Ksm I. Simgeler ve Terimler

Ksm I Simgeler ve Terimler 1

Bölüm 1 S MGELER ve TER MLER 1.1 KÜMELER CEB R 1.2 FONKS YON 1.3 DENKL K BA INTISI 1.4 SIRALAMA BA INTILARI 1.5 SEÇME AKS YOMU SEÇME AKS YOMU ve E DE ERLER 3

4 BÖLÜM 1. S MGELER VE TER MLER

Ksm II Topolojik Yaplar 5

Bölüm 2 TEMEL TOPOLOJ KAVRAMLARI 2.1 AÇIK KÜMELER 2.1.1 PROBLEMLER 1. Bir, iki, üç ö eli kümeler üzerinde kurulabilecek bütün topolojik yaplar kurunuz. (a) Bir ö eli küme X = {a} olsun. T = {, {a}} = {, X} ailesi X üzerinde bir topolojidir. Gerçekten, T ailesi yalnzca iki kümeden olu³tu u için T1 T, X T T2 X = T T3 X = X yazlabilir. O halde T ailesi X kümesi üzerinde bir topolojidir. Bir ö eli X kümesi üzerinde ba³ka topoloji yoktur. (b) ki ö eli küme X = {a, b} olsun. Bu küme üzeride a³a daki dört topoloji kurulabilir. T 1 = {, {a, b}} T 2 = {, {a}, {a, b}} T 3 = {, {b}, {a, b}} T 4 = {, {a}, {b}, {a, b}} (c) Üç ö eli küme X = {a, b, c} olsun. Bu küme üzeride a³a daki 29 topoloji kurulabilir. 7

8 BÖLÜM 2. TEMEL TOPOLOJ KAVRAMLARI T 1 = {, {a, b, c}} T 2 = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} T 3 = {, {a}, {a, b, c}} T 4 = {, {b}, {a, b, c}} T 5 = {, {c}, {a, b, c}}. T 6 = {, {a, b}, {a, b, c}} T 7 = {, {a, c}, {a, b, c}} T 8 = {, {b, c}, {a, b, c}}. T 9 = {, {a}, {a, b}, {a, b, c}} T 10 = {, {b}, {a, b}, {a, b, c}} T 11 = {, {c}, {a, b}, {a, b, c}}. T 12 = {, {a}, {a, c}, {a, b, c}} T 13 = {, {b}, {a, c}, {a, b, c}} T 14 = {, {c}, {a, c}, {a, b, c}}. T 15 = {, {a}, {b, c}, {a, b, c}} T 16 = {, {b}, {b, c}, {a, b, c}} T 17 = {, {c}, {b, c}, {a, b, c}}. T 18 = {, {a}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c}} T 19 = {, {b}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c}} T 20 = {, {c}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c}}. T 21 = {, {a}, {a, b}, {b, c}, {a, b, c}} T 22 = {, {b}, {a, b}, {b, c}, {a, b, c}} T 23 = {, {c}, {a, b}, {b, c}, {a, b, c}}. T 24 = {, {a}, {b, c}, {a, c}, {a, b, c}} T 25 = {, {b}, {b, c}, {a, c}, {a, b, c}} T 26 = {, {c}, {b, c}, {a, c}, {a, b, c}}. T 27 = {, {a}, {b}, {a, b}, {a, b, c}} T 28 = {, {b}, {c}, {b, c}, {a, b, c}} T 29 = {, {a}, {c}, {a, c}, {a, b, c}} 2. Bo³ olmayan bir X kümesi ile bir a X ö esi verilsin. Bo³ küme ile a ö esini içeren bütün alt kümelerin; yani T = {A X : (A = ) (a A)} ailesinin X kümesi üzerinde bir topoloji oldu unu gösteriniz.

2.1. AÇIK KÜMELER 9 T1 T veriliyor. a X oldu undan X T çkar. T2 T 1, T 2 T ise a T 1 ve a T 2 olaca ndan a T 1 T 2 olur. T3 T ı T, (ı I) ise a T ı, (ı I) olaca ndan a T ı, (ı I) olur. 3. Her hangi bir X kümesi üzerinde bo³ küme ile tümleyenleri saylabilir olan kümeler ailesinin; yani T = {A X : (A = ) (A saylabilir)} ailesinin bir topoloji oldu unu gösteriniz. T1 T veriliyor. X = saylabilir oldu undan X T çkar. T2 T 1, T 2 T ise T 1 ve T 2 saylabilir olaca ndan (T 1 T 2 ) = T 1 T 2 saylabilir olur. O halde (T 1 T 2 ) T çkar. T3 T ı T, (ı I) ise T ı, (ı I) kümeleri saylabilirdir. Öyleyse ( T ı ) = T ı, (ı I) saylabilir olur. Buradan ( T ı ) T çkar. 4. X = [0, 1) = {x : 0 x < 1} aral üzerinde bo³ küme ile [0, α), α R, biçimindeki yar-açk aralklar ailesinin; yani T = {, [0, α) : 0 < α 1, α R} ailesinin bir topoloji oldu unu gösteriniz. T1 T veriliyor. α = 1 alnnca X = [0, 1) T çkar. T2 A = [0, α) T ve B = [0, β) T ise γ = min{α, β} olmak üzere A B = [0, γ) olaca ndan A B T çkar. T3 A ı = [0, α ı ) T, (ı I) ise δ = sup{α ı } olmak üzere A ı = [0, δ) T çkar. 5. (a) R gerçel saylar kümesi üzerinde R, bo³ küme ve [β, ), β R, biçimindeki yar-açk aralklardan olu³an ailenin; yani T = {A : (A = R) (A = ) (A = [β, )), β R} ailesinin bir topoloji oldu unu gösteriniz.

10 BÖLÜM 2. TEMEL TOPOLOJ KAVRAMLARI T1 T ve R T veriliyor. T2 A = [β 1, ) T ve B = [β 1, ) ise β = max{β 1, β 2 } olmak üzere A B = [β 1, ) olaca ndan A B T çkar. Ayrca R [β, ) = [β, ) T R = T [β, ) = T olur. T3 A ı = [β ı, ) T, (ı I) ise β = inf{β ı } olmak üzere A ı = [β, ) T çkar. (b) R gerçel saylar kümesi üzerinde R, bo³ küme ve (β, ), β R, biçimindeki açk aralklardan olu³an ailenin; yani T = {A : (A = R) (A = ) (A = (β, )), β R} ailesinin bir topoloji oldu unu gösteriniz. T1 T ve R T veriliyor. T2 A = (β 1, ) T ve B = (β 1, ) ise β = max{β 1, β 2 } olmak üzere A B = (β 1, ) olaca ndan A B T çkar. Ayrca R (β, ) = (β, ) T R = T (β, ) = T olur. T3 A ı = (β ı, ) T, (ı I) ise β = inf{β ı } olmak üzere A ı = (β, ) T çkar. 6. Örnek 2.1.3 'te kurulan T 2 ve T 3 topolojilerinin arakesitinin; yani her iki topolojide de var olan kümelerden olu³an ailenin yeni bir topoloji oldu unu gösteriniz. Kar³t olarak, T 2 ve T 3 topolojilerinin bile³iminin; yani iki topolojiden herhangi birisine veya her ikisine de ait olan bütün kümelerden olu³an ailenin yeni bir topoloji olu³turmad n gösteriniz. A³a daki problemler bunu genelle³tirecektir. T 2 T 3 = {, X, {b, c}} dir. Bu ailenin [T1] - [T3] topoloji aksiyomlarn sa lad kolayca görülmektedir. Öte yandan T 2 T 3 = {, X, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}}

2.1. AÇIK KÜMELER 11 dir. Bu bile³imin topoloji aksiyomlarn sa lamad n göstermek için bir tane kar³ örnek vermek yetecektir. Örne in, {a, b} {a, c} = {a} / T 2 T 3 oldu undan [T2] aksiyomu sa lanmaz. O halde T 2 T 3 bir topoloji de ildir. 7. T ve S bir X kümesi üzerinde birer topolojik yap iseler T S = {H : (H T ) (H S )} (2.1) ailesinin de X üzerinde bir topolojik yap oldu unu gösteriniz. T1, X T T oldu u apaçktr. T2 T, S = T S ise T S T S olur. T3 A ı T S, (i I) ise olaca ndan çkar. A ı T i I A ı S i I A ı T S 8. T ve S bir X kümesi üzerinde birer topolojik yap iseler i I T S = {H : (H T ) (H S )} (2.2) ailesinin X üzerinde bir topolojik yap olu³turmayabilece ine örnek gösteriniz. ki topolojinin bile³iminin bir topoloji olmayabilece ine çok örnek gösterilebilir. A³a da iki örnek verilmi³tir. (a) 6.Problemin çözümünde gösterildi i üzere T 2 T 3 = {, X, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}} bile³imi bir topoloji de ildir.

