DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN BİLİMLERİ DERGİSİ

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN BİLİMLERİ DERGİSİ Clt: 2 Sayı: 3 sh 87-02 Ekm 200 VOLTERRA SERİLERİ METODU İLE DOĞRUSAL OLMAYAN SİSTEMLERİN FREKANS BOYUTUNDA ANALİZİ İÇİN NET TABANLI ARAYÜZ TASARIMI (DESIGN OFNET BASED INTERFACE FOR NON-LINEAR SYSTEMS ANALYSIS IN THE FREQUENCY DOMAIN USING VOLTERRA SERIES METHOD Sezg KAÇAR*, İlyas ÇANKAYA* ÖZET/ABSTRACT Bu çalışmada doğrusal olmaya sstemler aalzde kullaıla e yaygı yötemlerde brs ola Volterra serler yöteme yöelk 2007 yılıda gelştrle bastleştrlmş ye algortma ç Net tabalı br arayüz tasarlamıştır (Peyto Joes, 2007 Algortma MATLAB rogramı le kodlamış ve MATLAB Bulder NE le Net ortamıa aktarılmıştır Gelştrle arayüz ç kc derece doğrusal olmaya br Duffg deklem le örek br uygulama gerçekleştrlmştr Bu uygulamada brc ve kc derece frekas cevabı foksyolarıa lşk souçlar elde edlmştr I ths aer, a Net based terface s desged for smlfed ew algorthm deveoled 2007 for Volterra seres method whch s oe of the most commo methods usg for olear systems aalyss (Peyto Joes, 2007 The algortm s coded by MATLAB rogramme ad adated to Net latform wth MATLAB Bulder NE A examle alcato s erformed for the develoed terface wth a secod order o-lear Duffg equato I ths alcato, results relatg to frst ad secod order frequecy resose fuctos are obtaed ANAHTAR KELİMELER/KEYWORDS Doğrusal olmaya sstemler, Volterra serler, MATLAB Bulder NE, Net arayüzü No-lear systems, Volterra seres, MATLAB BUILDER NE, Net terface * Sakarya Ü, Tekk Eğtm Fak, Elektrok-Blgsayar Eğtm, Esetee Kamüsü, Serdva 5487, SAKARYA

Sayfa No: 88 S KAÇAR, İ ÇANKAYA GİRİŞ Sstemler brçok farklı şeklde sııfladırılablr Buula beraber sstemler e yaygı sııfladırılma bçm sstem yaısıa göre doğrusal olu olmadığıdır Doğrusal sstemler aalzde geel olarak oldukça bast br yaklaşım ola trasfer foksyou yötem kullaılmaktadır Aslıa bakılırsa çevremzde gördüğümüz fzksel sstemler tamamıa yakıı doğrusal olmaya yaıdadır Doğrusal olmaya sstemler ç bazı kabuller ve hmaller yaılarak doğrusal yaıda oldukları kabul edleblr ve aalzler doğrusal sstemlere uygulaable yötemlerle gerçekleştrleblr Acak gerçekleştrlecek bu aalz soucuda doğrusal olmaya sstemlere özgü; atlama, çatallama, kaos gb öeml davraış bçmler gözleemez ve sstem hakkıda yeterl blg elde edlemez Bu edele doğrusal olmaya sstemler aalze yöelk zama ve frekas boyutuda uygulaa brçok yötem gelştrlmştr (Bllgs, 980; Kersche vd, 2006 Doğrusal olmaya sstemler aalz ç e uygu yötemler frekas boyutuda uygulaa yötemlerdr Çükü zama boyutudak aalz yötemlerde belrl br zama aralığı ç aalz yaıldığıda doğrusal olmaya sstem davraışları gözleemeyeblr Doğrusal olmaya sstemler aalz frekas boyutuda gerçekleştre brçok yötem sayılablr Bularda e yaygı olaları Volterra serler metodu, taımlama foksyoları metodu ve geelleştrlmş dege deklemler metodu dur Sayıla bu metodları üçüde Volterra model temel alır Volterra model lk olarak Vto Volterra tarafıda ortaya atılmıştır Volterra ked adıı verdğ sosuz Volterra serler le doğrusal olmaya sstemler taımlaableceğ göstermştr Bua göre tek grşl br sstem çıkışı Volterra serler le fade edleblr (Volterra, 930 Brllat tarafıda Volterra serler sadece sürekl zamalı sstemlere değl doğrusal olmaya hafızasız sstemlere de uygulaableceğ gösterlmş, aaltk sstemler terslemes, tolaması, çarılması, kaskat brleştrlmes, bast ger besleme bağlatılarıı souçlarıı aaltk yaıda hesalaması ç yötemler gelştrlmş ve souç serler stee oktaya yakısadığı satlamıştır (Brllat, 958 Başka br çalışmada Volterra serler frekas boyutua taşımak ç Fourer döüşümü kullaılmış, böylece harmok rdeleme (robg algortması ve üstel grş metodu gelştrlmştr (Bedrosa ve Rce, 97 Bu metotla da haberleşme sstemler aalz gerçekleştrlmştr Sürekl zamalı sstemler ç gelştrle bu metod Bllgs ve Tsag tarafıda ayrık zamalı sstemlere uyarlamıştır (Bllgs ve Tsag, 989 Bllgs ve Peyto Joes 989 ve 990 yıllarıda yatıkları çalışmalarda Volterra serler le üretle geelleştrlmş frekas cevabı foksyolarıı, doğrusal olmaya fark deklemler ve doğrusal olmaya tegro-dferasyel deklemler ç sadece sstem modeldek term katsayıları kullaılarak doğruda üretldğ, ked çağıra (recursve algortmalar gelştrmşlerdr (Peyto Joes ve Bllgs, 989; Bllgs ve Peyto Joes, 990 Güümüze kadar Volterra serler kullaımı le lgl daha brçok araştırmacı tarafıda çok sayıda çalışma gerçekleştrlmştr Bu çalışmalara örek olarak; Boyd, Rugh, Peyto Joes ve Bllgs, Bllgs ve Lag, Kha ve Vyas, Chatterjee ve Vyas, Çakaya ve Boz, Peyto Joes, Lag vd, Xgja ve Lag ı çalışmaları verleblr (Boyd, 980; Rugh, 98; Peyto Joes ve Bllgs, 99; Bllgs ve Lag, 997; Kha ve Vyas, 999; Chatterjee ve Vyas, 2003; Çakaya ve Boz, 2005; Peyto Joes, 2007; Lag vd, 2007; Xgja ve Lag, 2009 Volterra serler yötem e büyük avatajı kullaımıı çok geel br yaıya sah olmasıdır Yüksek derecel sstemlerde elde edle çok boyutlu souçlar ve buları götermde karşılaşıla roblemler se yötem e büyük dezavatajıı oluşturmaktadır

