SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI

YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - 1-1 1 SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI,b,c,d birer rkm olmk üzere ( 0) b = 10 + b bc = 100+10+b bc = 100+10b+c bcd =1000+100b+10c+d Aşğıdki çılımlrı d incelemenizde fyd vr: b = 00 + b b = 0b + 0 b = b0 + = 10b + bb = b00+b = 100b + b = 101b Örnek( 1 ) Rkmlrı toplmının 7 ktın eşit oln iki bsmklı kç syı yzılbilir? Syımız b olsun Ab = 7(+b) 10 + b = 7 + 7b = 6b = b b ye değer verip lrı bullım b 1 4 6 8 4 O hlde 4 tne b iki bsmklı syısı yzılbilir deriz Örnek( ) b+c+bc toplmı şğıdkilerden hngisine kesinlikle bölünür? A) B) C) D)7 E)11 b+c+bc = 10 +b +10c + +10b + c = 11 + 11b + 11c = 11( +b +c) syımız 11 in ktı olduğun göre 11 ile tm bölünür Cevp E şıkkıdır Örnek( ) b iki bsmklı syının rkmlrı yer değiştirildiğinde syı 6 zlıyor Bun göre kç b iki bsmklı syısı yzılbilir? Rkmlr yer değiştirdiğinde syı zlıyors b b = 6 olur Burdn 10 +b (10b +)= 6 10+b-10b- = 6 9-9b = 6 9(-b) = 6 -b = 7 ve b ye değer verirsek b 7 0 8 1 9 O hlde cevp olur (Sorud b için iki bsmklı ifdesi kullnılmdığındn b ye 0 verildiğine dikkt edin) Örnek( 4 ) Rkmlrı frklı iki bsmklı en büyük tmsyı, rkmlrı frklı iki bsmklı en küçük tmsyıdn kç fzldır? Rkmlrı frklı iki bsmklı en büyük tmsyı = 98 Rkmlrı frklı iki bsmklı en küçük tmsyı = -98 98 (-98) = 198 olur wwwgloblderscom 1

Örnek( ) Birbirinden frklı üç doğl syının toplmı 18 ise en büyüğü en z kçtır? En büyük en z olcks syılr mümkünse rdışık seçilir Syılrın toplmı e bölündüğünden; 18: = 46 (ortnc syı) syılrımız 4,46,47 seçilirse en büyül en z 47 olur Örnek( 6 ) Üç bsmklı frklı dört pozitif syının toplmı 118 ise en küçüğü en z kçtır? En küçük en z olcks diğerleri büyük seçilmeli Rkmlrı frklı demediğinden Üç büyük syı : 999,998,997 seçilir 999 + 998 + 997 = 994 bu syı toplmdn çıkrılrk küçük syı bulunur 118 994 = 14 olur Örnek( 8 ) Üç bsmklı iki syı yzmk için tümü frklı rkmlr kullnılmıştır Bun göre bu iki syının toplmı en z kçtır? Rkmlrımız 0,1,,,4,,6,7,8,9 bunlrın en küçükleri yüzler bsmğın sonr sırsıyl onlr ve birler bsmğın yerleştirilir Anck burd iki syı ynı nd teşkil edilmelidir 1 0 4 + 9 bulunur Örnek( 9 ) Rkmlrı toplmının 9 ktındn eksik oln iki bsmklı syı kçtır? Syımız b olsun b = 9(+b) 10 + b = 9 + 9b- = 8b - b= 1 için = 81- =6 olur Syımız 61 dir Örnek( 7 ) Rkmlrı frklı iki bsmklı birbirinden frklı dört pozitif syının toplmı 1 ise en küçüğü en z kçtır? Rkmlrı frklı dediğinden Büyük seçilecek syılr : 98,97,96,9 dır 98 + 97 + 96 = 91 bu toplm 1 ten çıkrılırs 1 91 = çıkr Anck sorudki rkmlrı frklı cümlesi bu syı için de geçerli olduğundn Cevp değildir O hlde seçilen ilk üç syıdn biri değiştirilerek; 98 + 97 + 9 = 90 bu toplm 1 ten çıkrır 1-90 = sorumuzun cevbıdır Örnek( 10 ) b ve b iki bsmklı doğl b b syılr olmk üzere + = ise kç b b syısı yzılbilir? 10+ b 10b+ + = pyd b eşitlersek 10b+ b 10b+ + = b b 10b+ b + 10b+ = b b + = b 0b b + = b b b+ = 0 (b ) = 0 wwwgloblderscom

