2. DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (DP) 2.1. DP i Taımı ve Bazı Temel Kavramlar Model: Bir sistemi değişe koşullar altıdaki davraışlarıı icelemek, kotrol etmek ve geleceği hakkıda varsayımlarda bulumak amacı ile sistemi elemaları arasıdaki bağıtıları kelimeler ya da matematik formüllerle belirleye ifadeler topluluğua model adı verilir. Matematiksel Model: Bir sistemi elemalarıı simgeler ile taımlaıp bular arasıdaki ilişkileri foksiyolar ile gösterimie "matematiksel model adı verilir. Karar Modeli: Sistemi yöeticisii kotrolü altıda olup, karar değişkei olarak isimledirile değişkelere, hagi değerleri verilmesi gerektiğii belirlemek amacıyla kullaıla matematiksel modellere karar modeli adı verilir. İşte YA da e yaygı kullaım alaı bula tekiklerde bir taesi ola Doğrusal Programlama (DP), doğrusal karar modelleriyle ilgili kavram ve tekikler bütüüdür. Doğrusal programlama, bütü model parametrelerii kesi olarak bilidiğii varsaya determiistik bir tekiktir. Bir doğrusal programlama problemi (DPP) üç bölümde oluşur: 1- Bir DP problemi, karar değişkelerii (x 1, x 2,...,x ) doğrusal bir foksiyou ola amaç foksiyou içerir. Amaç foksiyou maksimizasyo ya da miimizasyo amaçlı olabilir. 2- Bir DP problemi, karar değişkelerii alacağı değerleri sıırlaya kısıtlar seti içerir. Her bir kısıt seti doğrusal eşitlik ya da eşitsizlik şeklide ifade edilmelidir. 3- Bir DP problemi, karar değişkelerii egatif olmama gerekliliğii belirleye bir kısıt içerir. x j 0, (j=1,...,). Değişkeler: Bir problemi modeli kuruldukta sora değeri hesaplaacak ola bilimeye simgelerdir. Karar Değişkeleri: Bir karar modelii çözümlemesi sürecide değeri hesaplaacak ola karar usurlarıdır. Öreği bir işletmede A ve B tipide iki farklı ürü üretilmek isteilsi.
Karar değişkeleri x 1 ve x 2 sırasıyla, üretilecek ola A ve B tipideki iki farklı ürüü üretim miktarlarıı gösterirler. Sapma Değişkeleri: Faktör ve kapasite arasıdaki degesizliği gidermeye çalışırlar. Bir başka deyişle, kullaıla hammadde ve ou kapasitesi arasıdaki degeyi kurmaya çalışırlar. Faktör < Kapasite egatif sapma değişkei (atıl kapasite) Faktör > Kapasite pozitif sapma değişkei (artık-fazla kapasite) Bu bağlamda sapma değişkelerii iki sııfta toplamak mümküdür: 1. Gölge Değişkeler: Atıl kapasiteyi temsil ederler. şeklideki bir kısıt deklemii (=) şeklide ifade etmek amacıyla kullaılırlar. Örek: X 1 + X 2 5 X 1 + X 2 +S 1 = 5 2. Artık Değişkeler: Fazla kapasiteyi temsil ederler. şeklideki bir kısıt deklemii (=) şeklide ifade etmek amacıyla kullaılırlar. Örek: X 1 + X 2 5 X 1 + X 2 - E 1 = 5 Yukarıda sözü edile sapma değişkelerii yaı sıra Simpleks Çözüm Yötemide kullaıla bir başka değişke çeşidi "yapay değişke"dir. Yapay değişkeler Büyük M Yötemi (Bölüm 3.2.2.) iceleirke açıklaacaktır. Parametreler: DP modelii davraışıı etkileye sabit katsayılardır. DP modelideki c j, b i ve a ij (i=1...m; j=1... ) katsayıları parametreler olarak adladırılırlar.