Mühedslk Blmler Dergs Clt : 2 Sayı : 3 Sayfa No: 89 Volterra serler metodu brçok alada olduğu gb haberleşme, görütü, ses ve syal şleme alalarıda da doğrusal olmaya sstemler ve syaller aalz gerçekleştrmek ç kullaılmaktadır (Bu vd, 200; Iglada ve Garello, 2002; Masug ve Takuma, 2007; Hele ve Rose, 2008 Volterra serler metodua yöelk arayüz çalışmaları da yaılmıştır Öreğ Lu u çalışmasıda Volterra serler temel ala frekas cevabı foksyoları ç br kullaıcı arayüzü tasarlamıştır (Lu, 2002 200 yılıda Kaçar ve Çakaya tarafıda gerçekleştrle çalışmada Volterra serler metodu ç Peyto Joes tarafıda 2007 yılıda gelştrle ye algortmaı kullaıldığı doğrusal olmaya sstemler aalz ç MATLAB GUI (Grahc User Iterface le br arayüz tasarımı yaılmıştır (Kaçar ve Çakaya, 200 Suula bu çalışmada da, yukarıda bahsedle MATLAB GUI arayüzü MATLAB Bulder NE de yararlaılarak Net tabalı br arayüze taşımıştır Suula çalışmaı 2 bölümüde doğrusal olmaya sstemler zama ve frekas boyutuda Volterra serler le taımlamasıda, 3 bölümüde yüksek derecel trasfer foksyolarıı hesalamasıda bahsedlmektedr 4 bölümde metodu kullaımıa yöelk örek br uygulama yaılmakta, 5 bölümde se gerçekleştrle arayüz çalışması taıtılmaktadır So bölümde de souç ve değerledrmeler yer almaktadır 2 DOĞRUSAL OLMAYAN SİSTEMLERİN ZAMAN VE FREKANS BOYUTUNDA TANIMLANMASI Doğrusal olmaya sstemler taımlamasıda kullaıla e yaygı yaklaşımlarda br Volterra foksyoel serler kullamaktır (Volterra, 930 Tek grş tek çıkışlı (sgle ut sgle outut-siso br sstem grş le çıkışı arasıdak lşk zama boyutuda sosuz Volterra serler le aşağıdak gb taımlaablr Şekl Volterra model yaısı N y( t y ( t ( Burada y(t, y (t le fade edle N adet alt sstem çıkışıı tolamı olarak taımlaır Alt sstemler tümüe u(t grş uygulaır Her br y (t çıkışı se aşağıdak eştlkle taımlaablr Eştlk 2 de görüle h(,, foksyou sstem derece alık darbe (mulse yaıtıdır

