İSTATİSTİKSEL ÖNEMLİLİK TESTLERİ KULLANIM ALANLARI İstatistiksel önemlilik testleri çeşitli durumlarda ve farklı amaçlarla uygulanır. Bu testlerin başlıca kullanım alanları şunlardır:. Evrenden seçilen tek örneklemden elde edilen veriler yardımıyla, evren parametresinin belli bir değere eşit olup olmadığının test edilmesinde.. Evrenden seçilen iki ya da daha fazla grup arasındaki farkın önemli olup olmadığının test edilmesinde. KAPSAM Örneklemden elde edilen sonuçların tesadüfe bağlı olup olmadığını (önemli olup olmadığını) belirlemek amacıyla uygulanan testlerdir. Burada ifade edilen önemlilik (significancy) elde edilen sonuçların tesadüfe bağlı olmadığını, yani istatistiksel açıdan anlamlı olduğunu ifade eder. Aynı grupta farklı koşullar altında elde edilen veriler arasındaki farkın önemli olup olmadığının test edilmesinde. 3. Bir örnek gruptan elde edilen dağılışın belli bir teorik dağılışa uygun olup olmadığının test edilmesinde Yukarda belirtilen amaçlarla uygulanan çok sayıda önemlilik testi vardır. Önemlilik testlerinin uygulanmasında en önemli adım, uygulanacak testin doğru seçilmesidir. Uygun testin seçiminde göz önünde bulundurulması gereken çeşitli faktörler vardır.
Önemlilik Testinin Seçimini Etkileyen Faktörler. Verinin karakteri Ölçümle ve sayımla belirtilen veriler farklı dağılış özellikleri gösterirler. Ölçümle belirtilen veriler sürekli, sayımla belirtilen veriler ise kesikli dağılış özelliğine sahiptir. Bu nedenle, genel olarak ölçümle ve sayımla belirtilen verilerde farklı testler kullanılır.. Grup sayısı Test edilecek veriler; bir, iki veya ikiden fazla gruba ayrılmış olabilir. Grup sayısının ikiden fazla olması, çoklu karşılaştırma olarak kabul edilir. Grup sayısı uygulanacak testin seçimini etkiler. Örneğin bazı testler sadece iki grubu karşılaştırabilirken, bazıları ikiden fazla grubun karşılaştırılmasına izin verir. Testin Sonucunu Etkileyen Faktörler. Hipotezler Her önemlilik testinde, testin sonunda varılacak kararla ilgili hipotezler belirlenir. Bu nedenle, önemlilik testlerin hipotez testleri adı da verilir. Her testte birbirinin zıddı hükümler içeren iki hipotez kurulur. Temel hipotez H0 hipotezi olup, farksızlık hipotezi veya sıfır hipotezi adı verilir. Bu hipotez, örneklemden elde edilen sonuçların tesadüfe bağlı olduğunu ve istatistiksel açıdan önemli olmadığını ifade eder İkinci hipotez ise H (H A ) hipotezi olup, alternatif hipotez adını alır. Bu hipotez örneklemden elde edilen sonuçların tesadüfe bağlı olmadığını, yani istatistiksel açıdan önemli olduğunu ifade eder.. Yanılma düzeyi Test sonucunda H0 hipotezi kabul veya ret edilir. Ancak, her iki durumda da kararın doğru olması kesin değildir. Bu nedenle, karar verilirken düşülebilecek hataya bir üst sınır koymak gerekir. 