12 BÖLÜM 2. TEMEL TOPOLOJ KAVRAMLARI (b) B = {[a, b) a, b R, a < b} ailesine ait kümelerin herhangi bir bile³imi olarak yazlabilen kümelerin olu³turdu u aileye A diyelim. (R, A ) bir topolojik uzaydr. A topolojisine R üzerindeki alt-limit topolojisi denilir. Benzer olarak, E = {(c, d] a, b R, c < d} ailesine ait kümelerin herhangi bir bile³imi olarak yazlabilen kümelerin olu³turdu u aileye U diyelim. (R, U ) bir topolojik uzaydr. U topolojisine R üzerindeki üst-limit topolojisi denilir. A ) U bile³imi, topoloji aksiyomlarn sa lamaz. Dolaysyla R üzerinde bir topoloji de ildir. Böyle oldu unu bir kar³ örnekle gösterebiliriz. [a, b), (c, d] A U dur, ama [a, b) (c, d] = [a, d] / A U dir. O halde [T2] aksiyomu sa lanmaz. 9. Bir X kümesi üzerindeki kimi topolojilerden olu³an bir T i : i I topolojik yaplar ailesi verilsin. L = i I T i = {T : ( ı I) T T ı } arakesitinin X üzerinde bir topoloji oldu unu gösteriniz. ( leride bu topolojiye, verilen topolojilerin en büyük alt snr diyece iz.) T1 Her (i I) için, X T ı oldu undan, X L olur. T2 T, S = L ise her (i I) için olur. T, S T ı T S T ı T S L T3 Her (j J) için A j L ise her (j J) ve her (ı I) için A j T ı olacaktr. Buradan A j T ı çkar. j J ı I T ı L 10. Tanm 2.1.1 ile verilen [Tl] aksiyomunun [T2] ile [T3] aksiyomlarndan ba msz olmad n; yani ilk aksiyomun son ikisinden çkarlabilece ini gösteriniz. (Yol gösterme: Bo³ ailenin arakesiti evrensel kümedir, bile³imi ise bo³ kümedir. (Bkz. [?].)

2.1. AÇIK KÜMELER 13 (X, T ) bir topolojik uzay olsun. Bo³ ailenin arakesiti evrensel küme, bo³ ailenin bile³imi bo³ küme oldu undan T i = i yazabiliriz. O halde, [T3] aksiyomu gere ince T olur. Benzer dü³ünü³le T i = X i yazlabilir, ki bu X T olmas demektir.

14 BÖLÜM 2. TEMEL TOPOLOJ KAVRAMLARI 2.2 KAPALI KÜMELER 2.2.1 PROBLEMLER 1. Bir topolojik uzayda kapal kümelerden olu³an bir ailenin bile³iminin kapal bir küme olmayabilece ini, bir örnek ile gösteriniz. R üzerinde, açk kümeleri, açk aralklarn bir bile³imi olarak yazlabilen topolojiyi (salt topoloji)[ bkz. 2.5.1.Kesimdeki 10.Problem] dü³ünelim. Her n N do al saysna kar³lk (a) A n = [0 + 1 n, 1 1 n ] kümelerini tanmlayalm. Bu kümelerin her biri salt topolojiye göre kapaldr. Ancak bunlarn bile³imi olan A = A n = [0 + 1 n, 1 1 ] = (0, 1) n n=1 n=1 (b) kümesi açktr. B n = [0, 1 1 n ] kümelerini tanmlayalm. Bu kümelerin her biri salt topolojiye göre kapaldr. Ancak bunlarn bile³imi olan B = B n = [0, 1 1 ] = [0, 1) n n=1 n=1 (c) kümesi ne açk ne de kapaldr. C n = [0 1 n, 1 + 1 n ] kümelerini tanmlayalm. Bu kümelerin her biri salt topolojiye göre kapaldr. Bunlarn bile³imi olan C = C n = [0, 1 1 ] = [0, 1) n n=1 n=1 (d) kümesi de kapaldr. D n = [ n, +n]

2.2. KAPALI KÜMELER 15 (e) kümelerini tanmlayalm. Bu kümelerin her biri salt topolojiye göre kapaldr. Bunlarn bile³imi olan R = D n = [ n, +n] = (, + ) n=1 n=1 kümesi hem açk hem kapaldr. Bu dört örnek gösteriyor ki, kapal kümelerden olu³an sonsuz bir ailenin bile³imi kapal olmayabilir. Bu bile³im açk, kapal ya da ne açk ne de kapal bir küme olabilir. Benzer i³i açk kümeler için de söyleyebiliriz. A³a daki örnek, açk kümelerin sonsuz saydasnn arakesitinin açk olmayabilece ini göstermektedir. E n = ( 1 n, + 1 n ) kümelerini tanmlayalm. Bu kümelerin her biri salt topolojiye göre açktr. Bunlarn arakesiti olan tek ö eli kümesi kapaldr. E = D n = ( 1 n, + 1 n ) = {0} n=1 2. Örnek 2.1.3 ile verilen üç topolojiye ait kapal kümeleri ayr ayr saptaynz. n=1 kurulan Söz konusu örnek üç ö eli bir X = {a, b, c} kümesi üzerinde (a) T 1 = {, {a}, {a, b}, X} (b) T 2 = {, {b}, {a, b}, {c, b}, X} (c) T 3 = {, {c}, {a, c}, {b, c}, X} topolojilerdir. Her bir topoloji için açk kümelerin tümleyenleri o topolojinin kapal kümeleridir. O halde, arad mz kapal kümeler ³unlar olacaktr: (a) T 1 = {X, {b, c}, {c}, } (b) T 2 = {X, {a, c}, {c}, {a}, } (c) T 3 = {X, {a, b}, {b}, {a}, } 3. Ayrk bir topolojik uzayn kapal kümelerini belirleyiniz.

16 BÖLÜM 2. TEMEL TOPOLOJ KAVRAMLARI (X, P) ayrk topolojik uzay olsun. Bu topolojiye göre X kümesinin her alt kümesi açktr. Herhangi bir K X alt kümesini dü³ünelim. Bunun K tümleyeni ayrk topolojiye göre açktr. O halde K kümesi kapaldr. Bu demektir ki, ayrk topolojide her alt küme hem açk hem kapaldr. 4. Sonlu bir küme üzerinde tanml bir topolojiye göre, tek ö eli her küme kapal bir alt küme oluyorsa, gösteriniz ki bu topoloji ayrk topolojidir. X = {a 1, a 2,..., a n } sonlu bir küme olmak üzere, (X, T ) topolojik uzaynda tek ö eli her {a i }, (i = 1, 2,..., n), kümesi kapal olsun. imdi herhangi bir a i X ö esinin tümleyen kümesini dü³ünelim. {a i } = {a j : j i} e³itli i yazlabilir. E³itli in sa yan sonlu tane kapal kümenin bile³imi oldu undan kapaldr. Dolaysyla, {a} kapaldr. Öyleyse, {a i } açktr. Demek ki (X, T ) topolojik uzaynda tek ö eli her küme hem açk hem kapaldr. Oysa, bu nitelik ancak ayrk topolojik uzayda vardr. 5. Bir topolojik uzayda açk bir A kümesi ile kapal bir K kümesi veriliyor. Gösteriniz ki (i) A K kümesi açktr; (ii) K A kümesi kapaldr. (i) A K = A K kümesi, açk iki kümenin arakesiti oldu u için açktr.[bkz. 2.1.1.Tanm] (ii) K A = K A kümesi, kapal iki kümenin arakesiti oldu u için kapaldr.[bkz. Önerme 2.2.1]

2.3. Ç, DI, KENAR NOKTALARI 17 2.3 Ç, DI, KENAR NOKTALARI 2.3.1 PROBLEMLER 1. Bir topolojik uzayda A açk bir küme B her hangi bir küme olsun. E er A B 0 ise A B olaca n gösteriniz. stenen kapsama ba nts A B 0 B ba ntsndan apaçk- tr. 2. Bir (X, T ) topolojik uzaynda A her hangi bir küme ve K kapal bir küme olsun. E er A K = X ise A o K= X olaca n gösteriniz. A K = X ve A o K X oldu unu varsayalm. Bu durumda x A A o ve x / K olacak biçimde bir x X ö esi var olmaldr; yani x A A o ve x K olacak biçimde bir x X ö esi var olmaldr. K kümesi açk oldu undan x T K olacak biçimde açk bir T kümesi var olmaldr. Öte yandan A K = X A K = K (A ) K A x T K A x A o olur. O halde x A o K olacaktr. Öyleyse A o K = X dir. 3. (X, T ) bir topolojik uzay A, B X olsun. A³a daki özelliklerin sa - land n gösteriniz. (a) A o B o (A B) o dir. (b) (A o ) A (c) (A B) A B (d) d³ (A B) =d³(a) d³(b) (e) A o = A (A A) (f) A A = A T dur. (g) A A A kapaldr.

18 BÖLÜM 2. TEMEL TOPOLOJ KAVRAMLARI (a) (b) (c) (d) (e) (f) x (A o B o ) (x A o ) (x B o ) T 1, T 2 T [(x T 1 A) (x T 2 B)] (x T 1 T 2 A B) x (A B) o x (A o ) (x / ((A o )) o ) (x / ((A o ) ) o ) (x / A o (x / ((A ) o )) o ) (x / A o (x / (A ) o ) (A o ) (A ) o x A x (A B) (x / (A B) o ) (x / ((A B) ) o ) (x / A o B o ) (x / (A B ) o ) (x / A o (x / B o ) (x / [(A ) o (B ) o ]) (x / A o (x / A o ) [(x / (A ) o ) (x / (B ) o )] [(x / A o (x / (A ) o )] [(x / B o ) (x / (B ) o )] [(x A] [(x B] x A B x ext(a B) x ((A B) ) o x (A B ) o x (A ) o (B ) o (x (A ) o ) (x (B ) o ) (x ext(a)) (x ext(b)) x ext(a) ext(b) x A o (x A x / (A)) (x A x / A (A)) (x A (A (A)) A A = (x A x / A) x A o Bu ba nt, bir kümenin açk olmas için hiç bir kenar noktasn içermemesinin gerekli ve yeterli ko³ul oldu unu söyler.