Sayfa No: 90 S KAÇAR, İ ÇANKAYA y ( t h (,, u( t d, 0 (2 Eştlk 2, doğrusal kovolüsyo tegral yüksek derecel açılımıdır h(,, foksyoua çok boyutlu Fourer döüşümü uyguladığıda Eştlk 3 elde edlr j( t ( (,, ( (2, 0 y t H j j U j e d (3 Eştlk 3 dek U(jω, grş Fourer döüşümü karşılığıı fade eder H j j,, fades se derece Frekas Cevabı Foksyou (FCF olarak adladırılır Fakat Eştlk 2 ye çok boyutlu Fourer döüşümüü uygulaablmes ç eştlğ her k tarafıı da çok boyutlu br yaıya sah olması gerekr Bu sebele y (t foksyou brleşk foksyo olarak taımlaır ve çok boyutlu br yaıya kavuşturulur Buu ç y (t foksyou, t t t şartı le aşağıdak gb taımlaır y,, t y t t t t t (4 Bu şlemde sora Eştlk 2 her k tarafıa da çok boyutlu Fourer trasformu uygulaablr Böylece stem derece çıkışı frekas boyutuda aşağıdak gb fade edlr,,,, Y j j H j j U j (5 Eştlk 5 dek H,, j j uygulaarak elde edldğ ç H,, j j 2 de h foksyou, h(,, fadese Fourer döüşümü foksyouu ters Fourer döüşümü Eştlk,, yere yazılarak Eştlk 3 elde edlmş olur Eştlk 3 tek üstel terme dkkat edlrse, derece çıkış foksyouu Eştlk 6 dak ω gb br frekas değşkee sah olduğu görüleblr (6 O halde Eştlk 6 dak şarta bağlı olarak derece çıkış foksyoua ω değşkee göre tek boyutlu ters Fourer döüşümü uygulaablr Y ( j H ( j,, j U( j d,, d (7 (2 Souçta sstem frekas boyutudak çıkış fades her derecedek çıkış bleşe tolamı olarak aşağıdak gb yazılablr

Mühedslk Blmler Dergs Clt : 2 Sayı : 3 Sayfa No: 9 N Y j A Y ( j (8 Acak Eştlk 3 dek derece çıkış foksyou y (t doğru bçmde elde edlmesde, H,, j j foksyouda kayaklaa öeml br roblem le karşılaşılır FCF lerde grş harmokler sırasıı değşmes FCF y değştrr Fakat bu değşm çıkış foksyou y (t de herhag br değşklğe ede olmayablr (Schetze, 980 Bu soruu gdermek ç sym smetrk FCF olarak fade edle H ( foksyou kullaılır ve daha doğru br aalz sym gerçekleştrlmes sağlaır H ( foksyouu değer değşkeler sırasıda bağımsızdır Smetrk foksyo, asmetrk foksyoda kullaıla değşkeler tüm ermütasyoları alıdıkta sora her ermütasyou asmetrk foksyoa ayrı ayrı uygulaması ve buları tolaarak ermütasyo sayısıa bölümesyle elde edlr Bu şlem aşağıdak gb formülüze edleblr H ( j,, j H ( j,, j (9 sym! {,, } set tüm ermütasyoları 3 YÜKSEK DERECELİ FREKANS CEVABI FONKSİYONLARININ HESAPLANMASI Volterra serler taımlaması frekas boyutudak suumlar ç çok yararlı br yaklaşımdır Bua karşı doğrusal olmaya sstemler zama boyutuda taımlamasıda daha bast ola arametrk modelleme yötemler (dferasyel deklemler veya fark deklemler gb daha çok terch edlr Öreğ; doğrusal olmaya dferasyel deklemler taımlamak ç Eştlk 0 dek Doğrusal Olmaya Dferasyel Deklemler (DDD model kullaılablr M m L q l, q q m 0 l, lq0 l c ( l,, l D y( t D u( t 0 (0 Eştlk 0 da görüle D le türev şlem, l le türev dereces, c,q ( le sstem modelde bulua lgl term katsayısı fade edlmektedr c,q (l,, l +q fades, sstem model deklemde tae çıkış bleşe ve q tae grş bleşede oluşa br term katsayısıı taımlar DDD model le Eştlk de görüle kc derece doğrusal olmaya br dferasyel deklem katsayıları Eştlk 2 dek gb taımlaablr (Peyto Joes ve Bllgs, 990 y t y t y t u t y t ( 2 2 2 2 ( 2 ( ( ( 5000 ( 0 c (2,,0 c ( 2,0, c c (0,0 0005 2,0, c (0 2,0, (0 2 0, 2, dğer termler cq, 0 (2

