Optimal Kontrol. Optimizasyonun Temelleri

Transkript

1 Optimal Kontrol Bölüm 4 Optimizasyonun Temelleri Ibrahim Beklan Küçükdemiral Hakan Yazıcı Yıldız Teknik Üniversitesi, Istanbul, Türkiye 13 Aralık 2014 Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 4 13 Aralık / 41

2 Neler Göreceğiz? Bu bölümde sürekli zaman sistemlerinin optimizasyonu konusunu anlamak için gerekli olan temel konulara ve tanımlamalara değinilecektir. Ele alacağımız dışbükeylik dışbükey kümeler ve dışbükey fonksiyonlar dışbükey fonksiyonların minimum ve maksimumları ileri bölümlerde üzerinde duracağımız dışbükey optimizasyon için gerekli olan altyapıyı tesis edecektir. Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 4 13 Aralık / 41

3 Optimizasyon Nedir? Tanım Optimizasyon kelimesini, günlük hayattaki problemlerde elde edebileceğimiz çözüm kümelerinden veya ihtimallerinden bizim için en iyisini seçmek olarak tanımlayabiliriz. Hangi alanlarda kullanılır? Teknik bilim dalları olan elektrik, makina ve kimya mühendisliğinde, biyolojik ve ekolojik sistemler ile ekonomide, bu konunun bir çok örneğine rastlamak mümkündür. Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 4 13 Aralık / 41

4 Matematiksel Optimizasyon Problemi Genel olarak bir optimizasyon problemi, matematiksel olarak inf z f (z) Kısıt : z S Z, (1) şeklinde ifade edilebilir. Burada z karar değişkenini veya birden çok karar değişkeni mevcutsa, karar değikenlerini içeren vektörü S kümesi, Z gibi bir uzay içinde, optimizasyonu gerçekleştirilecek karar değişkeninin tanımlandığı bölgeyi ya da kümeyi göstermektedir. f : Z R fonksiyonu ise her bir z değişkenini, f (z) R maliyet ifadesi ile eşleştirmektedir. f fonksiyonuna, maliyet fonksiyonu ya da ceza fonksiyonu adı verilir. Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 4 13 Aralık / 41

5 Matematiksel Optimizasyon Problemi Sıklıkla, inf f (z) (2) z S Z ifadesi, kolaylığı ve sadeliği sebebi ile (1) yerine kullanılmaktadır. (2) probleminin çözümü en düşük maliyet olan f ın hesaplanmasıdır. Açıktır ki f = inf f (z) z S Z Burada f değerine (2) probleminin optimal değeri adı verilir ve z S için f (z) f eşitsizliği geçerlidir. Ayrıca ɛ > 0 sayısı için f (z) f + ɛ koşulunu sağlayan bir z S mevcuttur. Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 4 13 Aralık / 41

6 Matematiksel Optimizasyon Problemi f = ise bu durumda problem alttan sınırlıdır. S kümesi boş bir küme ise optimizasyon problemi çözümsüz olarak nitelendirilir ve f = + olarak belirlenir. S = Z ise optimizasyon problemi kısıtlamasız bir optimizasyon problemi olarak adlandırılır. Genellikle, optimizasyon problemlerinde, optimal çözüm olarak ifade edilen z S çözümü aranır. z, daima, f (z ) = f eşitliğini sağlar. İlgili eşitliği sağlayan bir z mevcut ise, (2) optimizasyon problemi f = min f (z) = f z S Z (z ) (3) şeklinde ifade edilebilir. z değişkenine en iyileyici ya da optimal çözüm adı verilir. Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 4 13 Aralık / 41

7 Matematiksel Optimizasyon Problemi Optimal Çözüm şeklinde ifade edilir. arg min z S f (z) = {z S : f (z) = f } Optimal çözüm kümesinin boş olup olmadığını belirlemeye yönelik taramaya varlık taraması adı verilir ve ilgili küme boş değilse, optimizasyon probleminin çözümü mevcuttur denir. Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 4 13 Aralık / 41

