Bu bölüm b m : Kl Kus, Photogmmetie, Bnd, Geometishe Infomtionen us Photogphien und Lsesnneufnhmen, ISBN 3-3 -778- dlı knğı ğın çeviisi pılk ve Pof.D.. Ahmet şn, n, Hv Fotogmetisinde İki Boutlu Doğusl Dönüşümle D ve Ugulmlı,, KTÜ Bsımevi, ın n No., BF ın n No.9,978 Pof.D.. Ahmet şn, n, Fotogmeti- des Notlı,, TÜ,, Alık, 996 dlı knkl lnılk lk hzılnm lnmıştı. bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
Fotogmetide kullnıln fklı lım öntemlei slınd mtemtiksel temellee dnı. BENERLİK ve AFFIN DÖNÜŞÜMLERİ P, noktlı hehngi bi koodint sisteminde tnımlı olsunl. Diğe bi sistemin ise tnımlnn sistemle st önü tesinde α dönüklüğü olsun. P noktsının diğe sistemdeki koodintlı: bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
b b P α.sinα.osα b.osα b.sinα α b b α bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
.osα.sinα.sinα.osα Bud α çısı koodint eksenleinin dönüklük kosinüsü olk tnımlnk olus, mtis gösteimi ile: os os os os R R zılbili. Bud R dönüklük mtisi olk dlndıılı.bu mtis kesel bi mtisti fkt simetik değildi. bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
Dönüklük mtisindeki ik elemnlının stgele mi seçilebileeği oks belli kull ugun olk mı değe ldığı sounun çözümü için, koodint eksenleini i, j biim vektöle olk seçelim ve bunlın -sistemindeki bileşenleini hespllım:.osα.sinα.sinα.osα Eşitliklei göz önünde bulunduulduğund: bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
osα i sinα sinα j osα j i α α bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
Bibileine dik konumd oln biim vektölein otogonlite koşullını sğlmsı geeki bi otogonlitekoşulu ve iki noml denklem. T i i os α sin α j T j os α sin α T i j osα sinα sinα osα.36.9.634.789.69.7.789.634 Bud otogonllik koşulını ideleelim:..36.9.657..69.7.549 3..36*.69.9*.7.385 Otogonllik koşullı eine getiilmediği için düzlemsel bi dönüklükten-benzelikten söz edilemez. Bud otogonllik koşulını ideleelim:..634 -.789...789.634...634*.789-.789*.634 bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
ÖDEV- -sistemine bi dikdötgen eleştielim ve bu diktötgenin köşeleini ukıdki he iki öneğe göe -sistemine dönüştüelim. Sonuçlı kşılştıdığınızd fk nedi? ÖDEV- Öle bi mtis tnımlın ki bi dönüklük ve bi de n tesliği oluşsun os α, sin α, sin α, -os α bm@ildiz.edu.t 8 RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
9 RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM E R R R mtisin invesi ile çpımı biim mtisi vei. Diğe tftn R mtisinin tnspozesi ile çpımı d biim mtisi vei., j j i j j i i i j i j i T T T T T T T R R R T ile çpılk olus : R E R R R T T T bm@ildiz.edu.t FOTOGRAMETR FOTOGRAMETRİNİN TEMELLER N TEMELLERİ
Doğusl dönüşümle genel olk: -b bd, b Bu sistemin tesi lınk olus: b -bd -b -d-b b ise ötelemei d ise dönme mekezinin koodint bşlngıı olduğunu göstei. bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
