DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I-

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- Dışbükeylik / İçbükeylik Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST38 Yöneylem Araştırması Dersi 0-0 Öğretim Yılı

Doğrusal olmayan programlama Gerçek hayatta karşılaşılan çoğu problem için geliştirilen karar modellerinin kısıtlarında ve amaç fonksiyonunda doğrusal ilişkileri gözlemek zordur. Karar modelinin kısıtlarından en az biri veya amaç fonksiyonunun doğrusal olmadığı durumlar için geliştirilen kavram ve teknikler Doğrusal Olmayan Programlama başlığı altında incelenmektedir.

Doğrusal Olmayan Karar Modelinin Genel Yapısı X : Karar değişkenleri vektörü, X(,, 3,, n ), g i () : i. Kısıtın ifadesi (i,,,m), b i : i. Kısıtın sağ taraf sabiti (i,,,m), f(x) : Amaç fonksiyonu ve en az bir g i (X) ve/veya f(x) doğrusal olmayan vektör fonksiyonları olmak üzere; f(x) fonksiyonunu eniyileyen X vektörünün bulunması. g i (X ) b i i,,..., m kısıtları altında Enyi Z f(x ) 3

DİKKAT! Doğrusal olmayan karar modellerinin çözümü için genel bir algoritma ve etkin bir yöntem geliştirilmemiştir. Amaç fonksiyonu ve kısıtların yapılarına göre, özel modellerin çözüm teknikleri söz konusudur. 4

Doğrusal Olmayan Karar Modeline Örnek Uygun Çözüm Alanı Eniyi nokta 5

Doğrusal Olmayan Karar Modeline Örnek Uygun Çözüm Alanı Eniyi nokta 6

Doğrusal Olmayan Karar Modeline Örnek 3 Maimize f() ( ) + ( ) subject to 3 6 + 3 + 7 3 4 5 4 3 3 4 5 7

Doğrusal Olmayan Karar Modeline Örnek 4 8

Doğrusal Olmayan Karar Modeline Örnek 5 8 Ma f(, ) s.t. 4 + 8, 0 f(, ) f(, ) 9

DIŞBÜKEY KÜME Verilen bir S kümesinin farklı her iki noktasının dışbükey bileşimiyle bulunan nokta (farklı her iki noktayı birleştiren doğru parçası) S kümesinin bir öğesi ise, S ye dışbükey küme denir. i, j S, 0 λ iken, 0 λ i + (- λ) j, i j için 0 S dışbükey dışbükey içbükey 0

Dışbükey bir uygun çözüm alanı Maimize f() ( ) + ( ) subject to 3 6 + 3 + 7 3 4 5 4 3 3 4 5

Dışbükey olmayan bir uygun çözüm alanı S {(, ) : (0.5 0.6) ; ( ) + 3( ) 7;, 0}

DIŞBÜKEY / İÇBÜKEY FONKSİYONLAR 3

DIŞBÜKEY FONKSİYON X(X, X,..., X n ); f(x), verilen bir S kümesinde tanımlı bir fonksiyon olsun., S,, 0 λ iken, izleyen eşitsizlik gerçekleşiyorsa f(x) dışbükey bir fonksiyondur. f [λ + (- λ) ] λf( )+ (- λ)f( ) f [λ + (- λ) ] < λf( )+ (- λ)f( ) ise, kesin dışbükey fonksiyon 4

f [λx + (- λ)x ] λf(x )+ (- λ)f(x ) f(x ) λf(x )+(- λ)f(x ) f(x ) f(λx +(- λ)x ) X λx +(- λ)x X 5

