ARAŞTIRMA MAKALESİ /RESEARCH ARTICLE

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BİLİM VE TEKNOLOJİ DERGİSİ ANADOLU UNIVERSITY JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY Clt/Vol.:0-Sayı/No: : 455-465 (009) ARAŞTIRMA MAKALESİ /RESEARCH ARTICLE İKİ PARAMETRELİ WEIBULL DAĞILIMINDA PARAMETRE TAHMİN YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASINA İLİŞKİN BİR SİMÜLASYON ÇALIŞMASI M. Nur ALMALI, Hayrett OKUT ÖZ Yapıla çalışmada farklı örek büyüklüklere (=5, 0, 5, 0, 30, 40) sahp ola k parametrel Webull dağılımıı şekl parametres tahm, E Küçük Kareler ve E Yüksek Olablrlk yötemler kullaılarak araştırılmıştır. Her br örek büyüklüğü ç α = ve =0.5,,.5, değerlere sahp örekler smülasyo le üretlmştr. Tahm yötemler ˆ ı hata kareler ortalaması ( HKO [ ˆ]) ve toplam sapma (TS) ölçütlere göre karşılaştırılmıştır. Hem smülasyo ve hem de parametre tahmler elde edlmes ç br MATLAB programı gelştrlmştr. İk parametrel Webull dağılımıda parametre tahm yötem olarak 5 değer ç E Küçük Kareler Yötem, > 5 ç de E Yüksek Olablrlk yötem kullaılması uygu olacağı soucua varılmıştır. Aahtar Kelmeler : Webull dağılımı, E yüksek olablrlk yötem, E küçük kareler yötem, Hata kareler ortalaması, Toplam sapma. A SIMULATION STUDY ON THE COMPARISON OF PARAMETER ESTIMATING METHODS FOR -PARAMETERS WEIBULL DISTRIBUTION ABSTRACT I ths study, the estmato of shape parameter -parameters Webull dstrbuto havg varous sample sze (=5, 0, 5, 0, 30, 40) s vestgated usg the least square (LSM) ad maxmum lkelhood (ML) method. The samples havg α = ve =0.5,,.5, values for each sample are produced smulato method. The estmato methods are compared accordg to mea square error of ˆ ( MSE [ˆ ]) ad total devato (TD) crtera. A MATLAB programmg has bee developed for both smulato ad obtag estmato parameter. It has bee cocluded that -parameters Webull dstrbuto, as a estmato method, for 5 the least square method s better to be used, o the other had for > 5 t s beter to use maxmum lkelhood method. Keywords: Webull dstrbuto, The least square method (LSM), Maxmum lkelhood (ML)method, Mea square error, Total devato., Yüzücü Yıl Üverstes Müh.-Mm.- Fak. Elek.-Elektro. Müh. Bölümü 65080 VAN. ma@yyu.edu.tr (Haberleşme adres), Yüzücü Yıl Üverstes Zraat Fakültes Zootek Bölümü 65080 VAN. hokut@yyu.edu.tr Gelş: 3 Nsa 008; Kabul: 4 Şubat 009

456. GİRİŞ Webull Dağılımı, adıı İsveçl fzkç Walodd Webull da almaktadır. Walodd Webull u 939 yılıda bu dağılımı lk kez malzeme çekme gerlmes dağılımıı açıklamak ç kullamıştır (Zebl, 99; Gupta ve Kudu, 00). Webull dağılımıda, dağılımı parametreler tahmde örek sayısıı az olması soru oluşturmaktadır. Bu edele yapıla çalışmada farklı örek büyüklükler ve farklı parametre değerlere sahp örekler üzerde çalışılmış ve E Yüksek Olablrlk (EYO) ve E Küçük Kareler (EKK) yötemler