b- = 0 b = bu durumd ifdeyi tnımsız ypmyn tüm rkmlr verilebilir =b=1,,,4,,6,7,8,9 verilirse b syılrı 11,,,44,,66,77,88,99 Yni 9 tne syı yzılbilir Üç ile bölünebilen rkmlrı frklı en büyük üç bsmklı çift syı = 984 Beş ile bölünebilen rkmlrı frklı en küçük tek syı = 10 984 10 = 879 olur Örnek( 11 ) b ve b iki bsmklı syılr b b olmk üzere = 7 eşitliğini sğlyn ve b rkmlrı için b=? b 10 b + b = 7 10b+ = 7 10+ b 10b = 7 9 9b = 7 = 9b burd =9 ve b= dir 9-=7 olur Örnek( 14 ) b iki bsmklı syısındn b iki bsmklı syısı çıkrılırs şğıdkilerden hngisi elde edilemez? A) 6 B) 4 C) 0 D) 7 E) 81 b b = 9(-b) yni syı 9 un ktı olmlıdır ve b sıfırdn frklı olduğundn =9 ve b=0 seçilemeyeceği çıktır Bu durumd -b = 9 olmz Yni 9(-b) 81 yni cevp E şıkkıdır Örnek( 1 ) bc üç bsmklı syısının birler ve yüzler bsmklrı yer değiştirdiğinde syı 97 rtıyors c=? Örnek( 1 ) b iki bsmklı syısının sğın 1 yzıldığınd elde edilen syı, solun 1 yzıldığınd elde edilen syıdn 1188 fzl ise b=? b1 1b = 1188 b00 + 1 (100 + b) = 1188 100b b 148 = 1188 99b = 67 b = 7 olur cb bc = 97 100c + 10b + (100 + 10b + c) = 97 99c 99 = 97 c- = -c = - olur Örnek( 16 ) b iki bsmklı syısının rkmlrı yer değiştirilerek bir toplnıp, bir çıkrılıyor Elde edilen syılr sırsıyl ve7 ise b =? Örnek( 1 ) Üç ile bölünebilen rkmlrı frklı en büyük üç bsmklı çift syı, beş ile bölünebilen rkmlrı frklı en küçük üç bsmklı tek syıdn kç fzldır? wwwgloblderscom Ab + b = 11(+b) = +b = Ab - b = 7 9(-b) = 7 -b = b = (+b)(-b)==1 olur

Örnek( 17 ) Rkmlrı frklı üç bsmklı bir syının rkmlrının yerleri değiştirilerek elde edilen tüm frlı syılr toplnıyor Elde edilen syı 1 ise bu syılrdn en büyüğü kçtır? bc cb bc bc cb + cb (+b+c)=1 (+b+c)=6 =, b=, c=1 seçilirse syı 1 olur Örnek( 18 ) Rkmlrı frklı iki bsmklı frklı pozitif dört syının toplmı 79 ise en büyüğü en fzl kçtır? Bu dört syıdn üçü küçük seçilirse; Syılr: 10,1,1 Syılrın toplmı :, bu toplm 79 dn çıkrılır 79 = 44 olur Anck syını rkmlrı ynı olduğundn seçilen syılrdn birini değiştirmek gerekir Yeni syılr : 10,1,14 Yeni toplm : 6 79 6 = 4 sorumuzun cevbıdır Örnek( 19 ) Toplmlrı 7 oln 4 frklı syıdn en büyüğü en z kç olbilir? Syılrı mümkün olduğunc birbirine ykın, htt mümkünse rdışık seçmeliyiz Dört rdışık syının toplmı 7 olmuyor O yüzden önce syıyı 4 e bölüp sonr oluşn syılr üzerinde oynm ypılır 7 4 7 14 1 syılr 14, 14, 14, 144 seçilip ekle çıkr yöntemiyle düzenlenir son durum 141, 14, 144, 14 yni cevp 14 olur Örnek( 0 ) <b<c olmk üzere ile bölebilen kç bc syısı yzılbilir? c syısı seçilirse <b< <b< <b< 1<< 1<4< <4< 1<< << <4< 6 tne syı yzılbilir Örnek( 1 ) Đkisi ten küçük iki bsmklı frklı beş syının toplmı 40 ise en küçüğü en z kçtır? ten küçük seçilecek syılrdn biri bizim rdığımız syı olcktır (bury dikkt) diğer syılr ne kdr büyük seçilirse rdığımız syı o kdr küçük olur O hlde syılrımız 4,97,98,99 olsun Bunlrın toplmı 8 dir 40 8 = 1 rdığımız syı olur Örnek( ) Dört frklı doğl syının toplmı 0 ise en büyük syı en fzl kçtır? Syılrın bsmk syısı belli olmdığındn syılr bir bsmklı seçilebiir O hlde syılr: 0,1, seçilir Syılrın toplmı : 0 = 47 bulunur wwwgloblderscom 4