Sayfa No: 92 S KAÇAR, İ ÇANKAYA Sstemler aalz zama boyutuda gerçekleştre ve kullaımları kolay ola brçok metod bulumasıa karşı, bu aalz metodları le gerçekleştrle aalzler doğrusal olmaya sstemler davraışlarıı ortaya koymakta yetersz olmaları frekas boyutudak aalz yötemler kullaılmasıı gerekl kılmaktadır Frekas boyutuda aalz gerçekleştrme e temel yollarıda br taes Volterra serler le br sstem FCF s elde etmektr Volterra serler frekas boyutuda kullaıldığı lk çalışmada harmok rdeleme algortması ve üstel grş metodu gelştrlmştr (Bedrosa ve Rce, 97 Bu yötem kullaılarak hem dferasyel deklemler (sürekl zamalı sstemler hemde fark deklemler (ayrık zamalı sstemler ç FCF ler doğruda deklemlerdek term katsayılarıda üretldğ ked çağıra algortmalar gelştrlmştr (Peyto Joes ve Bllgs, 989; Bllgs ve Peyto Joes, 990 Harmok redeleme ve üstel grş metoduda sstem termler ve bu termler derece FCF ye yatıkları katkılar üç gruta celer; sadece grş bleşe çere doğrusal olmaya termler, ( H u (, sadece çıkış bleşe çere doğrusal olmaya termler ( H y ( ve grş-çıkış bleşeler brlkte çere doğrusal olmaya termler ( H uy ( Bu metotta derece asmetrk yaıdak br FCF aşağıdak gb fade edlr,,,,,, H j j H j j H j j u uy y,, L H j j l ( c l j j,0 l 0 (3 Eştlk 3 de H, H ve H ( le fade edle foksyoları derece FCF ye u y uy yatığı katkılar se aşağıdak formüllerle taımlaır L l,, (,, H j j c l l j u 0, l, l 0 (4 q L,,,,, H j j c l l uy q q q l, l 0 q l,, H j j j (5 q, q q L H j,, j c l,, l H j,, j (6 y,0, 2 l, l 0 Yukarıdak eştlkler dkkatl bçmde celedğde sadece grş bleşe çere termler ked doğrusal olmama derecelerdek FCF lere katkı yatıkları görüleblr Çıkış bleşe çere termler derece FCF ye yatığı katkılar se H le fade edle foksyo le, belrlemektedr Bu foksyo k farklı algortma le üretleblmektedr Bu algortmalarda lk, geleeksel bçmde ked çağıra yaıdak br algortmadır (Bllgs ve Peyto Joes, 990

Mühedslk Blmler Dergs Clt : 2 Sayı : 3 Sayfa No: 93,, l H j,, j H j,, j H ( j,, j ( j j (7 l, H j,, j H ( j,, j ( j j (8 Eştlk 7 ve 8 e bağlı geleeksel algortmaı rogramcılar tarafıda kodlaması oldukça kolaydır Acak ked çağıra yaıda olduğuda özellkle yüksek derecel foksyoları üretlmesde çok büyük br şlem yükü getrmektedr Daha ye ola kc algortma se geleeksel algortmaı bu dezavatajıı ortada kaldırmak ç şlem yükü açısıda daha bast br yaıda gelştrlmştr (Peyto Joes, 2007 Bu algortma gelştrlrke esk algortmada olduğu gb üstel grş metoduu özellkler kullaılmış ve sstem model her br term ç H foksyou üretlmştr (Peyto Joes, 2007, Bastleştrlmş algortmada esk algortmaya bezer bçmde derece FCF ye katkı yaablecek daha düşük derecel FCF ler daha az br şlem yükü le belrlemektedr Ardıda H foksyou üretlerek Eştlk 5 ve 6 dak yerlerde kullaılır, Gelştrle ye algortma le H foksyouu üretlmes dört adımda, gerçekleştrlmektedr İlk adımda Eştlk 9 dak formül le derece FCF ye katkı yaablecek düşük derecel ve dereceler tolamı e eşt ola FCF kombasyoları belrler S taba( /,,, S,, (9,, 2 : : le derece FCF ye katkı yaablecek FCF ler dereces fade edlmektedr ve,, sers şartıı sağlamaktadır İkc adımda,,, harmokler üretle kombasyolara göre grulara ayrılır, setdek grş w w y w w (20 H H j,, H j f (,,,, N çde seçle tekrarlı tüm,, kombasyoları Yukarıdak eştlkte görüle w fades,, kombasyou le belrlemş ve çersde adet frekas bleşe bulua br grş harmoğ grubuu taımlar Eştlk 2 de formülü görüle (,, H foksyouda dereceler tolamı e f y w w fades se, eşt ola FCF ler dışıda buluması gereke termler taımlar