Aşğıdki şekillede koodint sistemlei bibine tes değilse düzgün otogonllik soldki şekil, eğe tes ise düzgün olmn otogonllik sğdki şekil söz konusudu. P O α O d O O d α α P bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM bm@ildiz.edu.t GENEL BENERLİK DÖNÜŞÜMÜ - d şeklinde zılbili. Budn: - d FOTOGRAMETR FOTOGRAMETRİNİN TEMELLER N TEMELLERİ ' ' ' ' d d
Ölçek fktöü ve dönme çısı: k tnα bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
NN - I/III II/III NN 3 4 5 6 7 8 58,79 4833,49-375,3 - ' -' - ' -' -* - ' -' - ' -' 7,4476,963986 58,79 4833,49 566,9 539,38 55,7 4878,9 543,74 58,4 74,68 - - 543,74 58,4 5, 54,7 56,7 566,86 ' ' - ' - - d 49468,83 DÖNÜŞTÜRÜLMÜŞ KOORDİNATLAR ' 495,6-953,3 ' - ' - d 49468,83 495,6 493597,65 4966,878 49835,44 49585,48 ' 4468,7 45579,4 766,548 5533,594 7363,94 45985,337 336,963 ' 96,69 4468,7 45579,4 45893,5366 45946,844 4494,3597 4449,54 bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM bm@ildiz.edu.t DENGELEMELİ BENERLİK DÖNÜŞÜMÜ En küçük kele öntemindeki dollı ölçüle dengelemesine göe düzeltme denklemlei: FOTOGRAMETR FOTOGRAMETRİNİN TEMELLER N TEMELLERİ.. ' '.. ' '.................... 4 3 v v v v
Mtis gösteimi ile: v Noml denklemle: T K b ' K K b K ' Noml denklemle çık zılk olus: [ ]b []b 3 []b 4 [ ] []b - []b3 []b4 [ - ] []b - []b nb3 [ ] []b []b nb4 [ ] T bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
n, otk nokt sısını ; köşeli pntezle den n e kd toplmlı Göstemektedi. He iki sistemde de, koodint bşlngıçlı, otk noktldn Oluşn kümenin ğılık mekezlei olk seçilise: m [ ]/n, m [ ]/n, m []/n, m []/n Ve koodintl bu bşlngıçl göe ötelenise: ' ' i i i i m m [ '] [ '] [ ] [ ] ' ' i i Bu koodintl noml denklemlede eine zılıs köşegen teimlein dışındki teimle sıfı olu. Bun göe, pmetelei: i i m m bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM bm@ildiz.edu.t olk bulunu. FOTOGRAMETR FOTOGRAMETRİNİN TEMELLER N TEMELLERİ ] [ ] [ '] [ '] [, ] [ ] [ '] [ '] [ n n ] [ ] [ '] [, ] [ ] [ '] [ 4 3 Bi noktnın otlm htsı v, v klıntı htlın bğlı olk; 4 ] [ ] [ n v v v v m Bi noktnın konum htsı ise; ] [ ] [ m n v v v v m p
RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM bm@ildiz.edu.t Bilinmeenlein otlm htsı: FOTOGRAMETR FOTOGRAMETRİNİN TEMELLER N TEMELLERİ n m m m m m m 4 3 ] [ ] [ Bilinmeenlein bi fonksionu olk ölçek ve dönüklüğün otlm htlı: ] [ ] [ m m m α λ
Dönüştüüleek otk nokt d hehngi bi noktnın koodintlı i, i olsun. Dönüşümden son bu noktnın koodint otlm htsı: m ' m ' [ i i ] n m olu. Bud ilgili noktlın otk noktl i i kümesinin ğılık mekezine uzklığıdı. bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
