ÖNSÖZ. 2) Evde yapabileceklerinizi yapıp, laboratuar kılavuzundaki yerleri doldurun (!!! işaretli yerler).

Transkript

1

2 ÖNSÖZ Bu laboratuar kılavuzu ĐST 5 Đstatstk Laboratuarı deeyler ç hazırlamıştır. Buradak deeyler ve çalışmaları amacı, şu aa kadar görüle dersler çerçevesde, rasgelelk olgusuu alaşılması ve alatılması (modellemes) problem kavratablmek, öğrele temel blgler pekştrmek ve lerde öğrelecek statstk kavram ve yötemler öğremede kolaylık sağlayacak sezgsel br altyapı oluşturmaktır. Bu laboratuar kılavuzuu statstk kavramlar ve yötemler öğrete br ktap olmadığıı; deeyler yapmaızı, grafkler çzmez, blgsayar programları yazmaızı, statstk paket programları çalıştırmaızı, ver aalz ve yorumlar yapmaızı, üstelk buları ked gayretzle yapmaızı steye br rehber olduğuu uutmayı. ) Laboratuara hazırlıklı gel. Yapacağıız laboratuar çalışmasıyla lgl ö blgler ktaplar ve ders otlarıda okuyu. ) Evde yapableceklerz yapıp, laboratuar kılavuzudak yerler dolduru (!!! şaretl yerler). 3) Laboratuar kılavuzudak blgsayar programlarıı gözde geçr ve çalışır hale getr. 4) Yaıızda cetvel, kurşu kalem, slg ve blgsayar buluduru. 5) Laboratuar çalışmalarıızı mümkü olduğuca sessz ve breysel yürütüüz. Btremedğz deey veya raporlarıızı evde tamamlayıız. Brçok kusuruu var olacağıı doğal karşıladığımız bu laboratuar kılavuzuu yleştrlmes hususuda öğreclerle meslektaşlarımız tarafıda gelecek her türlü öer ve eleştr ç öcede teşekkür eder öğreclermze çalışmalarıda başarılar dlerz. Ocak Akara

3 ĐÇĐNDEKĐLER Sayfa LABORATUAR ÇALIŞMASI Öreklem ve Đstatstkler. LABORATUAR ÇALIŞMASI Bazı Đstatstkler ve Dağılımları LABORATUAR ÇALIŞMASI 3 Sıra Đstatstkler, Öreklem Dağılım Foksyou LABORATUAR ÇALIŞMASI 4 Parametre Tahm I.. 9 LABORATUAR ÇALIŞMASI 5 Parametre Tahm II. 35 LABORATUAR ÇALIŞMASI 6 Hpotez Test I LABORATUAR ÇALIŞMASI 7 Hpotez Test II 47 LABORATUAR ÇALIŞMASI 8 Hpotez Test III 55 LABORATUAR 9 Đk Değşkel Keskl Dağılımlar 65 LABORATUAR ÇALIŞMASI Đk Değşkel Sürekl Dağılımlar. 79 LABORATUAR ÇALIŞMASI Đk Değşkel Normal Dağılım.. 85 LABORATUAR ÇALIŞMASI Ver Aalz I 93 LABORATUAR ÇALIŞMASI 3 Ver Aalz II.. 5

4 LABORATUAR ÇALIŞMASI Öreklem ve Đstatstkler Bu yıl çde Akara doğumlu çocukları yaşıa bastıklarıda ağırlıklarıı celemek steyelm. Doğal olarak ağırlık br rasgele değşke olarak ele alıacaktır. Bu rasgele değşke br dağılımı (ya bu çocukları ağırlıklarıa göre br dağılışı) söz kousudur. Model olarak kullaılacak dağılımda, öreğ bell br aralığı olasılığı bu aralığa düşe çocukları oraıı, dağılımı beklee değer çocukları ağırlık ortalamasıı alatacaktır. Kısaca böyle br dağılımı (model) blmes durumuda ağırlık hakkıda ortaya çıkablecek değşk sorular cevaplaablecektr. Blmemes durumuda amaç; model olarak kullaılacak br dağılımı belrlemes, bell parametrelere bağlı dağılımlar arasıda br seçm (parametreler tahm edlmes), öerle br dağılımı geçerllğ saptaması, dağılımı sadece bazı karakterstkler (beklee değer, varyas, ortaca, ) tahm edlmes ve başka olablr. Her br durumda bu çocukları ktlesde örekleme soucu seçle br örektek çocukları ağırlıklarıı (br yaşıa bastıkları gü) gözlemes (ölçülmes) soucu ver (data) elde edlmektedr. Bu verler asıl değerledrlecektr? Ölçümler yapıldıkta sora elmzde br takım sayılar buluacaktır. Her br sayı ağırlık rasgele değşke seçle (brm) çocuk üzerde, ölçüm souda elde edle değer olacaktır. Gözlee bu sayılar; ağırlığı modelleye dağılıma sahp ve brbrde bağımsız tae X, X,..., X rasgele değşkeler aldığı değerler olarak düşüülmektedr. Öreklem: Brbrde bağımsız ve ayı dağılıma sahp tae X, X,..., X rasgele değşkelere, bu dağılımda alıa öreklem der. sayısıa öreklem hacm der. Ölçme soucuda bu rasgele değşkeler aldığı değerlere gözlem değerler, ver, data veya örek der ve x, x,..., x le gösterlr. Đstatstk: Öreklem br foksyoua (blmeye parametre çermeye br foksyoua) statstk der. Đstatstkler brer rasgele değşke, rasgele vektör, rasgele foksyo olablr. Tahm edc: Br statstk blmeye br parametre belrlemes amacıyla kullaıldığıda bu statstğe tahm edc der. Tahm: Blmeye br parametre ç öerle tahm edc aldığı değere (tahm edc gözlee değere ) tahm der. Bu yıl çde Akara da doğacak çocukları ktles belrledkte sora, öümüzdek yıl Ocak-3 Aralık tarhler arasıda gözlemler yapılması gerekr. Öreklemey asıl yapacağız? Elmzde bu yıl doğa çocukları lstes olursa, rasgele hacmlk br örek seçer gözlem alırız. Gözlem soucu elde edle very asıl değerledreceğz? Br yaşıdak çocukları sayısı soludur. Tümüü ağırlığı (kg) ölçülüp, bu ölçüm değerler br sayı ekse üzerde şaretlerse, br dağılış (serplme) ortaya çıkar. Bu dağılışı N ( µ, σ ) gb br ormal dağılımı alattığıı (modelledğ) varsayablrz. µ R, σ (, ) sayıları model parametreler olmak üzere, parametre kümes { µ σ µ σ } Θ = (, ) : = R, (, ) = R (, ) R

5 dır. Amacımız model parametreler tahm edlmes olduğuda, X, X,..., X ler N ( µ, σ ) dağılımda br öreklem olmak üzere, öreğ X S = = X = = ( X X ) statstkler tahm edc olarak kullaablrz.!!! Öümüzdek mevsmde (lkbahar) doğacak çocukları ağırlığıı (dağılım, ortalama, ortaca, varyas, e küçük değer, e büyük değer açısıda) araştırmak steyelm. Böyle br araştırmada verler asıl toplaacak (örekleme asıl yapılacak) ve statstk aalzler asıl yapılacak?

6 X, X,..., X ler olasılık (yoğuluk) foksyou f X (., θ ), θ Θ ola dağılımda br öreklem oluştursu ( X, X,..., X ler bağımsız ve ayı dağılımlı rasgele değşkeler). Bazı Đstatstkler: ĐSTATĐSTĐK ALGIĞI DEĞER (Gözlem Değer) Öreklem Keds: X X X x x x X Öreklem Ortalaması: X = = x = = x Öreklem Varyası: S = = ( X X ) s = = ( x x) S = = ( X X ) s = = ( x x) Öreklem Mometler: M =, k =,,3,... k = X k m k = = x k Sıra Đstatstkler: X ( j) rasgele değşke X, X,..., X öreklem gözlee x, x,..., x değerlerde büyüklük sırasıa göre j. değer ala br rasgele değşke olsu. X ( j) rasgele değşkee X, X,..., X öreklem j. sıra statstğ der. X, X,..., X öreklem tae sıra statstğ vardır. Bular X(), X(),..., X ( ) olmak üzere, X( :), X( :),..., X ( : ) bçmde de gösterlmektedr. Brc sıra statstğ X () e m ve. sıra statstğ X ( ) ye max statstğ de demektedr. X() = m{ X, X,..., X } () = X( ) = max{ X, X,..., X } ( ) = x m{ x, x,..., x } x max{ x, x,..., x }

7 Öreklem Ortacası: X( k), = k Med = X( k) + X( k+ ), = k x( k), = k med = x( k) + x( k+ ), = k Öreklem Geşlğ: R = X( ) X() r = x( ) x() Öreklem Dağılım Foksyou: I( X x) Fˆ ( ) x = =, x < m{ X, X,..., X} k =, X( k) x < X( k+ ), k =,,..., k, x max{ X, X,..., X} = I( x x) F ( x) =, x < m{ x, x,..., x} k =, x( k) x < x( k+ ), k =,,..., k, x max{ x, x,..., x} Dare Dyagramı, Çubuk Dyagramı, Dal-Yaprak Dyagramı, Hstogram, Kutu Çzt, Yukarıda br boyutlu dağılımlar le lgl bazı Đstatstkler hatırlatıldı. Çok değşkel dağılımlar le lgl Öreklem Ortalama Vektörü, Öreklem Varyas-Kovaryas Matrs, Öreklem Korelasyo Matrs, Öreklem Temel Bleşeler, gb Đstatstkler üçücü sııfta göreceksz. Đstatstk paket programları Descrptve Statstcs ve Graphs smler altıda brçok Đstatstğ aldığı değerler (gözlem değerler) hesaplamakta veya grafk olarak sumaktadır.!!! ) Br para ( kuruş olablr) atışı deey 5 kez (ayı şartlar altıda bağımsız olarak) tekrarlayıız, ya b(, p = ) dağılımıda X, X,..., X 5 öreklem ç gözlemler (ver) elde edz. a)gözlemler b(, p = ) dağılımıda gelp, gelmedğ görmek ç hag Đstatstkler kullaırsıız? (Görseller de dahl.)