3. Örneklem büyüklüğü (veri sayısı) Gruplardaki veri sayısı hem uygulanacak testin seçimini hem de elde edilen test sonucunun güvenirliğini etkiler. Bazı testlerin uygulanabilmesi için gruplarda belli sayıda veri bulunması gerekir. 4. Grupların bağımsızlığı Grupların ayrı ayrı bireylerden oluşması ve bir deneğin seçiminin diğeri ile bağlantılı olmaması durumunda gruplar bağımsızdır. Aynı bireyler üzerinde gözlemlerin tekrarlanması ya da bireylerin tek tek birbirinin eşi olarak seçildiği durumlarda ise gruplar bağımlıdır. Grupların bağımlı veya bağımsız olması durumunda uygulanacak önemlilik testleri birbirinden farklıdır. Değişken sayısına bakılır Parametrik testler HİPOTEZ TESTLERİ Veriler nicel ise; ORTALAMALAR TESTİ n 30 n < 30 Tek değişkenli ONE SAMPLE T-TEST (TEK ÖRNEKLEM TESTİ) İki değişkenli Değişkenler BAĞIMSIZ INDEPENDENT SAMPLES T-TEST (BAĞIMSIZLIK T-TESTİ) Değişkenler BAĞIMLI PAIRED SAMPLES T-TEST (EŞLEŞTİRİLMİŞ T-TESTİ) İkiden fazla değişkenli + Değişkenler BAĞIMSIZ ANOVA TESTİ (VARYANS ANALİZİ) Veriler nitel ise; KİKARE TESTİ Parametrik olmayan testler Tek değişkenli Kolmogrov-Smirnov testi İki değişkenli Bağımsız Mann-Whitney U testi Bağımlı Wilcoxon testi İkiden fazla değişkenli Bağımsız Kruskal Wallis testi Bağımlı Friedman testi
Parametrik Testler Evren ortalamasının önemlilik testi Unpaired t testi Paired t testi Tek yönlü varyans analizi Evren oranının önemlilik testi İki yüzde arasındaki farkın önemlilik testi Nonparametrik testler İşaret testi Mann Whitney U testi Wilcoxon T testi Kruskal Wallis varyans analizi Ki kare testleri Parametrik Metotlar Kitle dağılımının doğası hakkındaki varsayımlara dayanan Çıkarımlar Genellikle: Kitle normaldir Test Çeşitleri z-testi veya t-testi İki popülasyonun ortalamalarının veya oranlarının karşılaştırılması Popülasyonun ortalamasının veya oranının test değeri ANOVA Birkaç popülasyonun ortalamalarının eşitliğini test etme Parametrik test varsayımları Evrenin normal dağılıma uyması Varyansların homojen olması Deneklerin evreden rasgele seçilmiş olması Deneklerin birbirinden bağımsız olması Denek sayılarının yeterli olması Parametrik Olmayan Testler Popülasyon dağılımı hakkında hiçbir varsayın yapmayan Dağılımsız Testler Test Çeşitleri işaret Testleri İşaret Testi: Eşleştirilmiş Gözlemlerin Karşılaştırılması McNemar Testi: Kantitatif Değişkenlerin Karşılaştırılması Cox ve Stuart Testi: Trendi Belirleme Dizilim testleri Dizilim Testi: Rastsallığı Belirleme Wald-Wolfowitz Testi: İki Dağılımı Karşılaştırma