6

İÇBÜKEY FONKSİYON X(X, X,..., X n ) f(x), verilen bir S kümesinde tanımlı bir fonksiyon., S,, 0 λ iken, izleyen eşitsizlik gerçekleşiyorsa f(x) içbükey bir fonksiyondur. f [λ + (- λ) ] λf( )+ (- λ)f( ) f [λ + (- λ) ] > λf( )+ (- λ)f( ) ise, kesin içbükey fonksiyon 7

f [λx + (- λ)x ] λf(x )+ (- λ)f(x ) f(λx +(- λ)x ) f(x ) λf(x )+(- λ)f(x ) f(x ) X λx +(- λ)x X 8

f () 9

f() Ne dışbükey ne de içbükey olan fonksiyon 0

ÇALIŞMA KONUSU! f(x)ax+b şeklinde verilen bir doğrusal fonksiyonun hem içbükey hem de dışbükey bir fonksiyon olduğunu ispatlayınız. f(x)ax fonksiyonunun a nın pozitif değerleri için dışbükey, negatif değerleri için içbükey bir fonksiyon olduğunu ispatlayınız. İPUCU f(x )ax ; f(x )ax f [λx + (- λ)x ]a. ( λx + (- λ)x )

ÖZELLİKLER Doğrusal bir fonksiyon hem içbükey, hem dışbükey bir fonksiyondur. Dışbükey fonksiyonların toplamı da dışbükey bir fonksiyon, içbükey fonksiyonların toplamı da içbükey bir fonksiyondur. f(x) dışbükey iken, -f(x) içbükey bir fonksiyondur. f(x) içbükey iken, -f(x) dışbükeydir. Bir fonksiyon, belirli bir alt kümede dışbükey iken, başka bir alt kümede içbükey olabilir.

YEREL ENİYİLERLE BÜTÜNSEL ENİYİLER ARASINDAKİ İLİŞKİ 3

DIŞBÜKEYLİK ENİYİLİK İLİŞKİSİ Doğrusal olmayan programlamada, ele alınan fonksiyonun dışbükey veya içbükey olduğunun belirlenebilmesi son derece önemlidir. f() in tanımlı olduğu S kümesi içinde, X 0 in δ komşuluğu A olsun. Bu durumda,. Eğer f(), X 0 da yerel enküçük değerini alıyorsa, f(x), A kümesinde dışbükeydir.. Eğer f(), X 0 da yerel enbüyük değerini alıyorsa, f(x), A kümesinde içbükeydir. 4

f(), A kümesi içerisinde X 0 da yerel enbüyük değerini aldığından, f(x), A kümesinde içbükeydir. X 0 A 5

TEOREM X(,, 3,, n ) ve f(x) dışbükey bir kümede tanımlı fonksiyon olsun. Eğer f(x) dışbükey bir fonksiyon ve X 0, f(x) in yerel enküçük noktası ise, f(x), X 0 noktasında bütünsel enküçük değerini alır. Eğer f(x) içbükey bir fonksiyon ve X 0, f(x) in yerel enbüyük noktası ise, f(x), X 0 noktasında bütünsel enbüyük değerini alır. 6

Çok değişkenli içbükey bir fonksiyon, A noktası enbüyük nokta 7

Çok değişkenli dışbükey bir fonksiyon, B noktası enküçük nokta 8

Yerel eniyilerle bütünsel eniyiler arasındaki özellikler Bu iki özellik, dışbükey kümede tanımlı bir fonksiyonun dışbükey veya içbükey olması halinde, yerel eniyi (enküçük veya enbüyük) noktanın bütünsel eniyi nokta olduğunu belirtmektedir. Ancak, bunun tersi her zaman doğru değildir. Yani fonksiyonun bir yerel eniyi noktası varsa, bu nokta bütünsel eniyi olmayabilir, bu fonksiyon da dışbükey veya içbükey bir fonksiyon olmayabilir. 9

Fonksiyonun tanım aralığı içinde A, B ve C noktaları yerel enbüyük noktalar, C noktası bütünsel enbüyük nokta. Fonksiyon ne içbükey ne dışbükey. 30

Tanım aralığı içinde bir bütünsel enbüyük ve bir bütünsel enküçük noktaya sahip fonksiyon, fakat fonksiyon ne dışbükey ne içbükey. 3