2.3. Ç, DI, KENAR NOKTALARI 19 (g) Bu ko³ul altnda A A (x A x A) (x A x / A) x A T T [(x T A ) (T A = )] x (A ) o yazlabilir. Bu ba nt, bir kümenin kapal olmas için bütün kenar noktalarn içermesinin gerekli ve yeterli ko³ul oldu unu söyler. 4. Her kümenin kenar kümesi kapaldr. Gösteriniz. x ( A) x / A (x A o ) (x (A ) o ) x A o (A ) o Buradan ( A) = A o (A ) o e³itli i çkar. ki açk kümenin bile³imi oldu u için, e³itli in sa yan açk bir kümedir. O halde A kapaldr. Önceki problemin (g) önermesi gere ince ( A) A ba ntsn yazabiliriz. 5. Kapal bir küme iç noktalar ile kenar noktalarnn bile³imine e³ittir. Gösteriniz. Problem 3(g) gere ince K kapal K K ( K K) (K o K) ( K K o ) K yazlabilir, ki bu isteneni verir. 6. Bir kümenin hem açk hem kapal olmas için gerekli ve yeterli ko³ul hiçbir kenar noktasnn olmamasdr. spatlaynz.

20 BÖLÜM 2. TEMEL TOPOLOJ KAVRAMLARI A = [( A A) A (A o = A) A kapal açk 7. ( A) = A oldu unu gösteriniz. (x A) (x / ( A)) olacak biçimde bir x ö esi varolsayd x / ( A) [(x ( A) o ] [x (( A) ) o ] T 1, T 2 T[(x T 1 A) (x T 2 ( A) ] [(x T 1 T 2 A) (x T 1 T 2 ( A) ] olurdu. Bu çeli³ki olamayaca ndan, seçilen biçimde bir x ö esi yoktur. O halde ( A) = A dir.

2.4. YI ILMA NOKTALARI 21 2.4 YI ILMA NOKTALARI 2.4.1 PROBLEMLER 1. (X, T ) bir topolojik uzay A, B, K X oldu una göre a³a daki özelliklerin varl n gösteriniz. (a) (A B) à B dr, (b) A K ve K kapal ise à K dr. (a) (b) x (A B) T T [(T x) (A B) ] = [(T x) A ] [(T x) B ] = [x Ã] [x B] = x à B A K = à K = à K = K = à K 2. Ayrk bir topolojik uzayda hiçbir alt-kümenin hiçbir y lma noktas yoktur. Neden? Ayrk olmayan bir uzayda bu özelik nasldr? (a) (X, T ) ayrk uzaynda bir A X altkümesi verilsin. à = oldu unu göstermeliyiz. Olmayana ergi yöntemini kullanaca z. Bir a à ö esinin oldu unu varsayalm. Her T T için (T {a}) A olmaldr. Bu uzayda tek ö eli her küme açk oldu undan, T = {a} alabiliriz. Bu durumda yukardaki ba nt biçimini alr, ki bu bir çeli³kidir. ({a} {a}) A A

22 BÖLÜM 2. TEMEL TOPOLOJ KAVRAMLARI (b) (X, T ) ayrk olmayan bir uzay ise, yalnzca iki açk kümesi vardr: {, X}. O halde bo³ olmayan her alt kümesinin y lma noktalar kümesi X kümesidir. Bo³ kümenin y lma noktalar yoktur. Özetlersek, à = {, A = ise X, A ise (2.3) olur. 3. Kapal bir küme kendisinin y lma noktalar ile ayrk noktalarnn bile³imine e³ittir. Gösteriniz. K kapal ise K K dr. Tanm 2.4.2 uyarnca, x K bir y lma noktas de ilse, ayrk bir noktadr. 4. Bir x A ö esinin A kümesinin bir ayrk noktas olmas için gerekli ve yeterli ko³ul A T = {x} olacak ³ekilde açk bir T kümesinin varl dr. Gösteriniz. x noktas A kümesinin ayrk bir noktas olsun. Tanm 2.4.2 uyarnca, x A à dr. Bu durumda, olacaktr. O halde, olur. T T [(T {x}) A = ] T T [(T {x}) A = {x}] 5. A = (a, b) = {x R : a < x < b} kümesinin y lma noktalar kümesinin à = [a, b] kapal aral oldu unu gösteriniz. (R, R) salt topolojik uzaynda, açk her T kümesi açk aralklarn bile³imidir [bkz. Önerme 4.1.8]. x (a, b) ise, öyle bir ɛ > 0 says bulabiliriz ki, x (x ɛ, x+ɛ) T olacak biçimde bir (x ɛ, x+ɛ) (a, b) aral kurulabilir. O halde, her T açk kümesi için (T {x}) (a, b) (x ɛ, x + ɛ) olur. Demek ki (a, b) açk aral nn her noktas (a, b) nin bir y lma noktasdr. imdi a ve b uç noktalarnn da birer y lma noktas oldu unu gösterelim. a T ise a (a ɛ, a + ɛ) T olacak biçimde bir ɛ > 0 says bulabiliriz. Bu durumda, (T {a}) (a, b) (a, ɛ)

2.4. YI ILMA NOKTALARI 23 yazabiliriz. O halde a noktas (a, b) aral nn bir y lma noktasdr. b noktas için de benzer i³ yaplabilir. Öyleyse dir. (a, b) = [a, b] 6. B = (a, b) = {q Q : a < q < b} kümesinin y lma noktalar kümesinin B = [a, b] kapal aral oldu unu gösteriniz. Her açk aralkta bir tane (dolaysyla sonsuz tane) rasyonel nokta vardr. Öyleyse, önceki problemde ele alnan aralklarn her birisi B kümesi ile kesi³eceklerdir. O halde, dir. B = [a, b] 7. A = N kümesinin hiç y lma noktas olmad n gösteriniz. Her n N için n 1 < n ɛ < n + ɛ < n + 1 olacak biçimde bir ɛ > 0 says vardr. T = (n ɛ, n + ɛ) diyelim. (T {n}) N = oldu undan, n noktas N kümesinin y lma noktas olamaz. Her n N için bu i³ yaplabildi ine göre, N kümesinin hiç bir ö esi y lma noktas olamaz. 8. S = {k 1 n : k Z, n N} kümesinin y lma noktalar kümesinin S = Z oldu unu gösteriniz. Her açk T kümesi için k T ise, yeterince büyük n saylarna kar³lk, k 1 < k ɛ n < k 1 n < k + ɛ n < k + 1 ve (k ɛ n, k + ɛ n ) T olacak biçimde ɛ n > 0 saylar vardr. Dolaysyla, olur. Demek ki k Z k S dir. (T {k}) S 9. D = { 1 n : n N} kümesinin tek y lma noktasnn D = {0} oldu unu gösteriniz. Her açk T kümesi için 0 T ise, yeterince büyük n saylarna kar³lk, ɛ n < 0 < 1 n < ɛ n ve (k ɛ n, k + ɛ n ) T olacak biçimde ɛ n > 0 saylar vardr. Dolaysyla, olur. Demek ki 0 D dir. (T {0}) D

24 BÖLÜM 2. TEMEL TOPOLOJ KAVRAMLARI imdi D kümesinin 0 dan farkl hiç bir y lma noktasnn olamayaca n göstermeliyiz. Olmayana ergi yöntemini kullanaca z. 0 p D olsun. 1 n < p olacak ³ekilde bir n says seçebiliriz. p (p 1 n, p + 1 2 n ) dir. 2 T = (p 1 n, p + 1 2 n ) alnrsa, (T {p}) D = olur ki bu bir çeli³kidir. 2 O halde, p noktas D kümesinin bir y lma noktas olamaz.

2.5. KAPLAMA 25 2.5 KAPLAMA 2.5.1 PROBLEMLER 1. (X, T ) bir topolojik uzay ve A, B X oldu una göre a³a daki özeliklerin varl n gösteriniz: (a) (A B) Ā B x (A B) ( T T )(x T T (A B) ) ( T T )(x T [(T A ) (T B )] (x Ā) (x B) x Ā B (b) (Ā) = (A ) o ve (A o ) = (A ) x (Ā) x / Ā ( T T )(x T (T A ) ( T T )(x T (T A ) x (A ) o x (A o ) (x / A o ) ( T T )(x T (T A ) x (A ) (c) Ā = Ao A x Ā ( T T )(x T (T A ) ( T T )(x T [(T A o ) [(T A ) (T A )]] (x A o ) (x A) (d) Ā B = (A B) = A B

26 BÖLÜM 2. TEMEL TOPOLOJ KAVRAMLARI BarA B = (A B = dir. Ayrca Problem 2.3.1-3(c) uyarnca (A B) A B oldu unu biliyoruz. O halde (A B) A B oldu unu göstermek yetecektir. çkar x A B [( T T )(x T (T (A B) )] (e) x A x Ā (A ) x (A B) x A ( T T )(x T [(T A ) (T A )] (x Ā) (x (A ) ) (x Ā (A ) ) (f) A = Ā Ao = Ā (A ) (x A) ( T T )(x T [(T A ) (T A ) oldu unu biliyoruz. x / A o oldu unu göstermek için Olmayana Ergi Yöntemini kullanalm. E er (x A) (x A o ) olsayd ( T T )(x T T A) olurdu. Bu durumda x / A olmas gerekirdi. Demek ki x A o olamaz. O halde x Ā Ao dr. (g) A B (Ā)o ( B) o A B (Ā B) (Ā)o ( B) o olur. (h) A B (A o ) (B o ) A B (A o B o ) (A o ) (B o ) olur. (i) A açk ise A (Ā)o dir.