karşılaştırılmıştır. Keats vd. (997), I. ve II. tp çoklu-sasürlü (multply-cesored), sasürlü ve tamamlamış (complete) verlerde, k parametrel Webull dağılımıda parametreler okta ve aralık tahmler EYO le hesaplaya br fortra programı sumuşlardır. Log-olablrlk eştlğ çözümü ç Newto Raphso (NR) yötem kullamışlardır. NR çözümü ç gerekl ola ˆ 0 başlagıç değer Meo eştlğ le hesaplamışlardır Hossa ve Zmmer (003), tamamlamış, çoklu zama sasürlü (multply tme cesored) ve Type II sasürlü öreklerde k parametrel Webull dağılımıda parametre tahmler ç E Yüksek Olablrlk (EYO) ve E Küçük Kareler (EKK) yötemler karşılaştırmasıı yapmışlardır. Bu karşılaştırma ç tahmler hata kareler ortalamasıı kullamışlardır. Tamamlamış öreklerde örek büyüklüğüü 0 de küçük olması durumuda EKK, 0 de büyük olması durumuda se EYO yötem e küçük hata kareler ortalaması verdğ gözlemşlerdr. Kaya vd. (003), Webull Dağılımıda α ölçek (scala) ve şekl (shape) parametreler tahm ç altı tahmleyc hakkıda blg vermşlerdr. Çalışmalarıda EYO, EKK, mometler tahm edcs, olasılıkla ağırlıkladırılmış mometler tahm edcs (Lmomet), Meo ve Whte tahm edcler kullamışlar ve bu tahm edcler Mote Carlo smülasyou yardımıyla hata kareler ortalaması ölçütüe göre karşılaştırmışlardır. şekl parametres tahmde, örek büyüklüğü ç momet yötem, > ç de E Yüksek Olablrlk le olasılık ağırlıkladırılmış mometler tahm edcs hata kareler ortalamasıı daha küçük olduğuu göstermşlerdr. Bu Aadolu Üverstes Blm ve Tekoloj Dergs, 0 () çalışmada EKK yötem le elde edle hata kareler ortalaması dğer yötemlere göre daha büyük bulumuştur. Webull dağılımıda, örek sayısıı az olması dağılımı parametreler tahmde soru oluşturmaktadır. Bu çalışmada farklı örek büyüklükler (=5, 0, 5, 0, 30, 40) le farklı parametre değerlere α = ve =0.5,,.5, sahp örekler üretlmştr. Üretle bu öreklerde, parametre tahm ç kullaıla E Yüksek Olablrlk (EYO) ve E Küçük Kareler (EKK) yötemler karşılaştırılmıştır. Çalışmada sırasıyla Webull dağılımı geel özellkler, dağılım parametreler tahm ç kullaıla EKK ve EYO yötem ve smülasyo çalışmasıı akış dyagramı verlmş. Daha sora elde edle bulgular suulmuş ve kullaıla yötemler karşılaştırılarak souç ve öerlerde buluulmuştur.. WEIBULL DAĞILIMI X rasgele br değşke olmak üzere, üç parametrel (ζ,α, ) br Webull dağılımı (WD) ç eklemel olasılık foksyou le yoğuluk foksyou aşağıda taımlamıştır (Heo vd., 00); x ζ F( x) = P( X x) = exp, x ζ α x ζ x ζ f ( x) = exp, x ζ α α α () () Bu eştlklerde ζ yer (locato), α ölçek (scala) ve se şekl (shape) parametres olarak adladırılır. WD ortalama ve varyası sırasıyla; µ = ζ+ αγ + (3) (4) σ = α Γ + Γ + dr. Burada Γ ( ) gamma foksyouu göstermektedr. Yukarıda verle () ve () umaralı eştlklerde, ζ yer (locato) parametres 0 alıdığıda dağılım k parametrel br dağılıma döüşür ve k parametrel Webull dağılımı olarak smledrlr.