Min {f() sin() : 0 5π} Birden fazla enbüyük ve enküçük noktaya sahip fonksiyon, fakat fonksiyon ne dışbükey ne içbükey. 3

Fonksiyon, her için, dışbükey veya içbükey değildir. Belirtilen eniyi çözümler, X S Eniyi f(x) modelinindir. Bu nedenle, bütünsel eniyi noktalar, fonksiyonun değil, modelin eniyi çözümleridir. Fonksiyonun bütünsel eniyi çözümü olduklarını belirtebilmek için, eniyi çözümlerin, X R Eniyi f(x) için geçerli olduğunun gösterilmesi gerekmektedir. 33

TÜREVİN ANLAMI (Hatırlatma) 34

35

36

37 Örnek: f() +9+3 fonksiyonunun 7 noktasında türevi? 3 3 h lim h 3h h lim h 5 3] 9h) (63 ) h 4h [(49 lim h 3] 9.7 [7 3] h) 9(7 h) [(7 lim h f(7) h) f(7 lim 0 h 0 h 0 h 0 h 0 h + + + + + + + + + + + + + +

Tanım f(x) fonksiyonunun a daki sağdan türevi soldan türevine eşitse fonksiyonun a da türevi vardır. 38

f (a) varsa, f fonksiyonu a da sürekli fonksiyondur. Tersi doğru olmayabilir! a da fonksiyon sürekli olup, türevi olmayabilir. f fonksiyonu a da sürekli değilse, türevli de değildir. 39

Örnek: f() fonksiyonunun 0 daki türevi? (0 da türevi olmayan fakat sürekli olan fonksiyon) ; ; < > 0 0 lim h 0+ f(0 + h) h f(0) lim h 0+ 0 + h h 0 lim h 0+ (0 + h) h (0) lim h 0+ h h lim h 0 f(0 + h) h f(0) lim h 0 0 + h h 0 lim h 0+ (0 + h) h (0) lim h 0 h h 40

4 Örnek: f() -4 fonksiyonunun deki türevi? ( de türevi olmayan fakat sürekli olan fonksiyon) 4 ) lim ( ) ( ) )( ( lim 0 4) ( lim 4 4 4 lim f() f() lim + + + + + + + > < 4); ( 4); ( 4 4 ) ( lim - ) ( ) )( ( lim 0 4) ( lim 4 4 4 lim f() f() lim + +

Örnek: İşaretli noktada türevli değil, sürekli değil. 4

Birinci türev (a, f(a)) f (a)0 (b, f(b)) f (b)0 a: Yerel enbüyük b: Dönüm noktası c: Yerel enküçük yf() (c, f(c)) f (c) YOK! f ()>0 a b c f ()<0 f ()<0 f ()>0 43

yf() fonksiyonunun birinci türevi 0 noktasında sıfıra eşitse ve; Türevin işareti, 0 ın solundan sağına giderken pozitiften negatife doğru işaret değiştiriyorsa yerel enbüyük, Türevin işareti, 0 ın solundan sağına giderken negatiften pozitife doğru işaret değiştiriyorsa yerel enküçük, Türevin işareti, 0 ın solundan sağına giderken işaret değiştirmiyorsa ne yerel enbüyük ne de yerel enküçük nokta vardır. 44

ÖRNEK b noktasında yerel enküçük f (b)0 f (b)>0 d noktasında yerel enbüyük f (d)0 f (d)<0 45

[a,b] aralığında f() azalan f ()<0 b noktasında yerel enküçük f (b)0 [b,d] aralığında f() artan f ()>0 d noktasında yerel enbüyük f (d)0 46

[a,c] aralığında f() dışbükey f ()>0 b noktasında yerel enküçük f ()>0 [c, ] aralığında f() içbükey f ()<0 d noktasında yerel enbüyük f ()<0 47