2.5. KAPLAMA 27 A T A = A o oldu undan çkar. (j) A kapal ise (A o ) A dr. A T A Ā Ao (Ā)o A (Ā)o A T A = Ā oldu undan A T A o A (A o ) Ā (Ao ) A çkar. 2. Bir topolojik uzayda sonlu tane kümenin bile³iminin kaplam, bu kü melerin kaplamlarnn bile³imine e³ittir. Gösteriniz ( [K3] özeli inin ge nelle³mesi). Arakesit i³lemi için nasl bir özelik vardr? ( l(a) sorusunun genelle³mesi.) [W3] özeli inden A 1 A 2 = Ā1 Ā2 oldu u biliniyor. Tümevarm ilkesini kullanarak bunu herhangi n N sayda kümeye genelle³tirebiliriz. A 1 (A 2 A 3... A n 1 ) = Ā1 Ā2... A n 1 oldu unu varsayarak A 1 (A 2... A n 1 A n ) = Ā1 Ā2... A n ) oldu unu göstermeliyiz. A³a daki prosedür, tümevarm ilkesiyle her n tane kümeye uygulanabilir: A 1 (A 2 A 3... A n ) = Ā1 (A 2 A 3... A n ) = Ā1 Ā2 (A 3 A 4... A n ) = Ā1 Ā2 Ā3 (A 4 A 5... A n ) = = Ā1 Ā2... (A n 1 A n ) = Ā1 Ā2... A n 1 A n Arakesit i³lemi için, (A B) Ā B ba nts kullanlarak, = yerine konulmak ko³uluyla, yukardaki i³lemler aynen tekrarlanabilir ve ba nts elde edilir. A 1 (A 2... A n 1 A n ) ( Ā 1 Ā2... A n ) 3. Örnek 2.1.3 'teki üç topolojiye göre L = {a, b} ve M = {a, c} kümelerinin kaplamlarn bulunuz.

28 BÖLÜM 2. TEMEL TOPOLOJ KAVRAMLARI Her bir topoloji için açk kümelerin tümleyenleri o topolojinin kapal kümeleridir. O halde, sözkonusu topolojilerin kapal kümeleri, srasyla, ³unlar olacaktr: (a) T 1 = {X, {b, c}, {c}, } (b) T 2 = {X, {a, c}, {c}, {a}, } (c) T 3 = {X, {a, b}, {b}, {a}, } L ve M kümeleri, bu kümeleri kapsayan kapal kümelerin en küçü üdürler. O halde,her bir topoloji için, srasyla, ³u kümelerdir: (a) T 1 için L = X ve M = M (b) T 2 için L = X ve M = M (c) T 3 için L = L ve M = X 4. Bir X kümesi üzerindeki ayrk topolojiye göre, her A X alt kümesi için A = Ā oldu unu gösteriniz. Ayrk topolojide her küme hem açk hem kapaldr. Dolaysyla bir A kümesini kapsayan en küçük kapal küme A nn kendisidir; yani Ā = A dr. 5. Sonsuz bir X kümesi üzerindeki sonlu tümleyenler topolojisine göre, her sonsuz A X alt-kümesi için Ā = X oldu unu gösteriniz. Sonlu tümleyenler topolojisinde kapal kümeler sonludur. Bunun tek istisnas hem açk hem kapal olan X kümesidir. Sonsuz A kümesini kapsayan tek bir kapal küme vardr; o da X dir. O halde Ā = X olmaldr. 6. Bir A kümesinin bir topolojik uzayn hiçbir yerinde yo un olmamas için gerekli ve yeterli ko³ul, her açk kümenin A ile kesi³meyen ve bo³ olmayan açk bir alt-kümesinin varl dr. Gösteriniz. A kümesi (X, T ) topolojik uzaynn hiçbir yerinde yo un de ilse, Ā o = olur. Olmayana Ergi Yöntemini kullanalm. E er her (T T ) ve her (T 1 T, T 1 T ) için T 1 A olsayd, T = T 1 alnarak, her (T T ) için T A olurdu. Bu durumda Āo = X olurdu, ki bu Āo olmasn gerektirirdi. Bu çat³k olamayaca ndan, kabulümüz yanl³tr; yani her (T T ) için T 1 A = olacak biçimde bir (T 1 T, T 1 T ) vardr. Tersine olarak, her açk T kümesinin A ile kesi³meyen ve bo³ olmayan açk bir T 1 alt-kümesi varolsun. Ā o = oldu unu göstermeliyiz. Gene Olmayana Ergi Yöntemini kullanalm. Ā o olsayd, varsaym uyarnca öyle bir T 1 Āo açk alt kümesi var ki T 1 A = olurdu. Bu durumda, A kümesi uzayda yo un olamaz ve T 1 olur. Bu bir çat³kdr. O halde Ā Ā o =

2.5. KAPLAMA 29 7. Kapal bir kümenin hiçbir yerde yo un olmamas için gerekli ve yeterli ko³ul, tümleyeninin her yerde yo un olmasdr. Gösteriniz. Her hangi bir küme için de bu özelik var mdr? ( K) o = (K o = ) ((K o ) = X) K = X K kümesi yo undur Herhangi bir küme için bu özelik yoktur. Örne in, Q rasyonel saylar kümesinin tümleyeni olan Q irrasyonel saylar kümesi R içinde yo undur. Buna kar³n Q rasyonel saylar kümesi de R içinde yo undur. 8. Kapal bir kümenin kenar hiçbir yerde yo un de ildir. Gösteriniz. Her hangi bir küme için de bu özelik söylenebilir mi? K kapal bir küme olsun. Her kümenin kenar kapaldr. O halde ( K) o = ( K) o = oldu unu göstermek yetecektir. Olmayana ergi yöntemini kullanaca z. Bir T açk kümesi için T ( K) o oldu unu varsayalm. T ( K) o K = K yazabiliriz. K o kümesi K nn kapsad en büyük açk küme oldu undan T K o yazabiliriz. Öyleyse T ( A) o A o = (Ā Ao ) A o = olacaktr. Buradan T = sonucu çkar, ki bu istedi imiz sonuçtur. Herhangi bir kümenin kenar kümesi için bu özelik var olmayabilir. Örne in, salt topolojiye göre Q rasyonel saylar kümesinin kenar kümesi bütün gerçel eksendir; yani Q = R dr ve R R olur. 9. R üzerinde a³a daki topolojilerin her birisi için Q R alt kümesinin iç noktalar kümesini, y lma noktalar kümesini ve kaplamn bulunuz.( ) (a) Açk kümeleri, açk aralklarn bir bile³imi olarak yazlabilen topoloji (salt topoloji). (b) Kapal kümeleri, yalnzca, sonlu alt kümelerden olu³an topoloji (sonlu tümleyenler topolojisi). (c) Kapal kümeleri, yalnzca, saylabilir alt kümelerden olu³an topoloji (saylabilir tümleyenler topolojisi).

30 BÖLÜM 2. TEMEL TOPOLOJ KAVRAMLARI (a) i. Q o = dir. Çünkü, salt topolojide hiç bir açk aralk ( dolaysyla hiç bir açk küme) Q rasyonel saylar kümesince kapsanamaz; her açk küme mutlaka irrasyonel saylar içerir; yani her açk T kümesi için T Q dir. Dolaysyla, Q hiç bir açk küme içeremez. Öyleyse, Q o = dir. ii. Q = R dir. Çünkü her açk aralk ( dolaysyla her açk küme) sonsuz sayda rasyonel say içerir. O halde, her x R ve her açk T kümesi için x T (T {x}) Q olur. iii. Q = R dir. Çünkü, yukardaki dü³ünü³le, her x R ve her açk T kümesi için x T T Q yazlabilir. Ayn sonucu Q = Q Q e³itli inden de çkarabiliriz. (b) Sonlu tümleyenler topolojisinin kapal kümeleri {, R, sonlu altkümeler} dir. Açk kümeler ise {, R, tümleyenleri sonlu olan altkümeler} dir. Buna göre, i. Q o = dir. Çünkü, Q o kümesi Q nun kapsad en büyük açk kümedir. Oysa Q içinde, tümleyeni sonlu olan hiç bir altküme yoktur. ii. Q = R dir. Çünkü, tümleyeni sonlu olan her küme rasyonel saylar içerir. Ba³ka bir deyi³le, her x R ve her açk T kümesi için x T (T {x}) Q olur. iii. Q = R dir. Yukardaki dü³ünü³le, her x R ve her açk T kümesi için x T T Q olur. Ayn sonucu Q = Q Q e³itli inden de çkarabiliriz. (c) Saylabilir tümleyenler topolojisinin kapal kümeleri {, R, saylabilir altkümeler} dir. Açk kümeler ise {, R, tümleyenleri saylabilir olan altkümeler} dir. Buna göre, i. Q o = dir. Çünkü, Q o kümesi Q nun kapsad en büyük açk kümedir. Oysa Q içinde, tümleyeni saylabilir olan hiç bir altküme yoktur.