Sayfa No: 94 S KAÇAR, İ ÇANKAYA f y l w,, w j w (2 ',, tüm ermütasyoları Üçücü adımda Eştlk 2 kullaılarak Eştlk 9 le oluşturulmuş tüm kombasyoları ermütasyoları ç ( w,, w fades hesalaır Dördücü ve so adımda Eştlk 2 le elde edle f y f y yerlere yazılarak stee 4 ÖRNEK UYGULAMA ( w,, w fadeler Eştlk 20 de lgl kombasyolar geldğde H foksyou elde edlr, Bu bölümde, Bölüm 3 de algortma yaısı verle ye yötem uygulamasıı göstermek ç Eştlk dek örek sstem modelde bulua doğrusal olmaya term y(t 2 dördücü derece FCF ye katkısıı göstere H foksyou elde edlecektr 4,2 4,2 H fades elde edlrke lk yaılacak şlem Eştlk 9 kullaılarak stee FCF ye katkı yaablecek düşük derecel FCF ler kombasyoları üretlr, 2, 3 2, 2 (22 Kombasyolar oluşturuldukta sora bulara bağlı olarak grş harmokler Eştlk 23 dek gb gruladırılır Kombasyo: w, w,, 3 2 3 4 2Kombasyo:,,, w w (23 2 2 2 3 4 2 İkc kombasyoa bakıldığıda ayı k değer buluduğuda buları brbrde ayırmak ç w fadesdek alt ds kullaılmıştır Br sorak şlemde H foksyouda bulua düşük derecel FCF ler dışıdak 4,2 termler çere ve her br kombasyo ç ayrı bçmde hesalaa y f foksyou Eştlk 2 kullaılarak üretlr Bu şlem sırasıda her kombasyou ermütasyoları aşağıdak gb oluşur Eştlk 2 uygulaması soucuda her kombasyo ç f fades aşağıdak gb elde edlr y f ( j ( j j j l l2 2 3 4 y w, w3 l l ( j2 j3 j4 ( j 2 (24

Mühedslk Blmler Dergs Clt : 2 Sayı : 3 Sayfa No: 95 l 2 2 3 Çzelge Permütasyolar, 2 { w w } 2 { 3 } { w w 3} { 3 } { 2 2 } 2 2 2 4 { w 3 w } { w w } 2 22 l f w, w ( j j ( j j (25 y So adımda Eştlk 20 kullaılarak stee yukarıda elde edle souçlar kullaıldığıda hesalaır H fades elde edlr Eştlk 20 le, H foksyou Eştlk 26 dak gb 4,2 H ( j, j, j, j H ( j H ( j, j, j 4,2 2 3 4 3 2 3 4 l l2 ( j ( j2 j3 j4 l l 2 ( j 2 j 3 j4 ( j H ( j, j H ( j, j 2 2 2 3 4 ( j j ( j j l l2 2 3 4 (26 Burada, y(t 2 term ç l = l 2 =0 olduğu ç Eştlk 26 aşağıdak gb yazılablr H ( j, j, j, j 2 H ( j H ( j, j, j 4,2 2 3 4 3 2 3 4 H ( j, j H ( j, j 2 2 2 3 4 (27 H foksyou sadece y(t 2 term dördücü derece FCF ye yatığı katkıyı 4,2 taımlar Dördücü derece FCF hesalaırke tüm termler katkıları bu şeklde buluarak Eştlk 5 ve 6 da kullaılmalı ve sorasıda da Eştlk 4 le dördücü derece asmetrk FCF elde edlmeldr So olarak Eştlk 9 le smetrkleştrme şlem yaılmalı ve dördücü derece smetrk FCF elde edlmeldr 5 TASARLANAN ARAYÜZÜN TANITILMASI Bölüm 3 de matemetksel alt yaısı verle, Bölüm 4 de se örek br uygulama le alatıla ye metodu otomatkleştrlmes ve metodu kullamak steyeler tarafıda rahatça kullaılablmes ç Net latformuda br arayüz tasarlamıştır Bu şlem ç ele alıa algortma öcelkle MATLAB rogramıda kodlamış ardıda MATLAB Bulder NE le derlemştr MATLAB kodlarıı derlemesyle oluşa dll uzatılı Net bleşeler tasarlaa arayüze temel teşkl etmştr