8 Dışbükey Optimizasyon Dışbükey optimizasyon, optimizasyon konusunun bir alt dalıdır ve dışbükey maliyet fonksiyonlarının, dışbükey kümeler üzerinde minimizasyonu ile ilgilenir. Dışbükeylik, icra edilen minimizasyon problemini daha kolay çözülebilir hale getirir ve varsa, çözümün evrensel olmasını garanti altına alır. Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 4 13 Aralık / 41

9 Dışbükey Kümeler ve Dışbükey Fonksiyonlar Dışbükey Küme S X kümesi verilmiş olsun. Her λ (0, 1), x S ve y S için λx + (1 λ)y S özelliği sağlanıyor ise, S kümesi, dışbükey bir kümedir. Not x ve y gibi iki nokta verildiğinde, λ (0, 1) için λx + (1 λ)y, bu iki noktayı birleştiren düz bir doğru parçasından başka bir şey değildir. Bir kümenin dışbükey bir küme olabilmesi için, kümenin içinden seçilen herhangi iki noktayı birleştiren doğru parçasının, ilgili kümenin dışına asla çıkmaması gerekir. Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 4 13 Aralık / 41

10 Dışbükey Kümeler ve Dışbükey Fonksiyonlar S 1 x S 2 y (a) (b) Şekil: (a) Dışbükey olmayan bir küme (b) Dışbükey küme. Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 4 13 Aralık / 41

11 Örnek A R n n bir sistem matrisi olsun. Ayrıca χ, A T X T + XA 0 doğrusal matris eşitsizliğini (DME) sağlayan X T = X 0 matrislerinin oluşturduğu bir küme olsun.χ kümesinin dışbükey bir küme olduğunu gösteriniz. Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 4 13 Aralık / 41

12 Çözüm X 1 ve X 2 χ olsun. Bu durumda kümenin elemanlarının taşıdığı ortak özellikler sebebi ile X 1 = X1 T 0 ve X 2 = X2 T 0 dır. Ayrıca,A T X1 T + X 1A 0 ve A T X2 T + X 2A 0 eşitsizlikleri geçerlidir. İlgili küme bir dışbükey küme ise, her λ (0, 1) değeri için, λx 1 + (1 λ)x 2 matrisi, χ nin bir elemanı olmalıdır ve her λ (0, 1) değeri için λx 1 + (1 λ)x 2 matrisi simetrik olmalıdır. Öncelikle ilgili matrisin her λ (0, 1) için simetrik olup olmadığını irdeleyelim. Açıktır ki, λx 1 + (1 λ)x 2 = λx T 1 + (1 λ)x T 2 = (λx 1 + (1 λ)x 2 ) T yazılabildiğinden, λx 1 + (1 λ)x 2 simetrik bir matristir. Ayrıca, X 1 0 olduğunda, λ (0, 1) olduğu için λx 1 0 olacaktır. Diğer taraftan X 2 0 olduğunda, λ (0, 1) olduğu için (1 λ)x 2 0 dır. Bu durumda, λx 1 + (1 λx 2 ) 0 sonucuna varılır. Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 4 13 Aralık / 41

13 Çözüm (devam) Son olarak her λ (0, 1) için A T (λx 1 + (1 λ)x 2 ) + (λx 1 + (1 λ)x 2 )A = λ(a T X 1 + X 1 A) + (1 λ)(a T X 2 + X 2 A) 0 elde edilir. Bu eşitsizlik bize, χ kümesinin dışbükey bir küme olduğu sonucunu verir. Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 4 13 Aralık / 41

14 Dışbükey Fonksiyonlar Dışbükey Fonksiyon S χ bir dışbükey küme olmak üzere, f : S R fonksiyonu, her x, y S ve her λ (0, 1) için f (λx + (1 λ)y) λf (x) + (1 λ)f (y) sağlanıyorsa, dışbükey bir fonksiyondur. Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 4 13 Aralık / 41

15 Dışbükey Fonksiyonlar f(x) f(λx + (1 λ)y) f f(λx + (1 λ)y) f f(y) f(x) f(y) x y x y λx + (1 λ)y (a) λx + (1 λ)y (b) Şekil: (a) Dışbükey fonksiyon (b) Dışbükey olmayan fonksiyon. Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 4 13 Aralık / 41

