TOBB Ekoom ve Tekoloj Üverstes İKT351 Ekoometr I, Ara Sıavı Öğr.Gör.: Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA Ad, Soyad: Açıklamalar: Bu sıav toplam 100 pua değerde 4 soruda oluşmaktadır. Sıav süres 90 dakkadır ve tüm soruları yaıtlaması gerekldr. Soruları yaıtlamada kullaılablecek bazı formül ve/veya taımlar sorulara ek olarak verlmştr. Tüm şlemler bu sıav kağıdı üzerde yapılacaktır. Kopya çekme ve çektrme grşmde bulualar hakkıda üverste dspl kuralları çerçevesde şlem yapılacaktır. Sıav süresce sıav çerğ le lgl soru sormak yasaktır. Sorular 1. (5 pua) Sırada E küçük Kareler (SEK) yaklaşımı ede u hatalarıı toplamı yere hata kareler toplamıı eazlama yoluu zler? Açıklayıız. Yaıt: Bağlaım doğrusu sabt X değerlere karşılık gele Y değerler ortalamalarıda geçer. Bu edele, eğer hatalar toplamı eazlaacak olursa artı ve eks değerl hatalar brbr götürür ve souç sıfır çıkar. Bu durumu egellemek ç mutlak uzaklığı br ölçüsü olarak karelerde yararlaılır.. Üç farklı aleye at evcl hayva sayısı Y ve ortalama aylık gelr X (1000 TL) varsayımsal verler aşağıdak çzelgede verlmştr. Top. Ort. Y X X y y Y Ŷ ŷ ŷ 0 1 0 3 3 5 û (a) (10 pua) Çzelge soldak 8 sütuluk bölümüdek boş alaları dolduruuz. Yaıt: Y X X y y Y Ŷ ŷ ŷ 0 1 1 1 1 4 0 0,5-1,5,5 0,5 0 3 9 1 1 0 0 0 1 0 0 1 3 5 5 4 4 6,5 1,5,5 0,5 Top. 3 9 35 0 6 0 8 6 3 0 4,5 0 Ort. 1 3 35/3 0 0 8/3 1 0 1,5 0 û Sayfa 1 \ 5 Sorak sayfaya geçz...
TOBB - Ekoom ve Tekoloj Üverstes İKT351 Ekoometr I, Ara Sıavı (b) (10 pua) Y X açıklayıcı değşkee göre kl bağlaımıa lşk ˆβ 1 sabt term ve ˆβ eğm katsayısıı hesaplayıız ve tahm edle bağlaım doğrusuu yazıız. Yaıt: ˆβ = Y = 6 8 = 0,75 ˆβ 1 = Ȳ ˆβ X = 1 (0,75 3) = 1,5 Ŷ = 1,5 + 0,75X (c) (10 pua) Çzelge sağdak so dört sütuluk bölümüü dolduruuz ve belrleme katsayısı r y hesaplayıız. Yaıt: (So dört sütuu doldurmak ç öcek soruda bulmuş olduğumuz bağlaım doğrusuda yararlaıyoruz. Çzelge tamamı yukarıda dolu olarak verlmşt.) r ŷ = = 4,5 y 6 = 0,75 (d) (10 pua) Yukarıda elde ettğz ˆβ 1, ˆβ ve r değerler kullaarak bağlaım souçlarıı dkkatlce yorumlayıız. Yaıt: ˆβ 1 = 1,5 olarak tahm edle sabt term, modele katılmamakla brlkte evcl hayva sayısıda etkl ola tüm etmeler ortalama etks gösterr. Aylık gelr sıfır kabul edldğde evcl hayva sayısıı da -1,5 olması beklets vardır. Acak, böyle br mekak yorum bu örekte ktsad açıda alamlı değldr. ˆβ = 0,75 katsayısı, kl bağlaım doğrusuu eğm olarak blr. Aylık gelrde 1333 TL lk br artış olduğuda evcl hayva sayısıı da ortalama 1 artacağıı göstermektedr. r statstğ, bağımlı değşkedek değşm e ölçüde açıklayıcı değşkedek değşmde kayakladığıı ölçüsüdür. Hesaplaa r = 0,75 değer evcl hayva sayısıdak değşm yüzde 75 oraıda aylık gelrdek değşm le açıklaabldğ alatır. 3. (5 pua) ˆβ SEK tahmcs Y bağımlı değşke doğrusal br tahmcs olduğu blgse dayaarak, ˆβ 1 SEK tahmcs de doğrusal olduğuu gösterz. Yaıt: ˆβ 1 = Ȳ ˆβ X olduğuu aımsayalım. Formülde yer ala Ȳ ve X ortalamaları sabt brer sayıdırlar. Bu durumda, ˆβ Y doğrusal şlev olduğu ç ˆβ 1 de Y doğrusal şlevdr. Sayfa \ 5 Sorak sayfaya geçz...