Sayfa No: 96 S KAÇAR, İ ÇANKAYA 5 MATLAB Bulder NE le MATLAB Kodlarıı Derlemes MATLAB Bulder NE, MATLAB rogramıda yazıla foksyoları Net bleşelere döüştürmek ç gelştrle ve MATLAB Comler aracı le brlkte çalışa br ürüdür Bu ürü le dll uzatılı olarak oluşturula Net bleşelere CLS-Comlat dller (C#, C++, VBNET le ulaşmak mümkü olmaktadır Böylece MATLAB le oluşturula foksyolar farklı dller le yazıla rogramlarda kullaılablmektedr (Matlab Bulder NE User s Gude, 2008 Bu çalışmada Bölüm 3 te alatıla ye algortma MATLAB le kodlaarak gerekl foksyolar üretlmştr Bu foksyoları üretlmesde daha öce hazırlaa MATLAB GUI arayüzüde faydalaılmıştır (Kaçar ve Çakaya, 200 Sorasıda üretle foksyolar derleerek Vsual Studo rogramıda C# dl le brlkte kullaılmıştır Bu şlem esasıda lk olarak MATLAB rogramıda yaılacak şlemler tümü foksyo olarak taımlaır ve m uzatılı dosyalar halde kaydedlr Sorasıda deloytool olarak adladırıla gelştrme aracı çalıştırılır ve ye br roje oluşturulur Kaydedle m uzatılı dosyalar rojeye ekleerek derleme şlem yaılır Souçta oluşa dll uzatılı Net bleşe referas gösterlerek stee rogramda kullaılablr (Kaçar vd, 2009 MATLAB Bulder NE le oluşturulmuş bleşeler kullaıldığı rogramları çalışablmes ç MATLAB ı yüklü olmasıa gerek yoktur Sadece MCR (MATLAB Comler Rutme olarak smledrle ve arka lada çalışa Matlab kodlarıı şletlmes sağlaya aracı yüklü olması yeterldr 52 Tasarlaa Kullaıcı Arayüzü ve Örek Uygulama Vsual Studo rogramı le C# dl kulaılarak Net latformuda hazırlaa arayüz le sekz farklı sstem model aalz gerçekleştrleblmektedr Bua bağlı olarak arayüzde sstem modeller buluduğu br ecere bulumaktadır Şekl 2 de görüle bu ecerede aalz gerçekleştrlecek sstem model seçlr ve ekraa seçle model aalz gerçekleştrleceğ Şekl 3 dek ecere gelr Şekl 3 dek ecere MATLAB Bulder NE le oluşturulmuş Net bleşeler kullaıldığı, arka lada MATLAB foksyolarıı çalıştırıldığı kısımdır Şekl 3 te olu Model kısmıda seçle sstem modele at katsayılar grlmektedr 2 olu Derece Asmetrk Foksyo kısmıda stee FCF dereces seçlerek foksyo üret düğmese basılarak seçle dereceye at FCF, met kutusuda görütüler 3 olu Grafk Parametreler kısmıda se elde edle FCF ye at aalz souçları elde edlrke kullaılacak frekas değerler x ve y ekseler ç belrler Ayrıca bu kısımda brc derecede büyük FCF ler souçları ç çzle zohs grafklerdek zoto sevyeler sayısı belrler Arayüzü çalışmasıı göstermek amacıyla Eştlk dek sstem model Eştlk 28 dek arametre değerler kullaılarak aalz edlmştr Şekl 4 de aalz şlem ç model katsayılarıı grlmes, elde edle brc derece FCF ve grafk çzm ç belrlee grş frekas değerler görülmektedr 00 / 3, 02 (28

Mühedslk Blmler Dergs Clt : 2 Sayı : 3 Sayfa No: 97 Şekl 2 Sstem model seçm eceres 2 3 Şekl 3 Model-2 ç aalz eceres Şekl 4 tek katsayılar grldkte sora = seçlerek brc derece FCF aşağıdak gb elde edlmştr H 0953756 (29 2 ( j 4,864*( j 0953756 Elde edle brc derece FCF ç sstem doğrusal frekas cevabıa at gelk ve faz grafkler Şekl 5 tek gbdr