Aadolu Uversty Joural of Scece ad Techology, 0 () 457 Stadart k parametrel Webull dağılımıı yoğuluk foksyouu (ζ =0 ve α =) parametres farklı değerler ç değşm Şekl de verlmştr. f(x) =0.5 = =.5 = 0 0 3 4 Şekl. Farklı değerler ç stadart k parametrel Webull dağılımıı (ζ =0 ve α =) olasılık yoğuluk foksyou f(x) değşm. Dağılımı şekl, şekl parametres 3. 6 olduğuda heme heme smetrk, eğrlk katsayısı sıfır ve dağılımı şekl ormal dağılıma yakı olur (Johso ve Kotz, 970). Ayrıca, ı sıfıra yakı değerler ç aşırı derecede sağa, > 3. 6 değerler ç sola yatıktır. 3. MATERYAL ve YÖNTEM Çalışmada farklı örek büyüklüklere sahp k parametrel Webull dağılımıda, şekl parametres farklı yötemlerle tahmler araştırılmıştır. Örek büyüklüğü (=5, 0, 5, 0, 30, 40) olarak seçlmştr. Her br örek büyüklüğü ç α = ve =0.5,,.5, değerlere sahp örekler smülasyo le üretlmştr. Her br örek ç 0.000 smülasyo vers üretlmştr. Elde edle her br ver setde şekl parametres tahm EYO ve EKK yötem le elde edlmştr. Tahmlee şekl parametrese bağlı olarak α ölçek parametres hesaplamıştır. Tahm yötemler ˆ ı hata kareler ortalaması ( HKO [ˆ ]) ve toplam sapma (TS) değerlere göre karşılaştırılmıştır. Gelştrle br MATLAB programı yardımı le smülasyo verler üretlmş ve üretle bu verlerde ve α parametreler EKK ve EYO tahmler hesaplamıştır. X 3. İk Parametrel Webull Dağılımı Parametreler E Yüksek Olablrlk Yötem le Tahmlemes X, X,..., X θ parametrel ( θ = α, sırasıyla ölçek ve şekl parametres) k parametrel Webull dağılımı göstere br rasgele örek olarak göz öüe alalım. Dağılımı olasılık yoğuluk foksyou aşağıdak şeklde taımlaablr. x x f ( x) = exp, α > 0, > 0 α α α WD olablrlk foksyou; x x LL = exp = α α α şeklde yazılablr (Zebl,99). (5) (6) EYO tahmler olablrlk eştlğ sağlaya ya da olablrlk (veya log-olablrlk) eştlkler maksmum yapa ˆ θ = ( ˆ, ˆ ) EYO α EYO EYO değerler olarak taımlaablr. Matematksel şlemler kolaylaştırmak ç çarpım fades toplam hale döüştürmek amacıyla LL olablrlk foksyouu logartması alıarak log-olablrlk foksyou; L = l LL = l( ) l( α) + ( ) l( x ) ( x ) (7) şeklde elde edlr. α ve parametreler EYO tahmler elde etmek ç log-olablrlk foksyouu α ve parametrese göre brc derecede kısm türev alııp sıfıra eştler; L == + ( x ) 0 = α α = yukarıdak eştlkte α ; α = ( x ) = / = α = (8) (9) olarak buluur. α ı logartması alıacak olursa;

458 lα = l ( x ) l = elde edlr. (0) Ayı şeklde log-olablrlk foksyouu parametrese göre brc türev alııp sıfıra eştleecek olursa; ll = l() α+ l() x ()l() x x + l () x = 0 α α α = = = () eştlğ elde edlr. (9) ve (0) umaralı eştlklerde verle α le l α fadeler, () umaralı eştlkte yerlere koarak gerekl sadeleştrmeler yapılacak olursa, elde edlecek ola ye fade; ( ) l( ) x x = l( x ) 0 = ( x ) = + = şekl alır. Bu fadede çeklerek; ( x) l( x) = = = ( x ) = l( x ) () (3) fades buluur. Elde edle (3) umaralı eştlk Newto-Raphso yötem kullaılarak ya göre çözüleblr. Bu yötem e büyük avatajı çözüme quadratk olarak yaklaşmasıdır. Bu terasyo sayısıı azaltarak köke daha hızlı yakısama sağlar. ˆ k + ve αˆ aşağıdak gb hesaplaır; k l xk x = + l x k = k x = k+ = k + k k k x