2.5. KAPLAMA 31 ii. Q = R dir. Çünkü, tümleyeni saylabilir olan her küme rasyonel saylar içerir. Ba³ka bir deyi³le, her x R ve her açk T kümesi için x T (T {x}) Q olur. iii. Q = R dir. Yukardaki dü³ünü³le, her x R ve her açk T kümesi için x T T Q olur. Ayn sonucu Q = Q Q e³itli inden de çkarabiliriz. 10. R üzerinde R ailesine ait T kümeleri a³a daki özeli e sahip iseler, (R, R) nun bir topolojik uzay oldu unu gösteriniz: T R ( x T )( (a, b) T : x (a, b) Bu uzayda bir T kümesinin açk olmas için gerekli ve yeterli ko³ul, T ye ait her noktay içeren açk bir aralk kapsamasdr. Bu uzaya R üzerindeki salt (mutlak) topoloji denilir. Bu topoloji, yukarda Problem 9-a ile tanmlanan salt topolojidir. Bu topolojiyi ileride ba³ka yöntemlerle de kuraca z. Bu, gösteriyor ki, bir küme üzerinde ayn topoloji farkl yöntemlerle kurulabilir. Topolojinin [T1]- [T2], [T3] aksiyomlarnn sa land n göstermeliyiz. (a) x a[a R x (a, a)] R x R (ɛ > 0)[x (x ɛ, x + ɛ) R] mathbbr R (b) T 1, T 2 R olsun. x T = T 1 T 2 ise x T 1 a 1, b 1 : x (a 1, b 1 ) x T 2 a 2, b 2 : x (a 2, b 2 ) dr. a = max{a 1, a 2 } ve b = min{a 2, b 2 } dersek, x T x (a, b) T R (c) olur. x T = i I T i (i I)[x T i ] (a, b R)[x (a, b) T i ] T R 11. R üzerindeki mutlak topolojiye göre R nin açk oldu unu gösteriniz.

32 BÖLÜM 2. TEMEL TOPOLOJ KAVRAMLARI Bunu çok farkl yollarla çözebiliriz. (a) R) salt topoloji olmak üzere, 10.Problemde (R, R) nin bir topolojik uzay oldu u gösterildi. O halde [T1] aksiyomu gere ince, R R dir. (b) Bir topolojik uzayda, kapal kümelerin tümleyenleri açktr. (R, R) uzaynda kapaldr (ve ayn zamanda açktr). = R oldu undan (R açktr. Ayn dü³ünü³le, (R kapaldr. (c) Her x R noktasn içeren bir açk aralk vardr. Dolaysyla, R kümesi açk aralklarn bile³imi olarak yazlabilir. Bu durumda, [T3] aksiyomu gere ince, R açk bir küme olur. (d) Her x R noktas R nin bir iç noktasdr. Çünkü her x R noktas için x (x ɛ, x + ɛ) R olacak biçimde bir ɛ > 0 says vardr.her noktas bir iç nokta olan küme açktr. 12. R üzerindeki mutlak topolojiye göre, her b gerçel says için, (, b) biçimindeki aralklarn açk oldu unu gösteriniz. (a) Çözümü farkl yollarla yapabiliriz. (, b) = α<b(α, b) dir. (α, b) açk aralklar salt topolojiye göre açk kümelerdir. Açk kümelerin bile³imi olan (, b) kümesi açk olur. (b) (, b) nin her noktas bir iç noktadr. Çünkü her x (, b) noktas için x (x ɛ, x + ɛ) (, b) olacak biçimde bir ɛ > 0 says vardr. 13. R üzerindeki mutlak topolojiye göre, her a gerçel says için, (a, + ) biçimindeki aralklarn açk oldu unu gösteriniz. Önceki probleme benzer olarak çözülebilir. 14. (R, T ) içindeki her kapal [a, b] aral nn kenar noktalar kümesi A = {a, b} dr. Gösteriniz. Her açk T kümesi için a T [T [a, b] T [a, b] ] b T [T [a, b] T [a, b] ] oldu undan a, b uç noktalar [a, b] kapal aral nn kenar noktalardr. imdi, [a, b] kapal aral nn a, b uç noktalarndan ba³ka kenar noktas olmad n göstermeliyiz. Olmayana ergi yöntemini kullanalm. x a, x b

2.5. KAPLAMA 33 olmak üzere x noktasnn bir kenar noktas oldu unu varsayalm. x [a, b] ise x (x ɛ, x + ɛ) [a, b] olacak biçimde bir ɛ > 0 says vardr. O halde x noktas [a, b] nin bir iç noktasdr; kenar nokta olamaz. Benzer ³ekilde, x [a, b] ise x (x δ, x + δ) [a, b] olacak biçimde bir δ > 0 vardr. O halde x noktas [a, b] nin bir iç noktasdr; kenar nokta olamaz. 15. (R, R) uzaynda bir [a, b] aral içinde kalan rasyonel saylar kümesinin; yani içinde Q [a, b] kümesinin kenar noktalar kümesi Q = {a, b} dr. Gösteriniz. Simgelerde basitli i sa lamak için A = Q [a, b] diyelim. Açk het T kümesi için oldu undan a, b A dr. a T [T A T A ] b T [T A T A ] Yukardaki problemde izlenen dü³ünceye benzer olarak, a, b noktalarndan ba³ka hiç bir noktann A olamayaca kolayca gösterilebilir. 16. (R, R) uzay içinde bile³imleri kapal olmayan bir kapal kümeler dizisi kurunuz. Bunun için 2.2.1-1 Problemin çözümünde örnekler verildi.

34 BÖLÜM 2. TEMEL TOPOLOJ KAVRAMLARI

Bölüm 3 KURATOWSK YÖNTEM 3.1 KURATOWSK YÖNTEM 3.1.1 PROBLEMLER 1. Bo³ olmayan bir X kümesi verilsin. X kümesinin her A alt-kümesine kar³lk a³a daki aksiyomlar sa layan bir A alt-kümesi belirlenmi³ olsun: B1: β(x) = X B2: β(a) A B3: β(β(a)) = β(a) B4: β(a B) = β(a) β(b) Bu durumda, T = {A X : β(a) = A} ailesi X kümesi üzerinde bir topolojik yap olu³turur. Bu yapya göre her A kümesinin A o içi β(a) kümesinden ba³ka bir³ey de ildir. Gösteriniz. Problemin çözümü için önce a³a daki özeli i göstermeliyiz: A B β(a) β(b) (3.1) Bunun ispat a³a daki ba ntdan çkar: A B A = A B β(a) = β(a B) β(a) = β(a) β(b) β(a) β(b) imdi T nun [T1]-[T3] topoloji aksiyomlarn sa lad n gösterelim. 35

36 BÖLÜM 3. KURATOWSK YÖNTEM T1. [B1] gere ince, [B2] gere ince, β(x) = X = X T β( ) β( ) = = T T2. T nun tanm uyarnca A, B T [β(a) = A β(b) = B] olur. [B4] gere ince, A B = β(a) β(b) = β(a B) A B T T3. I herhangi bir damga (index) kümesi olsun. her i I için bir A i T verilmi³ olsun. oldu unu göstermeliyiz. [B2] uyarnca β( A i ) = A i (3.2) i I i I β( A i ) A i (3.3) i I i I oldu u açktr. Ters kapsamay göstermek için 6.4 ba nts ile β(a i ) = A i e³itli ini kullanaca z. A i A i i I β( i I A i ) β(a i ) β( A i ) i I i I β(a i ) = i I A i (3.4) yazabiliriz. 3.3 ve 3.4 den istenen 6.5 e³itli i çkar. O halde, olur. β( i I A i ) T Son olarak (X, T ) uzaynda her A X için β(a) = A o oldu unu göstermeliyiz. Tanmmz uyarnca A N β(a) = A dr. Oysa açk küme tanm uyarnca A T A = A o dr. O halde her A X için β(a) = A o olur. 2. X = N olmak üzere γ : P(X) P(X) dönü³ümü { A, A sonlu ise γ(a) = X, A sonsuz ise (3.5) olarak tanmlanyor. Bu dönü³ümün bir Kuratowski kaplama dönü³ümü oldu unu gösteriniz. Bu topolojinin açk ve kapal kümelerini belirleyiniz.