16 Örnek dışbükey fonksiyonlar 1 f (x) = ax + b, a, b R 2 a R olmak üzere f (x) = e ax 3 x R +, α 1 ve α 0 için f (x) = x α 4 x R ve p 1 olmak üzere f (x) = x p 5 x R + olmak üzere f (x) = x log x 6 X = X T R n n olmak üzere f (X ) = log det(x 1 ) Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 4 13 Aralık / 41

17 Jensen Eşitsizliği f ( ), dışbükey bir küme üzerinde tanımlanmış, dışbükey bir fonksiyon olsun. Bu durumda her λ i 0 ve n i=1 λ i = 1 için f ( n ) λ i x i i=1 n λ i f (x i ) i=1 eşitsizliği geçerlidir. Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 4 13 Aralık / 41

18 Dışbükeyliğin Gerek ve Yeter Koşulları 1. Mertebeden gererek ve yeter koşullar Verilen bir dışbükey S kümesi üzerinde tanımlanmış f C 1 fonksiyonu, ancak ve ancak x, y S için koşulunu sağlanıyorsa, dışbükeydir. f (x) + x f (x)(y x) f (y) 2. Mertebeden gerek ve yeter koşullar Verilen bir dışbükey S kümesi üzerinde tanımlanmış f C 2 fonksiyonu, ancak ve ancak 2 xf (x) 0, x S ise dışbükeydir. Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 4 13 Aralık / 41

19 Dışbükey Fonksiyonların Minimumu ve Maksimumu Yerel minimum= Evrensel minimum f, S gibi bir dışbükey küme üzerinde tanımlı, dışbükey bir fonksiyon olsun. Bu durumda, bir x S noktası, f fonksiyonunun yerel bir minimumu ise aynı zamanda evresel minimumudur. İspat: f dışbükey bir fonksiyon ve x S noktası, f yerel bir minimumu olsun. Ancak bu nokta evrensel minimum olmasın. = z S, f (z ) < f (x ) Bu koşul altında, ve f fonksiyonunun dışbükey olması sebebi ile, her λ (0, 1) için eşitsizliği yazılabilir. f (λx + (1 λ)z ) λf (x ) + (1 λ)f (z ) < λf (x ) + (1 λ)f (x ) = f (x ) Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 4 13 Aralık / 41

20 Dışbükey Fonksiyonların Minimumu ve Maksimumu İspatın devamı Şimdi λ sayısını 1 e çok çok yakın seçelim. Bu durumda, x in yakın komşuluğu söz konusu olacaktır ve x noktasının yerel bir minimum nokta olması sebebi ile x = λx + (1 λ)z seçimi altında f (x ) < f (x) sağlanacaktır. Bu ise bir çelişki yaratır. Yani z gibi bir nokta asla mevcut olamaz. Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 4 13 Aralık / 41

21 Dışbükey Optimizasyon Probleminin Tanımı Tanım Bir dışbükey optimizasyon problemi min kısıtlar : f (x) x S yapısındadır. Dışbükey optimizasyonun, genel optimizasyon probleminden yegane farkı, f fonksiyonunun dışbükey olması ve dışbükey bir küme olan S üzerinde tanımlanmış olmasıdır. Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 4 13 Aralık / 41

22 Dışbükey Optimizasyon Probleminin Tanımı Açık kümeler için dışbükey optimizasyon tanımı Şayet S kümesi kapalı bir küme değilse; yani sınırları kümenin içinde yer almıyorsa, bu durumda optimizasyon problemi inf kısıtlar : f (x) x S şeklinde tanımlanır. Burada inf ibaresi, infimum operasyonunun kısaltılmış gösterimidir ve ilgili kümenin en büyük alt sınırıdır. Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 4 13 Aralık / 41

23 Yarı-Tanımlı Programlama ve Doğrusal Matris Eşitsizliklerine (DME lere) Giriş Genel yapı Dışbükey optimizasyonun bir alt sınıfı olan yarı-tanımlı optimizasyon konusu, doğrusal bir amaç ölçütünün, yarı-tanımlı bir matris koşulunu sağlayan değişkenlerin yer aldığı bir uzay üzerinde minimizasyonu ya da maksimizasyonu ile ilgilenir. Yarı-tanımlı programlamada, optimizasyon probleminin genel yapısı min Kısıtlar : c T x F 0 + n i=1 x if i 0 şeklindedir.burada x R n karar değişkenlerini; c R n sabit ağırlık vektörünü, F i R n n matrisleri ise, kısıtları oluşturan uygun boyutlu simetrik sabit matrisleri ifade etmektedirler. Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 4 13 Aralık / 41