TOBB - Ekoom ve Tekoloj Üverstes İKT351 Ekoometr I, Ara Sıavı 4. (5 pua) var(y ) = var(u ) = σ ve var( ˆβ ) = σ / eştlkler kullaarak, ˆβ SEK tahmcs β tüm doğrusal tahmcler çersde eaz varyaslı tahmc olduğuu kaıtlayıız. Her adımda e yaptığıızı veya ey gösterdğz tek br tümce le açıklayıız. Yaıt: β e küçük kareler tahmcsde yola çıkalım: ˆβ = k Y. β ç başka br doğrusal tahmc taımlayalım: β = w Y. Yukarıdak k yaıı beklee değer alalım: β = w E(Y ) = w (β 1 + β X ) = β 1 w + β w X var( ˆβ ) var( β ) savıı kaıtlamak ç β ı varyasıı ele alalım: var( β ) = var( w Y ) = w var(y ) = σ w = σ ( w + ) = σ ( w ) + σ ( ) + σ ( w ) ( ) = σ ( w ) ( ) 1 + σ Yukarıda e sağdak term w de bağımsız olduğu ç var( β ) yı eazlayablmek lk terme bağlıdır ve lk term sıfırlaya w değer de şudur: w = = k w eaz olduğu zama aşağıdak eştlk geçerldr: var( β ) = σ = var( ˆβ ) Demek k w ağırlıkları k ağırlıklarıa eşt olduğu zama β ı varyası eazlaarak ˆβ ı varyasıa eştlemektedr. Bua dayaarak, e küçük kareler tahmcs ˆβ ı tüm yasız ve doğrusal tahmcler çde eaz varyaslı tahmc olduğuu söyleyeblrz. Sayfa 3 \ 5 Sorak sayfaya geçz...
TOBB - Ekoom ve Tekoloj Üverstes İKT351 Ekoometr I, Ara Sıavı 5. (5 pua) X NBD(µ, σ ) ormal dağılımıa uya X sürekl rastsal değşkede alıa büyüklüğüdek rastsal örekleme at µ ve σ EO tahmcler dkkatlce türetz. Her adımda e yaptığıızı veya ey gösterdğz tek br tümce le açıklayıız. Yaıt: 1,,..., ç ortak olasılık yoğuluk şlev şöyle gösterelm: f( 1,,..., µ, σ ) Ortak olasılık yoğuluk şlev sayıda tekl yoğuluk şlev çarpımı olarak yazalım: f( 1,,..., µ, σ ) = f( 1 µ, σ )f( µ, σ )... f( µ, σ ) Normal dağılıma uya br rastsal değşke olasılık yoğuluk şlev formülü şudur: { f() = 1 σ π ep 1 ( µ) σ Her br ç, yukarıdak kc formülü brcde yere koyarak olablrlk şlev elde edelm: { Oİ(µ, σ 1 ) = σ ( π) ep 1 ( µ) σ Her k tarafı logartmasıı alarak log-olablrlk şlev bulalım: l Oİ = l σ l(π) 1 = l σ l(π) 1 ( µ) σ ( µ) Yukarıdak şlev eçoklaya µ ve σ değerler bulablmek ç türev almalıyız. µ ü EO tahmcs ç: σ l Oİ µ = 1 σ ( µ) = 0 = µ σ EO tahmcs ç: µ = l Oİ σ = σ + 1 σ 4 ( µ) = 0 σ = 1 σ 4 ( µ) σ = 1 ( µ) Sayfa 4 \ 5 Sorak sayfaya geçz...
TOBB - Ekoom ve Tekoloj Üverstes İKT351 Ekoometr I, Ara Sıavı Formüller Olasılık dağılımları Keskl brer rd ola X ve Y ç: E(X) = f() E(XY ) = y XY f(, y) var(x) = σ = (X µ) f(x) = σ = E(X ) [E(X)] cov(x, Y ) = y (X µ )(Y µ y )f(, y) = E(XY ) µ µ y Çarpıklık S = [E(X µ)3 ] [E(X µ) ] 3 Basıklık K = E(X µ)4 [E(X µ) ] İlt katsayısı ρ = cov(x,y ) var(x)var(y ) X N(µ, σ ) ç: Z = X µ σ Olasılık yoğuluk şlevler Normal dağılım: N( µ, σ ) = { 1 σ ep 1 ( µ) π σ İkterml dağılım (sırası belrl): B(k, p) = ( ) k p k (1 p) k Posso dağılımı: P o( λ) = e λ λ! Bağlaım çözümlemes İkl bağlaım Y = ˆβ 1 + ˆβ X + û ç: ˆβ = P Y P = ( k Y, k = ˆβ 1 = Ȳ ˆβ X σ = var(û ) = var( ˆβ 1 ) = var( ˆβ ) = P û P X P σ σ P cov( ˆβ 1, ˆβ ) = Xvar( ˆβ ) û = Y Ŷ Hata ve uyum ölçütler ) ( P ) TKT = y BKT = ˆβ KKT = û = y ˆβ öh( ˆβ 1 ) = P X P σ öh( ˆβ ) = σ P r = BKT = 1 KKT TKT TKT = P ŷ P y = P (Ŷ Ȳ P ) (Y Ȳ ) = ˆβ ( P ) P y = (P y ) P P y r = ± r Sayfa 5 \ 5 Sıav sou.