3.1. KURATOWSK YÖNTEM 37 [K1]-[K4] Kuratowski aksiyomlarnn sa land n göstermeliyiz. [K1] sonlu oldu u için γ( ) = dir. N sonsuz oldu u için γ(n) = N dir. [K2] A sonlu ise γ(a) = A A γ(a) dr. A sonsuz ise γ(a) = N A γ(a) dir. [K3] A veb sonlu A B sonlu γ(a B) = (A B) (A B) γ(a B) [K4] A veyab sonsuz A B sonsuz γ(a B) = N (A B) γ(a B) (A sonlu) (γ(a) = A) (γ(γ(a)) = γ(a)) (A sonsuz) (γ(a) = N) (γ(γ(a)) = γ(n)) (γ(γ(a)) = γ(a)) Her A N için A γ(a) dönü³ümü Kuratowski aksiyomlarn sa lar. O halde bu dönü³üm N üzerinde bir topoloji kurar. Bu topolojinin kapal kümeleri her A N için γ(a) = Ā kaplamlardr. 3.5 uyarnca kapal kümeler K = {, N, sonlu kümeler} dir. Açk kümeler ise, K ailesine ait olan kümelerin tümleyenleridir. Bunlar T = {, N, tümleyenleri sonlu olan kümeler} dir. 3. (3.5) dönü³ümünün belirledi i topolojiyi N üzerinde, kapal kümeleri, yalnzca, sonlu kümelerden olu³an topoloji (sonlu tümleyenler topolojisi) ile kar³la³trnz. Yukarda söylenenlerden anla³laca üzere, N üzerinde, kapal kümeleri 3.5 ile tanmlanan topoloji sonlu tümleyenler topolojisidir. N den farkl kapal kümeleri sonlu kümelerdir; N istisnai olarak kapaldr.

38 BÖLÜM 3. KURATOWSK YÖNTEM

Bölüm 4 TOPOLOJ TABANI 4.1 TOPOLOJ TABANI 4.2 KARMA PROBLEMLER 1. (X, T ) bir topolojik uzay olsun. T nedir? T ailesi T topolojisi için bir taban mdr? T = T oldu undan her topoloji kendisi için bir tabandr. 2. Bir Lindelöf uzaynda kapal bir kümenin her açk örtüsünün, saylabilir bir alt örtüsü oldu unu gösteriniz. (X, T ) bir Lindelöf uzay ve K X kapal bir alt kümesi olsun. E er A ailesi K nn açk bir örtüsü ise A {X } ailesi X in açk bir örtüsü olur. Önerme 4.1.5 uyarnca bu ailenin saylabilir bir alt örtüsü vardr. Bu alt örtüden X atlrsa, geri kalan aile K nn saylabilir bir açk örtüsüdür ve bu örtü A ailesinin bir alt örtüsüdür. 3. Ayrlabilir bir uzayn ikinci saylabilme aksiyomunu sa lamasnn gerekmedi ini bir örnekle gösteriniz. Sonlu ya da saylabilir bir küme üzerindeki her topolojik uzay ayrlabilir bir uzaydr. Gerçel eksen üzerindeki salt topoloji ayrlabilir; çünkü rasyonel saylar saylabilir yo un bir alt kümedir. Saylamayan sonsuz bir küme üzerindeki ayrk topoloji ayrlabilir bir topoloji de ildir. Tanm 4.1.8 ve 4.1.9 ile verilen üst-limit ve alt-limit topolojileri ayrlabilir birer uzaydr ama ikinci saylabilme aksiyomunu sa lamazlar. 4. Mutlak topolojiye göre Z tam saylar kümesinin içini ve kaplamn bulunuz Z kümesi R uzaynn hiç bir yerinde yo un olabilir mi? 39

40 BÖLÜM 4. TOPOLOJ TABANI Önerme 4.1.8 uyarnca, (R, R) uzaynda her açk küme bir aralk kapsar. Her açk aralk sonsuz sayda rasyonel ve irrasyonel saylar içerir [bkz. Önerme 4.1.9]. Dolaysyla, her n Z tamsays ve her T R açk kümesi için n T T Z olur. O halde, Z nin her ö esi bir kenar noktadr; yani Z o = dir. Öyleyse, Z = Z Z = Z yazlabilir; yani tamsaylar kümesinin salt topolojideki kaplam kendisidir. (Z) o = oldu u için, Tanm 2.5.4 uyarnca, Z kümesi (R, R) uzaynn hiç bir yerinde yo un de ildir. 5. R üzerinde σ = {(p, q) : p, q Q} ailesini, yani her iki ucu rasyonel olan bütün açk aralklarn ailesini dü³ünelim. σ R = {(a, b) : a, b R} dr. Acaba σ = R = R midir? σ R oldu u için σ R dr. E³itli i göstermek için, ters kapsamann varl n; yani σ R oldu unu göstermeliyiz. Önerme 4.1.2 yi kullanaca z. (a, b) R ve x (a, b) olsun. Rasyonel saylar R içinde yo un oldu undan x (p, q) (a, b) olacak biçimde (p, q) σ vardr. O halde R σ dir. Bu problem, (R, R) uzaynn (salt topoloji) ikinci saylabilme aksiyomunu sa layan ayrlabilir bir uzay oldu unu göstermektedir. 6. ξ = {[p, q] : p, q Q, p < q} ailesinin R üzerinde bir topoloji taban olmad n gösteriniz. ξ ailesinin Önerme 4.1.3(b) ko³ulunu sa lamad n gösterece iz. [p 1, q 1 ], [p 2, q 2 ] ξ kümelerinin arakesitini dü³ünelim. q 1 = q 2 = q oldu u zaman C = [p 1, q] [p 2, q] = {q} olacaktr. ξ ye ait hiç bir aralk C = {q} arakesiti tarafndan kapsanamaz. O halde ξ bir topoloji taban olamaz. 7. Φ = {[a, b] : a Q, b R \ Q} ailesinin R üzerinde bir topoloji taban oldu unu gösteriniz. a ucu rasyonel, b ucu irrasyonel say olan iki aral n arakesiti bo³ de ilse [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] = [a 2, b 1 ] aral dr. Her x [a 2, b 1 ] için x [a 2, b] [a 2, b 1 ] olacak biçimde [a 2, b] Φ aral vardr. Öyleyse Φ bir topoloji tabandr. 8. D = {(x, y) R 2 : a x < b, c y < d, a, b, c, d R} ailesinin R 2 düzleminde bir topoloji taban oldu unu gösteriniz.

4.2. KARMA PROBLEMLER 41 Basit ³ekiller çizilerek hemen görülebilece i gibi, D ailesine ait iki dikdörtgenin arakesiti gene D ye ait bir dikdörtgendir. Arakesite ait bir (x, y) noktas seçildi inde bu noktay içeren ve arakesit tarafndan kapsanan bir D D dikdörtgeni daima vardr. Dolaysyla, Önerme 4.1.3 uyarnca istenen sonuca varlm³ olur. 9. V = {[p, q] : p, q Q, p q} ailesinin R üzerinde bir topoloji taban oldu unu ve (6) ile tanmlanan ξ ailesinin bu topoloji için bir alt taban oldu unu gösteriniz. (6) ba ntsndaki p < q ko³ulu yerine p q ko³ulu kondu u için, V ailesi C = [p 1, q] [p 2, q] = {q} gibi tek ö eli noktalar içermektedir. Dolaysyla 6.Problemdeki sorun do maz; yani V ailesi R üzerinde bir topoloji tabandr. Ayrca, ξ ailesinin sonlu arakesitlerinden olu³an aile V ailesidir. O halde onun bir alt-tabandr. 10. Açk kümelerden olu³an ve topolojik uzayn bir tabann kapsayan her aile yine bu topolojinin bir tabandr. Gösteriniz. (X, T ) bir topolojik uzay ve T A olsun. A ailesinin her ö esi T topolojisine ait oldu u ve T kendi kendisine bir taban oldu u için, A = T = T olur. 11. Bir ailenin farkl iki topolojiye alt taban olamayaca n gösteriniz. Bir A ailesi iki topoloji için alt-taban olsun. A ailesinin sonlu arakesitlerinden olu³an aile S olsun. S = T 1 ve S = T 2 olacaktr. Her topoloji kendi kendisine taban oldu u için T 1 = T 1 = S = T 2 = T 2 olur. Farkl bir yöntem istenirse, Önerme 4.1.2 kullanlarak problem ispatlanabilir.