24 DME lere Giriş Örnek [ ] x1 + x F (x) = 2 x eşitsizliğini DME formunda ifade ediniz? x x 3 Çözüm [ ] [ ] [ ] F (x) 0 matris eşitsizliği, F 0 =, F =, F = ve 1 0 [ ] 0 0 F 3 = seçimleri altında, genel bir DME şeklinde ifade edilebilir. 0 1 Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 4 13 Aralık / 41

25 DME lere Giriş Örnek Aşağıdaki matris eşitisizlikleri X = X T matris değişkenine göre birer DME midir? Belirleyiniz. 1 f (X ) = A T X + XA + Q 0, Q = Q T 2 f (X ) = A T XA X + Q 0 [ 3 X A f (X ) = T ] X 0 XA X 4 f (µ, X ) = µ iz{cxc T } 0 Çözüm Tüm eşitsizliklerde, X değişkeni doğrusal formda yer almaktadır. Arıca, son eşitsizlikte, iz( ) fonksiyonu doğrusal bir fonksiyondur. Diğer taraftan, tüm eşitsizliklerin her iki tarafı da simetrik yapıdadır. Bu nedenle, eşitsizliklerin tamamı, DME olarak nitelendirilebilir. Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 4 13 Aralık / 41

26 Bazı Önemli DME ler Birden çok DME tek bir DME şeklinde ifade edilebilir. Örneğin F x 1 F x n F 1 n 0 F m 0 + x 1 F m x n F m n 0 şeklinde, m adet DME verilmiş olsun. Kolaylıkla gösterilebilir ki bu eşitsizlikler toplu olarak F F.... n 1 k 0. + x k F0 m k=1 0 Fk m olacak şekilde tek bir DME olarak yazılabilir.. Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 4 13 Aralık / 41

27 Bazı Önemli DME ler Schur Tümleyeni Aşağıdaki önermeler eşdeğerdir: [ ] 1 Q S S T 0 R 2 Q 0 ve R S T Q 1 S 0 3 R 0 ve Q S T R 1 S 0 İspat [ ] I 0 (1) nolu DME nin her iki tarafı, soldan S T Q 1, sağdan I [ I Q 1 ] [ ] S Q 0 ile çarpılırsa 0 I 0 R S T Q 1 0 elde edilir. Bu koşul S bir önceki özellikten dolayı (2) nolu koşula eşdeğerdir. Tersine, (2) nolu koşulun, (1) nolu eşitsizliği sağladığı ve (1) ile (3) nolu eşitsizliklerin eşdeğer olduğu da benzer şekilde kolaylıkla gösterilebilir. Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 4 13 Aralık / 41

28 Bazı Önemli DME ler Ölçekleme Özelliği F (X ), X matris değişkenine bağlı bir DME olsun. Bu durumda F (X ) 0 ise her α > 0 sayısı için F (αx ) 0 dır. Not Bu özellik çoğu zaman nümerik problemlere yol açabilmektedir. Muhtemel bu sorunların önüne geçmek için, fazladan koşullar, ya da normalizasyonlar kullanır. Örneğin, aynı varlık koşullarının yanı sıra, X matrisinin, Iz(X ) = 1 eşitliğini de sağlaması durumunda bu türden bir nümerik sorun giderilmiş olur. Zira bir matrisin izi ilgili matrisin özdeğerlerinin toplamıdır. Bu nedenle ilgili matris izinin 1 e eşitlenmesi, matrisin büyük değerler almasını önleyecektir. Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 4 13 Aralık / 41

29 Bazı Önemli DME ler S-Prosedürü F 0 (x) + q i=1 τ if i (x) 0, τ i 0 = F 0 (x) 0, F i (x) 0, i = 1,..., q Örnek DME sini, [ x z ] T [ A T P + PA PB B T P 0 ] [ ] x 0 (4) z z T z x T C T Cx (5) eşitsizlik koşulu altında sağlayan bir P = P T 0 matrisinin bulunması arzu edilsin. Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 4 13 Aralık / 41