8 b) Gözlemler b(, p = ) dağılımıda gelp gelmedğ, ya paraı düzgü olup olmadığıı test edz. (Hpotezler kuruuz.) ) X, X,..., X öreklem ( b(, p = ) ) olmak üzere, Olasılık Tablosu: X? = X X = =? Olasılık tablosu: 3) X Đstatstğ e az defa gözleyz (arkadaşlarıızda faydalaı) ve çubuk = dyagramı çzz.

9 4) X Đstatstğ defa smülasyo yaparak blgsayarda gözleyz ve çubuk = dyagramı çzdrtz (çıktıyı kesp, buraya yapıştırı). 5) Olasılık foksyou f ( x) = x =,,3,4,5,6 6 olasılık tablosu, x f ( x) ola dağılımı, gerçek düyada alattığı (modelledğ) br olgu buluuz. Bu olgu le lgl 6 kez deey (ayı şartlar altıda bağımsız olarak) yapıız. Elde ettğz gözlemler ç çubuk dyagramı çzz ve gözlemler yukarıdak dağılımda gelp gelmedğ test edz. Not: Gözlee sayıları ortalamasıı öümüzdek laboratuarda kullaacağız. Ortalama=

10 6) Olasılık foksyou olasılık tablosu, x f ( x) f ( x) = x =,,3,4,5, ola dağılımda, 6 tae sayı üretz. Saal olarak ürettğz bu ver ( gözlemler ) ç çubuk dyagramı çzz ve ver yukarıdak dağılımda gelp gelmedğ test edz. (Çıktıyı kesp, buraya yapıştırı.) Laboratuarda: Bom, Posso, Düzgü, Üstel, Gamma, Normal dağılımlarda, parametreler e az 5 farklı değerlerde, saal ver üretz ve yukarıda sözü edle Đstatstkler gözleyz. Örek: >> =5; >> ver=rad(,); >> ortalama=mea(ver) >> varyas=var(ver) >> kc_momet=sum(ver.*ver)/ >> sral_ver=sort(ver); >> geslk=sral_ver()- sral_ver() >> ortaca=meda(ver) >> boxplot(ver) >> [eklfrekas, x] = ecdf(ver); stars(x,eklfrekas) >> fgure >> hst(ver) ortalama =.478 varyas =. kc_momet =.368 geslk =.995 ortaca =.5

11 Kutu çzt: Öreklem Dağılım Foksyou: Hstogram:

12 Örekler: Matlab kodları: Dğer Paket Programlar:

13

14 LABORATUAR ÇALIŞMASI Bazı Đstatstkler ve Dağılımları X x. Öreklem Ortalaması: X = = ve aldığı değer: x = = X, X,..., X Öreklem Öreklem Ortalamasıı Alıdığı Dağılım (Ktle Dağılımı) Dağılımı Normal Dağılım: N( µ, σ ), µ R, σ (, ) X σ X = = N( µ, ) Gamma Dağılımı Gamma( α, β ), α, β (, ) X β X = = Gamma( α, ) Üstel Dağılım Üstel( θ ), θ (, ) X β Gamma( α =, β = θ ) X = = Gamma(, ) Beroull Dağılımı k b(, p), p (,) P( X = ) = P( X = k) Bom Dağılımı b( m, p), p (,) Psso Dağılımı Posso( λ), λ (, ) Đkc Momet Solu Ola Dağılımlar (Büyük Öreklemler, Asmptotk Dağılım) = j P( X = ) = P( X = j) X σ / p k k ( p = ), k =,,,..., k = m p j m j ( p = ), j =,,,..., m j k P( X = ) = P( X = k) = µ = = ( λ ) k λ e =, k =,,,... k! = X E( X ) Dağılımda = N(,) Var( X ) X = = X σ AN( µ, )

15 . Öreklem Varyası: S = = S = = ( X X ) ( X X ) X, X,..., X Öreklem Alıdığı Dağılım (Ktle Dağılımı) Normal Dağılım: N( µ, σ ), µ R, σ (, ) Dördücü Momet ( α 4 ) Solu Ola Dağılımlar Dağılımı Ortalaması= µ Dağılımı Varyası= σ Dağılımı Dördücü Merkez Momet ( β 4 ) 4 α4 = E( X ) 4 4 (( X ) ) β = E µ s = = s = = ( x x) ( x x) Öreklem Varyasıı Dağılımı = = = ( ) S S S S σ σ σ ( X X ) σ Gamma( α =, β = ) σ Gamma( α =, β = ) = σ E( S ) 3 Var( S ) ( ) S χ = β4 σ Asmptotk Dağılım: β σ (, ) 4 AN σ 4 ( ) ***Normal Dağılımlı Ktleler X, X,..., X öreklem (ktle dağılımı: = N( µ, σ ), µ R, σ (, ) ) olmak üzere: X le S ( X le ( X X ) ) bağımsız statstklerdr. X = = X σ N( µ, ) S χ ( ) ( ) σ

16 X µ N(,) σ / X µ t / ( ) S µ σ µ σ m µ σ µ σ X, X,..., X öreklem ( N(, ), R, (, )) bağımsız öreklemler Y, Y,..., Y öreklem ( N(, ), R, (, )) X Ym ( µ µ ) N(,) σ σ + m S S / σ / σ F (, m ) σ ve σ = olduğuda, dır. X S Ym ( µ µ ) S p + m ( ) S + ( m ) S p χ ( + m ) m ( X X ) + ( Yj Ym ) = j= = = + m + m!!! Normal Dağılımlı Ktleler le lgl, X = = X σ N( µ, ) S χ ( ) ( ) σ S X / µ t ( )

17 X Ym ( µ µ ) N(,) σ σ + m / σ / σ S F S olduğuu spatlayıız. (, m )

18

19 Yukarıda spatlamış olduğuuz teoremler gerçek düyada geçerl olup olmadığıı asıl ortaya çıkarablrsz (deeyeblrsz)? Öreğ; Teorem X, X,..., X öreklem (ktle dağılımı: üzere, dır. X = = X σ N( µ, ) N( µ, σ ), µ R, σ (, ) ) olmak olmak üzere, bu Teorem geçerl olup olmadığıı asıl deeyeblrsz?

20 Laboratuarda: X, X..., X rasgele değşkeler bağımsız ve ayı θ parametrel üstel dağılıma sahp (öreklem) olsu. Gamma dağılımıa sahptr. X rasgele değşke (Đstatstğ) parametreler = X Γ( θ, ) dır. = Bu söylee doğru mudur? Yukarıda söylee, aklımızı düyasıda br teoremdr. Teoremler spatlaır. Đspat: X, X..., X öreklem (Üstel(θ ), θ Θ= (, ) R ) olsu. olmak üzere, olup, X = M t t X ( ) = ( θ ), =,,..., = ( θ ) M ( t) = M ( t) = ( t) = ( θt) X X rasgele değşke, parametreler = α= ve β= θ ola α= ve β= θ ola Gamma dağılımıa sahptr. Bu söylee, gerçek düyada geçerlmdr? Öreğ, bazı elektrok parçaları dayama süreler Üstel dağılıma sahp olduğuu blyoruz. Elmzde, ortalama θ= (zama brm) dayaa parçalar bulusu. kez 5 X statstğ gözleyp hstogram çzersek, hstogram aşağıdak eğr le uyumlu olması = gerekr >>hst(sum(-*log(rad(5,))))

21 Yukarıdak Đstatstkler dağılımlarıı smülasyo le rdelemes: Posso, Düzgü, Üstel, Gamma, Normal dağılımlarda, parametreler e az 5 farklı değerlerde, kez ve 5 brmlk saal ver üretz ve Öreklem Ortalaması ( X ) le Öreklem Varyası ( S ) Đstatstkler dağılımlarıı rdeleyz Örek: Posso( λ = 5) Küçük Öreklem: = >> hst(mea(possrd(5,,)),4) (hst(ver,4) : çubuk dyagramı??) >> hst(var(possrd(5,,)),4)

22 Büyük Öreklem: =5 >> ver=mea(possrd(5,5,)); >> hst(ver,4) 9 8 >> hst(ver) >> ver=var(possrd(5,5,)); >> hst(ver,4) >> hst(ver)

23

24 LABORATUAR ÇALIŞMASI 3 Sıra Đstatstkler Öreklem Dağılım Foksyou X, X,..., X dağılım foksyou F ola sürekl br dağılımda brmlk br öreklem olsu. X ( j) rasgele değşke X, X,..., X öreklem gözlee x, x,..., x değerlerde büyüklük sırasıa göre j. değer ala rasgele değşke olsu. X ( j) rasgele değşkee X, X,..., X öreklem j. sıra statstğ der. X, X,..., X öreklem tae sıra statstğ vardır. Bular X(), X(),..., X ( ) olmak üzere, X( :), X( :),..., X ( : ) bçmde de gösterlmektedr. k k FX ( x) = P( X [ ] [ ] ( ) ( ) ) ( ) ( ), j j x = F x F x x R k k= j j! j f X ( x) = f ( x) [ F( x) ] [ F( x) ], j,,..., ( j) = ( j )!( j)! k k= j! j j fx (, ) ( ) ( )[ ( )] [ ( ) ( )] [ ( )],,,..., ( ) X x y = f x f y F x F y F x F x < j = ( j) ( )!( j )!( j)! Brc sıra statstğ X () e m ve. sıra statstğ X ( ) ye max statstğ de delmektedr. Öreklem Ortacası: X() = X X X m{,,..., } X = max{ X, X,..., X } ( ) X( k), = k Med = X( k) + X( k+ ), = k x( k), = k med = x( k) + x( k+ ), = k

25 !!! X, X, X 3 üstel dağılımda (Üstel(θ )) br öreklem olsu. X(), X(), X (3) sıra statstkler olasılık yoğuluk foksyolarıı buluuz, θ =5 ç grafkler çzz ve aşağıdak hstogramlarla karşılaştırıız.