42 BÖLÜM 4. TOPOLOJ TABANI

Bölüm 5 KOM ULUKLAR 5.1 KOM ULUKLAR 5.1.1 PROBLEMLER 1. Tanm 2.3.1 ³una e³de erdir: A bir topolojik uzayn bir alt-kümesi olsun. E er A kümesi x noktasnn bir kom³ulu u ise, yani A B(x) ise, x noktas, A kümesinin bir iç noktasdr. x A o ( T T )(x T A) A B(x) 2. Tanm 2.4.1 ³una e³de erdir: Her N B(x) için (N \ {x}) A ise, x noktas A kümesinin bir y lma noktasdr. ( N B(x))(N {x}) A ( T T )(x T N (T {x}) A x à 3. Tanm 2.5.1 ³una e³de erdir: Bir x noktasnn A kümesinin bir kaplama noktas olmas için gerekli ve yeterli ko³ul, x noktasnn her kom³ulu unun A ile kesi³mesidir; yani her N B(x) için N A ise x Ā dr. ( N B(x))(N A ) ( T T )(x T N (T A ) x Ā 4. Ayrk olmayan bir uzayda bir noktann kom³uluklar ailesini bulunuz. 43

44 BÖLÜM 5. KOM ULUKLAR (X, T ) ayrk almayan bir uzay ise her x X noktas için B(x) = {X} dir; yani her noktann kom³uluklar ailesi yalnzca {X} kümesinden ibarettir. 5. Bir noktann sonlu tane kom³ulu unun arakesiti yine bu noktann kom³ulu udur. Gösteriniz. B(x) ise (X, T ) uzaynda bir x X noktas verilsin. N 1, N 2,..., N m x T 1 N 1, x T 2 N 2,..., x T m N m olacak biçimde T 1, T 2,... T m T açk kümeleri vardr. Sonlu sayda açk kümenin arakesiti açk oldu undan olur. m m x T i N i B(x) i=1 6. Bir X kümesi üzerindeki iki topolojinin ayn olmas için gerekli ve yeterli ko³ul, her x X ö esinin bu topolojilere göre kom³uluklarnn ayn olmasdr. i=1 (X, T 1 ) ve (X, T 2 ) uzaylar verilsin. Bir x X noktasnn bu topolojilere göre kom³uluklarn B 1 (x) ve B 1 (x) ile gösterelim. T 1 = T 2 [(T T 1 ) (T T 2 )] olur. [( x X)( N X)(x T N N B 1 (x) B 2 (x))] B 1 (x) = B 2 (x) 7. Gerçel eksen üzerindeki salt topolojiye göre a³a daki kümelerden hangileri B(1) ailesine aittir? (i) (0, 2], (ii) (0, 1], (iii) [1, 2), (iv) (1, 2] 1 (a, b) N olacak biçimde bir (a, b) açk kümesi içeren tek küme N = (0, 2] dir. Ohalde verilen dört küme arasnda yalnzca (0, 2] B(1) olur. 8. Sonlu tümleyenler topolojisinde bir noktann bütün kom³uluklarnn açk kümeler oldu unu gösteriniz.

5.1. KOM ULUKLAR 45 (X, T ) sonlu tümleyenler topolojisi ise, her A T A soludur Bir x X verilsin. N B(x) ( T T )(x T N) T N N N T sonludur 9. N kümesi A kümesinin bir kom³ulu u ise, N nin her B A alt kümesinin de bir kom³ulu u olaca n gösteriniz. (N B(A)) (B A) = ( T T )(A T N) = ( T T )(B A T N) = ( T T )(B T N) = N B(B) 10. X = {a, b, c, d, e} kümesi üzerinde T = {X,, {a}, {a, b}, {a, c, d}, {a, b, c, d}, {a, b, e}} ailesi veriliyor. (a) (X, T ) bir topolojik uzaydr. Gösteriniz. (b) e noktasnn kom³uluklarn bulunuz. (c) c noktasnn kom³uluklarn bulunuz. (d) {c, e} kümesinin kom³uluklarn bulunuz. (a) T nun [T1]-[T3] topoloji aksiyomlarn sa lad kolayca görülüyor. (b) e noktasn içeren tek açk küme {a, b, e} kümesidir. Bu kümeyi kapsayan her küme e nin bir kom³ulu udur. O halde dir. {a, b, e}, {a, b, c, e}, {a, b, d, e}, {a, b, e}, {a, b, c, d, e} B(e) (c) c noktasn içeren iki açk küme vardr: {a, c, d}, {a, b, c, d} Bu kümelerden birini içeren her küme c noktasnn bir kom³ulu udur. O halde, olur. {a, c, d}, {a, b, c, d}, {a, c, d, e}, {a, c, d}, {a, b, c, d, e} B(c)

46 BÖLÜM 5. KOM ULUKLAR (d) {c, e} kümesini kapsayan bir açk kümeyi kapsayan her küme {c, e} kümesinin bir kom³ulu udur. Bunu kapsayan açk küme yalnzca X kümesidir. O halde X B({c, e}) dir. 11. Bir p ö esinin bir A kümesinin bir kenar noktas olmas için gerekli ve yeterli ko³ul, p ö esinin her kom³ulu unun hem A ile hem A ile kesi³mesidir. Gösteriniz. p A ( T T )[x T (T A ) (T A )] [ T N(x T N) (N A ) (N A )]

5.2. KOM ULUKLAR S STEM 47 5.2 KOM ULUKLAR S STEM KOM ULUKLAR S STEM LE TOPOLOJ K YAPILARIN KURULU U 5.2.1 PROBLEMLER 1. R 2 düzlemindeki salt topolojiyi (bkz. Örnek 4.1.2) kurmak için a³a daki kom³uluklar dizgelerinden her hangi birisinin kullanlabilece ini gösteriniz. (a) Düzlemdeki her z noktasna kar³lk, kenarlar eksenlere paralel olan ve bu noktay içeren her hangi bir açk dikdörtgeni kapsayan bütün kümelerin olu³turdu u aile, (b) Düzlemdeki her z noktasna kar³lk, bu nokta merkez olarak çizilen her hangi açk bir diski kapsayan bütün kümelerin olu³turdu u aile, (c) Düzlemdeki her z noktasna kar³lk, bu noktay içeren ve kapal bir e riyle snrlanm³ her hangi bir bölgenin içini kapsayan bütün kümelerin olu³turdu u aile. Çözüme geçmeden önce, düzlemin salt topolojisi için Örnek 4.1.2 ile verilen dört topoloji taban ile ilgili basit gerçekleri anmsayalm. Düzlemde bir z noktas verildi inde, bu noktay kö³egenlerinin kesim noktasna alan ve kenarlar koordinat eksenlerine paralel olan açk bir dikdörtgen daima vardr. Bu dikdörtgen içerisine, merkezi kö³egenlerin kesim noktasnda olan bir açk disk daima çizilebilir. Her açk diskin içerisine tekrar bir açk dikdörtgen çizilebilir. O halde, Önerme 4.1.2 uyarnca, söz konusu açk dikdörtgenler ile açk diskler ayn topolojiyi üretirler. Benzer olarak, her açk disk içine açk bir e³kenar üçgen ve her açk e³kenar üçgen içine bir açk disk çizilebilir. O halde, açk e³kenar üçgenlerle açk diskler ayn topolojiyi üretirler. Son olarak, her açk disk içine açk bir kare ve her açk kare içine açk bir disk çizilebilir. O halde, açk karelerle açk diskler ayn topolojiyi üretirler. Bu dört tabann ayr ayr ürettikleri topolojiler ayndr ve düzlemin salt topolojisi adn alr. (a) Düzlemdeki her bir z noktasna kar³lk varl söylenen aileye B(z) diyelim. Kenarlar koordinat esenlerine paralel olan bütün açk dikdörtgenleri (kenarsz dikdörtgenler) D(z) ile gösterelim. Kolayca görülece i gibi D(z) ailesi sonlu arakesit i³lemine kapaldr; yani D(z) ye ait sonlu sayda açk dikdörtgenin arakesiti ya bo³tur ya da açk bir dikdörtgendir. Önce, B(z) ailesinin [N1]-[N4] kom³uluk aksiyomlarn sa lad n gösterece iz. Bunu gösterince, Önerme 5.2.1 uyarnca, R 2 düzleminde öyle bir T topolojisinin varl n söyleyebiliriz ki, bu topolojiye göre her z noktasnn kom³uluklar ailesi B(z) olur.

48 BÖLÜM 5. KOM ULUKLAR N1. A B(z) ise z D A olacak biçimde bir D D vardr. E er A B ise z D B olaca ndan B B(z) olacaktr. N2. A B(z) ise z D A olacak biçimde bir D D vardr. E er A B ise z D B olaca ndan B B(z) olacaktr. A 1, A 2 B(z) ise z D 1 A 1 ve z D 2 A 2 olacak biçimde D 1, D 2 D vardr. Buradan z D 1 D 2 A 1 A 2 yazabiliriz. D 1 D 2 D oldu undan, A 1 A 2 B(z) çkar. N3. B(z) ailesinin tanm uyarnca, her A B(z) için z D A olacak biçimde bir D D vardr. Dolaysyla, z A olur. N4. V B(z) olsun. z D V olacak biçimde bir D D vardr. W = D alrsak her y W için V B(y) olur. Problemin çözümünü tamamlamak için, D = T oldu unu göstermeliyiz. Önerme 5.2.1 uyarnca T = {A R 2 z A A B(z)} dir. Öte yandan, tanmmz uyarnca oldu undan, T T (D z D)(z D z T ) T = z T yazabiliriz. O halde, T topolojisine ait her açk küme D ye ait kümelerin bir bile³imi olarak yazlabiliyor. Öyleyse, olur. D = T (b) Bunun ispat yukardakine benzer olarak yaplabilir. Ama istersek, her açk diskin içerisine açk bir dikdörtgen çizilebilece i gerçe ini söyleyerek, bu ³kkn çözümünü önceki ³kka indirgeyebiliriz. (c) z noktas düzlemde kapal bir e ri ile snrlanm³ bir bölgenin iç noktas ise, bu iç bölge içine z merkezli açk bir disk veya açk bir dikdörtgen çizilebilir. Dolaysyla, bu ³kkn ispat (a) veya (b) ye indirgenebilir. D z