x l x x l x = = = + k k x = α = ( x ) = / (4) (5) Aadolu Üverstes Blm ve Tekoloj Dergs, 0 () Yukarıdak eştlkte ( k + k < h )olucaya kadar şleme devam edlerek ˆ EYO buluur. Burada h=0.0000 ve Newto-Raphso yötem ç kullaıla ˆ 0 başlagıç değer Meo eştlğde hesaplaır (Keats vd.,997). Bu eştlk ˆ = 0 6 π şekldedr. = l x = l x (6) 3. İk Parametrel Webull Dağılımı Parametreler E Küçük Kareler Yötem le Tahmlemes (x,y ), (x,y ),, (x,y ) ver çftler gözlemş olsu. EKK yötem temel lkes, bu verler temsl ede doğru le gözlem verler arasıdak dkey farkları mmum yapmaya dayaır. Verler e y temsl ede doğru y = aˆ + bx ˆ doğrusudur. Bu doğru; ( aˆ + bx ˆ y) = m ( a, b) ( a+ bx y) = = (7) şeklde taımlaır. Bu eştlkte â ve bˆ sırasıyla a ve b katsayılarıı EKK tahmler, ver sayısıdır. (7) umaralı eştlğ sağ tarafıda verle â ve bˆ katsayıları aşağıda verle eştlkler yardımı le buluur; y x = ˆ = aˆ = b = y bx ˆ bˆ = = = x y = = xy x = x (8) (9)

Aadolu Uversty Joural of Scece ad Techology, 0 () 459 Yukarıda açıklaa yötemle k parametrel Webull dağılımı ç parametre tahmler EKK çözümüü gerçekleştrleblmes ç, () umaralı eştlğ (ζ yer (locato) parametres 0 olmak üzere) her k yaıı k defa logartması alıırsa, ( F ( x) ) ( α ) ( x) l l = l + l (0) şekle döüşür. (0) umaralı eştlkte y = l [ l( F( x) )] ve x = l(x) olur. Ayrıca a = l ( α ) b = döüşümler yapılacak olursa, y = a+ bx () () (3) doğrusal eştlğ hale döüşür (Hossa ve Zmmer, 003). (3) umaralı eştlkte verle a le b katsayıları aşağıda verle y le x değerler, yazılarak hesaplaır. Hesaplaa değerler a ve b parametreler EKK tahmlerdr. () ve () eştlkler kullaılarak α ve parametreler EKK tahmler, aˆ b e ˆ ˆ α EKK = ve ˆ EKK = bˆ eştlklerde hesaplaır. Eştlkler çözümüde kullaıla y, x ve F ( x ) değerler sıralamış değerlerdr: j ç y y j, x x j ve F x ) F( x ) dr. ( j ( ( ) ) y = l l F x x = l( x ) Yapıla çalışmada Webull Dağılımıı EKK tahmler elde etmek ç F ( x ) değerler parametrelerde bağımsız olarak hesaplaması gerekmektedr. F ( x ) ler hesaplamak ç k farklı eştlk kullaılmıştır. Bu eştlkler lk, y ler ortaca değerler kullaarak elde edle (4) eştlğdr (Ross, 999). İkc de F ler beklee olasılıklarıda elde edlr ve F = + şekldedr (Ross, 999). 3.3 Smülasyo 0.3 F + 0.4 (5) Çalışmaı bu bölümüde üretle 0,000 öreğ E Yüksek Olablrlk ve E Küçük Kareler yötemler le elde edle ˆ değerlere at hata kareler ortalamasıı yaıda toplam sapma değer de hesaplamıştır. Smülasyo ve hesaplamalar ç MATLAB da br program kodu gelştrlmştr. ˆ değer elde edlmesde kullaıla parametre tahm yötemler ve kulladıkları eştlkler Tablo de verlmştr. Tablo. Parametre tahm yötemler ve kulladıkları eştlkler Yötem Yötem Adı F değer E Yüksek Olablrlk Yötem - E Küçük Kareler Yötem F = + 0. F 3 E Küçük Kareler Yötem + 0. İk parametrel Webull dağılımıa at örekler elde etmek ç eklemel olasılık foksyou F (x) de yararlaılmıştır. Ye örekler elde etmek ç F (x) olasılık foksyouda x değşke çeklecek olursa x α F( x) = e, x 0. x α F( x) = e = R x = α [ l( R) ] / (6) fades elde edlr (Ghosh, 999; Baks vd., 00). Burada R Uform dağılımda rasgele çeklmş 0 le arasıda sayıdır.