26 >> ver= exprd(5,3,); >> hst(m(ver)) >> fgure; hst(max(ver)) >> fgure; hst(meda(ver))

27 Laboratuarda: Düzgü, Üstel, Gamma, Normal dağılımlarda çekle 5 brmlk öreklemler ç m, max, ortaca ve. sıra statstğ (.8 c öreklem yüzdelğ) dağılımlarıı smülasyo yaparak rdeleyz. Örek: >> ver= rad(5,); >> hst(m(ver)) >> fgure >> hst(max(ver)) >> fgure >> hst(meda(ver)) >> fgure >> sral_ver=sort(ver); >> hst(sral_ver(,:))

28 Matlab kodları:

29 Öreklem Dağılım Foksyou: Fˆ ( x ) = = I( X x) F ( x) = = I( x x), x < m{ X, X,..., X} k =, X( k) x < X( k+ ), k =,,..., k, x max{ X, X,..., X}, x < m{ x, x,..., x} k =, x( k) x < x( k+ ), k =,,..., k, x max{ x, x,..., x}!!! Aşağıdak ver ç Öreklem Dağılım Foksyouu grafğ çzz. Bu ver hag dağılımda (sürekl br dağılım) gelmş olablr? ver =

30 Laboratuarda: >> ver=rad(5,) ver= >> [eklfrekas, x] = ecdf(ver); stars(x,eklfrekas) >> hst(ver) >> x=-4:.:4; plot(x,ormpdf(x,,));fgure;plot(x,ormpdf(x,,))

31 Bldğz sürekl dağılımlarda =,5,, brmlk saal ver üretz, hstogram ve öreklem dağılım foksyouu grafğ çzdrz. Saal ver ürettğz dağılımları olasılık yoğuluk foksyou le dağılım foksyou grafkler çzdrz ve öreklem souçları le karşılaştırıız.

32 LABORATUAR ÇALIŞMASI 4 Parametre Tahm I!!! Fe Fakültesde sgara çmeye kız öğrecler oraı edr? Tahm edz. Fe Fakültesde sgara çmeye erkek öğrecler oraı edr? Tahm edz. Đstatstk Bölümüdek kız öğrecler boy uzuluğu ortalaması edr? Tahm edz. Đstatstk Bölümüdek erkek öğrecler boy uzuluğu ortalaması edr? Tahm edz.

33 Rasgelelk olgusuu modelleye dağılımı bçm blmes, ya model olarak kullaılablecek dağılımları ales blmes ve bu ale br parametre le parametreledrlmş olması durumuda, problem bu parametre belrlemese (parametrk statstksel souç çıkarım) drgemektedr. Θ parametre kümes ve X, X,..., X öreklem ( f (.; θ ), θ Θ ) olmak üzere, θ parametres tahm etmek ç kullaılacak br T ( X, X,..., X ) statstğ (tahm edcs) belrlemes gerekmektedr. Burada, ç çe ola k soru söz kousudur. Bularda brs, tahm edclerde araa özellkler eler olmalı ve dğer de bell özellklere sahp tahm edcler bulma yötemdr. Tahm Edclerde Araa Özellklerde Bazıları: Yasızlık ( E( T ) = θ, θ Θ ) Küçük Varyaslılık Etklk ( Var( T) =, I( θ ) = E l f ( X ; θ ) I( θ ) θ Küçük Hata Kareler Ortalamasıa Sahp Olma ( ( ) Olasılıkta Tutarlılık ( T ( X, X,..., X ) θ ) HKO da Tutarlılık ( ( ) Yeterllk Tamlık P HKO T X X X (,,..., ) ) ) HKO( T ) = MSE( T ) = E T θ ) Bazı Tahm Edc Elde Etme Yötemler: Mometler Yötem E Çok Olablrlk Yötem E Küçük Kareler Yötem Yeterl Đstatstk Đle Koşulladırma (E Küçük Varyaslı Yasız Tahm Edc Bulma Yötem, Rao-Blackwell Teorem, Lehma- Scheffe Teorem)!!! Beroull ve Normal Dağılımı parametreler Mometler ve E Çok Olablrlk Tahm Edcler elde edz.

34

35 Laboratuarda: Üstel Dağılımda Parametre Tahm: X, X,..., X öreklem ( f ( x; θ ) = e θ, θ x > ( θ Θ = (, )) ) olsu. θ parametres Olablrlk Foksyou, x = L( θ ) = f ( x; θ ) f ( x; θ )... f ( x; θ ) = f ( x ; θ ) e θ = θ =, θ > Log-Olablrlk Foksyou, = l L( θ ) = l θ, θ > θ ve E Çok Olablrlk Tahm Edcs dır. x d l L( θ ) = + dθ θ θ + x = θ θ ˆ θ = = = X = X = x x X θ Gamma(, ) ˆ = θ = dağılımlıdır. ˆ ( ˆ( X, X,..., X ) ) θ θ tahm edcs Düzgü E Küçük Varyaslı Yasız Tahm Edcdr (UMVUE). Ayrıca etk ve tutarlıdır. Dağılımı varyasıı, ya σ = θ parametrk foksyouu (θ parametres br foksyou) tahm etmek steyelm. θ E Çok Olablrlk Tahm Edcs dır. olmak üzere, = ˆ θ θ = ( θ / ) ( θ / ) ( ) X x x / ˆ E( ) θ + θ = θ / = Γ( ) ( θ / ) Γ( ) ( θ / ) x x e dx x e dx + Γ ( + ) + = = θ Γ( ) θ yasızlaştırılmış E Çok Olablrlk Tahm Edcs

36 dır. ˆ T = θ = + + ( X ) Doğal olarak Öreklem Varyası, S = = ( X X ) de σ = θ ç yasız br tahm edcdr. T le küçük varyaslıdır? S tahm edclerde hags daha Cevap: T (Nç?) T le S tahm edcler yasızlığıı ve hags daha küçük varyaslı olduğuu smülasyo yaparak görmeye çalışalım. >> ver= exprd(5,4,); >> T=(mea(ver))^ T = >> S=var(ver) S = >> ver= exprd(5,4,); >> ET=mea((mea(ver)).^) >> ES=mea(var(ver)) T = ES =4.6 >> VarT=var((mea(ver)).^) >> VarS=var(var(ver)) VarT = VarS =4.59 >> for j=:3 ver= exprd(5,4,); VarT=var((mea(ver)).^) VarS=var(var(ver)) ed VarT = VarS = 7.48 VarT = 8.97 VarS = VarT = VarS =

37 Normal Dağılımda, Öreklem Ortalaması le Öreklem Ortacası da hags daha küçük varyaslıdır?

38 LABORATUAR 5 Parametre Tahm II!!! Br Gamma Dağılımıda alıa =4 brmlk br öreklem ç gözlee değerler (ver) aşağıdadır. Bu Gamma Dağılımıı parametreler tahm edz

39 Br Normal Dağılımda alıa =4 brmlk br öreklem ç gözlee değerler (ver) aşağıdadır. Bu dağılımı parametreler tahm edz Laboratuarda: Yukarıdak ver Matlab da, >> ver= rad(4,)*5+5 olarak üretld. (Görmemş olu.) >> std(ver) as = 4.64 olmak üzere, s = = ( x x) =4.64 sayısı N ( µ, σ ) Normal Dağılımı stadart sapması σ ç br tahm. Buu yasız br tahm olduğu söyleeblr m?

40 N ( µ, σ ) dağılımıda σ parametres E Çok Olablrlk Tahm Edcs, S = = ( X X ) ve σ ı E Çok Olablrlk Tahm Edcs, S = = ( X X ) dır. E( S ) =? T = = ( X X ) σ χ ( ) ( ) t t= E T = t t e dt Γ( ) t Γ t e dt t= ( ) Γ( ) = = = Γ( ) Γ( ) Γ( ) ( ) σ Γ σ E( S ) ( ) = E T = E T = σ Γ( ) olmak üzere, σ ı Yasızlaştırılmış E Çok Olablrlk Tahm Edcs, ɶ σ = Γ( ) S Γ( ) dır.

41 E Çok Olablrlk Tahm Edcler Bazı Özellkler Geellkle yalı tahm edclerdr. Olablrlk foksyou le lgl bazı düzgülük şartları altıda tutarlıdırlar. Parametrk döüşümler altıda değşmez kalmaktadırlar ( g ( θ ) = g( ɵ θ ) ). Asmptotk olarak etkdrler. Var ( ˆ( θ X, X,..., X ) ) lm = I( θ ) Asmptotk olarak, θ beklee değer ve I ( θ ) varyası le ormal dağılıma sahptrler. ˆ( θ X, X,..., X ) AN ( θ, ) I( θ ) Büyük öreklem hacmlerde ˆ( θ X, X,..., X ) θ dağılımı yaklaşık olarak I( θ ) stadart ormal dağılımdır. E Küçük Varyaslı Yasız Tahm Edcler Öcek laboratuarda, Üstel Dağılımda parametre tahm üzerde durduk ve olmak üzere, X, X,..., X öreklem ( σ le Öreklem Varyası, x f ( x; θ ) = e θ, x > ( θ Θ = (, )) ) θ = θ ç Yasızlaştırılmış E Çok Olablrlk Tahm Edcs, ˆ T = θ = + + S = = ( X X ) ( X ) tahm edcler göz öüe almıştık. Yasız ola, T le S tahm edclerde hags daha küçük varyaslıdır? Smülasyo yaparak T daha küçük varyaslı olduğu kaaate vardık. Şmd buu spatlayalım. Đspatlar, smülasyola olmaz. Gerçek düyada, deey yaparak da spat yapılmaz. Deeylerle, teorler geçerllğ test edlr. Đspatlar matematğe özgüdür. Matematktek gb yapalım. Teorem: Üstel dağılımda, T = ( X ) tahm edcs + Vayaslı Yasız Tahm Edcdr (UMVUE). Đspat: Üstel Dağılımda X yeterl ve tam br statstktr (ĐST dersde). ( ) E X = σ + olmak üzere (öcek laboratuarda), Lehma-Scheffe Teorem e göre, T = ( X ) + tahm edcs θ ç Düzgü E Küçük Varyaslı Yasız Tahm Edcdr. θ ç Düzgü E Küçük

42 LABORATUAR ÇALIŞMASI 6 Hpotez Test I Đstatstksel Hpotez dağılım hakkıda br öermedr. Öreğ; br rasgelelk olgusuu modelleye dağılımı üstel olduğuu söylemes (dda edlmes) br hpotezdr. Br dağılımla lgl, öreğ; varyasıı bell br sayıda küçük olduğuu söylemes, k değşkel br dağılımda değşkeler bağımsız olduğuu söylemes brer hpotezdr. Bu laboratuar çalışmasıda parametrk hpotezler ya parametrelerle lgl hpotezler ele alıacaktır. Θ parametre kümes olmak üzere, parametre br Θ Θ kümesde bulumasıa veya kısaca Θ a hpotez der ve H le gösterlr. Θ = Θ \ Θ a da karşıt (alteratf) hpotez der ve H (veya ) H A le gösterlr. H : θ Θ H : θ Θ hpotezler ve ( ) X, X,..., X öreklem F.; θ, θ Θ = Θ Θ [ ] φ : R, ( ) X, X,..., X φ X, X,..., X ölçüleblr br foksyo olmak üzere: φ ( X, X,..., X ) statstğ aldığı değer φ ( x, x,..., x ) olduğuda, b(, p = φ( x, x,..., x )) Beoull deemes soucu başarı se H reddedls aks halde H kabul edls bçmde br karara götüre φ ( X, X,..., X ) statstğe resgeleleştrlmş test foksyou (kısaca test statstğ) der. Eğer φ görütü kümes {, } ya φ ( X, X,..., X ) ( ) ( ), X, X,..., X B R =, X, X,..., X B bçmde se φ ye rasgeleleştrlmş test foksyou, B kümese H hpotez ç ret bölges, B kümese de H hpotez ç kabul bölges der.