Örnek( ) bc üç bsmklı syısı rkmlrı toplmının x ktı, bc üç bsmklı syısı rkmlrı toplmının x ktı ve cb üç bsmklı syısı rkmlrı toplmının x+7 ktı ise x=? bc = (x-)(+b+c) bc = (x-)(+b+c) cb = (x+7)(+b+c) 111(+b+c) = (8x-1)(+b+c) 8x-1 = 111 8x = 11 x = 14 bulunur NOT: Bir doğl syıdn rkmlrının toplmı çıkrılırs 9 un ktı bir syı elde edilir Örnek( 4 ) b üç bsmklı, b iki bsmklı syı ve b=4b+9 ise +b=? b=4b+9 00 + b = 4b + 9 00-9 = 4b b b = 91 b = 97 + b = 16 olur Örnek ( ) Üç tnesi 17 den büyük 6 tne sym syısının toplmı 64 ise en büyüğü en fzl kçtır? 17 den büyük oln üç syının birisi bizim rdığımız syı olduğundn, 17 den büyük iki syı seçmeliyiz ki kln syı ile birlikte üç tne olsun Syılrımız: 18,18,1,1,1 Syılrın toplmı : 9 Đstenen syı : 64-9 = Örnek (6 ) Üç frklı sym syısının toplmı 48 ise en büyüğü en z kçtır? Syılr birbirine ykın seçilmeli (mümkünse rdışık olmlı) Syılrı rdışık seçersek ortnc syı 48:=16 O hlde syılr 1,16,17 olur ki bu durumd cevp 17 dir Örnek( 7 ) 6 bsmklı en küçük doğl syının kresi, bsmklı en küçük doğl syının kresi b ise b syısının rkmlrı toplmı kç olur? 10 bsmklı en küçük doğl syı= 10 ve 10 kresi = 10 = bsmklı en küçük doğl syı = 10 ve 4 kresi = 10 =b = 10000000000 b = 10000 -b = 9999990000 syıd 6 tne 9, ve 4 tne de o vr O hlde cevp 69 = 4 bulunur Örnek( 8 ) 10 bsmklı en küçük doğl syının küpü x, 6 bsmklı en küçük doğl syının küpü y ise x-y syısının rkmlrı toplmı nedir Önceki sorudki çözümü inceleyerek bu sorud frk syısının içinde 8 tne 9 ve 6 tne sıfır olduğunu söyleyebiliriz O hlde cevp 89 = 7 olur Örnek( 9 ) 9 bsmklı bir syı bsmklı bir syıy bölündüğünde kln en fzl bsmk, en z b bsmk ise b=? wwwgloblderscom