Amaç Foksiyou: Karar değişkeleride ve bu değişkeleri parametreleride oluşa e iyi çözümü (maksimum ya da miimum) elde edilmesii sağlaya doğrusal bir foksiyodur. Kısıtlar: Bir modeldeki karar değişkeleri ya da karar değişkeleri ile parametreler arasıdaki zorulu ilişkileri her birie kısıt adı verilir. Kullaıla faktör ya da hammadde miktarlarıdır. Tekolojik Katsayılar: Her faaliyet içi gerekli ola kayak miktarıdır. Sağ Taraf Sabitleri: Mevcut kayak miktarlarıı göstere, problemdeki kısıt deklemlerii sağ taraflarıda yer ala parametrelerdir. Bu bilgilere bağlı olarak bir DP problemi simgesel olarak aşağıdaki gibi ifade edilir: Z maks/mi. = Σ c j x j j=1 Amaç Foksiyou: Kısıt Deklemleri: Σ a ij x j b i ( i=1,...m) j=1 > (j=1,...) Örek: Maksimizasyo amaçlı ve 2x2 boyutlu bir DP problemi aşağıdaki gibi ifade edilir. Z max = c 1 x 1 +c 2 x 2 a 11 x 1 +a 12 x 2 b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 b 2 x 1, x 2 0 Optimal Çözüm: Bir DP modelii karar değişkelerii, mevcut kısıtlar altıda amaç foksiyouu e iyilemesi (optimum kılıması) soucuda aldığı değerler optimal çözüm olarak adladırılır.
Optimal Değer: Optimal çözüme bağlı olarak amaç foksiyou aldığı değer optimal değer olarak adladırılır. 2.2. DP i Bazı Uygulama Alaları - Üretim Programı - Besleme Programı - Reklam Ortamı Seçimi - Sermaye Bütçeleme - Dağıtım Pogramı - Stok Kotrol - Üretim Hattı Degelemesi 2.3. DP i Varsayımları DP'i altı temel varsayımı vardır. Bu varsayımlar aşağıda verilmiştir: - Belirlilik (Certaiity) - Doğrusallık (Liearity) - Bölüebilirlik (Divisibility) - Toplaabilirlik (Additivity) - Oratısallık (Proportioality) - Negatif olmama (No-egativity) Belirlilik Varsayımı: Bir DP modelide yer ala parametreleri bilidiği ve değişmediği kabul edilir. Yai, birim başıa kar ya da maliyetleri (c j ), her faaliyet içi gerekli ola kayak miktarlarıı (a ij ) ve mevcut kayak miktarlarıı (b i ) sabit olduğu varsayılır. Bu varsayımı kabul edilmesiyle DP problemlerii çözümü kolaylaşmaktadır. Acak, uygulamada bu parametreleri sık sık değişme eğilimide olması, DP'i pratik faydasıı azaltmaktadır. Acak, problemi optimum çözümü elde edildikte sora duyarlılık aalizi başlığı altıda parametrelerdeki değişmeleri etkileri iceleerek DP ye diamik bir yapı kazadırılabilir. Bölüebilirlik Varsayımı: Belirlilik varsayımı ile karar değişkelerii sürekli değerler alabileceği kabul edilir. Öreği herhagi bir DP modelii çözümüde 4.6 adet araba
üretileceği gibi bir üretim çıktısı soucua ulaşılabilir. Optimal çözüme ulaşıldıkta sora kesirli değerler Tam Sayı Programlama algoritmalarıyla tamsayılaştırılabilir. Doğrusallık Varsayımı: Bir DP modelii amaç foksiyou ve kısıt deklemleri doğrusal olmalıdır. Bir başka deyişle x j ler birici derecede olmalıdır. Toplaabilirlik Varsayımı: Amaç foksiyouu ve kısıt deklemlerii değerlerie yapıla toplam katkı, her bir katkıı ayrı ayrı toplaması ile elde edilir. Öreği, bir iş iki iş-gücü saat ile diğer bir iş üç iş-gücü saat ile yapılıyorsa iki işi birde yapmak beş iş-gücü saati gerektirir. Oratısallık Varsayımı: Her bir karar değişkeii amaç foksiyoua ve kısıt deklemlerii sol tarafıa yapacağı katkı karar değişkeii değeri ile oratılıdır. Örek olarak 1 adet A tipi oyucağı amaç foksiyou katkısı 800.000 TL ise 4 adet A tipi oyucağı amaç foksiyoua toplam katkısı buu dört katı ola 3.200.000 TL (4x800.000) olacaktır. Bir adet A tipi oyucak plastik departmaıda 4 dakikada işleiyorsa, 5 adet A tipi oyucak buu beş katı ola 20 dakikada (4x5=20) işleecektir. Negatif Olmama Varsayımı: DP deki tüm değişkeleri egatif olmaya değerler alması gerekmektedir. Negatif üretimde söz edilemeyeceği içi değişkeleri pozitif ya da e azıda sıfıra eşit olması gerekmektedir. 