8 A merkezli yarıçaplı B merkezli 5 yarıçaplı Çemberlerin kesim noktalarının geometrik yeri iki nokta belirtir. Not : Ancak, [AB] değiştikçe geometrik yer değişeceğinden soru hatalı düzenlenmiştir.

39 9. 5 Şekilde grafiği verilen parabolün tepe noktası T(, 5) y eksenini kestiği nokta da A(, ) tür. Bu parabolün denklemi y = a² + b + c olduğuna göre, b kaçtır? A) 5 B) C) 5 D) E) 5

40 Çözüm 9 Parabolün denklemi : y = a² + b + c olduğuna göre, A(, ) noktasında y eksenini kestiğinden, = ve y = = a. + b. + c c = olur. 5 Tepe noktası : T(, 5) olduğuna göre, y = a² + b + c parabolü = 5 doğrusuna göre simetrik olan bir şekildir. Bunun için, parabolün eksenini kestiği noktaların apsisleri olan ile nin aritmetik ortalaması, + = b a = b a = 5 ye eşittir. b a = 5 b = 5a 5 ve y = a² + b + denkleminde, T(, 5) noktası denklemi sağlar = a.( )² + b.( ) + = a 5 b + b = 5a yerine yazalım. = 5a 5b 5a 5.5a 5a 5a 5a = = = a = 5 b = 5.a = 5.( ) = f () = ² 7 + parabolü üzerindeki bir noktanın koordinatları toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır? A) B) 8 C) 6 D) 5 E)

41 Çözüm 5 y = f () = ² 7 + parabolü üzerindeki bir nokta : (, y) olsun. Koordinatları toplamı = + y = + (² 7 + ) = ² 6 + En küçük değeri için türevi sıfır olmalıdır. ( + y) = (² 6 + ) = 6 = = ve y = olur. + y = + = 5 bulunur. 5. Büyük eksen köşeleri A(5, ), A'( 5, ) olan ve D(, ) noktasından geçen 5 merkezil (standart) elipsin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) + y = 5 B) + y = 5 8 C) + y = 5 6 D) + y = 5 5 E) + y = 5 Çözüm 5 y Elips denklemi : + = olduğuna göre, a = 5 ise b a y Elips denklemi : + = 5 b y + = 5 b D(, ) noktası elipse ait denklemi sağlaması gerekir. 5 y + 5 b = denkleminde, = ve y = yazalım. 5 ( ) 5 ( ) + 5 b = b = 6. b = b + 5. = 6 b O zaman elipsin denklemi : + y = olur. 5 6

42 5. Denklemleri + y z + = ve + y z = olan iki düzlem arasındaki uzaklık kaç birimdir? 7 A) B) 6 C) D) E) Çözüm 5 I. Yol + y z + = düzlemi üzerinde herhangi bir A(,, ) noktasını seçelim. Bu noktanın diğer düzleme olan uzaklığı :.+.. l = = = = 6 II. Yol, y, z li terimlerin katsayılarını inceleyelim. + y z + = + y z =.( + y z 5) = + y z 5 = + y z + = + y z 5 =, y, z li terimlerin katsayıları eşit olduğuna göre, bu iki düzlem birbirine paraleldir. Buna göre, ( 5) 7 Bu iki düzlemleri arasındaki uzaklık : l = = bulunur. + +

43 Not : Bir Noktanın Bir Düzleme Olan Uzaklığı Bir A(, y, z ) noktasının A + By + Cz + D = düzlemine olan uzaklığı : k = A + By + Cz A² + B² + C² + D dir. Not : Đki Düzlemin Paralel Olma Şartı ( E )... A + B y + Cz + D = ( E )... A + B y + C z + D = düzleminin paralel olması için gerek ve yeter şart bunların n = ( A, B, C ) n = ( A, B, C ) normallerinin paralel olmasıdır. Buna göre, E // E A = A B B C = C dir.

44 Not : Paralel Đki Düzlem Arasındaki Uzaklık düzlemleri paralel iki düzlemdir. Bu iki düzlem arasındaki uzaklığı bulmak için aşağıdaki yollardan biri izlenir. I. Yol Düzlemlerden biri üzerinde herhangi bir nokta seçilir ve bu noktanın diğer düzleme olan uzaklığı bulunur. II. Yol D D l = formülü ile bulunur. A² + B² + C²

45 5. ² + y² + y + 5 = denkleminin grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) B) C) D) E) Çözüm 5 ² + y² + y + 5 = ² + y² + y + + = ( )² + (y + )² = Merkezi : (, ) ve yarıçapı = olan çember, nokta belirtir. Adnan ÇAPRAZ adnancapraz@yahoo.com AMASYA