Nokt Model Koodintlı Ve. Az. Koo. Dönüştüülen Model KKlıntı Htl. No: " " v v 5 54,7 539,38 458,5, 458,57,33 -,76 -,39 4 5, 566,9 45768,6 37,58 45768,6 37,444 -,96,3637 53 5 5 43978,86 7,93 43978,74 8,,6999 -,89 497,4 499,4 435,9 437,5 435,95 437,46 -,478,4867 n4 [vv],665,389 S 369,96 5,69 78774,5 8638, Kontol S/n 59,49 58,93 44693,63 59,555 Sv Sv 4,3E- Nokt Ağılık Mekezi Oijin Olduğun Göe Kood Dönüşüm Elemnlının Hesbı ' ' ' ' 5-5, -,4575-7,87 58,355 [''] 64874, 4-7,53-37,987-74,63-9,5 [''] 5345,3 53 9,49 8,95 74,775 3,65 I [''] [''] 86359,5 85,5 9,55 487,73 7,45 [''] 358569, [''] 53477,9 II [''] - [''] 59,3 [''] 8698,9 [''] 347,5 III [''] [''] 597 lose I / III 7,445998 S -9,E-3,73E- -7,3E- lsine II / III b,9686 []/n-[]/n-b[]/n 7,83 eni NoktModel Koodintlı Dönüştüülen Koodin[]/n-[]/n-b[]/n -367 " " l Sq b 7,5937 5 56,9 55,73 4485,4 39,59 e tnb/ 7,7989 89 566,87 4878,9 44366,8 59,673 mp Sq[vv]/n,7544 48 543,74 58,8 44493,64 3543,99 5 453,35 496,6 445,58 89,6 bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
Otogonl olmn bi mtisle pıln dönüşüme Affin dönüşüm deni. Özelliklei: Hehngi bi doğunun dönüşümü ine bi doğudu. Bi doğu üzeinde bulunmn üç nokt dönüşümden son ine bi nokt üzeinde değildi. Plel doğul dönüşümden son d pleldi. Kesişen doğul dönüşümden son ine kesişi ve kesişme noktsı bibileine kşılık gelile. Açıl dönüşümden son değişi. Belili bi önde ölçek değişmez klı. önle bilikte ölçek de değişi. Bi doğu üzeindeki doğu pçlının kşılıklı onlı değişmez klı. Geometik şekillein lnlı dönüşümden son sbit bi mikt değişi. Bu sbi mikt dönüşüm mtisinin deteminntın eşitti. bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
Affin dönüşüm şğıdki şekilde tnımlnı: A Bud: ve iki öteleme,,,, otogonllik koşulunu Sğlmn döt elemndı ve bi tftn he iki koodint önünde belli bi Ölçek diğe tftn koodint eksenlei etfınd iki bğımsız dönüklüğü içei Benzelik dönüşümü Affin dönüşümün özel bi hlidi. Affin dönüşümde dönüklük mtisi otogonl olmmsın kşın benzelik Dönüşümde otogonldi. Bunun nınd ölçek fktöü he eksen için sbitti. bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
Budn ffin dönüşümü bğıntılı: m mr ÖDEV-4 ik pmeteleinin hesplnbilmesi için he iki sistemde eşlenik kç det nokt geeksinim duulu? b b d bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
b b d Çözüm için he iki sistemde de bilinen eşlenik nokt geeksinim duulu. Bu duumd: b b d b b d bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM ve 3, ve 4 eşitliklei bibileinden çıkılk olus: b b Olu. Mtis gösteimi ile b b b bm@ildiz.edu.t FOTOGRAMETR FOTOGRAMETRİNİN TEMELLER N TEMELLERİ
RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM Budn, b pmetelei: b, d pmetelei ise dönüşüm fomülünden:?? 5 3 7 7 3 5 Nokt No bm@ildiz.edu.t FOTOGRAMETR FOTOGRAMETRİNİN TEMELLER N TEMELLERİ
A Affin Dönüşümü genel hlile ukıdki biçimde tnımlmıştık. Benzelik dönüşümünde söz konusu koodint sistemlei dik koodint sistemlei idi os Affin dönüşümde dik ve eğik koodint sistemlei söz konusu olbili.,,,,, pmeteleini hesplınız bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM bm@ildiz.edu.t z z z os os os os os os os os os 33 3 3 3 3 R R z FOTOGRAMETR FOTOGRAMETRİNİN TEMELLER N TEMELLERİ
κ ω ψ κ Biini eksen İkini eksen Üçünü eksen ω ψ bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