43 Br φ test statstğ le doğru karar vermek e demektr? Doğru karar verecek şeklde φ test statstkler asıl oluşturulacaktır? ĐST Đstatstk Teors II dersde alatıla bu koular öümüzdek yıllarda daha geş br şeklde derslerzde yer alacaktır. Br φ test statstğ le lgl, [ ] β : Θ Θ, φ ( ) θ β θ P H 'ı reddedlmes φ = θ, φ H doğru olmak üzere, H 'ı reddedlmes P H doğru = H 'ı reddedlmes P H doğru { φ ( ) } α = sup β θ : θ Θ, θ Θ, θ Θ değere test alam düzey der. Alam düzey, H doğru ke H ı reddedlmes, ya I.tp hata yapma olasılığı ç üst sıırdır. ola, β φ foksyoua veya β φ foksyouu Θ e kısıtlaması (ye [ ] β : Θ, φ H 'ı reddedlmes θ β ( θ ) foksyoua güç foksyou der. Alam düzey α ola test foksyoları arasıda tüm φ = P H doğru β φ le gösterelm) θ Θ ç βφ ( θ ) değerler e büyük ola φ teste düzgü e güçlü test der. Geel olarak böyle φ testler bulmak mümkü olmamakla brlkte bazı durumlar, öreğ bast hpotezler ç düzgü e güçlü test buluablmektedr. Bast Hpotezler ) Neyma-Pearso Lemmasıı fade edz.!!!

44 ) a) Br portakal satıcısı malıdak bell br tür (yafa) portakalları oraıı %75, alıcı se %5 olduğuu dda etmektedr. Alıcı haklı ke karar verme olasılığı e çok.5 olacak şeklde düzgü e güçlü test foksyou (veya her hag br test foksyou) oluşturuuz.!!! b-) Y-bell tür, D-dğer gösterm le rasgele seçle portakal ç Y,D,D,Y,D,D,D,D,Y,Y,D,Y,D,D,Y,D,Y,D,D,D gözlemştr. Kararıız e olur?!!!

45 3-) a-) Dayama süreler üstel dağılıma sahp olduğu ble bell br parça ç satıcı, buları dayama süreler ortalamasıı 4 yıl, alıcı se yıl olduğuu dda etmektedr. Alıcı haklı ke yalış karar verme olasılığı e çok.5 olacak şeklde düzgü e güçlü br test (test foksyou) oluşturuuz.!!! b) Rasgele seçle 8 parçaı dayama süres 5,.8,, 3.,.5, 8.3,.5,.7 olarak gözlemştr. Kararıız e olur?!!!

46 c) θ = ola üstel dağılımda 8 brmlk sayı üretz ve b) şıkkıdak gb karar verz. Buu blgsayarda yapacak br program yazıız ve yalış karar verme oraıı deeme ç gözleyz.!!!

47 4) Bell br tür pl ç dayama süres saat olarak N ( µ 6, σ 6) = = dağılımıa sahp olduğu blmektedr. Üretmde yapıla br değşklk soucu dayama süres ortalamasıı saat arttığı dda edlmektedr. Değşklğ br yleştrme getrmedğ doğru ke, yalış karar verme olasılığı e çok.5 olacak şeklde, düzgü e güçlü test foksyouu buluuz. H : µ = 6 H : µ = 7, α =.5 ( ) X, X,..., X öreklem N µ, σ olmak üzere Neyma-Pearso Lemması yardımıyla düzgü e güçlü test foksyou φ ( X, X,..., X ) bçmde olmak üzere, α =.5 ç c sabt, ( ) P X > c =.5 µ X µ c µ P > =.5 σ / σ / P Z c µ σ / > =, X > c =, X < c.5 c µ σ / = Z = c =.645 σ / + µ olarak buluur. φ test foksyou alışılagelmş olarak φ ( X, X,..., X ), =, X µ σ / X µ σ / > Z < Z bçmde yazılır. Z h X µ = σ / test statstğ,

48 z h x µ = σ / hesaplaa (gözlee) değer ormal dağılım tablosuda okua, z.95 = z tablo = ormv(.95,,) =.645 değerde büyük olduğuda H reddedlr. p-değer (p-value): z p-değer = e dz π Z h ya X µ σ / ( ) p-değer = P Z > = P Z > Z olmak üzere, p-değer (br rasgele değşke) hesaplası (gözles). Bu değer α ç düşüüle değerde küçük se H reddedlr. Rasgele seçle pl ç dayama süreler, 58, 75, 7, 6, 54, 65, 64, 56, 66.5, 7.5, 64, 65, 79, 66, 8, 57, 68, 67, 69, 76 olarak gözlemş olsa kararıız e olur?!!! h

49 Aşağıdak blgsayar programıı gözde geçrz ve yukarıdak ver ç şletz. INPUT Test alam düzey=, ALFA INPUT Mu-sıfır değer =, M INPUT Sgma değer =, SIGMA INPUT Gözlem sayısı =, N DIM X(N) FOR I= TO N READ X(I) NEXT I XT= FOR I= TO N XT=XT+X(I) NEXT I XORT=XT/N ZH=(XORT-M)/(SIGMA/SQRT(N)) IF ZH< THEN GO TO REM p-deger hesaplaması umerk tegrasyo le yaplmaktadr. INTEGR= FOR I= TO ZH STEP. INTEGR=INTEGR+EXP(-(I+.5)^/) NEXT I INTEGR=.*INTEGR/SQRT(*3.459) PDEGER=.5-INTEGR PRINT p-değer=, PDEGER IF PDEGER>ALFA THEN GO TO PRINT Sıfır hpotez reddedlr :GO TO PRINT Sıfır hpotez reddedlemez END 5) Pller dağılımı le lgl varyası blmemes durumuda, ya sadece pller dayama süres ormal dağılıma sahp olduğuu blmes durumuda 4) dek hpotez ç test statstğ buluuz ve bu hpotez yukarıdak very kullaarak test edz. Bu durumdak şlemler yapacak şeklde br blgsayar programı yazıız.!!!

50 LABORATUAR ÇALIŞMASI 7 Hpotez Test II Karmaşık Hpotezler ) b(, p), p Θ = (,) dağılımı le lgl, H : p.75 ( Θ = [.75,) ) H : p <.75 ( Θ = (,.75) ) hpotez test etmek amacıyla, X, X,..., X öreklem b, p olmak üzere, ( ) a) φ ( X, X,..., X ) =.5, X { 7,8}, X 6 = =, X 9 =, X 7 = b) φ ( X, X,..., X ) =, X 8 = test foksyoları öerls. Bular ç β güç foksyolarıı grafkler çzz ve alam düzeyler buluuz.!!! φ

51 ) (, ) N µ σ = dağılımı le lgl H : µ = H : µ > hpotez test etmek amacıyla X, X,..., X öreklem N µ, σ 5 ( ) öreklem alıması durumu ç 5, X > c = φ ( X, X,..., X5 ) = 5, X c = test statstğ öerls. α =.5 olacak şeklde c sabt belrleyz ve güç foksyouu grafğ çzz.!!!

52 3) (, 5) N µ σ = dağılımı le lgl, H : µ = 5 H : µ 5 hpotez test etmek amacıyla X, X,..., X öreklem N µ, σ 6 ( ) öreklem alıması durumu ç, X6 5 > c φ ( X, X,..., X6 ) =, X6 5 c test statstğ öerls. α =.5 olacak şeklde c sabt belrleyp güç foksyouu grafğ çzelm. 5 H hpotez altıda X6 5 N(, ) olmak üzere, 6 P ( X 5 > c) =.5 H P H 6 c ( Z > ) = c = z.975, c =.5z.975 =.5ormv(.975)=.5.96=.45.5 φ ( X, X,..., X ) 6, X6 5 >.45, X6 < veya X6 > 5.45 = =, X, X µ 5.45 µ β φ ( µ ) = Pµ ( X6 < 47.55) + Pµ ( X6 > 5.45) = P( Z < ) + P( Z > ).5.5 = ormcdf( µ 5.45 µ )+ (-ormcdf( ).5.5 >> mu=35:.:65; >> plot(mu,ormcdf((47.55-mu)/.5)+-ormcdf((5.5-mu)/.5))

53 !!! Aşağıdak tabloyu dolduruuz. Dağılım Hpotez Öreklem ve Test statstğ N ( µ, σ ) H : µ = µ X, X,..., X d N µ, σ H : µ = µ σ blyor X µ ( µ > µ ), σ / φ ( X, X,..., X ) (, ) N µ σ σ blyor H : µ = µ H : µ = µ ( µ < µ ) Z h =, X µ = σ / ( ) > Z X µ < Z σ / α α Krtk bölge f(z) α z α z α α z z (, ) N µ σ σ blyor H : µ µ H : µ < µ (, ) N µ σ σ blyor H : µ µ H : µ > µ (, ) N µ σ σ blyor H : µ = µ H : µ µ

54 (, ) N µ σ σ blmyor H : µ = µ H : µ = µ ( µ > µ ) (, ) N µ σ σ blmyor H : µ = µ H : µ = µ ( µ < µ ) (, ) N µ σ σ blmyor H : µ µ H : µ < µ (, ) N µ σ σ blmyor H : µ µ H : µ > µ (, ) N µ σ σ blmyor H : µ = µ H : µ µ

55 (, ) N µ σ µ blmyor H : σ = σ H : σ = σ ( σ > σ ) (, ) N µ σ µ blyor H : σ = σ H : σ = σ ( σ > σ ) (, ) N µ σ µ blmyor H : σ = σ H : σ = σ ( σ < σ ) (, ) N µ σ µ blyor H : σ = σ H : σ = σ ( σ < σ ) (, ) N µ σ µ blmyor H : σ σ H : σ > σ (, ) N µ σ µ blmyor H : σ = σ H : σ σ