Parametrik Olmayan Testler Sıra Testleri Mann-Whitney U Testi: İki popülasyonu karşılaştırma Wilcoxon İşaretli Sıra Testi: Eşleştirilmiş Karşılaştırmalar Birkaç popülasyonu karşılaştırma: Sıralı ANOVA Kruskal-Wallis Testi Friedman Testi: Tekrarlanan Ölçümler Spearman Sıra Korelasyon Katsayısı: Ki-Kare Testleri Uyum İyiliği Bağımsızlık Testi: Olasılık Tablosu Analizi Oranların Eşitliği İşaret testi Bir örneklemde nicel veriler elde edilmiş, fakat veriler parametrik varsayımları yerine getirmiyorsa, evren ortancasının belli bir değere eşit olup olmadığını test etmek amacıyla işaret testi kullanılabilir. Parametrik Olmayan Testler Sıralı (frekans sayımları) veriler ile çalışır. Aritmetik ortalama veya Standard sapma gibi belirli popülasyon parametreleri ile çalışmaz. Belirli popülasyon dağılımları (özelde, normallik varsayımı) hakkında varsayımlar gerektirmez. Yapılışı Örnek Evren ortancası 7 den farklı mıdır
Hazırlık İşlemleri. Dağılımdaki bütün veriler tek tek evren ortancası ile karsılaştırılır. Evren ortancasından büyük olanlar (+), küçük olanlar (-) olarak işaretlenir. Evren ortancasına eşit skorlar değerlendirmeden çıkarılır.. (+) ve (-) işaretler sayılır. Az olan işaret sayısı k değeri olarak alınır Veri sayısı 5 veya daha az ise; Bulunan n ve k değerlerine karşılık gelen P değeri İşaret testi tablosundan bulunur n = k = 3 P = 0.3 P a ise, H0 ret P > a ise, H0 kabul 0.3 > 0.05 olduğu için, H0 kabul edilir. Veri sayısı 5 ten fazla ise; Bulunan k değeri z değerine dönüştürülür Bu z değerine karşılık gelen yanılma olasılığı (P değeri) z tablosundan bulunur. P değeri aynı şekilde a değeri ile karsılaştırılır. n = + = 3 - = 8 k = 3 Test Hipotezi H0: Ortanca = 7 H : Ortanca 7 α = 0.05 işaret Testi Eşleştirilmiş Gözlemlerin Karşılaştırılması X ve Y p = P(X/Y) iki-kuyruklu (uçlu) test H0: p = 0.50 H:p 0.50 Sağ kuyruk(uç) testi H0:p 0.50 H:p>0.50 Sol kuyruk(uç) testi H0:p 0.50 H:p< 0.50 Test İstatistiği: k = + işaretlerinin sayısı
Örnek CEO n Önce Sonra S/Ö* İşaret 3 4 + 5 5 0 3 3 + 4 4 + 5 4 4 0 6 3 + 7 + 8 5 4 - - 9 4 5 + 0 5 4 - - 3 4 + 5 + 3 5 + 4 3 + 5 + 6 3 - - 7 4 5 + * sonra/önce> ise değer sonra/önce< ise değer - Gruplar N Observed Prop. H0 P-degeri n=5 -=3 + = k = Binomial Test Örnek + - Total.00 -.00 3 5.80.0.00.50.035 H0:p = 0.5 H0:p 0.5 Test İstatistiği: k= için p-değeri = 0.035<α = 0.05 olduğundan sıfır hipotezi reddedilir. Tablo 8: Dizilim Testi Dizilim Sayısı (r) (n, n) 3 4 5 6 7 8 9 0 (0,0) 0.586 0.758 0.87 0.949 0.98 0.996 0.999.000.000.000 Durum : n =0 n = 0 R =0 p-değeri 0 Durum : n =0 n=0 R = p-değeri 0 Durum 3: n =0 n=0 R = 3. Durum için: p-değeri =[P(R )] = [-R()] = ()(-0.586) = ()(0.44) = 0.88 H0 reddedilmez: Gözlemler rastlantısal olarak oluşturulmuştur Dizilim Testi: Rastsallık İçin Bir Test Dizilim farklı elemanlar tarafından takip edilen veya kendinden önce farklı elemanlar bulunan ya da kendinden önce veya sonra hiçbir eleman bulunmayan benzer elemanların oluşturduğu bir sıradır. Durum : S E S E S E S E S E S E S E S E S E S E : R = 0 Açıkça Rastsal Değil Durum : SSSSSSSSSS EEEEEEEEEE : R = Açıkça Rastsal Değil Durum 3: S EE SS EEE S E SS E S EE SSS E : R = Belki Rastsal Rastsallık için iki uçlu hipotez testi: H0: Gözlemler rastlantısal olarak oluşturulmuştur. H: Gözlemler rastlantısal olarak oluşturulmamıştır. Test İstatistiği: R=Dizilim Sayısı Eğer Tablo 8 de verildiği şekilde. R C veya R C ise toplam kuyruk(uç) olasılığı P(R C) + P(R C) = α olmak üzere, H0'ı α. derecede reddedilir. Büyük Örnek Dizilim Testi: Normal Yakınsamanın Kullanımı Dizilim sayıları normal dağılımı ortalaması: Standart Sapma: Standart Normal Test istatistiği:
H0: Gözlemler rastlantısal olarak oluşturulmuştur. H: Gözlemler rastlantısal olarak oluşturulmamıştır. p-değeri = [-P(z -3.47)] p-değeri a ise H0 ret Satış Satış Satışlar Memuru Satış Memuru(Sıralı) (Sıralı) Dizilim 35 A 3 B 44 A 6 B 39 A 7 B 48 A B 60 A 4 B 75 A 9 A 49 A 3 B 66 A 33 B 3 7 B 35 A 3 B 39 A 3 B 44 A 4 B 48 A 33 B 49 A B 50 A 8 B 60 A 6 B 66 A 3 B 75 A 4 n = 0 n = 9 R=4 p-değeri = [-P(R 4)] = 0.998>a H0 reddedilebilir: iki popülasyon farklı dağılımlara sahiptir Tablo Dizilim Sayısı (r) (n,n) 3 4 5 (9,0) 0.000 0.000 0.00 0.004... Not: tablo R yekadar toplam alanı veriyor Wald-Wolfowitz (Runs) Testi iki Popülasyonun Dağılımlarını (Ortalamalarını) Karşılaştırmak için Dizilim Testinin Kullanılması: Test için hipotezler: H0: iki popülasyon aynı dağılıma sahiptir. H: iki popülasyon farklı dağılımlara sahiptir. Test istatistiği: R = Her iki örnekteki veriler tasnif edildiğinde, Örnekler serisindeki Dizilim Sayısı Dizilim Testleri Mann-Whitney U Testi: iki Popülasyonun Karşılaştırılması Wilcoxon Sıralı işaret Testi: Eşleştirilmiş Karşılaştırmalar Birkaç Popülasyonun Karşılaştırılması: Sıralı ANOVA Kruskal-Wallis Testi Friedman Testi: Tekrarlanan Ölçümler Satış Memuru A: 35 44 39 50 48 9 60 75 49 66 Satış Memuru B: 7 3 3 4 33 8 6 3
Mann Whitney U testi İki bağımsız grupta nicel veriler elde edilmişse ve veriler parametrik varsayımları yerine getirmiyorsa, gruplar bu testle karsılaştırılabilir. Yapılışı Gruplar arasındaki fark istatistiksel açıdan önemli midir? 3. Her iki gruptaki verilerin sıra numaraları toplanarak, R ve R değerleri bulunur. R = 65.5 R = 4.5 R + R = n (n + ) / = 65.5 + 4.5 = 9 X0 / = 90 Hazırlık işlemleri. Her iki gruptaki veriler tek dağılış gibi ele alınarak, küçükten büyüğe doğru sıralanır ve den itibaren numaralandırılır.. Eşit değerlerin her birine, olması gereken sıra numaralarının ortalaması verilir. 4. U değerleri hesaplanır. n (n + ) U = n n + R U = 90 + 90 / 65.5 = 69.5 U = n n - U = 90-69.5 = 0.5
Test hipotezi: H0 : Gruplar arasındaki fark önemli değildir. H: Gruplar arasındaki fark önemlidir. a = 0.05. n 0 ve n 0 ise; U ve U değerlerinden büyük olanı UH değeri olarak kabul edilir. Bu değer, U tablosundan bulunan değerle (UT) karsılaştırılır. Karsılaştırma UH UT ise; H0 ret (P a) UH < UT ise; H0 kabul (P > a) 69.5 > 66 H0 ret, P < 0.05 : Gruplar arasındaki fark önemlidir Mann-Whitney U Testi (İki Popülasyonun Karşılaştırılması) Test hipotezleri: H0: Popülasyonların