Sayfa No: 98 S KAÇAR, İ ÇANKAYA Şekl 4 Brc derece FCF elde edlmes Şekl 5 Brc derece FCF ç elde edle gelk ve faz grafkler Yukarıdak grafklerde sstem rezoa frekasıı 00 rad/s cvarıda olduğu görülmektedr Bu değer Eştlk 28 de verle (doğal frekas değerdr Faz grafğde se sstem kc derece olduğu ç 80 derecelk br faz değşm görülmektedr Şekl 5 te elde edle souçlar brc derece FCF ye attr ve ayı zamada doğrusal sstem yaıtıdır Bu sebele sstem modelde görüle doğrusal olmaya term etks bu souçlarda görülememektedr İkc derece doğrusal olmaya term sstem yaıtıa etks görmek ç kc derece FCF Şekl 6 ve Eştlk 30 dak gb hesalamıştır İkc derece FCF ye at grafksel souçlar se Şekl 7 de verlmştr

Mühedslk Blmler Dergs Clt : 2 Sayı : 3 Sayfa No: 99 Şekl 6 İkc derece FCF elde edlmes 547686 H ( j H ( j H ( 4,864( 0953756 2 2 2 j j2 j j2 (30 Şekl 7 İkc derece FCF ç elde edle gelk ve faz grafkler

Sayfa No: 00 S KAÇAR, İ ÇANKAYA İkc derece FCF söz kousu olduğuda oluşa gelk ve faz grafkler üç boyutludur (Şekl 7 Bua bağlı olarak grafklerdek sevye değşmler hag oktalarda olduğuu daha y görmek amacıyla cotour çzm kullaılmıştır Elde edle grafklerde görüldüğü kadarıyla her k eksede de rezoas oktaları ve bua bağlı sırtlar Eştlk 28 te verle doğal frekas değerde (yaklaşık 00 rad/s oluşmaktadır Sırtları kesştğ oktalarda se gelk sevyeler maksmum değere ulaşmaktadır 6 SONUÇ VE DEĞERLENDİRMELER Doğrusal olmaya sstemler aalzde e yaygı bçmde kullaıla Volterra serler, bu koudak brçok metodu da temel oluşturmaktadır Buula beraber frekas boyutudak metotlar arasıda e geel yaıya sah ola yötem Volterra serler yötemdr Bua karşı yüksek derecel sstemler aalzde karşılaşıla çok boyutluluk ve elde edle souçları grafkler halde görselleştrlmesde yaşaa zorluklar yötem e büyük dezavatajı olarak karşımıza çıkmaktadır Yaıla bu çalışmada öcelkle Volterra serler matematksel alt yaısı hakkıda blgler verlmştr Sorasıda, 2007 yılıda Peyto Joes tarafıda gelştrle ve harmok rdeleme metodua farklı br yaklaşım getre ye yötem ele alıarak örek br uygulama gerçekleştrlmştr Ye yötem le brlkte Volterra serler metoduu sstem aalzde daha kolay bçmde kullaılablmes ç Net tabalı br arayüz tasarlamış ve kc derece doğrusal olmaya br sstem frekas aalz gelştrle bu arayüz le gerçekleştrlmştr Souçta aalz edle sstem arametreler le aalz souçları karşılaştırıldığıda elde edle souçları doğru olduğu görülmüştür Suula arayüz tasarımı le sekz farklı sstem model aalz gerçekleştrleblmektedr Bu model sayısı stedğde kolaylıkla çoğaltılablr KAYNAKLAR Bedrosa E, Rce S O (97: The Outut Proertes of Volterra Systems (Nolear Systems wth Memory Drve by Harmoc ad Gaussa Iuts, Proceedgs of the Isttuto of Electrcal Egeers, Clt 59, s 688-707 Bllgs S A (980: Idetfcato of No-Lear Systems-a Survey, IEE Proc, 27, Pt D, No 6, s 272-285 Bllgs S A, Lag Z Q (997: Trucato of No-lear System Exasos The Frequecy Doma, Iteratoal Joural of Cotrol, Clt 68, No 5, s 09-042 Bllgs S A, Peyto Joes J C (990: Mag No-lear Itegro-Dfferetal Equatos to the Frequecy Doma, Iteratoal Joural of Cotrol, Clt 52, No 4, s 863-879 Bllgs S A, Tsag K M (989: Sectral Aalyss for No-lear Systems, Part I: Parametrc No-lear Sectral Aalyss, Mechacal Systems ad Sgal Processg, Clt 3, No 4, s 39-339 Boyd S P (980: Volterra seres: Egeerg Fudametals, PhD, Harvard Uversty Brllat M B (958: Theory of The Aalyss of Nolear Systems, Cambrdge, Massachusetts, Techcal Reort: MIT Research Lab of Electrocs