Kln bölenden küçük olcğındn, bölen bsmklı bir syı ise(örneğin 146) kln syı y sıfırdır, y d bölenden küçük bir syıdır ki bu d,4,,,1 bsmklı bir syı olbilir O hlde en fzl, en z 1 bsmklı olur(0(sıfır) syısının bir bsmklı olduğunu unutmylım) O hlde cevp 1= olur Bu durumd bu syılrın çrpımı ( 10 1)(10 1)(10 1) = (10 1) (10 1) = 10 1 10 10 + 10 1 1 10 syısı 16 bsmklı bir syıdır 1 Açılımdki eksilen syılr 10 syısını en fzl bir bsmk eksilteceğinden kln syı 1 bsmklı bir syı olcktır Örnek( 0 ) 9 bsmklı bir syı bsmklı bir syıy bölündüğünde kln en fzl, en z b ise b=? Bölen syı beş bsmklı ise kln syı en fzl beş, en z bir bsmklıdır Bölünen syı bölen syının bir ktı ise kln 0(sıfır) olcğındn, klnlr çrpımı 0(sıfır) olur Örnek( 1 ) bsmklı üç tmsyının çrpımı en z kç bsmklı olur? Syılrı en z seçelim Örneğin syılr 10000,10000,10000 olsun (frklı demediği için böyle seçilebilir) Bu durumd bu syılrın çrpımı 4 4 4 1 10 10 10 = 10 olur Bu d 1 bsmklı bir syı eder 4 (10000 = 10 yzılbileceğine dikkt edin) Örnek( ),b,c birbirinden frklı rkmlr ve bc ile cb üç bsmklı syılrdır bc cb =94 ise bc üç bsmklı syısının en büyük değeri en küçük değerinden kç fzldır? bc cb =94 ifdesini çrsk 100+10b+c (100c+10b+) = 94 99 99c = 94 99(-c) = 94 -c = 6 bulunur c 7 1 8 9 b yi istediğimiz gibi seçebiliriz çünkü b için herhngi bir şrt oluşmdı O hlde En büyük bc = 98 En küçük bc = 701 Frk = 8 olur Örnek( ) bsmklı üç tmsyının çrpımı en fzl kç bsmklı olur? Bu sefer syılrı büyük seçelim Örneğin syılr 99999,99999,99999 olsun (frklı demediği için böyle seçilebilir) wwwgloblderscom 6 Örnek( 4 ) Birbirinden frklı x,y,z rkmlrı için x =y ve y= z+ 1 olck şekilde yzılbilecek zxy üç bsmklı syılrının toplmı nedir?

x =y ve y= z+ 1 şrtlrını birlikte sğlyn değerler tblodki gibidir z x y 4 8 9 Oluşn syılr 4 + 89 = 14 bulunur Örnek (4 ) bc üç bsmklı syısınd rtr, b üç zlır ve c rtrs syı nsıl değişir? Nottn hreketle syıdki değişiklik +00 0 + = +17 olcktır Örnek( ) 6 tne üç rkmının yn yn yzılmsıyl elde edilecek 6 bsmklı syı şğıdkilerden hngisidir? 10 6 + A) B) 10 6 10 D) 9 10 6 1 E) C) 10 6 9 9 10 +1 Şıklr üslü olduğun göre syımızı üslü biçimde ifde etmeye çlışmlıyız Syımız dır Bu syıyı ile çrpıp ile bölersek syıd bir değişiklik olmz 999999 = py kısmındki syı 1000000 syısındn 1 eksiktir Bunu d 999999= 10 6 1 diye ifde edersek sonuç şğıdki gibi olcktır Örnek ( ) b ve cd iki bsmklı syılr bcd çrpımınd rttırılır ve c zltılırs çrpım 160 rtıyor Bun göre b cd=? b syısınd rtrs syı (b + 0) cd syısınd c zlırs syı )cd 0) olur Bu durumd (b+0)(cd-0) bcd = 160 bcd 0b + 0cd 400 bcd =160-0(b cd )=60 (b cd ) = - 8 Örnek (6 ) bc üç bsmklı syısı t ye eşitse bc1 beş bsmklı syısı t cinsinden neye eşittir? 10 6 1 = olur ki cevp B şıkkıdır NOT: bc biçimindeki üç bsmklı bir syı için yüzler bsmğındki her rtış +100 yüzler bsmğındki her zlış -100 onlr bsmğındki her rtış +10 onlr bsmğındki her zlış -10 birler bsmğındki her rtış +1 birler bsmğındki her zlış -1 olrk ynsır wwwgloblderscom 7 bc1 syısı bc00 + 1 olrk yzılbilir bc00 = 100bc olduğundn Cevp 100t + 1 olur Örnek (7 ) xy ve yx iki bsmklı xy yx 1 syılrdır = ise x+y=? xy+ yx