dağılımı benzerdir H: iki popülasyonun dağılımları benzer değildir. Mann-Whitney U istatistiği: n popülasyon 'in örneklem büyüklüğü ve n popülasyon 'nin örneklem büyüklüğüdür.. n> 0 ve/veya n >0 ise; Hesaplanan U veya U değeri z değerine dönüştürülür. Hesaplanan z değerine karşılık gelen yanılma olasılığı (P değeri) z tablosundan bulunur. Bu P değeri a değeri ile karsılaştırılır Sıra Model Zaman Sıra Toplamı A 35 5 A 38 8 A 40 0 A 4 A 4 A 36 6 5 B 9 B 7 B 30 3 B 33 4 B 39 9 B 37 7 6 Mann-Whitney U Testi Mann-Whitney U istatistiğinin Kümülatif Dağılım fonksiyonu: n=6 n=6 u.. 4 0.030 < a=0.05 H0 ret 5 0.000 6 0.035
39 Puan 85 Pro. Puan Sıra 0.0 Sıra Toplamı 0.0 Puan 65 Pro. Puan Sıra 0.0 Sıra Toplamı 0.0 43 50 57 59 3 4 5 Wilcoxon T Testi 87 9 98 90 88 75 7 60 93 88 89 96 73.0 7.0 30.0 6.0 3.0 7.0 3,5 6,5 8.0 3.0 5.0 9.0 5.0 4.0 69.0 98.0 4.0 47.0 64.0 77.5 84.0.0 35.0 60.0 89.0 304.0 57 74 43 39 88 6 69 70 7 59 60 80 93 4.0 6.0.0.0 3.0 8,5.0.0 3,5 5.0 6,5 8.0 9.0 4.0 30.0 3.0 33.0 56.0 64.5 75.5 87.5 0.0 06.0.5 30.5 49.5 60 60 6 6 65 69 70 7 7 73 74 75 80 85 87 88 88 88 89 90 9 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 6,5 8,5 3,5,5 İki eş grupta nicel veriler elde edilmiş ve veriler parametrik varsayımları yerine getirmiyorsa, bu test kullanılabilir. Hazırlık İşlemleri Verileri bağımsız hale getirebilmek için, eş verilerin farkları alınır. Fark değerler, işaretleri göz önünde bulundurulmadan, küçükten büyüğe doğru sıralanır ve den itibaren numaralandırılır. Eşit değerler varsa, bunların her birine olması gereken sıra numaralarının ortalaması verilir. 6 8,5 3.5 50 3.0 5.5 93 93 7 8 7,5 96 9 98 30 Mann-Whitney U Testi Test istatistiği z = -3.3 olduğundan p-değeri 0.0005<a, ve H0 reddedilir Wilcoxon T Testi Fark kolonunda sıfır varsa;. Bir tane sıfır varsa, bu veri değerlendirmeden çıkarılır, veri sayısı azaltılır.. Çift sayıda sıfır varsa, sıralamaya sıfırlardan başlanır, bunların yarısı eksi, yarısı artı kabul edilir 3. Tek sayıda sıfır varsa, bir tanesi değerlendirmeden çıkarılır, veri sayısı azaltılır, isleme ikinci maddedeki gibi devam edilir. Daha sonra sıra numaralarının işaretleri verilir
Sıra no.5.5 4 6.5 4 6.5 4. n < 5 ise; T ve T değerlerinden küçük olanı TH değeri olarak alınır. Bu değer a yanılma düzeyinde Wilcoxon T tablosundan elde edilen değerle (TT) karsılaştırılır. TH TT ise; H0 ret, P α TH > TT ise; H0 kabul, P> α TH=8 > TT= H0 kabul, P > 0.05 Artı ve eksi işaretli sıra numaraları toplanarak, T ve T değerleri bulunur. T : 0 T: 8 T + T = n (n+) / 0 + 8 = 7 x 8 / = 8 Test hipotezi: H0 : İki grup arasındaki fark önemli değildir. H: İki grup arasındaki fark önemlidir. a = 0.05. n > 5 ise; T veya T değeri z değerine dönüştürülür. Hesaplanan z değerine karşılık gelen yanılma olasılığı (P değeri) z tablosundan bulunur. Bu P değeri a değeri ile karsılaştırılır.