2.4. DP i Özellikleri ve Düzeleiş Biçimleri 2.4.1. DP i Özellikleri Bir DP problemii modeli, doğrusal eşitlikler ve/veya eşitsizlikler şeklideki kısıt deklemleri çerçeveside e iyileecek (optimum kılıacak) bir doğrusal amaç foksiyou içerir. Bu durumda bir DP problemi geel olarak aşağıdaki gibi ifade edilir: Z maks./mi. = Σ c j x j j=1 Σ a ij x j b i i=1,...,m
j=1 > j= 1,..., DP i özellikleri kısaca aşağıdaki gibi özetleebilir: 1) DP problemleride uygu çözüm birde çoktur. Fakat geelde optimum çözüm bir taedir (alteratif çözüm olabilir). 2) Kayak miktarları sıırlıdır. Amaca ulaşmak içi sosuz miktarda kayak kullaılamayacağı gibi, miktar olarak e kıt ola kayak çözüm alaıı belirler. 3) Problemde verile bilgiler, amaç ve kayaklar ile ilgili sıırlayıcı koşullar, matematiksel olarak eşitlikler ya da eşitsizlikler şeklide ifade edilmelidir. İfadeler doğrusal olmalıdır. 4) Karar değişkeleri (x j ) egatif olmamalıdır. x j - 0 (j=1,...,) 5) c j, b i ve a j (i=1,...,m ve j=1,..., ) değerleri öcede belirlemiştir. Her bir model içi sabit oldukları varsayılır ve parametreler olarak adladırılırlar. 2.4.2. DP i Düzeleiş Biçimleri DP modelleri değişik amaçlarla değişik biçimlerde düzeleirler. DP modellerii biçimleri aşağıdaki gibidir*. *-ÖZDEN, K. (1989), Yöeylem Araştırması, Hava Harp Okulu Yayıları, s.186. 1) Primal (özgü) form 2) Kaoik form 3) Stadart form 4) Dual (ikiz) form 1.) Primal (Özgü) Form: Herhagi bir DP problemi temel alıarak kurula ilk modele primal (özgü) problem adı verilir. Primal modeli matematiksel gösterimi aşağıdaki gibidir: Z maks./mi. = Σ c j x j j=1
Σ a ij x j b i i=1,...m j=1 > < j= 1,... x j - serbest Bua göre primal modelde, a.) E büyükleecek ya da e küçükleecek bir amaç foksiyou vardır. b.) Kısıt deklemlerii işaretleri ( ), (=), ( ) şeklide olabilir. c.) Amaç foksiyouda parametreler, kısıt deklemleride ise parametreler ve sağ taraf sabitleri yer alır. d.) Karar değişkeleri sıfıra eşit, sıfırda büyük ya da serbest işaretli olabilirler. Örek: Z maks. = 3x 1 + 5x 2 +2x 3 x 1 + 5x 2-2x 3 25 4x 1 + 2x 2 + 5x 3 = 80 x 1, x 2, x 3 0 2.) Kaoik Form: Bir DP problemi, kaoik formda aşağıdaki gibi ifade edilir: Z maks. = Σ c j x j j=1 Σ a ij x j b i j=1 i=1,...,m j= 1,..., Kaoik formu özellikleri aşağıdaki gibidir.
a.) Amaç foksiyou maksimizasyo amaçlı olmalıdır. b.) Kısıt deklemleri şeklide ifade edilmelidir. c.) Tüm değişkeler egatif olmaya değerler almalıdır. Bu forma uymaya DP problemleri aşağıdaki işlemlerle kaoik forma döüştürülürler: 1) Bir f(x) foksiyouu miimizasyou, bu foksiyou egatif işaretlisii (-f(x)) maksimizasyoua eşittir. 2) Herhagi bir yödeki eşitsizlik ( ya da ) (-1) ile çarpılarak karşıt yödeki eşitsizliğe ( ya da ) döüştürülebilir. Örek: a 11 x 1 + a 12 x 2 b 1 -a 11 x 1 -a 12 x 2 -b 1 3) Eşitlik şeklide verile bir kısıt deklemi zıt yöde iki eşitsizlik olarak ifade edilebilir. Örek: a 11 x 1 +a 12 x 2 =b 1 eşitliği a 11 x 1 +a 12 x 2 b 1 ve a 11 x 1 +a 12 x 2 b 1 şeklide iki eşitsizlik olarak yazılabilir. Burada, a 11 x 1 +a 12 x 2 b 1 ve -a 11 x 1 -a 12 x 2 -b 1 şeklide iki tae yölü eşitsizlik elde edilir. 4) Sol tarafı mutlak değer şeklide verile bir eşitsizlik iki eşitsizliğe döüştürülebilir. Örek: a 11 x 1 +a 12 x 2 b 1 eşitsizliği a 11 x 1 +a 12 x 2 -b 1 ve a 11 x 1 +a 12 x 2 b 1