5.3. KOM ULUKLAR TABANI 49 5.3 KOM ULUKLAR TABANI 5.4 KARMA PROBLEMLER 1. (X, T ) bir topolojik uzay ve σ ailesi T -topolojisinin bir alt taban olsun. (a) σ(x) = {S σ : x S} ailesinin x noktas için bir kom³uluklar taban olmayaca n bir örnekle gösteriniz. σ = {(, b), (a, + ) a, b R} ailesi salt topoloji için bir alt tabandr. a < x < b olmak üzere (a, b) B(x) dir. x (, b) ve x (a, + ) dir; yani (, b), (a, + ) σ(x) dir. Ama (, b) ve (a, + ) kümeleri (a, b) aral tarafndan kapsanamaz. (b) σ(x) ailesinin sonlu arakesitlerinin olu³turdu u ailenin x noktas için bir kom³uluklar taban olaca n gösteriniz. V B(x) [( T T )(x T V ) olur. Öte yandan T açk kümesi σ nn sonlu arakesitleri ailesinin bir bile³imidir. O halde T σ(x) dir. 2. Düzlemdeki her z noktasna kar³lk, bu nokta merkez olarak çizilen, bütün açk dairelerden olu³an ailenin, salt topolojiye göre, z noktasnn bir kom³uluklar taban oldu unu gösteriniz. V B(z) [( T T )(z T V ) olur. z T düzlemde açk bir küme ise z merkezli ve T tarafndan kapsanan açk bir disk vardr. 3. Düzlemdeki her z noktasna kar³lk, bu nokta merkez olarak çizilen { 1 r (r = 1, 2, 3,...)} yarçapl açk disklerden olu³an ailenin, salt topolojiye göre, bu noktann saylabilir bir kom³uluklar taban oldu unu gösteriniz. Buradan, düzlemin salt topolojisinin birinci saylabilme aksiyomunu sa lad sonucunu çkarnz. Önceki problemde z merkezli açk disklerin bir kom³uluklar taban oldu unu söylemi³tik. Bu tabana ait her açk diskin içine z merkezli ve 1 r yarçapl bir açk disk çizilebilir. Çünkü, tabana ait diskin yarçap d ise, Ar³imet kural gere ince 1 r < d olacak ³ekilde bir r do al says daima vardr. 4. Ayrk olmayan bir uzayda her hangi bir noktann kom³uluklar ailesi nedir? Ayrk bir uzayda her hangi bir noktann kom³uluklar ailesi nedir?

50 BÖLÜM 5. KOM ULUKLAR (X, T ) ayrk olmayan uzay ise, her noktann kom³ulu u yalnzca {X} kümesidir. (X, A ) ayrk uzay ise, her hangi bir noktann kom³ulu u o noktay içeren kümeler ailesidir. 5. p ö esinin A kümesinin bir y lma noktas olmas için gerekli ve yeterli ko³ul, p nin kom³uluklar tabanna ait her kümenin A ya ait ve p den farkl olan bir ö eyi içermesidir. p noktasnn kom³uluklar tabann S(x) ile gösterelim. x noktasnn her T kom³ulu u için x S T olacak biçimde bir S S(x) vardr. O halde, p à (( T T )(p T A) (T {p}) A ) yazabiliriz. ( S S(x))( T T )(p S T ) (S {p}) A ) ( S S(x)) (S {p}) A ) 6. Ayrk bir uzayda her noktann sonlu bir kom³uluklar taban oldu unu gösteriniz. Ayrk uzayda her B B(x) için x {x} B dir. O halde yalnz {x} den olu³an ile x noktasnn bir kom³uluklar tabandr. 7. Bir noktann sonlu bir kom³uluklar taban varsa, bu noktann tek bir kümeden olu³an bir kom³uluklar taban vardr. Gösteriniz. x noktasnn sonlu bir kom³uluklar taban S(x) = {S 1, S 2,..., S n } olsun. Kom³uluklar tabanna ait her küme B(x) kom³uluklar ailesine aittir. [N2] aksiyomu uyarnca sonlu sayda kom³ulu un arakesiti gene bir kom³uluktur. O halde, n S = i=1 dersek, {S} ailesi bir kom³uluklar taban olur. Çünkü, her B B(x) için S i B olacak ³ekilde tabana ait bir S i vardr. Oysa s S i dir. Öyleyse, B B(x) için S B olur. O halde, {S} ailesi x noktasnn bir kom³uluklar tabandr. 8. (a) (X; T ) topolojik uzaynda F ailesi, kapal kümeler için bir taban ise, bu aileye ait kümelerin tümleyenlerinden olu³an aile açk kümeler için bir tabandr. (b) Kar³t olarak, (X; T ) topolojik uzaynda B ailesi, açk kümeler (topoloji) için bir taban ise, bu aileye ait kümelerin tümleyenlerinden olu³an aile kapal kümeler için bir tabandr. Gösteriniz. S i

5.4. KARMA PROBLEMLER 51 (a) T T T kapal ( ( i I)( F i F ) ( (T = i I ( i I)( F i F ) (T = F i i I F i ) ) (b) Demek ki, her açk T kümesi F ailesinin tümleyenlerinden olu³an ailenin bir alt-ailesinin bile³imi olarak yazlabilir. F F F T oldu undan istenen özelik ortaya çkar. K kapal K açk ( ( i I)( B i B) ( (K = i I ( i I)( B i B) (K = B i i I B i ) ) Tabii, formülde K e³itli inden her i I için B i K i B i K dr. Ker kapal K kümesi için bu yaplabildi ine göre, B tabanna ait kümelerin tümleyenlerinden olu³an aile kapal kümeler için bir taban olur. 9. (X, ) tam sralanm³ bir küme olsun. Her a, b X ö e çiftine kar³lk {x X : x > a}, {x X : x < b} ve {x X : a < x < b} kümeleri tanmlanyor. a, b ö eleri bütün X kümesini tarad nda elde edilecek bütün bu kümelerden olu³an B ailesinin X kümesi üzerinde bir topoloji taban oldu unu gösteriniz. Bu tabann üretti i topolojiye sra topolojisi denir. Bu topolojik uzayn kapal kümelerinin nasl oldu unu belirleyiniz. B ailesinin Önerme 4.1.3 ün ya da Önerme 4.1.7 nin hipotezlerini sa lad n göstermemiz gerekir. (a) X = {B B B} oldu u açktr. Çünkü e³itli in sa ndaki bile³imi olu³turan her B kümesi X kümesi tarafndan kapsanr. Tersine olarak, her t X ö esi için t a olmak üzere ya t {x X : x > a} ya da t {x X : x < a} olmaldr. Dolaysyla, yukardaki e³itlik vardr.

52 BÖLÜM 5. KOM ULUKLAR (b) B ailesinin sonlu arakesit i³lemine kapal oldu u hemen görülüyor. O halde,önerme 4.1.7 uyarnca, B bir topolojidir. Problem 8(b) uyarnca,sra topolojisi nin kapal kümelerinin bir taban, açk kümeler için yukarda verilen B topoloji tabanna ait kümelerin tümleyenlerinin olu³turdu u K ailesidir. 10. B = {{x} x X} ailesinin (X, A ) ayrk uzay için bir taban oldu unu gösteriniz. B ailesinin Önerme 4.1.3 ün ya da Önerme 4.1.7 nin hipotezlerini sa lad n göstermemiz gerekir. (a) (b) oldu u açktr. X = {B B B} = {x} x X A, B B A B = {, A B {x}, A = B = {x} A B = ise Önerme 4.1.3(b) sa lanr. A B = {x} ise x C A B ko³ulunu sa layan küme C = {x} B dir. Dolaysyla, Önerme 4.1.3(b) gene sa lanr. 11. Ayrk olmayan (X, T) uzay için B = {X} ailesinin bir taban oldu unu gösteriniz. Ayrk olmayan uzayda topoloji taban yalnzca {X} kümesinden olu³ur. 12. B = {x : x < r, x, r Q} ailesinin R üzerindeki salt topoloji için bir taban oldu unu gösteriniz. B ailesi sonlu arakesit i³lemine kapaldr. Önerme 4.1.7 uyarnca R = {B :B B} = {x : x < r, x, r Q} üzerinde bir S topoloji üretir. Önerme 4.1.8 uyarnca R = {(a, b) a, b R açk aralklar ailesi salt topolojinin bir tabandr. S topolojisinin R üzerindeki R salt topolojisine e³it oldu unu; yani S = B = R = R

5.4. KARMA PROBLEMLER 53 oldu unu göstermek için Önerme 4.1.2 yi kullanabiliriz. {x : x < r} = (x r, x + r) dir. Gerçel eksenin her (a, b) R açk aral için x (a, b) oldu unda x (x r, x + r) (a, b) olacak biçimde, uç noktalar rasyonel olan bir (x r, x + r) B açk aral daima bulunabilir. Örne in, r = 1 2 min{ x a, x b } almak yetecektir. Tersine olarak, uç noktalar rasyonel olan her (x r, x + r) = (p, q) açk aral için y (p, q) oldu unda y (c, d) (p, q) olacak biçimde bir (c, d) = (y δ, y + δ) R açk aral daima bulunabilir. Örne in, δ = 1 2 min{ y p, y q } almak yetecektir.