460 İk parametrel Webull dağılımıda, örek büyüklüğü (=5, 0, 5, 0, 30, 40) ve α =, =0.5,,.5, parametre değerlere sahp ola örekler üretlmes le üretle her br örek ç E Yüksek Olablrlk ve E Küçük Kareler yötem kullaılarak parametre tahmler hesaplamasıda kullaıla programı akış şeması Şekl de verlmştr. R değer üret (0<R<) (6) eştlkte x değer hesapla ˆ, α,, 3 yötemler le hesapla ve dzye aktar ( ) ˆ ( ) Başla N=?, =? I=,N J=, αˆ, ˆ, E ˆ [ ˆ ], V ˆ [ ˆ ], [ˆ ] HKO ve TD değer hesapla Btr Şekl. İk parametrel Webull Dağılımı parametre tahmler hesaplaması ç kullaıla programı akış şeması. Üretle Webull rasgele öreklerde (α, )parametre çft sırasıyla (,0.5), (,), (,.5), (,) olarak alımıştır. Her br parametre set ç αˆ ve ˆ E Yüksek Olablrlk ve E Küçük Kareler yötemleryle elde edlmştr. Örek büyüklüğü olarak =5, 0, 5, 0, 30 ve 40 olarak alımıştır. 0000 smülasyo deemesde elde edle tahmler ˆ, ˆ, () ()..., ˆ (0000) olmak üzere, parametrese at beklee değer, varyası, hata kareler ortalaması ve toplam sapma değer sırasıyla aşağıdak gb hesaplamıştır. 0000 ˆ Eˆ[ ] = ˆ 0000 = () Aadolu Üverstes Blm ve Tekoloj Dergs, 0 () 4. BULGULAR 0000( ) () ˆ Vˆ[ ] = ˆ Eˆ[ ˆ ] 9999 = 0000( ) () ˆ HKO[ ] = ˆ 0000 = ˆ ˆ TD α = + α α İk parametrel Webull dağılımıda parametre tahmler ç yapıla smülasyo çalışmasıda farklı değerler ve örek büyüklüğü ç, üç ayrı yötemle elde edle değerler ˆ, V ˆ [ ˆ ] ve HKO [ˆ ] Tablo. de verlmştr. Tablo de görüldüğü gb ele alıa ( α, ) parametre çftler tamamıda, =5 ve =0 örek büyüklükler ç e küçük HKO [ˆ] değer. yötemle, =5 örek büyüklüğü ç 3. yötemle ve =0,30 ve 40 örek büyüklükler ç se. yötemle elde edlmştr. Farklı örek büyüklükler ve ı farklı değerler ç üç farklı yötemle hesaplaa HKO [ ˆ] le örek büyüklükler arasıdak lşk Şekl 3 de verlmştr. Şekl 3 de de görüldüğü gb farklı değerlerde, örek büyüklüğü =5 ve =0 ç. yötemle elde edle HKO [ˆ ] daha küçük çıkmıştır. Öek büyüklüğü =5 ç. ve 3. yötemlerle elde edle HKO [ˆ ] brbre çok yakı değerler almışlardır ama 3. yötem le elde edle HKO [ˆ ] değerler ı bütü değerler ç daha küçük bulumuştur. Örek büyüklüğü arttıkça ( 0). Yötemle elde edle HKO [ˆ ], dğer k yöteme göre daha küçük bulumuştur. İk parametrel Webull dağılımıda parametre tahmler ç yapıla smülasyo çalışmasıda farklı değerler ve örek büyüklüğü ç elde edle αˆ, ˆ ve toplam sapma (TS) değerler Tablo 3. de verlmştr.