xy yx 1 9(x = = xy+ yx 11(x+ sdeleştirmeler ypıldığınd (x = (x+ (x (x + = 9 1 gerekli x-y = k ve x +y = 9k olur(k Z) x ve y rkm olduğundn k=1 seçilmek zorunddır Bu durumd x+y=9 olur Örnek (40 ) bc, bc, cb üç bsmklı syılrın toplmı 11 ise ) +b+c kçtır (C: 11) b) bc şeklinde yzılbilecek en büyük ve en küçük syılrın toplmı nedir? ) bc + bc + cb = 11 111(+b+c) = 11 (+b+c) = 11 b) = 9, b = 1, c = 1 911 = 1, b = 1, c = 9 119 Örnek (8 ) xy ve yx iki bsmklı xy yx = ise xyyx=? syılrdır ( ) ( ) 79 ( xy ) ( yx) = 79 (xy+yx)(xy-yx) = 79(iki kre frkındn ) 11(x+9(x- = 79 (x+(x- = 8 x = ve y=1 olduğundn 11 = 40 sorumuzun cevbıdır Örnek (9 ) ve b rkmlrı kullnılrk yzılbilecek tüm iki bsmklı syılrın toplmı 14 ise en küçüğü kçtır? 911 + 119 = 100 Örnek (41 ) bc ve 4bc syılrı dört bsmklı birer syıdır bc syısı 1 ile bölündüğünde kln 6 olduğun göre 4bc syısının 1 ile bölümünden kln kçtır? (ÖSS 00) bc = 1k + 6 olsun (k Z) 4bc = bc + 100 olduğundn 4bc = 1k + 6 + 100 4bc = 1k + 106 olur 1 zten 1 in ktıdır Geriye sdece 106 syısının 1 e bölümünden klnın hesbı ypılck 106 syısı 1 e bölündüğünde kln = 1 olur Dolyısıyl d sorumuzun cevbı 1 dir Yzılbilecek syılr ; + b + b + bb = 14 (+b) = 14 (+b) = 7 =1 ve b= 6 seçilirse = 11 en küçük syı olur Örnek(4) 1,,,4 ve rkmlrı kullnılrk yzılbilen, rkmlrı tekrrlı vey tekrrsız tüm iki bsmklı tek syılrın toplmı kçtır? (C: 49) (ÖSS 00) ÇÖZÜM 1: Önce kç syı yzbileceğimize bklım Bunun için kombinsyon konusunu htırlmlı vey tek tek yzmlıdır ki tek tek yzım önemli bir zmn kybıdır wwwgloblderscom 8

Yzılbilecek syı dedi = 1 olur Syılr lt lt yzıldığınd birler bsmğındki 1 rkmın tnesi 1, tnesi, tnesi de tir (1++) = 4 eder Onlr bsmğınd ise her rkmdn 1:= tne vrdır (1+++4+)=4(bu rkmlr onlr bsmğınd olduğu için sıl toplm 410=40 dir Sonuç : 40 +4=49 eder ÇÖZÜM : syılrı tek tek yzrsk; 11+1+1 = 9 1++ = 69 1++ = 99 41+4+4 = 19 1++ = 19 + 49 bulunur Örnek(4) A ve B birer rkm, AB ve BA d iki bsmklı syılrdır Bun göre, AB BA frkı AH olmz? A) 9 B) 18 C) 6 D) 4 E) 61 (ÖSS 00) AB- BA =9(A-B) yni sonucun 9 un ktı olmsı gerekir 9 un ktı olmyn E şıkkı sorumuzun cevbıdır Örnek( 4 ) Üç bsmklı 9KM syısı iki bsmklı KM syısının 1 ktıdır Bun göre K+M kçtır? (ÖSS-000) 9KM = 1KM 900+KM = 1KM 0KM = 900 KM = 0 K+M=+0= oluır Örnek( 44 ) Üç bsmklı 4AB syısı iki bsmklı BA syısının 1 ktındn 7 fzldır Bun göre BA kçtır? (ÖSS-99) 4AB = 1BA +7 400+10A+B = 10B+1A+7 19B+A = 9 B= ve A=6 seçilirse BA = 6 olur Örnek( 4 ) Rkmlrı sıfırdn frklı,beş bsmklı bir syının yüzler ve binler bsmğındki rkmlr yer değiştirildiğinde elde edilen yeni syı ile eski syı rsındki frk en çok kç olbilir? (ÖSS-98) ABCDE syısınd frkın büyük olmsı için yüzler ve binler bsmklrı şğıdki gibi seçilir A91DE - A19DE 700 elde edilir Örnek( 46 ) Birbirinden frklı iki bsmklı pozitif dört tmsyının toplmı 6dır Bu syılrın en büyüğü 98 olduğun göre en küçüğü en z kçtır (ÖSS-98) Küçüğün en z olmsı için diğerlerinin büyük seçilmesi gerekir Syılrımız : 98,97,96 Syılrın toplmı: 91 4syı : 6 91 = olur YAZAN ĐBRAHĐM HALĐL BABAOĞLU Mtemtik Öğretmeni wwwgloblderscom wwwgloblderscom 9