56 N N ( µ, σ ) ( µ, σ ) σ ve σ blyor N N ( µ, σ ) ( µ, σ ) σ ve σ blyor H : µ = µ H : µ > µ H : µ = µ H : µ < µ X, X,..., X d N, ( µ σ ) ( µ σ ) X, X,..., X d N, m φ ( X, X,..., X ) Z h X =, =, Zh > Z α Zh < Z α ( µ µ ) X σ σ + m N N ( µ, σ ) ( µ, σ ) σ ve σ blyor H : µ = µ H : µ µ N N ( µ, σ ) ( µ, σ ) σ ve σ blmyor H : µ = µ H : µ > µ N N ( µ, σ ) ( µ, σ ) σ ve σ blmyor N N ( µ, σ ) ( µ, σ ) σ ve σ blmyor H : µ = µ H : µ < µ H : µ = µ H : µ µ

57 N N ( µ, σ ) ( µ, σ ) µ ve µ blmyor H : σ = σ H : σ σ N N ( µ, σ ) ( µ, σ ) µ ve µ blmyor H : σ = σ H : σ > σ N N ( µ, σ ) ( µ, σ ) µ ve µ blmyor H : σ = σ H : σ < σ N N ( µ, σ ) ( µ, σ ) µ ve µ blmyor H : σ σ H : σ > σ N N ( µ, σ ) ( µ, σ ) µ ve µ blyor!! H : σ = σ H : σ > σ

58 LABORATUAR ÇALIŞMASI 8 Hpotez Test III -) Br torbaı çe /4 oraıda sarı top atıız (p sarı topları oraı olsu). H : p =.5 H : p.5, α =.5 hpotez test etmek ç: ve ( ) X, X,..., X öreklem b, p φ ( X, X,..., X ), X < c veya X > c =, c X c test statstğ göz öüe alıız. c br tamsayı olmak üzere, P X c veya X c.5 p= < > = 4 = = olacak şeklde c sabt, a) = b) = c) =5 ç belrleyz.!!!

59

60 Yukarıda, örek hacm büyük olduğuda Merkez Lmt Teoremde faydalaıız. Büyük ler ç olmak üzere, φ test, φ Z h = ( X, X,..., X ) X = /, Zh > z α / =, z Z z α / h α / bçmde yazılablr. Öreğ = ç b(, p = / 4) bom dağılımı ve stadart ormal dağılım kullaarak her k yolda φ test foksyouu oluşturuuz.!!!

61 =,, 5 ç adel çeklş yapıp oluşturduğuuz φ test statstğ yardımıyla hpotez test edz. = durumu ç deey brkaç kez tekrarlayıız, durumları yorumlayıız. = ç daha güçlü br test bulmak mümkü olablr m?!!!

62 -) Sze verlecek ola k torbada eşt orada sarı top olduğu dda edlmektedr. H : p = p H : p p, α =.5 hpotez test etmek ç torbalarda adel olarak 5 şer top çeklecektr. Test statstğ oluşturuuz. Gözlem yapıız. Hpotez test edz. Karar verz. Torbalardak gerçek duruma bakıız. Vermş olduğuuz karar doğru mu?

63 3) ĐST5 Đstatstk laboratuarı öğrecler ağırlıklarıı ortalaması hakkıda H : µ = 68( kg) H : µ > 68( kg) hpotez öe sürülmektedr. α =.5 ç, X6 > c φ ( X, X,..., X6 ) =, X6 < c test statstğdek c sabt belrlemeye çalışıız.!!! Br problem le karşılaştıız mı? Şmd ĐST5 ders öğrecler ağırlıklarıı dağılımıı ormal olduğuu varsayalım. Bu varsayım altıda φ testdek c sabt belrlemeye çalışıız. Öreklem alıız ve hpotez test yapıız.

64 4) ĐST5 dersdek kız ve erkek öğrecler ağırlıklarıı N ( K ( kg), ) N ( µ E ( kg), σ ) dağılımıa sahp olduğu varsayılsı. H : µ = µ H : µ K µ E hpotez öe sürülmektedr. α =.5 alam düzeyde test edz. K E µ σ ve

65 5) ĐST5 ders kız ve erkek öğrecler ağırlıklarıı N ( K ( kg), K ) N ( µ E ( kg), σ E ) dağılımıa sahp olduğu varsayılsı. H : µ = µ K H : µ K µ E hpotez öe sürülmektedr. α =.5 alam düzeyde test edz. E µ σ ve 6) ĐST5 ders kız ve erkek öğrecler ağırlıklarıı N ( K ( kg), K ) N ( µ E ( kg), σ E ) dağılımıa sahp olduğu varsayılsı. H : σ = σ K E H : σ K σ E hpotez öe sürülmektedr. α =.5 alam düzeyde test edz. µ σ ve

66 ! Verdğz karara göre Örek 4 ve Örek 5 yede gözde geçrz.

67 !! Ağırlığı dağılımı le lgl ormallk varsayımıı doğru olup olmadığı asıl ortaya çıkarılablr?

68 LABORATUAR ÇALIŞMASI 9 Đk Değşkel Keskl Dağılımlar. Yukarıdak kavaozda br top çeklmes ve rek le brlkte üzerdek sayıı gözlemes deey modelleye br olasılık uzayı. Ω = a, b : a sarı, yeşl, pembe, b, {( ) { } { }} U = Ω olsu. {(, )} (, ) P a b =? { } P a b olasılıkları aşağıdak tabloda yer almaktadır. Sayı\Rek sarı yeşl pembe / / / / / / X rasgele değşke çekle topu üzerdek sayıyı, X rasgele değşke se sarı top ç, yeşl top ç, pembe top ç değer alsı. ( X, X ) rasgele vektörüü olasılık tablosuu yazıız. Marjal dağılımları olasılık tablolarıı yazıız. X le X bağımsız mıdır?!!!

69 . Đadel olarak 5 çeklş yapıp aşağıdak tablou gözelere lgl frekasları yazıız (evde). Gözlemler: x x Sütu toplamı Satır tolamı Toplam Gözlee frekaslar yukarıdak tablou çde. Beklee frekaslar edr? Beklee frekasları hesaplayıp aşağıdak tablou çe yazıız. x x Sütu toplamı Satır toplamı Toplam Gözlee frekaslar le beklee frekasları br tek tabloya yazıız. x x g f :. satır j. sütudak gözlee frekas j b f :. satır j. sütudak beklee frekas j olmak üzere, dır. 3 g b ( f ) j fj = b f = j= j Kısa br yorum yazıız.!!!

70 Toplar hakkıda de verle durum blmyor, ya model ve dolayısıyla X le X bağımsız olup olmadığı blmyor olsaydı dek gözlemlere dayalı olarak X le X bağımsızlığı hakkıda asıl br souç çıkarılırdı? dek verlere dayalı olarak X le X bağımsızlığıı K-kare bağımsızlık test le test edz. (Burada rek le lgl ölçme düzey sııflama düzeyde kalmış olması durumuda da bağımsızlık test yapılableceğe dkkat edz.) H : X le X bağımsız H : X le X bağımsız değl, α =.5 x x g f :. satır j. sütudak gözlee frekas j b f :. satır j. sütudak H ( bağımsızlık) hpotez altıda beklee frekas j olmak üzere, 3 g b ( f ) j fj = b f = j= j Kısa br yorum yazıız.!!!

71 3) Br torbada üzerde, 3, 5, sayıları yazılı 4 tae sarı; br tae, k tae 3, üç tae 5 ve dört tae yazılı beyaz; br tae, br tae 3, kşer tae 5 ve yazılı 6 mav top bulumaktadır. Br top çeklmes, gele topu reg ve üzerdek yazılı sayıı gözlemes deey modelleye br olasılık uzayı oluşturuuz. Ω = a, b : a beyaz, sarı, mav, b,3,5, {( ) { } { }} ve U = Ω olmak üzere P olasılık ölçüsü le lgl aşağıdak tabloyu dolduruuz. Tabloda P a, b olasılıkları yer alacaktır. {( )} Rekler ç beyaz :, sarı :, mav : olarak kodlası (ölçülsü). Bu kodlamaya (ölçmeye) karşılık gele rasgele değşke X olsu. X rasgele değşke de topu üzerdek sayıyı gösters. X le X ortak olasılık foksyouu buluuz (olasılık foksyou tablosuu hazırlayıız), ortak olasılık foksyouu grafğ çzz, X le X marjal dağılımlarıı buluuz, X le X bağımsız mıdır? Kovaryas ve korelasyo matrs buluuz.!!!

72

73 Yukarıdak deey e az defa tekrarlayıız. Gözledğz ( X, X ) =,,, değerler betmleyz (öreklem olasılık tablosu oluşturuuz, çubuk dyagramı çzz, öreklem kovaryas ve korelasyo matrs hesaplayıız.)

74 Gözlemler dek model (gerçek) le uyumuu K-kare uyumluluk test le test edz. Toplar hakkıda gerçek durum blmyor, ya model ve dolayısıyla X le X bağımsız olup olmadığı blmyor olsaydı, gözlemlere dayalı olarak X le X bağımsızlığı hakkıda asıl br souç çıkarılırdı? Gözlemlere dayalı olarak X le X bağımsızlığıı K-kare bağımsızlık test le test edz. H : X le X bağımsız H : X le X bağımsız değl, α =.5

75 4. Rasgele değşkeler arasıdak leer lşkler hakkıda blg vere Pearso korelasyo katsayısı ( ρ ) ç, olmak üzere, X, X olduğuu gösterz.!!! U = ax + b V = cx + d a. c > ç ρ = ρ X, X U, V a. c < ç ρ = ρ X, X U, V Rekler le lgl ölçümde (kodlamada) X değerler beyaz ç, sarı ç, mav ç 3 olarak ölçülseyd, X le X korelasyo katsayısıda br değşklk olur muydu? dek gözlemlerde lk 5 taes göz öüe alıız ve bu 5 gözlem le öreklem korelasyo katsayısıı hesaplayıız.