Aadolu Uversty Joural of Scece ad Techology, 0 () 46 Tablo 3 de görüldüğü gb ( α, ) parametre çftler tamamıda örek büyüklüğü =5 ve =0 ç 3. yötemle, =30 ve =40 ç de. yötemle e küçük TS değer elde edlmştr. Acak, =5 ve =0 ç bütü ( α, ) parametre çftler ç geel br şey söylemek mümkü olmamıştır. Tablo 3 de de görüldüğü gb. yötem le elde edle TS değer her zama. ve 3. yötemlerle elde edle TS değerde büyük bulumuştur. Farklı örek büyüklüğü ve Tablo 3 de α ve değerler ç elde edle TS değerlerdek değşm Şekl 4 de verlmştr. Şekl 4 de 3. yötem le elde edle TS değer her zama. yötemle elde edle TS değerde daha küçük değerler aldığı görülmektedr. Ayrıca örek büyüklüğüü 5 de büyük olması durumuda, değer arttıkça. ve 3. yötemler le elde edle TS değer brbre yaklaştığı görülmektedr. azalmıştır. Şekl 3 de görüldüğü gb özellkle örek büyüklüğü 5 le 0 arasıda olması durumuda hag yötemle e küçük HKO [ˆ ] elde edlebleceğ kousuu araştırılması gerektğ görülmektedr. Yötemler TS değerlere bakılarak değerledrldğde, =5 ve =0 ç 3. yötem, =30 ve =40 ç de. yötem daha uygu olduğu görülmektedr. Acak, =5 ve =0 ç bütü ( α, )parametre çftler ç geel br yötem öermek mümkü olmamıştır. İk parametrel Webull dağılımıda parametre tahm yötem olarak 5 ç E Küçük Kareler Yötem, > 5 ç de E Yüksek Olablrlk yötem kullaılması uygu görülmektedr. Acak E Küçük Kareler yötem kullaırke F değer hesaplamak ç kullaılacak ola bağıtıı da öeml olduğuu görülmektedr. 5. SONUÇ Yapıla çalışmada farklı örek büyüklüklere sahp k parametrel Webull dağılımıda, şekl parametres farklı yötemlerle tahmler araştırılmıştır. Örek büyüklüğü (=5, 0, 5, 0, 30, 40) olarak seçlmştr. Her br örek büyüklüğü ç α = ve =0.5,,.5, değerlere sahp örekler smülasyo le üretlmştr. Tahm yötemler ˆ ' ı hata kareler ortalaması ve toplam sapma değerlere göre karşılaştırılmıştır. Kullaıla yötemler HKO [ˆ ] krtere göre değerledrldğ bu çalışmada 5 olması durumuda E Küçük Kareler yötem le elde edle HKO [ˆ ] değer, E Yüksek Olablrlk yöteme göre daha küçük bulumuştur. Bu durum, k parametrel Webull dağılımıda, küçük örek büyüklüklerde ( 5) parametre tahmler ç E Küçük Kareler yötem daha uygu olduğuu göstermektedr. Özellkle örek büyüklüğü 0 ç. yötem le bulua HKO [ˆ ] ı e küçük olması, E Küçük Kareler yötem kullaırke F değer hesaplamak ç kullaılacak ola eştlğ de öeml olduğuu göstermektedr. Örek büyüklüğü ( > 5) arttıkça E Yüksek Olablrlk yötem le elde edle HKO [ˆ ] da