Wilcoxon T Testi Büyük örnekler için (n>5) Test hipotezleri; H0: İki grup arasındaki farkı sıfırdır H: İki grup arasındaki fark sıfır değildir. Kruskal Wallis Varyans Analizi İkiden fazla bağımsız grupta nicel veriler elde edilmiş ve veriler parametrik varsayımları yerine getirmiyorsa, grupları birbirleriyle ayni anda karsılaştırmak amacıyla bu test kullanılabilir Hazırlık İşlemleri Bütün gruplardaki veriler, tek dağilim gibi ele alınarak, küçükten büyüğe doğru sıralanır ve den itibaren numaralandırılır. Her gruptaki sıra numaraları toplanarak, Ti (T, T,...Tk) değerleri bulunur. Kruskal Wallis değeri (KW=H) hesaplanır A Sıra B Sıra C Sıra 0 40 9.5 40 9.5 30 4 30 4 35 7 5 45 60 3 35 7 50 75 4 30 4 35 7 Ti 8 43.5 43.5 D =x x KW = 7.36 Toplam: 63.5 6.5
Test İşlemleri H0 : Gruplar arasındaki fark önemli değildir. H: En az bir grup diğerlerinden farklıdır. a = 0.05. k = 3 ve 3 ni 5 ise; Hesaplanan KW değerine karşılık gelen P değeri Kruskal Wallis tablosundan bulunur. Bu değer a değeri ile karsılaştırılır KW= 7.36 5.666 P = 0.049 < 0.05, H0 ret Yazılım Süre Sıra Grup Sıra Toplamı 45 4 90 38 0 56 56 6 3 5 60 7 47 5 65 8 30 8 40 8 7 44 3 5 5 4 3 4 3 9 3 3 5 3 3 9 3 7 6 3 7. k>3 ve/veya ni>5 ise; Hesaplanan KW değeri Ki Kare değeri olarak kabul edilir. Bu değer belirlenen yanılma düzeyinde ve k- serbestlik derecesinde ki kare tablosundan bulunan değerle karsılaştırılır. ileri Analizler (Ortalama Sıraların Çiftli Karşılaştırmaları) Eğer Kruskal-Wallis testindeki sıfır hipotezi reddedilirse, bu durumda, hangilerinin farklı hangilerinin aynı olduğunu anlamak için her popülasyon çiftini karşılaştırmamız gerekir.
Çiftli Karşılaştırmalar: n=bütün gruptaki veri sayılarının toplamı k: grup sayısı 0 kişiye 3 sanatçıyı 0-0 arasında puan vererek değerlendirmesi istenmiş. Soru: değerlendirenlere göre sanatçıların performansı arasında fark var mıdır? H0 : Gruplar arasındaki fark önemli değildir. H: En az bir grup diğerlerinden farklıdır. H0 ret,. ve 3. grup arasında belirgin bir fark vardır H0: 3 grup benzer performansa sahiptir. H: 3 grup benzer performansa sahip değildir. Friedman Testi (Kruskal-Wallis testine benzer) Friedman testi rastsal bölüntü planı ANOVA nın parametrik olmayan bir versiyonudur. Bazen plan, her hücrede bir veri kullanılan iki-yollu ANOVA olarak da ifade edilir çünkü bölüntüleri bir faktör ve işleyiş düzeylerini diğer bir faktör olarak görmek mümkündür. Test sıralamalara dayanır. Test hipotezi: H0: k sayıda popülasyonun dağılımı benzerdir H: Bütün k dağılımları benzer değildir Friedman test istatistiği: ki-kare dağılımı için serbestlik dereceleri (k -) dir. SSbg(R), between-groups sum of squared deviates 9.95 için p=0.0 <α=0.05 H0 ret. Sanatçıların performansları arasında belirgin bir fark olduğu söylene bilir