76 5. Rasgele değşkeler arasıda bağımsızlık kolay sezle ve alaşıla br durumdur. Acak bağımsızlığı dışıdak dğer durumlar elerdr? Öreğ k değşke arasıda X = a + bx X = f X gb foksyoel lşk (bağıtı) olablr. Bu lşkler gb leer veya herhag br ( ) asıl ortaya çıkarılacaktır? Bağımsızlığı dışı dyebleceğmz bağımlılık oldukça karmaşık br kou olup güümüz araştırmalarıı çet koularıda brsdr. Đk değşke arasıda foksyoel lşk olması bağımlılığı çok özel ve oldukça bast br haldr. Öreğ br torbada beyaz, sarı top bulusu. Torbada ayı ada 5 top çeklmes deeyde X gele sarı topları sayısı olmak üzere X le X arasıda X = 5 X bağıtısı söz kousudur. beyaz, sarı ve mav top buluması durumuda ayı deey le lgl X le X rasgele değşkeler arasıda br foksyoel bağıtı yoktur, acak X ve X bağımsız da değldr. Acaba aralarıda asıl br bağımlılık vardır? Öreğ X değer bldğde X koşullu dağılımıı beklee değer vere E ( X X ) regresyo bağıtısı e alatmaktadır? Bu regresyo bağıtısıı buluuz.

77 Đk değşke arasıda leer br lşk br ölçüsü ola Pearso korelasyo katsayısıa bezer acak değşkeler arasıda leer lşky değl de sadece değşkeler brlkte veya zıt yöde değşm gösterdkler ölçe ve bua göre ölçümler e az sıralama düzeyde yapıldığı durumlarda geçerl ola br lşk katsayısı da Spearma ı Sıra Đlşks Katsayısıdır. x, x, x, x, x, x,, x, x ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 brmlk örek olmak üzere, her k değşke ç gözlee değerlere ayrı ayrı büyüklük sıra R x, R y, =,,, le gösterls. Öreğ sayıları verls ve bu sıra sayıları ( ) ( ) ( x, x ) R( x ) R( y ) (,3 ) 3 (, ) 3 4 (, ) 4 (,5 ) olmak üzere, burada ( ), ( ) R x R y sıra sayıları, X ve X rasgele değşkeler aldığı değerler reel sayı olması edeyle reel sayılardak sıralamaya göre verlmştr. Rek R x ler belrleemezd. Acak değşke le lgl sayısal kodlama yapılmamış olsaydı ( ) rek le lgl, öreğ koyuda (mav) açığa doğru ( mav sarı beyaz ) gb br sıralama düşüülürse bu durumda R( x ) ler belrlemek ye mümkü olur. R ( x ), R( y ), =,,, sıra sayılarıa bağlı olarak Spearma sıra lşks katsayısı dr. 6 = r = S ( R( x ) R ( y )) ( ) Yukarıdak 5 brmlk gözlem ç r S katsayısıı hesaplayıız.

78 6. X, X rasgele değşkeler ortak olasılık foksyou grafğ aşağıda verlmştr. X le Cov X, X, X marjal dağılımıı buluuz. E ( X ), E ( X ), Var ( X ), Var ( X ), ( ) ρ değerler hesaplayıız. X, X!!!

79

80 7. Bell br hastalığa yakalamış olalarda rasgele 4 kş seçlmş ve er kşlk 4 grup oluşturulmuştur. Bu 4 gruba 4 farklı dozda bell br laç verlmş ve aşağıdak durum gözlemştr. a) Çubuk dyagramı hazırlayıız.!!!

81 b) Tedav sorası hastaı durumu le kulladığı laç dozuu bağımsız olduğu söyleeblr α =.5 m? ( )!!!

82 LABORATUAR ÇALIŞMASI Đk Değşkel Sürekl Dağılımlar -) Taba yarıçapı cm ola br sldr tabaıa rasgele br küçük csm (bocuk) X, X bocuğu atılmaktadır. Sldr tabaıa çzlmş br koordat ssteme göre, ( ) düştüğü oktaı koordatlarıı gösters. (, ) f ( x x ) X X olasılık yoğuluk foksyouu, x + x, = π, d. y. bçmde olduğu düşüülsü (değer kümes üzerde düzgü dağılıma sahp olsu). f foksyouu grafğ çzz. X le X bağımsız mıdır? X le X arasıdak Pearso korelasyo katsayısıı hesaplayıız.!!!

83 a) Deey 5 kez yapıız, öreklem Pearso korelasyo katsayısıı hesaplayıız ve modeldek değer le karşılaştırıız.!!! b) Deey e az 5 defa yapıız ve serplme dyagramıı çzz. Soucu yorumlayıız.

84 c) a ve b şıkkıda yapılaları blgsayarda yapacak br program yazıız.!!!

85 ) a) Laboratuar masalarıızı üzere çzlmş br koordat sstem başlagıç oktası üzere düşecek şeklde yaklaşık 5 cm yükseklkte küçük bocuklar bırakılmaktadır. X bocuk düştükte sora kaldığı oktaı apss, X se ordatı olsu. X le X ortak olasılık dağılımı hakkıda e söyleyeblrsz? X, X aldığı değerler gözleyz ve betmleyz. E az 5 tae bocuk atıp ( ) Öreklem Pearso korelasyo katsayısıı hesaplayıız.

86 b) X = X + X rasgele değşke (bocuk le koordat sstem başlagıç oktası arasıdak Euclde uzaklığı) dağılımı edr? Sezgsel olarak br olasılık yoğuluk foksyou öerz (grafğ çzerek). c) Düşe bocuk le koordat sstem başlagıç oktası arasıdak Euclde uzaklığıı 5 kez gözleyz (-b dek deey) ve hstogram çzz. Ortalama uzaklığı hesaplayıız.

87 d) Laboratuar masalarıızı br tarafıdak ayaklarıı altıa küçük takozlar koyup üst yüzeylerde küçük eğklk sağlayıız ve a) şıkkıdak yaptıklarıızı tekrarlayıız. Soucu yorumlayıız.

88 LABORATUAR ÇALIŞMASI Đk Değşkel Normal Dağılım Br değşkel dağılımlarda olduğu gb, k değşkel ormal dağılımı da k boyutlu dağılımlar arasıda öeml br yer vardır. Đk değşkel ormal dağılıma sahp X, X rasgele değşkeler ortak olasılık yoğuluk foksyou, σ σ E ( X) = µ, E ( X ) = µ, Cov ( X X j ) = σ j,, j =,, = σ σ olmak üzere, dır. f ( x x ) x x π det ( ) ( µ µ ), = exp,, x µ x x µ < x < < < X le X marjal dağılımlarıı X X N ( µ, σ ) N ( µ, σ ) ve koşullu dağılımları, X X σ σσ N µ + ( x µ ), σ x = σ σ σ ( ρ ) X σ σσ N µ + ( x µ ), σ X = x σ σ σ ( ρ ) olduğu kolayca (şmdlk değl) gösterleblr. = ola ormal dağılıma k değşkel stadart ormal dağılım Z Z k değşkel stadart ormal dağılıma sahp olduğuda, ) µ = µ =, der., f ( z, z ) = exp ( z z ), z, z π + < < < < dır. Bu olasılık yoğuluk foksyouu grafğ çzelm.

89 Đk değşkel stadart ormal dağılımda brmlk br örek üretp serplme dyagramıı çzelm Z, Z marjal dağılımlarıı buluuz. Bu değşkeler bağımsız mıdır?

90 Aşağıdak Matlab programıı şletz: clc clear all close all =; sgmamatrs=[.5;.5 ]; ver=sqrt(sgmamatrs)*rad(,); sfsays=; [fx,sx]=hst(ver(,:),sfsays); [fy,sy]=hst(ver(,:),sfsays); for =:sfsays for j=:sfsays x=sx()-(sx()-sx())/ ; x=sx()+(sx()-sx())/ ; y=sy(j)-(sy()-sy())/ ; y=sy(j)+(sy()-sy())/ ; frekas=; for =: f ver(,)<x f ver(,)>=x f ver(,)<y f ver(,)>=y frekas=frekas+; ed,ed,ed,ed ed frpolg(,j)=frekas; x=[x x]; y=[y y]; meshgrd(x,y); z=frekas*oes(,); mesh(y,x,z); hold o ed ed fgure meshgrd(sx,sy); mesh(sy,sx,frpolg); fgure plot(ver(,:),ver(,:),'.') sgmaters=v(sgmamatrs); c=/(*3.4*sqrt(det(sgmamatrs))); fgure for =:; for jj=:; xx=-5+*(/);

91 yy=-5+*(jj/); z(,jj)=c*exp(-.5*[xx;yy]'*sgmaters*[xx;yy]); ed ed xxx=-5:.:5; yyy=-5:.:5; meshgrd(xxx,yyy); mesh(xxx,yyy,z);

92

93 ) (, ) Z Z k değşkel stadart ormal dağılıma sahp olsu. X = Z X = Z + Z döüşümü le taımlı ( X, X ) dağılımıı buluuz. (, ) X X varyas kovaryas matrs buluuz. Bu dağılımda = brmlk örek çekz, serplme dyagramıı çzz ve S S j ( X X)( X X ) = =,, j =, S S = S S olmak üzere S öreklem kovaryas matrs elemalarıı hesaplayıız. X le X arasıdak, ρ = E ( X E( X ))( X E( X )) = E( X X ) E( X ) E( X ) ( ) korelasyo katsayısıı buluuz. Yukarıdak brmlk örek ç öreklem Pearso korelasyo katsayısı R = ( X X)( X X ) = ( X X) ( X X ) = = aldığı değer hesaplayıız.

94 3) (, ) Z Z k değşkel stadart ormal dağılıma sahp olsu. X = Z + X = 3Z + Z + 5 olmak üzere ( X, X ) dağılımıı buluuz. (, ) X X varyas kovaryas matrs buluuz. Bu dağılımda = brmlk örek çekz, serplme dyagramıı çzz ve öreklem kovaryas matrs elemalarıı hesaplayıız. X le X arasıdak ρ Pearso korelasyo katsayısıı buluuz. brmlk örek ç R öreklem Pearso korelasyo katsayısıı aldığı değer hesaplayıız.