30 Örnek, devam (5), (x T C T Cx z T z) 0 eşitsizliğine eşdeğerdir. Bu da [ ] T [ x C T ] [ ] C 0 x 0 (6) z 0 I z şeklinde yazılabilir. Bu durumda, (4) ve (6) karesel eşitsizlikleri, tek bir DME koşulu olarak, P 0 ve τ > 0 değişkenleri için [ A T P + PA + τc T ] C PB B T 0 P τi DME sine dönüştürülebilir. Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 4 13 Aralık / 41

31 DME lerin Çözümü ve Bilgisayar Araç Kutuları Günümüzde DME lerinin çözümü için oldukça ektili, hızlı çalışan ve güvenilir nümerik yöntemler mevcuttur. Özellikle, geçmişte çözülemeyen pek çok büyük ölçekli nümerik optimizasyon problemi, işlemci hızlarının artması ve teknolojik gelişmelere paralel olarak etkin bir şekilde çözülebilir hale gelmiştir. Genel olarak bakıldığında, DME ler cinsinden kısıtlar içeren dışbükey optimizasyon problemlerinin çözümünde iki ana yöntem kullanıldığı göze çarpmaktadır. Bu yöntemler Elipsoit Yöntemi İç Nokta Yöntemleri Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 4 13 Aralık / 41

32 YALMIP Araç Kutusu Günümüzde, yarı-tanımlı programlama problemlerinin çözümünde kullanılabilen en etkin araç kutusu, MATLAB programı için geliştirilmiş olan, YALMIP isimli tamamen ücretsiz araç kutusudur. YALMIP, oldukça gelişmiş bir modelleme programı olup, dışbükey ve içbükey optimizasyon problem çözücüsüdür. YALMIP i, MATLAB Robust Control Toolbox gibi ticari benzerlerinden ayıran en önemli özellikler, hızlı algoritma geliştirilmesine olanak sağlaması ve ücretsiz bir uygulama oluşudur. Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 4 13 Aralık / 41

33 YALMIP Araç Kutusu YALMIP programlama dili bir modelleme dilidir ve yüksek seviyede yazılmış olan optimizasyon problemlerini, ilgili problemin çözümünde kullanılan çözücünün anlayacağı dile dönüştürmektedir. Bu açıdan bakıldığında, YALMIP araç kutusunu, bilgisayar arayüzü ile çözücü arasında çalışan bir derleyici olarak düşünebiliriz. Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 4 13 Aralık / 41

34 YALMIP Araç Kutusu Doğrusal programlamada: CDD, CLP, GLPK, LPSOLVE, QSOFT, SCIP, CPLEX, GUROBI, LINPROG, MOSEKXPRESS Karmaşık tamsayı doğrusal programlamada: CBC, GLPK, LPSOLVE, SCIP, CPLEX, GUROBI, MOSEK Karesel programlamada: BPMPD, CLP, OOQP, QPC, qpoases, quadprogbb İkinci mertebeden koni programlamada: ECOS, SDPT3, SEDUMI, CPLEX, GUROBI, MOSEK Yarı-tanımlı programlamada: CSDP, DSDP, LOGDETPPA, PENLAB, SDPA, SDPLR, SDPT3, SDPNAL, SEDUMI, LMILAB, PENBMI, PENSDP YALMIP tarafından desteklenmektedir. Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 4 13 Aralık / 41

35 YALMIP Araç Kutusu ve Komutları Komutlar YALMIP in en önemli komutu sdpvar komutudur ve karar değişkenlerinin tanımlanmasında kullanılır. Örneğin P gibi n m boyutlu bir matris değişkeni tanımlamak için P = sdpvar(n,m) komutu kullanılır. YALMIP kodlamasında kare matrisler varsayılan olarak simetrik kabul edilir. P değişkenini yapısal olmayan bir matris olarak tanımlayabilmek için komutu kullanılmalıdır. P = sdpvar(n,n, full ) Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 4 13 Aralık / 41