46 Aadolu Üverstes Blm ve Tekoloj Dergs, 0 () Tablo. Farklı değerler ve örek büyüklüğü ç, üç ayrı yötemle elde edle ˆ, V ˆ [ ˆ ] ve HKO [ˆ] değerler Parametre. Yötem. Yötem 3. Yötem Değerler ˆ V ˆ [ ˆ ] HKO[ˆ ] ˆ V ˆ [ ˆ ] HKO[ˆ ] ˆ V ˆ [ ˆ ] HKO[ˆ ] = 0.5 α = = α = =.5 α = = α = 5 0,779 0,603 0,077 0,4458 0,0636 0,0665 0,54 0,0867 0,087 0 0,583 0,0306 0,0379 0,4350 0,009 0,05 0,4844 0,056 0,058 5 0,558 0,580 0,086 0,443 0,036 0,07 0,4807 0,059 0,063 0 0,5387 0,005 0,00 0,4469 0,005 0,033 0,4804 0,09 0,03 30 0,54 0,006 0,0068 0,4548 0,0073 0,0093 0,483 0,0080 0,0084 40 0,579 0,0044 0,0047 0,460 0,0056 0,007 0,486 0,0060 0,0063 5,446 0,6793 0,874 0,8980 0,798 0,90,050 0,38 0,3836 0,707 0,04 0,495 0,8703 0,0834 0,00 0,969 0,0 0,03 5,070 0,6300 0,0744 0,8847 0,055 0,0684 0,9636 0,0644 0,0657 0,0750 0,046 0,047 0,898 0,04 0,0539 0,9585 0,0475 0,0496 30,0488 0,05 0,076 0,9073 0,095 0,038 0,960 0,034 0,0340 40,0370 0,080 0,094 0,90 0,08 0,090 0,9658 0,046 0,058 5,53,390,864,3359 0,550 0,5770,564 0,7498 0,7537 0,7558 0,669 0,333,3064 0,84 0,6,4548 0,56 0,76 5,6560 0,4 0,654,337 0,4 0,55,447 0,450 0,448 0,665 0,0945 0,08,339 0,0955 0,3,4396 0,085 0, 30,570 0,0565 0,065,363 0,067 0,0863,4405 0,0737 0,077 40,5548 0,0395 0,046,388 0,0504 0,0644,4489 0,0544 0,0570 5,8954 3,0057 3,8074,799,30,633,043,6664,677 0,344 0,490 0,605,7435 0,3333 0,399,944 0,4087 0,4 5,073 0,540 0,970,7600 0,87 0,763,97 0,556 0,64 0,559 0,70 0,953,7887 0,69 0,37,96 0,9 0,98 30,0969 0,0989 0,083,866 0,5 0,488,94 0,65 0,36 40,073 0,0704 0,0757,848 0,0904 0,5,933 0,0975 0,0

Aadolu Uversty Joural of Scece ad Techology, 0 () 463 a) = 0. 5 b) = c) =. 5 d) = Şekl 3. Farklı örek büyüklüğü ve değerler ç HKO [ˆ ] değşm.,0 0,5 0,8. Yötem. Yötem 3. Yötem 0,4. Yötem. Yötem 3. Yötem 0,6 0,3 TD TD 0,4 0, 0, 0, 0,0 5 0 5 0 5 30 35 40 0,0 5 0 5 0 5 30 35 40 0,5 0,4. Yötem. Yötem 3. Yötem 0,5 0,4. Yötem. Yötem 3. Yötem 0,3 0,3 TD TD 0, 0, 0, 0, 0,0 0,0 5 0 5 0 5 30 35 40 5 0 5 0 5 30 35 40 Şekl 4. Farklı örek büyüklüğü ve değerler ç TD değerler değşm.

464 Aadolu Üverstes Blm ve Tekoloj Dergs, 0 () Tablo 3. Farklı değerler ve örek büyüklüğü ç elde edle αˆ, ˆ ve toplam sapma (TS) değerler Parametre. Yötem. Yötem 3. Yötem Değerler ˆ αˆ TS ˆ αˆ TS ˆ αˆ TS = 0.5 α = = α = =.5 α = = α = 5 0,779,937 0,795 0,4458,78 0,866 0,54,5370 0,5798 0 0,583,4449 0,6095 0,4350,3847 0,547 0,4844,939 0,35 5 0,558,099 0,048 0,443,775 0,3949 0,4807,35 0,5 0 0,5387,077 0,545 0,4469, 0,383 0,4804,74 0,06 30 0,54,0446 0,098 0,4548,54 0,48 0,483,48 0,5 40 0,579,0350 0,0708 0,460,9 0,95 0,486,09 0,70 5,446,08 0,4634 0,8980,775 0,795,050,4 0,644 0,707,070 0,877 0,8703,75 0,47 0,969,0806 0,4 5,070,00 0,7 0,8847,0859 0,0 0,9636,0588 0,095 0,0750,0099 0,0849 0,898,0747 0,89 0,9585,053 0,0938 30,0488,0063 0,055 0,9073,0565 0,49 0,960,0396 0,0794 40,0370,0050 0,040 0,90,0459 0,49 0,9658,03 0,0663 5,53 0,9955 0,4394,3359,0940 