şeklide iki eşitsizlik olarak yazılabilir. Burada, -a 11 x 1 -a 12 x 2 b 1 ve a 11 x 1 +a 12 x 2 b 1 şeklide iki tae yölü eşitsizlik elde edilir. 5) İşareti belirli olmaya bir değişke, iki tae egatif olmaya değişkei farkı olarak taımlaabilir. Öreği x 1 i işareti belirsiz ise, x 1 ıı 0 ve x 1 ı 0 koşuluyla x 1 = (x 1 ıı x 1 ı ) şeklide yazılabilir. Örek: Aşağıda verile DP problemii kaoik formda yazıız. Z mi. = 3x 1 + 5x 2 + 2x 3 10x 1 +16x 2 + 8x 3 1500 2x 1 + 3x 2 + x 3 = 1000 2x 1 + 2x 2 +10x 3 120 x 2 10 x 1, x 2 0 ve x 3 - serbest 3.) Stadart Form: Bir DP problemi, stadart formda aşağıdaki gibi ifade edilir. Z maks./mi. = Σ c j x j j=1 Σ a ij x j = b i j=1 i=1,...,m j= 1,...,
Stadart formu özellikleri aşağıdaki gibidir. a.) Amaç foksiyou maksimizasyo ya da miimizasyo amaçlı olabilir. b.) Tüm kısıt deklemleri (=) şeklide ifade edilmelidir. c.) Sağ taraf sabitleri egatif olmaya değerler almalıdır. d.) Tüm değişkeler egatif olmaya değerler almalıdır. Bu forma uymaya DP problemleri aşağıdaki işlemlerle stadart forma döüştürülürler: 1) ( ) şeklideki bir kısıt deklemi, dekleme egatif sapma değişkeii eklemesi ile (=) şeklide ifade edilebilir. Eklee bu değişkee gölge değişke adı verilir. Örek: 3x 1 + 2x 2 30 3x 1 + 2x 2 + S 1 =30 2) ( ) şeklideki bir kısıt deklemi, dekleme pozitif sapma değişkeii eklemesi ile (=) şeklide ifade edilebilir. Eklee bu değişkee artık değişke adı verilir. Örek: 2x 1 + 3x 2 + x 3 1000 2x 1 + 3x 2 + x 3 - E 1 = 1000 3) Sağ taraf sabiti (-) değerli ola eşitlik ya da eşitsizlik şeklideki bir kısıt deklemi, (-1) ile çarpılıp sağ taraf sabitii (+) değer alması sağlaır. Örek: -2x 1-3x 2 - x 3-1000 2x 1 + 3x 2 + x 3 1000 2x 1 + 3x 2 + x 3 + S 1 = 1000 4) İşareti belirli olmaya bir değişke, iki tae egatif olmaya değişkei farkı olarak taımlaabilir. Öreği x 1 i işareti belirsiz ise, x 1 ıı 0 ve x 1 ı 0 koşuluyla x 1 = (x 1 ıı x 1 ı ) şeklide yazılabilir.
Örek: Aşağıda verile DP problemii stadart formda yazıız. Z mi. = 3x 1 + x 2 x 1 3 x 1 + x 2 4 2x 1 - x 2 =3 x 1 0, x 2 -serbest 4.) Dual (İkiz) Form: Her DP problemii ilişkili olduğu bir ikiz problemi vardır. DP problemii asıl şeklie primal problem, buula ilişkili ikici şeklie dual (ikiz) problem adı verilir. Gerçekte de bir DP problemi, kedisiyle içsel bağlatılı başka bir DP problemie döüştürülebilir: Öreği, DP de maksimizasyo (miimizasyo) problemi, ayı verileri içere bezer bir miimizasyo (maksimizasyo) problemi olarak yazılabilir. DP de bu ikili yapı DUALİTE (İKİLİLİK) olarak adladırılmaktadır. Dual problemi çözümü öemli ekoomik yorumlar sağlar. Primal ve dual modeller arasıdaki ilişkileri aşağıdaki gibi sıralamak olasıdır: 1) Primal ve dual modeli optimal çözümleri içi Primal Dual maks. Z = mi. G mi. G = maks. Z eşitliği geçerlidir 2) Primal modeli amaç foksiyou katsayıları (cj), dual modeli sağ taraf sabitlerii (bi) oluştururlar. Primal Dual cj bi (j=1,...,) (i=1,...,m)