36 Şayet tanımlanması gereken D matrisi, özel bir matris ise; örneğin, n n boyutlu bir köşegen matris ise x = sdpvar(n,1); D = diag(x); komutları kullanılabilir. Diğer taraftan, n n boyutlu bir Hankel yapısına sahip bir matris değişkeni tanımlamak için komutları kullanılmalıdır. x = sdpvar(n,1); H = hankel(x); Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 4 13 Aralık / 41

37 Örneğin bir 3 3 boyutlu bir P matrisinin pozitif tanımlılık koşulu n = 3; P = sdpvar(n,n); C = [P>=0]; komut takımı ile kolaylıkla tanımlanabilir. Not Birden fazla koşul varsa, bu durumda bu koşullar, aşırı yüklenmiş + sembolü ile yan yana dizilir. P = sdpvar(2,2); C = [P>=0] + [P(1,1)>=2]; komut takımı vasıtası ile bir P [ ] a b b c matrisi tanımlanmakta ve bu matris ile matrisin (1, 1) elemanının sağlaması gereken koşullar sırası ile P 0 ve a 2 şeklinde ifade edilmektedir. Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 4 13 Aralık / 41

38 YALMIP Araç Kutusu ve Komutları YALMIP altında, verilen bir DME yi veya herhangi bir optimizasyon problemini çözmek için kullanılan en önemli komut optimize komutudur. İlgili komutun söz dizimi ise şu şekildedir: diagnostics = optimize(constraints,objective,options) Burada Constraints, değişkenlerin sağlaması gereken koşulları, Objective değişkeni, minimizasyonu yapılmak istenen amaç ölçütünü ve son olarak options, ilgili komutun kullanım seçeneklerini ifade etmektedir. Şayet, sadece kısıtların geçerli bir çözümünün var olup olmadığı sorgulanıyorsa ve herhangi bir optimizasyon yapılmayacaksa bu durumda Objective paramatresinin optimize komutu altında belirtilmesine gerek yoktur. Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 4 13 Aralık / 41

39 optimize komutunun kullanılmasını müteaakiben, bulunan çözümün belirtilen DME kısıtlarını gerçekten sağlayıp, sağlamadığı mutlaka kontrol edilmelidir. Bu işlem iki türlü gerçekleştirilebilir. 1 bulunan optimizasyon değişkenlerinin sayısal değerlerinin problem kısıtlarında yerine konulması ve ilgili DME kısıtlarının özdeğerlerinin kontrol edilmesidir. (Güvenilir ancak Yavaş) 2 check komutunu (eski adıyla checkset) kullanmaktır.(hızlı ancak güvenilir değil) Komutun kullanımı: (F, DME kısıtlarını ifade ederse) [primalfeas,dualfeas] = check(f); Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 4 13 Aralık / 41

40 Örnek Uygulamalar ẋ(t) = Ax(t) homojen sisteminin kararlı olup olmadığını DME ler kullanarak irdeleyelim. Örneğimizde, A sistem matrisi, A = şeklinde olsun. Not Lyapunov Kararlılık Kriteri gereğince, bu türden bir homojen sistem, ancak ve ancak A T P + PA 0 DME sini sağlayan simetrik bir P 0 mevcutsa kararlıdır. Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 4 13 Aralık / 41

41 Bunun için öncelikle DME değişkenlerini ve sabit sistem matrisi A yı tanımlamalıyız. A R 3 3 olduğu için, P matrisi de aynı boyutta olmalıdır. Bu bilgiler ışığı altında ilgili komutlar A = [-1 2 0;-3-4 1;0 0-2]; P = sdpvar(3,3); şeklinde olacaktır. P matris değişkeni tanımlandıktan sonra yapılması gereken işlem ise, DME kısıtlamalarını tanımlamaktır. Bunun için F = [P >= 0, A *P+P*A <= 0]; F = [F, trace(p) == 1]; komut seti kullanılabilir. Son aşamada ise optimize(f); Pfeasible = value(p); ile çözüm bulunur. Burada Pfeasible, Lyapunov eşitsizliğini sağlayan çözümlerden birisidir. Küçükdemiral, Yazıcı (Y.T.Ü) Bölüm 4 13 Aralık / 41