zz ω ω z ω z ωψ ω ωψ κ z ωψ z ωψκz ωψκ ωψ ω ω ω ωψ ωψ ωψκ ψ Bi z koodint sisteminde tnımlı P noktsı bu sistemle ω,ψ,κ dönüklükleine ship sistemine dönüştüülü. Bud dönüşüm mtisi şğıdki gibi tnımlnı: bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM bm@ildiz.edu.t z z ψ ψ ' ' os sin sin os os sin sin os ' ' z z z z ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ os sin sin os ' ' ' os sin sin os R z z FOTOGRAMETR FOTOGRAMETRİNİN TEMELLER N TEMELLERİ
z z ω ω κ R ω osω sinω sinω osω R κ κ osκ sinκ sinκ osκ R RψRωRκ bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
R ωψκ osψ osκ osψ sinκ osω sinκ sinω sinψ osκ osω sinκ sinω sinψ osκ sinω sinκ osω sinψ osκ sinω osκ osω sinψ sinκ Bud bibiini izleen dönüklükle: sinψ osψ sinψ osψ sinψ R R. dönüklük. dönüklük Toplm dönüklük : R R R Bud R ve R dönüklük mtisleinin çpımı ile genel dönüklük mtisi elde edili. bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
Bud mtis çpımı geçekleştiiliken dönüklük sısın mutlk dikkt Edilmelidi. R T R R T R T R T ÖRNEK-: ω -.3948 gon ψ.4 gon κ -.8479 gon veildiğine göe R dönüklük mtisinin elemnlını hesplınız. elde edilen mtisin otogonl olup olmdığını test ediniz. bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
ÖRNEK-: Bi P noktsı z sisteminde tnımlnmış olsun. Bu sistem sistemi ile ω,ψ,κ Dönüklüğü olsun, sistemi nı zmnd sistemi ile de ω,ψ,κ dönüklükleine ship olsun. P noktsının sistemindeki koodintlını ve z ile sistemi sındki ω,ψ,κ dönüklükleini hesplınız. 43.46 83.699 5.67 ω.3948gon ψ.4gon κ.8479gon R mtisi ω.76gon ψ.853gon κ.33gon R mtisi bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
R R İkini çözüm R R R R R mtisi dımı ile ω,ψ,κ dönüklüklei hesplnbili. bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
Mekezsel İzdüşüm negtif H P P pozitif P O H P 99,6. M H P P P O: Pojeksion mekezi H: Resim sl noktsı : Kme sbiti M: Resim ot noktsı bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
negtif H P P O pozitif P H P P P Bud P esim noktsı ve P noktsı Asındki ilişki kolineite eş doğudşlık koşulu ile tnımlnı bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
O,, P, H, M - P - - bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
Özel Duum: ve sistemindeki eksenle bibiine plel olsun, ni tm düşe fotoğf söz konusu olsun. Bu duumd: λ λ λ λ İdel bi duum için elde edilen bu denklemlee İzdüşüm denklemlei deni. Bu denklemle oumlnk olus;,, koodintlı ve kme sbiti sl uzklık bilinen bi Düşe fotoğft,, zi noktsın kşılık lnız, koodintı elde edili. ni P uz noktsın kşılık fotoğft tek bi P noktsı kşılık geli. Bunun tesi doğu Değildi, ni P fotoğf noktsın kşılık OP izdüşüm doğusund sonsuz nokt Kşılık geli. bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
O,, P, H, M - P - - bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM bm@ildiz.edu.t Şimdi genel duum ele lınk olus, iki sistemin dönüşüm poblemi elde edili. Genel olk: 33 3 3 3 3 λ Bu eşitliklede. ve. stı ı ı 3. stı bölüneek olus: 33 3 3 3 33 3 3 3 ukıdki he iki tfı /λr - ile çpılk olus: 33 3 3 3 3 λ 33 3 3 3 33 3 3 3 FOTOGRAMETR FOTOGRAMETRİNİN TEMELLER N TEMELLERİ
RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM bm@ildiz.edu.t 33 3 3 3 33 3 3 3 ukıdki eşitlikle he bi obje noktsın bi esim noktsının kşılık geldiğini göstemektedi. FOTOGRAMETR FOTOGRAMETRİNİN TEMELLER N TEMELLERİ
RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM bm@ildiz.edu.t 33 3 3 3 33 3 3 3 ukıdki eşitlikle ise koodintın bğlı olk bi esim noktsın sonsuz sıd zi noktsının kşılık geldiğini göstei. Dolısı ile bi fotoğftn objee ilişkin üç boutlu koodintl elde edilemez. FOTOGRAMETR FOTOGRAMETRİNİN TEMELLER N TEMELLERİ
, : Asl noktnın koodintlı : Kme odk uzklığı İç öneltme elemnlı olk dlndıılı.,, ω,ψ,κ : İzdüşüm mekezinin koodintlı : Resmin üç dönüklüğü Bu ltı pmete dış öneltme elemnlı olk dlndıılı. Toplm 9 pmete fotoğfın mekezsel izdüşümünü tnıml. Bud kme odk uzklığı kme klibson polı ile bilini. İdel duumd ; olmsı bekleni. bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
ÖDEV: 6.67 mm,. mm 3653.63m, 65.834m, 5.74m -.349.99947.48 R -.99949 -.3496.6.784 -.4798.999988 P 36355.4 m., P 6488.48m., P 588.79m. P 3657.87 m., P 698.3m., P 596.67m. veildiğine göe bu noktl it esim koodintlını hesplınız, gfik olk gösteiniz. bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
DÜLEMSEL MERKEİ İDÜŞÜM VE PROJEKTİF DÖNÜŞÜM Obje düzleminde kbul edilise: H, O,, - M P, 3 3 3 3 Eşitliği şğıdki eşitliğe dönüşü: 3 3 33 33 P - - bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM bm@ildiz.edu.t 3 3 3 3 b b b Budki i i i b,, ukıdki eşitliğe bğlı olk :.... 3 3 şeklinde tnımlnı. A A Eşitliğinde he iki tf e bölüneek olus: 3 FOTOGRAMETR FOTOGRAMETRİNİN TEMELLER N TEMELLERİ
b b b 3 3 Eşitliklei elde edili. Bu eşitliklein nlmı şudu: Bi fotoğf düzlemsel objelein tnımlnmsınd kullnılbili 8 bğımsız pmete bi düzlemsel objenin mekezi izdüşümünü tnıml. Mekezi izdüşümdeki 9 meknsl bğımsız pmetenin 8 düzlemsel pmetee indigenmesinin nedeni şudu: Bi obje düzlemindeki mekezi izdüşüm 9 pmetenin bğımlılığındn oluşu. Özel bi duum için Obje düzlemi fotoğf düzlemine plel kbul edilise bu bğımlılık kol tnımlnbili. Budki bğımlılık kme sbiti ve izdüşüm mekezinin koodintı sınddı ve / onı bilini. bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
Budki temel poblem genel duum için 8 pmetenin belilenmesidi. Bunun için he iki sistemde 4 kontol noktsın geeksinim duulu. O Q O P Q P Q P bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
ÖDEV: Resim koodintlı [mm] Obje koodintlı [mm] A -33.88.74 488.5 355. B 3.83.785 9.38 357.46 C -45.76-74.337 376.4 899.76 D 8.47-96.643 86.48 6. P.68 5.8?? 3 - - b b b 3 - - Şeklinde 8 denklem zılı. bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM bm@ildiz.edu.t 6. 86.48 899.76 376.4 357.46 9.38 355. 488.5 54.64 45.559.96643.847.644 59.46.96643.847 4. 86.937.74337.4576.37 6.987.74337.4576 357.7.88.785.383 6.97 7.748.785.383 39.996 8.43.74.3388 63.796 49.534.74.3388 3 3 b b b 479. 8.69.78 736.85 84.7.33 466.9 8.65 3 3 b b b m m 55,74,78.,58,33.,63 479, 736,85.,58 466,9.,68 839,43,78.,58,33.,63 8,69 84,7.,58 8,65.,68 FOTOGRAMETR FOTOGRAMETRİNİN TEMELLER N TEMELLERİ
RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM bm@ildiz.edu.t Özel Duum: Resim düzlemi obje düzlemine plel olk kbul edilise: ni ψω Dönüklük mtisi şğıdki şekilde tnımlnı: os sin sin os κ κ κ κ R 33 3 3 3 33 3 3 3 Bu duum eşitliğine ugulnk olus: os sin sin os os sin sin os m olus z ızıl m B B κ κ κ κ κ κ κ κ elde edili. FOTOGRAMETR FOTOGRAMETRİNİN TEMELLER N TEMELLERİ
RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM bm@ildiz.edu.t Bu özel duumd fotoğf bi hit gibi düşünülebili. Bud sdee ölçek küçültülmüştü. Bu duumd ukıd zıln eşitlik bi süzlem ffin dönüşümü tnıml. ni bu duumd iki öteleme, bi dönüklük ve bi ölçek fktöü söz konusudu. Bud ölçek fktöü: / di. mr m os sin sin os m B κ κ κ κ S s O κ kbulü ile s/s/ sbit/m B FOTOGRAMETR FOTOGRAMETRİNİN TEMELLER N TEMELLERİ
b b b 3 3 Eşitliği dımı ile Obje düzlemindeki ve Fotoğf düzlemindeki koodintlı dımı ile fotoğf düzlemindeki hehngi bi nokt obje düzlemi insinden ifde edilebili. Bud iç ve dış öneltme elemnındn oluşn dokuz pmeteli mekezi izdüşümlü ışın demetlei pojektif geometi ile bğlntılı olk esim ile obje sınd geçeli olu. Pojektif geometide metkezi izdüşümlüışın demetleine ltentif olk şğıdki özellikle geçelidi: Eğe kontol noktlı dımı ile dönüşüm pılks klşık değelee geek oktu. Pojektif geometi dolısı ile iç öneltme elemnlının bilinmesine geek oktu Affin dönüşüm, pojektif dönüşümün özel bi hlidi. bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
ÖDEV: sistemindeki kontol noktlı,,,,3,,4, olk veilmiş olsun. sisteminde ise,,,,3,4,4,4 olsun. Bun ek olk sisteminde 5.5,.5 noktsı veilşmiş olsun. Bu noktnın sistemindeki koodintlını hesplınız. ptığınız dönüşümü oumlınız. bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
-ekseni obje ekseninde, ekseni de esim doğultusund olsun. Bu duumd olu. 3, 3 ve bi doğunun mekezi izdüşümünü tnıml. Dolısı ile 3 kontol noktsı ile diğe noktl dönüştüülmüş olu. SORU: neden 3 konol noktsı? ukıdki eşitlik nı zmnd çifte on özelliğini tnıml. Bi doğu üzeinde bulunn döt nokt için zılk bi çifte on mekezsel izdüşümde sbitti. D C B A S D AC BC AD sbit BD C B A bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
Mekezi izdüşümün diğe bi özelliği de: Plel doğulın izdüşümlei kesişebili. Ank izdüşüm düzlemine plel oln doğul izdüşümde de plel klı. Plel doğulın izdüşümde kesişme noktsın Kçış Noktsı deni. Kesişen doğul izdüşümde de kesişi. Kesişme noktlı bibiine kşılık geli. K K Ufuk çizgisi bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
ÖRNEK: APBQC doğusu boun bi fotoğf çekilmiş olsun. AB4,5 m., BC5. m P,Q noktlının koodintlını hesplınız. A p B Q C bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM
. BLÜM M SONU bm@ildiz.edu.t RD.DOÇ.DR. BÜLENT BARAM