3) Primal modeli sağ taraf sabitleri (bi), dual modeli amaç foksiyou katsayılarıı (cj) oluştururlar. Primal Dual bi cj (j=1,...,) (i=1,...,m) 4) Primal modelde kısıt katsayılarıı oluşturduğu tekolojik katsayılar satırı, dual modelde tekolojik katsayılar sütu vektörüü oluştururlar. Primal Dual a ij a ij (j=1...), (i=1...m) -değişke m-kısıt deklemi -kısıt deklemi m-değişke O halde, primal model adet değişke, m adet kısıt deklemi içeriyorsa, dual model m adet değişke adet kısıt deklemi içerecektir. 5) Dual problemi duali primaldir. 6) Primal ve dual problemi karar değişkeleri egatif olmaya değişkelerdir., y i 0 Primal Dual y i 0 7) Primal problemdeki kısıt deklemleri, dual problemde yö değiştirirler. Primal Dual
A-) Normal Maksimum / Miimum Problemleri Dualii Alıması a) Normal Maksimum Problemi Asıl Model Dual Model m Z maks = Σ c j x j G mi = Σ b i y i j=1 i=1 m Σ a ij x j b i Σ a ij y i c j j=1 i=1 y i 0 (i=1,...,m) (j=1,...,) (j=1,...,) (i=1,...,m) Normal maksimum problemii duali kaoik formda ve stadart formda yararlaılarak alıabilir. i) Kaoik Form Normal maksimum problemi, maksimizasyo amaçlı ve yölü kısıt deklemli olacağı içi zate kaoik formda olacaktır. O halde, dual problem miimizasyo amaçlı ve yölü kısıt deklemli olacaktır. Örek: Aşağıdaki verile DP problemii kaoik formda yararlaarak dualii alı. Z maks. = 60x 1 + 30x 2 + 20x 3 8x 1 + 6x 2 + x 3 48 4x 1 + 2x 2 +1.5x 3 20 2x 1 +1.5x 2 +0.5x 3 8 x 1,x 2, x 3 0 ii) Stadart Form Normal maksimum problemi stadart forma döüştürülerek duali alıır.
Örek: Yukarıda verile DP problemii stadart formda yararlaarak dualii alıız. b) Normal Miimum Problemi Asıl Model m Dual Model G mi. = Σ b i y i Z maks. = Σ c j x j i=1 j=1 m Σ a ij y j c j Σ a ij x j b i i=1 j=1 y j 0 (i=1,...,m) (j=1,...,) (j=1,...,) (i=1,...,m) Normal miimum problemii dual problemi maksimizasyo amaçlı ve yölü kısıt deklemli olacaktır. Örek: Aşağıda verile DP problemii dualii alıız. G mi. = 50y 1 + 20y 2 + 30y 3 + 80y 4 400y 1 +200y 2 +150y 3 +500y 4 500 3y 1 + 2y 2 6 2y 1 + 2y 2 + 4y 3 + 4y 4 10 2y 1 + 4y 2 + y 3 + 5y 4 8 y 1, y 2, y 3, y 4 0 i- Stadart Form Normal miimum problemi stadart forma döüştürüldükte sora duali alıır. Örek: Yukarıda verile DP problemii stadart formda yararlaarak dualii alıız. O halde, ormal maksimum ve miimum problemlerii stadart formda duali alıırke aşağıdaki kurallar geçerlidir.
1. Maksimizasyo amaçlı ormal DP problemi stadart forma döüştürüldükte sora duali alıdığı zama, dual problem miimizasyo amaçlı ve yölü kısıt deklemli olacaktır. 2. Miimizasyo amaçlı ormal DP problemi stadart forma döüştürüldükte sora duali alıdığı zama, dual problem maksimizasyo amaçlı ve yölü kısıt deklemli olacaktır. B.) Asimetrik DP Problemii Dualii Alıması DP problemi ormal forma (Normal Maksimum/Normal Miimum) döüştürüldükte sora duali alıır. Tablo-Primal-Dual Problem Arasıdaki İlişki Primal Problem (Dual Problem) Maksimizyo Z(G) i. kısıt deklemi şeklide = şeklide şeklide x j -değişke x j 0 sıırladırılmamış x j 0 Dual Problem (Primal Problem) Miimizasyo G(Z) y i - değişke y i 0 sıırladırılmamış y i 0 j.kısıt deklemi şeklide = şeklide şeklide Kayak: HILLIER, F.S. ve LIEBERMAN, G.J. (1995), Itroductio to Mathematical Programmig, McGraw-Hill Publishig Compay, p.213.