ÖRNEK f ()0 eşitliğini sağlayan 0 değerine kritik değer (yerel enbüyük veya dönüm noktası olabilir), f( 0 ) değerine de durağan değer (durgunluk değeri) denir. A, B,C ve D noktalarında birinci türev sıfır olup, fonksiyon bu noktalarda birer durgunluk değerine sahiptir. Ancak tüm durgunluk noktaları, birer uç değer anlamına gelmez. Şekil (a) ve (b) de birer durgunluk noktası olmasına rağmen, bir yerel eniyi yoktur. Buna karşın şekil (c) ve (d) deki durgunluk noktalarında sırasıyla bir enküçük ve enbüyük vardır. 48

49

50

ÖRNEK Üzerinde çalışılan yf() fonksiyonunun, sürekli ve türevlenebilir olduğu varsayılmaktadır.bazı durumlarda fonksiyonun birinci türevinin alınamadığı bir noktada da uçdeğer olabilir. (a) şeklinde, A ve B noktaları birer uçdeğer olmakla birlikte bu noktada fonksiyonun tanımlı türevi yoktur. (b) şeklinde ise C ve D noktalarında birer uçdeğer vardır ve bunu birinci ve ikinci türev sınamalarıyla anlayabiliriz. 5

(a) (b) (c) Sabit fonksiyon. Fonksiyonun üzerinde farklı değerlerine karşılık yer alan tüm y değerleri aynı olduğundan, bu değerleri eniyi değer olarak söyleyemeyiz. D noktası enküçük noktadır. Fonksiyon monotonik artan olduğundan, bir enbüyük noktaya sahip değildir. Fonksiyonun bir enbüyük noktası (E) bir de enküçük noktası (F), yani iki uç değeri vardır. 5

ÖRNEK 53

54

TEK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARIN DIŞBÜKEY / İÇBÜKEYLİĞİNİN BELİRLENMESİ 55

Teorem f(), verilen bir S dışbükey kümesinde tanımlı ve S için ikinci türevi alınabilir bir fonksiyon olsun. f() dışbükey bir fonksiyon S için f () 0 f() kesin dışbükey bir fonksiyon S için f ()>0 f() içbükey bir fonksiyon S için f () 0 f() kesin içbükey bir fonksiyon S için f ()<0 56

f() :tek değişkenli bir fonksiyon d f d 0 dışbükey fonksiyon d f d 0 içbükey fonksiyon 57

f() :tek değişkenli bir fonksiyon Hem içbükey hem dışbükey Ne içbükey ne dışbükey fonksiyon 58

ÖRNEK- f(), SR fonksiyonu f () f () S için f () 0 olduğundan fonksiyon dışbükey bir fonksiyondur. 59

ÖRNEK- f()e, SR fonksiyonu f () e f () e S için f () 0 olduğundan fonksiyon dışbükey bir fonksiyondur. 60

ÖRNEK-3 f (), S(0, ) fonksiyonu f '() f''() 4 3 / S için f () 0 olduğundan fonksiyon içbükey bir fonksiyondur. 6

ÖRNEK-4 f()a+b, SR fonksiyonu f () a f () 0 S için f () 0 olduğundan fonksiyon hem dışbükey hem içbükey bir fonksiyondur. 6

ÖRNEK-5 f()(-), 0 f ()3-8+4 f ()6-8 Bazı 0 için f () 0, bazı 0 için f () 0 olduğundan fonksiyon ne içbükey ne dışbükey bir fonksiyondur. 63

ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARIN DIŞBÜKEY / İÇBÜKEYLİĞİNİN BELİRLENMESİ 64

TANIM: Kısmi türev X(,,..., n ), bir S R n kümesinde tanımlı olan f(x) sürekli ve ikinci derece kısmi türevleri alınabilir bir fonksiyon olsun. f(x) fonksiyonunun i ye göre kısmi türevi izleyen şekilde tanımlanır: f() i Lim h 0 f (,,..., i + h,..., n ) h - f(,,..., i,..., n ) 65