Spearman Sıra Korelasyon Katsayısı p=0.0077 <a=0.05 H0 ret. Spearman Sıra Korelasyon Katsayısı Spearman Sıra Korelasyon Katsayısı orijinal değerlerinden sıralamalara çevrilen değişkenlerden hesaplanan korelasyon katsayısıdır. Ki-kare (c ) Testi k Oranları için. Oranların sadece eşitliklerini test eder. Örnek: p = 0., p =0.3, p 3 = 0.5. Bir kaç seviyeli bir değişken 3. Varsayımlar Multinomial Deney Beklenen sayı 5 4. Bir yönlü olasılık tablosunu kullanmakta r s >r t : hipotez değeri tablo değerinden büyükse H0 ret
Multinomial Deneyler. n sayıda benzer deneme. Her bir denemede k sayıda sonuç 3. Sabit sonuç oranları, p k 4. Bağımsız denemeler 5. Random değişken sayıdır, n k 6. Örnek; 00 (n) kişiye 3(k) adaydan hangisine oy vereceklerini sormak Tek yönlüolasılık tablosu. k sayıda bağımsız grup içindeki (sonuçlar veya değişken seviyeleri) gözlem sayılarını gösterir Sonuçlar (k= 3) ADAY Ali Veli Aycan Toplam 35 0 45 00 Yanıt sayısı Tek yönlüolasılık tablosu. k sayıda bağımsız grup içindeki (sonuçlar veya değişken seviyeleri) gözlem sayılarını gösterir. Hipotezler c Testi,k sayıda oran için Hipotezler ve istatistik H 0 : p = p,0, p = p,0,..., p k = p k,0 H a : p i lar birbirine eşit değildir. Hipotez edilen olasılık
. Hipotezler c Testi,k sayıda oran için Hipotezler ve istatistik H 0 : p = p,0, p = p,0,..., p k = p k,0 H a : p i lar birbirine eşit değildiler. Test istatistiği a f a f c ni - Eni = Eni Gözlemlenen sayı Beklenen sayı Hipotez edilen olasılık c TestiAna fikri. Null hipotezi doğru ise gözlemlenen sayıyla beklenen sayıyı karşılaştırır.. Gözlemlenen sayı ne kadar beklenen sayıya yaklaşırsa null hipotezinin doğru olma olasılığı o kadar fazladır Beklenen sayıyla arasındaki farkın karesi ile ölçülür. Büyük değerler reddedilir.. Hipotezler c Testi,k sayıda oran için Hipotezler ve istatistik H 0 : p = p,0, p = p,0,..., p k = p k,0 H a : p i ler birbirine eşit değildiler. Test istatistiği a f a f c ni - Eni = Eni 3. Serbestlik derecesi, df= k- k, veri sayısı Gözlemlenen sayı Beklenen sayı Hipotez edilen olasılık Kritik değerin bulunması Örnek k = 3, ve a =0,05 için kritik c değeri nedir
Kritik değerin bulunması Örnek k = 3, ve a =0,05 için kritik c değeri nedir? Finding Critical Value Example k = 3, ve α =0,05 için kritik x değeri nedir? Eğern i = E(n i ), c = 0. H 0 reddedilmez Red a = 0.05 c Tablo 0 c Üst Kuyruk Alanı df 0.995 0.95 0.05... 0.004 3.84 0.00 0.03 5.99 df = k - = c Tablo 0 5.99 c Üst kuyruk alanı df 0.995 0.95 0.05... 0.004 3.84 0.00 0.03 5.99 Kritik değerin bulunması Örnek c Testi, k oranları için Örnek Eğer n i = E(n i ), c = 0 H 0 reddedilmez c Tablo k = 3, ve α =0,05 için kritik x değeri nedir? 0 Red c a = 0.05 Üst kuyruk alanı df 0.995 0.95 0.05... 0.004 3.84 0.00 0.03 5.99 İnsan kaynakları müdürü olarak, 3 farklı performans değerlendirme metodunun dürüstlük anlayışını test etmek istemektedir. 80 tane çalışan arasından, 63 ü. Methodu dürüst olarak; 45 i. Methodu dürüst olarak; 7 si ise 3. Methodu dürüst olarak değerlendirmiştir. 0.05 risk derecesinde, çalışanların metotların dürüstlük derecesini algılamada bir farklılık var mıdır?