Mühedslk Blmler Dergs Clt : 2 Sayı : 3 Sayfa No: 0 Bu F M, L J, Bott K, Mtchev M P (200: Volterra Seres Modellg ad Comesato of No-lear Dstortos Caused by Suscetblty Dfferece Artefacts Related to The Presece of Ferromagetc Imlats Magetc Resoace Imagg, Medcal Egeerg & Physcs, Clt 23, s 207-25 Chatterjee A, Vyas N S (2003: No-lear Parameter Estmato wth Volterra Seres Usg The Method of Recursve Iterato Through Harmoc Probg, Joural of Soud & Vbrato, Clt 268, s 657-678 Çakaya İ, Boz A F (2005: Volterra Serler Metodu le Doğrusal Olmaya Sstemler Frekas Boyutuda Aalz, Süleyma Demrel Üverstes Fe Blmler Esttüsü Dergs, 9-2 Hele T, Roze D (2008: Soud Sythess of a Nolear Strg Usg Volterra Seres, Joural of Soud ad Vbrato, Clt 34, s 275-306 Iglada J, Garello R (2002: O Rewrtg the Imagg Mechasm of Uderwater Bottom Toograhy by Sythetc Aerture Radar as a Volterra Seres Exaso, IEEE Joural of Oceac Egeerg, Clt 27, No 3, s 665-674 Kaçar S, Bayılmış C, Çakaya İ, Çakıroğlu M (2009: Kablosuz Algılayıcı Ağlar ç MATLAB Bulder NE ve MATLAB Webfgure le ASPNET Tabalı Web Arayüzü Tasarımı, e-joural of New World Sceces Academy Techologcal Aled Sceces, 2A0032, Clt 4, No 4, s 360-370 Kaçar S, Çakaya İ (200: Doğrusal Olmaya Sstemler Volterra Serler Metodu le Aalze Yöelk Arayüz Tasarımı, Dyarbakır, SIU200-IEEE 8Syal İşleme ve İletşm Uygulamaları Kurultayı, s 566-569 Kersche G, Worde K, Vakaks A F, Golval J C (2006: Past, Preset ad Future of Nolear System Idetfcato Structural Dyamcs, Mechacal Systems ad Sgal Processg, Clt 20, 505 592 Kha A A, Vyas N S (999: No-lear Parameter Estmato Usg Volterra ad Weer Theores, Joural of Soud ad Vbrato, Clt 22, No 5, s 805-82 Lag Z Q, Bllgs S A, Yue R, L J (2007: Outut Frequecy Resose Fuctos of No-lear Volterra Systems, Automatca, Clt 43, s 805-86 Lu J J (2002: A New GUI Iterretato Tool for No-lear Frequecy Resoce Fucto, Joural of Frakl Isttute, Clt 339, s 43-454 Masug M, Takuma T (2007: Usg a Volterra System Model to Aalyze Nolear Resose Vdeo-acket Trasmsso Over IP Networks, Commucatos Nolear Scece ad Numercal Smulato, Clt 2, s 4-42 MATLAB Bulder NE 3 User s Gude (2008: The Mathworks Ic, s -2 Peyto Joes J C, Bllgs S A (989: Recursve Algorthm for Comutg the Frequecy Resose of a Class of No-lear Dfferece Equato Models, Iteratoal Joural of Cotrol, Clt 50, No 5, s 925-940 Peyto Joes J C, Bllgs S A (990: Iterretato of Nolear Frequecy Resose Fuctos, Iteratoal Joural of Cotrol, Clt 52, No 2, s 39-346 Peyto Joes J C, Bllgs S A (99: Descrbg Fuctos, Volterra Seres,ad the Aalyss of No-lear The Frequecy Doma, Iteratoal Joural of Cotrol, Clt 53, No 4, s 87-887 Peyto Joes J C (2007: Smlfed Comutato of the Volterra Frequecy Resose Fuctos of No-lear Systems, Mechacal Systems ad Sgal Processg, Clt 2, s 452-468

Sayfa No: 02 S KAÇAR, İ ÇANKAYA Rugh W J (98: Nolear System Theory: The Volterra/Weer Aroach, Baltmore, Marylad, USA: Joh Hoks Uversty Pres Schetze M (980: The Volterra ad Weer Theores of Nolear Systems, New York, Joh Wley ad Sos Volterra V (930: Theory of Fuctoals ad of Itegral ad Itegro-Dfferetal Equatos, Blacke ad So Lmted Xgja J, Lag Z (2009: O the Geeralzed Frequecy Resose Fuctos of Volterra Systems, Joural of Dyamc Systems, Measuremet, ad Cotrol, Clt 3, 06002-/8