0,034,564,0545 0,096 0,7558 0,999 0,74,3064,0630 0,9,4548,0396 0,0697 5,6560,000 0,050,337,0504 0,679,447,039 0,078 0,665,0007 0,0784,339,046 0,498,4396,08 0,0685 30,570 0,9990 0,0483,363,035 0,40,4405,005 0,060 40,5548,000 0,0366,388,068 0,056,4489,077 0,058 5,8954 0,9889 0,4588,799,06 0,67,043,033 0,085 0,344 0,995 0,770,7435,04 0,704,944,049 0,054 5,073 0,9966 0,07,7600,0338 0,538,97,008 0,06 0,559 0,9987 0,079,7887,094 0,35,96,088 0,0575 30,0969 0,9988 0,0497,866,08 0,45,94,046 0,0534 40,073 0,9985 0,038,848,085 0,097,933,07 0,0456 KAYNAKLAR Baks, J., Carso, J.S., Nelso, B.L. ve Ncol, D.M. (00). Dscrete-Evet System Smulato. Pretce Hall, 3rd. Edto. Ghosh, A. (999). A Fortra program for fttg Webull dstrbuto ad geeratg samples. Computer Geosceces, 5,79-738. Gupta, R.D. ve Kudu, D. (00). Expoetated Expoetal Famly: A Alteratve to Gamma ad Webull Dstrbutos. Bometrcal. Vol.43, 7 30. Heo, J.H., Salas, J.D. ve Km, K.D. (00). Estmate of cofdece tervals of quatles for the Webull dstrbuto. Stochastc Evrometal Research ad Rsk Assessmet,.5, 84-309.

Aadolu Uversty Joural of Scece ad Techology, 0 () 465 Hossa, A.M. ve Zmmer, W.J. (003). Comparso of Estmato methods for webull parameters: complet ad cesored samples. Joural of Statstcal Computato ad Smulato. 73(), 45-53. Yıl Üverstes Zraat Fakültesde görev yapmaktadır. Johso, N.L. ve Kotz, S. (970). Cotuous Uvarate Dstrbuto-. Hough to Mffl Compay, Bosto. Kaya, M.F., Kuş, C. Ve Saraçoğlu, B. (003). Webull Dağılım Parametreler Tahm ve Smulasyo Yardımıyla Tahm Edcler Hata Kareler Ortalamasıı Karşılaştırılması. VI. Ulusal Ekoometr ve İstatstk Sempozyumu., Gaz Üverstes, Akara. Keats, J.B., Lawrece, F.P. ve Wag, F.K. (997). Webull Maxmum Lkelhood Parameter Estmates wth Cesored Data. Joural of Qualty Techol. 9(), 05 0. Ross, R. (999). Comparg Lear Regresso ad Maxmum Lkelhood Methods to Estmate Webull Dstrbuto o Lmted Data Sets: Systematc ad Radom Errors. IEEE Coferece o Electrcal Isulato ad Delectrc Pheomea. Zebl, A. (99). Estmato Techgues for A Class of No-regular Dstrbutos: The Webull Case. A. Ph. D. Thess Statstcs Mddle East Techcal Uversty. M. Nur ALMALI, Karedez Tekk Üverstes Müh.-Mm. Fak. Elk.- Elkt. Müh. Bölümüde mezu oldukta sora yüksek lsas ve doktorasıı Yüzücü Yıl Üverstes de tamamladı. Hale Yüzücü Yıl Üverstes Müh.-M.m. Fakültesde görev yapmaktadır. Hayrett OKUT, Atatürk Üverstes Zraat Fakültes de mezu oladukta sora yüksek lsasıı Yüzücü Yıl Üverstes doktorasııda Ege Üverstes ve Uversty of Mesota (39. Madde le yıllık görevledrme) le 99 de tamamladı. Br çok ulusal ve uluslar arsı dergde çalışmaları yayıladı. Hale Yüzücü

4 Aadolu Üverstes Blm ve Tekoloj Dergs, 9 ()