95 4) Pearso korelasyo katsayısı ρ ola k değşkel ormal dağılımda brmlk öreklem R öreklem korelasyo katsayısı le lgl, ) ρ = olması durumuda R ( R ) ( ) t ( ) ) ρ ç yaklaşık olarak olduğu blmektedr. + R + ρ l N µ = l, σ = R ρ 3 H : ρ = ρ H : ρ ρ hpotez test etmede kullaableceğz aşağıdak blgsayar programıı eksk yerler tamamlayıız. INPUT ALFA INPUT örek hacm ;N INPUT ro sıfır ;RO DIM... R= ZH=/*(LOG((+R)/(-R))-LOG((+RO)/(-RO)))*SQR(N-3) MZH=ABS(ZH) REM stadart ormal dağılımda P=P(<Z<MZH) olasılığıı hesaplaması... P=.5-P IF P<ALFA/ THEN PRINT H hpotez reddedlr. ELSE PRINT H hpotez reddedlemez.

96 LABORATUAR ÇALIŞMASI Ver Aalz I Bu so laboratuarda verler üzerde bazı aalz (çözümleme) örekler göreceğz.. Örek: Matlab: >>ver=,783,575,649,6868,4868,6443,65,3897,598,737,835,4359,3786,587,47,348,6477,3685,4468,86,439,353,459,656,363,538,965,8,547,78,585,357,3,54,963,8,58,939,94,43,7447,994,876,8759,956,69,89,7757,7948,55 >> mea(ver); as =.5 >> var(ver) as =.73 >> std(ver) as =.689 >> kcmomet=sum(ver.*ver)/sze(ver,) kcmomet = >> meda(ver) as =.58 >> m(ver) as =.54 >> max(ver) as =.956 >> hst(ver) >> boxplot(ver) Values >> [f,xf] = ecdf(ver); stars(xf,f) Colum Number

97 Mtab ver,783,575,649,6868,4868,6443,65,3897,598,737,835,4359,3786,587,47,348,6477,3685,4468,86,439,353,459,656,363,538,965,8,547,78,585,357,3,54,963,8,58,939,94,43,7447,994,876,8759,956,69,89,7757,7948,55 Results for: ver Descrptve Statstcs: ver Varable Mea StDev Varace Mmum Q Meda Q3 Maxmum ver,5,689,73,54,338,58,755,956 Hstogram of ver Frequecy ,, H s t o g r a m o f v e r,4 v e r?? (Hstogram yukarıdakde farklı) Boxplot of ver ver,, 8, 6, 4,,,6 B o x p l o t o f v e r,8,

98 .Örek 99, 99 ve 99 yıllarıda Akara Üverstes Fe Fakültes Đstatstk Bölümüe gele öğrecler üzerde: ) Orta öğretmdek başarı (dploma otu) le üversteye grş puaıı brc döem soudak başarı (döem souda başardığı ders sayısı) üzerdek etks, ) Döem ç ders çalışma (vzeler ortalaması) le döem sou başarı arasıda lşk olup olmadığı, 3) Csyet ve grş yılıa göre farklılık olup olmadığı, araştırılmak stemştr Bu amaçla aşağıdak ver toplamıştır. Grş Cs. Dpl. Üverste Döem Souda Yılı Notu Grş Vze Başardığı Ders Puaı Ort. Sayısı 99 E 6, K 6, K 6, K 8, K 5, E 5, K 7, K 7, E 7, K 5, E 6, E 5, K 6, K 6, K 5, E 6, E 6, K 5, E 5, E 6, E 6, E 6, K 5, E 5, K 8, E 6, K 8, K 6, K 6, K 7, E 8, K 5, E 5, K 6, E 6, E 5, E 5, E 6, E 5, E 5, K 7, K 6, K 9, E 6, E 8, K 7, K 5, K 7, E 6, E 5, E 6,

99 99 E 6, E 5, E 6, K 5, E 6, K 6, K 5, E 5, E 6, K 6, E 6, E 5, K 8, E 5, E 7, E 7, E 5, K 7, K 7, E 7, K 6, K 5, E 6, K 5, E 7, E 6, K 7, E 8, E 7, E 6, E 7, E 7, E 6, E 6, K 7, E 6, E 5, K 6, K 7, E 5, K 8, K 7, K 7, K 8, E 6, K 6, E 6, K 7, E 6, E 6, K 5, K 7, K 7, K 7, E 5, E 6, E 5, E 5, E 8,65 Lse 39 Brcs Bu very betmlemeye çalışalım. 99 lı yılları başıda öğreclermz ver betmlemes geellkle ked yazdıkları programlar le yapıyorlardı. Zama alıcıydı. Szler şaslısıız. Brçok Đstatstk paket programı var.

100 Grafksel Betmleme SPSS-Graphs-Bar-Clustered-Defe-Category Axs:Grş Yılı-Defe Clusters by: Csyet 3 Csyet E K 5 Cout Grs Graphs-Iteractve-Pe--Clustered-Slce by: Grş Yılı- Cluster by:csyet E K Grs Pes show couts Üç yıl boyuca gele öğrecler Üverste Grş Puaları ç hstogram. Ortadak boş sııf oldukça lgç (aşağıda). 5 Frequecy Mea = 43,9 Std. Dev. = 8,83 N = 9 UGrPua

101 Yıllara göre Üverste Grş Puaı ç hstogramlar. Boş sııfı sebeb ortaya çıktı. Yıllara göre pua artışıa ve dağılıma (dağılışa) dkkat ed. 5 Frequecy Frequecy Frequecy Grs UGrPua Bölümümüze gele öğrecler ortaöğretm Mezuyet Dereceler ç hstogram. 5 Frequecy Mea = 6,6633 Std. Dev. =,999 N = 5, 6, 7, 8, 9,, MezuyetDereces Kutu Çzt: Boxplot of M e z uy e t D e r ce s C 8 9

102 Csyete göre Mezuyet Dereceler ç hstogramlar: 8 Frequecy Frequecy K E Csyet 5, 6, 7, 8, 9,, MezuyetDereces Kutu Çzt: C s y e te g ö r e M e z u y e t D e r e c e s E E K K Mezuyet Dereces x Üverste Grş Puaı ç serplme dyagramı. Mezuyet Dereces le Üverste Grş Puaı arasıda her hag br lşk görülmemektedr (aşağıda). Graphs-Scatter/Dot-Smple Scatter-Defe-Y Axs: Üverste Grş Puaı-X Axs: Mezuyet Dereces 46 Csyet E K 45 UGrPua , 6, 7, 8, 9,, MezuyetDereces

103 Üverste Grş Puaı x Vze Notlarıı Ortalaması ç serplme dyagramı. Her hag br lşk görülmemektedr (aşağıda). 7 Csyet E K 6 5 VzeOrt UGrPua Brc döem souda Başarıla Ders Sayısı x Vze Notlarıı Ortalaması ç serplme dyagramı. Aralarıdak lşkye dkkat ed. Vze Notları Ortalaması yüksek olalarda Başarıla Ders Sayısı da yüksektr. Döem ç çalışmalar, döem soudak başarıyı etklemektedr Csyet E K 6 5 VzeOrt BasDersSa Brc döem souda Başarıla Ders Sayısı x Üverste Grş Puaı ç serplme dyagramı. Aralarıda br lşk görülmemektedr (aşağıda) Csyet E K 45 UGrPua BasDersSa

104 Csyete Göre Vze: Br fark göze çarpmamaktadır (aşağıda). 8 6 Frequecy Frequecy K E Csyet VzeOrt Başarıla Ders Sayısı ç çubuk dyagramı. öğrecde 45 taes 5 ders 5 de başarmıştır Cout 3 BasDersSa Csyete göre Başarıla Ders Sayısı (Erkekler arasıda tembeller sayısı kızlara göre braz fazla gb görüüyor. Test etmek gerekr!) Cout Cout K E Csyet BasDersSa Bua bezer, daha brçok grafk çzlp, görsel blgler elde edleblr.

105 Üverste öces başarı durumu: Bazı Sayısal Betmlemeler N Mmum Maxmum Mea Std. Devato MezuyetDereces 5, 9, 6,6633,999 UGrPua ,9 8,83 Csyete göre üverste öces başarı durumu: Mezuyet Dereces Üverste Grş Puaı E K E K Mea 6,387,957 95% Cofdece Lower Boud 6,964 Iterval for Mea Upper Boud 6,5777 5% Trmmed Mea 6,347 Meda 6,55 Varace,545 Std. Devato,73794 Mmum 5,8 Maxmum 8,34 Rage 3,6 Iterquartle Rage,89 Skewess,96,39 Kurtoss,468,68 Mea 6,96,473 95% Cofdece Lower Boud 6,676 Iterval for Mea Upper Boud 7,46 5% Trmmed Mea 6,949 Meda 6,98 Varace,984 Std. Devato,998 Mmum 5, Maxmum 9, Rage 4, Iterquartle Rage,69 Skewess,6,34 Kurtoss -,83,668 Mea 43,45,94 95% Cofdece Lower Boud 49,6 Iterval for Mea Upper Boud 433,84 5% Trmmed Mea 43,3 Meda 43, Varace 85,68 Std. Devato 9,5 Mmum 45 Maxmum 457 Rage 4 Iterquartle Rage 4 Skewess,99,39 Kurtoss -,9,68 Mea 43,4,8 95% Cofdece Lower Boud 47,87 Iterval for Mea Upper Boud 43,6 5% Trmmed Mea 43,3 Meda 43, Varace 68,34 Std. Devato 8,65 Mmum 45 Maxmum 445 Rage 3 Iterquartle Rage Skewess -,6,34 Kurtoss -,764,668

106 Öcek sayfada bulua tablou çdek statstklere br göz atalım. Br kısmı, şu a sze yabacı. Taıdıklar da var. Öreğ: Ortaöğretm Mezuyet Dereces: Kız öğrecler ç ortalama=6,96 Erkek öğrecler ç ortalama =6,387 Üverste Grş Puaı: Kız öğrecler ç ortalama=43,4 Erkek öğrecler ç ortalama =43,45 Brc Döem Döem ç başarı durumu (Vzeler Ortalaması): VzeOrt E Mea 43,93,647 95% Cofdece Iterval for Mea Lower Boud 4,64 Upper Boud 47,3 K 5% Trmmed Mea 44,4 Meda 46, Varace 65,396 Std. Devato,86 Mmum 9 Maxmum 66 Rage 47 Iterquartle Rage Skewess -,35,36 Kurtoss -,934,64 Mea 48,3,77 95% Cofdece Iterval for Mea Lower Boud 44,85 Upper Boud 5,76 5% Trmmed Mea 48,55 Meda 48, Varace 44,59 Std. Devato, Mmum Maxmum 7 Rage 5 Iterquartle Rage 6 Skewess -,74,34 Kurtoss -,94,668 Kızlar: ortalama=48,3 stadart sapma=, e yüksek=7 Erkekler: ortalama=43,93 stadart sapma=,86 e yüksek=66 Döem ç ara sıavlarda kızları daha başarılı olduğu söyleeblr.