H0: Ha: a = n = n = n 3 = Kritik değer(ler): 0 c Testi, koranları için Örnek Red c Test istatistiği: Karar: Sonuç: c Testi, k oranları için Çözüm a if= npi, 0 a f a f a 3f a f ni-en af i c = En a if En En = En = En = 80 3 = 60 = = n-60 n - n + 60 + 60 60 63-60 60 + 45-60 60 + 3-60 60 7-60 60 = 63. c Testi, k oranları içn Örnek c Testi, k oranları için Çözüm H0: p = p = p 3 = /3 Ha: en az biri farklıdır a = 0.05 n = 63 n = 45 n 3 = 7 Kritik değer(ler): Red Test istatistiği: Karar: H0: p = p = p 3 = /3 Ha: en az biri farklıdır a = 0.05 n = 63 n = 45 n 3 = 7 Kritik değer(ler): Red Test istatistiği: c = 6.3 Karar: Null hipotezi reddedilir, a =.05 0 5.99 a =.05 c Sonuç: 0 5.99 a =.05 c Sonuç: Oranların aynı olduğu söylenemez.
c Test c Testi, bağımsız Bir örnekten müşterek iki kualitatif değişkene ait gözlem sayısını gösterir. değişken derecesi Ev lokasyonu Ev stili Şehir Kırsal Toplam Apartman 63 49 Çiftlik 5 33 48 Toplam 78 8 60. değişken derecesi c Testi, bağımsız. İki kalitatif değişken arasında bir ilişkinin mevcut olup olmadığını gösterir Bir örnek seçilir Sebep sonuç ilişkisi göstermez. Varsayımlar Multinomial deney tüm sayılar 5 3. Çift yönlü olasılık tablosu kullanır. Hipotezler c Testi, bağımsız Hipotezler& İstatistik H 0 : Değişkenler bağımsız H a : Değişkenler birbiriyle ilişkili (Bağımlı). Test İstatistiği χ [ ] [ n ] ( ) = ij Eˆ nij E ˆ ( n ) ij Gözlenen sayı Satırlar Serbestlik derecesi: (r -)(c -) Beklenen sayı Sütunlar
c Testi,bağımsız beklenen sayılar. İstatistiksel olarak bağımsız demek, birleşik olasılığın marjinal olasılıklarının çarpımına eşit olduğu anlamına gelmektedir.. Marjinal olasılıklar hesaplanır ve birleşik olasılık hesabı için çarpılır 3. Beklenen sayı= veri sayısı x birleşik olasılığa eşittir. c Testi, bağımsız Örnek Birleşik olasılık = 6 3 86 86 6 86 Diet Pepsi Hayır Evet Diet Kola Gözl. Gözl. Toplam Hayır 84 3 6 Evet 48 70 Toplam 3 54 86 3 86 Marjinal olasılık Beklenen sayı = 86 6 3 86 86 =53.5 Beklenen değer = Beklenen değer hesaplaması * a f Satır toplam Sütün toplam Veri sayısı c Testi,bağımsız Örnek Pazarlama araştırması yapan bir analistsiniz. Rasgele seçtiğiniz 86 müşteri üzerinde yapacağınız araştırmada, müşterilere diyet pepsi mi yada diyet kola mı satın aldıklarını soruyorsunuz. α=0.05 risk derecesinde,ikisi arasında bir ilişki olduğuna dair delil var mıdır? Diet Pepsi Diet Kola Hayır Evet Toplam Hayır 84 3 6 Evet 48 70 Toplam 3 54 86
H0: ilişki yok Ha: ilişkili a = 0.05 df = ( - )( - ) = Kritik değer(ler): c Testi, bağımsız Çözüm Red a =.05 c = = = n - En $ c Testi,bağımsız Çözüm + + L+ En $ En $ En $ a f a f a f 84-535. 535. n ij a f - En $ En $ + c ijh c ijh n - En $ 3-65. 65. a f n - 95. + L+ 95. a - En $ f = 549. 0 3.84 c c Testi, bağımsız Çözüm c Testi, bağımsız Çözüm E(n ij ) 5 tüm hücrelerde 6 3 86 Diet Kola Diet Pepsi 54 3 Hayır Evet 86 Gözl. Bekl. Gözl. Bekl. Toplam Hayır 84 53.5 3 6.5 6 Evet 48 78.5 9.5 70 Toplam 3 3 54 54 86 70 3 86 70 54 86 H0: ilişki yok Ha: ilişki var a = 0.05 df = ( - )( - ) = Kritik değer(ler): Red 0 3.84 a =.05 c Test istatistiği: c = 54.9 Karar: Null hipotezi reddedilir a =0.05 Sonuç: Bir ilişki olduğuna dair delil var