66 TANIM: Hessian Matrisi X(,,..., n ), bir S R n kümesinde tanımlı olan f(x) sürekli ve ikinci derece kısmi türevleri alınabilir bir fonksiyon olsun. f(x) fonksiyonunun Hessian matrisi izleyen şekilde tanımlanır. n n j i f f H

67 n n j i f f H n n n n n n n n f f... f f............ f... f f f... f f ),...,, H( H

Eğer verilen bir noktada f(x) in ikinci kısmi türevleri var ve f(x) bu noktalarda sürekli ise, i ve j için; i f j j f i Hf, simetrik ve kare bir matristir. 68

69 ÖRNEK: f(, ) 3 + + f 3 f + + 6 ), H(

Tanım: Asal minör Bir nn boyutlu kare matrisin k. asal minörü, son (n-k) satırın ve (n-k) sütunun matristen çıkarılmasıyla elde edilen (kk) boyutlu matrisin determinantıdır. 70

7 ÖRNEK- 4 A A minör asal Birinci 3 4 A minör asal İkinci 6 4 A minör asal Üçüncü 3

ÖRNEK- f(, ) 3 + + H(, ) 6 Birinci asal minör H (, ) 6 6 6 H İkinci asal minör (, ) 4 7

Tanım : Bir matrisin belirliliği A, nn boyutlarında kare ve simetrik bir matris olsun. A matrisi pozitif belirlidir A nın tüm asal minörleri >0 A matrisi pozitif yarı belirlidir A nın tüm asal minörleri 0 A matrisi negatif belirlidir A nın k. mertebe asal minörü (-) k ile aynı işareti taşıyorsa (Asal minörlerin işareti (-, +, -, +,...) şeklinde ise) A matrisi negatif yarı belirlidir A nın her tek sıralı asal minörü 0 ve her çift sıralı asal minörün işareti 0 ise ( Sıfırdan farklı her asal minörün işareti (-) k ile aynı) Yukarıdakilerin dışında bir durum varsa, A matrisi belirsizdir. 73

Tanım: Çok değişkenli bir fonksiyonun dışbükey / içbükeyliği X(,,..., n ), bir S R n kümesinde tanımlı olan f(x) sürekli ve X S için ikinci derece kısmi türevleri alınabilir bir fonksiyon olsun. f(x) dışbükey bir fonksiyon X S için H f pozitif belirli/pozitif yarı belirli ise. f(x) içbükey bir fonksiyon X S için H f negatif belirli/negatif yarı belirli ise. 74

75 ÖRNEK-: f(,, 3 ) + + 3 - - 3-3 ; SR 3 4 f 3 3 3 i 4 H f 0 H > 0 3 4 H > 0 6 4 H 3 > X S için H f pozitif belirli olduğundan f(x) fonksiyonu DIŞBÜKEY bir fonksiyondur.

76 ÖRNEK-: f(, )- - - ; SR 4 f i 4 H f 0 H < 0 7 8 4 H > X S için H f negatif belirli olduğundan f(x) fonksiyonu İÇBÜKEY bir fonksiyondur. (Asal minörlerin işareti : -, +)

ÖRNEK-3: f(, ) + -3 ; SR f i 4 3 3 H f 3 3 4 H > 0 3 H 8 9 < 3 4 0 Asal minörlerin işareti : +, - olduğundan f(x) fonksiyonu belirli değildir. (Ne içbükey ne dışbükey) 77

ÖRNEK-4: f(, ) + + ; SR f i + + H f H > 0 H 4 4 0 X S için H f pozitif yarı belirli olduğundan f(x) fonksiyonu DIŞBÜKEY bir fonksiyondur. 78

ÖRNEK-5: 79

ÖRNEK-6: " $ $ H f $ $ # $ 0 0 0 % ' ' ' ' &' 80

ÖRNEK-7: İkinci kısmi türevlerin hepsi sıfırdır. Hf(X) hem pozitif yarı belirli, hem de negatif yarı belirli olduğundan, f(x) fonksiyonu hem içbükey hem dışbükey bir fonksiyon yani doğrusal bir fonksiyondur. 8