107 Yıllar öce alıa yukarıdak ver çde keşfedlecek daha br çok şeyler olablr. Bua Keşfedc Ver Aalz der.

108 LABORATUAR ÇALIŞMASI 3 Ver Aalz II.Örek Amaç: Ye üretlmş br tavla zarıı düzgü olup olmadığı araştırılması. H : Zar düzgüdür x f ( x) H : Zar düzgü değldr. α= Zar 6 defa atıldığıda aşağıdak ver ortaya çıkmıştır. Gözlemler: Gözlee Değer Gözlee Frekas ( f ) g Beklee b Frekas( f ) g f g b b ( f ) f f b f / 9/ / / 4/ 6/ g b ( f ) f = = 3. < χ = chv(.95,5)=gamv(.95,5/,)=.75 b.95 = f p-değer= - chcdf(3.,5)=-gamcdf(3.,5/,)=.669 Karar: α =.5 alam düzeyde zarı düzgü olmadığı söyleemez.

109 SPSS çıktısı: NPar Tests Ch-Square Test Observed N Expected N Resdual,,,, 7, -3, 3,,, 4, 9, -, 5, 8, -, 6, 4, 4, Total 6 Test Statstcs VAR3 Ch-Square 3, df 5 Asymp. Sg.,669

110 .Örek Geellkle, boy uzuluğuu ormal dağılıma sahp olduğu söyler. Akara Üverstes Fe Fakültes Đstatstk Bölümü öğrecler ç, H : Öğrecler boy uzuluğu ormal dağılıma sahptr H : Değldr hpotez α=.5 alam düzeyde test etmek steyelm. 5 öğrec boy uzulukları (cm) aşağıdak gb gözlemştr. Ver: Ver ç hstogram çzdrelm ve görsel br değerledrme yapalım. Matlab: >>hst(ver) Görsel değerledrme: Normal dağılmış gb görüüyor. Matlab: k-kare uyum ylğ (ch-square goodess-of-ft) test soucu, >>chgof(ver,'cdf',{@ormcdf,mea(ver),std(ver)}) as = Karar: H : Öğrecler boy uzuluğu ormal dağılıma sahptr hpotez geçerl. ( H reddedlemez). α=?

111 3.Örek Akara Üverstes Fe Fakültes Đstatstk Bölümü öğrecler ağırlıklarıı Nµσ (, = 5) dağılıma sahp olduğu bls. H : µ= 7 ( kg) H : µ> 7 ( kg) hpotez, α=.5 alam düzeyde test edlmek stes. Ver: Matlab: >> ztest(ver,7,5,.5,'rght') as = Karar: H : 7 ( kg) µ= hpotez reddedlr. Varyası σ ble H µ = µ : N ( µ, σ ) ormal dağlımı parametres le lgl H : hpotez ç α alam düzeyl test: x µ z = hesaplaa σ / olmak üzere z > z hesaplaa α olduğuda H reddedlr, aks durumda reddedlmez. z hesaplaa x = =(mea(ver)-7)/(5/sqrt())= σ / µ z =ormv(.95,,)=ormv(.95)= z = > z hesaplaa = Karar: H : 7 ( kg) µ= hpotez reddedlr.

112 4.Örek Geellkle, boy uzuluğu le ağırlığı ormal dağılıma sahp olduğu ve aralarıda doğrusal br lşk olduğu dda edlr. Đk rasgele değşke arasıdak doğrusal lşk ölçütü olarak Pearso Korelasyo Katsayısıı kullaalım. Ktlede ormallk varsayımı altıda,. H : Ağırlık le Boy Uzuluğu doğrusal lşkszdr ( ρ= ) H : Đlşkldr ( ρ ) hpotez test edelm. Ağırlık (kg) Boy uzuluğu (cm) SPSS-Aalyze-Correlate-Bvarate-Pearso Boy Ağırlık uzuluğu Ağırlık Pearso Correlato,93(**) Sg. (-taled), N Boy Pearso Correlato,93(**) Sg. (-taled), N ** Correlato s sgfcat at the. level (-taled).

113 5.Örek Boy uzuluğu le ağırlığı ortak dağılımıı ormal olduğu söyleeblr. Ağırlık (Y kg) ve boy uzuluğu ( X cm) ç, Y Cov( X, Y ) ( Cov( X, Y )) N µ + Y ( x µ X ), σ X x Y = σx σ X σ ( Y ρ XY ) Cov ( ) ( X, Y E Y = µ + ) ( x µ ) Y X = β + βx X = x σx yazılablr. Gözlemler csde, ε N(, σ Y ), =,,..., Y = β + βx + ε, =,,..., ε ' ler bağımsız Cov( X, Y ) β = µ + µ Y X σ Cov( X, Y ) β = σx X ( Cov( X, Y )) σ = σ = σ ( ρ ) ε Y Y XY σ X yazılablr. ε hata term br tarafa, boy uzuluğu le ağırlık arasıda doğrusal br lşk olduğu söyleeblr. O zama, teraz bulumadığı zama, kolayca ölçüle boy uzuluğua koşullu olarak ağırlığı tahm edeblrz. Gözlemler, ( X, Y ),( X, Y ),( X, Y ),...,( X, Y ) 3 3 olmak üzere, β, β, σε = σ Y / X parametreler ç brer tahm edc, µ X, µ, σ X, σ Y, Cov( X, Y ) yere öreklem karşılıklarıı yazılmasıyla, Y ˆ β = Y ˆ β = = = = ( X X )( Y Y ) X ( X X ) = ( X X )( Y Y ) ( X X ) elde edlr. ( Y Y ) ( X X )( Y Y ) = = σ ε = SY RXY = ( X X ) ( Y Y ) = = ˆ ( ) ( )

114 Bell ağırlıkta ( x, x,..., x ) brmler seçp, buları Y, Y,..., Y boy uzuluklarıı gözlemesyle elde edle, ( x, Y ),( x, Y ),( x3, Y3 ),...,( x, Y ) gözlemler ç, ε N(, σ Y ), =,,..., Y = β + βx + ε, =,,..., ε ' ler bağımsız gb br Bast Doğrusal Regresyo Model yazılsı. ε = ( Y β βx ) = = Hata Kareler Toplamıı β, β üzerde mmum yapılmasıyla elde edle E Küçük Kareler Tahm Edcler buluuz.!!!

115 Y:Ağırlık (kg) X:Boy uzuluğu (cm) Mtab:

116 Scatterplot of Y vs x 9 8 Y x 8 9 Regresso Aalyss: Y versus x The regresso equato s Y = - 6 +,8 x Doğrusal Regresyou, serplmedek oktalar arasıda uygu br doğru geçrme şlem dye de düşüeblrz. Şmdlk, aşağıdaklere sadece br göz atıız. Predctor Coef SECoef T P Costat -6,3 9,35-6,, x,839,4 9,5, S = 4,68978 R-Sq = 83,4% R-Sq(adj) = 8,5%

117 Aalyss of Varace Source DF SS MS F P Regresso 986,7 986,7 9,33, Resdual Error 8 395,9, Total 9 38,6 (Regresyo ders almış br arkadaşıız üsttek çıktılar hakkıda, Her şey çok güzel görüüyor, ama dedkte sora, Normallk varsayımıı sağlaıp sağlamadığıa bakmak gerekr dyecektr. Ayrıca artık aalz yaptıız mı, dye de soracaktır.) Percet No rm al Pro b ab lt y Plo t o f t h e R esd u als - Resdual R esdual Plots for Y Resdual R esd u als Versu s t h e Ft t ed Valu es Ftted Value Hst o g ram o f t h e R esd u als R esd uals Versus t h e Ord er o f t he Dat a 5 Frequecy 6 4 Resdual Resdual O bservato O rder 6 8 Arkadaşıız: Đşler y değl. gözlemle hstogram da çzmşsz. Ou atı. Hstogramı üstüdek ormallk çzt y haberler vermyor. E soldak oktayı (gözlem) atarsaız, düzeleblr. Zate, artıkları serplme dyagramıdak altta sırıta okta da ayı gözleme attr. Çarese bakı. Acak, gözlem sırasıa göre, artıklar çok dspll görüüyor, braz yükselp, braz düşüyorlar, hür değller, durum y değl dyeblr. Bakarız, dey. Y x RESI SRES TRES HI COOK DFIT COEF FITS ,566 -,7763 -,7673,67,98 -,968-6,3 6, ,953 -,4499 -,4397,43,69 -,7973,84 8, ,75,667,5957,88,66,794 59, ,47,49,45,58,3, , ,4734,4,3,67,3,598 6, ,979 -,63 -,56,574, -,635 7, ,356,9437,946,535,5,375 64, ,75,894,89,88,3, , ,69,474,46,75,6, , ,946 -,7 -,4,5, -,463 67, ,65 -,3536 -,3448,57,37 -,848 63, ,3657 -,55 -,57,68,99 -, , ,378,6864,676,5,4,559 66, ,6343,589,579,68,3, , ,3755,956,93,997,9,685 89, ,7 -,6994 -,689,8,8 -,339 57, ,378,4677,4573,5,57,55 66, ,5644,866,8598,3,,476 48, , -,63 -,56,75,73 -,8 83, ,566-3,478-5,663,67,384 -, ,566 Yrmc gözlem her yerde ked göstermektedr. Üzerde düşümeye değer. Km bu? Ağırlığı 47 kg ve boyu 65 cm!?

118 6.Örek Aşağıdak çakıl taşlarıı yoğuluklarıı tahm etmek steyelm. ρ = m = ρv m (kütle) V (hacm) Gözlemler: Kütle- m(gr) 3 Hacm-V( cm ) 5,96,75,43 8,5 6,9,5 5,85 6, 4,33 5, 55,6 9, 4,8, 4,35,5 7,53, 4,7 5, 9,4 6,5 65,66 7, 63,65 5, 4,95,5 5,47 43,,4 4, m V m/v Ortalama: Taşları yoğuluğu ç:.5656 gr/ cm veya.5966 gr/ cm dyeblrz /4.78 = Her çakıl taşı ç farklı br yoğuluk ortaya çıkıyor. Bu taşları farklılığıda veya ölçme hatalarıda olablr.